8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 1/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEMAS
Teoría de errores.
Solución numérica de ecuaciones no lineales.
Solución de ecuaciones lineales.
Interpolación.
Derivación e Integración numérica.Solución numérica de ecuaciones diferenciales.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 2/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función.Función continua.Límite de una sucesión.C ontinuidad de una función y convergencia de unasucesión.C ontinuidad de una función y convergencia de unasucesión.
Derivada de una función.
Diferenciabilidad y continuidad.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 3/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema de Rolle.Teorema del valor medio.Teorema del valor extremo.Integral del Rieman.Teorema del valor medio ponderado.Teorema del valor intermedio.
Teorema de Taylor
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 4/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función f en x 0.
x0
L
I
H H
I
L+ I
L-I
L es límite de f en x 0 porque por muypequeño que sea I , siempre hay H talque para todo x en (x 0- H, x0+ H) setendrá que f(x 0) estará en (L- I , L+ I ).
f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 5/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función f en x 0.
x0
LI
H H
I
L+ I
L-I
L es límite de f en x 0 porque por muypequeño que sea I , siempre hay H talque para todo x en (x 0- H, x0+ H) setendrá que f(x 0) estará en (L- I , L+ I ).
f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 6/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función.
x0
L I
H H
I
L no es límite de f en x 0 porquehay un I para el cual no habráH>0 tal f(x) esté en (L- I , L+ I )para todo x de (x 0- H, x0+ H).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 7/113
H
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función.
x0
L I
H
I
L no es límite de f en x 0 porquehay un I para el cual no habráH>0 tal f(x) esté en (L- I , L+ I )para todo x de (x 0- H, x0+ H).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 8/113
H
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una función.
x0
LI
H
I
L no es límite de f en x 0 porquehay un I para el cual no habráH>0 tal f(x) esté en (L- I , L+ I )para todo x de (x 0- H, x0+ H).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 10/113
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Función continua en z.
CÁLCULO NUMÉRICO
z
LI
H H
I
L+ I
L-If
.
).()(lim
:
X xtodoencontinuaes si X encontinuaes f funcióna
z f x f si X zencontinuaes f funcióna
X f Sea
z x!
p
p
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 11/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Límite de una sucesión.La sucesión infinita de números reales {a n } converge a unnúmero L, llamado el límite de la sucesión, si para todo I >0
existe un entero N 0 tal que para todo n> N 0 se cumple |a n-L|<I
.El límite se denota por {a n } p L.
.1001
10,10
0}1
{lim
,....1
....,,41
,31
,21
,1}1
{
:
550
5
gp
!"!
!
!
nquetiene se N ntodo para Dado
n
nn
Ejemplo
n
I
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 12/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
C ontinuidad de una función y convergencia desucesiones.S ea f: X p R. La función f es continua en x 0 X si y sólo si para todasucesión infinita {x
n } que converge a x
0 , se cumple que { f(x
n ) }p f(x
0 ).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 13/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Derivada de una función.
x x+h
f(x)
f(x+h) h x f h x f
lim x f 0h
)()()(' !
p
La d eriv ada d e f en x es el límite d e l a r a zón d e vari ación d e l a función con respecto a l a vari ación d e l avari ab le a lred ed or d e x; el límite estomad o cuand o l a vari ación tien d ea 0.Geométric amente, l a d eriv ada es l a pend iente d e l a t angente a l aC urva en x.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 14/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Diferenciabilidad y continuidad.
Si l a función f es d iferenci ab le en x, entonces f es continu a en x.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 15/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema de Rolle.
Sea f l a función d efinida sobre el interv a lo cerr ad o [a , b] yd iferenci ab le sobre el interv a lo ab ierto (a ,b); si f (a)= f (b) , entonces existe en (a ,b) el va lor c t a l que f¶ ( c )= 0.
a b
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 16/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema del valor medio.
Sea f l a función d efinida sobre el interv a lo cerr ad o [a , b] y d iferen-ciab le en el interv a lo ab ierto (a , b); entonces existe en (a , b) el va lor c t a l que
a bc
.)()()(ab
a f b f c f !
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 17/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema del valor extremo.
Si f es una función continu a d efinida en [a , b] , existen d os va lores d e xmin , xma x d e [a ,b] t a les que f ( xmin )e f ( x ) e f ( xma x ) par a tod o x d e [a ,b] . Si f es ad emás d iferenci ab le en [a , b] , xmin
y xma x coinci d en con a , o b , o los puntos d ond e f¶ es 0.
a bxmin xmax a bxmax
xmin
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 18/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Integral de Rieman.
x0 x1 x2 x3 xna b
)(lim)(1§´ !
gp
!
n
i i
b
a n x f
n
abd x x f
n
abia xi
!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 19/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema del valor medio ponderado.Sea f una función continu a d efinida en [a , b] . Existe un va lor x p en [a , b] t a l que
)()()( p
b
a x f abd x x f !´
a bxp
f(xp)
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 20/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema del valor intermedio.Si f es una función continu a d efinida en [a , b] y si h es un va lor t a l que f (a)<h< f (b) , entonces existe un va lor a< xh<b t a l que f ( xh )= h .
a b
f(a)
f(b)h
xh
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 21/113
CÁLCULO NUMÉRICO
CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S
Teorema de TaylorSea f una función continú a d eriv ab le n veces en [ x,x+h]
y f ( n+1 ) existe en ( x,x+h) , entonces
.,)!1(
)()(
),(!
)(......
