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CÁLCULO NUMÉRICO

TEMAS

Teoría de errores.

Solución numérica de ecuaciones no lineales.

Solución de ecuaciones lineales.

Interpolación.

Derivación e Integración numérica.Solución numérica de ecuaciones diferenciales.

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CÁLCULO NUMÉRICO

CONC EPTO S MATEMÁTICO S BÁSICO S

Límite de una función.Función continua.Límite de una sucesión.C ontinuidad de una función y convergencia de unasucesión.C ontinuidad de una función y convergencia de unasucesión.

Derivada de una función.

Diferenciabilidad y continuidad.

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema de Rolle.Teorema del valor medio.Teorema del valor extremo.Integral del Rieman.Teorema del valor medio ponderado.Teorema del valor intermedio.

Teorema de Taylor

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CÁLCULO NUMÉRICO


Límite de una función f en x 0.

x0

L

I

H H

I

L+ I

L-I

L es límite de f en x 0 porque por muypequeño que sea I , siempre hay H talque para todo x en (x 0- H, x0+ H) setendrá que f(x 0) estará en (L- I , L+ I ).

f

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CÁLCULO NUMÉRICO


Límite de una función f en x 0.

x0

LI

H H

I

L+ I

L-I

L es límite de f en x 0 porque por muypequeño que sea I , siempre hay H talque para todo x en (x 0- H, x0+ H) setendrá que f(x 0) estará en (L- I , L+ I ).

f

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CÁLCULO NUMÉRICO


Límite de una función.

x0

L I

H H

I

L no es límite de f en x 0 porquehay un I para el cual no habráH>0 tal f(x) esté en (L- I , L+ I )para todo x de (x 0- H, x0+ H).

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H

CÁLCULO NUMÉRICO



x0

L I

H

I


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H

CÁLCULO NUMÉRICO



x0

LI

H

I


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Función continua en z.

CÁLCULO NUMÉRICO

z

LI

H H

I

L+ I

L-If

.

).()(lim

:

X xtodoencontinuaes si X encontinuaes f funcióna

z f x f si X zencontinuaes f funcióna

X f Sea

z x!

p

p

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CÁLCULO NUMÉRICO


Límite de una sucesión.La sucesión infinita de números reales {a n } converge a unnúmero L, llamado el límite de la sucesión, si para todo I >0

existe un entero N 0 tal que para todo n> N 0 se cumple |a n-L|<I

.El límite se denota por {a n } p L.

.1001

10,10

0}1

{lim

,....1

....,,41

,31

,21

,1}1

{

:

550

5

gp

!"!

!

!

nquetiene se N ntodo para Dado

n

nn

Ejemplo

n

I

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CÁLCULO NUMÉRICO


C ontinuidad de una función y convergencia desucesiones.S ea f: X p R. La función f es continua en x 0 X si y sólo si para todasucesión infinita {x

n } que converge a x

0 , se cumple que { f(x

n ) }p f(x

0 ).

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CÁLCULO NUMÉRICO


Derivada de una función.

x x+h

f(x)

f(x+h) h x f h x f

lim x f 0h

)()()(' !

p

La d eriv ada d e f en x es el límite d e l a r a zón d e vari ación d e l a función con respecto a l a vari ación d e l avari ab le a lred ed or d e x; el límite estomad o cuand o l a vari ación tien d ea 0.Geométric amente, l a d eriv ada es l a pend iente d e l a t angente a l aC urva en x.

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CÁLCULO NUMÉRICO


Diferenciabilidad y continuidad.

Si l a función f es d iferenci ab le en x, entonces f es continu a en x.

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema de Rolle.

Sea f l a función d efinida sobre el interv a lo cerr ad o [a , b] yd iferenci ab le sobre el interv a lo ab ierto (a ,b); si f (a)= f (b) , entonces existe en (a ,b) el va lor c t a l que f¶ ( c )= 0.

a b

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema del valor medio.

Sea f l a función d efinida sobre el interv a lo cerr ad o [a , b] y d iferen-ciab le en el interv a lo ab ierto (a , b); entonces existe en (a , b) el va lor c t a l que

a bc

.)()()(ab

a f b f c f !

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema del valor extremo.

Si f es una función continu a d efinida en [a , b] , existen d os va lores d e xmin , xma x d e [a ,b] t a les que f ( xmin )e f ( x ) e f ( xma x ) par a tod o x d e [a ,b] . Si f es ad emás d iferenci ab le en [a , b] , xmin

y xma x coinci d en con a , o b , o los puntos d ond e f¶ es 0.

a bxmin xmax a bxmax

xmin

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CÁLCULO NUMÉRICO


Integral de Rieman.

x0 x1 x2 x3 xna b

)(lim)(1§´ !

gp

!

n

i i

b

a n x f

n

abd x x f

n

abia xi

!

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema del valor medio ponderado.Sea f una función continu a d efinida en [a , b] . Existe un va lor x p en [a , b] t a l que

)()()( p

b

a x f abd x x f !´

a bxp

f(xp)

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema del valor intermedio.Si f es una función continu a d efinida en [a , b] y si h es un va lor t a l que f (a)<h< f (b) , entonces existe un va lor a< xh<b t a l que f ( xh )= h .

a b

f(a)

f(b)h

xh

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CÁLCULO NUMÉRICO


Teorema de TaylorSea f una función continú a d eriv ab le n veces en [ x,x+h]

y f ( n+1 ) existe en ( x,x+h) , entonces

.,)!1(

)()(

),(!

)(......

!3)(

!2)(

!1)(

)()(

1)(

)(3)3(2)2()1(

h x y xentreva lor a lgún pa r an

h f siend o

nh x f h x f h x f h x f

x f h x f

nn

nn

!

