Aula 02 - Metodos Quantitativos

Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima

Aula 02 Anlise Combinatria e Probabilidade

1 Anlise Combinatria. . ......................................................................................................... 2 1.1 Conceitos Iniciais ............................................................................................................ 2 1.2 Arranjos Simples ............................................................................................................. 3 1.3 Permutaes Simples . .................................................................................................. 5 1.4 Combinaes Simples ................................................................................................... 7 2 Probabilidade . . ...................................................................................................................... 22 2.1 Os Diferentes Tipos de Probabilidade ................................................................... 23 2.2 Conjuntos e Eventos .................................................................................................... 24 2.3 Definio Axiomtica de Probabilidade . .............................................................. 27 2.4 Probabilidades Conjunta e Condicional ................................................................ 32 2.5 Independncia................................................................................................................ 35 2.6 Regras de Adio .......................................................................................................... 35 2.7 Regra da Multiplicao ................................................................................................ 37 2.8 Teorema da Probabilidade Total . ........................................................................... 37 2.9 Teorema de Bayes ........................................................................................................ 41 3 Memorize para a prova ....................................................................................................... 44 4 Exerccios de Fixao .......................................................................................................... 45 5 Gabarito .................................................................................................................................... 58 6 Resoluo dos Exerccios de Fixao ............................................................................ 59

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Ol pessoal, tudo bem? A nossa aula de hoje contm 2 tpicos relevantes para a prova de Mtodos Quantitativos: Anlise Combinatria e Probabilidade. Optei por incluir a matria de Anlise Combinatria neste curso porque ela um prrequisito para um bom aproveitamento da Teoria Elementar da Probabilidade. Eu tenho feito dessa forma nos ltimos cursos dados aqui no Ponto e os alunos tm gostado bastante. Se voc j estiver suficientemente familiarizado com a Anlise Combinatria (item 1), sugiro que voc desvie para o item 2 (Probabilidade).

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Anlise Combinatria

Nesta seo, estudaremos a anlise combinatria. Veremos diversos mtodos de contagem e o nmero de possibilidades que podem ocorrer em eventos incertos. A anlise combinatria corresponde a uma anlise quantitativa dos problemas e calcula a quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados a partir de um determinado nmero de elementos de um conjunto. 1.1 Conceitos Iniciais

Fatorial: seja n um nmero inteiro no negativo. O fatorial de n, representado pelo smbolo n!, definido conforme abaixo: n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1 Exemplos: I) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800 II) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880 III) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 IV) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 V) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 VI) 5! = 5.4.3.2.1 =120 VII) 4! = 4.3.2.1 = 24 VIII) 3! = 3.2.1 = 6 IX) 2! = 2.1 = 2 X) 1! = 1 XI) 0! = 1 (por definio) importante saber o conceito de fatorial para a prova, no porque cair fatorial (na verdade, no vai cair uma questo especfica sobre fatorial na prova), mas em virtude dos conceitos de Permutao, Arranjo e Combinao. Portanto, memorize o que foi exposto acima. Princpio Fundamental da Contagem (Regra do Produto): Caso um evento qualquer ocorra em n etapas consecutivas e independentes da seguinte maneira:Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Primeira etapa: existem k1 maneiras diferentes de ocorrer o evento. Segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento. Terceira etapa: existem k3 maneiras diferentes de ocorrer o evento. (...) Ensima etapa: existem kn maneiras diferentes de ocorrer o evento. Nmero Total de Maneiras de Ocorrer o Evento = k1.k2.k3.k4...kn Exemplo: as placas dos automveis do Brasil so compostas por trs letras e quatro nmeros. Qual o nmero mximo de veculos que podem ser licenciados pelo Detran, de acordo com esse padro de confeco das placas? Nosso alfabeto possui 26 letras (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, W, Z). Ns utilizamos a base decimal, que possui 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). A placa composta da seguinte maneira: (Letra) (Letra) (Letra) (Nmero) (Nmero) (Nmero) (Nmero) Exemplo: LAG 2134 Logo, para a primeira letra, temos 26 possibilidades, assim como para a segunda e para a terceira. Para o primeiro nmero temos 10 possibilidades, assim como para o segundo, para o terceiro e para o quarto. Portanto, o nmero mximo de placas (veculos licenciados) seria: (Letra) (Letra) (Letra) (Nmero) (Nmero) (Nmero) (Nmero) 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104

Nmero Mximo de Placas = 175.760.000. Tranquilo(a) at aqui? Ento vamos em frente. 1.2 Arranjos Simples

Uma coleo (ou conjunto) de n elementos constitui uma populao de tamanho n (a ordem dos n elementos no importa). Duas populaes so diferentes se uma contm pelo menos um elemento no contido na outra (neste caso, diz-se que elas tm naturezas distintas). Uma subpopulao de tamanho r de uma populao de tamanho n um subconjunto de r elementos tomados da populao original. De forma anloga, duas subpopulaes so diferentes, isto , tm naturezas distintas, se uma tem pelo menos um elemento diferente da outra.



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Seja uma populao de n elementos s1 , s2 ,..., sn . Qualquer arranjo ordenado s k1 , sk2 ,..., s kr denominado uma amostra ordenada (arranjo ordenado) de tamanho r. Considere uma urna genrica contendo n bolas numeradas distintas. As bolas so removidas uma a uma. Quantas amostras ordenadas distintas de tamanho r podem ser formadas? H dois casos: (i) Amostragem com reposio. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, n escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, h nr amostras ordenadas distintas de tamanho r. (ii) Amostragem sem reposio. Neste caso, temos n escolhas para a primeira bola, (n-1) escolhas para a segunda bola, e assim sucessivamente. Deste modo, h n! An ,r = n(n 1)(n 2)...(n r + 1) = (1) (n r )! amostras ordenadas distintas de tamanho r. A equao (14) a frmula do arranjo simples, pois fornece o nmero An,r de agrupamentos (amostras) ordenados possveis de n elementos de um conjunto, tomados r a r, considerando r elementos distintos. Exemplo: o nmero de arranjos das letras a, b e c, tomadas duas de cada 3! 3 2 1 vez, An ,r = = = 6 . So: ab, ba, ac, ca, bc, cb. Observe que um (3 2)! 1 arranjo leva em considerao a ordem de sua disposio. Exemplo: suponha que o seu Internet Banking exija que voc cadastre uma senha de seis dgitos, com as seguintes caractersticas: s possvel utilizar os algarismos de 0 a 9; e os dgitos devem ser distintos. Qual o nmero mximo de senhas que voc pode criar? Observe que a senha 012345 diferente da senha 102345, ou seja, a ordem dos dgitos gera possibilidades diferentes. Alm disso, a senha 012345 diferente da senha 012346, ou seja, a natureza do elementos tambm gera possibilidades diferentes. Contudo, voc poderia perguntar: mas professores, preciso saber a frmula do arranjo para resolver esta questo? A resposta no. Basta utilizar o que temos que melhor: o raciocnio, ou se preferir, o raciocnio lgico. A senha a ser criada ser formada por seis nmeros distintos. Repare que para o dgito 1 (D1), temos 10 possibilidades (de 0 a 9). Contudo, para o dgitoProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima 2 (D2), como os nmeros devem ser distintos, teramos 9 possibilidades, pois devemos retirar o nmero utilizado no dgito 1. Para o dgito 3 (D3), teramos 8 possibilidades, e assim por diante. Deste modo teramos, 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151.200 senhas distintas. (D1) (D2) (D3) (D4) (D5) (D6) Viu como fcil! E nem foi necessrio usar a frmula do arranjo. Mas, se voc fantico(a) por frmulas e prefere memoriz-las, obtemos o mesmo resultado utilizando a frmula do arranjo simples (sabendo que as possibilidades sero distintas em virtude da ordem e da natureza dos elementos): n = 10 algarismos r = 6 dgitos (senha) A10,6 = n!/(n r)! = 10!/(10 6)! = 10!/4! = (10.9.8.7.6.5.4!)/4! = 151.200. Nota: bizu de fatorial para a prova: 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6! = 10.9.8.7.6.5! = = 10.9.8.7.6.5.4! = 10.9.8.7.6.5.4.3! = = 10.9.8.7.6.5.4.3.2! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 Generalizando: n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ... 1.3 Permutaes Simples

Quando os arranjos so formados por todos os elementos do conjunto dado e, alm disso, diferem entre si somente em funo da ordem de seus elementos, temos uma permutao simples. Assim, a permutao de n elementos distintos, tomados n de cada vez, ser dada por An,n = n!/(n n)! = n!/0! = n!/1 = n! = Pn Ressaltamos que, na permutao, os agrupamentos ou possibilidades sero diferentes entre si pela ordem apenas. Exemplo: seja o seguinte conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Qual o nmero de permutaes possveis de seus elementos? n = 4 Pn = n! P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Permutaes possveis (somente para conferncia): {1, {1, {1, {1, {1, {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 2, 3, 4} 3} 4} 2} 3} 2} {2, {2, {2, {2, {2, {2, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 1, 4, 1, 3, 4} 3} 4} 1} 3} 1} {3, {3, {3, {3, {3, {3, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 1, 4, 1, 2, 4} 2} 4} 1} 2} 1} {4, {4, {4, {4, {4, {4, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3} 2} 3} 1} 2} 1}

