Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares

Aula 14

Definição de matrizes;

Tipos de matrizes;

Operações com matrizes;

Propriedades;

Exemplos e exercícios. 1

MatrizesDefinição:

2

Matrizes

3

4

Tipos de matrizes1. Matriz linha: é a matriz mxn que possui m = 1.

5201: AExemplo

2. Matriz coluna: é a matriz mxn que possui n = 1. 1

: 3

7

Exemplo A

3. Matriz quadrada: é a matriz mxn na qual m = n. 11 12 13

21 22 23

31 32 33

:

a a a

Exemplo A a a a

a a a

4. Matriz retangular: é a matriz mxn na qual m ≠ n. 3 1

: 0 2

4 8

Exemplo A

5

Tipos de matrizes5. Matriz nula: é a matriz mxn que possui todos elementos iguais a zero.

6. Matriz triangular: é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

7. Matriz diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.

8. Matriz Identidade: uma matriz quadrada (Aij)mxn é dita identidade se e somente se aij = 1 se i=j e aij = 0 se i ≠ j.

0 0 0:

0 0 0Exemplo A

2 0 0

: 4 5 0

3 1 3

Exemplo A

2 0 0

: 0 5 0

0 0 3

Exemplo A

1 0 0

: 0 1 0

0 0 1

Exemplo A

6

8. Matriz oposta: é a matriz mxn que possui todos os elementos com sinal oposto a matriz original.

0 231A

1 3A2 0

9. Matriz transposta: é a matriz nxm na qual os elementos da linha da matriz eram elementos da coluna da matriz original mxn.

:Exemplo

513102A

t

2 3

A 0 1

1 5

:Exemplo

10. Matriz simétrica: é a matriz mxn tal que: tAA

2 1 3

: 1 5 4

3 4 7

Exemplo A

3223

3113

2112

:

aa

aa

aa

OBS

11. Matriz anti-simétrica: é a matriz mxn tal que: tA A

0 1 3

: 1 0 4

3 4 0

Exemplo A

12 21

13 31

23 32

11 22 33

:

0

OBS

a a

a a

a a

a a a

Tipos de matrizes

7

Tipos de matrizesExemplo: Dadas as matrizes A e B:

f32

e01-

2-dc

Be

523

21a

b42

A

Sabendo que A é simétrica e B anti-simétrica, determine o valor de S.

S = a + b + c + d + e + f

A é simétrica a = 4 e b = 3.

B é anti-simétrica d = 1, e = –3, c = f = 0

Portanto, S = 4 + 3 + 0 + 1 + (– 3) + 0 = 5.Resposta: 5

Solução:

8

Operações com matrizes

Duas matrizes são iguais quando elas tiverem o mesmo "tipo" e apresentar todos os

elementos correspondentes iguais.

Exemplo: Calcule x, y e z de modo que se tenha

82

14

zyx

yxx2

x2 = 4 x = ± 2x = 2x = 2

x – y = 1 y = 1x = 2

y + z = 8 z = 7y = 1

1. Igualdade de matrizes:

9

Operações com matrizes2. Adição e subtração de matrizes:

Exemplo: Sendo 2C.B-Aobtenha,10

21Ce

14

11-B,

31

02A

10

212

14

11-

31

02

3 -1 2 4

-3 2 0 2

43-

35

Solução:

10

Operações com matrizes

Exemplo: Dadas as matrizes:

20

42Be

22

20A

Obtenha a matriz X tal que 2 X⋅ t + 2 A = B⋅

2⋅Xt = B – 2A

A)2(B2

1Xt

t 2 0 1 01

X-4 -2 -2 -12

1 -2Resposta : X

0 -1

Solução:

11

Operações com matrizes3. Multiplicação de matrizes por escalar:

:Exemplo

Exemplos ...

12

Operações com matrizes4. Multiplicação de matrizes:

Sejam as matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)n x p. Define-se produto de A por B (nesta ordem) como sendo a matriz C = (cij)m x p onde cada elemento cij de C é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B e somando-se os produtos obtidos.

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj

Observamos que: Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

=

A.B

Am x n · Bn x p

m x p

= Cm x p

13

Operações com matrizesExemplo: Obter o produto das matrizes em cada caso abaixo.

1

3

1

0

1

2

212

011a)

2 x 275

43

01-

11

23

1-2b)

2 x 231

23

Exemplo: Qualificar como V (verdadeiro) ou F (falso).

a) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B, então existe o produto de B

por A.

b) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B e existe o produto de B por

A, então AB = BA.

c) ( ) Existe o produto da matriz A pela transposta de A.

d) ( ) Se o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz nula, então A ou B é

nula.d) resolução

00

00

1-1-

11

11

11

14

Operações com matrizes

Exemplo: Dadas as matrizes

1-

2e

1-1

02A B

obtenha a matriz X tal que A.X = B.

