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Capítulo 7Técnicas de Integração
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7.4 Integração de Funções
Racionais por Frações Parciais
Nessa
seção, vamos
aprender
como
integrar funções
racionais
reduzindo-as a uma
soma de
frações
mais
simples.
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
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INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Nesta seção mostraremos como integrarqualquer função racional (um quociente de polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chamadas fraçõesparciais, que já sabemos como integrar.
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Para ilustrar o método, observe que, levandoas frações 2/(x – 1) e 1/(x – 2) a um denominador comum, obtemos:
2
2 1 2( 2) ( 1)1 2 ( 1)( 2)
52
x xx x x x
xx x
+ − −= =
− + − ++
=+ −
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
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Se revertermos o procedimento, veremoscomo integrar a função no lado direito dessaequação:
2
5 2 12 1 2
2ln | 1| ln | 2 |
x dx dxx x x x
x x C
+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠= − − + +
∫ ∫
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
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Para ver como esse método de fraçõesparciais funciona em geral, consideramos a função racional
onde
P e Q
são
polinômios.
( )( )( )
P xf xQ x
=
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
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FUNÇÃO PRÓPRIA
É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q.
Essa função racional é denominada própria.
Lembre-se de que se
•
No qual
an
≠
0, então
o grau
de P é
n, e escrevemos gr(P) = n.
11
1 0( ) n nn nP x a x a x a x a−
−= + + ⋅⋅⋅+ +
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Se f é imprópria, isto é, gr(P) ≥ gr(Q), entãodevemos fazer uma etapa preliminardividindo P por Q (por divisão de polinômios).
•
Até
o resto
R(x) ser obtido, com gr(R) < gr(Q).
FRAÇÕES PARCIAIS
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O resultado da divisão é
onde
S e R são
polinômios
também.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
P x R xf x S xQ x Q x
= = +
Equação 1FRAÇÕES PARCIAIS
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Como o exemplo a seguir mostra, algumasvezes essa etapa preliminar é tudo de queprecisamos.
FRAÇÕES PARCIAIS
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Encontre
•
Como o grau
do numerador
é
maior
que
o grau
do denominador, primeiro
devemos
fazer
a divisão.
3
1x x dxx+−∫
Exemplo 1FRAÇÕES PARCIAIS
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•
Isso
nos
permite
escrever:
32
3 2
221 1
2 2ln | 1|3 2
x x dx x x dxx x
x x x x C
+ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= + + + − +
∫ ∫
Exemplo 1FRAÇÕES PARCIAIS
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A próxima etapa é fatorar o denominadorQ(x) o máximo possível.
É possível demonstrar que qualquerpolinômio Q pode ser fatorado como um produto de fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax2 + bx + c, onde b2 – 4ac < 0).
FRAÇÕES PARCIAIS
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Por exemplo, se Q(x) = x4 – 16, poderíamosfatorá-lo como:
2 2
2
( ) ( 4)( 4)( 2)( 2)( 4)
Q x x xx x x
= − +
= − + +
FATORANDO Q(x)
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FATORANDO Q(x)
A terceira etapa é expressar a funçãoracional própria R(x)/Q(x) (da Equação 1) como uma soma de frações parciais daforma:
ou( )+ i
Aax b 2( )
++ + j
Ax Bax bx c
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Um teorema na álgebra garante que ésempre possível fazer isso.
•
Explicamos
os
detalhes
para
os
quatro
casos
que ocorrem.
FATORANDO Q(x)
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O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos.
Isso significa que podemos escrever
Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)…(akx + bk)
onde
nenhum
fator
é
repetido
(e nenhum
fator
é
múltiplo
constante
do outro).
CASO 1
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Nesse caso o teorema das frações parciaisafirma que existem constantesA1, A2, . . . , Ak
tal que:
Essas constantes podem ser determinadascomo no exemplo seguinte.
1 2
1 1 2 2
( )( )
k
k k
AA AR xQ x a x b a x b a x b
= + + ⋅⋅⋅ ++ + +
Equação 2CASO 1
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Calcule
•
Como o grau
do numerador
é
menor
que
o grau
do denominador, não
precisamos
dividir.
Fatoramos o denominador como:
2x3
+ 3x2
– 2x
= x(2x2
+ 3x
– 2) = x(2x
– 1)(x
+ 2)
•
Como o denominador
tem três
fatores
lineares distintos.
