Rev Calc Vet

40
1 Breve Revisão de Cálculo Vetorial

Transcript of Rev Calc Vet

Page 1: Rev Calc Vet

1

Breve Revisão de

Cálculo Vetorial

Page 2: Rev Calc Vet

2

1. Operações com vetores

Dados os vetores A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk,

define-se:

Produto escalar entre os vetores A e B

AB

BABABA

Daí

AB

BABABA

zzyyxx

zzyyxx

cos

,

cosBA

BA

Page 3: Rev Calc Vet

3

Produto vetorial do vetores A e B

senAB

BABABABABABA

BBB

AAA

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

BA

kji

kji

BA

Page 4: Rev Calc Vet

4

2. Uma definição física para Campo

Dada uma região D no espaço tridimensional e uma

grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa regiãoserá chamada de campo se, nela, o valor da grandeza numdado ponto depender univocamente das coordenadasdesse ponto.

Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o

campo é dito escalar.

Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o

campo é dito vetorial.

O valor da grandeza também pode depender do tempo.

Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Casocontrário, ele é dito estacionário.

Page 5: Rev Calc Vet

5

Exemplos de campos escalares:

Em um campo escalar, um número é definido para cada ponto do espaço.

→ Campo de pressão em uma represa, p = γh.

→ Campos de Temperatura.

Page 6: Rev Calc Vet

6

→ Um valor escalar é definido para cada ponto do espaço

(analítico ou numérico).

Representação gráfica

0

50

100

0

50

100-10

-5

0

5

10

f

x

Page 7: Rev Calc Vet

7

→ Linhas de iso-contorno (temperatura (oC), altitude, etc.)

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-4

-2

0

2

4

6

Page 8: Rev Calc Vet

8

→ Campos escalares em 3-D

0

10

20 05

1015

200

5

10

15

20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Page 9: Rev Calc Vet

9

Campos Vetoriais

Em um campo vetorial, um vetor é definido para cada pontodo espaço. Formalmente, temos:

→ Um campo Vetorial é definido, no 2, como uma função Fque associa a cada ponto M(x, y) em um subconjunto D do

2, um único vetor F(M) bidimensional, tal que,

→ Um campo Vetorial é definido, no 3, como uma função Fque associa a cada ponto N(x, y, z) em um subconjunto E do

3, um único vetor F(N) tridimensional, tal que,

jiFF ),(),(),()( yxQyxPyxM

kjiFF ),,(),,(),,(),,()( zyxRzyxQzyxPzyxN

Page 10: Rev Calc Vet

10

→ Campo de velocidade em uma roda ou turbina,

→ Campo gravitacional (campo do quadrado inverso),

rF ˆ2r

GMm

jiF xy

Page 11: Rev Calc Vet

11

Exemplo - Exercício

Faça um diagrama do campo vetorial

Este campo vetorial descreve a velocidade da corrente

num córrego ou rio em várias profundidades. Velocidade é

nula no leito.

iF yyx ),(

iF

iF

iF

iF

iF

iF

F

5)5,(

2)4,(

3)3,(

2)2,(

)1,(

)22()2/1,(

0)0,(

:.54,3,2,1,2

1,0:

x

x

x

x

x

x

x

TemoseydoConsideran

Page 12: Rev Calc Vet

12

Exemplo de uma representação numérica de um campo

vetorial.

Page 13: Rev Calc Vet

13

Exemplos de imagens de campos vetoriais

Há um vetor definido

para cada ponto do Es-

paço 2-D.

O tamanho das flechas

representa a magnitude

do vetor. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Page 14: Rev Calc Vet

14

Exemplos de campos escalares e vetoriais

→ Campo escalar → Campo vetorial

Mapa de temperatura Velocidade dos ventos

Page 15: Rev Calc Vet

15

4. Operador Nabla

“Nabla” (harpa em grego)

Aplicado sobre uma campo escalar, f, define um campovetorial chamado de Gradiente de f, f.

O produto escalar com um campo vetorial, F, define um

campo escalar chamado de Divergente de F, F.

