Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 1
UNIDADE 1
REGRA DE TRÊS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o
aumento uma delas implica no aumento da outra na mesma
razão.
Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00
3 kg de alimento custam R$ 45,00
5kg de alimento custam R$ 75,00
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o
aumento der uma delas implica na diminuição da outra na
mesma razão.
Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias
4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias
6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias
APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS
Regra de Três Simples
Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o
qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo
“duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente
proporcionais. Este processo consiste no seguinte:
Identificar as grandezas envolvidas no problema.
Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las
em colunas.
Verificar se são GDP ou GIP.
Montar a proporção correspondente.
Resolver a proporção.
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo matemático mediante o
qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três
ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior
(Regra de três simples), levando em consideração apenas o item
da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da
seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em
relação à que possui a variável. A montagem e resolução da
proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de
Três Simples).
PORCENTAGEM
PORCENTAGEM
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas
razões centesimais.
Exemplo: ;100
27;
100
13 etc.
Noção Intuitiva
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por
cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são
analfabetos.
Cálculo de uma porcentagem
Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”
pois 25% = 100
25= 0,25
Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00
Definição
Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo
símbolo % que significa “por cento”.
Exercícios de Sala
1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o
preço de 25Kg do mesmo produto?
2. Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em
30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em quanto
tempo será construída a mesma casa?
3. Calcular
a) 60% de 30 b) 30% de 20
c) 20% de 300 d) 20% de 20%
e) (20%)2 f) %4
4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da população.
Então a população da cidade é de:
a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes
c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes
e) 900 000 habitantes
Tarefa Mínima
1. Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, quantos
custarão oitenta litros do mesmo combustível?
2. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa,
quanto tempo levarão para construí-la 10 pedreiros?
3. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez
dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-
se: para quantos dias terão suprimentos, considerando-os
inalteráveis?
4. Calcular as seguintes porcentagens:
a) 25% de 80 b) 4% de 50
c) 120% de 200 d) 0,15% de 400
e) 20% de 30% f) (5%)2
g) %49
5. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A
porcentagem de reprovação foi de:
a) 30% b) 40% c) 50%
d) 60% e) 70%
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 2
6. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se
15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas as provas.
O percentual de abstenção foi:
7. Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve
um aumento de 40%?
a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00
d) 116,00 e) 98,00
8. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale:
a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009
d) 0,009 e) n.d.a.
Tarefa Complementar
9. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois
minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
10. Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia
constroem uma residência em cento e oitenta dias. Quantos
operários serão necessários para fazer a mesma residência,
trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?
a) 18 b) 10 c) 19
d) 20 e) 21
11. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de
alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão
consumidos em quantos dias?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
12. (UFSC) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 de
parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais
uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda
lata, em porcentagem, é:
13. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum
tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00. Determine o
percentual de aumento obtido em seu capital inicial.
14. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água
apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à
evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o
volume de água evaporada.
15. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês.
Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que pode
ser pago a vista ou em três parcelas de R$ 34.000,00, sendo a
primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá
lucrando se fizer a compra parcelada.
02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um
desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10
questões, porém superior a obter 5 acertos numa prova de 9
questões.
04. Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero, sua área
fica também duplicada.
08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias
para fazer determinado trabalho, então 3 impressoras (com a
mesma eficiência das anteriores) trabalhando 8 horas por dia
levarão 6 dias para fazer o mesmo trabalho.
UNIDADE 2
FATORIAL Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se
por n! a expressão:
n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos:
5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120
4! = 4. 3. 2. 1 = 24
3! = 3. 2. 1 = 6
2! = 2. 1 = 2
1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)
Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator
conveniente. Veja:
8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!
4!
6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!
5!
n ! = n. (n 1).(n 2) !
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio
multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de
um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever
todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:
Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
independentes de modo que:
E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
:
:
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do
evento ocorrer.
ARRANJO
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os
pares ordenados a partir do conjunto K.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);
(2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)
Observe que esses agrupamentos diferem
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 3
Pela natureza dos elementos componentes:
(2, 3) (1,4)
Pela ordem dos elementos:
(1, 3) (3, 1)
A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n
elementos tomados p a p, e é indicado por
.
Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p
cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n
disponíveis.
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO
ARRANJO COM REPETIÇÃO A
* n,p = n
p
Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos
números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?
Resolução: A*5, 3 = 53 = 125
Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.
ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES)
Anpn
n p
Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos
números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?
Resolução: A5,3 = 5
5 3
5 4 3 2
260
Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.
Exercícios de Sala
1. Calcular o valor de
a) 10
8 b)
11!
11!12!
2. Resolver as equações:
a) (n 3) ! = 720 b) n
n
3
120
3. Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e
Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as
possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares?
4. Quantas placas para identificação de veículos podem ser
confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras,
supondo que não há nenhuma restrição.)
5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos
números com quatro algarismos distintos podemos formar a
partir do conjunto K?
Tarefa Mínima
1. Calcular 5
3 2.
2. Resolver as equações abaixo:
a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600
c) (n - 2)! = 720
3. Ache a solução da equação 12)!3(
!1
x
x
4. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um
terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto
D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem
para ir do ponto A ao ponto D?
a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080
5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100
participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar
e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser
distribuídos esses prêmios?
a) 199 b) 200 c) 4.950
d) 9.900 e) 10.000
6. Telefones de uma cidade possui 6 dígitos (1ºnunca é zero).
Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no
número de telefones?
a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103
Tarefa Complementar
7. Qual o valor de n que satisfaz a equação
n n
n
1
25
8. Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1
9. (UFPA) Simplificando n n
n
1
2 obtém-se:
a) 1
2n b) n + 1
c) n+2 d) 1
1n
e) n
10. (FSBEF-DF) Sendo m m
m
1
2
1
10 e tendo em vista
que m > 0, o valor de m é:
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 4
11. Se (n 6)! = 720, então n é igual a:
12. (F.Dom Bosco-DF) A expressão 3! 2! 2! É equivalente à
expressão:
a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4!
13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países,
as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que
se classificariam nos três primeiros lugares Se, em cada
tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas
diferentes poderiam existir?
a) 69 b) 2.024
c) 9.562 d) 12.144
e) 13.824
14. (UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos
entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando
somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem
algarismos repetidos, é:
15. (PUC-SP) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros
que não se alteram quando é invertida a ordem de seus
algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de
palíndromos com cinco algarismos é:
a) 450 b) 1000
c) 900 d) 2500
e) 5000
UNIDADE 3
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II -
PERMUTAÇÕES Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem
repetição, estamos montando grupos com todos os elementos
disponíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento é
denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por
Pn. Considere então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações
com esses elementos são:
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2),
(3, 2, 1).
