Matemática para jogos 1Aula 2
Matrizes: Tipos, operações e propriedades Mark Joselli
Apresentação
● O estudo das matrizes possibilita o tratamento de dados de forma simplificada
● Permitindo, dentre outras coisas, a fácil visualização da informação.
Apresentação
● A manipulação de matrizes está presente em todas as áreas de conhecimento, como Matemática, Humanas, Saude e games.
● Nesta aula, abordaremos temas que dizem respeito a definição de matrizes, os tipos mais comuns e tambem suas operações básicas.
Objetivos
● Saber identificar e montar uma matriz.● Reconhecer e manipular os diversos tipos de
matrizes.● Aplicar as operações entre matrizes e entre
escalares e matrizes adequadamente.● Reconhecer e saber recorrer as propriedades a
fim de reduzir cálculos.
Definição
● Uma matriz e um conjunto de dados dispostos em uma tabela onde cada dado e referen- ciado por linhas e colunas.
● A arrumação dos dados dessa forma permite não apenas sua organização, mas tambem possibilita novas maneiras de manipular esses dados.
● As matrizes podem ser compostas de qualquer tipo de numeros (reais ou complexos), de funções e ate de submatrizes.
● Para identificar uma matriz, nos precisamos conhecer algumas informações: representação, ordem e termo geral.
Ordem
● A ordem da matriz informa sobre o seu tamanho e faz menção a quantidade de linhas e colunas que ela contem.
m x n → m linhas e n colunas ordem n ● Quando uma matriz apresenta o mesmo
numero de linhas e colunas diz que a matriz tem ordem n (n = numero de linhas = numero de colunas).
Termo geral
● Algumas matrizes possuem certa relação entre seus elementos.
● Quando for possivel escrever todos os elementos de uma matriz atraves de uma regra, então a matriz possui um termo geral ( a
ij), onde i indica a linha e j, a coluna.
Exemplo
● Sabendo que a matriz B tem ordem 2x3 e que seu termo geral e dado por b
ij=i+2j, encontre B.
Exemplo
● Sabendo que a matriz B tem ordem 2x3 e que seu termo geral e dado por b
ij=i+2j, encontre B.
● Como o numero de linhas e igual a 2, e o numero de colunas igual a 3, então sabemos que o indice i varia de 1 ate 2 e o indice j de 1 ate 3. Logo, a matriz terá a forma:
Exemplo
● Encontrando os elementos ( bij = i+2j ):
b11
=1+2·1=3
b12
=1+2·2=5
b13
=1+2·3=7
b21
=2+2·1=4
b22
=2+2·2=6
b23
=2+2·3=8
Forma Geral
● Uma forma geral para escrever qualquer matriz e representar com linhas (m) e colunas (n) genericas:
Tipos de Matrizes
● Existem algumas matrizes que possuem caracteristicas especiais
● Estas matrizes podem facilitar alguns cálculos ou análises em determinadas situações.
Matriz Nula
● Matriz onde todos os seus elementos são zero, ou seja, seu termo geral e sempre zero, qualquer que seja i e j.
aij =0 ∀i,j
Matrix Quadrada
● Matriz onde a quantidade de linhas e igual a quantidade de colunas.
● Considerando as matrizes quadradas, denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que apresentam i = j (a
11, a
22, a
33, ... a
nn).
m=n ∴ An
Matriz Diagonal
● Matriz onde os elementos da diagonal principal são não nulos e os fora da diagonal principal são nulos.
a=0 Se i =j
●Matriz identidade - I
● Matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os fora da diagonal principal são nulos.
● aij =1 Se i = j
● aij=0 Se i = j
Matriz transposta - At, A'
● A matriz transposta e obtida a partir de qualquer matriz trocando-se as linhas pelas colunas.
● Faz–se aij=a
ji
Matriz simetrica
● Uma matriz e simetrica se ela for igual a sua transposta.
● Se A=At (se aij =a
ji)
Operações com matrizes: Soma
● Para que seja possivel somar duas ou mais matrizes, e necessário que todas as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que tambem será compartilhada com a matriz resultante.
● Cm×n
= Am×n
+ B
● cij= a
ij+ b
ij Onde a
ij e b
ij são os termos das
matrizes A e B
w11
+zt11
= 1 + 3 = 4
w12
+zt12
= -2 + 2 = 0
w13
+zt13
= 0 + 4 = 4
w21
+zt21
= 0 +(-1) = -1
w22
+zt22
= 3 + 0 = 3
w23
+zt23
= -1 + 1 = 0
R=[ 4 0 4−1 3 0]
Propriedades da soma
● Considerando as matrizes A, B C e 0:● A + B = B + A(Comutativa)● A + ( B + C) = ( A + B ) + C (Associativa)● A + 0 = A (Elemento nulo)
Operações com matrizes: Diferença
● Para que seja possivel subtrair duas ou mais matrizes, e necessário que todas as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que tambem será compartilhada com a matriz resultante.
● Cm×n
= Am×n
- B
● cij= a
ij- b
ij Onde a
ij e b
ij são os termos das
matrizes A e B
Multiplicação por escalar
● Para multiplicar um escalar K por uma matriz, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar.
k.A=[k.a11 k.a12
k.a21 k.a22]
Propriedades da multiplicação por escalar
● Considerando as matrizes Amxn
, Bmxn
matrizes e K
1 e K
2 escalares:
K1 (A +B)=K
1A+K
1B
(K1 +K
2 )A=K
1A+K
2A
0.A = 0 (0 – escalar e 0 – matriz nula)
K1 (K
2A)=(K
1K
2 )A
Multiplicação entre matrizes
● Para que seja possivel multiplicar duas matrizes, e necessário observar a ordem das matrizes envolvidas.
● Sejam Amxn
e Bpxq
, a multiplicação A.B apenas será possivel se n=p, já a multiplicação B.A apenas será possivel se q=m.
● Sendo C = A.B e os termos gerais de A e B, respectivamente, a
ij e b
ij, o termo geral de C e
dado por:● Onde p e o numero de colunas de A que deve
ser o mesmo numero de linhas de B.
Exemplo
●
●
●
● H.G e possivel? Não, pois o numero de colunas de H e diferente de o numero de linhas de G
Propriedades gerais
● Considerando as matrizes A, B, C, a matriz nula 0, o escalar K, a matriz identidade I e que as operações sejam possiveis.
● AI=IA=A● A(B + C)=AB+AC● (A+B).C=AC+BC ● A(BC)=(AB)C● A0=0A=0
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