Vigas

Vigas

Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas em sua extenso, este elemento recebe o nome de viga. Estas vigas so normalmente sujeitas a cargas dispostas verticalmente, o que resultar em esforos de cisalhamento e flexo. Quando cargas no verticais so aplicadas a estrutura, surgiro foras axiais, o que tornar mais complexa a anlise estrutural.

Vigas normalmente so barras retas e prismticas, o que ocasiona maior resistncia ao cisalhamento e flexo.

Quando se efetua o dimensionamento de uma viga, seja ela de qualquer material como ao, madeira, concreto, duas fases so definidas distintamente. A primeira fase o clculo dos esforos da estrutura, ou seja, o clculo de momentos fletores e foras cortantes, ao qual a viga esta submetida aos vrios tipos de carregamento. A segunda fase o dimensionamento da pea propriamente dito, onde verificada qual as dimenses necessrias da pea estrutural, que ir resistir aos esforos solicitados.

Tipos de Carregamento

Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribudas ou combinao de ambas. Quando se trabalha com cargas distruibudas, pode-se substitu-la por uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais clculos.

- Carga Concentrada

Este carregamento corresponde a aplicao de uma carga em um nico ponto sobre a estrutura, sendo geralmente representado em kilograma-fora(kgf) ou Newton(N).

- Carga Distribuda

Este carregamento corresponde a aplicao de uma carga por unidade de comprimento, geralmente representado em kilograma fora por metro (kgf/m) ou Newton por centmetro (N/cm).

Quando a carga por unidade de comprimento possue valor constante, atribudo o nome de carga uniformemente distribuda.

Exemplo de Carga Uniformemente DistruibudaTipos de Vinculaes

Um vnculo qualquer condio que restringe a possibilidade de deslocamento de um ponto do elemento ligado ao vnculo. O deslocamento de um ponto do elemento determinado atravs das componentes segundo os eixos cartesianos ortogonais. As translaes podem ser horizontais ou verticais e a rotao ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano considerado. As vinculaes podem ser internos, tambm chamados de ligaes internas, ou ento externos, tambm chamados de apoios. A seguir ser apresentado alguns tipos principais de apoios, por ser de fundamental importncia para a compreenso de esforos em vigas. As demais vinculaes sero vistas adiante.

Apoios (Vnculos Externos)

Apoio Articulado Mvel (Apoio Simples)

Este tipo de apoio restringe apenas uma translao, e a reao tem direo perpendicular ao plano de rolamento.

Apoio Articulado Fixo (Articulao)

Este tipo de apoio impede as duas translaes no plano, e a direo da reao R indeterminada, sendo comum a utilizao de duas componentes, horizontal e vertical.

Apoio Engastado(Apoio de Engastamento Perfeito)

Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo ento trs reaes de apoio: a vertical (V), a horizontal (H) e momento (M).

Tipos de Vigas

Viga Bi-apoiada

Consiste de uma viga apoiada em dois apoios articulados, sendo um fixo e o outro mvel.

Viga em balano

Consiste de uma viga que possue um apoio engastado, no sendo livre a sua rotao

Viga com extremidade em balano

Consiste de uma viga com extremidade em balano, sendo articulada em um apoio fixo e um apoio mvel.

Conveno de Sinais

Para o clculo de esforos internos a uma determinada estrutura, como ser visto adiante, necessrio estabelecer uma conveno de sinais para cada parte da viga em anlise

Positivo

Clculo de Momento Fletor e Fora Cortante em uma viga submetida a uma carga concentrada

Como exemplo, usaremos uma viga bi-apoiada de comprimento L, submetida a uma carga concentrada P, distante a e b dos apoios. Embora seja usada uma viga bi-apoiada, o entendimento pode se extendido para qualquer tipo de viga, e qualquer quantidade de foras aplicadas.

Diagrama de Corpo Livre

O primeiro passo o clculo das reaes de apoio Ra e Rb, que so obtidos atravs do somatrio dos momentos iguais a zero(corpo em equilbrio) nos pontos A e B.

Ra = P. b / L

Rb = P. a / L

Para determinarmos por exemplo as foras internas em um ponto genrico C, uma maneira simples primeiro desenharmos o diagrama de corpo livre da parte a ser estudada.

Diagrama de Corpo Livre (Esquerda do ponto C)

Diagrama de Corpo Livre (Direita do ponto C)

Clculo da fora cortante em C.

Com as reaes j calculadas e analisando a figura, podemos facilmente encontrar o valor da fora cortante no ponto C, atravs do somatrio das foras verticais. Como o ponto C, considerado para o clculo dos esforos exatamente o ponto de aplicao de uma fora concentrada, teremos dois valores diferentes de fora cortante, um a esquerda carga, ou seja, sem a plicao da carga P, e outra a direita, considerando a aplicao da carga P. Isto acontece porque o diagrama de foras cortantes ao passar no ponto onde existe uma carga concentrada, sofre uma descontinuidade, como ser visto adiante, no diagrama.

Qesq C = Ra

Qdir C = Ra - P

Para o clculo dos demais esforos cortantes ao longo da viga, procede-se com mesmo raciocnio.

Clculo do Momento Fletor em C

Para o clculo das foras cortantes em um determinado ponto, efetuou-se o somtorio das foras verticais de um corpo. Para o clculo do momento fletor, procede de maneira anlogo, porm faz-se o somatrio dos momentos no ponto considerado, neste caso, o ponto C.

MC = Ra . a

Para o clculo dos demais momentos ao longo da viga, procede-se com mesmo raciocnio.

Diagrama de Momento Fletor e Fora Cortante em uma viga submetida a uma carga concentrada

Se fosse calculados esforos de momento e fora cortante em infinitas sees da viga em anlise e aps isso fosse traado diagramas com esses valores, teramos ento representados os diagramas de momento fletor e fora cortante da viga em anlise. Na realidade no so efetuados infinitas sees, e sim algumas sees em locais apropriados, que permitam representam em sua totalidade os diagramas. Para o traado do diagrama, usual, adotar-se para o diagrama de foras cortantes, positivo para cima e negativo para baixo, e o diagrama de momentos, positivo para baixo e negativo para cima, de maneira a salientar a tendncia de flexo da viga.

Tendo como exemplo uma viga bi-apoiada de comprimento L, submetida a uma carga concentrada, distanciada de a do apoio da esquerda, temos as seguintes equaes para o traado do diagrama:

Fora Cortante

1) Para x variando entre 0 e a

Q = Ra

2) Para x variando entre a e L

Q = Ra - P = Rb

Momento Fletor

1) Para x variando entre 0 e a

M = Ra . x

2) Para x variando entre a e L

M = Ra . x - ( x - a) . P

Momento Fletor Mximo

O momento fletor mximo ocorre no ponto onde temos a carga concentrada, ento:

Mmx = Ra . a - ( a - a ) . P = Ra . a = (P . b / L) . a = P . a . b / L

Diagrama

Quando uma viga suporta muitas cargas, o mtodo de se fazer vrias sees ao longo da barra, pode se tornar muito complicado. A construo do diagrama de fora cortante e principalmente o de momento fletor pode ser bastante simplificado se determinadas relaes entre os diagramas de fora cortante e momento fletor forem considerados. Atravs de algumas dedues matemticas, podemos chegar a seguinte concluso:

A derivada do momento fletor em relao a x igual ao esforo cortante. Com isso, basta simplesmente determinar as equaes de qualquer um dos dois esforos, e atravs de simples derivao ou integrao, podemos encontrar facilmente o outro esforo.