!

I I

I

I

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CÁLCULO NUMÉRICO

TEO RÍA DE ERRO RES

Error El error a l usa r un va lor a proxim ad o x en vez un d e va lor id ea l ó exacto X es l a d iferenci a entre X y x.

Se d ice que el error d e x es ( x=X -x.

Error por d efecto y error por exceso.Si x<X se d ice que x es una a proxim ación por d efecto;

si x> X se d ice que x es una a proxim ación por exceso. Error ab soluto El error ab soluto d e l a a proxim ación x con respecto a l va lor exacto X es ( = |X -x| .

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CÁLCULO NUMÉRICO


Cota del error absoluto En l a práctic a no se conoce el va lor exacto X ; por lo t anto, t ampoco se conoce el error ab soluto d el va lor a proxim ad o x. Sólo es posible estim a r un límite superior pa r a el error ab soluto d e x; este límite reci be el nombre d e cot a d el error ab soluto d e x y es represent ad o por ( x :

( = |X -x| e ( x .

Si X >x, result a X -x e ( x

y X e x+ ( x

; si X< x, reuslt a x- X e (

x y x- ( x e X ;d e d ond e x- ( x e X e x+ ( x , que es d enot ad o por

X= x s ( x .

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CÁLCULO NUMÉRICO


Cota del error relativoU na cot a d el error rel a tivo d e un va lor a proxim ad o x con

respecto a un va lor exacto X es un va lor H

x t a l queH e H x ; esto implic a que ( =|X| H e |X| H x y por lo t anto

( x = |X| H x .

Norma lmente X es d esconoci d o , y x es mu y cerc ano a X ; entonces se pued e escri bir ( x = |x| H x .

La última igua l dad implic a x(1 - H x )e X e x(1 + H x ) ,

rel ación que se represent a por X = x(1 s H x ).

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CÁLCULO NUMÉRICO


Cota del error relativo F orm a a proxim ada d e l a cot a d e error rel a tivo si X , x>0

y(

x < x H x = ( x /x

( x = x H x

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CÁLCULO NUMÉRICO


F uentes de erroresError de mét od oLos m odel os son ap roxi mac ion e s que int ro duce n e rror e s .

Error resi d ua l El va lor exacto requiere un proceso infinito.

Error d e re d ond eo

H ay va lores que no pued en ser represent ad os con un número finito d e d ígitos.

Error d e oper aciónC uand o en l a s oper aciones se usan va lores a proxim ad os.

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CÁLCULO NUMÉRICO


Díg itos si g nificativos de un númeroLos díg i t os d is t in t os de 0 son si gnifi cat ivos .

Los 0 anteriores a l primer d ígito d istinto d e 0 no son signific a tivos. Los 0 que a pa recen a l fina l d e un número con pa rte fr accion a ria son signific a tivos. Los 0 que a pa recen a l fina l d e un número entero son signific a tivos sólo si se tiene l a certez a d e que en sus posiciones d ebe est a r el d ígito 0. Pa r a evit a r d uda s se d ebe usa r l a not ación científic a .

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CÁLCULO NUMÉRICO


Díg itos si g nificativos de un númeroEj empl os:

0.0005 27300

5.90950

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CÁLCULO NUMÉRICO


Díg itos si g nificativos e x actos de un número( senti d o estricto )

Los n pri me ros díg i t os si gnifi cat ivos de u n nú me ro

ap roxi mad o q son e x act os si el e rror ab so lut o de q c on r e s pect o al v al or e x act o Q no e x cede a med i a u ni dad dela p osi c ión n .

Ej empl o:

Q= 43.272

q= 43.270

| Q ± q |=0.002< (1/2)10 -2 =0.005

q t i e ne 4 díg i t os si gnifi cat ivos e x act os .

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CÁLCULO NUMÉRICO


Díg itos si g nificativos e x actos de un número( senti d o amplio )

Los n pri me ros díg i t os si gnifi cat ivos de u n nú me ro

ap roxi mad o q son e x act os si el e rror ab so lut o de q c on r e s pect o al v al or e x act o Q no e x cede a u na u ni dad dela p osi c ión n .

Ej empl o:

Q= 43.272

q= 43.270

| Q ± q |=0.002< 1*10 -4 =0.005

q t i e ne 6 díg i t os si gnifi cat ivos e x act os .

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CÁLCULO NUMÉRICO


R edondeo a n d íg itos si g nificativos1. E l i m ina r l os díg i t os que si gue n al díg i t o si gnifi cat ivo de

p osi c ión n .

2. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s may or que 5 , suma r 1 al díg i t o de p osi c ión n .

3. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s 5 , y si e n t r e l os que lesi gue n hay díg i t os d if e r e n te s de 0 , suma r 1 al díg i t o de

p osi c ión n .

4. Si el p ri me r díg i t o el i m inad o e s 5 , l os que le si gue n son 0 , y el díg i t o de p osi c ión n e s i mpa r, suma r 1 al díg i t o de

p osi c ión n .

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CÁLCULO NUMÉRICO


R edondeo a n d íg itos si g nificativosEj empl o: r ed on dea r 3.14159 a 3 díg i t os si gnifi cat ivos .

1. T oma nd o l os 3 p ri me ros díg i t os si gnifi cat ivos queda3.14 y son el i m inad os 159

2. E l p ri me r díg i t o el i m inad o, 1 , no e x cede a 5.

3. P or l o ta n t o el nú me ro r ed on dead o a 3 díg i t os si gnifi cat ivos e s 3.14.

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CÁLCULO NUMÉRICO


R edondeo a n d íg itos si g nificativosEj empl o: r ed on dea r 3.14159 a 4 díg i t os si gnifi cat ivos .

