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MATEMÁTICA
MÓDULO
Fundamentos Algébricos
Professor Matheus Secco
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1. PRODUTOS NOTÁVEIS1.1) QUADRADO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS:
22 2 2 2
a b k a b k 2ab 2ac 2a
1.2) QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS:2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
22 2
a b a 2ab b
22 2
a b a 2ab b
Se quisermos calcular o quadrado da soma de mais termos, ocompleta
Temos
o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados mais dudos produtos dos termos tom
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1.3) PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA:
1.4) CUBO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS:
3 3 3
3 3 3
a b a b 3ab a b
a b a b 3ab a b
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
a b a 3a b 3ab b
2 2a b a b a b
Pode ser útil escrever o cubo da soma e da diferença da s
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1.5) TRIÂNGULO DE PASCAL:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Serve para calcular (a + b)k. A linha k (a contagem inicia a par
corresponde aos coeficientes da expansão de (a + b)k.
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
a b a 4a b 6a b 4ab b
a b a 5a b 10 a b 10 a b 5ab b
a b a 6a b 15 a b 20 a b 15a b 6ab b
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2. FATORAÇÕESTÉCNICA 1 (COLOCAR EM EVIDÊNCIA): Evidenciar um termo qu
todas as parcelas de uma expressão algébrica.
TÉCNICA 2 (AGRUPAMENTO): Colocar em evidência sucessivas veze
FATORAÇÃO 1 (DIFERENÇA DE QUADRADOS):
FATORAÇÃO 2 (SOMA DE CUBOS):3 3 2 2
a b a b a ab b
ab ac bd cd a b c d b c b c a d
ab ac a b c
2 2a b a b a b
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FATORAÇÃO 3 (DIFERENÇA DE CUBOS):
FATORAÇÃO 4 (SOMA E DIFERENÇA DE POTÊNCIAS):
n n n 1 n 2 n 2 n 1x a x a x x a xa a
Para n inteiro positivo qualquer:
Para n inteiro positivo ÍMPAR:
n n n 1 n 2 n 2 n 1x a x a x x a xa a
3 3 2 2a b a b a ab b
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TÉCNICA 3 (COMPLETANDO QUADRADOS): Útil quando temos exp
assemelham muito a um quadrado. Vejamos um exemplo para assimilar a
Devemos fatorar a4 + 4b4. Para isso, escreva:2
4 4 2 2 2 4 2 2 2 2a 4b a 4a b 4b 4a b a 2b 2ab
Pela diferença de quadrados, temos que:
4 4 2 2 2 2
a 4b a 2ab 2b a 2ab 2b
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TÉCNICA 4 (EXPRESSÕES DO SEGUNDO GRAU): Para fatorar expresax2 + bx + c.
Sendo x1 e x2 as raízes de ax2 + bx + c = 0, temos que:2
1 2ax bx c a x x x x
TÉCNICA 5 (ENCONTRANDO RAÍZES DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBR
expressão algébrica na variável x se anula para x = a, então x –
aexpressão.
Se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc.
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3. INEQUAÇÕES3.1) REAIS POSITIVOS: Podemos dividir a reta real em duas parte
menores que 0 (NEGATIVOS) e os números maiores que 0 (
propriedade fundamental do conjunto dos reais positivos é: a som
de dois reais positivos ainda é um real positivo.
3.2) SIMBOLOGIA: Dizemos que a > b se a diferença a – b é p
maneira de escrever isso é b < a. Dizemos que a ≥ b se a = b ou a > b
OBSERVAÇÃO: Pensando na reta real, a > b significa que a está à
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i) TRANSITIVIDADE: Se a > b e b > c, então a > c
CUIDADO: Não podemos subtrair duas inequações!! Por exemplo, 5 > 3
pudéssemos subtrair, teríamos 5 – 0 > 3 – (-3), isto é, 5 > 6, o que é um
3.3) PROPRIEDADES:
ii) ADIÇÃO: Se a > b e c > d, então a + c > b + d
iii) MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: Se c é um número
b, então ac > bc. Agora, fique atento: se c é um número neg
então ac < bc (O SINAL INVERTE!!)
iv) INVERTENDO DESIGUALDADES: Se a > b > 0, então .1 1
a b
v) DESIGUALDADE BÁSICA: Se x é um número real, então x² ≥ 0
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