Exemplo: suponha que voc e seus quatro primos compraram 5 passagens areas para conhecer o pas ESFIO, que vieram com os seguintes assentos marcados: 1A, 1B, 1C, 1D e 1E. Caso vocs quisessem trocar de lugar entre si, sem considerar o nome de cada um nas passagens areas, de quantas formas distintas vocs poderiam ocupar estes 5 lugares no avio? Repare que a questo pede para calcular o nmero de possibilidades de cinco primos se sentarem em cinco lugares diferentes. Ou seja, ns no temos como variar a natureza do elementos, tendo em vista que so 5 pessoas que iro sentar em 5 lugares. As possibilidades sero diferentes entre si apenas em funo da ordem. Portanto, uma permutao. Precisamos guardar a frmula da permutao? A resposta no, pois possvel resolver sem frmula. Veja: No lugar 1A poderia se sentar um dos 5 primos; no lugar 1B, teriam apenas 4 primos com possibilidade de sentar, tendo em vista que um primo j sentou no lugar 1A"; no lugar 1C, trs primos; no lugar 1D, dois primos; e, finalmente, no lugar 1E, 1 primo. Portanto, teramos: (Lugar 1A) (Lugar 1B) (Lugar 1C) (Lugar 1D) (Lugar 1E) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Novamente, se voc fantico(a) por frmulas e prefere memoriz-las, utilizando a frmula da permutao (sabendo que as possibilidades sero distintas em virtude da ordem dos elementos): P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Nota: Anagrama: palavra ou frase formada de outra por meio de transposio de letras - como em Alice, Celia; Roma, amor; Pedro, poder; ou Amrica, Iracema. Exemplo: Determine o nmero de anagramas da palavra PODER. PODER 5 letras n = 5 P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Nota: Permutaes Circulares: Pno = n!/n = (n-1)! => normalmente, so problemas que envolvem n pessoas em torno de uma mesa circular. Exemplo: De quantas maneiras 5 pessoas (P1, P2, P3, P4 e P5) podem se sentar ao redor de uma mesa circular? n = 5 Pn = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 maneirasP1 P2 P5 P4 P3 P2

P3

P4

P5

P1

Repare que, como as pessoas so colocadas ao redor da mesa, as arrumaes {P1,P5,P4,P3,P2} e {P3,P2,P1,P5,P4} so iguais, pois, para cada pessoa selecionada, os vizinhos esquerda e direita permanecem os mesmos. Deste modo, podemos rodar com esta arrumao ao redor da mesa que a arrumao no sofrer alterao. Nota: Permutaes com elementos repetidos: neste caso, h um conjunto de n elementos, com q elementos repetidos do tipo 1, r elementos repetidos do tipo 2, s elementos repetidos do tipo 3, etc. Frmula: Pn (q,r,s,...) = n!/(q! r! s! ...) Exemplo: Determine o nmero de anagramas da palavra RACIOCNIO. Total de Letras em RACIOCNIO = 10 Letras repetidas: I (3 vezes, considerando que = I) 3! O (2 vezes) 2! C (2 vezes) 2! Total de Anagramas = 10!/(3!.2!.2!) = 151.200 1.4 Combinaes Simples

Suponha que desejamos saber o seguinte: quantas subpopulaes (grupos) de tamanho r podem ser formadas a partir de uma populao de tamanho n? Por exemplo, considere 6 bolas numeradas de 1 a 6. Quantos grupos de tamanho 2 podem ser formados? A tabela abaixo mostra que 15 grupos de tamanho 2 podem ser formados: 12 23 34 45 56



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13 14 15 16

Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima 24 35 46 25 36 26

Note que isto diferente do nmero de amostras ordenadas que podem ser formadas sem reposio (arranjos simples). A tabela a seguir mostra que A6,2 = 6 x 5 = 30 arranjos podem ser obtidos: 12 13 14 15 16 21 23 24 25 26 31 32 34 35 36 41 42 43 45 46 51 52 53 54 56 61 62 63 64 65

A tabela acima, por sua vez, diferente do nmero de amostras que podem ser formadas com reposio (62 = 36): 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

Note que os grupos da primeira tabela (aquela com 15 grupos) diferem entre si somente em funo da natureza de seus elementos e que a ordem no importa. Neste caso, diz-se que a primeira tabela relaciona as 15 combinaes (simples) possveis de n = 6 elementos tomados 2 a 2. Adotaremos no restante desta aula a notao Crn (ou Cn,r) para a combinao de n elementos tomados r a r. Uma frmula geral para o nmero Crn de combinaes de tamanho r em uma populao de tamanho n pode ser deduzida como a seguir. Considere uma urna com n bolas distintas. Ns j sabemos que o nmero de arranjos de n elementos, tomados r de cada vez, An,r. Agora considere uma subpopulao especfica de tamanho r. Para esta subpopulao, h r! arranjos distintos. Desta forma, para Cn,r combinaes (subpopulaes) devem existir Cn,r.r! diferentes amostras ordenadas de tamanho r. Portanto, (2) ou (3) Cn,r.r! = An,r

C n ,r =

An ,r n n! = = (n r )! r! r r!www.pontodosconcursos.com.br


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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima A Eq. (16) define o coeficiente binomial. Exemplo: seja conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Qual o nmero de subconjuntos possveis de seus elementos? A questo pede o nmero de subconjuntos possveis. Portanto, pouco importa a ordem, tendo que vista que o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, igual ao conjunto {2, 1, 3}. Contudo, a natureza influencia nas possibilidades, pois o conjunto {1, 2, 3}, por exemplo, diferente do conjunto {1, 2, 4}. Logo, deve ser utilizada a combinao. Neste caso fica mais fcil determinar todos os subconjuntos por nmero de elementos, ou seja, o subconjunto vazio, os subconjuntos com 1 elemento, os subconjuntos com 2 elementos, os subconjuntos com 3 elementos e os subconjuntos com 4 elementos. Subconjunto vazio: { } apenas 1 grupo. Vamos conferir pela frmula da combinao? Neste caso seria a combinao de 4 elementos, tomados 0 a 0:

C4 , 0 =

4! 4! = =1 0!(4 0)! 1 4!

Subconjuntos com 1 elemento: {1}, {2}, {3}, {4} 4 grupos. Vamos conferir pela frmula da combinao? Neste caso seria a combinao de 4 elementos, tomados 1 a 1.

C4,1 =

4! 4! = =4 1!(4 1)! 1 3!

Subconjuntos de 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} 6 grupos. Vamos conferir pela frmula da combinao? Neste caso seria a combinao de 4 elementos, tomados 2 a 2:

C4 , 2 =

4! 4! 43 = = =6 2!(4 2)! 2!2! 2

Repare que aqui no importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o subconjunto {1,2} igual ao subconjunto {2,1}: Subconjuntos de 3 elementos: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} 4 grupos. Vamos conferir pela frmula da combinao? Neste caso seria a combinao de 4 elementos, tomados 3 a 3:

C4,3 =

4! 4! = =4 3!(4 3)! 3!1! 9



Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Subconjuntos de 4 elementos: {1,2,3,4} apenas 1 grupo. Vamos conferir pela frmula da combinao? Neste caso seria a combinao de 4 elementos, tomados 4 a 4.

C4 , 4 =

4! 4! = =1 4!(4 4)! 4!0!

Logo, o nmero total de subconjuntos : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Neste exemplo, foi fcil achar os subconjuntos e nem precisvamos da frmula da combinao. S fizemos o clculo com a frmula para voc ver como feito. Contudo, se a questo pedisse, por exemplo, os subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, a coisa ficaria bem mais complicaria e seria mais fcil utilizar a frmula da combinao. Nota: Repare que propriedade interessante: No exemplo anterior: C4,0 = C4,4 C4,1 = C4,3 Logo, generalizando, teramos: Cn,0 = Cn,1 = Cn,2 = Cn,3 = (....) Cn,n Cn,n-1 Cn,n-2 Cn,n-3

Exemplo: quantos grupos distintos de 3 pessoas podemos fazer com Joo, Maria, Jos, Mrio e Joana? Quando formamos grupos de pessoas, no importa a ordem, pois o grupo Maria, Jos e Mrio, por exemplo, igual ao grupo Jos, Maria e Mrio. Contudo, a natureza importa, tendo em vista que o grupo Joo, Maria e Jos, por exemplo, diferente do grupo Joo, Maria e Joana. Portanto, teremos uma combinao de 5 pessoas (Joo J1, Maria M1, Jos J2; Mrio M2 e Joana J3), tomadas 3 a 3 (o exemplo pede grupos distintos de 3 pessoas):

Jo s

C5 , 3 =

5! 5! 5 4 3! = = = 10 3!(5 3)! 3!2! 3!2 1

Combinaes possveis (somente para conferncia): {J1,M1,J2} {J1,M2,J3} {J1,M1,M2} {M1,J2,M2} {J1,M1,J3} {M1,J2,J3}Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima {J1,J2,M2} {M1,M2,J3} {J1,J2,J3} {J2,M2,J3} Note que o grupo {J1,M1,J2} equivalente ao grupo {M1,J2,J1}, pois a ordem no importa neste caso. Exemplo: voc est se preparando para realizar a prova de Raciocnio LgicoQuantitativo do prximo concurso pblico e estabeleceu como objetivo resolver (e acertar) 16 das 20 questes possveis. Quantos grupos de 16 questes podero ser selecionadas? A ordem das questes no importa. Contudo, a natureza importa, pois voc pode, por exemplo, em uma possibilidade, acertar as questes de 1 a 16 e, em outra possibilidade, acertar as questes de 1 a 15 e 17. Logo, no podemos utilizar o conceito da permutao, mas sim o da combinao das 20 questes da prova, tomadas 16 a 16:

C20,16 =

20! 20 19 18 17 16! 20 19 18 17 = = = 4.845 16!(20 16)! 16!4 3 2 1 4 3 2 1

MAIS EXEMPLOS ... Bom, s h um jeito de fixarmos os conceitos de Arranjo, Permutao e Combinao. E que jeito este? Vamos dar uma pista: como o Csar Cielo faz para melhorar seus tempos na natao? Treina muito, certo? Pois isto que vamos fazer na sequncia, treinar por meio de mais exemplos. a maneira mais eficaz de voc bater seu recorde na prova e ser aprovado(a). E esta dica serve para todas as matrias. Nesta matria ento, nem se fala! No h maneira mais eficaz de aprender estatstica que no seja fazendo muitos exerccios. Exemplo: Hildemar possui quatro pares de tnis e cinco pares de meias distintos. De quantas maneiras diferentes ele poder sair, utilizando um par de tnis e um par de meias? Princpio Fundamental da Contagem Possibilidades de escolha do tnis = 4 Possibilidades de escolha das meias = 5 Nmero total de Possibilidades = 4 x 5 = 20 maneiras diferentes. Exemplo: quantos nmeros de cinco algarismos possvel formar, com algarismos distintos, considerando que o algarismo 2 ficar sempre na segunda posio? Base decimal: 10 algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Para formar nmeros de 5 algarismos, o algarismo 0 no pode aparecer esquerda, pois, neste caso, o nmero seria de quatro algarismos (Ex: 01.234 = 1.234); Princpio Fundamental da Contagem Posio 5 = 8 possibilidades (total de algarismo menos o 2, que ficar na posio 2 e menos o 0, que no pode aparecer esquerda). Posio 4 = 8 possibilidades (total de algarismo menos o 2, que ficar na posio 2, e menos o algarismo colocado na posio 5. Aqui, o 0 pode aparecer). Posio 3 = 7 possibilidades (total de algarismo menos o 2, que ficar na posio 2, e menos os algarismos colocados nas posies 5 e 4). Posio 2 = 1 possibilidade (algarismo 2) Posio 1 = 6 possibilidades (total de algarismo menos o 2, que ficou na posio 2, e menos os algarismos colocados nas posies 5, 4 e 3). Total de nmeros = 8 x 8 x 7 x 1 x 6 = 2.688. Exemplo: em uma sala com 5 portas, de quantos modos distintos Hildemar pode ingressar na sala e sair dela utilizando portas diferentes? Princpio Fundamental da Contagem Entrar na Sala = 5 possibilidades (5 portas) Sair da Sala = 4 possibilidades (a porta de sada deve ser distinta da porta de entrada) Total = 5 x 4 = 20 possibilidades Exemplo: quantos anagramas da palavra PODER iniciam-se com a letra P? Total de Letras = 5 (P,O,D,E,R) Neste exemplo, devemos fixar a letra P na primeira posio. Princpio Fundamental da Contagem Posio Posio Posio 2) Posio e 3) Posio 3 e 4) 1 = 1 possibilidade (P) 2 = 4 possibilidades (total de letras menos a letra da posio 1) 3 = 3 possibilidades (total de letras menos as letras das posies 1 e 4 = 2 possibilidades (total de letras menos as letras das posies 1, 2 5 = 1 possibilidade (total de letras menos as letras das posies 1, 2,

Total = 1.4.3.2.1 = 24 anagramas Outra soluo:Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima como a letra P fixa na primeira posio, poderamos, ento, considerar que s temos 4 letras para formar os anagramas: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas Exemplo: quantos times de futebol de 11 jogadores podemos formar a partir de um processo seletivo de 15 atletas? Nesta questo, a ordem no importa. No faz diferena a ordem que os atletas so selecionados, pois o time seria o mesmo. Logo, temos uma combinao.

C15,11 =

15! 15 14 13 12 11! 15 14 13 12 = = = 1.365 times 11!(15 11)! 11!4 3 2 1 4 3 2 1

Exemplo: em uma prova de natao, h 8 competidores. De quantas maneiras distintas podem ser conquistadas as medalhas de ouro, prata e bronze? Princpio Fundamental da Contagem Medalha de Ouro = 8 possibilidades (8 nadadores) Medalha de Prata = 7 possibilidades (8 nadadores menos aquele que ganhou a medalha de ouro) Medalha de Bronze = 6 possibilidades (8 nadadores menos aqueles que ganharam as medalhas de ouro e de prata) Total = 8 x 7 x 6 = 336 maneiras. Exemplo: quantos nmeros de 4 algarismos distintos, maiores que 5.000, podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 8 e 9? Total de algarismos disposio = 6 Como o nmero deve ser maior que 5.000, o primeiro algarismo deve ser maior ou igual a 5 (5, 6, 8 ou 9 4 algarismos). Princpio Fundamental da Contagem Posio 4 = 4 possibilidades (4 algarismos maiores ou iguais a 5) Posio 3 = 5 possibilidades (total de algarismos menos o algarismo utilizado na posio 4) Posio 2 = 4 possibilidades (total de algarismos menos os algarismos utilizados nas posies 4 e 3) Posio 1 = 3 possibilidades (total de algarismos menos os algarismos utilizados nas posies 4, 3 e 2) Total = 4.5.4.3 = 240 algarismos. Exemplo: quantos anagramas da palavra UNIVERSO podemos formar, de modo que as letras UNI fiquem juntas nessa ordem?Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Total de letras = 8 (U,N,I,V,E,R,S,O todas distintas) Nesta questo, as letras UNI devem ficar juntas nessa ordem, mas em qualquer posio. Portanto, basta considerar UNI como uma nica letra. Total de letras recalculado (UNI,V,E,R,S,O) = 6 letras Letra 1 = 6 possibilidades Letra 2 = 5 possibilidades (total de letras recalculado menos a letra 1) Letra 3 = 4 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1 e 2) Letra 4 = 3 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1,2 e 3) Letra 5 = 2 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1,2,3 e 4) Letra 6 = 1 possibilidade (total de letras recalculado menos as letras 1,2,3,4 e 5) Total = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas ou P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas Exemplo: quantos anagramas da palavra UNIVERSO podemos formar, de modo que as letras UNI fiquem juntas, em qualquer ordem? Vimos, no exemplo anterior, que teramos 720 anagramas possveis da palavra UNIVERSO, com as letras UNI juntas, nessa ordem. Agora, neste exemplo, as letras UNI continuam juntas, mas em qualquer ordem. Neste caso, basta multiplicar o resultado do exemplo anterior pelas possibilidades de anagramas destas trs letras: Possibilidades de anagramas utilizando: U, N e I. Letra 1 = 3 possibilidades Letra 2 = 2 possibilidades (total de letras recalculado menos a letra 1) Letra 3 = 1 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1 e 2) Total = 3.2.1 = 6 anagramas Total de Anagramas de UNIVERSO com UNI juntas em qualquer ordem: Total = 720 x 6 = 4.320 anagramas Exemplo: quantos nmeros de 5 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que pelo menos um desses algarismos aparea mais de uma vez? Total de algarismos = 6 Exemplos de nmeros que satisfazem a condio do problema: 66.666, 88.138, 44.334, 99.999, 88.881, etc.Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Total de nmeros com 5 algarismos = 6.6.6.6.6 = 7.776 Total de nmeros com 5 algarismos distintos = 6.5.4.3.2 = 720 Logo, o total de nmeros em que pelo menos um dos algarismos aparea mais de uma vez justamente a diferena entre o total de nmeros com 5 algarismos e o total de nmeros com 5 algarismos distintos: Total de Nmeros (pelo menos um dos algarismos repetido) = 7.776 720 = 7.056 Exemplo: se um ratinho quer ir do ponto A ao ponto B, onde h um delicioso queijo, mas s pode andar para cima ou para a direita (um movimento de cada vez), por quantos caminhos distintos poder completar este trajeto? B

A Como cada passo leva o ratinho para um cruzamento entre linha e coluna, no importa o caminho escolhido pelo ratinho, pois ele, necessariamente, ter que passar por oito cruzamentos entre linha e coluna para se deslocar no ponto A para o ponto B. Um dos caminhos possveis seria o indicado pela figura abaixo. B

A Logo, teremos uma permutao de oito alternativas para formar os caminhos, sendo que, em cada uma delas, h quatro repeties de movimentos para cima e quatro repeties de movimentos para a direita. Portanto, seria uma permutao com elementos repetidos:

P8 (4,4) =

8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5 = = = 70 caminhos distintos 4!4! 4!4 3 2 1 4 3 2 1

Exemplo: os amigos Katya, Maria, Deborah, Junior, Vitor, Patrick e Priscilla iro ocupar sete lugares de uma mesma fileira em um espetculo do Circo Kaprisma. Determine de quantos modos esses lugares podero ser ocupados,Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima sabendo-se que os lugares das extremidades devero ser ocupados por meninos. Total de Amigos = 7 Meninos = Junior (J), Vitor (V) e Patrick (P) = 3 Meninas = Katya (K), Maria (M), Deborah (D) e Priscilla (P) = 4 Lugar 1 (extremidade): 3 possibilidades (J, V ou P => somente meninos) Lugar 2: 5 possibilidades (total menos os meninos das extremidades) Lugar 3: 4 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e a pessoa do lugar 2) Lugar 4: 3 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as pessoas dos lugares 2 e 3) Lugar 5: 2 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as pessoas dos lugares 2, 3 e 4) Lugar 6: 1 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as pessoas dos lugares 2, 3, 4 e 5) Lugar 7 (extremidade): 2 possibilidades (J, V ou P menos o menino do lugar 1) Total = 3 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 720 modos Exemplo: considere duas retas r e s, paralelas. Na reta r h 4 pontos e na reta s h 5 pontos. Quantos tringulos distintos possvel formar unindose quaisquer trs dos 9 pontos disponveis?

s1

s2

s3

s4

s5

r1

r2

r3

r4

Observe que no poderemos ter agrupamentos de trs pontos na mesma reta, pois no seria um tringulo. Portanto, para formar os tringulos, teramos: Hiptese 1: Dois pontos na reta s e um ponto na reta r Ponto 1 = 5 possibilidades (5 pontos Ponto 2 = 4 possibilidades (4 pontos Ponto 3 = 4 possibilidades (4 pontos no de possibilidades = 5 x 4 x 4 explicado no prximo pargrafo). da reta s) da reta r) restantes da reta s) = 80 (mas h redundncia, como ser

Alm disso, temos que eliminar as repeties. Por exemplo, os tringulos s1r2s2 e s2r2s1 so o mesmo tringulo. Logo, para cada tringulo formado, h um outro igual, e temos que dividir o total por 2 TOTAL 1 = 80/2 = 40 Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br 16

Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Hiptese 2: Dois pontos na reta r e um ponto na reta s Ponto 1 = 4 possibilidades (4 pontos da reta r) Ponto 2 = 5 possibilidades (5 pontos da reta s) Ponto 3 = 3 possibilidades (2 pontos restantes da reta r) no de possibilidades = 4 x 5 x 3 = 60 Tambm preciso eliminar as repeties. Por exemplo, os tringulos r1s2r2 e r2s2r1 so o mesmo tringulo. Logo, para cada tringulo formado, h um outro igual e temos que dividir o total por 2 TOTAL 2 = 60/2 = 30 Total de Tringulos Formados = TOTAL 1 + TOTAL 2 = 40 + 30 = 70 J caiu em prova! (Fiscal de Rendas do Municpio do RJ/2010/ESAF) O departamento de vendas de imveis de uma imobiliria tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher? A) 15 B) 45 C) 31 D) 18 E) 25 Resoluo As equipes podem ter 1 mulher e 1 homem (M, H) ou 2 mulheres (M, M). O nmero de equipes do tipo (M, H) dado por 3 x C5,1, em que o fator 3 representa o nmero de mulheres e C5,1 corresponde ao nmero de equipes distintas formadas por homens. O nmero de equipes do tipo (M, M) dado por C3,2, em que C3,2 denota o nmero de equipes distintas formadas por mulheres. O nmero n de equipes de vendas distintas que podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe pelo menos uma mulher ento dado por n = (3 x C5,1) + C3,2 = (3 x 5!/4!) + (3!/2!) = (3 x 5) + 3 = 18 GABARITO: D J caiu em prova! (AFRFB/2009/ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G so coplanares, ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes sete pontos, quatro so colineares, ou seja, esto numaProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima mesma reta. Assim, o nmero de retas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a: A) 16 B) 28 C) 15 D) 24 E) 32 Resoluo A,B,C, D, E, F e G so coplanares esto no mesmo plano 4 destes pontos so colineares esto numa mesma reta I Total de Retas Possveis (considerando pontos no colineares) A ordem no importa, pois a reta AB, por exemplo, seria igual a reta BA. Contudo, a natureza importa, pois a reta AB diferente da reta AC. Devemos calcular a combinao de 7 pontos, tomados 2 a 2. NI = C 7 , 2 =

7! 7! 7 6 5! 7 6 = = = = 21 2!(7 2)! 2!5! 2 1 5! 2

II Total de Retas formadas por 4 pontos no colineares NII = C4, 2 =

4! 4! 4 3 2! 4 3 = = = =6 2!(4 2)! 2!2! 2!2 1 2

III Total de Retas formadas por 4 pontos colineares Se os pontos so colineares, j esto na mesma reta NIII = 1 reta. Nmero N de Retas determinadas pelos 7 pontos: N = NI NII + NIII = C7,2 C4,2 + 1 = 21 6 + 1 N = 16 GABARITO: A J caiu em prova! (APO/2010/ESAF) Beatriz fisioterapeuta e iniciou em sua clnica um programa de reabilitao para 10 pacientes. Para obter melhores resultados neste programa, Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em trs salas diferentes, de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes, na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem, tambm, 3 pacientes. Assim, o nmero de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes, nas trs diferentes salas, igual a:Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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A) 2.440 B) 5.600 C) 4.200 D) 24.000 E) 42.000 Resoluo


Ser adotada a notao Crn = Cn ,r Sala 1: C10,4 = 10!/(4! X 6!) = 10 x 9 x 8 x 7/(4 x 3 x 2 x 1) = 210 Sala 2: C6,3 = 6!/(3! X 3!) = 6 x 5 x 4/(3 x 2 x 1) = 20 Sala 3: C3,3 = 3!/(3! X 0!) = 1 Total de Possibilidades = 210 x 20 x 1 = 4.200 GABARITO: C J caiu em prova! (APO/2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora so moradores de um bairro muito antigo que est comemorando 100 anos de existncia. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comisso que ser a responsvel pela decorao da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, trs pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora. Sabendo-se que Denlson no pertence comisso formada, ento a probabilidade de Carlo pertencer comisso , em termos percentuais, igual a: A) 30 % B) 80 % C) 62 % D) 25 % E) 75 % Resoluo A probabilidade de Carlo pertencer comisso dada pela razo (vide item 15.1 da aula passada) P = (no de resultados favorveis)/(no de resultados possveis). Sabe-se que foi formada uma comisso de 3 pessoas entre 5, com a restrio de que Denilson no pertence comisso. Ento o no de resultados possveis (= nmero de elementos do espao amostral do experimento aleatrio) igualProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima ao nmero de comisses de 3 pessoas que podem ser formadas sem o Denilson (neste caso temos uma populao de n=4 pessoas): C4,3 = 4!/(3! X 1!) = 4. O no de resultados favorveis igual ao nmero de comisses de 3 pessoas que poderiam ser formadas com a presena do Carlo: C3,2 = 3!/(2! X 1!) = 3. Logo, P = 3/4 = 75%. GABARITO: E J caiu em prova! (APO/2010/ESAF) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 15 nmeros distintos, de 1 a 60, marcados em volante prprio. No caso da escolha de 6 nmeros tem-se a aposta mnima e no caso da escolha de 15 nmeros tem-se a aposta mxima. Como ganha na Megasena quem acerta todos os seis nmeros sorteados, o valor mais prximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-sena ao fazer a aposta mxima o inverso de: A) 20.000.000. B) 3.300.000. C) 330.000. D) 100.000. E) 10.000. Resoluo A probabilidade de uma pessoa que fez a aposta mxima acertar na MegaSena dada por P = (no de resultados favorveis)/(no de resultados possveis). Como a gente determina o no de resultados possveis? Basta pensar no experimento aleatrio sorteio da Mega-Sena. Sabemos que so escolhidos, por ocasio do sorteio, 6 nmeros de forma aleatria. Assim, o no de resultados possveis (= nmero de elementos do espao amostral) dado por C60,6, que representa o nmero de enuplas (ou vetores) com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de 60 nmeros. E o no de resultados favorveis? Se voc parar para pensar um pouco a respeito, chegar a concluso que o no de resultados favorveis igual ao nmero de enuplas com 6 elementos que podem ser obtidas a partir de uma aposta com 15 nmeros, ou seja, C15,6.Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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C60,6

Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima 60! 60 59 58 57 56 55 54! = = 50.000.000 (o no exato 50.063.860) 6!54! 54!6 5 4 3 2

C15,6 = P=

15! 615 14 13 12 11 10 9! = 5.000 (o no exato 5.005) 6!9! 9!6 5 4 3 2

C15,6 5.000 5.000 1 = = = 1 / P = 10.000 C60,6 50.000.000 5.000 10.000 10.000

Nota: voc acabou de aprender como calculada a tabela abaixo, que pode ser encontrada no site da Caixa Econmica Federal:

PROBABILIDADE DE ACERTO NA MEGA-SENA Quantidade de nmeros jogados 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Valor da Aposta (R$) 2,00 14,00 56,00 168,00 420,00 924,00 1.848,00 3.432,00 6.006,00 10.010,00 Probabilidade de acerto (1 em ...) 50.063.860 7.151.980 1.787.995 595.998 238.399 108.363 54.182 29.175 16.671 10.003

Observe que uma aposta na Mega-Sena com 15 nmeros custa R$ 10.010,00. O preo justificado pela probabilidade de acerto, que de aproximadamente 1 em 10.000, como calculado nesta questo. GABARITO: E Nota: um resultado que pode ser visto como uma extenso do coeficiente binomial dado a seguir. Seja r1 , r2 ,..., rk um conjunto de inteiros no negativos tais que r1 + r2 + ... + rk = n . Ento o nmero de maneiras em que uma populao de n elementos pode ser particionada em k subpopulaes, em que a primeira subpopulao tem r1 elementos, a segunda subpopulao tem elementos, e assim r2 sucessivamente (4)

n! . r1! r2 !...rk !www.pontodosconcursos.com.br


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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima A Eq. (4) define o coeficiente multinomial. Exemplo: temos cinco bolas numeradas distintas (1, 2, 3, 4, 5) e queremos saber quantas subpopulaes podem ser formadas com trs bolas no primeiro grupo e duas no segundo grupo. Aqui n = 5, r1 = 3 e r2 = 2, e r1 + r2 = 5. A resposta 5!/(3!2!)=10 e as parties so:Grupo 1: Grupo 2: 1,2,3 4,5 2,3,4 5,1 3,4,5 1,2 4,5,1 2,3 5,1,2 3,4 2,4,5 1,3 2,3,5 1,4 1,3,5 2,4 1,3,4 2,5 1,2,4 3,5

Note que a ordem da subpopulao essencial no sentido de que (r1 = 3 e r2 = 2) e (r1 = 2 e r2 = 3) representam parties diferentes. Entretanto, a ordem dentro de cada grupo no importa. Com (r1 = 2 e r2 = 3) obtemos a partio:Grupo 1: Grupo 2: 4,5 1,2,3 5,1 2,3,4 1,2 3,4,5 2,3 4,5,1 3,4 5,1,2 1,3 2,4,5 1,4 2,3,5 2,4 1,3,5 2,5 1,3,4 3,5 1,2,4

A partio (4,5), (1,2,3) , contudo, idntica partio (5,4), (2,1,3). Os coeficientes binomial e multinomial aparecero nas leis de probabilidade binomial e multinomial que sero discutidas na prxima aula.