!3)(
!2)(
!1)(
)()(
1)(
)(3)3(2)2()1(
h x y xentreva lor a lgún pa r an
h f siend o
nh x f h x f h x f h x f
x f h x f
nn
nn
!
!
I I
I
I
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 22/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Error El error a l usa r un va lor a proxim ad o x en vez un d e va lor id ea l ó exacto X es l a d iferenci a entre X y x.
Se d ice que el error d e x es ( x=X -x.
Error por d efecto y error por exceso.Si x<X se d ice que x es una a proxim ación por d efecto;
si x> X se d ice que x es una a proxim ación por exceso. Error ab soluto El error ab soluto d e l a a proxim ación x con respecto a l va lor exacto X es ( = |X -x| .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 23/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Cota del error absoluto En l a práctic a no se conoce el va lor exacto X ; por lo t anto, t ampoco se conoce el error ab soluto d el va lor a proxim ad o x. Sólo es posible estim a r un límite superior pa r a el error ab soluto d e x; este límite reci be el nombre d e cot a d el error ab soluto d e x y es represent ad o por ( x :
( = |X -x| e ( x .
Si X >x, result a X -x e ( x
y X e x+ ( x
; si X< x, reuslt a x- X e (
x y x- ( x e X ;d e d ond e x- ( x e X e x+ ( x , que es d enot ad o por
X= x s ( x .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 25/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Cota del error relativoU na cot a d el error rel a tivo d e un va lor a proxim ad o x con
respecto a un va lor exacto X es un va lor H
x t a l queH e H x ; esto implic a que ( =|X| H e |X| H x y por lo t anto
( x = |X| H x .
Norma lmente X es d esconoci d o , y x es mu y cerc ano a X ; entonces se pued e escri bir ( x = |x| H x .
La última igua l dad implic a x(1 - H x )e X e x(1 + H x ) ,
rel ación que se represent a por X = x(1 s H x ).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 26/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Cota del error relativo F orm a a proxim ada d e l a cot a d e error rel a tivo si X , x>0
y(
x < x H x = ( x /x
( x = x H x
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 27/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
F uentes de erroresError de mét od oLos m odel os son ap roxi mac ion e s que int ro duce n e rror e s .
Error resi d ua l El va lor exacto requiere un proceso infinito.
Error d e re d ond eo
H ay va lores que no pued en ser represent ad os con un número finito d e d ígitos.
Error d e oper aciónC uand o en l a s oper aciones se usan va lores a proxim ad os.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 28/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Díg itos si g nificativos de un númeroLos díg i t os d is t in t os de 0 son si gnifi cat ivos .
Los 0 anteriores a l primer d ígito d istinto d e 0 no son signific a tivos. Los 0 que a pa recen a l fina l d e un número con pa rte fr accion a ria son signific a tivos. Los 0 que a pa recen a l fina l d e un número entero son signific a tivos sólo si se tiene l a certez a d e que en sus posiciones d ebe est a r el d ígito 0. Pa r a evit a r d uda s se d ebe usa r l a not ación científic a .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 29/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Díg itos si g nificativos de un númeroEj empl os:
0.0005 27300
5.90950
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 30/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Díg itos si g nificativos e x actos de un número( senti d o estricto )
Los n pri me ros díg i t os si gnifi cat ivos de u n nú me ro
ap roxi mad o q son e x act os si el e rror ab so lut o de q c on r e s pect o al v al or e x act o Q no e x cede a med i a u ni dad dela p osi c ión n .
Ej empl o:
Q= 43.272
q= 43.270
| Q ± q |=0.002< (1/2)10 -2 =0.005
q t i e ne 4 díg i t os si gnifi cat ivos e x act os .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 31/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
Díg itos si g nificativos e x actos de un número( senti d o amplio )
Los n pri me ros díg i t os si gnifi cat ivos de u n nú me ro
ap roxi mad o q son e x act os si el e rror ab so lut o de q c on r e s pect o al v al or e x act o Q no e x cede a u na u ni dad dela p osi c ión n .
Ej empl o:
Q= 43.272
q= 43.270
| Q ± q |=0.002< 1*10 -4 =0.005
q t i e ne 6 díg i t os si gnifi cat ivos e x act os .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 32/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
R edondeo a n d íg itos si g nificativos1. E l i m ina r l os díg i t os que si gue n al díg i t o si gnifi cat ivo de
p osi c ión n .
2. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s may or que 5 , suma r 1 al díg i t o de p osi c ión n .
3. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s 5 , y si e n t r e l os que lesi gue n hay díg i t os d if e r e n te s de 0 , suma r 1 al díg i t o de
p osi c ión n .
4. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s 5 , l os que le si gue n son 0 , y el díg i t o de p osi c ión n e s i mpa r, suma r 1 al díg i t o de
p osi c ión n .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 33/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
R edondeo a n d íg itos si g nificativosEj empl o: r ed on dea r 3.14159 a 3 díg i t os si gnifi cat ivos .
1. T oma nd o l os 3 p ri me ros díg i t os si gnifi cat ivos queda3.14 y son el i m inad os 159
2. E l p ri me r díg i t o el i m inad o, 1 , no e x cede a 5.
3. P or l o ta n t o el nú me ro r ed on dead o a 3 díg i t os si gnifi cat ivos e s 3.14.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 34/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
R edondeo a n d íg itos si g nificativosEj empl o: r ed on dea r 3.14159 a 4 díg i t os si gnifi cat ivos .
