Vibra Coes Ondas Script

.Aulas para graduacao em

Fsica II

Ph.W. CourteilleUniversidade de Sao Paulo

Instituto de Fsica de Sao Carlos15 de maio de 2015

Sumario

1 Preface 1

1.1 Organizacao do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Literatura recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Fundamentos e ferramentas matematicas 3

2.1 Equacoes diferenciais de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Tabelas de formulas da Fsica II (Gravitacao, vibracoes e ondas) . . . . . . . . . 4

3 Vibracoes 5

3.1 Movimentos periodicos livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1 Relogios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.2 Trajetorias periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.3 O movimento harmonico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.4 O sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.5 Conservacao de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.6 O sistema massa-mola com gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.7 O pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.8 O sistema mola-cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.9 Oscilacao de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Superposicoes de movimentos periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Rotacoes e notacao complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2 Figuras de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.3 Vibracoes com frequencias iguais superpostas em uma dimensao . . . . . 20

3.2.4 Batimento de frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.5 Modulacao de amplitude e de frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Vibracoes amortecidas e forcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Vibracao amortecida e friccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Vibracao forcada e ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Oscilacoes acopladas e modos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Dois osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Modos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.3 Modos normais em grandes sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.4 Dissipacao em sistemas de osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Ondas 35

4.1 Propagacao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Ondas transversais, propagacao de pulsos numa corda . . . . . . . . . . . 36

4.1.2 Ondas longitudinais, propagacao de pulsos sonares num tubo . . . . . . . 37

4.1.3 Ondas eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.4 Ondas harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.5 Pacotes de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.6 Dispersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 O efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 SUMARIO

4.2.1 Efeito Doppler sonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2 Equacao de onda sob transformacao de Galilei . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.3 Equacao de onda sob transformacao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.4 Efeito Doppler relativstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.1 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2 Interferometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.3 Difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.4 Ondas planas e esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.1 Expansao de vibracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.2 Teoria harmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.3 Expansao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.4 Modos normais em sistemas contnuos no exemplo de uma corda . . . . . 614.4.5 Ondas em redes cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Ondas de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5.1 Relacao de dispersao e equacao de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . 64

0 SUMARIO

Captulo 1

Preface

1.1 Organizacao do curso

Esta apostila foi desenvolvida para o curso Vibracoes e ondas (FFI0132) oferecido pelo Institutode Fsica de Sao Carlos (IFSC) da Universidade de Sao Paulo (USP). O curso e destinado a`estudantes em Fsica do segundo semestre de graduacao. A apostila e uma versao preliminarcontinuamente sujeita a` correcoes e modificacoes. Notificacoes de erros e sugestoes de melhora-mento sempre sao bem-vindas. A apostila incorpora exerccios as solucoes das quais podem serobtidas do autor.

Informacoes e anuncios a respeito do curso serao publicados na pagina web:http://www.ifsc.usp.br/ strontium/ > Teaching > FFI0132

1.2 Literatura recomendada

Esta apostilaH.J. Pain, The Physics of Vibrations and WavesZilio & Bagnato, Apostila do Curso de Fsica, Mecanica, calor e ondasH. Moyses Nussensveig, Curso de Fsica Basica 2, Fluidos, oscilacoes, ondas & calor

1

2 CAPITULO 1. PREFACE

Captulo 2

Fundamentos e ferramentasmatematicas

Neste curso precisaremos de equacoes diferenciais de segunda ordem.

2.1 Equacoes diferenciais de segunda ordem

Oscilacoes sao processos descritos por equacoes diferenciais de segunda ordem. Consideramosagora a equacao diferencial linear de 2. ordem com coeficientes constantes:

z(x) + z(x) + z(x) = f(x) , (2.1)

onde z, f : R C, com , C.A equacao homogenea f 0 e sempre resoluvel por uma combinacao linear de duas solucoes

da forma z1,2(x) = e1,2x ou z1(x) = e

1x, z2(x) = xe1x. Para mostrar isso, consideramos duas

solucoes z1 e z2 da equacao diferencial homogenea, isto e para f = 0, entao z1,2(x) + z

1,2(x) +

z1,2(x) = 0. Agora inserimos a combinacao linear Az1 +Bz2 na equacao diferencial:

(Az1 +Bz2) + (Az1 +Bz2) + (Az1 +Bz2) = 0 . (2.2)

Arranjando(Az1 + Az

1 + Az1) + (Bz

2 + Bz

2 + Bz2) = 0 . (2.3)

As duas parenteses devem desaparecer separadamente. Inserindo o ansatz ex na equacao dife-rencial homogenea da,

(ex) + (ex) + (ex) = 0

2ex

+ ex + ex = 0

2 + + = 0 .

O polinomio caracterstico tem duas solucoes

1,2 = 22

4 .

Dependendo do valor dos coeficientes e a raiz e real, zero ou imaginario. Para 1,2 reais assolucoes ex descrevem um aumento exponencial ou um decaimento. Para razes zero obtemoso caso limite aperiodico. Para 1,2 imaginarios obtemos uma vibracao.

A equacao inomogenea, f 6= 0, sempre pode ser resolvida pelas solucoes acima mencionadasmais uma solucao particular zf (x).

3

4 CAPITULO 2. FUNDAMENTOS E FERRAMENTAS MATEMATICAS

Exerccio 1 (Equacoes diferenciais de segunda ordem): Encontre a solucao geral z(x)das seguintes equacoes:a. 7z 2i3z 3z = 6b. z 10z + 9z = 9x .

Exerccio 2 (Equacoes diferenciais de segunda ordem): Dada seja uma equacao dife-rencial linear de 2. ordem com coeficientes constantes: z(x) + z(x) + z(x) = f(x), onde z,f : R C, , C. Mostre quea. para o caso f(x) = xn um ansatz zf (x) =

nk=0 akx

k resolve a equacao inomogenea, onde, ak C;b. para o caso, que f(x) pode ser expandida numa serie de Taylor em torno do ponto x0, o ansatzzf (x) =

k=0 ak(x x0)k, , ak C, resolve a equacao inomogenea. Utilize a linearidade e o

resultado de a.).c. para o caso f(x) = xnex um ansatz zf (x) = e

xn

k=0 akxk resolve a equacao inomogenea,

onde , , ak C.

2.2 Tabelas de formulas da Fsica II (Gravitacao, vibracoes eondas)

Leis de gravitacao:

lei de Newton ~F (~r) = GMm|~R~r|2 eRr = V (~r)potencial gravitacional V (~r) = Gm|~r~r|2 (~r)dV

Elementos de volume em:

coordenadas cartesianas dV = dxdydz

coordenadas cilndricas dV = dddz

coordenadas esfericas dV = r2 sin drdd

Oscilacoes ma+ bv + kx = F0 cost:

movimento dissipativo k = 0, F0 = 0 x(t) = Aet , = b2m

oscilacao harmonica b = 0, F0 = 0 x(t) = A cos(0t+ ), 0 =

km

oscilacao amortecida F0 = 0 x(t) = Aet cos(t+ ), =

20 2

oscilacao forcada x(t) = A cos(t+ ), A = F0m2(202)2+b22

, tan = bm(202)

Captulo 3

Vibracoes

Vibracoes sao processos periodicos, isto e, processos que se repetem depois de um dado intervalotemporal. Depois de um tempo chamado de perodo, o sistema sob consideracao retorna nomesmo estado no qual ele estava inicialmente. Os exemplos de processos periodicos sao inu-meraveis. Exemplos sao o movimento de uma balanca, as mares oceanicas, circuitos eletronicosLC, a corrente alternada ou rotacoes como aquela da Terra em torno do Sol. Assim, a vibracaoe um dos processos mais fundamentais de toda fsica.

3.1 Movimentos periodicos livres

Um movimento esta considerado livre quando, alem de uma forca restauradora, isto e uma forcatrabalhando para contrariar o movimento, nao existem outras forcas acelerando ou desacelerandoo movimento.

