I - REGRA DE TRÊS 1 – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Suponha que um trem viaje a uma velocidade constante de 80 km/h . Então : 1 hora de viagem → 80 km percorridos 2 horas de viagem → 160 km percorridos 3 horas de viagem → 240 km percorridos Observe no esquema acima que :

• Duplicando o tempo de viagem, a distância percorrida duplica • Triplicando o tempo de viagem , a distância percorrida triplica

E assim por diante. Assim , observamos que quando o tempo aumenta um certo número de vezes, a distância percorrida também aumenta esse mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas tempo e distância percorrida são diretamente Proporcionais. De modo geral temos :

Veja agora , um quadro com os valores do exemplo dado :

Tempo da viagem ( em horas) Distância percorrida ( em km) 1 80 2 160 3 240

Observe que :

160

80

2

1=

240

3

160

2

80

1

240

160

3

2

240

80

3

1 === OU

Então podemos afirmar :

EXEMPLOS : 1º) Verifique se os números 9, 20 e 25 são diretamente proporcionais aos números 18 , 40 e 50.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando o valor de uma um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes.

Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra.

2º) Verifique se os números 12, 20 e 40 são diretamente proporcionais aos números 9 , 12 e 30. 3º) Os números x , y e 6 são diretamente proporcionais aos números 10 , 4 e 2. Determine os valores de x e y . 2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Vamos Supor que um determinado serviço possa ser feito por um operário em 24 horas de trabalho. Assim podemos supor que:

• 2 operários fazem o mesmo serviço em 12 horas • 4 operários fazem o mesmo serviço em 6 horas • 6 operários fazem o mesmo serviço em 4 horas

e assim por diante. Observe que :

• duplicando o número de operários , o mesmo serviço é feito na metade do tempo • triplicando o número de operários, o mesmo serviço é feito na terça parte do tempo;

e assim por diante. Assim podemos verificar que, quando aumentamos o número de operários um certo número de vezes, o tempo necessário para fazer o serviço diminui o mesmo número de vezes. Por esse motivo dizemos, nesse caso, que as grandezas número de operários e tempo para realizar o serviço são inversamente proporcionais. Observe agora, um quadro com os valores do exemplo dado:

Número de operários Tempo gasto (h) 1 24 2 12 4 6 6 4

Nesse caso , qualquer razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores a eles correspondentes na outra. Veja :

12

6

4

2

24

4

6

1

24

6

4

1

24

12

2

1 ====

EXEMPLOS 1º) Verifique se os números 3 , 8 e 12 são inversamente proporcionais aos números 24, 9 e 6. 2º) Sabendo que os números 4, 5 e 10 são inversamente proporcionais aos números x , 96 e y , determine os valores de x e y. EXERCÍCIOS 1º) Verifique se os números 8, 24 e 40 são diretamente proporcionais aos números 11 , 33 e 55. 2º) Verifique se os números 12, 15 e 30 são diretamente proporcionais a 32 , 40 e 100. 3º) Os números x , y e 18 são diretamente proporcionais aos números 27 , 45 e 81. Calcule o valor de x e y . 4º) Verifique se os números 40, 80 e 120 são inversamente proporcionais aos números 60 , 30 e 20.

5º) Os números x , y e 12 são inversamente proporcionais aos números 30 , 15 e 10. Calcule x e y. 6º) Sabendo que um trem viaja a uma velocidade constante de 80 km/h, podemos organizar a seguinte tabela:

Tempo de viagem Distância percorrida 1 h 80 km 2 h 160 km

Nessas condições responda: a) Quando o tempo de viagem passa de 1 h para 2 h, ele varia em que razão ?

b) A distância percorrida , quando passa de 80 km para 160 km, varia em que razão ?

c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O tempo de viagem e a distância percorrida são grandezas diretamente ou inversamente

proporcionais ? 7º) A tabela seguinte relaciona o número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório :

Número de torneiras Tempo 6 15 min 3 30 min

Observando a tabela responda:

a) Quando o número de torneiras passa de 6 para 3 , esse número varia em que razão ?

b) Quando o tempo passa de 15 minutos para 30 minutos , ele varia em que razão ?

c) Como são essas razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de torneiras e o tempo que elas gastam para encher um reservatório são grandezas

diretamente ou inversamente proporcionais ?

