1
GABARITO R4 MATEMÁTICA
SETOR 1101
Resposta da questão 1:
a) V = 2 m / 2, 8 m .
4
b) m ≤ - 2 ou m ≥ 2.
c) m = 2
d) x = [ y 1 ] - 1.
Resposta da questão 2:
a) Cs(x) = 0,4 . x + 30 e
Cm(x)
90, se 0 x 200
0,6 . x 30, se x 200 '
onde Cs(x) e Cm(x) denotam, respectivamente, o custo diário nas locadoras Saturno e Mercúrio para x quilômetros percorridos.
b)
Saturno : 150km x 300km
Mercúrio : 0km x 150km ou x 300km
R$0,30 por quilômetro rodado.
Resposta da questão 3:
a) x < - 5/2 ou x > 0.
2
b) p ≤ - 3.
Resposta da questão 4:
a) Re(ω1) = -1
2
e Im(ω1) = - 3
2
Re(ω3) = 1 e Im(ω3) = 0.
b)
c) 1, -1
2
+ i3
2
e - 1
2
- i3
2
.
Resposta da questão 5:
a) Fatorando p(x), obtemos
3 2
2
2
p(x) x 2x 9x 18
x (x 2) 9(x 2)
(x 2)(x 9).
Portanto, r 3 e s 2.
b) Se z 1 i, então 2 2z (1 i) 2i. Logo,
2
p(z) (1 i 2)(2i 9)
2i 9i 2i 9
7 11i.
Resposta da questão 6:
a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1 iα e 1 i.α Logo,
3
2 2
p(x) (x ( 1))(x (1 i))(x (1 i))
(x 1)(x 2x 1).
α α
α
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8 e 0,α pelo Teorema do Resto, vem
2 2
2
p(1) 8 (1 1)(1 2 1 1) 8
4
2.
α
α
α
b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x 1 é
22p(x) (x 1)(x 2x 5)
x 2x 5.x 1 x 1
Resposta da questão 7:
n = número inicial de trabalhadores.
Cada trabalhador deveria receber 10800
.n
Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a
equação:
210800 324600.(n 3) 3 6.(n 3) 6n 18n 324 0
n n
Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = –6 (não convém).
a) Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o serviço.
b) Cada um deles recebeu 10800
1800 reais.6
Resposta da questão 8:
a) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2
2 2
2 2
P(x) (x 1) ( 2 x)
P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)
Resolvendo as equações:
4
2x 2 x 1 0, temos 2 2i 2 2i
x ou x2 2
2x 2 x 1 0, temos
2 2i 2 2ix ou x
2 2
b) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2
2 2
2 2
P(x) (x 1) ( 2 x)
P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)
Resposta da questão 9:
a) Utilizando o teorema do resto, temos:
2
p 1 3
1 – 11.1 k 2 3
8 k 3
k 11
b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x2 – 11x + 6 com raízes a e b, onde:
a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6
(a b). 11 1sen sen sen
a b a.b 6 2
π π π π
Resposta da questão 10:
a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no gráfico, temos:
2 2.1 1 p 1 p 0 p 1.
b) 2x x 3 12 x 3 12 2x x 3 12 2x ou x 3 2x 12Ûx 5 ou x 9.
x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0.
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.
Resposta da questão 11:
a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas conjugadas, então (1+i), (1-i), r e – r são
raízes de P(x)
Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos:
28(1 i) (1 i) r ( r) 2.r 8 r 2
1
Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), 2 e -2
5
Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos:
4 3 2
P x 1. x 1 i .(x 1 i . x 2 . x 2
P x x 2x 2x 8x 8
Logo, a 2, c 2 e c 8.
b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos;
1 i 1 i
1 i 1 i
2 1 1
2 1 3
Portanto,
2
q x k. x i . x i . x – 1 . x 3
q x k. x 1 . x 1 . x 3
Para k diferente de zero.
1. Resposta da questão 12:
Numa viagem de 378km são consumidos 378
2813,5
litros de combustível. Logo, a quantidade de 2CO emitida pelo carro foi de
28 2,7 75,6kg.
2. Seja 2c(v) av bv c a lei da função que fornece a quantidade de 2CO , em g km, com relação à velocidade v, para
velocidades entre 20 e 40km h.
Da tabela fornecida obtemos:
2
2
a 20 b 20 c 400,
a 30 b 30 c 250
e
2a 40 b 40 c 200.
Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que:
400a 20b c 400
900a 30b c 250 .
1600a 40b c 200
6
Logo,
1a
c 400 20b 400a 2
50a b 15 b 40 .
60a b 10 c 1000
Portanto, 21
c(v) v 40v 1000.2
Resposta da questão 13:
Raízes: x
,x,x.qq
Multiplicando as raízes, encontramos x3 = ( 64)
x 41
b) Fazendo x = 4, encontramos o valor de k.
43 – 14.42 + 4.k – 64 = 0 k = 56
a) Considerando k = 56 e aplicando Briott Ruffini:
Resolvendo, agora a equação x2 – 10x + 16 = 0 as outras raízes são 2 e 8.
Logo, as raízes são 2, 4 e 8.
