1

GABARITO R4 MATEMÁTICA

SETOR 1101

Resposta da questão 1:

a) V = 2 m / 2, 8 m .

4

b) m ≤ - 2 ou m ≥ 2.

c) m = 2

d) x = [ y 1 ] - 1.

Resposta da questão 2:

a) Cs(x) = 0,4 . x + 30 e

Cm(x)

90, se 0 x 200

0,6 . x 30, se x 200 '

onde Cs(x) e Cm(x) denotam, respectivamente, o custo diário nas locadoras Saturno e Mercúrio para x quilômetros percorridos.

b)

Saturno : 150km x 300km

Mercúrio : 0km x 150km ou x 300km

R$0,30 por quilômetro rodado.

Resposta da questão 3:

a) x < - 5/2 ou x > 0.

2

b) p ≤ - 3.

Resposta da questão 4:

a) Re(ω1) = -1

2

e Im(ω1) = - 3

2

Re(ω3) = 1 e Im(ω3) = 0.

b)

c) 1, -1

2

+ i3

2

e - 1

 2

- i3

2

.

Resposta da questão 5:

a) Fatorando p(x), obtemos

3 2

2

2

p(x) x 2x 9x 18

x (x 2) 9(x 2)

(x 2)(x 9).

Portanto, r 3 e s 2.

b) Se z 1 i, então 2 2z (1 i) 2i. Logo,

2

p(z) (1 i 2)(2i 9)

2i 9i 2i 9

7 11i.

Resposta da questão 6:

a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são 1, 1 iα e 1 i.α Logo,

3

2 2

p(x) (x ( 1))(x (1 i))(x (1 i))

(x 1)(x 2x 1).

α α

α

Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8 e 0,α pelo Teorema do Resto, vem

2 2

2

p(1) 8 (1 1)(1 2 1 1) 8

4

2.

α

α

α

b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x 1 é

22p(x) (x 1)(x 2x 5)

x 2x 5.x 1 x 1

Resposta da questão 7:

n = número inicial de trabalhadores.

Cada trabalhador deveria receber 10800

.n

Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a

equação:

210800 324600.(n 3) 3 6.(n 3) 6n 18n 324 0

n n

Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = –6 (não convém).

a) Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o serviço.

b) Cada um deles recebeu 10800

1800 reais.6

Resposta da questão 8:

a) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2

2 2

2 2

P(x) (x 1) ( 2 x)

P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)

Resolvendo as equações:

4

2x 2 x 1 0, temos 2 2i 2 2i

x ou x2 2

2x 2 x 1 0, temos

2 2i 2 2ix ou x

2 2

b) P(x) = x4 + 2.x2 + 1 – 2x2

2 2

2 2

P(x) (x 1) ( 2 x)

P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)

Resposta da questão 9:

a) Utilizando o teorema do resto, temos:

2

p 1 3  

1 – 11.1 k 2 3

8 k 3

k 11

b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x2 – 11x + 6 com raízes a e b, onde:

a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6

(a b). 11 1sen sen sen

a b a.b 6 2

π π π π

Resposta da questão 10:

a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no gráfico, temos:

2 2.1 1 p 1 p 0 p 1.

b) 2x x 3 12 x 3 12 2x x 3 12 2x ou x 3 2x 12Ûx 5 ou x 9.

x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0.

Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.

Resposta da questão 11:

a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas conjugadas, então (1+i), (1-i), r e – r são

raízes de P(x)

Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos:

28(1 i) (1 i) r ( r) 2.r 8 r 2

1

Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), 2 e -2

5

Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos:

4 3 2

P x 1. x 1 i .(x 1 i . x 2 . x 2

P x x 2x 2x 8x 8

Logo, a 2, c 2 e c 8.

b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos;

1 i 1 i

1 i 1 i

2 1 1

2 1 3

Portanto,

2

q x k. x i . x i . x – 1 . x 3

q x k. x 1 . x 1 . x 3

Para k diferente de zero.

1. Resposta da questão 12:

Numa viagem de 378km são consumidos 378

2813,5

litros de combustível. Logo, a quantidade de 2CO emitida pelo carro foi de

28 2,7 75,6kg.

2. Seja 2c(v) av bv c a lei da função que fornece a quantidade de 2CO , em g km, com relação à velocidade v, para

velocidades entre 20 e 40km h.

Da tabela fornecida obtemos:

2

2

a 20 b 20 c 400,

a 30 b 30 c 250

e

2a 40 b 40 c 200.

Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que:

400a 20b c 400

900a 30b c 250 .

1600a 40b c 200

6

Logo,

1a

c 400 20b 400a 2

50a b 15 b 40 .

60a b 10 c 1000

Portanto, 21

c(v) v 40v 1000.2

Resposta da questão 13:

Raízes: x

,x,x.qq

Multiplicando as raízes, encontramos x3 = ( 64)

x 41

b) Fazendo x = 4, encontramos o valor de k.

43 – 14.42 + 4.k – 64 = 0 k = 56

a) Considerando k = 56 e aplicando Briott Ruffini:

Resolvendo, agora a equação x2 – 10x + 16 = 0 as outras raízes são 2 e 8.