1. T oma nd o l os 4 p ri me ros díg i t os si gnifi cat ivos, queda

3.141 y son el i m inad os 59.

2. E l p ri me r díg i t o el i m inad o, 5 , e s segu i d o el díg i t o 9 , d if e r e n te de 0 ; suma r 0.0001 a 3.141 pa r a obte ne r

3.142

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror de una sumaC oro la rio: La c ota de e rror ab so lut o de u na suma e s i gual

a la suma de la s c ota s de e rror e s ab so lut os decada suma nd o:(

s = ( p1 + ( p2 + ( p3 + « + ( p n .

Sea (max = má xi m o{ ( p1 , ( p2 , ( p3 , « ,( p n } , e n t on ce s

( s

u (max

;

p or l o ta n t o, no e xis te r az ón pa r a ma nte ne r díg i t os e n e x ce so e n l os té r m inos c on me nos e rror .

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CÁLCULO NUMÉRICO


R e g la para sumar números con diferente e x actitud 1. T oma r l os nú me ros c on me nor nú me ro de díg i t os

dec i male s .

2. E l i m ina r díg i t os de l os demá s nú me ros de m od o quequede n c on un díg i t o má s de l os nú me ros del pa so 1.

3. Suma r l os nú me ros de l os pa sos 1 y 2 c onsi de r a nd o t od os sus díg i t os .

4. Red on dea r el r e sultad o pa r a de j a r l o c on un díg i t o me nos .

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CÁLCULO NUMÉRICO


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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror de la diferenciaSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os y sea D lad if e r e nc i a de l os c orr e s p on d i e n te s v al or e s e x act os .

Si d= p-q , s e t i e ne que ( d = ( p + (

q

y H d = ( ( p + (

q )/D.

Si p y q son ce r ca nos, el e rror r elat ivo de la d if e r e nc i a

se r á may or que l os e rror e s r elat ivos de p y q.

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror del productoSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os, e n t on ce s la c otade e rror r elat ivo de R=p.q e s

H R = H p + H

q .

Si p e s c ons ta n te , e n t on ce s ( R = |p| H q

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror del cocienteSea n p y q d os nú me ros ap roxi mad os, e n t on ce s la c ota de e rror r elat ivo de R=p/q e s

H R = H p + H

q .

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror de la potenciaSea n p u n nú me ro ap roxi mad o y n un v al or e x act o, e n t on ce s la c ota de e rror r elat ivo deR=p n e s

H R = | n | H p

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror de una funciónSea f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) u na f unc ión d if e r e nc i able , e n t on ce s e nt on ce s la c ota de e rror ab so lut o deR= f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) e s

n x

n

x x x

x

f

x

f

x

f

x

f (

x

x(

x

x(

x

x(

x

x!( ....

321

321

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CÁLCULO NUMÉRICO


E rror de una funciónSea f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) u na f unc ión d if e r e nc i able , e n t on ce s e nt on ce s la c ota de e rror r elat ivo deR= f ( x 1 ,x 2 , « ,x n ) e s

n x

n x x x

x

f

x

f

x

f

x

f (

x

x(

x

x(

x

x(

x

x!

ln....

lnlnln321 321

H

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CALCULO NUMERICO

C ERO S DE FUNC ION ES

Un cero de una función f real, continua y definida enun intervalo [a, b], es un valor z de [a, b] tal que

f(z)= 0.

a bx1 x2 x3

Los valores x1, x2 y x3 sonceros de la función f porquef(x1)=f(x 2)=f(x 3)= 0.

función f

ceros de f

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DE LA FALSA PO SIC ION

Los signos de f(x 0) y f(x1) deben ser opuestos.

x1

cero de lafunción

x0 x2

)()()(

)()()(

01

01112

01

01

1

21

x f x f x x

x f x x

x f x f

x x

x f

x x

!

!

x3

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DE LA SEC AN TE

x2 x0

cero de la función f

)()()(

)()()(

10

10112

10

10

1

21

x f x f x x x f x x

x f x f x x

x f x x

!

!

x1x3

X0, x 1 p x 2

X1 ,x 2 p x 3

X2 ,x 3p

x 4:

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DE LA SEC AN TE (caso patológico)

x2x0


)()()(

)()()(

10

10112

10

10

1

21

x f x f x x x f x x

x f x f x x

x f x x

!

!

x1

x3

X0, x 1 p x 2

X1 ,x 2 p x 3

X2 ,x 3p

x 4:

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DEN EWTON

x2 x0


)( )(

)()(

1

1

i

iii

ii

ii

x f x f x x

x x x f

x f

!

!

x3 x1

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DEN EWTON: condición de convergencia.

x2 b


x3 x1

a

Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, f' y f'' sonno nulas y no cambian de signo en [a,b],entonces, partiendo de un punto x 0 tal quef'(x0) y f''(x 0) tienen el mismo signo, el métodode N ewton converge al único cero de f en[a,b].

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DE APROX IMAC ION ES SUC ESIVAS

x2 x0x3 x1

x=f(x)

x 1 =f(x 0 )

x 2 =f(x 1 )

x 3 =f(x 2 )

x 4 =f(x 3 )::

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CÁLCULO NUMÉRICO


METO DO DE APROX IMAC ION ES SUC ESIVAS: condición deconvergencia.

x2 x0x3 x1

x=f(x)

Sea f una función f(x) definida ydiferenciable en [a,b] y con f(x) en[a,b] para todo x de [a,b].Si existe un valor q<1 tal que

|f'(x)|e

q, entonces el método deaproximaciones sucesivas convergea un punto x* tal que x*=f(x*).

