Mtodos numricos son tcnicas para resolver problemas matemticos utilizando operaciones aritmticas.

La solucin de problemas generalmenteenvuelve la repeticin de operacionespor lo que las computadoras son demucha utilidad en este tema.

IntroduccinAntes de las computadoras, las soluciones se encontraban de alguna de estas 3 formas:

Derivadas de mtodos analticosSoluciones grficasUsando calculadoras o reglas de clculo

FundamentosHerramienta extremadamente poderosaSoftware comercial que usa mtodos numricosPosibilidad de desarrollar sus propios programasBuena forma de aprender a usar computadoras y programarSe pueden reforzar conocimientos de matemticas

Modelos matemticosSi los mtodos numricos sirven para resolver problemas de ingeniera civil, se debe crear un modelo matemtico que represente al sistema real.Los modelos matemticos generalmente se representan con funciones donde una variable depende de parmetros y otras variables independientes.

Modelos matemticosSi el modelo matemtico es adecuado, podemos predecir el comportamiento del sistema real.Por naturaleza, los mtodos numricos producen soluciones aproximadas a los problemas matemticos pero pueden ser muy tiles para caracterizar un sistema real.

Aproximacin y erroresCifras significativas es el nmero de dgitos de una medicin que son confiables.Ejemplo. Una regla con divisiones de 1 mm. no puede ofrecer una medicin con 10 cifras significativas.

Aproximacin y erroresExactitud Se refiere a qu tan cerca est un valor medido del valor real

PrecisinSe refiere a qu tan cercanos son los valores de varias mediciones

Aproximacin y erroresErrores matemticos

Por redondeo: producidos por no utilizar el valor real de un nmero en los clculos, por ejemplo, p, e, 20.5 , etc.Por truncamiento: generados por usar una aproximacin en lugar de un procedimiento exacto

BSQUEDA DE UNA RAZ

MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (a, b) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se biseca, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.El proceso se repite n veces, hasta que el punto de biseccin xr, coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

PASO 1.abf(x)xf(a)f(b)

PASO 2. La frmula de recurrencia para el mtodo de biseccin es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:

PASO 2. (CONTINUA)abxrf(x)xf(a)f(b)f(xr)

PASO 3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raz:Si f(a)*f(xr)0 entonces la raz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto b=b; a=xr

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de biseccin xr, coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.PASO 4.

MTODO DE REGLA FALSA

Este mtodo es en esencia igual al de biseccin.

La nica diferencia que en ves de calcular el punto medio este calcula trazando una lnea desde cada punto del intervalo evaluado en la funcin hasta el otro extremo del intervalo evaluado tambin en la funcin, el punto donde corta el eje x ser entonces el punto medio.

PASO 1.xixsf(x)xf(xi)f(xs)

PASO 2. La primera aproximacin a la raz se toma igual a:

PASO 3 . LA funcin f(x) tiene que ser CONTINUA.xixsxrf(x)xf(xi)f(xs)f(xr)

PASO 4. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raiz:Si f(a)*f(r)0 entonces la raiz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto b=b; a=r.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto iterado coincida prcticamente con el valor exacto de la raz.

PASO 5.

Definicin

Posteriormente, dado un valor inicial para la raz o al asignar una estimacin inicial (x0), del punto fijo xi de g, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)].xn+1 = g(xn).Entonces la ecuacin anterior puede usarse para obtener una aproximacin, para n=1, 2, 3, hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn).A la funcin g se le conoce como funcin iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesin converge siempre y cuando |g(x)

TEOREMA DEL PUNTO FIJOg(x) es una funcin de C1`[a,b]g([a,b]) C [a,b]; iE: g(x) E [a,b]; para todo x E [a,b].Mx Ig(x)I = M

Convergencia del Teorema del punto fijo

En algunos casos el mtodo de Newton- Raphson no converge.

Puntos peridicos.El mtodo de Newton tambin tiene una tendencia a caer en un mximo o en un mnimo de una funcin y, entonces, la tangente de pendiente cero se dirige fuera de la regin de inters, ya que es paralela al eje x. El algoritmo puede tambin ocasionalmente oscilar hacia atrs o hacia delante, entre dos regiones que contienen races para un nmero bastante grande de iteraciones, encontrando despus una u otra raz

Sucesiones divergentes