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Probabilidade

A Probabilidade a teoria matemtica que nos ajuda a estudar sistemas fsicos, econmicos, biolgicos, mecnicos, financeiros, etc., num sentido mdio (esta idia ser formalizada nos prximas aulas). O seu objetivo construir um modelo matemtico para uma situao fsica e, a partir deste modelo, deduzir propriedades da situao. A Inferncia Estatstica (que uma das parte da Estatstica) baseada na teoria das probabilidades. Um fenmeno aleatrio quando o seu comportamento futuro no pode ser previsto com absoluta certeza. Por exemplo, as condies climticas no dia da prova do concurso no podem ser previstas com 100% de acerto. Por outro lado, possvel que a previso do tempo seja realizada em termos probabilsticos. Se voc tiver a curiosidade de consultar o site de uma empresa de previso do tempo, constatar que a previso dada em termos de tendncias e que, inclusive, a seguinte observao poderia ser feita: esta tendncia resultado de modelos matemticos e no tem interferncia direta dos meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o outro.. Ou seja, a empresa est dizendo para os seus clientes, que so leigos em Meteorologia, que a previso do tempo possui uma margem de erro e que isto se deve utilizao de modelos matemticos probabilsticos de previso. Considere, por exemplo, variveis de natureza econmica. Elas so aleatrias por natureza. No sabemos quais sero os seus valores futuros seno depois



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima de observ-los. Por exemplo, no sabemos dizer, com 100% de preciso, qual ser a cotao do Dlar daqui a um ano. Faremos uma breve apresentao dos conceitos fundamentais da teoria da probabilidade nesta aula. 2.1 Os Diferentes Tipos de Probabilidade

A) Probabilidade como a razo entre o nmero de resultados favorveis e o nmero total de resultados possveis (teoria clssica) Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento (conceito de evento ser formalizado mais adiante) E calculada pela frmula (5)

P=

NE N

em que P a probabilidade de E, NE representa o nmero de ocorrncias de E e N o nmero de todos os resultados possveis. Uma noo importante que est subentendida em (5) que os resultados devem ser equiprovveis. Exemplo. Lance uma moeda no viciada (ou justa) duas vezes. Os resultados possveis so cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara (KC) e coroa-coroa (KK). Qual a probabilidade de se obter pelo menos uma coroa? Seja E o evento que denota a obteno de pelo menos uma coroa; ento E o conjunto dos resultados

E = {CK, KC, KK} .O nmero de elementos em E 3. Como N = 4, temos que

P[ E ] =

NE 3 = . N 4

A definio clssica de probabilidade possui alguns defeitos, como, por exemplo, a sua no capacidade de abordar situaes em que os resultados so no equiprovveis. B) Probabilidade como freqncia relativa Considere n realizaes de um experimento aleatrio (vide definio mais adiante). Ento, define-se a probabilidade de um dado evento E como (6)

P[ E ] = lim n

nE nwww.pontodosconcursos.com.br


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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima em que nE denota o nmero de ocorrncias de E. Como na prtica no podemos obter infinitas realizaes, temos que (6) estima P[E] dado um valor finito de n. Observe que 0 P[ E ] 1 , pois nE n . Um dos problemas desta abordagem justamente o fato de nunca podermos realizar o experimento por um nmero infinito de vezes. Outra dificuldade que se assume que a razo nE/n possui um limite para n tendendo a infinito. Apesar dos problemas mencionados acima, a definio de probabilidade como freqncia relativa essencial para a aplicao da teoria das probabilidades ao mundo real. C) Probabilidade baseada na teoria axiomtica Esta a abordagem moderna da probabilidade. Para desenvolv-la, preciso introduzir os conceitos de experimento aleatrio, espao amostral e evento. Um experimento aleatrio simplesmente um experimento em resultados so no determinsticos, isto , probabilsticos. O amostral o conjunto de todos os possveis resultados experimento aleatrio. Um evento um subconjunto do amostral de um experimento aleatrio. 2.2 Conjuntos e Eventos que os espao de um espao

Um conjunto uma coleo de objetos abstratos ou concretos. Um exemplo de conjunto concreto o conjunto de todos os residentes na cidade de So Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O conjunto de todos os habitantes de So Paulo com altura entre 1,60m e 1,70m um subconjunto do conjunto anterior. No estudo da probabilidade, ns estamos interessados no conjunto de todos os possveis resultados de um experimento (espao amostral) e nos subconjuntos daquele conjunto. comum representar o espao amostral de um experimento aleatrio usando a letra grega (mega). Eventos so subconjuntos de . O prprio conjunto um evento, o qual denominado evento certo. O conjunto que no envolve nenhum dos resultados possveis o evento impossvel (conjunto vazio). Este o evento que no pode acontecer e que includo na teoria por uma questo de completeza. lgebra de Conjuntos A unio (soma) de dois conjuntos E e F, denotada por EF ou E+F, o conjunto de todos os elementos que esto em pelo menos um dos conjuntos E ou F. Portanto, com E = {1, 2, 3, 4} e F = {1, 3, 4, 5, 6} E F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Se E um subconjunto de F, indicamos este fato escrevendo E F. Neste caso, segue-se que E F = F. Ns indicamos que um elemento de escrevendo . Logo, podemos escrever E F = {: E ou F ou est em ambos}. A interseo de dois conjuntos E e F, denotada por E F ou EF, o conjunto dos elementos comuns a ambos os conjuntos E e F. Portanto, com E = {1, 2, 3, 4} e F = {1, 3, 4, 5, 6} EF = {1, 3, 4}. Formalmente, tem-se que EF = {: E e F }. O complemento de um conjunto E, denotado por Ec, o conjunto de todos os elementos que no estejam em E. Deste modo, segue-se que E E c = . Nota: O complemento de E tambm costuma ser denotado por E. Observe que EEc = . A diferena de dois conjuntos ou, mais apropriadamente, a reduo de E por F, denotada por E F, o conjunto de elementos em E que no esto em F, de modo que E F = EFc. O ou exclusivo de dois conjuntos, denotado por E F, o conjunto de todos os elementos em E ou F mas no em ambos. Note que E F = (E - F) (F - E). Dois eventos E, F so mutuamente exclusivos (ou excludentes ou disjuntos) se EF = ; ou seja, E e F no tm elementos em comum. As prximas trs figuras ilustram algumas operaes com conjuntos vistas acima por meio de diagramas de Venn.



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E

F

Figura: a unio dos conjuntos E e F a parte hachurada do diagrama.

E

Ec

Figura: a parte hachurada do diagrama o complementar de E.



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E F

E-F

EF

F-E

Figura: interseo e diferenas.

Dado qualquer conjunto E, uma partio-n de E consiste em uma sequncia de conjuntos Ei, i = 1, 2, ..., n, tal que Ei E,

i j . A figura a seguir ilustra o diagrama de Venn para uma partio-4 de um espao amostral em quatro eventos E1, E2, E3 e E4 mutuamente exclusivos.

U

n

i =1

Ei = E e Ei E j = para todo

2.3

Definio Axiomtica de Probabilidade



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Seja um experimento aleatrio com espao amostral . Considere um evento qualquer E. Define-se probabilidade como a funo P[.] que atribui um nmero P[E] para o evento E do espao amostral denominado probabilidade de E tal que a) P[E] 0. b) P[] = 1. c) P[E F] = P[E] + P[F] se E F = . As expresses (a), (b) e (c) so os axiomas da probabilidade. Os axiomas acima implicam os seguintes resultados: P[] = 0 e para qualquer evento E, P[Ec] = 1 - P[E]. Por exemplo, se a probabilidade de um evento E for 0,4, ento a probabilidade de Ec = 1 - 0,4 = 0,6. J caiu em prova! (Administrador Jr Petrobrs/2010/Cesgranrio) Em um posto de combustveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vo colocar combustvel, 130 vo completar o leo lubrificante e 120 vo calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustvel e completam o leo; 80 colocam combustvel e calibram os pneus e 50 colocam combustvel, completam o leo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibrar os pneus? (A) 0,10 (B) 0,20 (C) 0,25 (D) 0,40 (E) 0,45 Resoluo Dados: - de um total de 300 clientes (= espao amostral), 210 colocam combustvel, 130 completam o leo e 120 calibram os pneus;



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima - 70 clientes colocam combustvel e completam o leo, 80 colocam combustvel e calibram os pneus e 50 colocam combustvel, completam o leo e calibram os pneus. Resolverei a questo usando a tcnica do Diagrama de Venn. Note que 50 clientes colocam combustvel, completam o leo e calibram os pneus. O diagrama abaixo mostra que a interseo entre os trs conjuntos (combustvel, leo e pneus) composta por 50 clientes.

Setenta (70) clientes colocam combustvel e completam o leo (adicionei 20 clientes interseo entre os conjuntos combustvel e leo):

Oitenta (80) clientes colocam combustvel e calibram os pneus (adicionei 30 clientes interseo entre os conjuntos combustvel e pneus):



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Duzentos e dez clientes (210) colocam combustvel. Logo, temos que adicionar 210 (30 + 50 + 20) = 110 clientes que entram no posto somente para colocar combustvel ao conjunto combustvel:

Finalmente, completarei o diagrama com as variveis X, Y e Z, que denotam, respectivamente, o nmero restante de clientes que completam o leo e calibram os pneus, que somente calibram os pneus e que somente completam o leo:



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A probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibrar os pneus dada pela frao P = (no de resultados favorveis)/(no de resultados possveis) =

50 + X 300

Beleza! Resolveremos o problema, se soubermos determinar o valor de X. Mas como faremos isso? A resposta simples: basta montar um sisteminha linear! Sei o que alguns pensaro: mas Alexandre, esqueci como se faz isso! Calma minha gente! No entrem em desespero (risos). Ensinarei como montar o sistema de equaes na sequncia. Se voc realmente quiser aprender (ou relembrar) essa matria (sistemas lineares, determinantes, matrizes etc.), recomendo que se matricule no prximo curso regular de Raciocnio LgicoQuantitativo que darei com o Moraes Jr. aqui no Ponto (um pouco de marketing no faz mal, certo?). Cento e vinte (120) clientes calibram os pneus. Portanto (veja o diagrama de Venn acima), 30 + 50 + X + Y = 120 80 + X + Y = 120 X + Y = 120 80 = 40 Cento e trinta clientes completam o leo. Ento, 50 + 20 + X + Z= 130 70 + X + Z = 130 X + Z = 130 70 = 60 O total de clientes 300: 110 + 30 + 50 + 20 + X + Y + Z= 300 210 + X + Y + Z = 300 X + Y + Z = 300 210 = 90 Chegamos deste modo ao seguinte sistema de equaes:Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima1X +1Y + 0Z = 40 1X + 0Y +1Z = 60 1X +1Y +1Z = 90

Multiplicando a segunda equao por -1, e somando o resultado obtido com a terceira tem-se que Y = 30. Substituindo-se o valor de Y na primeira equao, obtemos X + 30 = 40 X = 40 30 = 10. Assim, Probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibrar os pneus dada pela frao = (50 + X)/300 = (50 + 10)/300 = 60/300 = 0,2 = 20%. GABARITO: B 2.4 Probabilidades Conjunta e Condicional

Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos numa certa cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o tempo local. Em particular estamos interessados em trs eventos, os quais sero denominados A, B e C, onde A o evento que representa uma temperatura igual ou maior a 20o C em qualquer dia; B o evento que denota um ndice de precipitao maior ou igual a 10 mm em qualquer dia; C o evento que representa a ocorrncia simultnea de A e B, isto , C = AB (ou C = A B); Como C um evento, P[C] uma probabilidade que satisfaz os axiomas. Mas P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P[AB] a probabilidade conjunta dos eventos A e B. Em muitas situaes prticas, o fenmeno aleatrio de interesse pode ser desmembrado em duas etapas. A informao do que ocorreu numa dada etapa pode influenciar as probabilidades de ocorrncias das etapas seguintes.