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES NO LIN EALES

Dadas dos funcionesf(x,y)g(x,y)

se desea encontrar un par (x*,y*) tal que

f(x*,y*)= 0g(x*,y*)=0

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CÁLCULO NUMÉRICO


C ada una de las ecuaciones representa una curva en el plano.La solución es el punto donde se intersectan las curvas.

f(x,y)= 0

g(x,y)=0C

onjunto depuntos (x,y)donde f(x,y)=0

C onjunto depuntos (x,y)donde g(x,y)=0

La solución: punto(x*,y*) tal quef(x*,y*) =0 yg(x*,y*)=0

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CÁLCULO NUMÉRICO


MÉTO DO DEN EWTON -RAPHSON

f(x,y)= 0g(x,y)=0

1. Se toma un punto inicial (x 0,y0).2. Se calcula nuevo punto (x n,yn):

3. Se toma el punto como y se repite el proceso hastaque los valores de f(x,y) y g(x,y) estén cercanos a cero.

¼½

»¬-

«¼½

»¬-

«!¼

½

»¬-

«

000

001

0

0

),(

),(

x x g

x x f A

y

x

y

x

n

n

¼½

»¬-

«

n

n

y

x¼½

»¬-

«

0

0

y

x

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

x

x

x

xx

x

x

x

!

x y x g

x y x g

y y x f

x y x f

A),(),(

),(),(

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

x

x

x

x

x

x

x

x

!

x y x f

x y x g

y y x f

x y x g

A A

),(),(

),(),(

)det(11

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CÁLCULO NUMÉRICO


MÉTO DO DE ITERAC ION ES

x=f(x,y)y=g(x,y)

1. Se toma un punto inicial (x 0,y0).2. Se calcula nuevo punto (x n,yn):

xn= f(x 0,y0)yn= g(x 0,y0)

3. Se toma el punto (x n,yn) como (x 0,y0) y se repite el procesohasta que los valores de x n-x0 y yn-y0 estén cercanos a cero.

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CÁLCULO NUMÉRICO


MÉTO DO DE ITERAC ION ES

x=f(x,y)y=g(x,y)

C ondición de convergencia1. Las funciones f(x,y) y g(x,y) son definidas y diferenciables en

el rectángulo R : a e x e A , b e y e B.2. La aproximación inicial (x0,y0) y las siguientes están en R.3. Para todo (x, y) de R se cumple

| f' x(x,y)| + | f' y(x,y)| e k1<1| g' x(x,y)| + | g' y(x,y)| e k2<1

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALES

Dados los valores a i,j y los valores b i hallar los valores x itales que :

a1,1x1+a 1,2x2+ a 1,3x3 « + a 1,n-1 xn-1 + a 1,nxn= b 1a2,1x1+a 2,2x2+ a 2,3x3 « + a 2,n-1 xn-1 + a 2,nxn= b 2

a3,1x1+a 1,2x2+ a 1,3x3 « + a 1,n-1 xn-1 + a 3,nxn= b 3:

:

an,1x1+a n,2x2+ a n,3x3 « + a n,n-1 xn-1 + a n,nxn= b n

A x= b

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

n

n

n

n

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

b

b

b

b

x

x

x

x

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aaaa

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1

2

1

1

2

1

,1,2,1,

,11,12,11,1

,21,22,21,1

,11,12,11,1

..

..

..

..

....

....

............

................

....

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

n

n

n

n

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

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1

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1

1

2

1

,1,2,1,

,11,12,11,1

,21,22,21,1

,11,12,11,1

..

..

..

..

....

....

............

................

....

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO


Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás

1. Eliminación: Se transforma la matriz A y el vector b hasta llegar a laforma

¼¼¼¼¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬

¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬

¬

-

«

¼¼¼¼¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬

¬

-

«

n

n

n

n

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nnnn

nn

nn

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b

b

b

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x

x

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..

..

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............

............

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''....''

1

2

1

1

2

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,11,1

,21,22,2

,11,12,11,1

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

n

n

n

n

nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

bb

b

b

x x

x

x

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1

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1

1

2

1

,1,2,1,

,11,12,11,1

,21,22,21,1

,11,12,11,1

..

..

..

..

....

....

............

............

....

....

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO


Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás2. Sustitución hacia atrás :

De la fila n se despeja x n-1; en la fila n-1 se reemplaza x n por su valor yse despeja x n-1; en la fila n-2 se reemplazan x n y xn-1 por sus valores yse despeja x n-2; se procede de esta manera hasta llegar a la fila 1,donde se reemplazan x n, xn-1, xn-2, «. , x 2 por sus valores y se despejax1.

¼¼¼¼¼¼

¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬

¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼

¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬

¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼

¼¼

½

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¬¬¬¬¬¬

¬¬

-

«

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n

n

n

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nn

nn

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b

b

b

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x

x

x

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aaa

aaaa

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'

..

..

'

'

..

..

'........

''........

............

............

''....'..

''....''

1

2

1

1

2

1

,

,11,1

,21,22,2

,11,12,11,1

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO



Eliminación

Se transforman la matriz A y el vector de constantes b fila por fila demodo que todos los elementos debajo de a 1,1 queden con 0. En elsiguiente paso se transforman fila por fila de modo que los de debajode a 2,2 queden con cero, y se continúa así hasta a n- 1, n- 1 . De este modo

se obtiene el sistema triangular.

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬¬¬

-

«

n

n

n

n

nnn

nnnn

nn

nn

b

b

b

b

x

x

x

x

aa

aa

a

aaa

aaaa

'

'

..

..

'

..

..

'.....'0

''......0

..........0

..........'0

''....'0

....

1

2

1

1

2

1

,,2

,11,1

3,2

,21,22,2

,11,12,11,1

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO


Método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrásEliminación: Transformación de la fila 2.

¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬

-

«

1,1

1,212

1,1

1,24,14,2

1,1

1,23,13,2

1,1

1,22,12,2

1,1

1,21,112

14,13,12,11,1

a

abb

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

aaa

baaaa

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

24,23,22,2

14,13,12,11,1

''''0 baaa

baaaa

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO



Algoritmo:

Entrada : Matriz A con n+1 columnas; la última columna tiene alvector constante b.

Salida: Matriz A transformada a forma triangular superior.

Para j=1 hasta n-1 //filasPara i=j+1 hasta n//filas debajo de fila j

//convertir fila i de modo que a i,j=0q= a i,j /a j,j

Para k=j hasta n+1 //restar a fila i la fila j.ai,k= a i,k -a j,k*q

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO



Algoritmo:

Para j=1 hasta n-1 //filas

Para i=j+1 hasta n//filas debajo de fila j //convertir fila i de modo que a i,j=0

si a j,j=0buscar una fila u tal que a u,j{ 0 e intercambiar fila u confila j; si no se encuentra, el sistema es indeterminado.

q= a i,j /a j,j

Para k=j hasta n+1//restar a fila i la fila j.ai,k= a i,k-a j,k*q

Á É

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CÁLCULO NUMÉRICO


Factorizacion DoolittleDado un sistema

Ax=bse busca descomponer A en un producto de matrices de laforma

A= L U

donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriztriangular superior.

El sistema original se convierte enLUx = b

CÁ C O É CO

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CÁLCULO NUMÉRICO


Factorizacion DoolittleEl sistema

LUx=bes resuelto en dos fases

Ux = y es un vector de variables y=(y 1,y2, ... ,y n)ahora se tiene el sistema

L y = b

que puede ser resuelto por sustitución hacia adelante.

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

3

2

1

3

2

1

2,31,3

1,2

0

0

0

..

...

....

........

01

...01

......01

b

b

b

y

y

y

l l

l

CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO


Factorizacion Doolittle

¼¼

¼¼

½

»

¬¬

¬¬

-

«

!

¼¼

¼¼

½

»

¬¬

¬¬

-

«

¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

14,4

13,4

12,4

14,3

13,3

12,3

14,2

13,2

12,2

4,13,12,11,1

00

0

100010

001

0001

1,1

1,4

1,1

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1,1

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aaaa

aaa

aaa

¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬

¬

-

«

!

¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬

¬

-

«

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

24,4

23,4

24,3

23,3

1

4,2

1

3,2

1

2,2

4,13,12,11,1

00

00

0

10

01

001

0001

12,2

12,4

1,1

1,4

12,2

1 2,3

1,1

1,3

1,1

1,2

aaaa

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aa

aa

aaa

aaaa

a

aaa

a

aaa

aa

CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO


Factorizacion Doolittle

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

24,4

23,4

2

4,3

2

3,3

14,2

13,2

12,2

4,13,12,11,1

0000

0

10

01

001

0001

12,2

12,4

1,1

1,4

12,2

12,3

1,1

1,3

1,1

1,2

aaaaaaaa

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aaa

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a

a

a

aa

a

a

a

aa

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

34,4

24,3

23,3

14,2

13,2

12,2

4,13,12,11,1

000

00

0

1

01

001

0001

22,3

22,4

12,2

12,4

1,1

1,4

12,2

12,3

1,1

1,3

1,11,2

aaaa

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a

aa

aaa

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a

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CÁLCULO NUMÉRICO

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Factorización C rout

LU=A

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

3,1

4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

1,1

1000

100

10

1

0

00

000

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CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando col 1 de U por filas 1, 2, 3, 4 de L se calcula col 1 de L.Multiplicando fila 1 de L por cols 2, 3, 4 de U se calcula fila 1 de U.Multiplicando col 2 de U por filas 2, 3, 4 de L se calcula col 2 de L.Multiplicando fila 2 de L por cols 3, 4 de U se calcula fila 2 de U.Multiplicando col 3 de U por filas 3, 4 de L se calcula col 3 de L.Multiplicando fila 3 de L por cola 4 de U se calcula fila 3 de U.Multiplicando col 4 de U por fila 4 de L se calcula fila 4 de L.

CÁLCULO NUMÉRICO

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Factorización C routLU=A

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

4,3

4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

1,1

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100

10

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0

00

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CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando col 1 de U por filas 1, 2, 3, 4 de L se calcula col 1 de L.

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

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«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

4,3

4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

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00

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CÁLCULO NUMÉRICO

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¼¼¼¼

½

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¬¬¬¬

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«

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½

»

¬¬¬¬

-

«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬

-

«

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

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4,23,2

4,13,12,1

4,42,22,22,2

3,32,22,2

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CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando fila 1 de L por cols 2, 3, 4 de U se calcula fila 1 de U.

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4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

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CÁLCULO NUMÉRICO

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4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

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4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

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CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando col 2 de U por filas 2, 3, 4 de L se calcula col 2 de L.

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4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

4,3

4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

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CÁLCULO NUMÉRICO

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4,23,2

4,13,12,1

4,42,22,22,2

3,32,22,2

2,22,2

1,1

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LU=A

CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando fila 2 de L por cols 3, 4 de L se calcula fila 2 de U.

¼¼¼¼

½

»

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«

!

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½

»

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«

¼¼¼¼

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4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

3,1

4,23,2

4,13,12,1

4,42,22,22,2

3,32,22,2

2,22,2

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10

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CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando col 3 de U por filas 3, 4 de L se calcula col 3 de L.

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CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO

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Multiplicando fila 3 de U por col 4 de U se calcula fila 3 de U.

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4,23,2

4,13,12,1

4,42,22,22,2

3,32,22,2

2,22,2

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CÁLCULO NUMÉRICO

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4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

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10010

1

000

000

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aaaaaaaa

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uuu

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l l al a

a

CÁLCULO NUMÉRICO

Multiplicando col 4 de U por fila 4 de L se calcula col 4 de L.