1. T oma nd o l os 4 p ri me ros díg i t os si gnifi cat ivos, queda
3.141 y son el i m inad os 59.
2. E l p ri me r díg i t o el i m inad o, 5 , e s segu i d o el díg i t o 9 , d if e r e n te de 0 ; suma r 0.0001 a 3.141 pa r a obte ne r
3.142
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 36/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror de una sumaC oro la rio: La c ota de e rror ab so lut o de u na suma e s i gual
a la suma de la s c ota s de e rror e s ab so lut os decada suma nd o:(
s = ( p1 + ( p2 + ( p3 + « + ( p n .
Sea (max = má xi m o{ ( p1 , ( p2 , ( p3 , « ,( p n } , e n t on ce s
( s
u (max
;
p or l o ta n t o, no e xis te r az ón pa r a ma nte ne r díg i t os e n e x ce so e n l os té r m inos c on me nos e rror .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 37/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
R e g la para sumar números con diferente e x actitud 1. T oma r l os nú me ros c on me nor nú me ro de díg i t os
dec i male s .
2. E l i m ina r díg i t os de l os demá s nú me ros de m od o quequede n c on un díg i t o má s de l os nú me ros del pa so 1.
3. Suma r l os nú me ros de l os pa sos 1 y 2 c onsi de r a nd o t od os sus díg i t os .
4. Red on dea r el r e sultad o pa r a de j a r l o c on un díg i t o me nos .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 38/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 39/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror de la diferenciaSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os y sea D lad if e r e nc i a de l os c orr e s p on d i e n te s v al or e s e x act os .
Si d= p-q , s e t i e ne que ( d = ( p + (
q
y H d = ( ( p + (
q )/D.
Si p y q son ce r ca nos, el e rror r elat ivo de la d if e r e nc i a
se r á may or que l os e rror e s r elat ivos de p y q.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 40/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror del productoSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os, e n t on ce s la c otade e rror r elat ivo de R=p.q e s
H R = H p + H
q .
Si p e s c ons ta n te , e n t on ce s ( R = |p| H q
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 41/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror del cocienteSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os, e n t on ce s la c ota de e rror r elat ivo de R=p/q e s
H R = H p + H
q .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 42/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror de la potenciaSea n p u n nú me ro ap roxi mad o y n un v al or e x act o, e n t on ce s la c ota de e rror r elat ivo deR=p n e s
H R = | n | H p
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 43/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror de una funciónSea f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) u na f unc ión d if e r e nc i able , e n t on ce s e nt on ce s la c ota de e rror ab so lut o deR= f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) e s
n x
n
x x x
x
f
x
f
x
f
x
f (
x
x(
x
x(
x
x(
x
x!( ....
321
321
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 44/113
CÁLCULO NUMÉRICO
TEO RÍA DE ERRO RES
E rror de una funciónSea f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) u na f unc ión d if e r e nc i able , e n t on ce s e nt on ce s la c ota de e rror r elat ivo deR= f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) e s
n x
n x x x
x
f
x
f
x
f
x
f (
x
x(
x
x(
x
x(
x
x!
ln....
lnlnln321 321
H
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 45/113
CALCULO NUMERICO
C ERO S DE FUNC ION ES
Un cero de una función f real, continua y definida enun intervalo [a, b], es un valor z de [a, b] tal que
f(z)= 0.
a bx1 x2 x3
Los valores x1, x2 y x3 sonceros de la función f porquef(x1)=f(x 2)=f(x 3)= 0.
función f
ceros de f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 47/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DE LA FALSA PO SIC ION
Los signos de f(x 0) y f(x1) deben ser opuestos.
x1
cero de lafunción
x0 x2
)()()(
)()()(
01
01112
01
01
1
21
x f x f x x
x f x x
x f x f
x x
x f
x x
!
!
x3
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 48/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DE LA SEC AN TE
x2 x0
cero de la función f
)()()(
)()()(
10
10112
10
10
1
21
x f x f x x x f x x
x f x f x x
x f x x
!
!
x1x3
X0, x 1 p x 2
X1 ,x 2 p x 3
X2 ,x 3p
x 4:
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 49/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DE LA SEC AN TE (caso patológico)
x2x0
cero de la función f
)()()(
)()()(
10
10112
10
10
1
21
x f x f x x x f x x
x f x f x x
x f x x
!
!
x1
x3
X0, x 1 p x 2
X1 ,x 2 p x 3
X2 ,x 3p
x 4:
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 50/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DEN EWTON
x2 x0
cero de la función f
)( )(
)()(
1
1
i
iii
ii
ii
x f x f x x
x x x f
x f
!
!
x3 x1
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 51/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DEN EWTON: condición de convergencia.
x2 b
cero de la función f
x3 x1
a
Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, f' y f'' sonno nulas y no cambian de signo en [a,b],entonces, partiendo de un punto x 0 tal quef'(x0) y f''(x 0) tienen el mismo signo, el métodode N ewton converge al único cero de f en[a,b].
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 52/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DE APROX IMAC ION ES SUC ESIVAS
x2 x0x3 x1
x=f(x)
x 1 =f(x 0 )
x 2 =f(x 1 )
x 3 =f(x 2 )
x 4 =f(x 3 )::
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 53/113
CÁLCULO NUMÉRICO
C ERO S DE FUNC ION ES
METO DO DE APROX IMAC ION ES SUC ESIVAS: condición deconvergencia.
x2 x0x3 x1
x=f(x)
Sea f una función f(x) definida ydiferenciable en [a,b] y con f(x) en[a,b] para todo x de [a,b].Si existe un valor q<1 tal que
|f'(x)|e
q, entonces el método deaproximaciones sucesivas convergea un punto x* tal que x*=f(x*).
