WEB AULA 1Unidade 1 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA E ORGANIZAÇÃO DEDADOS ESTATÍSTICOS

PALAVRAS-CHAVE: Estatística Descritiva, Dados Estatísticos, População, Amostra,

Variáveis Quantitativas e Qualitativas, Gráficos.

RESUMO: Nesta web aula serão apresentadas algumas definições básicas da

estatística descritiva, os conceitos de população, amostra e as principais formas de

apresentação de dados estatísticos em forma de gráficos que podem representar, de

maneira sintética, as informações sobre o comportamento de variáveis numéricas

levantadas por meio de processos de amostragem.

A) ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS

ESTATÍSTICA: A estatística é a ciências dos dados. Ela nos

fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados

para a utilização deles na tomada de decisões. É objetivo da estatística: extrair

informação de um conjunto de dados para obter uma melhor compreensão das

situações que representam.

Para melhor compreendermos os propósitos da Estatística, é necessário conhecermos

as algumas definições básicas:

Estatística Descritiva: Os objetivos da estatística descritiva envolvem coleta,

organização e descrição de um conjunto de dados quantitativos ou qualitativos. Com

a construção de gráficos, tabelas e com o cálculo de medidas com base em uma

coleção de dados numéricos, poderemos compreender melhor o comportamento da

variável expressa na amostra estudada.

População: É a totalidade dos elementos, objetos ou pessoas que estão sendo

considerados inicialmente.

Amostra: É todo subconjunto de unidades retiradas de uma população para obter a

informação desejada. Uma amostra tem que representar e ter as mesmas

características da população original, portanto, a amostra só traz informação sobre a

população da qual foi retirada. Em outras palavras, a amostra é parte da população

que é selecionada para análise. A preocupação central é que a amostra

seja representativa da população inicial.

Atributos: Quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o

levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados

genericamente de estatística de atributo.

Variável: É uma condição ou característica das unidades da população. Por exemplo,

a idade das pessoas residentes no Brasil, ou a classe social são variáveis. As variáveis

são classificadas em dois tipos: Qualitativas e Quantitativas.

Variáveis qualitativas ou por atributos: Quando os dados são distribuídos em

categorias mutuamente exclusivas. Seus valores são expressos por atributos: São

exemplos de variáveis qualitativas: sexo, cor da pele, cidade de nascimento, tipo

sanguíneo (O, A, B, AB), etc. Estas variáveis são classificadas em dois tipos:

Nominal (exemplo: gênero - masculino e feminino);

Ordinal (exemplo: classe social: A, B, C, D, E).

Variáveis quantitativas ou numéricas: Quando os dados são de caráter

nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica.

São exemplos de variáveis quantitativas: idade, estatura, taxa de colesterol, etc. As

variáveis quantitativas ou numéricas são classificadas em dois tipos:

Variável Discreta: A variável discreta só pode assumir apenas valores inteiros.

São exemplos de variáveis discretas: número de filhos (0, 1, 2, 3, etc.), número de

estudantes em uma sala de aula, etc.

Variável Contínua: A variável contínua pode assumir qualquer valor num dado

intervalo. Exemplo de variável contínua: peso de uma pessoa (60,50 Kg).

Dados Brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente

organizados. É difícil formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo como

um todo a partir de dados não ordenados ou dados brutos.

Exemplo: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60,

51.

ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados brutos (de forma crescente ou

decrescente).Exemplo: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57,

58, 58, 60, 60

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,

procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São

Paulo: Editora Pearson, 2008 e leia o capítulo 1 da página 2 a 6.

B) APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS

Gráficos ajudam a visualizar a distribuição das variáveis. Nesta etapa serão

apresentadas as formas de apresentar dados em gráficos, seguindo as normas

nacionais ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia eEstatística (IBGE). Todo gráfico deve apresentar título e escala. O títulodeve ser

colocado abaixo do gráfico. As escalas devem ser crescentes da esquerda para a

direita e de baixo para cima.

WEB AULA 2 – NÚMEROS ÍNDICES

PALAVRAS-CHAVE: números índices; números índices simples, números índices

compostos, deflação de dados.