Produto vetorial com um campo vetorial, F, define um novo

campo vetorial chamado de Rotacional de F, F.

kjizyx

Page 16: Rev Calc Vet

16

5. Campos Gradientes

Se f = f(x,y) é uma função escalar de duas variáveis,

então, seu gradiente é definido por,

Se f = f(x,y,z) é uma função escalar de três variáveis,

então, seu gradiente é definido por,

Onde é o vetor Nabla.

jijiy

f

x

ffou

y

f

x

fyxf grad),(

kjikjiz

f

y

f

x

ffou

z

f

y

f

x

fzyxf grad),,(

kjizyx

Page 17: Rev Calc Vet

17

Exercícios

1) Encontre os campos gradientes das funções abaixo etrace seus diagramas de campo.

a) f(x,y) = x2 y2

(Resolução a seguir)

b) f(x,y) = x + y

c) f(x,y) = ln(x+2y)

(Resolução no quadro)

Page 18: Rev Calc Vet

18

Resolução

Interpretação

O Gradiente é um campo

vetorial cujas componentes

são as derivadas do campo

escalar.

Em qualquer ponto, o Gra-

Diente “aponta” na direção

de máxima inclinação, e sua

magnitude é a inclinação.

jiji yxxyy

f

x

ff

yxyxf

22

22

22

),(

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Page 19: Rev Calc Vet

19

Em outras palavras,

O gradiente de uma função escalar, calculado num dado

ponto, é um vetor cujo módulo representa a máxima taxade variação de crescimento dessa função naquele ponto.

Isto significa que o vetor gradiente calculado em (x0, y0,

z0) tem a direção para a qual ocorre o máximo crescimentoda função em (x0, y0, z0).

Além disso ele é perpendicular à superfície no ponto (x0,y0), no 2, ou (x0, y0, z0) no 3.

Page 20: Rev Calc Vet

20

Visualização,

→ Mapa de cores: função – campo escalar

→ Representação de setas: campo vetorial obtido a partir

do gradiente da função escalar.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

Page 21: Rev Calc Vet

21

6. Campos conservativos e funções potenciais

Se F é um campo vetorial em duas ou três dimensões.

Então, diz-se que F é um campo conservativo numa região

do 2 ou 3, se F for o campo gradiente de alguma função f

naquela região. Isto é, F = f. A função f é chamada de

função potencial.

Exemplo

Considere o campo vetorial do quadrado inverso em duasdimensões.

Mostre que F é um campo conservativo em qualquer região

do 2 que não contenha a origem e cuja função potencialseja

)()(

),(2/322

jiF yxyx

cyx

2/122 )(),(

yx

cyxf

Page 22: Rev Calc Vet

22

Resolução

Temos que mostrar que o campo gradiente de f, em

qualquer região que não contenha a origem, é F. Para isso,

calcularemos f

Logo, F é conservativo em qualquer região do 2, exceto

na origem, já que F = f. f é, portanto, função potencial de

F.

),()()()()(

,

)()(

2/3222/3222/322

2/3222/322

yxyxyx

c

yx

cy

yx

cxf

Daí

yx

cy

y

fe

yx

cx

x

f

y

f

x

ff

Fjiji

ji

Page 23: Rev Calc Vet

23

y

g

x

fdiv

tesimplesmenou

yxgy

yxfx

div

F

FF

,

),(),(

7. Divergência e Rotacional

Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas

dimensões, define-se a divergência de F, denotado por divF ou

•F, ao escalar

Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k

z

h

y

g

x

fdivF

Page 24: Rev Calc Vet

24

kFFy

f

x

grot

Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas

dimensões, define-se o rotacional de F, denotado por rotF ou

xF, ao campo vetorial

Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k

kjiFFy

f

x

g

x

h

z

f

z

g

y

hrot

Page 25: Rev Calc Vet

25

0

0

gf

yxrot

kji

FF

Os resultados anteriores podem ser reescritos como:

→ Em duas dimensões,

→ Em três dimensões,

hgf

zyxrot

kji

FF

Page 26: Rev Calc Vet

26

kjiF zzyyxzyx 32),,( 32

)(),,(2/3222

kjiF zyxzyx

czyx

O divF tem valores escalares, enquanto rotF tem

valores vetoriais. Ou seja, rotF é ele próprio um

campo vetorial.