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 54/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES
Dadas dos funcionesf(x,y)g(x,y)
se desea encontrar un par (x*,y*) tal que
f(x*,y*)= 0g(x*,y*)=0
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 55/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES
C ada una de las ecuaciones representa una curva en el plano.La solución es el punto donde se intersectan las curvas.
f(x,y)= 0
g(x,y)=0C
onjunto depuntos (x,y)donde f(x,y)=0
C onjunto depuntos (x,y)donde g(x,y)=0
La solución: punto(x*,y*) tal quef(x*,y*) =0 yg(x*,y*)=0
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 56/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES
MÉTO DO DEN EWTON -RAPHSON
f(x,y)= 0g(x,y)=0
1. Se toma un punto inicial (x 0,y0).2. Se calcula nuevo punto (x n,yn):
3. Se toma el punto como y se repite el proceso hastaque los valores de f(x,y) y g(x,y) estén cercanos a cero.
¼½
»¬-
«¼½
»¬-
«!¼
½
»¬-
«
000
001
0
0
),(
),(
x x g
x x f A
y
x
y
x
n
n
¼½
»¬-
«
n
n
y
x¼½
»¬-
«
0
0
y
x
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
x
x
x
xx
x
x
x
!
x y x g
x y x g
y y x f
x y x f
A),(),(
),(),(
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
x
x
x
x
x
x
x
x
!
x y x f
x y x g
y y x f
x y x g
A A
),(),(
),(),(
)det(11
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 57/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES
MÉTO DO DE ITERAC ION ES
x=f(x,y)y=g(x,y)
1. Se toma un punto inicial (x 0,y0).2. Se calcula nuevo punto (x n,yn):
xn= f(x 0,y0)yn= g(x 0,y0)
3. Se toma el punto (x n,yn) como (x 0,y0) y se repite el procesohasta que los valores de x n-x0 y yn-y0 estén cercanos a cero.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 58/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES
MÉTO DO DE ITERAC ION ES
x=f(x,y)y=g(x,y)
C ondición de convergencia1. Las funciones f(x,y) y g(x,y) son definidas y diferenciables en
el rectángulo R : a e x e A , b e y e B.2. La aproximación inicial (x0,y0) y las siguientes están en R.3. Para todo (x, y) de R se cumple
| f' x(x,y)| + | f' y(x,y)| e k1<1| g' x(x,y)| + | g' y(x,y)| e k2<1
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 59/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Dados los valores a i,j y los valores b i hallar los valores x itales que :
a1,1x1+a 1,2x2+ a 1,3x3 « + a 1,n-1 xn-1 + a 1,nxn= b 1a2,1x1+a 2,2x2+ a 2,3x3 « + a 2,n-1 xn-1 + a 2,nxn= b 2
a3,1x1+a 1,2x2+ a 1,3x3 « + a 1,n-1 xn-1 + a 3,nxn= b 3:
:
an,1x1+a n,2x2+ a n,3x3 « + a n,n-1 xn-1 + a n,nxn= b n
A x= b
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
1
2
1
1
2
1
,1,2,1,
,11,12,11,1
,21,22,21,1
,11,12,11,1
..
..
..
..
....
....
............
................
....
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
¡
1
2
1
1
2
1
,1,2,1,
,11,12,11,1
,21,22,21,1
,11,12,11,1
..
..
..
..
....
....
............
................
....
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 60/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás
1. Eliminación: Se transforma la matriz A y el vector b hasta llegar a laforma
¼¼¼¼¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬
¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬
¬
-
«
¼¼¼¼¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬
¬
-
«
n
n
n
n
nn
nnnn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
'
'
..
..
'
'
..
..
'........
''........
............
............
''....'..
''....''
1
2
1
1
2
1
,
,11,1
,21,22,2
,11,12,11,1
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
n
n
n
n
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
bb
b
b
x x
x
x
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
1
2
1
1
2
1
,1,2,1,
,11,12,11,1
,21,22,21,1
,11,12,11,1
..
..
..
..
....
....
............
............
....
....
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 61/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás2. Sustitución hacia atrás :
De la fila n se despeja x n-1; en la fila n-1 se reemplaza x n por su valor yse despeja x n-1; en la fila n-2 se reemplazan x n y xn-1 por sus valores yse despeja x n-2; se procede de esta manera hasta llegar a la fila 1,donde se reemplazan x n, xn-1, xn-2, «. , x 2 por sus valores y se despejax1.
¼¼¼¼¼¼
¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼
¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼
¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
¬¬
-
«
n
n
n
n
nn
nnnn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
'
'
..
..
'
'
..
..
'........
''........
............
............
''....'..
''....''
1
2
1
1
2
1
,
,11,1
,21,22,2
,11,12,11,1
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 62/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás
Eliminación
Se transforman la matriz A y el vector de constantes b fila por fila demodo que todos los elementos debajo de a 1,1 queden con 0. En elsiguiente paso se transforman fila por fila de modo que los de debajode a 2,2 queden con cero, y se continúa así hasta a n- 1, n- 1 . De este modo
se obtiene el sistema triangular.
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬¬¬
-
«
n
n
n
n
nnn
nnnn
nn
nn
b
b
b
b
x
x
x
x
aa
aa
a
aaa
aaaa
'
'
..
..
'
..
..