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Pn = n!
Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos
distintos podemos formar com os números usando os algarismos
{ 2, 5, 6, 7}.
Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
Logo, pode-se formar 24 números com 4
algarismos distintos.
Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.
Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S,
C e O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é
dado por:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras
que compõem a palavra VASCO.
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um
dos deles repete vezes, outro vezes e assim por diante, até
que um elemento repita vezes. O número de permutações
possíveis é dado pela expressão:
Pn.... n
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ARARA.
Resolução: n = 5 = 3 = 2
P53, 2 =
5
3 2=10
Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras
que compõem a palavra ARARA.
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -
COMBINAÇÕES
Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.
Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes
elementos.
{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.
Observe que esses agrupamentos diferem
Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}
{1, 4}
Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}
Esses tipos de agrupamentos são chamados de COMBINAÇÃO
de n elementos tomados p a p, e são indicados por
Cnp ou Cnp
.
Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo
subconjunto de p elementos.
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO
O número de combinações simples dos n elementos tomados p a
p é dado pela expressão:
Cnpn
n p p
Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com
um grupo de 10 pessoas.
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 5
Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas
escolhidas entre as 10, logo:
C10,3 = 10
10 3 3
10 9 8 7
7 3 21 120
Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas
com um grupo de10 pessoas.
Exercícios de Sala
1. Quantos são os anagramas das palavras:
a) ROMA
b) ESCOLA
c) BANANA.
d) MATEMATICA
2. Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que
aparecem as letra E e X sempre juntas?
3. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5
alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?
4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência. Quantos
triângulos com vértices nesses pontos podemos obter?
Tarefa Mínima
1. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar
com os números utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}.
2. Quantos números diferentes obteremos permutando os
algarismos do número 336.223?
3. Quantos são os anagramas da palavra SAPO?
4. Determine os número de anagramas da palavra CARCARÁ?
(não considere o acento)
5. O valor de x em Cx,3 = 35, é:
a) 12 b) 10 c) 7
d) 8 e) 9
6. Quantas comissões constituídas por 4 pessoas podem ser
formadas com 10 alunos de uma classe?
a) 210 b) 120 c) 240
d) 100 e) 200
7. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.
Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O
número total de cordas assim formadas é:
Tarefa Complementar
8. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as
afirmações:
I - O número total deles é 720.
II - O número dos que terminam com a letra A é 25.
III - O número dos que começam com EN é 24.
Então apenas:
a) a afirmação I é verdadeira.
b) a afirmação II é verdadeira.
c) a afirmação III é verdadeira.
d) as afirmações I e II são verdadeiras.
e) as afirmações I e III são verdadeiras.
9. (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO,
em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, é:
a) 12 b) 36 c) 48
d) 60 e) 72
10. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto
querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo
é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas
possíveis é:
11. Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O número de
comissão de 4 membros, de modo que em cada comissão figure
pelo menos um rapaz, é:
12. Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma,
cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os
cumprimentos foram em número de 66. O número de pessoas
presentes à reunião é:
13. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do
polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu
número total de diagonais?
a) 72 b) 63 c) 36
d) 27 e) 18
14. (UFRN) Se o número de combinações de n + 2 elementos 4
a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na
razão de 14 para 3, então n vale:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
UNIDADE 4
NÚMEROS BINOMIAIS
Dados dois números naturais n e p, denomina-se número
binomial de n sobre p e indicado por n
p ao número definido
por:
p
n =
p)!(np!
n! com n N, p N e n p
Podemos concluir de imediato que:
a n
01 b)
n
1n c)
n
n1
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 6
NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados
complementares quando a soma dos denominadores (classes) é
igual ao numerador.
Exemplos:
a)n
p e
n
n p b)
5
2 e
5
3
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
1ª) Dois números binomiais complementares são
iguais.
Então se n
k
n
p
k p
ou
k p n
2ª RELAÇÃO DE STIFFEL
n 1
p 1
n 1
p
n
p
Veja que 5
3
5
4
6
4
TRIÂNGULO DE PASCAL
Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de
forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma
linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma
coluna.
col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6
linha 0 0
0
1
0
1
1
linha 2 2
0
2
1
2
2
linha 3 3
0
3
1
3
2
3
3
linha 4 4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
0
linha
linha 5
1
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
linha 6 6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
PRIMEIRA PROPRIEDADE
Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.
SEGUNDA PROPRIEDADE
O último elemento de cada linha é igual a 1.
TERCEIRA PROPRIEDADE
Numa linha qualquer dois binomiais eqüidistantes dos
extremos são iguais. (binomiais complementares)
QUARTA PROPRIEDADE
Cada binomial n
pda linha n é igual à soma de dois binomiais
da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está
na coluna (p - 1).
p
n
p
1n
1p
1n
QUINTA PROPRIEDADE
A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2n.
Linha 0 1 = 20
Linha 1 1 + 1 = 21
Linha 2 1 + 2 + 1 = 22
Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23
De uma forma genérica podemos escrever:
Exercícios de Sala
1. Calcule A, sendo A = 4
0
8
2
9
7
10
1
2. Ache o conjunto solução da equação n 3
221
3. Calcule o valor de:
a)
7
0
7
p p b)
10
0
10
p p c)
8
3
8
p p
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 7
4. Resolva a equação: x
15
5
14
4
14
Tarefa Mínima
1. Calcule E, sendo E = 5
2
3
3
5
0
7
1.
2. (UECE) A soma das soluções da equação
18
6
18
4 1
xé
a) 8 b) 5 c) 6 d) 7
3. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na
igualdade: 17
m 1
17
2m 6
4. Calcule 5
0
5
pp
5. Resolva a equação: 8
6
8
7
9
3x
6. ( Mack-SP ) O valor de
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7é:
a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112
Tarefa Complementar
7. (Mack-SP) Considere a seqüência de afirmações:
. . .15 15 15 15 15 15
I II III1 3 2 13 3x 6
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja
verdadeira ou falsa, tem-se:
a) F, F, V b) F, V, V
c) F, V, F d) F, F, F
e) V, V, V
8. (Fatec-SP) Calcule E de modo que Ep 1
n 1
n 1
p 1
onde p, n N* e p < n
n
o
n n n
n
n
p
n n
1 22 2 ou
p=0
n
9. ( U.C.-MG ) O resultado de 8
2
6
pp
é igual a:
a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256
10. (Unesp-SP) Seja num número natural tal que
10
4
10
1
11
4
n. Então:
a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2
11. (FGV-SP) Sabendo-se que
m
px e y
m +1
p +1 entao
m
p +1 é:
a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p
UNIDADE 5
BINÔMIO DE NEWTON
Observe abaixo os desenvolvimentos:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Observe que:
O número de termos do desenvolvimento de (a + b)n é
n + 1.
Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n
formam o triângulo de Pascal.
Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b
crescem de 0 a n.
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n
Com base nessas observações podemos generalizar o
desenvolvimento de (a + b)n. Veja:
a bn
bn
bn
bn
nbn n n
0 1 2
0 1 2 2 0 a a a an n-1
Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n é dado pela
expressão:
Tp 1
n
pan p bp
Exercícios de Sala
1. Desenvolver o binômio (x + 2)4
2. Determinar o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)6.
3. Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x
+ 3)4.
4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (4x
3y)6
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 8
Tarefa Mínima
1. Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no
desenvolvimento de (x + 2)7.
2. Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x
1)6.
3. Se a soma dos coeficientes do binômio a b m 1 é
64, então o valor de m é:
4. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o número de
termos do binômio (x + a)n é:
a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) ímpar
5. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento do binômio (x + a)n é:
a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n
Tarefa Complementar
6. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do
desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! é:
a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3
7. (CEFET-PR) O 4º termo do desenvolvimento de (x + 2)6 é:
a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3
8. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numéricos do
desenvolvimento de 322
8
xx
?
9. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 )8
pelo binômio de Newton é:
a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3
10. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de
31
5
xx
é:
a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81
UNIDADE 6
POLINÔMIOS
DEFINIÇÃO
Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de
polinômio na variável x toda expressão da forma:
P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x
2 + a 1x + a0
Nomenclatura
COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.
TERMOS: a nxn , a n - 1x
n - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0
TERMO INDEPENDENTE: a0
n é um número natural e indica o grau do polinômio se an for
diferente de zero.
Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do polinômio.
VALOR NUMÉRICO
Valor Numérico de um polinômio P(x), é o valor que se obtém
substituindo a variável x por um número e efetuando as
operações indicadas.
Observação: Quando P( ) = 0 dizemos que é a raiz do
polinômio.
Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio
P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.
POLINÔMIOS IDÊNTICOS
Dados os polinômios:
P1(x) = a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e
P2(x) = b nxn + b n - 1x
n - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0
A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os coeficientes
dos termos de mesmo grau sejam iguais.
Indicamos por P1 (x) P2 (x)
Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0
Vale ressaltar que, se P1 e P2 são idênticos, para qualquer valor
de x eles assumem o mesmo valor numérico.
Em símbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)
Exercícios de Sala
1. Encontre o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 + 2x3
x2 + 3x 3 para x = 3.
2. Dado o polinômio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3.
Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º grau.
3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números reais.
Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).
Tarefa Mínima
1. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 – 5, calcule:
a) P(0) b) P(1) c) P(2)
2. Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo que P(-
2) = - 4, determine o valor de m.
3. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b +
1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 são polinômios idênticos,
determine o valor da expressão: a + b + c.
4. O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é
identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 9
5. (Mogi) Se x
x x
A
x
B
x
1
2 24 4 62 , então
2A + B é igual a:
a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1
Tarefa Complementar
6. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são
números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7,
calcule P(3).
7. (PUC-SP) Efetuando a soma de ax b
xe
c
x2 1 1, obtemos a
expressãox
x x
3
1 12. Os valores de a, b e c são
respectivamente:
a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3
c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1
e) 2, 1, -2
8. (ABC-SP) Num polinômio P(x) de 3º grau, o coeficiente de x3
é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P( 1) é:
9. ( UFRGS ) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero
como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é
a) 2x2 + 3x – 6 b) 6x - 2
c) 6x2 - x d) 3x2 + x
e) x2 + 3x
10. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinômios de graus 4, 6 e 3,
respectivamente, o grau de (F + G).H será:
a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30
UNIDADE 7
DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não identicamente
nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinômios Q(x)
(quociente) e R(x) (resto), tais que:
P(x) D(x) R(x) Q(x)
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
gr(R) < gr(D) ou R(x) 0
Onde:
P(x) é o dividendo
D(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
OBSERVAÇÕES:
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e de D(x),
ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)
Se R(x) for um polinômio nulo, apontamos que P(x) é
divisível por D(x), dizemos então, que a divisão é exata.
MÉTODO DA CHAVE
(ALGORITMO DE EUCLIDES)
O método das chaves é um dos quais podemos obter o quociente
entre dois polinômios. Para isso, devemos seguir os seguintes
procedimentos:
Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as potências
decrescentes de x.
Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x),
obtendo o primeiro termo de Q(x) .
Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de
P(x)
Continua-se o processo até que haja um resto de grau inferior
que o de D(x).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de
P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2
Resolução:
Observe que:
4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)
Dividendo Divisor Quociente Resto
MÉTODO DE DESCARTES
Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a determinar é
um Método que consiste na obtenção dos coeficientes do
quociente e do resto com o auxílio da seguinte identidade de
Polinômios:
P(x) D(x) . Q(x) + R(x)
onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)
Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do
polinômio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por
D(x) = x3 3x2 + 2
Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois
gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)
gr(Q) = 4 3 = 1
Isso nos permite escrever:
R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b
Aplicando a identidade, temos:
P(x D(x) . Q(x) + R(x)
x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e
x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e)
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 10
Daí vem:
a 1
b 3a 1
c 3b 2
2a d 1
2b e 3
resolvendo o sistema, temos:
a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1
Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1
TEOREMA DO RESTO
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo
ax + b é o valor numérico de P(x) para
x = b
a, ou seja P(
b
a).
Observe que b
a é a raiz do divisor.
Esse teorema nos permite achar o resto de uma divisão sem que
haja a necessidade de aplicar o método das chaves ou o método
de Descartes.
Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio
P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x 3
Resolução: A raiz do divisor é 3, logo, para determinarmos
o resto da divisão de P(x) por D(x), basta
calcular P(3). Daí vem:
P(x) = 2x2 + 3x + 1
P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1
P(3) = 28
TEOREMA DE D'ALEMBERT
Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e somente
se, P(b
a) = 0.
Veja por exemplo que o polinômio P(x) = x3 3x + 2 é divisível
por (x + 2) pois P( 2) = 0.
Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o
polinômio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja
divisível por x 3
Resolução: Para que P(x) seja divisível por x 3, deve-se
ter P(3) = 0. Então
P(x) = x3 x2 + mx 12
P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12
0 = 27 9 + 3m 12
6 = 3m
2 = m
Logo, para a divisão ser exata devemos ter m = 2
TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Se um polinômio P(x) é divisível por (x a) e por (x b), então
P(x) é divisível por (x a).(x b).
