Rev. IG, São Paulo, 2(1) :59-64,jan./jun. 1981
CÁLCULO APROXIMADO DE COEFICIENTES DEPERMEABILIDADE EM ROCHAS SEDIMENT ARES
DE AQUIFEROS
MOACYR DE CARVALHO *
RESUMO
o presente trabalho completa um anterior já publicado na Rev. IG, v. 1,n. 1.. ian./jun. 1980, versando sobre o cálculo aproximado de coeficientes depermeabilidade dos diversos estratos de sedimentos que, geralmente, compõemum aquífero.
Trata_se de um método que se baseia fundamentalmente na representaçãode um fenômeno mecânico ou seja da percolação da água em um meio poroso,através de um sistema de equações Eneares.
Embora a parte já publicada e a presente estejam ligadas pela mesma idéiacentral, são dois procedimentos distintos no que concerne à geração do sist.ema
. de eqüações.
ABSTRACT
The present paper is a complementof a previaus warIe publishedlu the Rev. IG, v. 1, n. I, Jan./Jun. 1980, dealing about approximate va1uationof permeability coefficients about several sediments beddings in which generallyaquifer are constituted.
The method is based fundamentally in the physical phenomenon presentation,that is, the w.ater filtration in the porous environment, thraugh a system of linearequations.
Although the luformation published and the present wark are linIeed by thesame central idea, there are two different proceedings in the equations systemgeneration.
INTRODUÇÃO
Na Revista do Instituto Geológico, v. I, n. 1 1980, apre-sentamos umametodologia com a finalidade de secalcular aproximadamente os coeficientes de permeabilidade de um aquífe-ro, pela formulação de um sistemade equações lineares, mediante certasrestriçõe-s baseadas nas seguintes suposições:
• a estrutura do aquífero temcerta uniformidade, isto é, ocorre segundo camadas contínuas
e com um certo grau de uniformidade sedimentológica;
• cada camada de sedimentoscomporta-se como aquífero livre e independente;
• as camadas isoladas do aquífero obedecem à equação deDUPUIT;
8 o rebaixamento total do lençól,sob bombeamento, se distribueproporcionalmente à espessurados sedimentos;
" Engenheiro - Pesquisador Científico - Assess oria de Programação - Instituto Geológico.
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~ O diâmetro do poço tubular éconstante e o raio de influênciaé tomado aproximadamente emfunção da fração textural principal dos sedimentos presentesem cada camada (areia, argila,silte, etc.).
Estas hipóteses de base, evidentemente necessárias para se procedertal avaliação, poderão ser melhoradas.Por exemplo, o rebaixamento total distribuído proporcionalmente à espessura do aquífero poderá ainda considerar uma definida escala de valoresque guarde uma relação com a composição e a distribuição granulométrica dos estratos.
Como a investigação da metodologia comporta ainda uma idéia fundamental, já que está interessada emobter valores aproximados de· permeabilidade, é certo que estes valores sãopassíveis de serem melhorados em limites satisfatórios para a sOlução problema em foco, pois que se· trata de ulnmodelo sempre possível de ser modificado de acordo com Os resultados desua aplicação. Em hidrologia é frequente a sugestão de vários modelospara a solução de problemas reais, commenor ou maior grau de aproximaçãonos resultados.
o método proposto consistiu emsupor que a vazão Q, obtida em teste de bombeamento de produção deum poço tubular, pode ser decompostasegundo a expressão:
I;Qi = Q i = 1,2, ... , n , oque é sempre possível, onde ,o índicegenérico i designa uma camada arbitrária do aquífero. A partir de n p.oços tubulares situados numa área restrita é possível obter-se o sistema 'deequações lineares
I;aijKj - Qj = O (1) ou AK = Qi, j = 1, 2, ,n
de solução única sob a condição de quea matriz quadrada A tenha o seu determinante Det (A) ~ O, onde os aijsão os elementos da matriz dos coeficientes do sistema.
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Para o cálculo dos coeficientes aijadmitiu-se a fórmula
2
To lj (H- h)2aij --- ---- (2) como con-
24 H2 (InRj- 1m)sequência das hipóteses iniciais e dae-xpressão (1) acima, onde:
lj é a espessura da camada de ordem j;
(H- h)2 = ao quadrado do rebaixamento total;
H = altura do plano representado pelo nível estático a partirdo plano que passa pelo fundo do poço;
Rj e r, respectivamente', o raio deinfluência e o raio do poço,sendo o primeiro relacionadocom a fração principal do sedimento da camada j (nredominância percentual de areia,argila ou silte. . .).
