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Investigao Operacional FILAS DE ESPERA

2 Semestre 2002/2003 Exerccios resolvidos

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Exerccio 7:

Num banco de ensaios de automveis cada diagnstico consiste em duas fases distintas deteste: uma primeira parte mecnica e outra parte elctrica. Um ensaio completo realizado

apenas por um especialista. O tempo no primeiro teste segue uma distribuio exponencial

negativa com mdia 10 minutos e o segundo tem uma durao que se pode considerar fixa e

igual a 10 minutos.

Foi feita uma proposta que consiste em contratar um segundo especialista, o que permitiria

alocar cada um ao seu teste especfico. O tempo de espera dos utentes, que chegam

aleatoriamente a uma taxa mdia de 2 por hora, foi valorizado em 5 /hora (os clientes ficam

espera do resultado).

Se admitir que o equilbrio j foi atingido, quais as propostas que acha aceitveis para o custo

horrio de um segundo especialista?

Resoluo:

No modelo actual de funcionamento do sistema:

Existe um nico servidor que executa os dois ensaios (mecnico e elctrico) de forma

sequencial; h portanto uma nica fila de espera dos automveis.

A chegada dos utentes ao sistema aleatria significa que segue uma distribuio de

Poisson.

A durao total dos testes (durao do servio) a soma de uma varivel dedistribuio exponencial (durao do teste mecnico) com uma constante (durao do

teste elctrico); esta varivel soma no tem distribuio exponencial!

Como o tempo de atendimento no tem distribuio exponencial, no conhecida a

distribuio dos clientes sada do sistema1, mas tal no relevante para a resoluo do

problema. Uma vez que o sistema atinge o equilbrio (como se prova adiante), a taxa de

chegada dos clientes idntica taxa de sada.

1Se o sistema fosse M/M/s, a distribuio dos clientes sada, tal como entrada, seguiria uma varivel de Poisson.

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)(ExpT1

min10

1

)T(E 1 ==

2221

min1001.0

1

1)Var(T ===

h/3min/05.0min20

1

)T(E

1====

min/1.0min10

1

==

Deste modo, o modelo que descreve o comportamento do sistema o M/G/1(um servidor,

chegadas poissonianas, atendimento com qualquer ditribuio distribuio generalizada).

Diagrama do sistema:

Definio de variveis aleatrias:

T1 durao do teste mecnico

T2 durao do teste elctrico T2= 10 min (constante)

T durao dos dois testes T = T1+ T2= T1+ 10

E(T) = E(T1+10) = E(T1) + 10 = 10 + 10 = 20 min

Var(T) = Var(T1+10) = Var(T1) = 100 min2

Taxa de atendimento:

A taxa de chegada ao sistema = 2/h, pelo que > e o sistema atinge o equilbrio ao fim

de um certo tempo.

logo

parmetro da distribuio

Teste mecnico + Teste elctricoFila

Chegadas:

distr. Poisson Atendimento:

Sadas:

distr. desconhecida

E= 2/h S= 2/h

Modelo M/G/1

soma distr. exponencialcom uma constante

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)6.(03

2==

=

A taxa de ocupao do servidor :

Custo de funcionamento do sistema2:

CF = CS+ CWW = CS+ CWL

Neste caso, para o cliente (proprietrio do automvel) todo o tempo de permanncia no

sistema tempo de espera, independentemente do automvel estar na fila de espera ou em

teste, pelo que na frmula surgem W e L, e no Wq e Lq.

Num sistema com um servidor e uma fila de espera:

2 sempre um custo por unidade de tempo de funcionamento do sistema.

Custo de espera / cliente

Custo do servio / unid. tempo

Custo de espera / unid. tempo

N mdio declientes no sistema

N clientes que entram nosistema / unid. tempo

Tempo mdio nosistema / cliente

L = W

+= LqL

N mdio declientes na fila

(taxa ocupao) = N mdio declientes em atendimento

N mdio de clientesno sistema

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ou, alternativamente

No novo modelo de funcionamento do sistema:

Existem dois servidores, alocados cada um ao seu teste especfico.

Os testes so executados sempre pela mesma ordem: o teste mecnico em primeiro

lugar e em seguida o teste elctrico.

Os automveis aguardam a execuo de cada ensaio numa fila de espera; h portanto

duas filas de espera no sistema.

Pode dividir-se o sistema em dois sub-sistemas, contendo cada um um servidor e a fila

de espera para o respectivo teste.

No primeiro sub-sistema a chegada dos clientes (coincidente com a chegada ao sistema)

segue uma distribuio de Poisson e o tempo de atendimento (durao do teste

mecnico) segue uma distribuio exponencial; desta forma aplica-se ao comportamento

deste sub-sistema o modelo M/M/1.

Os sistemas M/M/s(dos quais M/M/1 um caso particular) tm como propriedade que

a sada dos clientes ocorre tambm segundo uma distribuio de Poisson.