8º) A tabela seguinte relaciona o número de operários com o tempo necessário para eles construírem um barracão :

Número de operários Tempo 12 30 dias 20 18 dias

Observando a tabela, responda :

a) Quando o número de operários passa de 12 para 20, ele varia em que razão ?

b) Quando o tempo varia de 30 dias para 18 dias, ele varia em que razão ? c) Como são as razões : iguais ou inversas ? Resposta : d) O número de operários e o tempo que eles gastam para construir o barracão são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais ? 3 - REGRA DE TRÊS SIMPLES È uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto é desconhecido. Daí o nome , regra de três. A regra de três simples consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna os valores da mesma grandeza e daí obtermos uma equação.

• A equação terá a mesma “forma” da tabela, quando as grandezas forem diretamente proporcionais.

• No caso de grandezas inversamente proporcionais a “montagem” da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.

Acompanhe os exemplos a seguir: 1º) Cinco metros de tecido custam R$ 120,00. Quanto custam 9 metros desse mesmo tecido ? 2º) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos ?

3º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é de 42 cm. Se colocarmos uma massa de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ? 4º) Ao participar de um treino de fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso ? 5º) Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quantos segundos atrasará em 8 dias ? 6º) Um navio partiu para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para alimentar seus 12 tripulantes durante 31 dias . Após 1 dia de viagem, percebeu-se a presença de 3 passageiros clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos ?

EXERCÍCIOS 1º) Comprei 15 litros de suco e paguei R$ 60,00. Quanto pagarei por 40 litros desse mesmo suco? 2º) Sabe-se que com 8 kg de café cru obtêm-se 6 kg de café torrado. Quantos quilos de café cru devem ser levados ao forno para obter-se 27 kg de café torrado? 3º) Desejo ler um livro de 400 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 páginas. Continuando nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o livro inteiro? 4º) Para transportar certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões carregados com 4 m3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhões com capacidade para 5 m3 de areia, quantos caminhões destes seriam necessários para fazer tal serviço?

5º) Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m2 . Quantos litros de tinta serão necessários para

pintar 450 m2 da mesma forma como foram pintados os 60 m2 ? 6º)Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser construído em duas semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados ? 7º) Para encher 100 potes iguais de creme são necessários 12 litros. Qual é a quantidade necessária para encher 175 potes iguais a esse ? 8º) ( UFRJ-2002) Duas cidades A e B distam 600 km, e distância entre suas representações, num certo mapa, é de 12 cm.Se a distância real entre duas cidades C e D é de 100 km, qual será a distância entre suas representações no mesmo mapa ?

II – PORCENTAGEM 1 - A expressão “tanto por cento “ certamente já lhe é bastante familiar, e você já viu na TV, leu nos jornais, nas vitrines das lojas, etc....

• Poupança rende 1,2 % • Loja vende com desconto de 30 %

- Em cada frase você observa um número seguido de um símbolo % ( que se lê por cento ). Vejamos o significado de frases deste tipo: Exemplo :

• Poupança rende este mês 2 % neste caso, o 2% está indicando que em cada R$ 100,00 depositados na poupança haverá um acréscimo (rendimento) de R$2,00

Valor depositado Rendimento Saldo Corrigido 100 2 102 200 2+2 204 300 2+2+2 306

2 – Razão Centesimal Razão Centesimal é toda a razão com denominador 100.

EXEMPLOS : ....100

1630;

100

735;

100

20;

100

3etc

- As expressões com o termo Por cento são simplesmente um outro modo de se representar as razões centesimais , nas quais o símbolo % substitui o denominador 100. Neste caso , as razões centesimais recebem um nome especial : TAXA DE PORCENTAGEM .

