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Ciclo Básico – Engenharia
INFORMÁTICA
Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
Prof. MSc. Alyrio Cardoso Filho
Março de 2010
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistemas Numéricos
• O que é Sistema de Numeração?– É um conjunto de regras para representação dos
números.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Qual das contas abaixo está certa?
1 1 1 1
+ 1 + 7 + 9 + F
------- ------- ------- -------
10 10 10 10
• Acertou quem disse: Todas!
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistemas Numéricos
• Sistema Binário: importante sistema de numeração, utilizado na tecnologia dos computadores. Sua base é “dois”, tendo somente dois algarismos: { 0, 1 };
• Sistema Decimal: sistema de números em que uma unidade de ordem vale dez vezes a unidade de ordem imediatamente anterior. Sua base numérica é de dez algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistemas Numéricos
• Sistema Octal: Sistema de numeração cuja base é oito, adotado na tecnologia de computadores. Sua base numérica é de oito algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
• Sistema Hexadecimal: Sistema de numeração cuja base é dezesseis. Esse sistema trabalha com dez algarismos numéricos baseados no decimal e com a utilização de mais seis letras. Os algarismos deste sistema são: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }.
• .
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Decimal - Base 10
• Operações Aritméticas:
– Adição: 429 + 232 = 661 (1ª parcela, 2ª parcela, resultado);
– Subtração: 506 – 342 = 164 (minuendo, subtraendo, resultante);
– Multiplicação: 32 x 4 = 128 (1º fator, 2º fator, produto);
– Divisão: 153 / 3 = 51 (dividendo, divisor, resultado, resto).
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Binário – Base 2
• Operações aritméticas:
– Adição: 11112 + 01112 = 101102
– Subtração: 1011012 - 1001112 = 0001102
– Multiplicação: 11012 * 10112 = 100011112
– Divisão: 110012 / 1012 = 1012
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Tabela Para Adição e Subtração de Binário
Adição• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 10 (2)
Subtração• 0 - 0 = 0• 0 - 1 = 1 *
(Empresta 1 do Anterior)
• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Numeração Bináriaa) 1 + 1 =
b) 10 – 1 =
c) 1 + 10 =
d) 11 + 11 =
e) 101 – 10 =
f) 1001 + 10 =
g) 1111 + 1 =
h) 1111+ 101 =
i) 111 – 10 =
j) 1010 – 111 =
Adição• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 10 (2)
Subtração• 0 - 0 = 0• 0 - 1 = 1 *
(Empresta 1 do Anterior)
• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Numeração Bináriaa) 1 + 1 =
b) 10 – 1 =
c) 1 + 10 =
d) 11 + 11 =
e) 101 – 10 =
f) 1001 + 10 =
g) 1111 + 1 =
h) 1111+ 101 =
i) 111 – 10 =
j) 1010 – 111 =
10
01 = 1
11
110
011 = 11
1011
10000
10100
101
0011 = 11
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Octal – Base 8
• Operações aritméticas:
– Adição: 35678 + 17418 = 55308
– Subtração: 73128 – 34658 = 36258
– Multiplicação: 1058 * 78 = 7438
– Divisão: 1148 / 48 = 238
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Tabela Para Adição e Subtração de Octal
Adição
• 7 + 0 = 7• 7 + 1 = 10• 7 + 2 = 11• 7 + 3 = 12• 7 + 4 = 13• 7 + 5 = 14• 7 + 6 = 15• 7 + 7 = 16
Subtração
• 10 – 7 = 1• 10 – 6 = 2• 10 – 5 = 3• 10 – 4 = 4• 10 – 3 = 5• 10 – 2 = 6• 10 – 1 = 7• 10 – 0 = 0
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Numeração Octala) 7 + 1 =