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4,23,2

4,13,12,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

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101

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aaaa

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l l a

l aa

CÁLCULO NUMÉRICO

8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx


CÁLCULO NUMÉRICO


Factorización C holeskyMatriz positiva definida:

Una matriz M es positiva definida si es simétrica y x TMx>0 paratodo vector x distinto del vector 0.

Teorema :

Una matriz M es positiva definida si y sólo si puede realizarse laeliminación gaussiana sin intercambio de filas con los pivotespositivos.

Teorema :

Una matriz M es definida positiva si sólo si puede factorizarsecomo M= LLT , siendo L una matriz triangular inferior.

CÁLCULO NUMÉRICO

8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx


CÁLCULO NUMÉRICO


Factorización C holeskyLLT = M

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4,33,33,23,1

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4,13,12,11,1

4,4

3,43,3

2,42,32,2

1,41,31,21,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

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0

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l l

l l l

l l l l

l l l l

l l l

l l

l

P roducto de fila 1 de L por cols 1,2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.

P roducto de fila 2 de L por cols 2, 3, 4 de L T produce ecuaciones para fila 2 de L T.

P roducto de fila 3 de L por cols 3, 4 de L T produce ecuaciones para fila 3 de L T.

P roducto de fila 4 de L por col. 4 de L T produce fila 4 de L T.

CÁLCULO NUMÉRICO

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3,43,3

2,42,32,2

1,41,31,21,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

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000

000

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l l l l l

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l l l l l

l

CÁLCULO NUMÉRICO

P roducto de fila 1 de L por cols 1,2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.

? A ? A4,13,12,11,11,41,11,31,11,21,11,11,1 ... aaaal l l l l l l l !

CÁLCULO NUMÉRICO

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4,33,33,23,1

4,23,22,22,1

4,13,12,11,1

4,4

3,43,3

2,42,32,2

1,41,31,21,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

1,1

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000

000

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l

l l l l l

l l l l

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l l l l l

l

P roducto de fila 2 de L por cols 2,3,4 de L T produce ecuaciones para fila 1 de L T.

? A ? A4,23,22,22,42,21,41,22,32,21,31,22,22,21,21,2 ...... aaal l l l l l l l l l l l !

CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO

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4,13,12,11,1

4,4

3,43,3

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1,41,31,21,1

4,43,42,41,4

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l l l l l l l

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l l l

P roducto de fila 3 de L por cols 3,4 de L T produce ecuaciones para fila 3 de L T.

? A ? A4,23,23,43,32,42,31,41,33,33,32,32,31,31,3 .... aal l l l l l l l l l l l !

CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO

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4,13,12,11,1

4,4

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4,43,42,41,4

3,32,31,3

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l l

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l l

l

P roducto de fila 4 de L por cols 4 de L T produce ecuación para fila 4 de L T.? A ? A

4,44,44,43,43,42,42,41,41,4 .. al l l l l l l l !

CÁLCULO NUMÉRICO

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4,44,34,24,1

4,33,33,23,1

4,23,22,22,1

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4,4

3,43,3

2,42,32,2

1,41,31,21,1

4,43,42,41,4

3,32,31,3

2,21,2

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00

0

0

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l l

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l l l

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l

CÁLCULO NUMÉRICO

8/8/2019 calc-num-2009-1-a.pptx


CÁLCULO NUMÉRICO


MÉTO DO ITERATIVO DE JACO BI

4,4

4

4,4

3,4

4,4

2,4

4,4

1,4

3,3

3

3,3

4,3

3,3

2,3

3,3

1,3

2,2

2

2,2

4,2

2,2

3,2

2,2

1,21,1

1

1,1

4,1

1,1

3,1

1,1

2,1

3214

4213

4312

4321

444,433,422,411,4

344,333,322,311,3

244,233,222,211,2

144,133,122,111,1

ab

aa

aa

aa

ab

aa

aa

aa

ab

aa

aa

aa

ab

aa

aa

aa

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

!

!

!

!

!

!

!

!

Despejando las variables de cada ecuación se tiene :

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESMÉTO DO ITERATIVO DE JACO BI

4,4

4

34,4

3,4

24,4

2,4

14,4

1,4

3,3

3

43,3

4,3

23,3

2,3

13,3

1,3

2,2

2

42,2

4,2

32,2

3,2

12,2

1,2

1,1

1

41,1

4,1

31,1

3,1

21,1

2,1

0004

0003

000

2

0001

ab

aa

aa

aa

ab

aa

aa

aa

a

b

a

a

a

a

a

aab

a

a

a

a

a

a

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

!

!

!

!

En el lado derecho se usa una solución inicial , y secalcula un nuevo ; se repite el proceso hasta que ladiferencia entre dos soluciones sucesivas sea menor que una tolerancia.

04030201 ,,, x x x x4321 ,,, x x x x

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESMÉTO DO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL

4,4

4

4,4

3,4

4,4

2,4

4,4

1,4

3,3

3

3,3

4,3

3,3

2,3

3,3

1,3

2,2

2

2,2

4,2

2,2

3,2

2,2

1,2

1,1

1

1,1

4,1

1,1

3,1

1,1

2,1

13

12

11

14

04

12

11

13

0

4

0

3

1

1

1

2

04

03

02

11

ab

aa

aa

aa

ab

aa

aa

aa

a

b

a

a

a

a

a

aab

a

a

a

a

a

a

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

!

!

!

!

En el lado derecho se usa una solución inicial , y con cada

ecuación k se calcula una variable , usando las variables

Se repite todo el proceso con todas las ecuaciones, hasta que en dositeraciones sucesivas la diferencia entre las soluciones sea menor que unatolerancia dada.