EXEMPOS :

%125100

125)%785

100

785)

%75100

75)%4

100

4)

==

==

dc

ba

- Quando o denominador de uma fração não é 100, pode-se encontrar a taxa de porcentagem que representa essa fração como nos exemplos a seguir :

1º exemplo: Escrever 4

3 como taxa porcentual.

2º exemplo : Escrever como taxa porcentual as frações abaixo:

===5

1)

7

3)

5

2) cba

EXERCÍCIOS 1º) Escreva a taxa porcentual que corresponde a :

==

==

==

==

==

===

===

16

5)

8

3)

40

21)

4

1)

20

37)

100

5,0)

25

11)

100

1)

8

1)

100

29)

50

37)

10

9)

100

34)

50

23)

2

3)

100

18)

og

nf

me

ld

jc

qib

pha

2º) Escreva a facão irredutível que corresponde a cada uma das seguintes porcentagens:

==

==

===

%350)%48)

%180)%72)

%55)5

1

100

20%20)

fc

eb

da

3º) Com relação à cor do cabelo de 10 estudantes observou-se que :

Estudante Cor do Cabelo Ivan Louro

Marcos Ruivo Gabi Louro

Paquito Preto Juliana Ruivo Cleusa Preto

Fernanda Preto Rafael Ruivo Bete Preto

Alejandra Preto

Dê a taxa porcentual que representa o número de estudantes com cabelos :

a) Louros

b) Pretos c) Ruivos

4º)Uma caixa tem 5 bolas verdes, 3 bolas brancas e 12 bolas azuis. Dê a taxa porcentual que representa : a) O número de bolas verdes em relação ao total de bolas.

b) O número de bolas brancas em relação ao total de bolas.

c) O número de bolas azuis em relação ao total de bolas. 5º) Escreva os seguintes números decimais inicialmente na forma de razão de denominador 100 e, a seguir, na forma de porcentagem :

215,0)

013,0)085,0)

14,2)5,0)

27,0)10,0)

15,0)%6100

606,0)

i

hg

fe

dc

ba ==

4 – RESOLVENDO PROBLEMAS COM PORCENTAGEM Observe os exemplos: 1º Ex) Em um jogo de basquete , Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65 %. Quantos lances livres ele acertou ? Resolução: OBS: Este problema se resume em calcular 65 % de 20. 2º ex:) Durante o ano de 1997, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu ? RESOLUÇÃO: 3º ex:) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a taxa de porcentagem de figurinhas repetidas ? Resolução :

4º ex: ) Em um colégio , 1400 alunos estudam no perído da manhã. Esse número representa 56 % do número de alunos que estudam nesse colégio. Quantos alunos estudam , ao todo , nesse colégio ? Resolução: 5º ex : ) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15 % . Paguei , então, 76,50 reais pelo objeto. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto ?

EXERCÍCIOS 1º) Quanto é 7 % de 125000 reais ? 2º)Quanto é 11 % de 1200 alunos ? 3º) Qual a quantia que representa 20,5 % de 5000 reais ? 4º) Uma pesquisa foi realizada para verificar a audiência de televisão no horário nobre (20 h às 22 h ). Foram entrevistadas 1640 residências e verificou-se que 45 % dessas residências tinham a sua televisão ligada no canal A . Quantas residências tinham sua televisão ligada no canal A ? 5º) O número 250 representa que porcentagem de 5000 ?

6º) 242 pessoas representam que porcentagem de 880 pessoas ? 7º) 96 pontos representam que porcentagem de 150 pontos ? 8º) No primeiro semestre de um determinado ano, uma industria produziu 150 unidades de um artigo. No segundo semestre do mesmo ano, a industria produziu 162 unidades do mesmo artigo. Nessas condições, pergunta-se : a) De quantas unidades foi o aumento da produção ? b) Que taxa de porcentagem esse aumento representou em relação ao 1º semestre ? 9º) Dentre os 48 professores de um colégio, 9 ensinam matemática. Qual a taxa de porcentagem de professores que ensinam matemática em relação ao total de professores do colégio? 10º) O preço de custo de um objeto é de 2250 reais. Esse objeto é vendido por 2790 reais. Nessas condições pergunta-se: a) Calcule a quantia que representa o lucro b) Calcule a taxa de porcentagem do lucro desse objeto em relação ao preço de custo. 11º) O preço de um produto é de 420 reais> O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento: Alternativa 1 – pagamento à vista com 30 % de desconto sobre o preço de tabela Alternativa 2 – pagamento em 30 dias com acréscimo de 10 % sobre o preço de tabela Nessas condições responda :

a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto ?

b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto ?

c) Qual a diferença entre essas quantias ?

d) Ela representa quantos por cento do produto ?