3.1.1 Relogios

Movimentos periodicos sao usados para medir o tempo. Basta fazer a suposicao que um dadoprocesso e verdadeiramente periodico, e podemos inversamente postular que o intervalo de tempodentro do qual este processo ocorre seja constante. Este intervalo serve para definir uma unidadede tempo. Por exemplo, o diae definido sendo o intervalo que a Terra precisa para completaruma rotacao em torno do seu eixo. O segundoe definido como a 86400-e`sima fracao desteperodo. Pegando inversamente o segundo como unidade basica, podemos definir o dia como ointervalo em que um processo demorando 1 s acontece 86400 vezes. Isto e, contamos o numerode vezes que este processo dentro de um dia e calculamos ocorre a duracao de um dia atravesde

T =1

. (3.1)

Na vida real, como todos processos, vibracoes sao sujeitos a` perturbacoes. Estes perturbacoespodem mexer com a periodicidade e falsificar a medida do tempo. Por exemplo, as mares dosoceanos, que dependem da rotacao da lua em torno da Terra, podem influenciar a rotacao propriada Terra. Um dos desafios da metrologia, que e a ciencia tratando de assuntos relacionados a`medicao do tempo, e identificar processos na natureza que sao tanto quanto possvel protegidosde perturbacoes externas. Hoje em dia, os processos periodicos conhecidos por serem os maisestaveis sao vibracoes de eletrons dentro de atomos. Assim, o tempo internacional e definidoatraves de um relogio atomico baseado em cesio: O segundo oficiale o intervalo de tempo emque o estado de um eletron oscila 9192631770 vezes quando a estrutura hiperfina de um atomode cesio e excitado por uma micro-onda.

A unidade do tempo e

unidade(T ) = s . (3.2)

5

6 CAPITULO 3. VIBRACOES

A frequencia e definida como o numero de processos que acontecem dentro de um segundo.Utilizamos a unidade

unidade() = Hz . (3.3)

Frequentemente, para simplificar formulas matematicas, usaremos a grandeza derivada frequenciaangular tambem chamada de velocidade angular,

2pi . (3.4)

Esta tem a unidade

unidade() = rad/s 6= Hz . (3.5)E importante nao usar a unidade de Hertz para frequencia angular para evitar confusoes.

3.1.2 Trajetorias periodicas

Muitos processos periodicos podem ser entendidos como trajetorias repetitivas de partculas oucorpos. Consideramos como exemplo o movimento de um corpo numa caixa ilustrado na Fig. 3.1.Quando o corpo encontra uma parede, ele e elasticamente refletido mantendo assim a velocidademas invertendo a direcao de propagacao. Claramente a velocidade e a derivada da posicao,

v(t) = x(t) . (3.6)

Figura 3.1: Trajetoria de um corpo numa caixa retangular. Traco superior: posicao instantanea.Traco inferior: velocidade instantanea.

Para descrever completamente a trajetoria de um corpo e identificar quanto a trajetoria serepete, dois parametros sao necessarios. Dando por exemplo a evolucao temporal da posicaox(t) e da velocidade v(t), podemos buscar os intervalos de tempo T em que

x(t0 + T ) = x(t0) e v(t0 + T ) = v(t0) . (3.7)

Obviamente, como visto na Fig. 3.1, nao seria suficiente so procurar o tempo quando x(t0 +T ) =x(t0).

3.1.3 O movimento harmonico simples

O movimento mais simples imaginavel e o movimento harmonico descrito por

x(t) = A cos(0t ) , (3.8)

3.1. MOVIMENTOS PERIODICOS LIVRES 7

e ilustrado na Fig. 3.2. A e a amplitude do movimento, tal que 2A e a distancia entre os doispontos de retorno. T = 2pi/0 e o perodo da oscilacao, pois

cos[0(t+ T ) ] = cos[0t+ 2pi ] = cos[0t ] . (3.9)

e o deslocamento de fase descrevendo a oscilacao alcance o ponto de retorno com um atrasode t = /0.

Figura 3.2: Ilustracao da funcao cosenus com a amplitude A, o perodo T e a fase sendo negativopara este grafico < 0.

A velocidade e a aceleracao seguem de,

v(t) = x(t) = 0A sin(0t ) e a(t) = v(t) = 20A cos(0t ) . (3.10)

Com isso podemos, usando a lei de Newton, calcular a forca necessaria para sustentar a oscilacaodo corpo,

F (t) = ma(t) = m20A cos(0t ) = m20x(t) kx(t) . (3.11)Isto e, cada vez que temos uma forca proporcional ao deslocamento e com direcao oposta,F x, podemos esperar uma solucao senoidal. A constante de proporcionalidade k se chamaconstante da mola. Obviamente a frequencia de oscilacao e independente da amplitude e fase,

0 =k/m . (3.12)

Exerccio 3 (Zenite em Sao Carlos): Sabendo que a latitude do sol no tropico do ca-pricornio e trop = 23

calcule em qual perodo do ano o sol fica vertical no meio dia em SaoCarlos.

3.1.4 O sistema massa-mola

Vamos agora discutir uma realizacao experimental possvel de uma vibracao senoidal. A Fig. 3.3ilustra o sistema massa-mola que consiste numa massa horizontalmente fixada numa mola. Estesistema conhece uma posicao de repouso, que podemos colocar no ponto x = 0, em que naoagem forcas sobre a massa. Mas quando elongada ou comprimida, a mola exerce uma forcarestauradora sobre a massa trabalhando para colocar a massa de volta na posicao de repouso,

Frestauradora = kx . (3.13)

Essa chamada lei de Hooke vale para elongacoes razoavelmente pequenas. O coeficiente de molak e uma caraterstica da mola.


Figura 3.3: Ilustracao do sistema massa-mola.

A frequencia de oscilacao do sistema massa-mola e determinado pelo coeficiente de molae a massa, mas os parametros fase e amplitude da oscilacao dependem da maneira como amassa-mola e excitada. Sabendo a posicao e a velocidade da oscilacao num dado tempo, istoe, as condicoes iniciais do movimento, podemos determinar a amplitude e fase. Para ver isto,expandimos a formula geral de uma oscilacao senoidal,

x(t) = A cos(0t ) = A cos(0t) cos+A sin(0t) sin (3.14)e calculamos a derivada

v(t) = A0 cos sin(0t) +A0 sin cos(0t) . (3.15)Com as condicoes iniciais x(0) = x0 e v(0) = v0 temos,

A cos = x0 e A0 sin = v0 . (3.16)

Portanto,

x(t) = x0 cos(0t) +v00

sin(0t) . (3.17)

Exerccio 4 (Modos de oscilacao): Nos sistemas mostrados na figura nao ha atrito entreas superfcies do corpo e do chao e as molas tem massa desprezveis. Encontre as frequenciasnaturais de oscilacao.

Oscilaes

S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

192

Exerccios

1 - Nos sistemas mostrados na Fig. 9.14 no h atrito entre as superfcies do

corpo e do cho e as molas tm massa desprezveis. Encontre as

freqncias naturais de oscilao.

(a) (b) (c)

Fig. 9.14

2 - Composio de movimentos (Figuras de Lissajous) - Consideremos um

corpo sujeito a dois movimentos harmnicos em direes ortogonais:

( ) ( )xxx tcosAtx +=

( ) ( )yyy tcosAty += a) Quando yx / um nmero racional, a curva fechada e o

movimento repete-se em tempos iguais. Determine a curva traada pelo

corpo para x/y = 1/2, 1/3 e 2/3, tomando yxyx e AA == .

b) Para x/y = 1/2, 1/3 e ,AA yx = desenhe as figuras para yx =

0, pi/4 e pi/2.

3 - Considere um cilindro preso por duas molas que roda sem deslizar como

mostra a Fig. 9.15. Calcule a freqncia para pequenas oscilaes do

sistema.

4 - Considere um pndulo simples de massa m e comprimento L, conectado a

uma mola de contraste k, conforme mostra a Fig. 9.16. Calcule a

freqncia do sistema para pequenas oscilaes.

M k1 k2

M

k1

k2

M k1 k2

Exerccio 5 (Molas acopladas): Uma massa m seja suspensa dentro de um anel horizon-tal do raio R = 1 m por tres molas com as constantes D1 = 0.1 kg/m, D2 = 0.2 N/m eD3 = 0.3 N/m. Os pontos de suspensao das molas no anel tem as mesmas distancias relativas.Determine a posicao de equilbrio da massa supondo que a extensao de repouso das molas seja0.

Exerccio 6 (Molas acopladas): Uma massa m seja suspensa por quatro molas com as cons-tantes kn como mostrado na figura. Determine a posicao de equilbrio da massa. Supoe o casoideal de molas idealmente compressveis.

Exerccio 7 (Molas acopladas): Calcule as constantes de mola resultantes para as cons-trucoes esquematizadas. As molas individuais sejam arbitrariamente compressveis com cons-tantes de mola Dk.