b) 11 – 2 =
c) 3577 + 15 =
d) 321 – 30 =
e) 777 + 1 =
f) 443 – 76 =
g) 357 + 30 =
h) 700 – 15 =
i) 767 – 77=
j) 55 + 777 =
10
7
3614
271
1000
345
407
663
670
1054
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Numeração Octala) 7 + 1 =
b) 11 – 2 =
c) 3577 + 15 =
d) 321 – 30 =
e) 777 + 1 =
f) 443 – 76 =
g) 357 + 30 =
h) 700 – 15 =
i) 767 – 77=
j) 55 + 777 =
10
7
3614
271
1000
345
407
663
670
1054
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Sistema Hexadecimal – Base 16• Operações aritméticas:
– Adição: 3A943B16 + 23B7D516 = 5E4C1016
– Subtração: 4C7B16 – 1E9216 = 2DE916
– Multiplicação: 416 * 416 = 1016
– Divisão: C16 / 416 = 316
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Exercícios – Numeração Hexadecimala) 9 + 1 =
b) F – 9 =
c) 9 + 5 =
d) 9 – B =
e) A5C3 + 999 =
f) A5CB – EE =
g) FFFF + 11 =
h) ABCD + EF =
i) ABCD – EF =
j) FEFE – FFF =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Conversões• Todo número pode ser convertido de uma base
numérica para outra;
• Para isto precisamos entender:– Valor Absoluto: ou valor intrínseco, é o número
propriamente dito;– Valor Posicional: é o valor que ele ocupa em uma
determinada posição.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exemplo: 1.998
Milhar Centena Dezena Unidade
1 9 9 8
3 2 1 0
1 9 9 8
Valor Absoluto:
Valor Posicional:
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Fórmula para conversão entre bases numéricas:
vp = va x basenp
Onde:– Vp = Valor da Posição;– Va = Valor Absoluto ;– Np = Número da Posição.
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Aplicação da Fórmula
Exemplo: 01100001(2)
1 x 20 = 1 x 1 = 10 x 21 = 0 x 2 = 00 x 22 = 0 x 4 = 00 x 23 = 0 x 8 = 00 x 24 = 0 x 16 = 01 x 25 = 1 x 32 = 321 x 26 = 1 x 64 = 640 x 27 = 0 x 128 = 0
Em que: 1 + 32 + 64 = 97(10).
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Outro ExemploConverter o binário 111110100(2) num decimal.
1 1 1 1 1 0 1 0 0
0 x 20 = 0 x 1 = 0
0 x 21 = 0 x 2 = 0
1 x 22 = 1 x 4 = 4
0 x 23 = 0 x 8 = 0
1 x 24 = 1 x 16 = 16
1 x 25 = 1 x 32 = 32
1 x 26 = 1 x 64 = 64
1 x 27 = 1 x 128 = 128
1 x 28 = 1 x 256 = 256
500
111110100(2) = 500(10)
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 2 para Base 10a) 1 =
b) 10 =
c) 101 =
d) 11111 =
e) 10001 =
f) 10101010 =
g) 1111 =
h) 10001111 =
i) 11001101 =
j) 11110001 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Aplicação da Fórmula
Exemplo: 374(8)
4 x 80 = 4 x 1 = 47 x 81 = 7 x 8 = 563 x 82 = 3 x 64 = 192
Em que: 4 + 56 + 192 = 252(10).
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Aplicação da Fórmula
Exemplo: 1998(10)
8 x 100 = 8 x 1 = 89 x 101 = 9 x 10 = 909 x 102 = 9 x 100 = 9001 x 103 = 1 x 1000 = 1000
Em que: 8 + 90 + 900 + 1000 = 1998.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 8 para Base 10a) 10 =
b) 7 =
c) 3577 =
d) 321 =
e) 777 =
f) 443 =
g) 357 =
h) 700 =
i) 76 =
j) 551 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Aplicação da Fórmula
Exemplo: C0B(16)
B x 160 = 11 x 1 = 110 x 161 = 0 x 16 = 0C x 162 = 12 x 256 = 3072
Em que: 11 + 0 + 3072 = 3083(10).
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 16 para Base 10a) E =
b) FF =
c) 10 =
d) F1F2 =
e) 7AC73 =
f) 3B47D =
g) 5DDD4 =
h) 10011 =
i) 7A71 =
j) ABC =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Decimal para Binário• Para convertê-los, basta dividi-los pela base 2.• O resultado é lido da direita para a esquerda, ou seja,
de trás para frente.