5 – JUROS SIMPLES Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela paga uma compensação em dinheiro pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado. Quando uma pessoa compra uma mercadoria à prestação , ela paga um acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações. Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco. Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juro e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra. Então :

Quando falamos em juro, devemos considerar: • O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital (C). • A taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro chama-se taxa de juro (i). • O total que se paga no final do empréstimo (capital+juro) chama-se montante (M)

Vejamos alguns exemplos envolvendo juros simples : 1º ex:) Carlos vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por três meses. É estabe- lecida uma taxa de juro de 2,7 % ao mês. Qual a quantia que ele deve pagar de juro e qual o total que Carlos terá de pagar no fim do empréstimo ? 2º) Um aparelho eletrônico custa 620 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de 868 reais. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida aos juros simples , qual é a taxa de juros simples cobrada ao mês por essa loja ? Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, podemos empregar a seguinte

Vejamos algumas aplicações desta fórmula: 1º ex: ) Calcular quanto rende de juros um capital de 15 000 reais durante 3 anos, à taxa de 24 % ao ano.

Toda a compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em

dinheiro que se empresta ou se pede emprestado é chamada juro (J)

Fórmula : J = 100

.. tic onde: j = juros c = capital i = taxa de juros t = tempo

2º)Qual o capital que rende 5 400 reais , durante 2 anos, à taxa de 15 % ao ano ? 3º) Por quanto tempo um capital de 12 000 reais esteve empregado à taxa de 3,6 % ao mês para render 8 640 reais de juros ? ( OBS: como a taxa é mensal devemos ter o tempo também em meses) 4º) A que taxa esteve empregado o capital de 20 000 reais para render, em 3 anos, 28 800 reais de juros? ( Obs: como o tempo está em anos devemos ter uma taxa em anos) 5º) Calcular os juros produzidos por 50 000 reais à taxa de 2 % ao mês durante 3 meses. 6º) Calcular os juros produzidos por 12 000 reais à taxa de 48 % ao ano durante 4 meses. (Obs : Veja que a taxa é ao ano e o tempo em meses. Neste caso, devemos transformar a taxa anual em taxa mensal. Para isto basta dividir a taxa anual por 12) EXERCÍCIOS 1º) Calcular os juros produzidos por um capital de 22 000 reais à taxa de 1,8 % ao mês, durante 2 meses. 2º) Calcule a taxa a que deve ser aplicado o capital de 48 000 reais, para render 6912 reais em 4 meses.

3º) Calcule o capital que deve ser aplicado à taxa de 4 % ao mês, para render 8 000 reais em 5 meses. 4º) Calcule o tempo em que um capital de 8 000 reais , à taxa de 0,6 % ao mês, rende 144 reais. 5º) Fernanda aplicou 4 000 reais a juros de 4,1 % ao mês, durante três meses. Qual será o montante após os três meses de aplicação ? 6º) Um comerciante tomou emprestados 15 000 reais a juros de 5,4 % ao mês. Quanto pagou de juros ao final de 4 meses ? 7º) Uma loja colocou o anuncio de um liquidificador em um jornal. O anuncio indicava o pagamento à vista de 60 reais ou, após um prazo de 30 dias, de 69 reais. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para pagamento a prazo ? 8º) Um comerciante resolve parcelar a dívida de um freguês em duas vezes, cobrando, porém , juros de 1,9 % ao mês. Se o freguês pagou um total de 931 reais de juros, qual era o valor de sua dívida?