Observe que o polinômio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x +
2 é divisível por (x + 1).(x 2), uma vez que ele é divisível
separadamente por (x + 1) e (x 2).
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como
algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir um
polinômio P(x) por um binômio da forma
ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um exemplo.
Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de
P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)
Resolução:
1º Passo
Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e
segundo os expoentes decrescentes de x na chave.
2 1 4 1 2º Passo Coloca-se à esquerda a raiz do divisor.
3 2 1 4 1 3º Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)
3 2 1 4 1 2 4º Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o
resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo
desse último.
+
3 2 1 4 1 x 2 5 5º Passo
Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma o resultado
com o próximo coeficiente de P(x) de forma análoga ao último
passo, e assim sucessivamente.
+
3 2 1 4 1 x 2 5 19 +
3 2 1 4 1 x 2 5 19 56 Terminando assim o processo, temos:
raiz coeficientes de P(x) 2 5 19 56
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 11
coeficientes de Q(x) R(x) Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que
Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56
Exercícios de Sala
1. (FUVEST) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por x – 3 é:
a) 2x3 – 11x2 + 23x – 68
b) 2x3 – 11x2 + 33x + 109
c) 2x3 – 11x2 + 33x – 109
d) 2x2 + x – 7
e) 2x3 + x2 + 3x – 1
2. Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2
4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 x + 3?
3. ( UFSM ) O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é:
a) 0 b) – 1 c) – 2 d) 141 e) n.d.a.
Tarefa Mínima
1. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2
+ 32 por x + 3.
2. (UECE) Se na divisão do polinômio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por
3x2 + 2x - 1 o quociente é Q(x), então o valor de Q(3) é:
3. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1
por Q(x) = 4x3 + 1 é:
a) x – 5 b) x - 1 c) x + 5
d) 4x - 5 e) 4x + 8
4. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 +
3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 - x + 3?
5. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da
divisão do polinômio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível por 2x2
+ 5x - 2, então o valor de a - b é:
7. (Mack-SP) Um polinômio desconhecido ao ser dividido por x
- 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Então,
o resto da divisão desse polinômio por (x - 1) (x - 2) é:
a) x – 3 b) -x + 3 c) x + 3
d) x - 5 e) -x + 5
8. (UFBA) O resto da divisão de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1
por (x + 1) é 4, se p é igual a:
a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3
9. (FGV-SP) O resto da divisão do polinômio 2x5 - 15x3 + 12x2
+ 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é:
a) x2 - 2x + 5 b) -6
c) x - 4 d) 1 e) 0
10. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x)
= x3 + 4x2 + ax + b divisível por (x + 1)2 são respectivamente:
a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.
UNIDADE 8
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
DEFINIÇÃO
Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo
P(x) = 0, ou
a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x
2 + a 1x + a0 = 0
onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos
n é um número natural
x é a variável
O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x)
Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo número
, tal que P( ) = 0
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma
raiz complexa.
Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.
DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM
UM PRODUTO DE FATORES DO 1º GRAU Como uma conseqüência do Teorema Fundamental pode-se
afirmar que todo polinômio de grau n pode ser escrito na forma:
P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)
onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x).
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de vezes que
a mesma se repete no conjunto solução.
Genericamente, pode-se dizer que o número é raiz de
multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se e somente se,
P(x) = (x )n. Q(x), com Q( ) 0.
TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS
Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação
polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z = a bi
também é raiz dessa equação.
Conseqüências:
Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu conjugado
(a bi) terá também multiplicidade k.
Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo menos
uma raiz real, pois o número de raízes não reais é sempre par.
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 12
RELAÇÕES DE GIRARD
São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de uma
equação polinomial.
Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Valem as
seguintes relações:
x1 x2b
a
x1 x2c
a
Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação
ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relações:
x1 x2 x3b
a
x1 x2 x3d
a
x1 x2 x1 x3 x2 x3c
a
EQUAÇÃO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação
a nxn + a n - 1x
n - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes
relações:
a a ananan
a a a a a an a a an ananan
a a a an an ananan
a a a ann a
an
1 21
1 2 1 3 1 2 3 12
1 2 3 2 13
1 2 31 0
Exercícios de Sala
1. O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como:
a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2)
c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x – 2)(x +4)
e) (x) = x(x – 1)(x + 5)
2. Resolver a equação x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que
x = 2 é uma das raízes.
3. Determine a menor raiz da equação x3 15x2 + 66x 80 = 0,
sabendo que suas raízes estão em P.A.
Tarefa Mínima
1. (ACAFE) A equação polinomial cujas raízes são 2, 1 e 1 é:
a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0
c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0
e) x3 + 2x + 1 = 0
2. (FGV-SP) A equação 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual
a 2. Então, as outras duas raízes são:
a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1
d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2
3. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação 2x3 -
17x2 + 32x - 12 = 0 é igual a 1/2 determine a soma das outras
duas raízes.
4. (UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30:
a) somadas dão 6 e multiplicadas dão 30
b) somadas dão -6 e multiplicadas dão 30
c) somadas dão 6 e multiplicadas dão -30
d) somadas dão -6 e multiplicadas dão –30
e) são 5, -2 e –3
Tarefa Complementar
5. (Med ABC-SP) As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x -15 = 0
estão em progressão aritmética. Suas raízes são:
a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5
d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9
6. (Mackenzie-SP) Uma raiz da equação x3 4x2 + x + 6 = 0 é
igual a soma das outras duas. As raízes são:
a) 2, 2 e 1 b) 3, 2 e 1
c) 2, 1 e 3 d) 1, 1 e 2
e) 1, 2 e 3
7. (MACK-SP) O determinante da matriz a a c
b c0
1 0 1
, onde a,
b, e c são raízes da equação x3 5x2 + 4 = 0, é:
8. (SANTA CASA) Sabe-se que a equação: 4x3 12x2 x + k =
0, onde k , admite duas raízes opostas. O produto das raízes
dessa equação é:
a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12
9. (ITA-SP) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0 de
coeficientes reais, cujas as raízes estão em P.G. Qual das relações
é verdadeira?
a) p2 = r.q b) 2p + r = q
c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3
e) q3 = r.p3
10. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A equação polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as raízes
a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12.
02. O resto da divisão do polinômio x6 x4 + x2 por x + 2 é
52.
04. Dado o polinômio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é
correto afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x).
08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x +
(b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c é 4.