'.....'0
''......0
..........0
..........'0
''....'0
....
1
2
1
1
2
1
,,2
,11,1
3,2
,21,22,2
,11,12,11,1
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 63/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrásEliminación: Transformación de la fila 2.
¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬
-
«
1,1
1,212
1,1
1,24,14,2
1,1
1,23,13,2
1,1
1,22,12,2
1,1
1,21,112
14,13,12,11,1
a
abb
a
aaa
a
aaa
a
aaa
a
aaa
baaaa
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
24,23,22,2
14,13,12,11,1
''''0 baaa
baaaa
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 64/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás
Algoritmo:
Entrada : Matriz A con n+1 columnas; la última columna tiene alvector constante b.
Salida: Matriz A transformada a forma triangular superior.
Para j=1 hasta n-1 //filasPara i=j+1 hasta n//filas debajo de fila j
//convertir fila i de modo que a i,j=0q= a i,j /a j,j
Para k=j hasta n+1 //restar a fila i la fila j.ai,k= a i,k -a j,k*q
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 65/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás
Algoritmo:
Para j=1 hasta n-1 //filas
Para i=j+1 hasta n//filas debajo de fila j //convertir fila i de modo que a i,j=0
si a j,j=0buscar una fila u tal que a u,j{ 0 e intercambiar fila u confila j; si no se encuentra, el sistema es indeterminado.
q= a i,j /a j,j
Para k=j hasta n+1//restar a fila i la fila j.ai,k= a i,k-a j,k*q
Á É
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 66/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorizacion DoolittleDado un sistema
Ax=bse busca descomponer A en un producto de matrices de laforma
A= L U
donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriztriangular superior.
El sistema original se convierte enLUx = b
CÁ C O É CO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 67/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorizacion DoolittleEl sistema
LUx=bes resuelto en dos fases
Ux = y es un vector de variables y=(y 1,y2, ... ,y n)ahora se tiene el sistema
L y = b
que puede ser resuelto por sustitución hacia adelante.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
3
2
1
3
2
1
2,31,3
1,2
0
0
0
..
...
....
........
01
...01
......01
b
b
b
y
y
y
l l
l
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 68/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorizacion Doolittle
¼¼
¼¼
½
»
¬¬
¬¬
-
«
!
¼¼
¼¼
½
»
¬¬
¬¬
-
«
¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
14,4
13,4
12,4
14,3
13,3
12,3
14,2
13,2
12,2
4,13,12,11,1
00
0
100010
001
0001
1,1
1,4
1,1
1,3
1,1
1,2
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaaaa
aaa
aaaa
aaa
aaa
¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬
¬
-
«
!
¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬
¬
-
«
¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
24,4
23,4
24,3
23,3
1
4,2
1
3,2
1
2,2
4,13,12,11,1
00
00
0
10
01
001
0001
12,2
12,4
1,1
1,4
12,2
1 2,3
1,1
1,3
1,1
1,2
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aa
aa
aaa
aaaa
a
aaa
a
aaa
aa
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 69/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorizacion Doolittle
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
24,4
23,4
2
4,3
2
3,3
14,2
13,2
12,2
4,13,12,11,1
0000
0
10
01
001
0001
12,2
12,4
1,1
1,4
12,2
12,3
1,1
1,3
1,1
1,2
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
a
a
a
aa
a
a
a
aa
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
34,4
24,3
23,3
14,2
13,2
12,2
4,13,12,11,1
000
00
0
1
01
001
0001
22,3
22,4
12,2
12,4
1,1
1,4
12,2
12,3
1,1
1,3
1,11,2
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
aa
aaa
aaaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 70/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C rout
LU=A
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l l
l l l
l l
l
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando col 1 de U por filas 1, 2, 3, 4 de L se calcula col 1 de L.Multiplicando fila 1 de L por cols 2, 3, 4 de U se calcula fila 1 de U.Multiplicando col 2 de U por filas 2, 3, 4 de L se calcula col 2 de L.Multiplicando fila 2 de L por cols 3, 4 de U se calcula fila 2 de U.Multiplicando col 3 de U por filas 3, 4 de L se calcula col 3 de L.Multiplicando fila 3 de L por cola 4 de U se calcula fila 3 de U.Multiplicando col 4 de U por fila 4 de L se calcula fila 4 de L.
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 71/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C routLU=A
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l l
l l l l l
l
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando col 1 de U por filas 1, 2, 3, 4 de L se calcula col 1 de L.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 72/113
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
10010
1
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
uuu
uuu
l l l a
l l al a
a
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C routLU=A
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando fila 1 de L por cols 2, 3, 4 de U se calcula fila 1 de U.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000100
10
1
0
00
000
aaaaaaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l al l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 73/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C routLU=A
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando col 2 de U por filas 2, 3, 4 de L se calcula col 2 de L.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
101
0
00000
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
u
uuuuu
l l l a
l l a
l aa
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 74/113
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
10010
1
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
uuu
uuu
l l l a
l l al a
a
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C rout
LU=A
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando fila 2 de L por cols 3, 4 de L se calcula fila 2 de U.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 75/113
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
10010
1
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
uuu
uuu
l l l a
l l al a
a
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C rout
LU=A
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando col 3 de U por filas 3, 4 de L se calcula col 3 de L.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 76/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C routLU=A
CÁLCULO NUMÉRICO
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
Multiplicando fila 3 de U por col 4 de U se calcula fila 3 de U.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
3,1
4,23,2
4,13,12,1
4,42,22,22,2
3,32,22,2
2,22,2
1,1
1000
100
10
1
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
u
uu
uuu
l l l a
l l a
l a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 77/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C routLU=A
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
10010
1
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
uuu
uuu
l l l a
l l al a
a
CÁLCULO NUMÉRICO
Multiplicando col 4 de U por fila 4 de L se calcula col 4 de L.