Exercícios

1) Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial

2) Mostre que a divergência do campo do quadradoinverso

é nula

Page 27: Rev Calc Vet

27

362

)3()2()(

2

32

zyxydiv

zz

zyy

yxx

div

F

F

1) Resolução

Divergência de F

Rotacional de F

kiF

kji

kji

F

23

3223

32

2

)2()()()3()2()3(

32

xyrot

x

zy

y

yx

z

yx

x

z

z

zy

y

z

zzyyx

zyxrot

Page 28: Rev Calc Vet

28

2) Resolução

Levando-se em conta que (x2 + y2 + z2)1/2 = r,

5

2

332/1222

3

23

33

3

333

333

31

22

3

)(

,

,

),,(

r

x

rr

x

x

r

xxzyx

x

r

r

xrxr

r

x

x

Sendo

cr

z

zr

y

yr

x

xdiv

Daí

r

cz

r

cy

r

cxzyx

F

kjiF

Page 29: Rev Calc Vet

29

033

)(33313131,

31

22

3

)(

31

22

3

)(

,

5

2

3

5

222

35

2

35

2

35

2

3

5

2

332/1222

3

23

33

3

5

2

332/1222

3

23

33

3

cr

r

r

cr

zyx

rc

r

z

rr

y

rr

x

rdivAssim

r

z

rr

z

z

r

zzzyx

z

r

r

zrzr

r

z

z

r

y

rr

y

y

r

yyzyx

y

r

r

yryr

r

y

y

teAnalogamen

F

Page 30: Rev Calc Vet

30

Interpretações Física e Geométrica para o divergente

O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo

desse vetor.

O divergente pode ser entendido no contexto da

Mecânica dos fluidos como:

→ Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então,

divF representa a taxa líquida de variação, com relação ao

tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z).

→ Em outras palavras, divF, calculado num ponto

(x0, y0, z0) mede a tendência de um fluido deferir no ponto

(x0, y0, z0).

Page 31: Rev Calc Vet

31

→ Campos magnéticos não são divergentes,

→ Uma fonte de campo magnético é ao mesmo tempo fonte

e sorvedouro do campo.

0Hdiv

Page 32: Rev Calc Vet

32

→ Campos vetoriais constantes,

Page 33: Rev Calc Vet

33

Interpretações Física e Geométrica para o rotacional

O vetor rotacional está associado com rotações.

Se F representa um campo de velocidades em Mecânica

dos fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de umponto (x0, y0, z0), tendem a rodar em torno do eixo que

aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse

ponto.

A magnitude do vetor rotF é uma medida do quão rápido

as partículas se movem em torno desse eixo. A rotaçãoobedece a regra da mão direita.

Regra da mão direita Furacão Katrina 25/08/2005

Page 34: Rev Calc Vet

34

8. Alguns conceitos e teoremas importantes

Teorema 1

Se f é uma função escalar de três variáveis e que tem

derivadas parciais de segunda contínuas. Então,

Como um campo vetorial conservativo é tal que F = f,

então, o teorema anterior pode ser reescrito como: Se Frepresenta um campo vetorial conservativo, então,

0)grad( ffrot

0Frot

Page 35: Rev Calc Vet

35

Teorema 2

Se F = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k é um campo

vetorial no 3 e f, g, h têm derivadas parciais de segundaordem contínuas, então,

Laplaciano

É o resultado da aplicação do operador sobre si mesmo.É denotado por 2. Tem a forma,

Quando aplicado a uma função escalar Φ(x,y,z),

0)( Frotdiv

2

2

2

2

2

22

zyx

2

2

2

2

2

22

zyx

Page 36: Rev Calc Vet

36

Se

A equação 2Φ = 0 é conhecida como equação de Laplace.

02

2

2

2

2

22

zyx

Page 37: Rev Calc Vet

37

Fluxo de um Vetor qualquer A

A quantidade do vetor A, que passa por uma

determinada superfície dS é,

Convenciona-se que ndS = dS sempre aponta para fora e

é perpendicular à superfície fechada dS.

SAnA ddSd

Page 38: Rev Calc Vet

38

Teorema da divergência

A igualdade das duas integrais acima significa que o fluxo

do vetor A através de uma superfície fechada S é igual à

integral do divergente de A no volume V envolto por S

dSdivdVs

ASA

Page 39: Rev Calc Vet

39

Circulação de um Vetor

A circulação de um campo vetorial A ao longo de uma

linha L do ponto P ao ponto Q, conforme a figura abaixo, édada por,

dL simboliza uma parcela elementar da linha orientada L.

Q

P

Q

P dC LA

Page 40: Rev Calc Vet

40

Teorema de Stokes

O fluxo rotacional de um campo vetorial F através de

uma superfície aberta S é igual à circulação do vetor A ao

longo do caminho L que delimita S.

Se A for uma força, esse teorema é uma forma de

calcular o trabalho realizado por essa força ao longo docaminho L.

SALA drotdSL