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Nestes casos, diz-se que ganhamos informao e que podemos recalcular as probabilidades de interesse. Essas probabilidades recalculadas so conhecidas como probabilidades condicionais. A definio de probabilidade condicional ser motivada pelo exemplo a seguir. Exemplo. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o nmero de dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1.000 dias, foram feitas as seguintes observaes: nA = 711, nB = 406, nAB = 200. Pela interpretao da probabilidade em termos da noo de freqncia relativa, podemos estimar que: P[A] nA/n = 711/1.000 = 0,711 P[B] nB/n = 406/1.000 = 0,406 P[AB] nAB/n = 200/1.000 = 0,200 Agora considere a razo nAB/nA . Esta a freqncia relativa de ocorrncia do evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra forma, nAB/nA corresponde frao do tempo em que o ndice de precipitao maior ou igual a 10mm naqueles dias em que a temperatura igual ou maior a 20 C. Portanto, estamos lidando com a freqncia de um evento, dado que (ou condicionado ao fato de que) outro evento ocorreu. Note que

n AB n AB / n P[ AB] = nA nA / n P[ A]Este conceito emprico sugere que seja introduzido o conceito de uma medida de probabilidade condicional definida por (7)

P[ B | A] =

P[ AB] , P[ A]

P[ A] > 0

em que P[ B | A] denota a probabilidade de que B ocorra dado que A ocorreu. Similarmente, (8)

P[ A | B] =

P[ AB] , P[ B]

P[ B] > 0

caiu em prova! (Analista Judicirio/Estatstico/TRF 1 J Regio/2001/FCC). Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famlias: 160, assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 201 no assinam B e 155 assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma famlia selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A dado que assina B, so dados, respectivamente, porProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima A) 180 e 160/266 B) 250 e 35/75 C) 266 e 7/13 D) 266 e 35/76 E) 266 e 35/266 Resoluo Se 35 das 160 famlias que assinam o jornal A tambm assinam o jornal B, ento o nmero das famlias que s assinam A igual a 160 35) = 125. Se 155 famlias assinam apenas um jornal, ento (155 125 = 30 corresponde ao nmeros de famlias que somente assinam B. Se 201 famlias no assinam B, e, dado que 125 famlias assinam somente A, ento temos (201 125) = 76 famlias que no assinam nenhum dos dois jornais. O diagrama de Venn abaixo ilustra o nosso raciocnio.

A B

125

35

30

76

O nmero de famlias no espao amostral igual a 125 + 35 + 30 + 76 = 266. A questo pede que seja calculada a probabilidade condicional P(A|B) = P(AB)/P(B).

P(AB) = 35/266 P(B) = 65/266Logo, P(A|B) = 35/65 = 7/13. GABARITO: CProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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2.5

Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Independncia

Os eventos A e B, pertencentes ao espao amostral , com P[A] > 0 e P[B] > 0, so independentes se e somente se (9)

P[ AB] = P[ A]P[ B] .

Como P[ AB] = P[ B | A]P[ A] = P[ A | B]P[ B] , segue-se que (10) (11)

P[ A | B ] = P[ A]P[ B | A] = P[ B ]

so vlidas somente quando A e B so eventos independentes. A definio de independncia diz que, se A e B so independentes, ento o resultado B no ter efeito sobre a probabilidade de A e vice-versa. 2.6 Regras de Adio

Sejam os eventos A e B, pertencentes ao espao amostral . Ento vale (12)

P[ A B] = P[ A] + P[ B] P[ A B] .

Se A e B so eventos mutuamente excludentes, ento (13)

P[ A B] = P[ A] + P[ B] .

Sejam A, B e C eventos de um espao amostral . Neste caso, temos que (14) P[ A B C ] = P[ A] + P[ B ] + P[C ] P[ A B] P[ A C ] P[ B C ] + P[ A B C ] . Para uma coleo de k eventos mutuamente excludentes, (15) P[ E1 E2 ... Ek ] = P[ E1 ] + P[ E2 ] + ... + P[ Ek ] . J caiu em prova! (Analista Tcnico/SUSEP/2006/ESAF). Os eventos E1 e E2 so os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, como em ambos simultaneamente. Ento, a probabilidade de uma ocorrncia ser do evento E1 ou E2 dada por: A) P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2). B) P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2). C) P(E1 + E2) = P(E1) + (1 - P(E2)).Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima D) P(E1 + E2) = P(E2) + (1 - P(E1)). E) P(E1 + E2) = P(E1) * P(E2). Resoluo A probabilidade do evento A = E1 E2 P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2). Logo, a resposta a alternativa B. GABARITO: B J caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B so eventos independentes com probabilidades P[A]=0,4 e P[B]=0,5 ento P[AB] igual a: A) 0,2. B) 0,4. C) 0,5. D) 0,7. E) 0,9. Resoluo P[AB] = P[A] + P[B] P[AB] Mas, P[AB] = P[A].P[B] = 0,4 x 0,5 = 0,2, pois A e B so eventos independentes. Assim, P[AB] = 0,4 + 0,5 0,2 = 0,7 GABARITO: D J caiu em prova! (ICMS-RJ/2009/FGV). Os eventos A e B so tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a nica alternativa que apresenta um possvel valor para P(AB). A) 0,13 B) 0,22 C) 0,31 D) 0,49 E) 0,54 ResoluoProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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P ( A B) = P( A) + P( B) P ( A B) (Regra da Adio de Probabilidades) P( A B) = 0,4 + 0,9 P( A B) = 1,3 P( A B)Como no foi dado o valor de P( A B) , testaremos os valores de P( A B) dados em cada uma das alternativas, levando em conta a restrio {P( A), P( B)}max P( A B) 1 0,9 P ( A B) 1 , pois P( A B) deve ser, no mnimo, igual a P(B ) , caso A B . A) P(AB) = 0,13 probabilidade. B) P(AB) = 0,22 probabilidade. C) P(AB) = 0,9 P( A B) 1 . 0,31

P( A B) = 1,3 0,13 = 1,17 > 1 NO uma medida de

P( A B) = 1,3 0,22 = 1,08 > 1 NO uma medida de

P( A B) = 1,3 0,31 = 0,99 < 1

satisfaz

a

restrio

D) P(AB) = 0,49 P( A B) = 1,3 0,49 = 0,81 < 0,9 NO satisfaz a restrio 0,9 P( A B) 1 . E) P(AB) = 0,54 P( A B) = 1,3 0,54 = 0,76 < 0,9 NO satisfaz a restrio 0,9 P( A B) 1 . GABARITO: C 2.7 Regra da Multiplicao

A definio (8) de probabilidade condicional pode ser reescrita para fornecer uma expresso geral para a probabilidade conjunta de dois eventos A e B, denominada regra da multiplicao, dada por (16) 2.8

P[AB] = P[A | B]P[B] = P[B | A]P[A].Teorema da Probabilidade Total

Em muitas aplicaes, necessrio calcular a probabilidade no condicional de um evento B em termos de uma soma de probabilidades condicionais ponderadas. Sejam os eventos A e B de um espao amostral como na figura a seguir. Como A e Ac so disjuntos, segue-se que A B e Ac B sero mutuamente excludentes. Sendo assim, podemos escrever B na forma B = (A B) (Ac B).Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima A aplicao da regra da adio das probabilidades para o evento B nos d P(B) = P(A B) + P(Ac B), e a aplicao da regra do produto na expresso acima nos d (17) P(B) = P(B|A) P(A) + P(B|Ac) P(Ac),

conhecida como a regra da probabilidade total para dois eventos.

Figura: diviso exclusivos.

do

evento

B

em

dois

eventos

mutuamente

A expresso (17) pode ser generalizada para o caso de k eventos mutuamente excludentes E1, E2, ..., Ek tal que E1 E2 ... Ek = (os eventos Ei so ditos exaustivos porque cobrem todo o espao amostral): (18) P ( B) = P( B E1 ) + P( B E2 ) + ... + P( B Ek ) = = P(B | E1)P(E1) + P(B | E 2 )P(E 2 ) + ...+ P(B | E k )P(E k ). A Eq. (18) nos d a probabilidade total (no condicional) de B como uma soma das probabilidades condicionais P(B|Ei) ponderadas, respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos P(Ei), i =1, 2, ..., k. J caiu em prova! (Analista Legislativo/Contador da Cmara dos Deputados/2007/FCC). Uma rede local de computadores composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vm de Z e 70% de Y. Se o pedido no for feito de forma adequada, o processamento apresentar erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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A) 5% B) 4,1% C) 3,5% D) 3% E) 1,3% Resoluo


Trata-se de uma aplicao direta do teorema da probabilidade total. Devemos determinar a probabilidade do sistema apresentar erro, seja o pedido de processamento originado pelo cliente Z ou pelo cliente Y. Assim, P(erro) = P(erro|Z).P(Z) + P(erro|Y).P(Y), em que P(erro|Z) = 2% = 0,02, P(Z) = 30% = 0,30, P(erro|Y) =1% =0,01 e P(Y) = 70% = 0,70. Substituindo esses valores obtemos, P(erro) = (0,02 x 0,30) + (0,01 x 0,70) = 0,013 = 1,3% GABARITO: E J caiu em prova! (Analista do BACEN/rea 3/2005/FCC). Do total de ttulos em poder de um investidor, 1/8 do tipo T1, 1/4 do tipo T2, e o restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicaes so 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 com T3. Se for escolhido um ttulo aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificar-se que apresentou uma taxa real de juros no positiva, a probabilidade dele ser do tipo T3 A) 50% B) 40% C) 30% D) 20% E) 10% Resoluo Pede-se que seja calculada a probabilidade do ttulo aleatoriamente escolhido ser do tipo T3 sabendo-se que o mesmo apresentou uma taxa real de juros no positiva ( j 0 ), ou seja, trata-se do clculo da probabilidade condicional