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,3
4,23,2
4,13,12,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
1000
100
101
0
00000
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
u
uuuuu
l l l a
l l a
l aa
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 78/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyMatriz positiva definida:
Una matriz M es positiva definida si es simétrica y x TMx>0 paratodo vector x distinto del vector 0.
Teorema :
Una matriz M es positiva definida si y sólo si puede realizarse laeliminación gaussiana sin intercambio de filas con los pivotespositivos.
Teorema :
Una matriz M es definida positiva si sólo si puede factorizarsecomo M= LLT , siendo L una matriz triangular inferior.
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 79/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyLLT = M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
00
0
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
l
l l
l l l
l l l l
l l l l
l l l
l l
l
P roducto de fila 1 de L por cols 1,2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.
P roducto de fila 2 de L por cols 2, 3, 4 de L T produce ecuaciones para fila 2 de L T.
P roducto de fila 3 de L por cols 3, 4 de L T produce ecuaciones para fila 3 de L T.
P roducto de fila 4 de L por col. 4 de L T produce fila 4 de L T.
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 80/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyLLT = M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
000
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
l
l l l l l
l l l l
l l l l
l l l l l
l
CÁLCULO NUMÉRICO
P roducto de fila 1 de L por cols 1,2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.
? A ? A4,13,12,11,11,41,11,31,11,21,11,11,1 ... aaaal l l l l l l l !
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 81/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyLLT = M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
000
000
000
aaaa
aaaaaaaa
aaaa
l
l l l l l
l l l l
l l l l
l l l l l
l
P roducto de fila 2 de L por cols 2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.
? A ? A4,23,22,22,42,21,41,22,32,21,31,22,22,21,21,2 ...... aaal l l l l l l l l l l l !
CÁLCULO NUMÉRICO
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 82/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyLLT = M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
00
0
0
00000
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
l
l l
l l l l l l l
l l l l
l l l
l l l
P roducto de fila 3 de L por cols 3,4 de L T produce ecuaciones para fila 3 de L T.
? A ? A4,23,23,43,32,42,31,41,33,33,32,32,31,31,3 .... aal l l l l l l l l l l l !
CÁLCULO NUMÉRICO
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 83/113
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
Factorización C holeskyLLT = M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
00
0
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
l
l l
l l l
l l l l
l l l l
l l l
l l
l
P roducto de fila 4 de L por cols 4 de L T produce ecuación para fila 4 de L T.? A ? A
4,44,44,43,43,42,42,41,41,4 .. al l l l l l l l !
CÁLCULO NUMÉRICO
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
!
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
4,44,34,24,1
4,33,33,23,1
4,23,22,22,1
4,13,12,11,1
4,4
3,43,3
2,42,32,2
1,41,31,21,1
4,43,42,41,4
3,32,31,3
2,21,2
1,1
000
00
0
0
00
000
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
l
l l
l l l
l l l l
l l l l
l l l
l l
l
CÁLCULO NUMÉRICO
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 84/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES
MÉTO DO ITERATIVO DE JACO BI
4,4
4
4,4
3,4
4,4
2,4
4,4
1,4
3,3
3
3,3
4,3
3,3
2,3
3,3
1,3
2,2
2
2,2
4,2
2,2
3,2
2,2
1,21,1
1
1,1
4,1
1,1
3,1
1,1
2,1
3214
4213
4312
4321
444,433,422,411,4
344,333,322,311,3
244,233,222,211,2
144,133,122,111,1
ab
aa
aa
aa
ab
aa
aa
aa
ab
aa
aa
aa
ab
aa
aa
aa
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
b xa xa xa xa
b xa xa xa xa
b xa xa xa xa
b xa xa xa xa
!
!
!
!
!
!
!
!
Despejando las variables de cada ecuación se tiene :
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 85/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESMÉTO DO ITERATIVO DE JACO BI
4,4
4
34,4
3,4
24,4
2,4
14,4
1,4
3,3
3
43,3
4,3
23,3
2,3
13,3
1,3
2,2
2
42,2
4,2
32,2
3,2
12,2
1,2
1,1
1
41,1
4,1
31,1
3,1
21,1
2,1
0004
0003
000
2
0001
ab
aa
aa
aa
ab
aa
aa
aa
a
b
a
a
a
a
a
aab
a
a
a
a
a
a
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
!
!
!
!
En el lado derecho se usa una solución inicial , y secalcula un nuevo ; se repite el proceso hasta que ladiferencia entre dos soluciones sucesivas sea menor que una tolerancia.
04030201 ,,, x x x x4321 ,,, x x x x
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 86/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESMÉTO DO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL
4,4
4
4,4
3,4
4,4
2,4
4,4
1,4
3,3
3
3,3
4,3
3,3
2,3
3,3
1,3
2,2
2
2,2
4,2
2,2
3,2
2,2
1,2
1,1
1
1,1
4,1
1,1
3,1
1,1
2,1
13
12
11
14
04
12
11
13
0
4
0
3
1
1
1
2
04
03
02
11
ab
aa
aa
aa
ab
aa
aa
aa
a
b
a
a
a
a
a
aab
a
a
a
a
a
a
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
!