RESUMO: Esta web aula possui o objetivo de apresentar osprincipais conceitos relacionados a números-índices, empregados nas análises de

dados distribuídos sequencialmente no tempo.

A) NÚMEROS ÍNDICES

A análise de evolução de preços, quantidades produzidas ou vendidas e valores ao

longo do tempo podem requerer diferentes procedimentos e técnicas. Números-índices representam medidas estatísticas utilizadas para resumir modificações em

variáveis econômicas, ou um grupo de variáveis, facilitando o estudo da evolução de

dados quantitativos ao longo do tempo, podendo assumir diferentes formas,

como números-índices simples ou compostos, estes últimos empregados na

análise conjunta de diferentes dados.

Alguns números-índices podem ser chamados de índices econômicos quando são

utilizados para medir variações ocorridas ao longo do tempo das variáveis de preços,

quantidade e valor associados ao nível de custo de vida ou de preços praticados em

uma economia. No Brasil, os índices mais conhecidos são o Índice Geral de Preço,

calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) e o Índice Nacional de Preços ao

Consumidor (INPC), calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

(IBGE).

NÚMEROS-ÍNDICES SIMPLES

Números-índices simples podem ser de preços, quantidades ou valores, conforme

será discutido a seguir.

Índice Relativo de Preços (Ip): Expressam a relação entre o preço de um único

produto em um período determinado e o de outro período, comumente denominado

período básico ou de referência.

O índice de preço relativo do período b (Pb), em relação ao do período a (Pa) pode

ser definido pela seguinte equação:

Exemplo: Se um produto custava R$ 40,00 em 2008 e passou a custar R$50,00 em 2009, o índice de preço relativo de preço entre 2009 e 2008 é expresso

como:

Em outro exemplo, considere os preços médios unitários da produção de certo

produto durante os anos de 2004 a 2009 apresentados na Tabela 1. Adotando o anode 2004 como base, pode-se determinar os índices de preços relativos

correspondentes aos anos de 2007 e 2008.

Usando a fórmula anterior, pode-se calcular o preço relativo de 2007 e 2008,

adotando o ano de 2004 como base:

Índice Relativo de Quantidades (Iq): Assim como podemos comparar os preços

de bens/produtos, podemos também fazê-lo em relação a quantidades, quer sejam

elas produzidas, vendidas ou consumidas. Se fizermos qb= quantidade de um produto

na época atual e qa= quantidade desse mesmo produto na no ano base, a quantidade

relativa será:

Exemplo: Uma empresa produziu 46 toneladas de aço em 2011 e 69toneladas em 2012. A quantidade relativa será calculada tomando-se o ano de 2011

como base:

Ou seja, no ano de 2012 esta empresa aumentou sua produção em 50% (150-

100) em relação a 2011 (ano base).

Índice Relativo de Valor (Iv): Se p for o preço de determinada mercadoria em

certa época e q a quantidade produzida, vendida ou consumida desse mesmo produto

na mesma época, então, o produto p x q será denominado valor total de produção

(vt), de vendas ou de consumo. Sendo pte qtrespectivamente, o preço e a quantidade

de um artigo na época atual e po e qo, o preço e a quantidade do mesmo artigo no

ano base, definimos como índice relativo de valor (Iv) a razão:

Onde: vt – valor total na data atual, v0 – valor total na data de ano base.

Exemplo: Uma empresa vendeu, em 2010, 1000 unidades de um produto ao preço

unitário de R$ 500,00. Em 2011, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço

unitário de R$ 600,00. O valor relativo da venda em 2011 foi de:

Em 2011, o valor das vendas foi 4% (96-100) inferior ao de 2010.

Exemplo: Números-índices simples – No final do ano de 2009, certa indústria

estudava a evolução de suas vendas ao longo dos seis últimos anos. As quantidades

vendidas, os preços praticados e o valor das vendas de cada ano podem ser

visualizados na Tabela 2.

Tabela 2 – Vendas Anuais da Empresa Sejam Bem Vindos LTDA.

Fonte: Adaptação de Bruni (2007).