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 13
UNIDADE 9
MATRIZES
DEFINIÇÃO
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n 1, é uma
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m
linhas e n colunas.
As matrizes são representadas através de parênteses ( ),
colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||
Exemplos.:
A = 2 0 3
6 9 5 A 2 x 3 (lê-se: A dois por três)
A =3 2 8 7
6 1 0 3A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro)
A =
60
61
12 A3 x 2 (lê-se: A três por dois)
NOTAÇÕES
Notação Explícita
Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e
seus elementos por letras minúsculas.
Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser
representada assim:
A =
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
m m m mn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
com m e n N*
Notação Condensada
Podemos também, abreviar essa representação da seguinte forma:
A = [aij] m x n
Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que:
i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)
j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna)
CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES
Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são
respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A,
temos:
a) MATRIZ LINHA se m = 1
Exemplo: A1x3 213
b) MATRIZ COLUNA se n = 1
Exemplo: A4x1 =
0
5
2
1
c) RETANGULAR se m n
Exemplo: A2 x 3 = 049
132
d) QUADRADA se m = n
Exemplo: A2x2 85
63
Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de
linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer então que
ela é n x n ou simplesmente de ordem n.
Possui duas diagonais:
diagonal principal (quando i = j para todo aij)
diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem
da matriz.
TIPOLOGIA Matriz Transposta
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A
a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma
ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'
Exemplo A2 x 3 = 049
132 At
3 x 2 =
2 9
3 4
1 0
OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n.
Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA
Exemplo: A =
085
813
532
Se A = At, então A é dita ANTISIMÉTRICA
( A indica matriz oposta de A que se obtém
trocando o sinal dos seus elementos)
Exemplo: A =
043
401
310
Matriz Identidade
Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se os
elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais
elementos iguais a zero.
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 14
Exemplos: I2 = 1 0
0 1 I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Pode se indicar a matriz identidade por:
In = [aij] , aij =1, para i = i
0, para i j
Importante: A matriz identidade é neutra na multiplicação de
matrizes.
Matriz Nula
Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem iguais
a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes.
Matriz Diagonal
É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.
Exemplo: A =
1 0 0
0 4 0
0 0 3
Matriz Triangular
É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.
Exemplos:
819
021
004
100
740
513
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos
correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
É efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes
das matrizes. (válido para matrizes de mesma ordem).
Propriedades:
1) A + B = B + A (propriedade comutativa)
2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade
associativa)
3) A + O = A (elemento neutro)
4) (A + B)t = At + Bt
PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se
produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtém
multiplicando-se todo elemento de A por k.
Propriedades:
Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma
ordem, valem as seguintes propriedades:
1) x . (yA) = (xy) . A
2) x . (A + B) = xA + xB
3) (x + y) . A = xA + yA
Exercícios de Sala
1. A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei
aij =
ji se
ji sej2i
,3
,
Então, A se escreve:
2. (UFSC) Dadas as matrizes:
A = 2 1 3 1
0 4
x y
x z e B =
x 0
12 4
1 6
Se A = Bt , o valor de x.y.z é:
3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica, é:
A =
625
201
1252
x
y
a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0
Tarefa Mínima
1. Escreva, na forma explícita, cada matriz abaixo:
a) A = (aij)2x2, com aij = i + j
b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j2
c) A = (aij)3x2, com aij =
1 se i j
i2
se i j
d) A = (aij)2x3, com aij = 2 se i = j
2 + j, se i j
2. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =
ji sej,i
ji se7,
ji sej,3i
2
o valor da expressão 2a23 + 3a22 - a21 é:
3. (UFOP-MG) Observe a matriz
y
x
00
40
321.
Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x
seja o triplo de y.
4. Considere as matrizes A =
72
log3
21
52
x
y
e B = 7165
812. Determine o valor de x + y de
modo que A = Bt
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 15
5. Considere as matrizes A =
03
12e B =
21
30
a) Obter a matriz X tal que A + X = B
b) Obter as matrizes X e Y tal que:
BYX
AYX 3
Tarefa Complementar
6. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:
15
31
12
26
03
125
yy
x
7. (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o
TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal
de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij)3 x 3, onde
aij = 2i - 3j é igual a:
a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6
8. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da
matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j.
9. Uma matriz se diz anti-simétrica se At = A. Nessas
condições, se a matriz A é anti-simétrica, então, x + y + z é igual
a:
A =
031
302
zyx
a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3
10. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se
simétrica se A = At . Assim, se a matriz
A =
234
10
212
zx
y
é simétrica, então x + y + z é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 5
11. (U.Católica de Salvador -BA) Uma matriz quadrada A, de
ordem n, se diz anti-simétrica se A = -At, onde At é a matriz
transposta de A. Nessas condições, qual das matrizes seguintes é
anti-simétrica?
03-2
301-
2-10
b
413
102-
32-1
a ))
031
302
120
e
323
220
301
d
101-
011-
11-1
c
)
))
12. Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela é chamada
matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
M = 4
2
2 8
12 13
23
a a a
a b a
b c c
.
Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:
a) – 4, – 2 e 4 b) 4, 2 e – 4
c) 4, –2 e – 4 d) 2, – 4 e 2
e) n.d.a.
13. Sendo A = 1 7
2 4
e B = 3 1
4 0, então a matriz X, tal que
X A X B
2
2
3, é igual a:
14. Dadas as matrizes: A =3 1
2 4 e B =
2 2
0 4, o
produto dos elementos da segunda linha de 1
4B
1
2A é:
a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2
15. Dadas as matrizes
Ax y
z w B =
x 6
- 1 2w C =
4 x y
z + w 3e sendo 3A = B + C,
então:
a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10
c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1
e) x + y + z + w > 11
UNIDADE 10
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O
produto de A por B é a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os
elementos cik são obtidos assim:
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk
ou seja:
n
j
jkijba1
para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1,
2,...,p}.
Exemplo: Considere as matrizes
A = 3 0
2 1e B =
1 3
9 2. Determine A.B
Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da
seguinte forma:
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 16
A.B = 3 1 0 9 3 3 0 2
2 1 19 2 3 12
A.B = 3 9
7 4
PROPRIEDADES
1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C
3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A
Observações:
1) Na multiplicação de matrizes geralmente
A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se
comutam.
2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do
anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo
com A 0 B 0.
DETERMINANTES
DEFINIÇÃO
Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar à ela,
através de certas operações, um número real chamado
determinante da matriz.
Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por
duas barras verticais. Assim, se a a
a a
11 12
21 22
é a matriz A,
indicamos o determinante de A por det A = a a
a a
11 12
21 22
CÁLCULO
1ª ORDEM
Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o
próprio elemento a11 e se indica por:
det A = |a11| = a11
2ª ORDEM
3ª ORDEM
Exercícios de Sala
1. Dadas as matrizes A = 0
3
34
12
1-
5=B e .
Determine:
a) A.B b) B.A c) At.Bt
d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B
2. (UFSC) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes
definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B =
C, então o elemento C32 da matriz C, é:
3. Calcule os determinantes:
a) 52
43 b)
4 2
1 3
4. Calcule o determinante:
163
341
202
Tarefa Mínima
1. (UEL-PR) Sobre as sentenças:
I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.
II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.
III - O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz
quadrada 2 x 2.
É verdade que
a) somente I é falsa
b) somente II é falsa
c) somente III é falsa
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas
2. Se 3 2
1 4
a
b
1
2=
5 7
5 9, então a + b é igual a:
3. Dadas as matrizes A = 1 1
0 0e B =
0 1
0 1, para A.B
temos a matriz:
4. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes:
A = 2
3 1
xe B =
1 1
0 1seja uma matriz simétrica, é:
5. (UFSC) Dada a equação matricial:
4 2
1 3 0
4 2
3
1
4
2
3
x
y
z x
y
O valor da expressão
5x + 4y + z é:
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 17
6. Calcule os seguintes determinantes:
a)
16
34 b)
13
25
c)
432
314
523
7. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem
2 e aij = j - i2, o determinante da matriz A é:
8. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz
A = (aij)2 x 2, onde aij =
ji sej,i
ji se0,
9. O valor de x na equação
15
102
1
132
xx é:
Tarefa Complementar
10. (CESCEM) O produto M.N da matriz M =
1
1
1
pela matriz
N = 1 1 1 :
a) não se define
b) é a matriz identidade de ordem 3
c) é uma matriz de uma linha e uma coluna
d) é uma matriz quadrada de ordem 3
e) não é uma matriz quadrada
11. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam. a a
a 2 e
0 3
3 3
O valor de a é:
12. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que
satisfaçam a equação matricial
4 3
5 4
1
2
4 2
7 3
x
y
13. (UFSC) Dadas as matrizes: A = 1 0 2
0 1 3
4 1 2
;
B =
2 1 1
0 3 0
4 2 1
; C =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e seja P = (2A - C).B.
Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
P.
14. (UFSC) Considere as matrizes A = 1 0
2 1
1 2
B = 2 0 1
1 1 3 Sejam M = ( A + Bt ).(At B ), onde At e Bt
são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto
dos elementos mij com i = j da matriz M é:
15. Se A = 1 2
4 3 , então A2 + 2A 11 I, onde I é a
matriz identidade de ordem 2, é igual a:
16. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da
matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:
A = 1 2 3
4 1 2, B =
x 1 8 5
2 7 4 e Bt é a matriz
transposta de B.
17. (UFSC) Em R,a solução da equação 2 3
2 4
1 3
x
x
x
= 175 é:
18. (MACK) O conjunto solução de
1
1 1
1 1
1
1 1
1
x
x
x é:
a) { x R| x 1} b) { 0,1 }
c) { 1 } d) { -1} e) { 0 }
19. (MACK-SP) Sejam as matrizes A = 1 2
3 4 e B =
3 4
1 2
,
e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então, det X vale:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
UNIDADE 11
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
1ª PROPRIEDADE
Casos onde o determinante é nulo
1º Se uma matriz possui uma fila de elementos
iguais a zero.
Exemplo: 0 3 9
0 8 3
0 4 1
0
2º Se uma matriz possui duas filas iguais.
Exemplo: 2 8 2
3 5 3
1 6 1
0
3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais.
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 18
Exemplo: 2 3 5
4 6 10
7 0 3
0
4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear de duas
outras.
Exemplo: 3 5 1
0 4 2
3 9 3
0
2ª PROPRIEDADE
Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número k, o
determinante da nova matriz fica multiplicado por k.
Exemplo: 2 4
1 32
2 4
1 32 10
5 55
CONSEQÜÊNCIAS
No cálculo dos determinantes, é possível colocar o fator
comum em evidência.
-216= 3.(-72)
143
051
426
3
143
051
432363
143
051
12618
.
...
( 72)
Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um
número k o determinante fica multiplicado pelo número kn.
det(k.A) = kn.detA
3ª PROPRIEDADE
Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante
muda de sinal.
4ª PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos
elementos da diagonal principal.
Exemplo:
3 9 8
0 4 5
0 0 1
12
5ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET)
Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do
produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A
pelo determinante da matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
6ª PROPRIEDADE
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua
transposta.
7ª PROPRIEDADE
(TEOREMA DE JACOBI)
Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente
multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A', tal que
det A' = det A
Exemplo: A =
122
151
214 det A = 15
Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à
primeira, obtemos A': A' = 0 3 0
1 3 2
2 2 1
det A = 15
INVERSÃO DE MATRIZES Sejam A e B duas matrizes quadradas.
Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A. e
indicamos por A-1.
Logo: A . A-1 = A . A-1 = In
PROPRIEDADES DA INVERSA:
(A-1) -1 = A
(A.B) -1 = B-1 . A-1
det A-1 = 1
det A
OBSERVAÇÕES:
Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for
diferente de zero, sendo assim, chamada de inversível.
Uma matriz que não admite inversa é chamada de singular.
Se a matriz A é inversível, então, ela é quadrada.
Se a matriz A é inversível, então, a sua inversa é única.
OBSERVAÇÃO
O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes é
trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas de n equações e
n incógnitas.
Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse cálculo.
Teorema
Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, então a
inversa de A é:
A – 1
= .det
1
A
A
Onde A representa a matriz adjunta.
Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos cofatores
de A.
Conseqüência
Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 19
aplicar:
bij = .det
1
A Cji
onde Cji é o cofator do elemento aij
Exercícios de Sala
1. Sabe-se que 2
ifc
heb
gda. Determine o valor de
ifc
heb
gda
432
432
432
2. Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu determinante é
igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.
3. Determine a inversa das seguintes matrizes:
a) 1 5
2 0 b)
3 1
5 2
4. Determine o valor de x de modo que a matriz
9
32
x seja
singular
Tarefa Mínima
1. Sabendo que 2
ifc
heb
gda
, calcule
ifc
heb
gda
32
32
32
2. (UFRN) O determinante 1 72 81
0 2 200
0 0 3
é igual a:
3. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações.
I - O determinante de uma matriz não se altera, quando são
trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.