3.1.5 Conservacao de energia

Consideracoes de conservacao de energia podem, frequentemente, ajudar a resolucao de proble-mas mecanicos. A energia cinetica devido ao movimento da massa m e,

Ekin =m2 v

2 , (3.18)

e a energia potencial devido a` forca restauradora e,

Epot = x

0Fdx =

x0kxdx = k2x2 . (3.19)

A energia total deve ser conservada:

E = Ekin + Epot =m2 v

2 + k2x2 = const , (3.20)

mas e continuamente transformada entre energia cinetica e energia potencial. Isso e ilustradono lado esquerda da Fig. 3.4.

Vamos agora utilizar o principio da conservacao de energia para calcular a probabilidadede encontrar a massa oscilante em torno de um dado deslocamento x. Para isso, resolvemos aultima equacao pela velocidade,

v =dx

dt=

2

mE kmx2 = 0

2E

m20 x2 , (3.21)

oudx

2Em20 x2

= 0dt . (3.22)

A probabilidade de encontrar o corpo num dado intervalo de tempo dt e,

p(t)dt =dt

T=02pidt =

dx

2pi

2Em20 x2

= p(x)dx . (3.23)

Portanto,

p(x) =1

2pi

2Em20 x2

(3.24)


Figura 3.4: Esquerda: Conservacao de energia no sistema massa-mola mostrando a energiacinetica K, potencial V e total E. Direita: Densidade de probabilidade de encontrar o osciladorna posicao x.

e a densidade de probabilidade de encontrar no corpo no lugar x(t). Usando

dxa2x2 = arcsin

xa

com x0 =

2Em20

verificamos,

2

x0x0

p(x)dx =1

pi

arcsin x2Em20

x0x0

=2

piarcsin

x02Em20

=2

piarcsin 1 = 1 . (3.25)

A densidade de probabilidade e ilustrada no lado direito da Fig. 3.4 1.

3.1.6 O sistema massa-mola com gravidade

Quando uma massa e suspensa verticalmente a` uma mola, como mostra o lado esquerda daFig. 3.5, age sobre a massa alem da forca restauradora a forca gravitacional. Isso pode serexprimido pelo seguinte equilbrio das forcas,

ma = ky mg , (3.26)1Para entender a diferencia entre as densidades de probabilidade p(t) e p(x) imaginamos os seguintes experi-

mentos: Dividimos o perodo T em intervalos dt iguais e tiramos uma serie de fotos, todos com o mesmo tempode exposicao dt. Para achar o significativo de p(t), lancamos um numero aleatorio para escolher uma das fotos.

Cada foto tem a mesma probabilidade dt/T de ser escolhida e, obviamente, T

0p(t)dt = 1. Para achar o signifi-

cativo de p(x), identificamos a posicao do oscilador em cada foto e plotamos num histograma. Este histograma ereproduzido por p(x).


deixando o eixo y ser positivo na direcao oposta a` gravitacao. Fazendo a substituicao, y yy0com y0 mgk , obtemos

ma = ky . (3.27)Portanto, o movimento e o mesmo como na ausencia de gravitacao, mas em torno de um pontode equilbrio deslocado para baixo por y0.

Figura 3.5: Esquerda: Massa-mola vertical. Direita: Conservacao de energia no sistema massa-mola com gravidade.

A conservacao de energia agora e generalizada para,

E = Ekin + Emol + Egrv =m2 v

2 + k2y2 +mgy = const , (3.28)

A energia potencial sendo,

Epot = Emol + Egrv =k2y

2 +mgy = k2 (y y0)2 + k2 2y0y k2y20 +mgy = k2 (y y0)2 m2g2

2k.

(3.29)O lado direita da Fig. 3.5 ilustra a conservacao de energia no sistema massa-mola com gravidade.

Exerccio 8 (Massa mola): Um corpo de massa desconhecida esta pendurado na ponta deuma mola, que nao esta esticada nem comprimida, e e solto em repouso num certo instante. Ocorpo cai um distancia y1 ate ficar em repouso pela primeira vez depois da queda. Calcular operodo do movimento oscilatorio.

Exerccio 9 (Massa mola): Um corpo de m = 1.5 kg que estica certa mola de y0 = 2.8 cmem relacao ao seu comprimento natural quando esta pendurado em repouso, oscila nesta molacom amplitude de ym = 2.2 cm.a. Calcule a energia total do sistema.b. Calcule a energia potencial gravitacional no ponto do deslocamento maximo do corpo parabaixo.c. Calcule a energia potencial da mola no deslocamento maximo para baixo.d. Qual a energia cinetica maxima do corpo (Sendo U = 0 no ponto em que a mola esta naposicao de equilbrio).

Exerccio 10 (Agua em tubo em forma de U): Considere um tubo em forma de U cheiode agua. O comprimento total da coluna de agua seja L. Exercendo pressao em uma sada dotubo a coluna esta excitada para fazer oscilacoes. Calcule o perodo da oscilacao.


Exerccio 11 (Boia no mar): Uma boia oca de forma cilndrica com area da seccao trans-versal A e massa M flutua no mar de maneira que o eixo de simetria fica alinhado a` gravitacao.Um albatroz de massa m sentado na boia espera ate o tempo t = 0 e decola. Com qual frequenciae amplitude a boia oscila se a friccao pode ser negligenciada? Derive a equacao de movimentoe a solucao completa.

3.1.7 O pendulo

O pendulo e outro sistema oscilando no campo gravitacional. No seguinte, distinguiremos trestipos diferentes de pendulos. No pendulo ideal a massa do corpo oscilando e toda concentradanum ponto e as oscilacoes tem amplitudes pequenas. No pendulo fsico a massa do corpo edistribuda numa regiao espacial. E o pendulo matematico e um ponto de massa oscilando comamplitude larga e portanto sujeito a uma forca restauradora nao-linear.

Figura 3.6: Pendulo fsico.

O pendulo ideal

O pendulo ideal e esquematizado no lado esquerda da Fig. 3.6. Como a forca centrfuga ecompensada pela tracao do fio sustentando a massa, a forca de aceleracao ma e unicamentedevido a projecao perpendicular mg sin ao fio do peso da massa. Para amplitudes pequenas,sin ' , tal que2,

ma ' mg . (3.30)2A equacao de movimento pode ser derivada do Hamiltoniano H =

L22ml2

+ mgl cos usando = H/ L e

L = H/, onde L e o momento angular.


A aceleracao tangencial agora e

a = v = s =d

dtL = L . (3.31)

Assim,

+g

L ' 0 . (3.32)

Essa equacao tem a mesma estrutura como aquela ja estudada do sistema massa-mola x+ kmx =0. Portanto, podemos deduzir que o pendulo ideal oscila com a frequencia

0 =

g

L, (3.33)

so que o grau de liberdade oscilante e um angulo em vez de um deslocamento espacial. Einteressante anotar que a frequencia de oscilacao independe da massa.

Exerccio 12 (Oscilacao de pendulo com complicacoes): Numa distancia d = 30 cmabaixo do ponto de suspensao de um pendulo de fio com o comprimento de l1 = 50 cm tem umpino fixo S, no qual o fio se encosta temporariamente durante a vibracao. Quantas vibracoes opendulo executa por minuto?

S

O pendulo fsico

Consideramos um corpo irregular suspenso num ponto P como esquematizado no lado direitoda Fig. 3.6. O centro de massa seja afastado numa distancia D do ponto de suspensao. Estesistema representa o pendulo fsico. A gravitacao exerce um torque ~ sobre o centro de massa,

~ = Dmg com = I , (3.34)onde I e o momento de inercio do corpo para rotacoes em torno do eixo de suspensao. Assim,

I = Dmg sin . (3.35)Considerando mais uma vez pequenos angulos, sin ' , obtemos,

+ 20 ' 0 com 0 Dmg

I. (3.36)

Vale ressaltar que o momento inercial de um corpo cuja massa e concentrada num ponto afastadade uma distancia D do ponto de de suspensao e seguinte o teorema de Steiner,

I = mD2 . (3.37)

Com isso recuperamos a expressao do pendulo ideal,

0 =

Dmg

mD2=

g

D. (3.38)


Exerccio 13 (Pendulo fsico): Calcule a frequencia de oscilacao de uma barra delgada demassa m e comprimento L suspensa numa das suas extremidades.

Exerccio 14 (Pendulo fsico): Um corpo plano de forma irregular tem a massa de m =3.2 kg e esta pendurado numa haste sem massa de comprimento regulavel, que pode oscilar noplano do proprio corpo. Quando o comprimento da haste e de L1 = 1.0 m, o perodo de penduloe de t1 = 2.6 s. Quando a haste e encurtada para L2 = 0.8 m, o perodo diminui para t2 = 2.5 s.Qual o perodo do pendulo quando o comprimento for de L3 = 0.5 m?