Exemplo 22
3 2
2 12 3 2
x x dxx x x
+ −+ −∫
FRAÇÕES PARCIAIS
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A decomposição em frações parciais do integrando (2) tem a forma:
2 2 1(2 1)( 2) 2 1 2x x A B C
x x x x x x+ −
= + +− + − +
Ex.: 2 – Equação 3FRAÇÕES PARCIAIS
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Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessaequação pelo produto dos denominadores, x(2x – 1)(x + 2), obtendo:
x2
+ 2x
+ 1 = A(2x
– 1)(x
+ 2) + Bx(x
+ 2) + Cx(2x
– 1)
Ex.: 2 – Equação 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendo-a na forma-padrão para ospolinômios, temos:
x2
+ 2x
+ 1 = (2A
+ B
+ 2C)x2
+ (3A
+ 2B
–
C) –
2A
Ex.: 2 – Equação 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Os polinômios na Equação 5 são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais.
O coeficiente de x2 do lado direito, 2A + B + 2C, deve ser igual ao coeficiente de x2 do lado esquerdo, ou seja, 1.
•
Do mesmo
modo, os
coeficientes
de x são
iguais
e os termos
constantes
também.
Exemplo 2FRAÇÕES PARCIAIS
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Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C:
2A
+ B
+ 2C
= 1
3A
+ 2B
–
C
= 2
–2A
= –1
Exemplo 2FRAÇÕES PARCIAIS
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Resolvendo, obtemos:
•
A
= ½
•
B
= 1/5
•
C
= –1/10
Exemplo 2FRAÇÕES PARCIAIS
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E assim,
2
3 2
1 1 12 10 10
2 12 3 2
1 1 1 1 1 12 5 2 1 10 2
ln | | ln | 2 1| | 2 |
+ −+ −
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟− +⎝ ⎠= + − − + +
∫
∫
x x dxx x x
dxx x xx x x K
Exemplo 2FRAÇÕES PARCIAIS
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Ao integrar o termo do meio, fizemosmentalmente a substituição u = 2x – 1, queresulta em du = 2 dx e dx = du/2.
Exemplo 2FRAÇÕES PARCIAIS
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Podemos usar um método alternativo paraencontrar os coeficientes A, B e C no Exemplo 2.
A Equação 4 é uma identidade; é verdadeirapara cada valor de x.
Vamos escolher valores de x que simplificama equação.
OBSERVAÇÃO
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Se pusermos x = 0 na Equação 4, o segundo e o terceiro membros do ladodireito desaparecerão, e a equação será–2A = –1.
•
Ou
A
= ½.
OBSERVAÇÃO
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Da mesma maneira, x = ½ dá 5B/4 = 1/4 e x = –2 dá 10C = –1.
•
Assim, B
= 1/5 e C = –1/10.
OBSERVAÇÃO
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Você pode argumentar que a Equação 3 não é válida para x = 0, ½, ou –2.
•
Então, por
que
a Equação
4 deveria
ser válida
para aqueles
valores?
De fato, a Equação 4 é válida para todosos valores de x, até para x = 0, ½, e –2 .
•
Veja
o Exercício
69 para
uma
explicação.
OBSERVAÇÃO
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Encontre , onde a ≠ 0.
•
O método
das frações
parciais
dá:
•
E portanto,
2 2
dxx a−∫
2 2
1 1( )( )
A Bx a x a x a x a x a
− = +− − + − +
( ) ( ) 1A x a B x a+ + − =
Exemplo 3FRAÇÕES PARCIAIS
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Usando o método da observação anterior.
•
Colocamos
x = a nesta
equação
e obtemos
A(2a) = 1. Assim, A =
1/(2a).
•
Se pusermos
x = –a, obteremos
B(–2a) = 1. E dessa
forma, B =
–1/(2a).
Exemplo 3FRAÇÕES PARCIAIS
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Então,
2 2
1 1 121 (ln | | ln | |)
2
⎛ ⎞= −⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
= − − + +
∫ ∫dx dx
x a a x a x a
x a x a Ca
Exemplo 3FRAÇÕES PARCIAIS
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Como ln x – ln y = ln(x/y), podemosescrever a integral como:
•
Veja
os
Exercícios
55-56 para
maneiras
de usar
a Fórmula
6.
2 2
1 ln2
dx x a Cx a a x a
−= +
− +∫
Ex.: 3 – Fórmula 6FRAÇÕES PARCIAIS
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Q(x) é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos.
Suponha que o primeiro fator linear (a1x +b1) seja repetido r vezes.
•
Isto
é, (a1
x +
b1
)r
ocorre
na
fatoração
de Q(x).
CASO 2
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Então, em vez de um único termo A1/(a1x +b1) na Equação 2, usaríamos:
1 22
1 1 1 1 1 1( ) ( )r
r
A A Aa x b a x b a x b
+ + ⋅⋅⋅++ + +
Equação 7CASO 2
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Para ilustrar, poderíamos escrever:
•
Mas
é
preferível
detalhar
um exemplo
mais
simples.