!
!
!
En el lado derecho se usa una solución inicial , y con cada
ecuación k se calcula una variable , usando las variables
Se repite todo el proceso con todas las ecuaciones, hasta que en dositeraciones sucesivas la diferencia entre las soluciones sea menor que unatolerancia dada.
04
03
02
01 ,,, x x x x
1k x00
20
11
112
11 ,...,,,,...,, nk k k x x x x x x
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 87/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO SN ormas de un vector
Una norma en R n, denotada por ||.|| es una función
de Rn
a R con las siguientes propiedades:
||x|| u 0 para todo vector x de R n, ||x||=0 sólo si x=0.||sx||=|s|.||x|| para todo s de R y x de R n.||x+y|| e ||x||+||y||
La norma más conocida es la norma euclidiana definida por22
22121 ...),...,,( nn x x x x x x !
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 88/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO SDistancia entre dos vectores
La distancia entre dos vectores x, y de Rn es ||x-y||.C onvergencia de una sucesión de vectores
Se dice que una sucesión de vectores x 1, x2, x3, « converge a unvector z si para cualquier e>0 existe un valor entero N (e) tal que
||x k-z||<e para todo k> N (e)Matriz diagonalmente dominante
Una matriz es diagonalmente dominante si el valor absoluto delelemento diagonal de cada fila es mayor que la suma de valoresabsolutos de los demás elementos de dicha fila.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 89/113
CÁLCULO NUMÉRICO
SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO S
Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver el sistema
Ax=b convergen a la solución del sistema si A es diagonalmentedominante. Si embargo puede ocurrir que estos métodos converjana la solución aún cuando A no sea diagonalmente dominante.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 90/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESSea x un vector con la propiedad Ax = Px para algún escalar P,entonces x es un autovector y P autovalor de A .
Ax=P
x
es equivalente a (A -
PI)x= 0 .
Si d et (A - PI) { 0 la única solución es x=0 ; por lo tanto, paraobtener soluciones distintas de 0, se requiere que
d et (A - PI) = 0 .
El valor d et (A - PI) se conoce como el p olinomio característico de lamatriz A, y d et (A - PI) = 0 como su ecuación característica .
Las raíces de la ecuación característica son autovalores de A .
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 91/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESSi la matriz A es de orden n, su ecuación característica es unpolinomio con orden n, y por lo tanto tiene n raíces no necesaria-mente diferentes.
Si x es un autovector asociado al autovalor P, entonces sx , paracualquier escalar s , es también autovalor asociado a P.
C ALC ULO DE LO S AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RES1. Se plantea y resuelve la ecuación característica de la matriz
det(A - P I)= 02. Para cada raíz Pi de la ecuación característica se plantea la
ecuación matricial Ax= Pix, de donde se obtiene la forma de losautovectores x asociados a Pi.
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 92/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESEjemplo:
Hallar los autovalores y autovectores de la matriz
Ecuación característica : (3-P)(2- P)-2*1= 0P2-5P + 6 - 2= 0P2-5P + 4=0
las raíces sonP1= (5+3)/2= 4P2= (5-3)/2= 1
Los autovalores son 4 y 1.
¼½
»¬-
«
22
13
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 93/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESEjemplo: ««..Hallar los autovectores asociados al autovalor 4
de donde se obtiene3x1+x 2=4x 1
2x1+2x 2=4x 2
de donde a su vez se obtiene que x 1= x 2; esto quiere decir que losautovectores asociados al autovalor 4 son de la forma (x 1,x1), porejemplo (3,3).
¼½
»¬-
«!
¼½
»¬-
«!
¼½
»¬-
«¼½
»¬-
«
2
1
21
21
2
1
422
3
22
13
x
x
x x
x x
x
x
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 95/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IASe basa en que si una matriz A n xn tiene n autovalores diferentesP1, P2, « , Pn, entonces cualquier vector x puede ser escrito como
una combinación lineal de autovectores v (1), v (2), « , v (n)
asociados a cada uno de los autovalores
multiplicando cada lado k veces por A se obtiene
y, considerando que los vectores v (i) son autovectores, se tiene
)()2(2
)1(1 ... n
nvvv x F F F!
)()2(2
)1(1 ...
nk n
k k k
v Av Av A x A F F F!
)()2(22
)1(11 ... nk
nnk k k vvv x A P FP FP F!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 96/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IAFactorizando P1 se obtiene
y si P1 es el autovalor con mayor valor absoluto
Por lo tanto
.0... )()2(2 11
2lim !gp
nk
n
k
k vv n
PP
PP F F
)()2(
2
)1(
11 11
2
...nk
n
k k k
vvv xn
P
P
P
P
F F FP!
)1(11lim v x A k k
k FP!
gp
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 97/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IA
El vector es un autovector porque es el producto del
autovector por el escalar .
)1(11lim v x A k k
k FP!
gp
11 FP k
)1(11 vk FP
)1(v
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 99/113
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IA
Para hallar un autovector asociado a P2 el vector incial x(0) debeser (A - P1 I)x, siendo x cualquier vector diferente de cero.
Para hallar un autovector asociado a P3 el vector incial x(0) debeser (A - P2 I)(A - P1 I)x, siendo x cualquier vector diferente de cero.
)1(11lim v x A k k
k FP!
gp
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 101/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEDados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.
))...()(())...()((
...))...()((
))...()((
))...()(())...()((
))...()(())...()(()(
110
10
21202
102
12101
201
02010
210
!