Exerccio 15 (Pendulo fsico): Um pendulo fsico de massa M consiste em um cubo ho-mogeneo com o comprimento da aresta d. Como mostrado na figura, o pendulo seja penduradosem friccao num eixo de rotacao horizontal.a. Determine o momento inercial a respeito do eixo de rotacao usando o teorema de Steiner.b. O pendulo agora executa pequenas oscilacoes em torno da sua posicao de repouso. Determineo momento angular.c. Da a equacao de movimento para pequenos deslocamentos do pendulo em torno do suaposicao de repouso e o perodo da oscilacao.

Figura 3.7

Exerccio 16 (Pendulo fsico de mola espiral): Considere uma viga de m = 1 kg com asdimensoes (a, b, c) = (3 cm, 3 cm, 8 cm). A viga e rodavel em torno de um eixo atravessando oponto A. No ponto B, numa distancia r do ponto A, a viga e fixada a` uma mola espiral exercendoa forca retroativa ~FR = D~ com D = 100 N/m. Determine a equacao diferencial do movimentoe resolve ela. Determine o perodo da oscilacao.

AB

r

Figura 3.8


O pendulo matematico

A equacao descrevendo o pendulo matematico (vide Fig. 3.6) ja foi derivada, mas ao inves doque fizemos antes, aqui nao aplicaremos a aproximacao de angulos pequenos,

= gL

sin = 20 sin . (3.39)A conservacao de energia pode ser formulada da seguinte maneira:

0 =dE

dt=

d

dt(Erot + Epot) =

d

dt

I

22 +

d

dtmgL(1 cos ) (3.40)

=I

22 +mgL sin ' (I +mgL) .

Assim, obtemos a mesma equacao diferencial,

+mgL

I = 0 . (3.41)

Quando a anharmonicidade nao e negligenciavel, e impossvel resolver a equacao diferencialanaliticamente. Devemos recorrer a` simulacoes numericas. O procedimento mais simples e umiteracao do tipo,

(t+ dt) = (t) + dt = (t) + dt (3.42)

(t+ dt) = (t) + dt = (t) dt0 sin .A Fig. 3.9(a) mostre a defasagem temporal da oscilacao causada pela anharmonicidade com-

parando com a oscilacao harmonica. A Fig. 3.9(b) mostre as orbitas (t) 7 (t) no espaco defase.

0 51

0

1

0t/2

x/A

1 0 11

0

1

x/A

v/ 0

A

Figura 3.9: Defasagem por anharmonicidades (a) no espaco temporal e (b) no espaco de fase.As curvas vermelhas mostram a aproximacao harmonica.

Exerccio 17 (Pendulo acelerado): Um pendulo simples de comprimento L e preso a umcarrinho que escorrega sem atrito para baixo, em um plano inclinado de um angulo com ahorizontal. Determine o perodo de oscilacao do pendulo sobre o carrinho.

Exerccio 18 (Pendulo acelerado): a. Um pendulo de comprimento L e massa M esta sus-penso no teto de um vagao horizontalmente acelerado com a aceleracao aext. Encontre a posicaode equilbrio do pendulo. Determine a frequencia da oscilacao para pequenas oscilacoes e derivea equacao diferencial do movimento para um observador sentado no vagao. (Note que nao podeassumir deslocamentos pequeno, se a aceleracao aext e grande.)b. No mesmo vagao tem uma massa m conectada a` parede dianteira por uma mola k. Encontrea posicao de equilbrio da massa. Determine a frequencia da oscilacao e derive a equacao domovimento diferencial para um observador sentado no vagao.


3.1.8 O sistema mola-cilindro

Mais um exemplo de um sistema oscilante e mostrado na Fig. 3.10. O momento inercial docilindro e I = M2 R

2. A mola exerce a fora,

Fmol = kx . (3.43)

Portanto, temos as equacoes do movimento,

Mx = Fmol Fat (3.44)I = RFat .

Se a roda nao desliza, podemos eliminar o atrito usando x = R e obtemos,

I = Ix

R=M

2R2

x

R= RFat = R(kxMx) . (3.45)

Resolvendo por x,

x+2k

3Mx = 0 . (3.46)

A frequencia e

0 =

2k

3M. (3.47)

Figura 3.10: O sistema mola-cilindro.

Exerccio 19 (Oscilacao de um cilindro rolando): Considere um cilindro preso por duasmolas que roda sem deslizar como mostra a figura. Calcule a frequencia para pequenas oscilacoesdo sistema.

Oscilaes


193

Fig. 9.15 Fig. 9.16

5 - Dois movimentos harmnicos de mesma amplitude mas freqncias

ligeiramente diferentes so impostos a um mesmo corpo tal que

( )[ ]tcosA)t(x e tcosA)t(x 21 +== . Calcule o movimento vibracional resultante.

6 - Considere um pndulo simples num meio viscoso com constante de fora

viscosa b. Calcule o novo perodo de oscilao de pndulo.

7 - Considere uma barra delgada de massa M e comprimento 2L apoiada no

centro de massa como mostra a Fig. 9.17. Ela presa nas duas

extremidades por molas de constante k. Calcule a freqncia angular para

pequenas oscilaes do sistema.

8 - Considere 2 pndulos (comprimento L e massa M) acoplados por uma

mola de constante k, conforme mostra a Fig. 9.18.

a) Encontre as equaes diferenciais para os ngulos 1 e 2.

b) Defina as coordenadas normais de vibrao = 1 - 2 e = 1 + 2.

Encontre as equaes diferenciais para e . Dica: some ou subtraia

as equaes de a)

c) Quais so as freqncias angulares dos modos normais de vibrao?

M

k k

R a

a

L

M


Oscilaes


194

Fig. 9.17 Fig. 9.18

9 - Considere um disco de massa M e raio R ( )221 MRI = que pode rodar em

torno do eixo polar. Um corpo de massa m est pendurado em uma corda

ideal, que passa pelo disco (sem deslizar) e presa a uma parede atravs

de uma mola de constante k, como mostra a Fig. 9.19. Calcule a

freqncia natural do sistema.

Fig. 9.19

k k

2L L

M

1 L

M

2

k

R

M

m

k

Exerccio 20 (Cadeira de balanco): Considere uma barra delgada de massa M e compri-mento 2L apoiada no centro de massa como mostra a figura. Ela e presa nas duas extremidadespor molas de constante k. Calcule a frequencia angular para pequenas oscilacoes do sistema.

Exerccio 21 (Oscilacao rotacional de um disco): Considere um disco de massa M e raioR (I = 12MR

2) que pode rodar em torno do eixo polar. Um corpo de massa m esta penduradoem uma corda ideal, que passa pelo disco (sem deslizar) e e presa a uma parede atraves de umamola de constante k, como mostra a figura. Calcule a frequencia natural do sistema.

Oscilaes


194

Fig. 9.17 Fig. 9.18

9 - Considere um disco de massa M e raio R ( )221 MRI = que pode rodar em

torno do eixo polar. Um corpo de massa m est pendurado em uma corda

ideal, que passa pelo disco (sem deslizar) e presa a uma parede atravs

de uma mola de constante k, como mostra a Fig. 9.19. Calcule a

freqncia natural do sistema.

Fig. 9.19

k k

2L L

M

1 L

M

2

k

R

M

m

k

Exerccio 22 (Pendulo acoplado a mola): Considere um pendulo simples de massa m ecomprimento L, conectado a uma mola de contraste k, conforme mostra a figura. Calcule afrequencia do sistema para pequenas oscilacoes.

Oscilaes


193

Fig. 9.15 Fig. 9.16

5 - Dois movimentos harmnicos de mesma amplitude mas freqncias

ligeiramente diferentes so impostos a um mesmo corpo tal que

( )[ ]tcosA)t(x e tcosA)t(x 21 +== . Calcule o movimento vibracional resultante.

6 - Considere um pndulo simples num meio viscoso com constante de fora

viscosa b. Calcule o novo perodo de oscilao de pndulo.

7 - Considere uma barra delgada de massa M e comprimento 2L apoiada no

centro de massa como mostra a Fig. 9.17. Ela presa nas duas

extremidades por molas de constante k. Calcule a freqncia angular para

pequenas oscilaes do sistema.