CASO 2
3
2 3 2 2 3
1( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x A B C D Ex x x x x x x
− += + + + +
− − − −
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Encontre
•
A primeira
etapa
é
dividir.
•
O resultado
da
divisão
de polinômios
é:
4 2
3 2
2 4 11
x x x dxx x x− + +− − +∫
4 2
3 2
3 2
2 4 1141
1
x x xx x x
xxx x x
− + +− − +
= + +− − +
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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A segunda etapa é fatorar o denominador
Q(x) = x3 – x2 – x + 1.
•
Como Q(1) = 0, sabemos
quex – 1 é
um fator
e obtemos:
3 2 2
2
1 ( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)
x x x x xx x xx x
− − + = − −= − − +
= − +
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Como o fator linear x – 1 ocorre duas vezes.
A decomposição em frações parciais é:
2 2
4( 1) ( 1) 1 ( 1) 1
x A B Cx x x x x
= + +− + − − +
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Multiplicando pelo mínimo denominadorcomum, (x – 1)2 (x + 1), temos:
2
2
4 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 2 ) ( )
= − + + + + −
= + + − + − + +
x A x x B x C xA C x B C x A B C
Ex.: 4 – Equação 8FRAÇÕES PARCIAIS
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Agora igualamos os coeficientes:
02 4
0
+ =− =
− + + =
A CB C
A B C
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Resolvendo, obtemos:
A =
1
B =
2
C = -1
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Assim, 4 2
3 2
2
2
2
2 4 11
1 2 111 ( 1) 1
2ln | 1| ln | 1|2 1
2 1ln2 1 1
− + +− − +
⎡ ⎤= + + + −⎢ ⎥− − +⎣ ⎦
= + + − − − + +−−
= + − + +− +
∫
∫
x x x dxx x x
x dxx x x
x x x x Kx
x xx Kx x
Exemplo 4FRAÇÕES PARCIAIS
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Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete.Se Q(x) tem o fator ax2 + bx + c, onde b2 – 4ac < 0, então, além das frações parciais nasEquações 2 e 7, a expressão para R(x)/Q(x) terá um termo da forma
em que A e B são as constantes a seremdeterminadas.
CASO 3
2
Ax Bax bx c
++ +
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Por exemplo, a função dada porf(x) = x/[(x – 2)(x2 + 1)(x2 + 4) tem umadecomposição em frações parciais da forma
CASO 3
2 2
2 2
( 2)( 1)( 4)
2 1 4
− + ++ +
= + +− + +
xx x x
A Bx C Dx Ex x x
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O termo dado em (9) pode ser integradocompletando o quadrado e usando a fórmula
CASO 3 Fórmula 10
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Calcule
•
Como x3
+ 4x =
x(x2
+ 4) não
pode
ser mais
fatorado,
escrevemos:
2
3
2 44
x x dxx x− ++∫
2
2 2
2 4( 4) 4
x x A Bx Cx x x x
− + += +
+ +
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Multiplicando por x(x2 + 4), temos:
2 2
2
2 4 ( 4) ( )( ) 4
x x A x Bx C xA B x Cx A
− + = + + +
= + + +
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Igualando os coeficientes, obtemos:
A
+ B
= 2 C
= –1 4A
= 4
•
Então, A =
1, B =
1, e C = –1.
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Então,
2
3 2
2 4 1 14 4
x x xdx dxx x x x− + −⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Para integrar o segundo termo, o dividimosem duas partes:
2 2 2
1 14 4 4
x xdx dx dxx x x−
= −+ + +∫ ∫ ∫
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Fazemos a substituição u = x2 + 4 na primeiradas integrais de modo que du = 2x dx.
Calculamos a segunda integral usando a Fórmula 10 com a = 2:
Exemplo 5FRAÇÕES PARCIAIS
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Calcule
•
Como o grau
do denominador
não
é
menor
que
o do numerador, primeiro
dividimos
e obtemos.
2
2
4 3 24 4 3
− +− +∫
x x dxx x
2
2
2
4 3 24 4 3
114 4 3
x xx x
xx x
− +− +
−= +
− +
Exemplo 6FRAÇÕES PARCIAIS
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Observe que o termo quadrático 4x2 – 4x + 3 é irredutível, porque seu discriminante éb2 – 4ac = –32 < 0.
•
Isso
significa
que
este
não
pode
ser fatorado, então não
precisamos
usar
a técnica
da
frações
parciais.
Exemplo 6FRAÇÕES PARCIAIS
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Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador:
•
Isso
sugere
que
façamos
a substituição
u =
2x – 1.