Com base na tabela anterior, a empresa constatou, obviamente, que quantidades,

preços e, principalmente, os valores das vendas cresceram. Porém, gostaria de

aprofundar esta análise, detalhando a evolução relativa dos crescimentos e,

principalmente, o efeito sobre o valor das vendas. Uma solução bastante simples para

facilitar a análise envolveria a construção de números-índices, onde a empresa

poderia analisar a evolução de suas vendas ao longo do tempo.

Assim, uma forma de analisar a evolução e as variações ocorridas nos dados

apresentados seria construir uma tabela formada por números-índices. Neste caso,

como se trata de analisar a evolução de um único produto, os números-índices são

chamados de números-índices simples.

Para construir as séries para preços, quantidade e valores, basta dividir todos os

valores de uma no escolhido mês base, expressando os valores obtidos em

porcentual, ou seja, multiplicados por 100%.

Por exemplo, empregando o ano de 2004 como ano base, o índice simples de

quantidade (Iq) para o ano de 2005 seria igual a (55/52)*100%, que resulta no

valor de 106%. O índice simples de preço (Ip) para o ano de 2007 seria igual

a (271/222)*100%, que resulta em 122%. No ano base (2004), os valores detodos os índices seriam iguais a 100%. A Tabela 3 apresenta os números-índices

para os demais dados, obtidos de maneira similar as descritas.

Analisando os valores apresentados na Tabela 3, a indústria facilmente perceberia

que a evolução dos valores de vendas é influenciada pela evolução das quantidades e

preços, sendo mais evidente a evolução das quantidades.

NÚMEROS-ÍNDICES COMPOSTOS

Números-índices compostos devem ser utilizados quando a evolução do preço de

mais de um produto ou serviço precisa ser considerada. Diferentes cálculos com

múltiplos preços, quantidades ou valores podem ser considerados.

Índice de Laspeyres ou método do ano base: Dentre os métodos de números-

índices compostos, o índice de Laspeyres ou método do ano base é um dos

métodos para cálculo de números-índices mais utilizado na área de gestão

coorporativa. Ao aplicar este método, considera-se um dos anos como ano base com

preços apresentados como p0 e quantidades apresentadas como q0. Para o ano

analisado assumem-se preços no ano, apresentados como pn, e quantidades,

apresentadas como qn.Pode ser apresentado como índice de Laspeyres de preços,quantidades ou valores conforme veremos a seguir.

Índice de preços de Laspeyres (ILp): Analisa a variação ponderada dos preços,

empregando a quantidade do ano base como fator de ponderação, conforme dado

pela fórmula a seguir:

Para ilustrar cálculos com índices de Laspeyres, considere o exemplo das vendas de

quatro produtos distintos apresentados na Tabela 4.

O índice de preços de Laspeyres pondera os cálculos dos valores, empregando aquantidade de vendas do ano-base. Vejamos o cálculo na Tabela 5.

Portanto, dividindo os somatórios de pn*q0 pelo valor no ano base (SP0 * Q0 = R$31,00), pode-se calcular os índices de preços de Laspeyres, conforme apresentado

na Tabela 5.

Índice de quantidade de Laspeyres (ILq): O índice de quantidades de Laspeyres

analisa a variação ponderada das quantidades, empregando os preços no anobase como fator de ponderação.

Os cálculos dos Índices de quantidade de Laspeyres (ILq) para o exemplo

apresentado na Tabela 4 são apresentados na Tabela 6.

Portanto, dividindo os somatórios de p0*qn pelo valor no ano base (SP0 * Q0 = R$31,00), pode-se calcular os índices de quantidade de Laspeyres conforme

apresentado na Tabela 6.

Índice de valor de Laspeyres (ILv): O índice de valor de Laspeyres analisa a

variação nos valores, comparando o valor do ano em questão com o valor do ano-

base.

Podemos calcular o índice de valor de Laspeyres (ILv) dividindo o valor (V) do ano

de 2013 pelo valor do ano-base 2012, igual a R$31,00, conforme apresentado na

Tabela 7.

WEB AULA 1Unidade 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS: MEDIDAS DE TENDÊNCIACENTRAL

O nosso objetivo aqui é a determinação e de medidas que ofereçam o posicionamentoda distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. São os cálculos

estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da

distribuição de dados, sendo que as medidas de posição mais utilizadas são: média

aritmética, média ponderada, moda e mediana.