Note-se que (2') é parte da equação de Dupuit, ou seja, Qi = aij Kj,onde Kj é a incognita procurada, oque permite a formulação do sistema(1). Também os coeficientes estãoajustados para exprimir a vazão e ocoeficiente de permiabi'lidade- em unidades compatíveis.
OBJETIVO
Este trabalho visa mostrar a flexibilidade do método em questão, na demons.tração de que o sistema de' equações (1) poderá ser gerado no ~nsaiode teste de um único poço tubularse, a partir da identificação dos estratos no curso da perfuração, desde quese introduza variações da vazão de Qno poço testado, tantas vezes quantoseja o número de estratos de sedimentos registrados.
Ora, a variação de Q medianteuma modificação na operação de bombeamento traz como consequênciauma variação no rebaixamento, já queeste é uma função de Q em certos limites.
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METODOLOGIA
JUSTIFICATIVA
Por exemplo, a potência de umabomba centrífuga se exprime por:
Hp com base no teorema de Bernoulli e em simplificações se representa por p~- ~ com variação segundo
d
perdas de carga no sistema, neste caso, perdas de energia específica depressão. Assim se pode por este proce·dimento modificar Q e, por consequência, o rebaixamento, isto é, o valor deh (nível dinâmico) é uma variável permanecendo H constante.
sendo A a matriz dos coeficientes aijdo sistema, associada ao det (A). Qe K representam os vetores colunarespectivamente das vazões observadas e dos coeficientes de permeabilidade a serem determinados pela solução do sistema (1).
AK = Q,
Adotemos a linguagem da álgebramatricial para brevidade da exposição.O sistema (1) será designado:
ANÁLISEDO PROBLEMA
A nossa análise vai estar centrada na comprovação do fato de que seum sistema de equações lineares de nequações e n incognitas, gerado pelaobservação das variações de vazão edo rebaixamento total de· um únicopoço tubular, são independentes entresi e constitue um sistema consistenteisto é, duas equações quaisquer do sis~tema não são combinações lineares.
Assim a metodologia adotada foi ade associar um mode10matemático aofenômeno físico considerado, que pudesse ter aplicação. Consideramos, poroutro lado, que os ensaios de permeabilidade em laboratório, ainda quemais precisos, são obtidos de amostrasde rochas e a sua quantidade a par deoutras dificuldades não permitem inferências estatísticas aceitáveis. Comodificuldade pode...se mencionar a obtenção de amostras de material nãoconsolidado.
(n rendimentoNo = 'Y Q Hp75 n
da bomba).
A medida de coeficientes de permeabilidade, mesmo que aproximadadentro de limites razoáveis, é umaquestão de interesse no conhecimentoda estrutura de aquíferos bem comodo movimento da água através das rochas, do qual depende o seu' manejoracional, pois isto tem implicações naeconômia regional, tanto maioresquanto mais intensa for a exploraçãoda água procedente do aquífero. Pois,neste caso, é necessário manter emrelativo equilíbrio a capacidade dereearga do aquífero e a extração deágua através de poços tubulares'-
A presente investigação, tal comoa concebemos e justificamos, segueuma metodologia geralmente adotadapelos pesquisadores que se ocupamdesse segmento do ciclo hidrológico.Ela tem sido proposta, mais, por modelos matemáticos, o que é compreensível, em face das dificuldades impostas pelo método direto. Este, via deregra, exige fortes investimentos,grande dispêndio de tempo, além desua limitação dada as dimensões físicas do próprio problema.
Para a nossa finalidade é su'ficiente comprovar que no det (A)não ocorrem linhas ou' colunas proporcionais, nem nulas· Pois neste caso det (A) ~ O e o sistema admitesolução única e o modelo tem completa flexibilidade em sua aplicação.
Tomadas duas linhas ou duascolunas arbitrárias do det(A) , deverão ser verificadas as relações seguintes:
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ail~ --- ~ ..... ~ --- ~ --- ~ ~
ai+1,1 ai+l,2 ai+l,n al,j + 1 a2,j + 1
Para situar escrevemos o sistema AK = Q na forma expandida
3l'lKl + + aljKj + + alnKn Ql
ailKI + + 3ijKj + + ainKn
ai+I,IKI + + 3i+l,jKj + + ai+l,nKn
= Qi
Qi+l
aij (H- hi)2 ~ mai+ 1,j (H- hi+ 1) 2
onde h é uma variável relacionada àvariação de Q.