Resposta da questão 14:
a)
0
0
0 0
1 i iz i
(1 i)(1 i) 2i.i
1 i iz 1
2 2
1 2i 1z z 1.i
2 2
Parte real = 1
2 e parte imaginária = 1.i
7
b) Se 1
i2 é raiz, então seu conjugado
1i
2 também será.
Calculando a soma das raízes S = 1
i2 +
1i
2 = 1
Calculando o produto de raízes: P = 1
i2
.
1i
2
=
5
4
Utilizando a equação x2 – S.x + P = 0, temos:
x2 – x + 5
4= 0 (multiplicando por 4)
4x2 – 4x + 5 = 0
c) zo.w = 2 2
5 2.( )2 2
W = i
i
i26
2
1
)1(5
Ou
zo.w = 2 2
5 2.2 2
W = 5( 1 i)
6 2i1
i2
d)
Resposta: Z1 = 1 +
1.i
2
Resposta da questão 15:
8
a) (- 7/5, 3/5, 13/5).
b) - 73/5.
Resposta da questão 16:
a) Se o preço subir para R$ 18,00
b) f(x) = - 5 (x - 20) (x + 15), com 0 ≤ x ≤ 20
c) R$ 17,50
Resposta da questão 17:
a) g(3) = 2
b) f(x) = x/2
c) S = {15}
Resposta da questão 18:
z = 2i ou z = - 2
Resposta da questão 19:
a) q = 10
b) 1, 1 - 3i e 1 + 3i
Resposta da questão 20:
a) a = - 0,1; b = 1 e c = 1,1.
b) 11 m.
9
SETOR 1102
Resposta da questão 1:
a) Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,
2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,
2 2 2 2AE AD DE 3 1 4
e
2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1
x 5 cm.
b) É imediato que BAC 45 .
Do triângulo ACD, temos
CD 1tgCAD CAD arctg 45 .
2AC
10
Do triângulo ADE, vem
DE 1tgDAE DAE arctg 30 .
3AD
Do triângulo AEF, segue
EF 1tgEAF EAF arctg 30 .
4AE
Portanto, tem-se
BAC CAD DAE EAF
45 45 30 30
150 .
α
Resposta da questão 2:
Considere a figura, em que P' e Q ' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L.
Como Q e Q ' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS 2 ST e,
portanto, RT 3 ST.
Do triângulo PRT, vem
11
PTtg60 PT 3 3 ST
RT
e
PT 3 3 STsen60 PR
3PR
2
PR 6 ST.
Do triângulo PST, obtemos
PT 3 3 STtg tg
ST ST
tg 3 3.
α α
α
Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α e que α é agudo, encontramos
22 1 27
cossec 1 sen283 3
3 21sen .
14
α α
α
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
PRQR RS 2 ST2
sen sen sen3 21
14
21sen .
7
α θ θ
θ
Resposta da questão 3:
a) Sócrates deve obter pelo menos 2 seis.
12
Portanto, a probabilidade será P = 16/216 = 2/27.
b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5.
Logo, a probabilidade será P = 43/216.
Resposta da questão 4:
a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de:
201200 240,00.
100
Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 240
0,4 40%.600
Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de:
301800 540,00.
100
Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de: 540
0,9 90%.600
13
b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: 7 + 4 + 3 + 2 = 16.
Total de alunos: 9 + 8 + 6 + 16 = 39.
Alunos que se matricularam em apenas um curso: 9 + 8 + 6 = 23.
Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 23/39.
Resposta da questão 5:
a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3.
b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 9 9!
362 7! 2!
modos de escolher duas unidades da
região Nordeste e 4 4!
62 2! 2!
modos de escolher duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de
escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma
unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental
da Contagem, temos
7 5 11N 36 6 7 4 3 3 2 3 7.
c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de
2 4
81 81!
7 74! 7!
81 80 79 78 77 76 75
7 6 5 4 3 2
50 2 3 11 13 19 79
maneiras. Logo,
5 11
2 4
2 3 7P
50 2 3 11 13 19 79
1 18 63 108
50 19 79 143
1,
50
14
pois 18 63
,19 79
e 108
143 são menores do que 1.
Resposta da questão 6:
a) Observe:
10,4 6,4 6,4 4,4
Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas)
C 210 C 15 C 15 C 1
Total 210 15 15 1 47 250
b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer: 2 2 20
15 5 125 .
Final Maria e José e uma Maria vencer: 2 3 2 12
5 5 5 125 .
Final marta e João e uma Marta vencer: 2 3 2 12
5 5 5 125 .
Probabilidade pedida 20 12 12 44
125 125 125 125 .
Resposta da questão 7:
a) Observe o cálculo a seguir:
2 2
2
2
2
2.cos(2 ) 3.cos 1 0
2.(cos sen ) 3.cos 1 0
2.(2.cos 1) 3.cos 1 0
4cos 3.cos 1 0
25
1cos3 5
cos 48
cos 1(não coném)
1 15logo, sen = 1
4 4
α α
α α α
α α
α α
Δ
αα
α
α
b) traçando uma reta r representada na figura, temos:
15
15 5x
10cosx
15 5x1 10
4 x
10x 4 15 20x
30x 4 15
2 15x
15
α
16
SETOR 1103
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