Média Aritmética (): A medida de tendência central mais comum para um conjunto

de dados é amédia aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de

dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos

valores, conforme indicado pela fórmula abaixo:

Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.

Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações: 5, 1, 6,

2, 4. Solução:Temos cinco observações (n=5), então:

Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores

repetidos. Nesse caso, é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição

de frequências e trabalharmos comdados agrupados.

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, utilizaremos

a média aritmética dos valores x1, x2, x3,....xn ponderados pelas respectivas

frequência absolutas f1, f2, f3,..., fn, Assim:

“Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado

intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média

aritmética ponderada por meio da fórmula” anterior, onde xi é o ponto médio da

classe (AMAZONAS, 2013, p. 16).

Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classes): A Tabela 1 apresenta

uma distribuição de frequência que será utilizada como exemplo de cálculo da média

com dados agrupados em intervalo de classes.

Nos dados da Tabela 01, aplicando a equação anterior, temos que:

O valor obtido indica que a média ponderada da distribuição de frequência indicada

pela Tabela 01 é 61.

Média Aritmética Ponderada (): A média aritmética ponderada também é chamada

de média ponderada. É empregada quando as variáveis têm diferentes importâncias

relativas, ou, ainda, diferentes pesos relativos.

No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na série tem uma participação

proporcional ao seu peso, isto é, proporcional à importância relativa no conjunto. A

média ponderada é obtida pela soma das variáveis multiplicadas pelos seus pesos,

dividida pela soma dos pesos de cada variável. Assim:

Onde:

= Média Ponderada

xi = observações ou números da variável em estudo;

pi = ponderações ou pesos da variável.

Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30

sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.

RESOLUÇÃO:

Mediana (Md): A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de

dados ordenados (ROL), portanto, está localizada na posição central, tal que 50%

dos valores são menores que amediana, e os demais 50% são maiores.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra

de n elementos dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente):

“Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá

coincidência da mediana com um dos elementos da série” (AMAZONAS, 2013). Neste

caso existirá um único valor de posição central, e esse valor será a mediana. Por

exemplo, no conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, ovalor que divide a esta

série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.

Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá

coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será

sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo,

no conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}, a mediana no exemplo será a

média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2,

ou seja, m = 2,50.

Cálculo da mediana em dados agrupados em intervalos de classe (variáveiscontínuas)

Para se calcular a mediana em dados agrupados, devemos seguir os seguintes

passos:

1º) Determinamos as frequências acumuladas (S Fi = n);

2º) Calculamos n/2; como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou

ímpar.

3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente

superior à S Fi/2. Tal classe será a classe mediana (classe Md);

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:

Onde:

lMd = limite inferior da classe mediana;

n = tamanho da amostra ou número de elementos;

FAA = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.

h = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

FMd = é a frequência da classe mediana.

A Tabela 2 apresenta determinada distribuição amostral que será utilizada para

cálculo da mediana de dados agrupados.

1°) Calcula-se n/2. Como n=58, temos que 58/2=29º elemento;

2°) Identifica-se a classe mediana (Md) pela frequência acumulada. Neste caso a

classe mediana é a 3°;

3°) Neste caso: lMd = 55; n = 58; FAA= 17; h = 10; FMd = 18. Aplicando a fórmula

para cálculo da mediana temos:

Moda (Mo): Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor

da amostra que mais se repete; ou seja, valor que ocorre com maior frequência.

A Moda quando os dados não estão agrupados: A Moda é facilmente

reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete

(AMAZONAS, 2013, p. 17). Por exemplo, no conjunto de dados {7, 8, 9, 10, 10,10, 11, 12} a moda é igual a 10.

Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça

mais vezes que outros. Por exemplo, o conjunto de dados {3, 5, 8, 10, 12} não

apresenta moda. A série é amodal.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então,

que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo, o conjunto de dados {2,

3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7 (AMAZONAS, 2013, p.

17). Neste caso, a série é bimodal.

Distribuições Simples: Quando uma tabela de distribuição de frequência apresenta

grande quantidade de dados. É importante destacar a classe de maior frequência, a

chamada classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão

concentrados. Assim, para a distribuição:

A moda será 248 (maior frequência - Fi), que será indicada por Moda=248.