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima P(T3 j 0) P(T3 | j 0) = , P( j 0) em que j 0 denota o evento ttulo escolhido apresenta taxa real de juros no positiva e P( j 0) a probabilidade total de se obter uma taxa real de juros no positiva. Porque P( j 0) a probabilidade total de se obter j 0 ? Observe que os eventos T1, T2 e T3 so mutuamente exclusivos e exaustivos, pois P(T1 T2 T3) = P(T1) +P(T2) + P(T3) = 1. Logo, P(j0) = P(j0

T1) + P(j0 T2) + P(j0 T3)

P(j0) = P(j0|T1).P(T1) + P(j0|T2).P(T2) + P(j0|T3).P(T3) A equao acima nos d a probabilidade total (no condicional) do evento j0 como uma soma das probabilidades condicionais P(j0|Tk), ponderadas, respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos P(Tk), k =1, 2, 3. O enunciado forneceu P(T1) = 1/8 e P(T2) = 1/4. Portanto, P(T3) = 1 - 1/8 - 1/4 = 5/8. Alm disso, P(j>0|T1) = 0,60 P(j0|T1) = 1 - P(j>0|T1) = 0,40 P(j>0|T2) = 0,70 P(j0|T2) = 1 - P(j>0|T2) = 0,30 P(j>0|T3) = 0,80 P(j0|T3) = 1 - P(j>0|T3) = 0,20 Agora, podemos construir a seguinte tabela: Ttulo T1 T2 T3 Totais P(j>0|Tk) 0,60 0,70 0,80 P(j0|Tk) 0,40 = 2/5 0,30 = 3/10 0,20 = 1/5 P(Tk) 1/8 1/4 5/8 1 P(j0|Tk).P(Tk) 2/40 3/40 5/40 P(j0) = 10/40



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima Desejamos calcular

P (T3 | j 0) =

P (T3 j 0) P( j 0)

em que o numerador a probabilidade de um ttulo ser do tipo T3 e ter taxa real no positiva, ou seja,

P (T3 j 0) = P (T3 | j 0) P ( j 0) = P ( j 0 | T3 ) P(T3 ) = P( j 0 T3 ) P (T3 j 0) = P( j 0 | T3 ) P(T3 ) = 5 / 40 .Finalmente, obtemos

P(T3 | j 0) =

5 / 40 = 5 / 10 = 0,5 = 50% 10 / 40

GABARITO: A 2.9 Teorema de Bayes

Aprendemos que

P ( A | B) =como

P ( A B) . P ( B)

P[ A B] = P ( B | A ) P ( A )temos que (19)

P ( A | B) =

P ( B | A) P ( A) P ( B)

P( B) 0.

A frmula (19) o Teorema (ou Regra) de Bayes. Em geral, se A1, A2, ..., Ak forem eventos mutuamente exclusivos e exaustivos e B for qualquer evento, ento (19) pode ser reescrita como (20)

P(Ak | B) =

P(B | Ak )P(Ak )

P(B | A )P(A )i i i=1

n

.

Observe que o denominador de (20) a probabilidade total de B ocorrer.



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima O Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vrios eventos A1 , A2 ,..., An que podem causar ou provocar a ocorrncia de B. Por este motivo, o Teorema de Bayes tambm conhecido como o teorema que nos d a probabilidade da causa (evento Ak ) dado o efeito observado (evento B). Na prtica, a probabilidade P(Ak | B) de (20) conhecida como probabilidade a posteriori de Ak dado B ; P(B | Ak ) denominada probabilidade a priori de B dado Ak e P ( Ak ) a probabilidade da causa ou a priori de Ak . Geralmente, as probabilidades a priori so estimadas a partir de medies passadas ou pressupostas pela experincia, ao passo que as probabilidades a posteriori so medidas ou calculadas a partir de observaes. Exemplo. A probabilidade de que um novo teste de baixo custo identifique corretamente algum com AIDS, dando positivo, 0,99; e a probabilidade de que o teste identifique corretamente algum sem AIDS, dando negativo, 0,95. Suponha que a incidncia de AIDS na populao seja igual a 0,0001. Uma pessoa escolhida ao acaso, faz o teste e o resultado d positivo. Qual a probabilidade de que esse indivduo tenha AIDS? Devemos calcular a probabilidade de que o indivduo tenha AIDS (= causa) dado que o resultado do teste foi positivo (= efeito observado):

P( D | + ) =

P(+ | D) P( D) P(+ | D) P( D) , = P(+) P( + | D) P( D) + P(+ | S ) P ( S )

em que S denota a parcela saudvel da populao (isto , no infectada pelo vrus), D representa a parcela da populao que tem a doena (ou seja, a parcela infectada) e + denota o evento resultado positivo. O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: - P(S) = 1 0,0001; - P(D) = 0,0001; - P(+|D) = 0,99; - P(-|S) = 0,95; Logo, P(+|S) = 1 P(-|S) = 1 0,95 = 0,05. Alm disso, temos que P(-|D) = 1 P(+|D) = 1 0,99 = 0,01. A figura a seguir ilustra a aplicao do Teorema de Bayes nesta questo:



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P( D | +) =

0,99 0,0001 P(+ | D) P( D) = 0,002 = P(+ | D) P( D) + P(+ | S ) P( S ) 0,99 0,0001 + 0,05 (1 0,0001)

Nota: podemos descrever o espao amostral do experimento aleatrio proposto pelo exemplo utilizando a notao genrica

= {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.Assim, os resultados elementares de so:

(0, 0) = (S, -) (0, 1) = (S, +) (1, 0) = (D, -) (1, 1) = (D, +)J caiu em prova! (Analista Tcnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a probabilidade de uma pessoa de um particular grupo gentico ter uma determinada doena de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnstico especfico dessa doena tem uma probabilidade de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma pessoa desse grupo gentico com suspeita da doena fez o referido exame, qual a probabilidade dela ter a doena dado que o resultado do exame foi negativo? A) 30% B) 7,5% C) 25% D) 15% E) 12,5% Resoluo Devemos calcular a probabilidade de que a pessoa tenha doena (= causa) dado que o resultado do exame foi negativo (= efeito observado):Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima P( | D)P(D) P( | D)P(D) P(D | ) = , = P() P( | D)P(D) + P( | S)P(S) em que S denota a parcela saudvel da populao (isto , que no possui a doena), D representa a parcela da populao que tem a doena, - e + denotam resultado negativo e resultado positivo, respectivamente. O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: - P(D) = 30% = 0,3 - P(S) = 1 0,3 = 0,7 - P(+|S) = 0,1 (falso positivo) - P(-|D) = 0,3 (falso negativo) Logo, P(+|D) = 1 P(-|D) = 1 0,3 = 0,7. Alm disso, temos que P(-|S) = 1 P(+|S) = 1 0,1 = 0,9.

P(D | ) =

0,3 0,3 P( | D)P(D) 0,09 = = = 12,5% P( | D)P(D) + P( | S)P(S) 0,3 0,3 + 0,9 0,7 0,09 + 0,63

GABARITO: E

3

Memorize para a prova

- Princpio Fundamental da Contagem: caso um evento qualquer ocorra em n etapas consecutivas e independentes da seguinte maneira: primeira etapa: existem k1 maneiras diferentes de ocorrer o evento segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento terceira etapa: existem k3 maneiras diferentes de ocorrer o evento (...) ensima etapa: existem kn maneiras diferentes de ocorrer o evento

ento o no total (N) de maneiras de ocorrer o evento dado por N = k1. k2. k3. k4 ... kn - Nmero de arranjos de n elementos tomados r a r: An ,r = - Permutao de n elementos: Pn = n! - Permutao circular de n elementos: Pno = (n-1)!

n! (n r )!



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima - Permutao com elementos repetidos: h um conjunto de n elementos, com q elementos repetidos do tipo 1, r elementos repetidos do tipo 2, s elementos repetidos do tipo 3, etc: Pn(q,r,s,...) = n!/(q! r! s! ...) - Nmero de combinaes de tamanho r em uma populao de tamanho n n n! (coeficiente binomial): Cn ,r = = . (n r )!r! r - Dois eventos A e B so mutuamente exclusivos (excludentes) se AB = ; ou seja, A e B no tm elementos em comum. - Probabilidade condicional: P[ A | B] = P[ AB] / P[ B] - Eventos A P[ B | A] = P[ B ] . e B independentes:

P[ AB] = P[ A]P[ B]

P[ A | B ] = P[ A]

e

- Regra da adio: P[ A B] = P[ A] + P[ B] P[ A B] . - Regra da multiplicao: P[ AB] = P[ A | B]P[ B] = P[ B | A]P[ A] . - Regra da probabilidade total:

P ( B) = P ( B | E1 ) P( E1 ) + P( B | E2 ) P( E2 ) + ... + P( B | Ek ) P( Ek ).em que E1, E2, ..., Ek denotam eventos mutuamente excludentes e exaustivos (E1 E2 ... Ek = ) e B um evento qualquer definido sobre o mesmo espao amostral . - Regra de Bayes: P ( Ak | B) =

P ( B | Ak ) P( Ak )

P( B | A ) P( A )i =1 i i

n

.

A frmula de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vrios eventos A1 , A2 ,..., An que podem causar ou provocar a ocorrncia de B (probabilidade da causa Ak dado o efeito observado B).