04

03

02

01 ,,, x x x x

1k x00

20

11

112

11 ,...,,,,...,, nk k k x x x x x x

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO SN ormas de un vector

Una norma en R n, denotada por ||.|| es una función

de Rn

a R con las siguientes propiedades:

||x|| u 0 para todo vector x de R n, ||x||=0 sólo si x=0.||sx||=|s|.||x|| para todo s de R y x de R n.||x+y|| e ||x||+||y||

La norma más conocida es la norma euclidiana definida por22

22121 ...),...,,( nn x x x x x x !

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO SDistancia entre dos vectores

La distancia entre dos vectores x, y de Rn es ||x-y||.C onvergencia de una sucesión de vectores

Se dice que una sucesión de vectores x 1, x2, x3, « converge a unvector z si para cualquier e>0 existe un valor entero N (e) tal que

||x k-z||<e para todo k> N (e)Matriz diagonalmente dominante

Una matriz es diagonalmente dominante si el valor absoluto delelemento diagonal de cada fila es mayor que la suma de valoresabsolutos de los demás elementos de dicha fila.

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CÁLCULO NUMÉRICO

SISTEMAS DE EC UAC ION ES LIN EALESCON VERGENC IA DE MÉTO DO S ITERATIVO S

Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver el sistema

Ax=b convergen a la solución del sistema si A es diagonalmentedominante. Si embargo puede ocurrir que estos métodos converjana la solución aún cuando A no sea diagonalmente dominante.

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESSea x un vector con la propiedad Ax = Px para algún escalar P,entonces x es un autovector y P autovalor de A .

Ax=P

x

es equivalente a (A -

PI)x= 0 .

Si d et (A - PI) { 0 la única solución es x=0 ; por lo tanto, paraobtener soluciones distintas de 0, se requiere que

d et (A - PI) = 0 .

El valor d et (A - PI) se conoce como el p olinomio característico de lamatriz A, y d et (A - PI) = 0 como su ecuación característica .

Las raíces de la ecuación característica son autovalores de A .

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESSi la matriz A es de orden n, su ecuación característica es unpolinomio con orden n, y por lo tanto tiene n raíces no necesaria-mente diferentes.

Si x es un autovector asociado al autovalor P, entonces sx , paracualquier escalar s , es también autovalor asociado a P.

C ALC ULO DE LO S AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RES1. Se plantea y resuelve la ecuación característica de la matriz

det(A - P I)= 02. Para cada raíz Pi de la ecuación característica se plantea la

ecuación matricial Ax= Pix, de donde se obtiene la forma de losautovectores x asociados a Pi.

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESEjemplo:

Hallar los autovalores y autovectores de la matriz

Ecuación característica : (3-P)(2- P)-2*1= 0P2-5P + 6 - 2= 0P2-5P + 4=0

las raíces sonP1= (5+3)/2= 4P2= (5-3)/2= 1

Los autovalores son 4 y 1.

¼½

»¬-

«

22

13

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESEjemplo: ««..Hallar los autovectores asociados al autovalor 4

de donde se obtiene3x1+x 2=4x 1

2x1+2x 2=4x 2

de donde a su vez se obtiene que x 1= x 2; esto quiere decir que losautovectores asociados al autovalor 4 son de la forma (x 1,x1), porejemplo (3,3).

¼½

»¬-

«!

¼½

»¬-

«!

¼½

»¬-

«¼½

»¬-

«

2

1

21

21

2

1

422

3

22

13

x

x

x x

x x

x

x

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IASe basa en que si una matriz A n xn tiene n autovalores diferentesP1, P2, « , Pn, entonces cualquier vector x puede ser escrito como

una combinación lineal de autovectores v (1), v (2), « , v (n)

asociados a cada uno de los autovalores

multiplicando cada lado k veces por A se obtiene

y, considerando que los vectores v (i) son autovectores, se tiene

)()2(2

)1(1 ... n

nvvv x F F F!

)()2(2

)1(1 ...

nk n

k k k

v Av Av A x A F F F!

)()2(22

)1(11 ... nk

nnk k k vvv x A P FP FP F!

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IAFactorizando P1 se obtiene

y si P1 es el autovalor con mayor valor absoluto

Por lo tanto

.0... )()2(2 11

2lim !gp

nk

n

k

k vv n

PP

PP F F

)()2(

2

)1(

11 11

2

...nk

n

k k k

vvv xn

P

P

P

P

F F FP!

)1(11lim v x A k k

k FP!

gp

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IA

El vector es un autovector porque es el producto del

autovector por el escalar .

)1(11lim v x A k k

k FP!

gp

11 FP k

)1(11 vk FP

)1(v

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CÁLCULO NUMÉRICO

AUTO VALO RES Y AUTO VEC TO RESMÉTO DO ITERATIVO DE LA PO TENC IA

Para hallar un autovector asociado a P2 el vector incial x(0) debeser (A - P1 I)x, siendo x cualquier vector diferente de cero.

Para hallar un autovector asociado a P3 el vector incial x(0) debeser (A - P2 I)(A - P1 I)x, siendo x cualquier vector diferente de cero.

)1(11lim v x A k k

k FP!

gp

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CÁLCULO NUMÉRICO

IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEDados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.

))...()(())...()((

...))...()((

))...()((

))...()(())...()((

))...()(())...()(()(

110

10

21202

102

12101

201

02010

210

!

nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

x x x x x x x x x x x x

y

x x x x x x x x x x x x y


y

x x x x x x x x x x x x y x f

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CÁLCULO NUMÉRICO


0110

01000

21202

010002

12101

020001

02010

0201000

))...()(())...()((

...))...()(())...()((

))...()(())...()((

))...()(())...()(()(

y x x x x x x x x x x x x

y



y


nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

!