Logo, as raízes são 2, 4 e 8.

Resposta da questão 14:

a)

0

0

0 0

1 i iz i

(1 i)(1 i) 2i.i

1 i iz 1

2 2

1 2i 1z z 1.i

2 2

Parte real = 1

2 e parte imaginária = 1.i

7

b) Se 1

i2 é raiz, então seu conjugado

1i

2 também será.

Calculando a soma das raízes S = 1

i2 +

1i

2 = 1

Calculando o produto de raízes: P = 1

i2

.

1i

2

=

5

4

Utilizando a equação x2 – S.x + P = 0, temos:

x2 – x + 5

4= 0 (multiplicando por 4)

4x2 – 4x + 5 = 0

c) zo.w = 2 2

5 2.( )2 2

W = i

i

i26

2

1

)1(5

Ou

zo.w = 2 2

5 2.2 2

W = 5( 1 i)

6 2i1

i2

d)

Resposta: Z1 = 1 +

1.i

2

Resposta da questão 15:

8

a) (- 7/5, 3/5, 13/5).

b) - 73/5.

Resposta da questão 16:

a) Se o preço subir para R$ 18,00

b) f(x) = - 5 (x - 20) (x + 15), com 0 ≤ x ≤ 20

c) R$ 17,50

Resposta da questão 17:

a) g(3) = 2

b) f(x) = x/2

c) S = {15}

Resposta da questão 18:

z = 2i ou z = - 2

Resposta da questão 19:

a) q = 10

b) 1, 1 - 3i e 1 + 3i

Resposta da questão 20:

a) a = - 0,1; b = 1 e c = 1,1.

b) 11 m.

9

SETOR 1102

Resposta da questão 1:

a) Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4

e

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5 cm.

b) É imediato que BAC 45 .

Do triângulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .

2AC

10

Do triângulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .

3AD

Do triângulo AEF, segue

EF 1tgEAF EAF arctg 30 .

4AE

Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

α

Resposta da questão 2:

Considere a figura, em que P' e Q ' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L.

Como Q e Q ' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS 2 ST e,

portanto, RT 3 ST.

Do triângulo PRT, vem

11

PTtg60 PT 3 3 ST

RT

e

PT 3 3 STsen60 PR

3PR

2

PR 6 ST.

Do triângulo PST, obtemos

PT 3 3 STtg tg

ST ST

tg 3 3.

α α

α

Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α e que α é agudo, encontramos

22 1 27

cossec 1 sen283 3

3 21sen .

14

α α

α

Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem

PRQR RS 2 ST2

sen sen sen3 21

14

21sen .

7

α θ θ

θ

Resposta da questão 3:

a) Sócrates deve obter pelo menos 2 seis.

12

Portanto, a probabilidade será P = 16/216 = 2/27.

b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5.

Logo, a probabilidade será P = 43/216.

Resposta da questão 4:

a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de:

201200 240,00.

100

Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 240

0,4 40%.600

Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de:

301800 540,00.

100

Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de: 540

0,9 90%.600

13

b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: 7 + 4 + 3 + 2 = 16.

Total de alunos: 9 + 8 + 6 + 16 = 39.

Alunos que se matricularam em apenas um curso: 9 + 8 + 6 = 23.

Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 23/39.

Resposta da questão 5:

a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3.

b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 9 9!

362 7! 2!

modos de escolher duas unidades da

região Nordeste e 4 4!

62 2! 2!

modos de escolher duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de

escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma

unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental

da Contagem, temos

7 5 11N 36 6 7 4 3 3 2 3 7.

c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de

2 4

81 81!

7 74! 7!

81 80 79 78 77 76 75

7 6 5 4 3 2

50 2 3 11 13 19 79

maneiras. Logo,

5 11

2 4

2 3 7P

50 2 3 11 13 19 79

1 18 63 108

50 19 79 143

1,

50

14

pois 18 63

,19 79

e 108

143 são menores do que 1.

Resposta da questão 6:

a) Observe:

10,4 6,4 6,4 4,4

Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas)

C 210 C 15 C 15 C 1

Total 210 15 15 1 47 250

b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer: 2 2 20

15 5 125 .

Final Maria e José e uma Maria vencer: 2 3 2 12

5 5 5 125 .

Final marta e João e uma Marta vencer: 2 3 2 12

5 5 5 125 .

Probabilidade pedida 20 12 12 44

125 125 125 125 .

Resposta da questão 7:

a) Observe o cálculo a seguir:

2 2

2

2

2

2.cos(2 ) 3.cos 1 0

2.(cos sen ) 3.cos 1 0

2.(2.cos 1) 3.cos 1 0

4cos 3.cos 1 0

25

1cos3 5

cos 48

cos 1(não coném)

1 15logo, sen = 1

4 4

α α

α α α

α α

α α

Δ

αα

α

α

b) traçando uma reta r representada na figura, temos:

15

15 5x

10cosx

15 5x1 10

4 x

10x 4 15 20x

30x 4 15

2 15x

15

α

16

SETOR 1103