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Investigao Operacional FILAS DE ESPERA
2 Semestre 2002/2003 Exerccios resolvidos
03-04-03 1
Exerccio 7:
Num banco de ensaios de automveis cada diagnstico consiste em duas fases distintas deteste: uma primeira parte mecnica e outra parte elctrica. Um ensaio completo realizado
apenas por um especialista. O tempo no primeiro teste segue uma distribuio exponencial
negativa com mdia 10 minutos e o segundo tem uma durao que se pode considerar fixa e
igual a 10 minutos.
Foi feita uma proposta que consiste em contratar um segundo especialista, o que permitiria
alocar cada um ao seu teste especfico. O tempo de espera dos utentes, que chegam
aleatoriamente a uma taxa mdia de 2 por hora, foi valorizado em 5 /hora (os clientes ficam
espera do resultado).
Se admitir que o equilbrio j foi atingido, quais as propostas que acha aceitveis para o custo
horrio de um segundo especialista?
Resoluo:
No modelo actual de funcionamento do sistema:
Existe um nico servidor que executa os dois ensaios (mecnico e elctrico) de forma
sequencial; h portanto uma nica fila de espera dos automveis.
A chegada dos utentes ao sistema aleatria significa que segue uma distribuio de
Poisson.
A durao total dos testes (durao do servio) a soma de uma varivel dedistribuio exponencial (durao do teste mecnico) com uma constante (durao do
teste elctrico); esta varivel soma no tem distribuio exponencial!
Como o tempo de atendimento no tem distribuio exponencial, no conhecida a
distribuio dos clientes sada do sistema1, mas tal no relevante para a resoluo do
problema. Uma vez que o sistema atinge o equilbrio (como se prova adiante), a taxa de
chegada dos clientes idntica taxa de sada.
1Se o sistema fosse M/M/s, a distribuio dos clientes sada, tal como entrada, seguiria uma varivel de Poisson.
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)(ExpT1
min10
1
)T(E 1 ==
2221
min1001.0
1
1)Var(T ===
h/3min/05.0min20
1
)T(E
1====
min/1.0min10
1
==
Deste modo, o modelo que descreve o comportamento do sistema o M/G/1(um servidor,
chegadas poissonianas, atendimento com qualquer ditribuio distribuio generalizada).
Diagrama do sistema:
Definio de variveis aleatrias:
T1 durao do teste mecnico
T2 durao do teste elctrico T2= 10 min (constante)
T durao dos dois testes T = T1+ T2= T1+ 10
E(T) = E(T1+10) = E(T1) + 10 = 10 + 10 = 20 min
Var(T) = Var(T1+10) = Var(T1) = 100 min2
Taxa de atendimento:
A taxa de chegada ao sistema = 2/h, pelo que > e o sistema atinge o equilbrio ao fim
de um certo tempo.
logo
parmetro da distribuio
Teste mecnico + Teste elctricoFila
Chegadas:
distr. Poisson Atendimento:
Sadas:
distr. desconhecida
E= 2/h S= 2/h
Modelo M/G/1
soma distr. exponencialcom uma constante
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)6.(03
2==
=
A taxa de ocupao do servidor :
Custo de funcionamento do sistema2:
CF = CS+ CWW = CS+ CWL
Neste caso, para o cliente (proprietrio do automvel) todo o tempo de permanncia no
sistema tempo de espera, independentemente do automvel estar na fila de espera ou em
teste, pelo que na frmula surgem W e L, e no Wq e Lq.
Num sistema com um servidor e uma fila de espera:
2 sempre um custo por unidade de tempo de funcionamento do sistema.
Custo de espera / cliente
Custo do servio / unid. tempo
Custo de espera / unid. tempo
N mdio declientes no sistema
N clientes que entram nosistema / unid. tempo
Tempo mdio nosistema / cliente
L = W
+= LqL
N mdio declientes na fila
(taxa ocupao) = N mdio declientes em atendimento
N mdio de clientesno sistema
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ou, alternativamente
No novo modelo de funcionamento do sistema:
Existem dois servidores, alocados cada um ao seu teste especfico.
Os testes so executados sempre pela mesma ordem: o teste mecnico em primeiro
lugar e em seguida o teste elctrico.
Os automveis aguardam a execuo de cada ensaio numa fila de espera; h portanto
duas filas de espera no sistema.
Pode dividir-se o sistema em dois sub-sistemas, contendo cada um um servidor e a fila
de espera para o respectivo teste.
No primeiro sub-sistema a chegada dos clientes (coincidente com a chegada ao sistema)
segue uma distribuio de Poisson e o tempo de atendimento (durao do teste
mecnico) segue uma distribuio exponencial; desta forma aplica-se ao comportamento
deste sub-sistema o modelo M/M/1.
Os sistemas M/M/s(dos quais M/M/1 um caso particular) tm como propriedade que
a sada dos clientes ocorre tambm segundo uma distribuio de Poisson.