II - O determinante de uma matriz com linhas proporcionais é
nulo.
III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um
número real p,não nulo,o determinante da nova matriz
fica dividido por p.
Quais são as verdadeiras?
a) I
b) II
c) I e II
d) II e III
e) todas são verdadeiras
4. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde
aij = 1 se i j
i j se i j calcular o determinante
do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( At.A ),
onde At é a matriz transposta de A.
5. (Unisinus-RS) O valor de um determinante é 48.
Dividimos a 2ª linha por 8 e multiplicamos a 3ª coluna por 6,
então o novo determinante valerá:
6. (UFRGS) A inversa da matriz A = 25
13 é:
25
13 e)
35
02 d)
31
52 c)
25
13 b)
35
12 a)
7. O maior elemento da inversa da matriz A =
51
42 é:
a) 2 b) 5/6 c) 1/5
d) 1/6 e) 1/3
8. (UFVIÇOSA) Sejam as matrizes A =
62
21 e M =
y
x
1
1 , onde x e y são números reais e M é a matriz
inversa de A. Então o produto x.y é:
a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4
9. (UCSal-BA) A matriz 1
1
x
x, na qual x é um número
real, é inversível se, e somente se:
a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x 1
10. Considere a matriz A =
21
3
x
x . Sabendo que det A- 1 =
0,25, então x :
a) 0 b) – 2 c) 2 d) 4 e) – 1
Tarefa Complementar
11. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e
que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a:
a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27
12. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =
2 1 4
1 0 2
0 1 6
. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:
a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 20
13. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:
1 5 1 3 0 0 0
0 2 2 4 3 4 0 0
0 0 3 1 1 2 1 0
0 0 0 4 2 1 3 2
A
-1
e B =
O valor do determinante de A.B é:
a) 192
b) 32
c) -16
d) 0
e) n.d.a.
14. (F.M.Santos-SP) O determinante
1 0 0 0 0
2 2 0 0 0
3 2 1 0 0
4 2 3 2 0
5 1 2 3 3
é:
a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a.
15. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e
I = 10
01. Chamam-se auto valores de A as raízes da
equação det (A – xI) = 0. Obtenha os autovalores de
A = 32
41
16. (FGV-SP) Considere as matrizes A =
pc
nb
ma
4
4
4
e B =
3
3
3
cp
bn
am
. Se o determinante da matriz A é igual a
2, então o determinante da matriz B é igual a:
a) 3/2 b) 2/3 c) – 3 d) – 3/2 e) – 2/3
17. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij =
ji se0,
ji se4,. Então é correto afirmar:
01. det (A) = 64
02. (A).(At) é uma matriz quadrada de ordem 6
04. det(2A) = 8 det(A)
08. det(A) det(At)
16. A2 =
161616
01616
0016
18. Os valores de k para que a matriz A =
31
31
101
k
k não
admita inversa são:
a) 0 e 3 b) 1 e – 1 c) 1 e 2
d) 1 e 3 e) 3 e – 1
19. (UFPB) Se a matriz 2 5
5
x x
xnão é invertível,
então, o valor de x em módulo é:
20. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por
aij = 1
0
i j para i j
para i jo determinante de A-1 é:
UNIDADES 12
SISTEMAS LINEARES
DEFINIÇÃO Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equações
lineares com n incógnitas.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema é homogêneo.
Solução de um Sistema Linear
Denomina-se solução de um sistema a seqüência de números
reais ( 1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as
equações do sistema.
Sistemas Equivalentes
Dois Sistemas são ditos equivalentes se e somente se:
São Possíveis e admitem as mesmas soluções, ou
São Impossíveis.
Classificação de um Sistema Linear
Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o
número de soluções que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser:
DETERMINADO
(1 solução)
POSSÍVEL
INDETERMINADO
(infinitas soluções)
IMPOSSÍVEL Não Admite Solução
REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer consiste num método para resolvermos
sistemas Lineares de n equações e n incógnitas.
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 21
Seja o sistema
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n nn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
Para obtermos a solução para esse sistema vamos fazer alguns
cálculos. Acompanhe:
det S
Determinante associado à matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas.
det S =
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2
det Xi
Determinante associado à matriz obtida a partir de S, trocando
a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos
independentes do sistema.
det X1 =
b a a
b a a
b a a
n
n
n n nn
1 12 1
2 22 2
2
det X2 =
a b a
a b a
a b a
n
n
n n nn
11 2 1
21 2 2
1
det Xn =
a a b
a a b
a a bn n n
11 12 1
21 22 2
1 2
A solução do Sistema é dada por:
x1
det X
det S x
det X
det S x
det X
det S
12
2n
n
Veja que só é possível aplicar a Regra de Cramer em sistemas n
x n em que det S 0. Esses sistemas são denominados normais.
3. Discussão com base na regra de Cramer (2x2)
1) Quando det S 0, o sistema é possível e determinado.
2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema é
possível e indeterminado
3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais
determinantes for diferente de zero, os sistema é
impossível
O sistema homogêneo é sempre possível.
Exercícios de Sala
1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas:
a)
152
1134
yx
yx
b)
622
3
yx
yx
c)
233
1
yx
yx
2. Dado o sistema de equações lineares
x y z
x y z
x y z
1
1
com
, R, então o sistema é determinado se:
a) se -1 b) se = -1 e 1
c) se 1 d) se = -1 e = 1
e) se = -1 e = -1
3. (FGV-SP) O sistema linear
0
0
02
zyx
zyx
zyx admite
solução trivial, se:
a) = - 2 b) - 2
c) = 2 d) 2 e)
Tarefa Mínima
1. (USF-SP) Resolvendo o sistema x y z
x y z
x y z
9
2 11
1
, obtém-se y
igual a:
2. (UFRGS) Dado o sistema de equações lineares sobre
R
2 4
3 2 4
4 0
x y z
x y z
x y z
os valores de x, y e z que constituem sua
solução:
a) formam uma progressão geométrica
b) formam uma progressão aritmética
c) são iguais entre si
d) não existem
e) têm uma soma nula
3. (FGV-SP) O sistema de equações 2 5 10
2 3
x y
x y é
equivalente a:
2 5 10 10) . ) .