9º) O preço à vista de um aparelho é 3050 reais. Em 3 vezes, o preço passa a ser 4514 reais. Qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja ? 10º) Uma passagem de ônibus intermunicipal passou de 9 reais para 11,70 reais. Qual foi a porcentagem de aumento ? 11º) A gasolina aumentou de 1,50 reais para 1,68 reais. Qual foi o percentual de aumento ? 12º) O preço á vista de um aparelho é 160 reais. Se o preço passou para 195,20 reais, qual foi o percentual de aumento ?

EXERCÍCIOS GERAIS 1º) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 8 kg. Verifica-se, então, que o comprimento da mola distendida é de 40 cm. Se colocarmos um corpo com 13 kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola ? 2º) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média ? 3º) Quinze operários levantam as paredes e cobrem uma casa em 120 dias. Quantos operários nas mesmas condições, seriam necessários para levantar as paredes e cobrir essa mesma casa em 100 dias ? 4º) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas exatamente 21 peças de papel com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel com 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas Para forrar essa mesma sala ? 5º) Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de pessoas que trabalham numa empresa trouxe como resultado o seguinte quadro :

Salário Mensal Número de pessoas Até 2 salários mínimos 6 Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7 Mais de 5 e até 10 salários 4 Mais de 20 salários mínimos 3

Observando o quadro responda :

6º) Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5 % do total de empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria ? 7º) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690 reais pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria ? 8º) Dois meninos discutem sobre a campanha de seus clubes em um campeonato. O clube do menino ( Pedro) ganhou 24 dos 30 jogos que disputou, enquanto o clube do menino (Paulo) ganhou 21 dos dos 28 jogos que disputou. Qual dos dois clubes apresenta melhor campanha ? Dê a resposta calculando o percentual de vitórias de cada clube.

a)Qual a porcentagem de pessoas que ganham até 2 salários mínimos?

b) Qual a porcentagem de pessoas que ganham mais de 10 salários mínimos ?

c) Qual a porcentagem das pessoas que ganham mais de 2 e até 5 salários mínimos ?

d) Qual a porcentagem de pessoas que ganham 5 ou menos de 5 salários mínimos?

9º) A capacidade de uma piscina, quando totalmente cheia de água, é de x litros. Se retirarmos 6480 litros de água dessa piscina, esse número representa 7,2 % da capacidade total x . Qual é o valor do número x ? 10º) Numa empresa há 18 000 funcionários, sendo 3 600 mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres. 11º) Qual a taxa percentual que 10 representa de 2 ? 12º) O valor do salário mínimo foi majorado de R$ 151 reais para 180 reais. Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento ?

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1º) Conjunto dos números Naturais ( ) São os primeiros números que o ser humano tomou conhecimento. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}

2º) Conjunto dos números Inteiros ( ) São os números naturais mais os números negativos.

Z = { ..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....}

Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5, ... } 3º) Conjunto dos números Racionais ( ) São números racionais : Todas as frações Decimais exatos Decimais periódicos

3

2

5

12 5 1 23232323

8

4

15

66 76 11666666666

7 342 0 857142857142

3 543543543543

, , , ....

, , , ....

, , .....

, ....

− −

4º) Conjunto dos números irracionais ( )

2 1 4142135

3 1 7320508

3 1415926535

=

==

, ....

, ...

, ....π

5º) Conjunto dos números Reais ( ) Juntando todos estes números em um conjunto só temos o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.