A relação anterior mostra a inexistência de proporcionalidadeo entreaij e ai+l,j, pois O lado direto da expressão varia de acordo com umacurva durante uma variação contínuade Q. Sendo os coeficientes tomadosarbitrariamente resulta que entre aslinhas de det (A) não existem combinações lineares.
o mesmo acontece' com as colunas do determinante considerado. Naverdade, tomando novamente a fórmula de cálculo de aij, verificamosque dois elementos quaisquer da linha i diferem entre si ou pela espessura da camada de sedimento correspondente, ou então pela diferençaInRj -1m, visto que Rj varia de camada para camada (granulometrias diferentes) .
mmonde
=Qn
Logo ~ ~ai,j + 1
indica uma constante.
A conclusão final é que· o sistemagerado pela via indicada é consistente, pois implica em det (A) ~ Oe a metodologia exposta em nosso trabalho constante na Rev. IG. v. I, n. 11980, se estende para o caso em que onúmero de poços tubulares se reduzaa um, o que é o escopo deste trabalho.
annKn
C=-----24H2 (InRj- 1m)
Tomando dois coeficientes arbitrários da coluna j do det (A), podemos escrever:
anlKI + + anjKj + +
observando que o índice j indica aposição sucessiva das camadas de se,dimento e também a coluna de ordemj do determinante det (A), enquant.o que o índice i designa a ordem daseqúações correspondentes à vazão genérica Qi e a linha i do determinante.
Demonstremos que variando Qpor um incremento 6. Q, ou sejaI Qi + I - Qi I, = /1 Q, em correSípondência com a variação do rebaixamento dolençól, obteremos duas equações do sistema, cujos coeficientes não são proporcionais, isto é, não são combinaçõeslineares entre- si.
Tomemos arbitrariamente doiscoeficientes aij e ai+ I, j (situados namesma coluna j do det (A) e mostremos que não se verifica a relação:
aij = m ou aij = ai+l,j X m,ai+l,j
onde m é uma constante, e por conseauência sendo
Qi .' aij Kj e Qi+l = ai+l,j Kjtem-se Qi aij como---~m
Qi + I ai + l,jse quer demonstrar.
Nós temos admitido para cálculodos coeficientes aij a expressão seguinte:
aij = C x (H -h) 2 onde para a camada j considerada
12 é uma constante,7r j
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CONSIDERAÇÕESFINAIS
As investigações, que estamosrealizando em torno de aspectos hidrogeológicos de aquíferos, relacionam-se com a avaliação de coeficientes de permeabilidade e contêm certoaspedo teórico, o que é uma característica geral no desenvolvimento demodelos visando representar um fenômeno complexo da natureza.
Outra faceta na abordagem destas questões são as hipóteses colocadas em seus fundamentos, cuja validade e posteriores ajustagem provêmdos testes experimentais a que sãosubmetidas. Por outro lado existemproblemas tais, que· pela sua extremacomplexidade, somente são viáveis desolução dentro de certos limites deprecisão.
No caso examinado, o fenômenode percolação da água em interstíciosde rochas apresenta contínua variação, com nítido cunho probabilístico,em virtude de quantidade de variáveis em ação.
Porém nas avaliações que entramem jogo variáveis que interferem nociclo hidrológico, pode-se chegar aaproximações de parâmetros com aprecisão necessária para se propor o problema considerado evidentemente sem se procurar senão a precisão possível.
O modelo que desenvolvemos está dentro dessas limitações e a suaaplicabilidade dependerá não somente da maior ou menor exatidão comque' se obtenham os dados necessários
para a geração do sistema, mas também da ajustagem mais real das hipóteses de base.
Um número suficiente' de testesexperimentais constitue a via necessária para se melhorar o método.
As medidas necessárias para aformação das equações do sistema (1)são: as vazões incrementadas, oscorrespondentes valores do nível dinâmico estabilizado e a granulometriado material interceptado pelo poçoe suas espessuras. A granulometriados sedimentos é necessária para aavaliação do raio de influência, comojá foi explanado na primeira parte dotrabalho publicado.
As simplificações, que o métodocomporta, consiste na possível redução do número de equações do sistema (1). Assim, se ocorrerem camadasde sedimentos alternados onde os valores das frações prncipàis dos sedimentos (predomínio percentual desilte, areia, argila, etc.) estejam próximos entre si, essas camadas poderão ser assimiladas a uma única comespessura total igual à soma das espessuras parciais. No caso de sedime11,:tosargilosos, estes poderão serexcluídos devido à baixa pe·rmeabilidade da argila.
No entanto é necessário que ospares de valores Qi e hi, bem como asespessuras dos sedimentos sejam determinados com a melhor precisãopossível para que os valores dos coeficientes de permeabilidade se aproximem melhor de seus valores reais.
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