1 2 3 3
10 10) . )
3 3
x xa b
y y
x xc d
y y
-2 -5
1 2
2 -1 -2 1
5 -2 -5 2
4. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de
a é:
x y z
x y az
x y z
3 4 1
2
2 3
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 22
5. (UFSC)Determine o valor de m para que o sistema, abaixo
admita infinitas soluções:
mx y z
x my z
x y
2 0
2 0
3 2 0
Tarefa Complementar
6. (UEPG-PR) O sistema linear
b4z2y3x
2zyx
33zyax
é:
01. impossível para a 2 e b = 5
02. impossível para a = 2 e b 5
04. possível e determinado para a = 2 b R
08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5
16. possível e determinado para a 2
7. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear
x ay z
ax y az
x ay z
0
0
0
assinale a alternativa correta:
a) O sistema admite uma infinidade de soluções
para qualquer a real.
b) O sistema não admite solução de a = 1.
c) O sistema admite uma única solução se a = 3.
d) O sistema admite somente a solução trivial.
e) O sistema admite uma única solução se a = 1.
8. (FEI-SP) Se o sistema
3 2 1 0
4 2 2 0
2 3 2 0
x y z
mx y z
x my z
admite uma única solução, então:
a) m 6 b) m 2
c) m 8 d) m 4
e) m 3
9. (UFSC) Considere o sistema S1: 06y-2x-
03yx
determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) verdadeira(s).
01. O par ordenado ( 15,5) é uma solução do
sistema S1.
02. O sistema S1 é possível e determinado.
04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa
pela origem.
08. O sistema S2: 030y-10x-
06y2xé equivalente ao
sistema S1.
10. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS
01. O número de elementos de uma matriz quadrada de
ordem 12 é 48.
02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma
ordem.
04. A soma das raízes da equação
x44
xx4
xxx
= 0 é 8.
08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes
inversas.
16. O sistema 0yx
02y3x é indeterminado.
11. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às
proposições verdadeiras
01. A matriz
0213
1845
1524
0321
não possui inversa.
02. Se um sistema de equações é indeterminado,
então não se pode encontrar solução para ele.
04. Uma pequena indústria produz três tipos de
produto que indicamos por x, y, z. As unidades
vendidas de cada produto e o
faturamento bruto da empresa em três meses
consecutivos são os dados na tabela abaixo.
Então, os preços dos produtos x, y e z só podem
ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00
e R$ 3.000,00.
Mês
Unidades
de x
vendidas
Unidades
de y
vendidas
Unidades
de z
vendidas
Faturamento
bruto
1 1 5 3 R$
35.000,00
2 4 1 2 R$
15.000,00
3 5 6 5 R$
50.000,00
08. A solução da equação 0
213
42
142
x é x = 1
12. (UFSC) Assinale as proposições corretas.
01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do
sistema 276y3x
92yx
02. A matriz A = (aij)1 3, tal que aij = i –3j é
A = 852 .
04. A soma dos elementos da inversa da matriz
10
11 é igual a 2.
08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se
tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A.
Nessas condições, pode-se afirmar que a matriz
Inclusão para a vida Matemática D
Pré-Vestibular da UFSC 23
001
000
100
é anti-simétrica.
16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as
listadas a seguir, para que PQ – R seja uma
matriz nula, o valor de x deve ser 2.
2
1
3
, 53x , x20
116,
6
19
32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais
que A = 5B. Nestas condições, pode-se afirmar
que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e
det(B) designam, respectivamente, os
determinantes das matrizes A e B.
13. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).
01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz
B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e é
de ordem m x p.
02. Se um sistema de equações possui mais equações
do que incógnitas, então ele é incompatível
(impossível).
04. A terna (2, 1, 0) é solução do sistema
x y z
x y z
x y z
x y z
2 3 4
2 2 3
3 7
6 2 2 14
08. Três pessoas foram a uma lanchonete.
A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1
(um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1
(um) guaraná e comeu 2(dois) pastéis e pagou R$
5,00. A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu
2(dois) pastéis e pagou R$ 7,00. Então, pelo
menos, uma das pessoas não pagou o preço
correto.
14. (FUVEST) O sistema linear
ayx
ayx
9log4log
3log2log
a) tem solução única se a = 0
b) tem infinitas soluções se a = 2
c) não tem solução se a = 3
d) tem infinitas soluções se a = 4
e) tem solução única se a = 9
GABARITO
Unidade 1
1) R$ 45,20
2) 252
3) 8 dias
4) a) 20 b) 2
c) 240 d) 0,6
e) 0,06 f) 0,0025
g) 70% 5) e
6) 08
7) b
8) a
9) a
10) a
11) a
12) 44
13) 40
14) d
15) 02
Unidade 2
1) 15
2) a) 9 b) 3
c) 8
3) 05
4) c
5) d
6) a
7) 04
8) 02
9) d
10) 08
11) 12
12) e
13) d
14) 60
15) c
Unidade 3 1) 24
2) 60
3) 24
4) 210
5) c
6) a
7) 28
8) e
9) a
10) 30
11) 35
12) 12
13) d
14) a
Unidade 4
1) 19
2) b
3) 13
4) 32
5) 04
6) c
7) c
8) Cn, p
9) b
10) d
11) c
Unidade 5
1) 280
2) 01
3) 37
4) a
5) e
6) a
7) e
8) 01
9) c
10) a
Unidade 6
1) a) – 5 b) 0 c) 38
2) – 4
3) 66
4) 66
5) d
6) 00
7) d
8) 66
9) d
10) a
Unidade 7
1) 23
2) 35
3) b
4) 11
5) 07
6) 04
7) b
8) e
9) e
10) d
Unidade 8
1) d
2) d
3) 08
4) c
5) c
6) c
7) 00
8) b
9) e
10) 03
Unidade 9
1)
2 1 1 12 3 2 4 5
5 2 4 13 4 3 2 5
8 5 9 9
a b c d) ) ) )
2) 34
3) 6 e 2
4) 36
5)a) 2 2
2 2X
b) 3 0
4 1X
3 3
5 1Y
6) 12
7) e
8) 12
9) d
10) e
11) b
12) b
13) 9 17
10 12
14) a
15) b
Unidade 10
1) b
2) 05
3) 00
00
4) 01
5) 56
6) a) 14 b) 11
c) 15
7) 03
8) 08
9) 05
10) d
11) 01
12) 40
13) 32
14) 80
15) 0 0
0 0
16) 56
17) 19
18) e
19) b
Matemática D Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 2
Unidade 11
1) – 12
2) 6
3) c
4) 121
5) 36
6) a
7) b
8) a
9) d
10) e
11) d
12) d
13) a
14) a
15) 5 e – 1
16) d
17) 05
18) c
19) 05
20) ½
Unidade 12
1) 03
2) b
3) a
4) 02
5) 02
6) 26
7) a
8) a
9) 09
10) 04
11) 09
12) 18
13) 13
14) c
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