– Exemplo: 23(10) convertendo em binário = 10111(2)
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercício – Base 10 para Base 2a) 2 =
b) 999 =
c) 154 =
d) 1732 =
e) 111 =
f) 10 =
g) 854 =
h) 64 =
i) 15 =
j) 255 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Decimal para Octal
• Para converter, basta utilizar o método da divisão, no caso por 8;
• 50010 = 7648
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercício – Base 10 para Base 8a) 2 =
b) 999 =
c) 154 =
d) 1732 =
e) 111 =
f) 10 =
g) 854 =
h) 64 =
i) 15 =
j) 255 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Decimal para Hexadecimal• Para convertê-los, basta utilizar o método da divisão, no caso por 16;
• 100010 = 3E816
• Lembrando que E = 14.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercício – Base 10 para Base 16a) 2 =
b) 999 =
c) 154 =
d) 1732 =
e) 111 =
f) 10 =
g) 854 =
h) 64 =
i) 15 =
j) 255 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal para Binário• Para converter um número hexadecimal em binário, substitui-se cada
dígito hexadecimal por sua representação binária com quatro dígitos;
• Exemplo: 2BC16 = ?2
• 2 = 0010,
• B = 1011,
• C = 1100, logo: (2BC)16 = (001010111100)2
• Lembrando que E = 14.
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 16 para Base 2a) AB34 =
b) F =
c) FAB =
d) FFFF =
e) 1AF3 =
f) BBB9 =
g) ABC =
h) 743 =
i) F9A =
j) A1B =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Octal para Binário• De modo muito semelhante à conversão
hexadecimal para binário, esta conversão substitui cada dígito octal por sua representação binária com três dígitos;
• Exemplo: 12748 = ?2
• 1 = 001, 1 = 001,
• 2 = 010, 2 = 010,
• 7 = 111, 7 = 111,
• 4 = 100, logo: (1274)4 = 100, logo: (1274)88 = (001010111100) = (001010111100)22
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 8 para Base 2a) 734 =
b) 7 =
c) 711 =
d) 1765 =
e) 113 =
f) 531 =
g) 16 =
h) 1212 =
i) 272 =
j) 222 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Binário para Hexadecimal• Para se converter de binário para hexadecimal, utiliza-se um procedimento inverso à
conversão hexadecimal para binário, ou seja, agrupa-se o número binário de 4 em 4 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente hexadecimal ; ;
• Exemplo: 1001011002 = ?16
• Da direita para a esquerda: 1100 = C, 0010 = 2, 0001 = 1, logo: (100101100)2 = (12C)16
• (100101001000,1011011)2 = (?)16
• 1000 = 8, 0100 = 4, 1001 = 9, 1011 = B, 0110 = 6, logo: (100101001000,1011011)2 = (948,B6)16
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 2 para Base 16a) 1 =
b) 1111 =
c) 1010 =
d) 11111111 =
e) 1100001 =
f) 101011 =
g) 111000 =
h) 1000001 =
i) 11000 =
j) 1000 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Binário para Octal• Muito semelhante ao método binário para hexadecimal, porém, neste caso, agrupa-
se o número binário de 3 em 3 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente octal;;
• Exemplo: 10101111002 = ?8
• Da direita para a esquerda: 100 = 4, 111 = 7, 010 = 2, 001 = 1, logo: (1010111100)2 = (1274)8
• (1100101000,1011)2 = (?)8
• 000 = 0 101 = 5 100 = 4 001 = 1, 101 = 5 100 = 4, logo: (1100101000,1011)2 = (1450,54)8
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exercícios – Base 2 para Base 8a) 1 =
b) 1111 =
c) 1010 =
d) 11111111 =
e) 1100001 =
f) 101011 =
g) 111000 =
h) 1000001 =
i) 11000 =
j) 1000 =
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Sistema Octal para Hexadecimal e Vice-Versa
• Neste caso é necessário um passo intermediário, ou seja, primeiro transforma-se o número Octal / Hexadecimal em binário e em seguida, converte-se o número em binário para hexadecimal / Octal. Assim sendo, temos as seguintes equivalências para estas conversões:
Octal → Binário → Hexadecimal
Hexadecimal → Binário → Octal
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Exemplo de Multiplicação e Divisão Binária
• http://www.icea.gov.br/ead/anexo/22101.htm
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Unidade 1 – Sistemas de Numeração
Tabela
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