!

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CÁLCULO NUMÉRICO


1110

11101

21202

111012

12101

121011

02010

1211101

))...()(())...()((

...))...()(())...()((

))...()(())...()((

))...()(())...()(()(


y



y


nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

!

!

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CÁLCULO NUMÉRICO


2110

21202

21202

212022

12101

222021

02010

2221202

))...()(())...()((

...))...()(())...()((

))...()(())...()((

))...()(())...()(()(


y



y


nnnn

nn

n

n

n

n

n

n

!

!

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CÁLCULO NUMÉRICO

IN TERPO LAC ION DE LAGRAN GEEjemplo:

Hallar la función de interpolación de Lagrange quepasa por los puntos de la tabla

x 2 3 5y 8 7 9

)35)(25()3)(2(

9)53)(23()5)(2(

7)52)(32()5)(3(

8)(!

x x x x x x x f

)3)(2(23

)5)(2(27

)5)(3(38

)( ! x x x x x x x f

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CÁLCULO NUMÉRICO

IN TERPO LAC ION DE N EWTON

Diferencias divididas .

? A ? A? A ? A

? A? A ? A

? A ? A? A ? A

? A

)(,

)()(,),(,

,,,,,

)()(,),(,

,,,,,,,,

,,,,,

)()(,),(,

)(

33

23

232322

13

1223123

12

121211

03

012123

012302

0112

01201

01

0100

x f x

x x x f x f

x x f x f x

x x x x f x x f

x x x f x x

x f x f x x f x f x

x x x x x f x x x f

x x x x f x x x x f x x f

x x x f x x x f x f

x x f x f x

sd iferenci atercer a s sd iferenci a segun da s sd iferenci a primer a s x f x

!

!!

!!!

? A ? A ? A

0

01101

,,,,,,

x x x x f x x f

x x x f k

k k k k

!--

-

? A? A ? A

11

112111

,,,,,,,

x x x x x f x x f

x x x f k

k k k k k

!--

-

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CÁLCULO NUMÉRICO


Dados los puntos (x 0,y0), (x 1,y1), (x 2,y2),«, (x n,yn)Se desea una función f(x) tal que f(x i)=y i.

Siendo b 0, b 1, « , b n coeficientes calculados demodo que f(x 0)=y 0, f(x1)=y 1, « ,f(x n)=y n.

))...()((...))(()()( 110102010!

nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f

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CÁLCULO NUMÉRICO


S ie n d o b 0 , b 1 , « , b n c o ef ic ie nt es c al cu la d o s d e mo d o quef(x0)=y 0, f(x1)=y 1, « ,f(x n)=y n.

))...()((...))(()()( 110102010!

nn x x x x x xb x x x xb x xbb x f

],,,,[

],,,[

],,[

],[))...()(())(()()(

))(()()(

)()(

)(

))...()((...))(()()(

011

01233

0122

011

110102010

1202202102

01101

00

110102010

x x x x f b

x x x x f b

x x x f b

x x f b x x x x x xb x x x xb x xbb x f

x x x xb x xbb x f

x xbb x f

b x f

x x x x x xb x x x xb x xbb x f

nnn

nnnnnnnnn

nn

-

/

-

/

!

!

!

!

!

!

!

!

!

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CÁLCULO NUMÉRICO

DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC A

h x f h x f

h x f

)()(

0lim)('p

!

Una aproximación sencilla para f'(x) consiste en tomar h pequeñoy calcular

h x f h x f

x f )()(

)(' }

Se puede hacer lo mismo con -h

h x f h x f

x f })()(

)('

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CÁLCULO NUMÉRICO

DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC APromediando las dos aproximaciones para f'(x)

h x f h x f

x f )()(

)(' }

Se obtiene una mejor aproximación denominada aproximacióncentral de 3 puntos

h x f h x f

x f })()(

)('

hh x f h x f h

x f h x f h

x f h x f

x f 2

)()(2

)()()()(

)(' !}

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CÁLCULO NUMÉRICO

DIFERENC IAC IÓN N UMÉRIC A

hh x f h x f x f x f

2)2()(4)(3)(' }

Debe tenerse presente que el error en la fórmula central esnotablemente menor que en las otras dos fórmulas.

hh x f h x f x f

x f 2

)2()(4)(3)(' }

También se tienen las aproximaciones de 3 puntos hacia laderecha y hacia la izquierda :

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CÁLCULO NUMÉRICO

IN TEGRAC IÓN N UMÉRIC A

Mé t o d o d e l t r a p ec io :b xhn xha xha xa xn

abh

) f ( xhli f ( x )dx

nn

n

1ii

n

b

a

!!!!!!

!!gp

§´

,)1(,,2,,, 1210-

x0 x1 x2 x3 x4

2)()(

2)()(

2)()(

2)()( 43322110

0

x f x f h

x f x f h

x f x f h

x f x f h f ( x )d x

n x

x!´

f(x0) f(x

1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)

])(2)()([2

))((2

1

0

10

§

§´

!

!

!

!

n

1iin

i

n

1ii

x x

x f x f x f h

x f ) f ( xh f ( x )dxn

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CÁLCULO NUMÉRICO

IN TEGRAC IÓN N UMÉRIC AMé t o d o d e S imp s o n :

])(2)(4)()([3

1

0

1

00 §§´

""

!n

par ii

n

i¢ par iin

b

a x f x f x f x f

h f ( x )dx

f(x0) f(x

1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)

])(2))()()((3

2[21

212

iiii x

x xh f x f x f x f h f ( x )dx

i

i

!´

)]()(4)([3 21! iii x f x f x f h

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