8 - Considere 2 pndulos (comprimento L e massa M) acoplados por uma

mola de constante k, conforme mostra a Fig. 9.18.

a) Encontre as equaes diferenciais para os ngulos 1 e 2.

b) Defina as coordenadas normais de vibrao = 1 - 2 e = 1 + 2.

Encontre as equaes diferenciais para e . Dica: some ou subtraia

as equaes de a)

c) Quais so as freqncias angulares dos modos normais de vibrao?

M

k k

R a

a

L

M

Exerccio 23 (Carrossel de pendulo): Uma massa m e pendurada por um fio de compri-mento l num carrossel com o raio R. O pendulo executa oscilacoes de pequena amplitude nadirecao do eixo de rotacao do carrossel. Como o perodo de oscilacao depende da velocidade derotacao do carrossel?


3.1.9 Oscilacao de dois corpos

Consideramos agora a oscilacoes de dois corpos m1 e m2 localizados nas posicoes x1 e x2 einterconectados por uma mola k como ilustrado na Fig. 3.11. O comprimento livre, isto e, adistancia em que a mola nao exerce forcas sobre as massas, seja `. As forcas crescem com oesticamento x x2 x1 ` da mola, tal que x > 0 quando a mola estiver distendida e x < 0quando se estiver comprimida. Com isso,

m1x1 = kx e m2x2 = kx . (3.48)

Somando estas equacoes,

m1x1 +m2x2 (m1 +m2)xcm = 0 . (3.49)

Figura 3.11: Dois corpos em vibracao relativa.

Dividindo as equacoes pelas massas e subtraindo elas,

x1 x2 = k(

1

m1+

1

m2

)x = xrel = k

x = 0x , (3.50)

onde 20 = k/ e 1 m11 + m12 e chamada de massa reduzida. A introducao da massa

reduzida faz com que o oscilador constitudo de dois corpos seja equivalente ao sistema deapenas uma massa e uma mola, mas com uma frequencia de vibracao aumentada,

=

k

=

2k

m. (3.51)

Este sistema representa um modelo importante para descricao da vibracoes moleculares. Note,que para m1 restauramos a situacao ja conhecida de uma massa-mola fixada numaparede.

3.2 Superposicoes de movimentos periodicos

Varios movimentos que ja conhecemos podem ser entendidos como superposicoes de movimentosperiodicos em direcoes diferentes e, possivelmente, com fases diferentes. Exemplos sao o movi-mento circular ou elptico de uma planeta em torno de sol ou as figuras de Lissajous. Nestescasos, o movimento deve ser descrito por vetores, ~r(t) (x(t), y(t)). Tambem e possvel, ima-ginar superposicoes de movimentos periodicos no mesmo grau de liberdade. O movimento damembrana de um alto-falante ou instrumentos de musica geralmente vibram harmonicamente,mas seguinte uma superposicao de oscilacoes harmonicas. De acordo com o princpio de su-perposicao, tomaremos a resultante de varias vibracoes harmonicas como a soma das vibracoesindividuais. Superposicao de vibracoes em graus de liberdade diferentes (esquerda) e iguais(direita.

3.2. SUPERPOSICOES DE MOVIMENTOS PERIODICOS 19

Figura 3.12: (

3.2.1 Rotacoes e notacao complexa

Consideramos agora um movimento circular uniforme. O raio do crculo sendo R, o movimentoe completamente descrito pelo angulo (t) que cresce uniformemente,

= t+ . (3.52)

As projecoes do movimento em x e y sao,

x(t) = A cos e y(t) = A sin . (3.53)

Assim, podemos afirmar x(t) = y(t+ pi/2), isto e, as projecoes tem um deslocamento de fase depi/2.

O movimento circular pode ser representado no plano complexo usando a unidade imaginariai 1 e a relacao de Euler ei = cos + i sin como ilustrado na Fig. 3.13.3,4 Com r = Aeiobtemos x = A Re ei e iy = A Im ei e r = x+ iy.

Figura 3.13: Movimento circular no plano complexo.

Utilizaremos a notacao complexa extensivamente, pois facilita extremamente o calculo.

3.2.2 Figuras de Lissajous

Outros movimentos periodicos no plano dois-dimensional sao possveis, quando os movimentosem x e y tem fases ou frequencias diferentes. Estes sao chamados de figura de Lissajous.

Consideramos um corpo sujeito a dois movimentos harmonicos em direcoes ortogonais:

x(t) = Ax cos(xt+ x) e y(t) = Ay cos(yt+ y) . (3.54)

Quando x/y e um numero racional, a curva e fechada e o movimento repete-se em temposiguais. Os graficos superiores na Fig. 3.14 mostram as figuras tracadas pelo corpo para x/y =1/2, 1/3 e 2/3, tomando Ax = Ay e x = y. Os graficos inferiores na Fig. 3.14 mostram asfiguras tracadas pelo corpo para para x e y com x y = 0, pi/4 e pi/2.

3A relacao de Euler pode facilmente ser derivada por expansao de Taylor.4Para verificar as suas nocoes em numeros complexos faz os exerccios do Cap. 1 do Livro de A.P. French.


1 0 11

0.5

0

0.5

1

x

y

1 0 11

0.5

0

0.5

1

x

y

1 0 11

0.5

0

0.5

1

x

y

1 0 11

0.5

0

0.5

1

x

y

1 0 11

0.5

0

0.5

1

x

y

Figura 3.14: Figuras desenhadas pelo corpo oscilante.

3.2.3 Vibracoes com frequencias iguais superpostas em uma dimensao

Movimentos vibratorios podem se superpor. O resultado pode ser descrito como uma soma,

x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos(t+ 1) +A2 cos(t+ 2) (3.55)

= Re[A1ei(t+1) +A2e

i(t+2)] = Reeit[A1ei1 +A2e

i2 ] .

Isto e, o novo movimento e uma vibracao cosenoidal, x(t) = A cost com a fase

tan =Im x(0)

Re x(0)=

Im(A1ei1 +A2e

i2)

Re(A1ei1 +A2ei2)=A1 sin1 +A2 sin2A1 cos1 +A2 cos2

, (3.56)

e a amplitude,

A = |A1ei1 +A2ei2 | =A21 +A

22 + 2A1A2 cos(1 2) . (3.57)

Consideramos o caso A1 = A2,

tan =sin1 + sin2cos1 + cos2

, A = 2A cos1 2

2. (3.58)

Os casos 1 = 2 ou 2 = 0 simplificam ainda mais o resultado.

3.2.4 Batimento de frequencias

Movimentos vibratorios com frequencias diferentes podem se superpor. O resultado pode serdescrito como uma soma,

x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 cos1t+A2 cos2t = Re[A1ei1t +A2e

i2t] . (3.59)

Considerando o caso A1 = A2 obtemos,

x(t) = A Re[ei1t + ei2t] (3.60)

= A Re[ei(1+2)t/2ei(12)t/2 + ei(1+2)t/2ei(12)t/2]

= A Re ei(1+2)t/22 cos(1 2)t

2

= 2A cos(1 + 2)t

2cos

(1 2)t2

.

Um exemplo importante e a modulacao de amplitude de sinais de radiofrequencia.

3.2. SUPERPOSICOES DE MOVIMENTOS PERIODICOS 21

0 1 2 3 4 52

1

0

1

2

t

x

Figura 3.15: Ilustracao do batimento de duas frequencias 1 = 5.5 Hz e 2 = 5 Hz mostrando avibracao percebida (vermelho), a vibracao com a frequencia (1 + 2)/2 (azul) e a vibracao coma frequencia (1 2)/2 (amarelo).

3.2.5 Modulacao de amplitude e de frequencia

Radiofrequencias acima de 300 kHz podem facilmente ser emitidas e recepcionadas por ante-nas, enquanto frequencias auditivas ficam abaixo de 20 kHz. No entanto, e possvel utilizar asradiofrequencias como portadoras de sinais auditivos. Para isso, o sinal auditivo e moduladosobre a amplitude da portadora () antes de ser emitida. O receptor recupera o sinal por demo-dulacao. Sinais auditivos podem ser transmitidos por de ondas eletromagneticas. Outra maneiraconsiste em modular a frequencia desta ondas (). Calcularemos agora o espectro destas duasmodulacoes usando a notacao complexa e mostraremos como demodular os sinais codificadospor multiplicacao com a onda portadora.

