Matemática para jogos 1Aula 2

Matrizes: Tipos, operações e propriedades Mark Joselli

Mark.joselli@pucpr.br

Apresentação

● O estudo das matrizes possibilita o tratamento de dados de forma simplificada

● Permitindo, dentre outras coisas, a fácil visualização da informação.

Apresentação

● A manipulação de matrizes está presente em todas as áreas de conhecimento, como Matemática, Humanas, Saude e games.

● Nesta aula, abordaremos temas que dizem respeito a definição de matrizes, os tipos mais comuns e tambem suas operações básicas.

Objetivos

● Saber identificar e montar uma matriz.● Reconhecer e manipular os diversos tipos de

matrizes.● Aplicar as operações entre matrizes e entre

escalares e matrizes adequadamente.● Reconhecer e saber recorrer as propriedades a

fim de reduzir cálculos.

Definição

● Uma matriz e um conjunto de dados dispostos em uma tabela onde cada dado e referen- ciado por linhas e colunas.

● A arrumação dos dados dessa forma permite não apenas sua organização, mas tambem possibilita novas maneiras de manipular esses dados.

● As matrizes podem ser compostas de qualquer tipo de numeros (reais ou complexos), de funções e ate de submatrizes.

● Para identificar uma matriz, nos precisamos conhecer algumas informações: representação, ordem e termo geral.

Representação

● A forma para representarmos uma matriz será utilizando parenteses ou colchetes:

Ordem

● A ordem da matriz informa sobre o seu tamanho e faz menção a quantidade de linhas e colunas que ela contem.

m x n → m linhas e n colunas ordem n ● Quando uma matriz apresenta o mesmo

numero de linhas e colunas diz que a matriz tem ordem n (n = numero de linhas = numero de colunas).

Termo geral

● Algumas matrizes possuem certa relação entre seus elementos.

● Quando for possivel escrever todos os elementos de uma matriz atraves de uma regra, então a matriz possui um termo geral ( a

ij), onde i indica a linha e j, a coluna.

Exemplo

● Sabendo que a matriz B tem ordem 2x3 e que seu termo geral e dado por b

ij=i+2j, encontre B.

Exemplo

● Sabendo que a matriz B tem ordem 2x3 e que seu termo geral e dado por b

ij=i+2j, encontre B.

● Como o numero de linhas e igual a 2, e o numero de colunas igual a 3, então sabemos que o indice i varia de 1 ate 2 e o indice j de 1 ate 3. Logo, a matriz terá a forma:

Exemplo

● Encontrando os elementos ( bij = i+2j ):

b11

=1+2·1=3

b12

=1+2·2=5

b13

=1+2·3=7

b21

=2+2·1=4

b22

=2+2·2=6

b23

=2+2·3=8

Forma Geral

● Uma forma geral para escrever qualquer matriz e representar com linhas (m) e colunas (n) genericas:

Tipos de Matrizes

● Existem algumas matrizes que possuem caracteristicas especiais

● Estas matrizes podem facilitar alguns cálculos ou análises em determinadas situações.

Matriz coluna

● Matriz formada por apenas uma coluna.●

Matriz Linha

● Matriz formada por apenas uma linha.

Matriz Nula

● Matriz onde todos os seus elementos são zero, ou seja, seu termo geral e sempre zero, qualquer que seja i e j.

aij =0 ∀i,j

Matrix Quadrada

● Matriz onde a quantidade de linhas e igual a quantidade de colunas.

● Considerando as matrizes quadradas, denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que apresentam i = j (a

11, a

22, a

33, ... a

nn).

m=n ∴ An

Matriz Diagonal

● Matriz onde os elementos da diagonal principal são não nulos e os fora da diagonal principal são nulos.

a=0 Se i =j

●Matriz identidade - I

● Matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os fora da diagonal principal são nulos.

● aij =1 Se i = j

● aij=0 Se i = j

Matriz transposta - At, A'

● A matriz transposta e obtida a partir de qualquer matriz trocando-se as linhas pelas colunas.

● Faz–se aij=a

ji

Matriz simetrica

● Uma matriz e simetrica se ela for igual a sua transposta.

● Se A=At (se aij =a

ji)

● Uma matriz e antissimetrica se ela for igual a menos sua transposta.

● Se A =–At (se aij =–a

ji)

Operações com matrizes: Soma

● Para que seja possivel somar duas ou mais matrizes, e necessário que todas as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que tambem será compartilhada com a matriz resultante.

● Cm×n

= Am×n

+ B

● cij= a

ij+ b

ij Onde a

ij e b

ij são os termos das

matrizes A e B

Exemplo

● Quanto e W +Zt?

w11

+zt11

= 1 + 3 = 4

w12

+zt12

= -2 + 2 = 0

w13

+zt13

= 0 + 4 = 4

w21

+zt21

= 0 +(-1) = -1

w22

+zt22

= 3 + 0 = 3

w23

+zt23

= -1 + 1 = 0

R=[ 4 0 4−1 3 0]

Propriedades da soma

● Considerando as matrizes A, B C e 0:● A + B = B + A(Comutativa)● A + ( B + C) = ( A + B ) + C (Associativa)● A + 0 = A (Elemento nulo)

Operações com matrizes: Diferença

● Para que seja possivel subtrair duas ou mais matrizes, e necessário que todas as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que tambem será compartilhada com a matriz resultante.

● Cm×n

= Am×n

- B

● cij= a

ij- b

ij Onde a

ij e b

ij são os termos das

matrizes A e B

Exemplo

A=[3 45 −3]B=[ 1 2

−2 4]

A−B=[ 3−1 4−25−(−2) −3−4]=[2 2

7 −7]

Multiplicação por escalar

● Para multiplicar um escalar K por uma matriz, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar.

k.A=[k.a11 k.a12

k.a21 k.a22]

Propriedades da multiplicação por escalar

● Considerando as matrizes Amxn

, Bmxn

matrizes e K

1 e K

2 escalares:

K1 (A +B)=K

1A+K

1B

(K1 +K

2 )A=K

1A+K

2A

0.A = 0 (0 – escalar e 0 – matriz nula)

K1 (K

2A)=(K

1K

2 )A

Multiplicação entre matrizes

● Para que seja possivel multiplicar duas matrizes, e necessário observar a ordem das matrizes envolvidas.

● Sejam Amxn

e Bpxq

, a multiplicação A.B apenas será possivel se n=p, já a multiplicação B.A apenas será possivel se q=m.

● Sendo C = A.B e os termos gerais de A e B, respectivamente, a

ij e b

ij, o termo geral de C e

dado por:● Onde p e o numero de colunas de A que deve

ser o mesmo numero de linhas de B.

Exemplo

●

●

●

● H.G e possivel?

Exemplo

●

●

●

● H.G e possivel? Não, pois o numero de colunas de H e diferente de o numero de linhas de G

Exemplo

●

●

●

● E G.H?

Exemplo

●

●

●

● E G.H? Sim!

Propriedades gerais

● Considerando as matrizes A, B, C, a matriz nula 0, o escalar K, a matriz identidade I e que as operações sejam possiveis.

● AI=IA=A● A(B + C)=AB+AC● (A+B).C=AC+BC ● A(BC)=(AB)C● A0=0A=0

Propriedades (cont.)

● A e simetrica se A=At

● (A+B)t =At +Bt

● ( At )t = A● (kA)t=kAt

● (AB)t=BtAt