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Exerccios de Fixao

1. (TFC-CGU/2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de 15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes? A) 3003 B) 2980Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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C) 2800 D) 3006 E) 3005


2. (TFC-CGU/2008/ESAF) gata decoradora e precisa atender o pedido de um excntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqncia de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 cores disponveis, ento o nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a: A) 56 B) 5760 C) 6720 D) 3600 E) 4320 3. (AFTN/1998/ESAF) Uma empresa possui 20 funcionrios, dos quais 10 so homens e 10 so mulheres. Desse modo, o nmero de comisses de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres : A) 5400 B) 165 C) 1650 D) 5830 E) 5600 4. (AFT/2010/ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionrios, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opes possveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionrios, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher? A) 192. B) 36. C) 96. D) 48. E) 60. 5. (AFT/2010/ESAF/Adaptada) Em um grupo de 100 pessoas, 15 das 40 mulheres do grupo so fumantes e 15 dos 60 homens do grupo tambm so fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas do grupo, sem reposio, a probabilidade de exatamente quatro delas serem homens fumantes dada por:Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima A) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4. B) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. C) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. D) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. E) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4. 6. (AFRFB/2009/ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se trs homens e trs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? A) 72 B) 36 C) 216 D) 720 E) 360 7. (AFRFB/2009/ESAF) Considere um retngulo formado por pequenos quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?

A) 128 B) 100 C) 64 D) 32 E) 18 8. (APO-MPOG/2008/ESAF) Marcos est se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre at uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos no saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o nmero mnimo de meias que Marcos dever tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor igual a: A) 30 B) 40 C) 246 D) 124Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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E) 5


9. (Analista de Finanas e Controle-STN/2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O nmero de retiradas possveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de nmero 20 igual a: A) 681384 B) 382426 C) 43262 D) 7488 E) 2120 10. (Analista Administrativo-ANEEL/2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por trs meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a: A) 1920 B) 1152 C) 960 D) 540 E) 860 11. (Analista de Finanas e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B so ditos eventos independentes se e somente se: A) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for nula. B) a ocorrncia de B alterar a probabilidade de ocorrncia de A. C) a ocorrncia de A alterar a probabilidade de ocorrncia de B. D) a ocorrncia de B no alterar a probabilidade de ocorrncia de A. E) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for igual a 1. 12. (Analista de Finanas e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moas de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moas de cabelos pretos, 9Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moas de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moas para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moa selecionada possui olhos castanhos. Com essa informao, Marco conclui que a probabilidade de a moa possuir cabelos loiros ou ruivos igual a: A) 0 B) 10/19 C) 19/50 D) 10/50 E) 19/31 13. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio ser disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto , em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos tm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se enfrentaro em dois jogos, com adversrios definidos por sorteio. Os vencedores disputaro a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 1/8 E) 1/12 14. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuio de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Vivo). Sexo Estado Civil Solteiro Casado Vivo Total M 300 200 100 600 F 200 100 100 400 Total 500 300 200 1.000

Uma pessoa selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viva igual a: A) 0,6. B) 0,2. C) 0,5. D) 0,7.Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima E) 0,4. 15. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espao amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(AB) = 0,14. Ento, pode-se dizer que A e B so eventos: A) mutuamente exclusivos. B) complementares. C) elementares. D) condicionais. E) independentes. 16. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, trs desses profissionais para constiturem um grupo de trabalho, a probabilidade de os trs profissionais sorteados serem do mesmo sexo igual a: A) 0,10 B) 0,12 C) 0,15 D) 0,20 E) 0,24 17. (Assistente Tcnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair um nmero 6 de 20%, enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro nmero so iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de um nmero par sair duas vezes? A) 20% B) 27% C) 25% D) 23% E) 50% 18. (Adm. Pleno/Petrobrs/2005/CESGRANRIO) Joga-se um dado no tendencioso. Se o resultado no foi quatro, qual a probabilidade de que tenha sido um? A) 1/5 B) 1/6 C) 1/9Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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D) 1/12 E) 1/18


19. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de mltipla escolha, um estudante sabe uma questo ou chuta a resposta. Seja 2/3 a probabilidade de que o estudante saiba uma questo do teste. Suponha que cada questo tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no chute seja 1/5. Assinale a opo que d a probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente uma pergunta que respondeu corretamente. A) 1/5 B) 2/15 C) 10/11 D) 2/3 E) 13/15 20. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preo da farinha de trigo aumente em determinado ms estimada em 40%. Se isso ocorre, a probabilidade de que o preo do po francs tambm aumente de 50%; caso contrrio, a probabilidade de aumento do po francs ser de apenas 10%. Se o preo do po francs subiu, a probabilidade de que o preo da farinha de trigo tenha sofrido majorao igual a: A) 1/13 B) 2/10 C) 6/13 D) 6/11 E) 10/13 21. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fbricas A e B. Um motor escolhido ao acaso de um lote de produo. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observaes anteriores a empresa sabe que 2% e 3% so as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fbrica A responsvel por 40% da produo, assinale a opo que d a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. A) 0,400 B) 0,030 C) 0,012 D) 0,308 E) 0,500



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima 22. (Analista do BACEN/rea 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de um indivduo de classe A comprar um automvel 3/4. Para um indivduo de classe B, essa probabilidade 1/6, e para um indivduo de classe C, ela de 1/20. A probabilidade de um indivduo de classe A comprar um fusca 1/10, enquanto que, para um indivduo de classe B, essa probabilidade 3/5 e para um indivduo de classe C, de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer classe B A) 0,527 B) 0,502 C) 0,426 D) 0,252 E) 0,197 23. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da rea de cincias humanas e os outros 44% estudam em cursos da rea de cincias exatas, que incluem matemtica e fsica. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemtica e 6% dos alunos da universidade estudam fsica e que no possvel estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporo dos alunos que estudam matemtica ou fsica entre os alunos que estudam em cursos de cincias exatas? A) 20,00%. B) 21,67%. C) 25,00%. D) 11,00%. E) 33,33%. 24. (Analista Judicirio/Estatstico/TRF 1 regio/2001/FCC) Duas urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 1 preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposio duas de suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta A) 7/8. B) 7/16. C) 3/8. D) 7/32. E) 3/16. 25. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opo que d o valor da probabilidade de ocorrncia de D e CProf. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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A) 0,50 B) 0,08 C) 0,00 D) 1,00 E) 0,60


(Analista do INSS com formao em estatstica/2008/Cespe) Texto para os itens de 26 a 30 perfil Nmero de trabalhadores (em milhes de pessoas) A B C total

3

8

8

19

Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema previdencirio uma parcela de trabalhadores que no eram contribuintes do INSS. Na ocasio em que tal projeto havia sido proposto, pelos clculos do governo, existiam no pas 19 milhes de trabalhadores com mais de 16 anos e renda mensal de um ou mais salrios mnimos que no contribuam para a previde ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres perfis A, B e C, e a distribuico do nmero de trabalhadores em cada perfil est no quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdencirio era de 0,8; para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1.Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptaes).

Com base nas informaes apresentadas no texto acima, julgue os itens seguintes. 26. Na ocasio em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhes de trabalhadores entrar para o sistema previdencirio era superior a 0,35 e inferior a 0,40. 27. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhes de trabalhadores fossem atrados para o sistema previdencirio. 28. Um trabalhador que atende s condies do projeto do governo, decidiu entrar para o sistema de previdncia. A probabilidade de ele ser um trabalhador do perfil A superior a 0,4. Ainda com relao ao texto e considerando que a probabilidade de dois trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A entrarem para o sistema previdencirio igual a , julgue os itens subseqentes.Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br

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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima 29. Por ser uma probabilidade, pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. 30. O nmero esperado de trabalhadores do perfil A que entraro no sistema previdencirio aumenta medida que aumenta. 31. (Fiscal de Rendas do Municpio do RJ/2010/ESAF) Em um amostra de 100 empresas, 52 esto situadas no Rio de Janeiro, 38 so exportadoras e 35 so sociedades annimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 so exportadoras e 15 so sociedades annimas e das empresas exportadoras 18 so sociedades annimas. No esto situadas no Rio de Janeiro nem so sociedades annimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que esto no Rio de Janeiro so sociedades annimas e exportadoras ao mesmo tempo? A) 18 B) 15 C) 8 D) 0 E) 20 32. (Fiscal de Rendas do Municpio do RJ/2010/ESAF) Em cada um de um certo nmero par de cofres so colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual a probabilidade de ele conter trs moedas de ouro? A) 0,15 B) 0,20 C) 0,5 D) 0,25 E) 0,7 33. (APO/2010/ESAF) Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcao onde esto trs meninos e no sabe que caminho tomar. Admita que estes trs meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos trs meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois



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Curso Online Mtodos Quantitativos BNDES 2011 Profissional Bsico (Engenharia) Prof. Alexandre Lima restantes, qual a probabilidade de ele tambm responder que o caminho da direita? A) 1. B) 2/3. C) 1/2. D) 1/3. E) 1/4. 34. (APO/2010/ESAF) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo apenas na cor e na numerao. As bolas azuis esto numeradas de 1 a 50, as bolas amarelas esto numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas esto numeradas de 151 a 200. Ao se retirar da urna trs bolas escolhidas ao acaso, com reposio, qual a probabilidade de as trs bolas serem da mesma cor e com os respectivos nmeros pares? A) 10/512. B) 3/512. C) 4/128. D) 3/64. E) 1/64. 35. (Tcnico do DECEA - Cincias Econmicas/2009/CESGRANRIO) A probabilidade de que, no lanamento de trs dados comuns, honestos, a soma dos resultados seja igual a 18 A) 1/12 B) 1/36 C) 1/216 D) 3/18 E) 3/216 36. (IBGE - Estatstica/2009/CESGRANRIO) Lana-se uma moeda honesta trs vezes. Sejam os eventos: A = {sair duas caras ou trs caras} e B = {os dois primeiros resultados so iguais}. Nessas condies, tem-se que A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B no so independentes e no so mutuamente exclusivos. B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B so independentes e no so mutuamente exclusivos. C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B no so independentes e no so mutuamente exclusivos. D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B so independentes e no so mutuamente Prof. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br 55

exclusivos.

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