Cálculo da Moda em valores agrupados em intervalos de classe: A classe que

apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos

afirmar que a Moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entreos limites da classe modal. Um dos métodos para determinação da moda é a

aplicação da fórmula de CZUBER:

1°) Identifique a classe modal (aquela que possuir maior frequência).

2°)Aplicar a fórmula:

Onde:

l = limite inferior da classe modal

d1 = frequência da classe modal – frequência da classe anterior à da classe modal

d2 = frequência da classe modal – frequência da classe posterior à da classe modal

h = amplitude da classe modal

A Tabela 03 apresenta determinada distribuição amostral que será utilizada para

cálculo da moda de dados agrupados.

1°) Identifica-se a classe modal. Neste caso, trata-se da 3° classe 2 I- 3.

2°) Neste caso: l = 2; d1=17-10=7; d2=17-8=9; h = 1. Aplicando a fórmula para

cálculo da moda (fórmula de CZUBER) temos:

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,

procure pelos livros:

- LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São

Paulo: Editora Pearson, 2008, e leia o capítulo 2 da página 47 a 57.

WEB AULA 2 – MEDIDAS DE DISPERSÃO

Devido à variabilidade, as medidas de tendência central, ainda que consideradas

como números que têm a finalidade de representar uma série de dados, não podem

por si mesmas destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe

entre os valores que compõem o conjunto, e, portanto não bastam para descrever um

conjunto de dados. As medidas de tendência central são tanto mais descritivas de um

conjunto de dados quanto menor for a variabilidade. Então, quando apresentamos

medidas de tendência central para descrever um conjunto de dados, devemos indicar

também uma medida de variabilidade ou dispersão.

Medidas de Dispersão Absoluta – Amplitude Total (A)

É a diferença entre o maior e o menor valor observado no conjunto de dados,

conforme segue:

Exemplo: Para a série: 10,12,20,22,25,33,38, a amplitude total é dada por:

Variância populacional (s2) e amostral (S2)

“A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva,

porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de

amostras” (AMAZONAS, 2013, p. 24). A definição de variância populacional (s2) é

dada por:

Onde:

s2 indica variância populacional e lê-se “sigma” ao quadrado;

= média

Fi = frequência

N = tamanho da população

Para o caso do cálculo da variância amostral (s2) é conveniente o uso da seguinte

fórmula:

Onde: = média amostral, n = tamanho da amostra.

Desvio Padrão populacional (s) e amostral (s)

O desvio padrão é a “medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em

consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de

variabilidade bastante estável” (AMAZONAS, 2013, p. 22).

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Assim temos:

Exemplo 1: Calcular a variância amostral (s2) e o desvio-padrão amostral (s) da

seguinte distribuição amostral.

Resolução (Exemplo 1):

a) Cálculo da Média: Primeiramente precisamos calcular o valor da média, conforme

vimos anteriormente. O cálculo detalhado da média é apresentado na Tabela 4.

Portanto a média é:

b) Cálculo da Variância Amostral (s2):

Para calcularmos a variância amostral (s2) é preciso encontrar o valor de ådi2Fi. Para

tanto, uma nova coluna deverá ser considerada na tabela anterior conforme indicado

na Tabela 05.

Portanto, a variância amostral (s2) é dada por:

c) Cálculo Desvio-Padrão Amostral (s): , logo:

Resumindo: A distribuição possui média 8,06. Isto é, seus valores estão em torno

de 8,06 e seu grau de dispersão é de 1,69, dado pelo desvio-padrão amostral.

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital,procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson

Education do Brasil, 2009, e leia a unidade 3 - da página 62 a 64 e 76 a 83.

Medida de Dispersão Relativa: Coeficiente de Variação (CV) Trata-se de uma

medida relativa de dispersão útil para comparação em termos relativos do grau de

dispersão em torno da média de séries distintas. É dado por:

Onde: s = desvio-padrão amostral e = média

Exemplo 2: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com

desvio padrão de R$ 1500,00, e os das mulheres é em média de R$ 3800,00 com

desvio padrão de R$ 1200,00. Então:

Logo, podemos concluir que, nesta empresa, os salários dos homens apresentam

maior dispersão relativa que o salário das mulheres.