AM

Sejam e as frequencias da onda portadora e da modulacao, respectivamente. Podemosdescrever a modulacao de amplitude por,

U(t) = (1 + S(t)) cost . (3.61)

Depois do receptor registrar este sinal, demodulamos-o por multiplicacao com cost:

U(t) cost = (1 + S(t)) cos2 t = (1 + S(t))(

12 +

12 cos 2t

). (3.62)

Filtramos este sinal por uma passa-baixa eliminando as as oscilacoes rapidas:

U(t) cost 12(1 + S(t)) . (3.63)

Recuperamos o sinal original S(t).

FM

Podemos descrever a modulacao de frequencia por,

U(t) = ei(t+N sin t) = eit

k=Jk(N)eikt . (3.64)


-20 0 20-100

-50

0

Frequenz (MHz)

Spektrum

(d

B)

A modulacao da onda portadora gera bandas laterais. Isso pode ser visto expandindo o sinalportador da modulacao de fase em uma serie de Fourier,

eit

k=Jk()eikt ' eit + J1(N)eit+it + J1(N)eitit (3.65)

quando o ndice de modulacao N e pequeno. Aqui, Jk(N) = (1)kJk(N) sao as funcoes deBessel.

O espectro de um sinal com modulacao PM consiste em linhas discretas, as chamadas bandaslaterais, cujas amplitudes sao dadas por funcoes de Bessel,

S() =

k=|Jk(N)|2( + k) . (3.66)

Em sistemas reais, as bandas tem larguras finitas devido a` rudo de frequencia ou resolucaofinita dos detectores,

S() =

k=|Jk(N)|2 N

2

( k)2 +N2 . (3.67)

Exerccio 24 (Modulacao de amplitude): Considere uma onda portadora de /2pi = 1 MHzcuja amplitude e modulada por um sinal acustico de /2pi = 1 kHz: U(t) = A cos t cost. Parademodular o sinal, multiplica a onda recebida U(t) pela radiofrequencia portadora. Interprete oresultado.

Figura 3.16: Ilustracao da transmissao de sinais por radiofrequencia.

3.3 Vibracoes amortecidas e forcadas

Frequentemente, vibracoes sao expostas a` perturbacoes externas. Por exemplo, forcas de atritodevido a` friccao exercido pelo meio dentro do qual ocorre a vibracao trabalham para gastare dissipar a energia da oscilacao e, portanto, reduzir a amplitude da oscilacao amortecendo avibracao. Em contraste, forca periodicas podem bombear energia dentro do sistema oscilador eexcitar vibracoes.

3.3. VIBRACOES AMORTECIDAS E FORCADAS 23

3.3.1 Vibracao amortecida e friccao

Trataremos primeiro o amortecimento por forcas de friccao de Stokes, isto e, forcas proporcionaisa` velocidade da massa oscilante e contraria a` direcao do movimento, Ffrc = bv, onde b e ocoeficiente de friccao. Com este termo adicional, a equacao do movimento fica,

ma = bv kx . (3.68)

Figura 3.17: Oscilacao amortecida por um meio viscoso.

Exerccio 25 (Resolucao da equacao do oscilador amortecido): Resolve a equacao dooscilador amortecido para 4km > b2 usando o ansatz x(t) = Aet cost.

O calculo do oscilador amortecido pode ser bastante simplificado pelo uso de numeros com-plexos fazendo o ansatz,

x(t) = Aet , (3.69)

onde e um numero complexo. Obtemos,

m2 + b+ k = 0 , (3.70)

dando a equacao caracterstica,

= 2 20 , (3.71)

com

0 =

k

me =

b

2m. (3.72)

A friccao determine o comportamento do amortecimento. Distinguimos tres casos discutidosnas secoes seguintes.

Caso super-amortecido

No caso super-amortecido, para 0 < , existem duas solucoes reais = com 2 20 para a equacao caracterstica, dando,

x(t) = et(Aet +Bet) . (3.73)

Escolhendo as condicoes iniciais,

x0 = x(0) = et(Aet +Bet) = A+B (3.74)

0 = v(0) = A( + )e(+)t B( )e()t = A( + )B( ) ,


determinamos as amplitudes,

A =x02

(1

)e B =

x02

(1 +

). (3.75)

Finalmente, a solucao e 5,

x(t) = x0et[cosht+

sinht

]. (3.76)

Caso sub-amortecido

No caso sub-amortecido, para 0 > , temos duas solucoes complexas = i com 20 2, dando,

x(t) = et(Aeit +Beit) . (3.77)


x0 = x(0) = et(Aeit +Beit) = A+B (3.78)

0 = v(0) = A( i)e(i)t B( + i)e(+i)t = A( i)B( + i) ,


A =x02

(1 +

i

)e B =

x02

(1

i

). (3.79)

Finalmente, a solucao e 6,

x(t) = x0et[cost+

sint

]. (3.80)

Caso criticamente amortecido

No caso criticamente-amortecido, para 0 = , so existe uma solucao = , dando

x(t) = Aet . (3.81)

Como uma solucao nao e suficiente para resolver uma equacao diferencial de segunda ordem,precisamos buscar uma outra solucao linearmente independente. Podemos tentar outro ansatz,

x(t) = Btet , (3.82)

resultando na equacao caracterstica,

m(2tet + 2et) + b(tet + et) + ktet = 0 . (3.83)

5Note que, para amortecimento superforte, temos ' e portanto,x(t) = Ae2t +B .

, Isso e nada mais do que a solucao da equacao de movimento sem forca restauradora, ma = bv.6Note que, para amortecimento superfraco, temos ' 0 e ' 0 e portanto,

x(t) = Aei0t +Bei0t .

Isso e nada mais do que a solucao da equacao de movimento sem friccao, ma = kx.


Os termos em et e tet devem desaparecer separadamente, dando,

2m+ b = 0 e m2t+ bt+ kt = 0 = = b2m

= = 0 . (3.84)

Finalmente, a solucao fica,

x(t) = (A+Bt)et . (3.85)


x0 = x(0) = (A+Bt)et = A (3.86)

0 = v(0) = (A Bt+B)et = A+B ,


A = x0 e B = x0 . (3.87)

Finalmente, a solucao e,

x(t) = x0(1 + t)et . (3.88)

A Fig. 3.18 ilustra o amortecimento da oscilacao para varias taxas de friccao .

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

0t

x/A

Figura 3.18: Oscilacao amortecida para 0 = 10 s1 e = 2.5 s1 (vermelho), 10 s1 (verde) e

25 s1 (azul).

O coeficiente de friccao crtico e aquele necessario para que o movimento seja amortecidosem nenhum overshoot, pois a velocidade x(t) so desaparece para t = 0.

Fator de qualidade e perda de energia

Para uma oscilacao harmonica estabelecemos o balanco de energias,

E =m

2v2 +

k

2x2 =

m

2

(Ai0e

i0t Bi0ei0t)2

+m

220(Aei0t +Bei0t

)2= 2m20AB .

(3.89)Agora, para uma oscilacao subamortecida substitumos as amplitudes por A Aet e B Bet, tal que,

E(t) = 2m20ABe2t . (3.90)

Obviamente, a energia esta diminuindo com a taxa 2.


Definimos o fator de qualidade como o numero de radianos que o sistema amortecida executaantes que a sua energia cai para e1,

Q =

2=m

b' 0m

b. (3.91)

Comparando a energia inicial com a energia restante depois de um ciclo,

E

E=

E(0)

E(0) E(2pi/) =1

1 e4pi/ '

4pi, (3.92)

achamos que a grandezaQ

2pi=

E

E(3.93)

representa uma medida da dissipacao de energia.

Exerccio 26 (Oscilacao amortecida): Numa oscilacao amortecida o perodo de oscilacaoe T = 1 s. A relacao entre duas amplitudes consecutivas e 2. Apesar do grande amortecimento,o desvio do perodo T0 em comparacao com a oscilacao nao amortecida e pequeno. Calcule odesvio.

Exerccio 27 (Pendulo fsico amortecido): O pendulo fsico mostrado na figura consisteem um disco de massa M e raio R suspenso num eixo paralelo ao eixo de simetria do disconuma e passando pela borda do disco.a. Calcule o momento inercial do disco, I =

V r

2dm, a respeito do eixo de suspensao.b. Derive a equacao do movimento considerando uma friccao de Stokes fraca por atrito propor-cional a velocidade angular e aproximando para oscilacoes de amplitude pequena.c. Qual e a frequencia de oscilacao natural do pendulo (sem friccao)? Como se calcule afrequencia de oscilacao considerando atrito?d. Escreve a solucao da equacao do movimento para a situacao inicial (0) = 0 e (0) = 0.