Desta forma, no segundo sub-sistema a chegada dos clientes (coincidente com a sada

do primeiro sub-sistema) segue uma distribuio de Poisson e o tempo de atendimento

(durao do teste elctrico) constante, pelo que se aplica o modelo M/G/1. A

distribuio dos clientes sada deste sub-sistema no conhecida, mas tal no

relevante para o problema.

min45h75.0h2

5.1

LW ====

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Diagrama do sistema:

Definio de variveis aleatrias:

W tempo de permanncia de um cliente no sistema

W1 tempo de permanncia do cliente no sub-sistema 1

W2 tempo de permanncia do cliente no sub-sistema 2

O tempo de permanncia de um cliente no sistema igual soma dos tempos de permanncia

em cada um dos sub-sistemas:

W = W1 + W2

pelo que o tempo mdio de permanncia no sistema idntico soma dos tempos mdios de

permanncia em cada sub-sistema:

E(W ) = E(W1) + E(W2) W = W1+ W2

Por outro lado, definindo as variveis aleatrias:

L nmero de clientes no sistema, num dado instante

L1 nmero de clientes no sub-sistema 1, nesse instante

L2 nmero de clientes no sub-sistema 2, nesse instante

vem

Teste mecnico

Chegadas 1:

distr. Poisson Atendimento 1:distr. exponencial

Sadas:

distr. desconhecida

E 1= 2/h S= 2/h

Modelo M/M/1

Fila 1

Chegadas 2:

distr. Poisson

Teste elctrico

Atendimento 2:

constante

Fila 2E 2= 2/h

Sub-sistema 1

Modelo M/G/1

Sub-sistema 2

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h/6min/1.0min10

1

)T(E

1

11 ====

)(ExpT1

)3.(03

1

6

2

1

11 ===

=

L = L1+ L2

e o nmero mdio de clientes no sistema idntico soma dos nmeros mdios de clientes

em cada sub-sistema:

E(L) = E(L1) + E(L2) L = L1+ L2

Nota:tambm se pode obter a expresso para L a partir da de W (e vice-versa) aplicando a

relao fundamental L = W.

Para calcular o custo de funcionamento do sistema necessrio calcular o valor de L ou de W

em cada sub-sistema:

a) Sub-sistema 1:

1 = 2/h

T1 var. aleatria durao do teste mecnico

Taxa de ocupao:

Aplicando as frmulas do modelo M/M/1:


)6(1.0

6

1

)26(6

2

)(

Lq2

111

21

1 ==

=

=

5.02

1

26

2L

11

11 ==

=

=

5.02

1

3

1

6

1

LqL

1

111 ==+=+=

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h/6min/1.0min10

12 ===

0)Var(T 222 ==

)3.(03

1

6

2

2

22 ===

=

b) Sub-sistema 2:

2 = 2/h

T2 durao do teste elctrico T2= 10 min (constante)

Taxa de ocupao:

Aplicando as frmulas do modelo M/G/1:

c) Sistema global:

O custo de funcionamento do sistema agora:

CF = CS+ CS+ CWL = CS+ CS+ 5 / h 11/12= CS+ CS+ 4,58 / h .

)3(08.012

1

3

112

3

10

)1(2

Lq

2

2

22

22

22

2 ==

+

=

+=

)6(41.012

5

3

1

12

1LqL

2

222 ==+=

+=

)6(91.012

11

12

5

2

1LLL 21 ==+=+=

custo 1 especialista /unid. tempo

custo 2 especialista /unid. tempo

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As propostas aceitveis para o custo horrio de um segundo especialista so as que diminuem

o custo do funcionamento do sistema face situao actual, isto , aquelas em que o

acrscimo do custo do servio inferior ao decrscimo do custo de espera dos clientes:

1F2FCC <

CS+ CS+ 4,58 < CS+ 7,5

CS< 2,92 /h.

O custo horrio de um segundo especialista dever portanto ser inferior a 2,92 /h.

Para uma melhor caracterizao deste sistema, calculam-se ainda os tempos mdios de

permanncia nas filas, em cada sub-sistema e no sistema global:

a) Sub-sistema 1:



b) Sub-sistema 2:

min15h4

1h

)26(

11W

111 ==

=

=

min5h

12

1h

)26(6

2

)(

Wq

111

11 ==

=

=

min15min10min5

1WqW

111 =+=+=

min5.2h24

1h

212

1Lq

Wq2

22 ====

min5h12

1h

26

1Lq

Wq1

11 ====

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c) Sistema global:

W = W1+ W2= 15 +12.5 = 27.5 min

Na tabela que se segue faz-se a comparao dos tempos mdios para os dois sistemas:

Situao actual Nova proposta

Tempo mdio (min) Tempo mdio (min)

Fila 1 (Wq1) 5

Fila 2 (Wq2) 2.5Fila (Wq) 25

Wq1+ Wq2 7.5

Servio 1 (1

1

) 10

Servio 2 (2

1

) 10Servio (

1) 20

21

11

+

20

Sistema (W) 45Sistema

(W = W1+ W1)27.5

min5.12h24

5h

212

5L

W2

22 ====

.min5.12min10min5.2

1WqW

222 =+=+=

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A tabela mostra que a reduo de cerca de 40% no tempo mdio de permanncia no sistema

com a nova proposta conseguida custa da reduo do tempo mdio que os clientes passam

nas filas de espera (reduo de 70%). O tempo mdio de atendimento, ou de servio, mantm-

se idntico: 20 min no total.

Pode ainda verificar-se o efeito da aleatoriedade do tempo de servio sobre o tamanho da fila

de espera: nos sub-sistemas 1 e 2 as chegadas tm a mesma distribuio (Poisson com taxa de

2/h) e o tempo mdio de servio idntico (10 min). No entanto, o tempo mdio dos clientes

na fila 2 metade do tempo mdio na fila 1. Este facto deve-se a que o tempo de atendimento

no segundo teste constante enquanto no primeiro teste aleatrio, com distribuio

exponencial.

A comparao dos dois sistemas com base no nmero mdio de clientes conduziria a idnticas

concluses, j que existe proporcionalidade entre os tempos mdios (nas filas, no

atendimento, no sistema) e o respectivo nmero mdio de clientes (sendo a constante de

proporcionalidade ).

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