•
Então, du = 2 dx, e x = ½(u + 1).
2 24 4 3 (2 1) 2− + = − +x x x
Exemplo 6FRAÇÕES PARCIAIS
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Assim,Exemplo 6FRAÇÕES PARCIAIS
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OBSERVAÇÃO
O Exemplo 6 ilustra o procedimento geralpara se integrar uma fração parcial daforma
onde2
Ax Bax bx c
++ +
2 4 0b ac− <
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Completamos o quadrado no denominador e então fazemos a substituição que traz a integral para a forma
•
Então, a primeira
integral é
um logaritmo, e a segunda é
expressa
em
termos
de tg-1.
OBSERVAÇÃO
2 2 2 2 2 2
1Cu D udu C du D duu a u a u a
+= +
+ + +∫ ∫ ∫
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Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveisrepetidos.
Se Q(x) tem um fator (ax2 + bx + c)r ondeb2 – 4ac < 0.
CASO 4
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Então, em vez de uma única fração parcial(9), a soma
ocorre
na
decomposição
em
frações
parciais
de R(x)/Q(x).
Cada um dos termos de (11) pode ser integrado primeiro completando o quadrado.
CASO 4
1 1 2 22 2 2 2( ) ( )
+ + ++ + ⋅⋅⋅+
+ + + + + +r r
r
A x B A x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c
Fórmula 11
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Escreva a forma da decomposição emfrações parciais da função
3 2
2 2 3
1( 1)( 1)( 1)
+ +− + + +
x xx x x x x
Exemplo 7FRAÇÕES PARCIAIS
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Temos:3 2
2 2 3
2 2
2 2 2 3
1( 1)( 1)( 1)
1 1 1
( 1) ( 1)
x xx x x x x
A B Cx D Ex Fx x x x x
Gx h Ix Jx x
+ +− + + +
+ += + + +
− + + ++ +
+ ++ +
Exemplo 7FRAÇÕES PARCIAIS
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Calcule
•
A forma da
decomposição
em
frações
parciais
é:
2 3
2 2
1 2( 1)
x x x dxx x
− + −+∫
2 3
2 2 2 2 2
1 2( 1) 1 ( 1)
x x x A Bx C Dx Ex x x x x
− + − + += + +
+ + +
Exemplo 7FRAÇÕES PARCIAIS
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Multiplicando por x(x2 + 1)2, temos:
3 2
2 2 2
4 2 4 2 3 2
4 3 2
2 1( 1) ( ) ( 1) ( )( 2 1) ( ) ( )
( ) (2 ) ( )
− + − +
= + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +
x x xA x Bx C x x Dx E xA x x B x x C x x Dx ExA B x Cx A B D x C E x A
Exemplo 8FRAÇÕES PARCIAIS
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Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema
•
Que
tem a solução
A
= 1, B
= –1, C
= –1, D
= 1, E
= 0.
01
2 21
1
A BC
A B DC EA
+ == −+ + =+ = −=
Exemplo 8FRAÇÕES PARCIAIS
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Então,Exemplo 8FRAÇÕES PARCIAIS
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Observamos que algumas vezes as fraçõesparciais podem ser evitadas na integraçãode funções racionais.
Por exemplo, embora a integral
possa
ser calculada
pelo
método
do Caso
III.
EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS
2
2
1( 3)x dx
x x++∫
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É muito mais fácil observar que se u = x(x2 + 3) = x3 + 3x, então du = (3x2 + 3) dx e assim
231
32
1 ln | 3 |( 3)x dx x x C
x x+
= + ++∫
EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS
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Algumas funções não racionais podem ser transformadas em funções racionais pormeio de substituições apropriadas.
•
Em
particular, quando
um integrando
contém
uma expressão
da
forma n√g(x), então
a substituição
u = n√g(x) pode
ser eficaz.
SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES
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Calcule
•
Seja
•
Então, u2
= x +
4
•
De modo
que, x =
u2
– 4 e dx = 2u du
Exemplo 9
4x dxx+
∫
4u x= +
SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES
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•
Portanto,
2
2
2
2
4 24
2442 1 4
x udx u dux u
u duu
duu
+=
−
=−
⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫
∫
Exemplo 9SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES
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Podemos calcular essa integral fatorando u2
– 4 em (u – 2)(u + 2).
Exemplo 9SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES
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E usando as frações parciais ou a Fórmula 6 com a = 2:
2
4
2 84
1 22 8 ln2 2 2
4 22 4 2ln4 2
x dxx
duduu
uu Cu
xx Cx
+
= +−
−= + ⋅ +
⋅ +
+ −= + + +
+ +
∫
∫ ∫
Exemplo 9SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES
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