Exerccio 28 (Pendulo com friccao): Jane preparou o jantar e Tarzan (80 kg) e Cheeta(40 kg) devem voltar para a casa na arvore. Este fica em 10 m de altura, e os dois devem sebalancar para casa num cipo (sem massa) pendurando de l = 100 m de altura. Tarzan agarra ocipo na altura do seu centro de massar h = 1.2 m acima do solo, Cheeta por causa da sua alturamenor em 0.8 m acima do solo. Com qual velocidade inicial os dois precisam agarrar o cipopara alcancar com os pes a plataforma da casa. Considere a forca de atrito de Stokes, FR = C vcom C = 4 104 Ns/m (Tarzan) respectivamente, C = 2 104 Ns/m (Cheeta). Porque estaforca e diferente para os dois? Tratem o movimento de oscilacao como deslocamento pequeno.Determine se a vibracao fracamente amortecida. Voce acha que a Jane devera jantar sozinha?


3.3.2 Vibracao forcada e ressonancia

Vimos que um oscilador amortecido perde sua energia ao longo do tempo. Para sustentar aoscilacao e necessario fornecer energia. A maneira mais simples de fazer isso consiste em forcaro oscilador a oscilar com a frequencia aplicando uma forca externa F0 cost. A questao agorae, o que vai ser a amplitude da oscilacao e a sua fase a` respeito da fase da forca aplicada.Comecamos estabelecendo a equacao do movimento,

ma+ bv +m20x = F0 cost . (3.94)

Figura 3.19: Oscilacao forcada e amortecida por um meio viscoso.

Exerccio 29 (Resolucao da equacao do oscilador forcado): Resolve a equacao do osci-lador forcado usando o ansatz x(t) = A cos(t ).

O calculo pode ser bastante simplificado pelo uso de numeros complexos. Escrevemos aequacao diferencial assim,

ma+ bv +m20x = F0eit , (3.95)


fazendo o ansatz x(t) = Aeiti, dando

2Aeitim+ ibAeiti +m20Aeiti = F0eit . (3.96)Reescrevemos esta formula,

ei = Am(20 2) + ib

F0. (3.97)

Imediatamente obtemos as solucoes,

tan =sin

cos =

Imei

Reei=

b

m(20 2)(3.98)

A =Aei = F0m(20 2) + ib

= F0m2(20 2)2 + b22 .A resposta de frequencia (espectro) do oscilador a` excitacao periodica e ilustrada na Fig. 3.20.

Vimos que, quando aumentamos a friccao, diminu a altura e aumenta a largura do espectro|A()|. A Fig. 3.20(b) mostra que, aumentando a frequencia de excitacao, a oscilacao sofre umdeslocamento de fase de pi.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

/0

A(

)

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

/0

/

Figura 3.20: Resposta de frequencia da amplitude e da fase do oscilador para a forca F0 = 1 N,a massa m = 1 kg, a frequencia de ressonancia 0 = (2pi) 5 Hz e o coeficiente de friccao b = 0.5(azul) ou b = 1 (vermelho).

Perguntamos-nos agora em qual frequencia de excitacao o oscilador responde com ummaximo de amplitude,

0 =d

dmA(m) = F0m

2m220 2m22m b2(m240 2m2202m +m24m + b22m)

32

. (3.99)

O numerador desaparece para

m =

20

b2

2m2, (3.100)

e a amplitude fica,

Am =F0

b20 b

2

4m2

. (3.101)


Fator de qualidade

Para amortecimento fraco 0 e pequenas dessintonias, | 0| 0, podemos aproximara expressao do espectro,

A() 'F0m 120(0 ) + i0 bm

= F02m0 1 0 i

.Essa funcao corresponde a um perfil lorentziano com a largura FWHM = 2. O fator dequalidade definido na secao do oscilador amortecido mede a qualidade da ressonancia,

Q =

2=

. (3.102)

Exerccio 30 (Oscilacao com forca coercitiva): Num corpo de massa m agem ao longodo eixo x uma forca proporcional ao deslocamento Fh = x e uma forca de friccao de Stokes,FR = x. Uma forca dependendo do tempo e ligada no tempo t = 0, quando o corpo ficaem repouso na posicao x = 0. A forca aumenta linearmente com o tempo ate desaparecersubitamente no tempo t = T . Determine o trabalho que a forca externa exerceu ate o tempo T .Considere as diversas solucoes da equacao do movimento resultando das diversas combinacoesde e .

Exerccio 31 (Oscilacao com forca coercitiva): Voce quer medir o coeficiente de friccao de uma esfera (massa m = 10 kg, diametro d = 10 cm) na agua. Para isso, voce deixe aesfera oscilar numa mola (constante da mola k = 100 N/m) numa banheira de agua excitandoa oscilacao por uma forca periodica F (t) = F0 cost. Variando a frequencia de excitacao ate observar uma amplitude de oscilacao maxima, voce mede a frequencia de ressonancia w =2pi 1 Hz. Agora, voce deixe a agua sair da banheira e repete a medida achando 0 = 2pi 2 Hz.a. Determine a posicao de repouso da massa na agua e no ar.b. Estabeleca a equacao diferencial do movimento. Considere, que o peso da esfera na agua ficareduzido pelo empuxo V wasg, onde V e o volume da esfera e was a densidade da agua.c. Qual e o valor de ?

m

F t( )

d


Exerccio 32 (Circuito oscilador eletronico): Sabe-se que a corrente instantanea I(t) numcircuito L-R-C (indutancia de uma bobina, resistencia ohmica e capacitancia) em serie excitadopor uma fonte de tensao alternada U(t) = U0 cost satisfaz a seguinte equacao diferencial,

LI +RI + C1 t

0Idt = U0 sint .

a. Derive a equacao para a carga em movimento Q = I, compare a equacao obtida com aquelado oscilador massa-mola amortecido e forcado e determine as solucao para a corrente.b. Determine a frequencia de ressonancia 0 do circuito.c. Determine o fator de qualidade Q do circuito. Como pode-se aumentar o Q sem mudar afrequencia de ressonancia.

Exerccio 33 (Modelo de Lorentz da interacao atomo-luz): O modelo de Lorentz des-creve a interacao de um eletron ligado a um atomo com um feixe de luz incidente como umoscilador amortecido. A ligacao do eletron ao nucleo e tomada em conta por uma forca restaura-dora 20x. O decaimento do estado excitado com a taxa e a razao da forca de amortecimentomx. E a excitacao e produzida pela forca de Lorentz exercido pela componente eletrica dofeixe de luz, eE0eit, onde e e a carga do eletron. Estabelece a equacao diferencial e calcula aamplitude da oscilacao do eletron em funcao da frequencia de excitacao.

Exerccio 34 (Modelo de Lorentz da interacao atomo-luz): a. Campos eletricos E exer-cem sobre cargas eletricas q a forca de Coulomb F = qE. Escreve a equacao diferencial para omovimento nao amortecido de um eletron (carga e, massa m) harmonicamente ligado ao seunucleo sob a influencia de um campo eletrico alternante E = E0 sint.b. Mostre que a solucao geral pode ser escrita como,

x(t) =eE0 sintm(20 2)

+A cos0t+B sin0t .

c. Escreve a solucao em termos das condicoes inicias x(0) = 0 = x(0).

3.4 Oscilacoes acopladas e modos normais

Ate aqui discutimos o comportamento de osciladores isolados. Perdas ou ganhos de energiaforam descritas de maneira somatoria pelo acoplamento a` um reservatorio externo sem estru-tura propria. No entanto, frequentemente o reservatorio tambem contem graus de liberdadevibratorios podendo receber (ou fornecer) energia. Isso acontece geralmente quando osciladoresvizinhos compartilham um meio rgido, massivo ou resistente. A transferencia de energia paraosciladores vizinhos e o ingrediente fundamental para qualquer propagacao oscilatoria de energiachamada de onda.

3.4. OSCILACOES ACOPLADAS E MODOS NORMAIS 31

3.4.1 Dois osciladores acoplados

Para discutir o acoplamento entre osciladores no nvel mais fundamental, consideramos doispendulos ideais e identicos (comprimento L e massa m) acoplados por uma mola de constantek, conforme mostra a figura. As equacoes diferenciais do movimento para os angulos 1 e 2 sao,

Figura 3.21

mL1 = mg sin 1 k(x1 x2) (3.103)mL2 = mg sin 2 k(x2 x1) ,

com xj = L sin j . Para pequenas oscilacoes temos, portanto,

1 = gL sin 1 km(sin 1 sin 2) ' ( gL + km)1 + km2 (3.104)2 = gL sin 2 km(sin 2 sin 1) ' ( gL + km)2 + km1 .

