Números Complexos

Os números naturais, inteiros, racionais e irracionais onde com a união destes conjuntos temos os números reais. Porém com o longo do processo evolutivo da Matemática, atendendo as necessidades da sociedade, onde buscando novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau.Exemplo:

x2 + 2x + 5 = 0Onde aplicando o teorema de bháskara obtemos a seguinte raiz:

x =

Note que ao desenvolvermos o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1. Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Observe o processo:

Logo assim observamos que na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções.Exemplo:

2x + 7 = 0Vamos ter com resultado a seguinte solução dada por x = -7/2. Assim, o conjunto da solução será S = {7/2} Porém se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é: S = Ǿ = {}De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2 + 2x + 5 = 0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio. O que

significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -16, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns obteremos.

x = R [-16] =

Onde R[-16] é a raiz quadrada do número real -4. Isto parece não ter significado prático e foi esta a razão que este número foi chamado de imaginário, mas o simples fato de substituir R [-16] é fatorando e acrescentando o -1 na raiz para que seja substituído pela letra i (unidade imaginaria) e realizar operações como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto não leva á teoria dos números complexos.Definição:Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma:

Z = a + biOnde a e b são números reais e i é a unidade imaginaria. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginaria do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = lm(z)

Número complexo Parte real Parte imaginaria2 + 3i 2 32 2 0-3 0 -3

Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:

z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)iz.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:

a + b xc + d x X_________________ac + bcx adx + bdx²______________________ac + (bc+ad)x + bdx²

De forma que devemos substituir x2 por -1.

Exemplos:

1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.

Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:

Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9

Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1