Desta forma, no segundo sub-sistema a chegada dos clientes (coincidente com a sada
do primeiro sub-sistema) segue uma distribuio de Poisson e o tempo de atendimento
(durao do teste elctrico) constante, pelo que se aplica o modelo M/G/1. A
distribuio dos clientes sada deste sub-sistema no conhecida, mas tal no
relevante para o problema.
min45h75.0h2
5.1
LW ====
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Diagrama do sistema:
Definio de variveis aleatrias:
W tempo de permanncia de um cliente no sistema
W1 tempo de permanncia do cliente no sub-sistema 1
W2 tempo de permanncia do cliente no sub-sistema 2
O tempo de permanncia de um cliente no sistema igual soma dos tempos de permanncia
em cada um dos sub-sistemas:
W = W1 + W2
pelo que o tempo mdio de permanncia no sistema idntico soma dos tempos mdios de
permanncia em cada sub-sistema:
E(W ) = E(W1) + E(W2) W = W1+ W2
Por outro lado, definindo as variveis aleatrias:
L nmero de clientes no sistema, num dado instante
L1 nmero de clientes no sub-sistema 1, nesse instante
L2 nmero de clientes no sub-sistema 2, nesse instante
vem
Teste mecnico
Chegadas 1:
distr. Poisson Atendimento 1:distr. exponencial
Sadas:
distr. desconhecida
E 1= 2/h S= 2/h
Modelo M/M/1
Fila 1
Chegadas 2:
distr. Poisson
Teste elctrico
Atendimento 2:
constante
Fila 2E 2= 2/h
Sub-sistema 1
Modelo M/G/1
Sub-sistema 2
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h/6min/1.0min10
1
)T(E
1
11 ====
)(ExpT1
)3.(03
1
6
2
1
11 ===
=
L = L1+ L2
e o nmero mdio de clientes no sistema idntico soma dos nmeros mdios de clientes
em cada sub-sistema:
E(L) = E(L1) + E(L2) L = L1+ L2
Nota:tambm se pode obter a expresso para L a partir da de W (e vice-versa) aplicando a
relao fundamental L = W.
Para calcular o custo de funcionamento do sistema necessrio calcular o valor de L ou de W
em cada sub-sistema:
a) Sub-sistema 1:
1 = 2/h
T1 var. aleatria durao do teste mecnico
Taxa de ocupao:
Aplicando as frmulas do modelo M/M/1:
ou, alternativamente
)6(1.0
6
1
)26(6
2
)(
Lq2
111
21
1 ==
=
=
5.02
1
26
2L
11
11 ==
=
=
5.02
1
3
1
6
1
LqL
1
111 ==+=+=
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h/6min/1.0min10
12 ===
0)Var(T 222 ==
)3.(03
1
6
2
2
22 ===
=
b) Sub-sistema 2:
2 = 2/h
T2 durao do teste elctrico T2= 10 min (constante)
Taxa de ocupao:
Aplicando as frmulas do modelo M/G/1:
c) Sistema global:
O custo de funcionamento do sistema agora:
CF = CS+ CS+ CWL = CS+ CS+ 5 / h 11/12= CS+ CS+ 4,58 / h .
)3(08.012
1
3
112
3
10
)1(2
Lq
2
2
22
22
22
2 ==
+
=
+=
)6(41.012
5
3
1
12
1LqL
2
222 ==+=
+=
)6(91.012
11
12
5
2
1LLL 21 ==+=+=
custo 1 especialista /unid. tempo
custo 2 especialista /unid. tempo
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As propostas aceitveis para o custo horrio de um segundo especialista so as que diminuem
o custo do funcionamento do sistema face situao actual, isto , aquelas em que o
acrscimo do custo do servio inferior ao decrscimo do custo de espera dos clientes:
1F2FCC <
CS+ CS+ 4,58 < CS+ 7,5
CS< 2,92 /h.
O custo horrio de um segundo especialista dever portanto ser inferior a 2,92 /h.
Para uma melhor caracterizao deste sistema, calculam-se ainda os tempos mdios de
permanncia nas filas, em cada sub-sistema e no sistema global:
a) Sub-sistema 1:
ou, alternativamente
ou, alternativamente
b) Sub-sistema 2:
min15h4
1h
)26(
11W
111 ==
=
=
min5h
12
1h
)26(6
2
)(
Wq
111
11 ==
=
=
min15min10min5
1WqW
111 =+=+=
min5.2h24
1h
212
1Lq
Wq2
22 ====
min5h12
1h
26
1Lq
Wq1
11 ====
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ou, alternativamente
c) Sistema global:
W = W1+ W2= 15 +12.5 = 27.5 min
Na tabela que se segue faz-se a comparao dos tempos mdios para os dois sistemas:
Situao actual Nova proposta
Tempo mdio (min) Tempo mdio (min)
Fila 1 (Wq1) 5
Fila 2 (Wq2) 2.5Fila (Wq) 25
Wq1+ Wq2 7.5
Servio 1 (1
1
) 10
Servio 2 (2
1
) 10Servio (
1) 20
21
11
+
20
Sistema (W) 45Sistema
(W = W1+ W1)27.5
min5.12h24
5h
212
5L
W2
22 ====
.min5.12min10min5.2
1WqW
222 =+=+=
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A tabela mostra que a reduo de cerca de 40% no tempo mdio de permanncia no sistema
com a nova proposta conseguida custa da reduo do tempo mdio que os clientes passam
nas filas de espera (reduo de 70%). O tempo mdio de atendimento, ou de servio, mantm-
se idntico: 20 min no total.
Pode ainda verificar-se o efeito da aleatoriedade do tempo de servio sobre o tamanho da fila
de espera: nos sub-sistemas 1 e 2 as chegadas tm a mesma distribuio (Poisson com taxa de
2/h) e o tempo mdio de servio idntico (10 min). No entanto, o tempo mdio dos clientes
na fila 2 metade do tempo mdio na fila 1. Este facto deve-se a que o tempo de atendimento
no segundo teste constante enquanto no primeiro teste aleatrio, com distribuio
exponencial.
A comparao dos dois sistemas com base no nmero mdio de clientes conduziria a idnticas
concluses, j que existe proporcionalidade entre os tempos mdios (nas filas, no
atendimento, no sistema) e o respectivo nmero mdio de clientes (sendo a constante de
proporcionalidade ).