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y x f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 102/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEDados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.
0110
01000
21202
010002
12101
020001
02010
0201000
))...()(())...()((
...))...()(())...()((
))...()(())...()((
))...()(())...()(()(
y x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y x f
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
!
!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 103/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEDados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.
1110
11101
21202
111012
12101
121011
02010
1211101
))...()(())...()((
...))...()(())...()((
))...()(())...()((
))...()(())...()(()(
y x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y x f
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
!
!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 104/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEDados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.
2110
21202
21202
212022
12101
222021
02010
2221202
))...()(())...()((
...))...()(())...()((
))...()(())...()((
))...()(())...()(()(
y x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x x x
y
x x x x x x x x x x x x y x f
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
!
!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 105/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEEjemplo:
Hallar la función de interpolación de Lagrange quepasa por los puntos de la tabla
x 2 3 5y 8 7 9
)35)(25()3)(2(
9)53)(23()5)(2(
7)52)(32()5)(3(
8)(!
x x x x x x x f
)3)(2(23
)5)(2(27
)5)(3(38
)( ! x x x x x x x f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 106/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE N EWTON
Diferencias divididas .
? A ? A? A ? A
? A? A ? A
? A ? A? A ? A
? A
)(,
)()(,),(,
,,,,,
)()(,),(,
,,,,,,,,
,,,,,
)()(,),(,
)(
33
23
232322
13
1223123
12
121211
03
012123
012302
0112
01201
01
0100
x f x
x x x f x f
x x f x f x
x x x x f x x f
x x x f x x
x f x f x x f x f x
x x x x x f x x x f
x x x x f x x x x f x x f
x x x f x x x f x f
x x f x f x
sd iferenci atercer a s sd iferenci a segun da s sd iferenci a primer a s x f x
!
!!
!!!
? A ? A ? A
0
01101
,,,,,,
x x x x f x x f
x x x f k
k k k k
!--
-
? A? A ? A
11
112111
,,,,,,,
x x x x x f x x f
x x x f k
k k k k k
!--
-
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 107/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE N EWTON
Dados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.
Siendo b 0, b 1, « , b n coeficientes calculados demodo que f(x 0)=y 0, f(x1)=y 1, « ,f(x n)=y n.
))...()((...))(()()( 110102010!
nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 108/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TERPO LAC ION DE N EWTON
S ie n d o b 0 , b 1 , « , b n c o ef ic ie nt es c al cu la d o s d e mo d o quef(x0)=y 0, f(x1)=y 1, « ,f(x n)=y n.
))...()((...))(()()( 110102010!
nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f
],,,,[
],,,[
],,[
],[))...()(())(()()(
))(()()(
)()(
)(
))...()((...))(()()(
011
01233
0122
011
110102010
1202202102
01101
00
110102010
x x x x f b
x x x x f b
x x x f b
x x f b x x x x x xb x x x xb x xbb x f
x x x xb x xbb x f
x xbb x f
b x f
x x x x x xb x x x xb x xbb x f
nnn
nnnnnnnnn
nn
-
/
-
/
!
!
!
!
!
!
!
!
!
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 109/113
CÁLCULO NUMÉRICO
DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC A
h x f h x f
h x f
)()(
0lim)('p
!
Una aproximación sencilla para f'(x) consiste en tomar h pequeñoy calcular
h x f h x f
x f )()(
)(' }
Se puede hacer lo mismo con -h
h x f h x f
x f })()(
)('
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 110/113
CÁLCULO NUMÉRICO
DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC APromediando las dos aproximaciones para f'(x)
h x f h x f
x f )()(
)(' }
Se obtiene una mejor aproximación denominada aproximacióncentral de 3 puntos
h x f h x f
x f })()(
)('
hh x f h x f h
x f h x f h
x f h x f
x f 2
)()(2
)()()()(
)(' !}
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 111/113
CÁLCULO NUMÉRICO
DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC A
hh x f h x f x f x f
2)2()(4)(3)(' }
Debe tenerse presente que el error en la fórmula central esnotablemente menor que en las otras dos fórmulas.
hh x f h x f x f
x f 2
)2()(4)(3)(' }
También se tienen las aproximaciones de 3 puntos hacia laderecha y hacia la izquierda :
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 112/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TEGRAC IÓN N UMÉRIC A
Mé t o d o d e l t r a p ec io :b xhn xha xha xa xn
abh
) f ( xhli f ( x )dx
nn
n
1ii
n
b
a
!!!!!!
!!gp
§´
,)1(,,2,,, 1210-
x0 x1 x2 x3 x4
2)()(
2)()(
2)()(
2)()( 43322110
0
x f x f h
x f x f h
x f x f h
x f x f h f ( x )d x
n x
x!´
f(x0) f(x
1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
])(2)()([2
))((2
1
0
10
§
§´
!
!
!
!
n
1iin
i
n
1ii
x x
x f x f x f h
x f ) f ( xh f ( x )dxn
8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx
http://slidepdf.com/reader/full/calc-num-2009-1-apptx 113/113
CÁLCULO NUMÉRICO
IN TEGRAC IÓN N UMÉRIC AMé t o d o d e S imp s o n :
])(2)(4)()([3
1
0
1
00 §§´
""
!n
par ii
n
i¢ par iin
b
a x f x f x f x f
h f ( x )dx
f(x0) f(x
1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
])(2))()()((3
2[21
212
iiii x
x xh f x f x f x f h f ( x )dx
i
i
!´
)]()(4)([3 21! iii x f x f x f h