=A2 x 2 ⋅ X2 x 1

2 x 1

Solução:

b

aXseja

1-

2

b

a

1-1

02

2.a + 0.b = 2 → a = 11.a – b = – 1 → b = 2

2

1XLogo,

15

Propriedades

16

Propriedades

17

Exercícios 1.

2.

3.

18

Exercícios

19

Exercícios 4.

5.

6.

7.

20

Exercícios8. O valor de x para que as matrizes

40

x4Be

41

3-2A

sejam comutáveis é:

a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2

41

3-2

40

x4

40

x4

41

3-2 8

8 2x -12 x -12 4x

4 x 16 4 160x

9. Considere a matriz . Sabendo-se que , conclui-se que o número real

a pode ser:

80

08M2

a-b

0aM

a) b) c) 2 d) – e) –32 22 2 3

80

08

a-b

0a

a-b

0a

80

08

a0

0a2

2

8aLogo, 2 22a

Lista exercícios ...

Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares

Aula 15

Definição de sistema linear;

Método de Gauss-Jordan;

Exemplos e exercícios.

21

22

Sistemas lineares

23

Sistemas lineares

24

Sistemas lineares

25

Sistemas linearesExemplo 1:

Exemplo 2: Em um estacionamento temos motos e carros. A soma das unidades no estacionamento é igual a 20. A quantidade de pneus no estacionamento é igual a 60. Qual a quantidade de carros e motos neste estacionamento?

x + y = 20 x = carros ; y = motos 4x + 2y = 60

A solução do sistema acima é x = 10 e y = 10 (verifique) .

26

Sistemas linearesExemplo 3:

27

Sistemas linearesSolução de uma equação linear:

A solução de uma equação linear a1α1 + a2α2 + ... + anαn = b é toda ênupla (seqüência de n elementos) de números (α1, α2, ...,αn ) t al que a sentenca a1α1 + a2α2 + ... + anαn = b seja verdadeira.

Se não existe tal ênupla, dizemos que a equação é impossível.Exemplos ...

Classificação de um sistema linear:

Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que existir.

• SPD ( Sistema possível e determinado): é todo sistema que admite uma única solução.

• SPI (Sistema Possível e indeterminado): é todo sistema que admite mais de uma solução. Se um sistema admite mais de uma solução então ele admite infinitas soluções.

• SI (Sistema indeterminado): é todo sistema linear que não admite solucao alguma.

Exemplos ...

28

Sistemas linearesSistema linear homogêneo:

Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos ( bn = 0 em (1) ), o sistema é chamado homogêneo.

( 1 )

Uma solução evidente deste sistema homogêneo é a chamada solução trivial, na qual todas as variáveis são tomadas como nulas.

Num sistema linear homogêneo existe, sempre, pelo menos uma solução que é a trivial, que consiste em todas as variáveis iguais a zero. Se existirem outras, além da trivial, são chamadas de não-triviais.

Exemplos ...

= 0= 0

= 0

Exercícios ...

29

Solução de sistemas lineares1. Método de Gauss-Jordan

30

Gauss-Jordan

31

Gauss-Jordan

32

Gauss-Jordan

33

Gauss-Jordan

Exemplo:

34

Gauss-JordanExemplo:

35

Gauss-Jordan

36

Gauss-JordanExemplo:

37

Gauss-Jordan

38

Gauss-Jordan

39

Exercícios1.

2.

40

Exercícios

3.

4.

5.

6.

Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares

Aula 15

Método Fatoração LU

Método da matriz inversa;

Exemplos e exercícios.

41

42

Fatoração LU

43

Fatoração LU

Exemplo:

44

Exercícios1.

2.

Determine a solução da matriz formada pelo sistema abaixo, usando o método fatoração LU.

Seja a matriz A formada por

,

resolva o sistema AX=B pelo método fatoração LU e pelo método escada, comparando os resultados.

OBS: A matriz dos coeficientes deste sistema é dada por: B = [1 2 4]T

45

Matriz inversa Uma pequena modificação no método de Gauss-Jordan dá origem a um método para determinar a inversa de uma matriz. Neste caso, ao invés de adicionar apenas um vetor à matriz aumentada, adiciona-se a matriz identidade do lado direito de A, resultando [ A ⁞ I ].

Uma sucessão de operações com as linhas é realizada para eliminar tanto os elementos acima como os abaixo da diagonal da matriz aumentada. O objetivo é obter a matriz identidade do lado esquerdo e os vetores solucão do lado direito da matriz aumentada, resultando [ I ⁞ inv(A) ].

Esquema:

46

Matriz inversa

47

Matriz inversa

48

Matriz inversa

49

Matriz inversa

50

Matriz inversa

51

Matriz inversaExemplo 3:

52

Exercícios1.

2.

3.

53

Exercícios4.

5.

Referência Bibliógráfica

• Material de apoio da disciplina de Equações Diferenciais. Professora Daniela Buske.

54