INTERVALOS NUMÉRICOS Intervalo é qualquer subconjunto infinito de números reais. Um intervalo pode ser :

• INTERVALO ABERTO

• INTERVALO FECHADO

• INTERVALO SEMI – ABERTO À DIREITA

• INTERVALO SEMI – ABERTO À ESQUERDA

Veja abaixo os intervalos infinitos:

5 2

2 5

← Representação Geométrica

Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 2 < x < 5 }

← Representação Geométrica

Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 ≤≤ x }

5 2

← Representação Geométrica

Linguagem de Intervalos : [ 2 , 5 [ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 <≤ x }

2 5 ← Representação Geométrica

Linguagem de Intervalos : ] 2 , 5 ] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / 52 ≤< x }

3

Linguagem de Intervalos : ] 3 , +[∞ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / x > 3}

EEXEMPLOS 1º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) b)

3

Linguagem de Intervalos : [ 3 , +[∞ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ / ≥x 3}

3

Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3[ Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ /x < 3}

3 Linguagem de Intervalos : ]-∞ , 3] Linguagem de conjuntos : { x ℜ∈ /x ≤ 3}

9 6

1 7

-5 4 c)

4 -3 d)

10 e)

7

f)

EXERCÍCIOS 1º) Represente na reta os intervalos reais :

a) [6,10] g){x ∈R/-2<x<4}

b) ]-1,5] h){x ∈R/4≤x<7}

c) ]-6,0[ i) ]- ∞,1]

d) ]-10,10[ j) ]- ∞,3[

e) [1,+ ∞[ l)[ 4,+ ∞[

f) {x ∈R/1<x<5} m) ]4,+ ∞[

2º) Usando a notação de conjuntos e a notação de intervalos escreva os seguintes intervalos representados na reta real : a) e) b) f) c) g) d) h)

8 2

2 5

3 7

6 3

4

5

3

-2

OPREÇÕES COM INTERVALOS Observe os exemplos abaixo: 1º) Se A = ] 2, 5 [ e B = {x ∈R/3≤x<8} , determine A U B e A I .B

2º) Dados os intervalos A = {x ∈R/ - 1 < x < 4} e B = ] - ∞ , 2 ] Determine A U B e A I .B

Exercícios 1º) Determine AUB e A∩B quando :

a) A=[-3,1[ e B=[0,3] b) A=]2,5[ e B=]1,4[ c)A=[-2,2[ e B=]-0,+ ∞[ d)A={x ∈ R/1<x<4} e B={x∈ R/x<4}

e)A={x∈R/1≤ x ≤2} e B={x∈R/ 0≤ x ≤ 5} f) A ={x ∈R / -1≤ x ≤ 2 } e B= {x ∈R / 0 ≤ x ≤ 5 }

2º) Dados A = ] –2, 3] , B= [ 0, 4 [ e C= {x ∈ R / 1 < x < 5} determine AUBUC e A∩B∩C .

FUNÇÕES 1 – Noção Intuitiva de função Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos uma situação : Exemplo : Seja um quadrado de lado l .

Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :

l

Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que Pode ser verificado pela tabela seguinte :

Medida do Lado (l)

Medida do Perímetro (p)

1 m 2 m

3,5 m 3 m

4,5 m 7 m 10 m

Pela tabela , observamos que : • A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável • A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável • A todos os valores de l estão associados valores de p • A cada valor de l está asociado um único valor de p

Dizemos então: a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.

2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de de A em B expressa por y = 2x –3 , com x ByeA ∈∈ , temos : 2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por y = 3x+1 , com x ByeA ∈∈ , temos : 3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por y = x2 , com x ByeA ∈∈ , temos :

4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por

y = x± , com x ByeA ∈∈ , temos : OUTROS EXEMPLOS 1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3, com x ByeA ∈∈ . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 2º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula y = x2 + 2, com x ByeA ∈∈ . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 3º) Dada a função f:R →R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5). 4º) Dada a função f:R →R/ f(x)=3x + 1, calcule:

a) f(-2)=

b) f(-1)

c) f(0)=

d) f(3)=

e) f(5)=

f) f( 1

2) =

5º) Sendo f:R →R/f(x)=x2 - 3x -10 , calcule: a) f(-2)=

b) f(-1)=

c) f(0)=

d) f(3)=

e) f(5)=

f) f( 1

2) =

6º) Dada a função f(x)= - 4x + 3 , determine os valores de x para que:

a) f(x) = - 4 b) f(x) = 1

2

7º) Seja a função definida por f(x)= x2 - 3x - 4. Determine os valores de x para que se tenha :

a) f(x) = - 6

b) 14