Definimos as coordenadas normais de vibracao 12(1 2) e 12(1 + 2). Encon-

tramos as equacoes diferenciais para e adicionando e subtraindo as equacoes do movimento,

1 + 2 ' gL(1 + 2) e 1 2 ' ( gL + 2km )(1 2) ,

ou,

+ 2 = 0 e + 2 = 0usando as frequencias angulares dos modos normais de vibracao sao,

=

g

Le =

g

L+

2k

m.

3.4.2 Modos normais

Assim, as coordenadas normais e permitem uma descricao do movimento por equacoes dife-rencias lineares desacopladas. Uma vibracao so envolvendo uma coordenada normal e chamadade modo normal. Neste modo todos os componentes participando da oscilacao oscilam com amesma frequencia.

A importancia dos modos normais e eles sao totalmente independentes, isto e, eles nuncatrocam energia e podem ser bombeados separadamente. Portanto, a energia total do sistemapode ser exprimido com a soma de termos contendo os quadrados das coordenadas normais(energia potencial) e das suas primeiras derivadas (energia cinetica). Cada caminho indepen-dente pelo qual um sistema pode ganhar energia e chamado de grau de liberdade e tem umacoordenada normal associada. Por exemplo, um oscilador harmonico isolado tem dois graus de


liberdade, pois ele pode ganhar energia potencial ou cinetica e dois coordenadas normais, x e v.E o sistema de dois osciladores acoplados,

E = a2 + b2 e E = a2 + b2 , (3.105)

tem quatro graus de liberdade.7

Exerccio 35 (Energia dos modos normais): Verifique que a energia total de um sistemade dois osciladores acoplados e igual a soma das energias dos modos.

Cada movimento do sistema pode ser representado por uma superposicao dos modos normais,

= 12(1 2) = 0 cos(t+ ) e = 12(1 + 2) = 0 cos(t+ ) . (3.106)

Escolhendo

2A = 0 = 0 e = = 0,

1 =12( + ) = A cost+A cost = 2A cos ()t2 cos (+)t2 (3.107)

2 =12( ) = A costA cost = 2A sin ()t2 sin (+)t2 .

A oscilacao mostre o comportamento de um batimento de frequencias 8.

3.4.3 Modos normais em grandes sistemas

Existem tecnicas para resolver sistemas de muitos osciladores acoplados. Consideramos, p.ex.,uma cadeia de n = 1, .., N osciladores acoplados por molas. Temos,

Figura 3.22

n = gln k

m(n n+1) k

m(n n1) . (3.108)

Inserindo o ansatz n Aneit, obtemos

2An = 20An +

2(An An+1) + 2(An An1) , (3.109)7Note, que o movimento de um unico pendulo e um movimento em duas dimensoes cartesianas e, portanto,

teria quatro graus de liberdade. No entanto, a acao conjunta da gravidade e da tensao do fio constrangem omovimento em uma dimensao assim congelando dois graus de liberdade.

8Modos normais sao observados na vibracoes moleculares de H2O e CO2 (vide Pain).

3.4. OSCILACOES ACOPLADAS E MODOS NORMAIS 33

usando as abreviacoes 20 = g/l e 2 = k/m. Definindo o vetor ~A ( An ) e a matriz,

M

20 + 2 2

2 . . . . . .. . . 20 + 2

2 2

2 20 + 22. . .

. . .. . . 2

2 20 + 2

, (3.110)

colocamos a equacao caracterstica numa forma chamada de equacao de autovalores,

M ~A = 2 ~A . (3.111)

A matriz M se caracteriza pelo fato que ela contem na sua diagonal a energia de cada osciladorindividual (isto e, 20 + 2

2 quando o oscilador fica no meio da cadeia e 20 +2) nas duas extre-

midades da cadeia). Nas diagonais secundarias (isto e, nas posicoes Mn,n1) ficam as energiasdo acoplamento entre dois osciladores n e n1. Um modo normal do sistema corresponde a umautovetor da matriz M e a frequencia natural deste modo corresponde ao autovalor respetivo.

A equacao (3.111) tem solucoes nao triviais somente, quando a determinante da matrizM 2 zerar. Os autovalores sao aqueles 2 satisfazendo este requerimento,

det(M 21) = 0 . (3.112)

Exerccio 36 (Modos normais de duas massas acopladas por uma mola): Considereduas massas diferentes m1 e m2 acopladas por uma mola k.a. Determine a equacao do movimento e a equacao caracterstica para cada massa.b. Escreve as equacoes caractersticas em forma matricial: M~a = 2~a, onde ~a (a1, a2) e ajsao as amplitudes das oscilacoes e calcule os dois autovalores da matriz.c. Calcule os modos normais, isto e, os autovetores resolvendo a equacao M~a = 2k~a para cadaautovalor.d. Derive as equacoes diferenciais do movimento do centro de massa e do movimento relativo.Compare o resultado com os modos normais.

Exerccio 37 (Cadeia de massas acopladas por molas): Considere uma cadeia de massasacopladas por molas.a. Determine a equacao de movimento e a equacao caracterstica para cada massa.b. Calcule os modos normais para uma cadeia de tres massas.

Exerccio 38 (Tres pendulos acoplados): Determine as frequencias dos modos de oscilacaode uma linha de tres pendulos acoplados por molas.


3.4.4 Dissipacao em sistemas de osciladores acoplados

Estendemos agora o sistema de dois pendulos acoplados para incluir amortecimento. Assumindoque o movimento da dos pendulos e acompanhado de um amortecimento,

1 = 1 gL1 km(1 2) (3.113)2 = 2 gL2 km(2 1) ,

dando os modos coletivos

= 1 + 2 = gL (3.114) = 1 2 =

( gL +

2km

) .Assumindo que o movimento da mola (nao o movimento dos pendulos) e acompanhado de um

amortecimento,

1 = gL1 km(1 2) (1 2) (3.115)2 = gL2 km(2 1) (2 1) ,

dando os modos coletivos

= 1 + 2 = gL (3.116) = 1 2 =

( gL +

2km

) 2 .Assim, o modo anti-simetrico fica isento de amortecimento enquanto o modo simetrico tem

amortecimento duas vezes mais rapido. Por isso, se chama o modo subradiante e o modo omodo superradiante.

Exerccio 39 (Super- e subradiancia): Consideramos tres carrinhos acopladas por molas kcomo mostra a figura. Os carrinhos interiores tem massa m e sao sujeitos a` friccao por atritocom o coeficiente . O carrinho exterior tem massa M e friccao .a. Estabelece as equacoes de movimento dos tres carrinhos.b. Discute o caso M 0.

Captulo 4

Ondas

Enquanto em vibracoes o movimento e a energia ficam localizados no espaco, ondas se propa-gam e transportam de energia para outros lugares. De fato, ondas representam o mecanismomais importante de intercambio de energia e informacao. Podemos entender uma onda comoperturbacao propagando-se atraves de um meio material elastico. Em alguns casos, p.ex. ondaseletromagneticas, a propagacao da onda deve-se a` oscilacao auto-sustentada entre duas formasde energia (eletrica e magnetica) sem a necessidade de um meio material.

4.1 Propagacao de ondas

Existem varios tipos de onda que nos vamos classificar seguinte o meio de propagacao e seguintea polarizacao, isto e, vamos distinguir ondas longitudinais e transversais. Existem meios soaguentando ondas transversais (corda, superfcie de agua). Outros so aguentam ondas longitu-dinais (som em meios fluidos). Finalmente, existem meios aguentando ambas (som em solidos,ondas eletromagneticas).

Figura 4.1: Propagacao de um pulso ao longo de uma corda.

O exemplo mais simples de um pulso e uma deformacao local de uma corda como mostra aFig. ??. O pulso caminha para uma extremidade da corda por propagacao. Durante a propagacaonao ha transporte de massa, pois todas as partculas do sistema mantem suas posicoes originaisapos a passagem do pulso. Entretanto, existe transporte de energia ao longo da corda, ja quecada porcao dela recebe um acrescimo de energia cinetica e potencial durante a passagem dopulso.

Em geral, o pulso alarga-se durante a propagacao, um efeito chamado dispersao. Simplifi-cando o problema vamos como primeira aproximacao negligenciar a dispersao e supor, que opulso nao muda de forma,

Y (x, t) = f(x vt) , (4.1)

onde a velocidade de propagacao v e positiva quando o pulso se propaga na direcao do eixo x.

35

36 CAPITULO 4. ONDAS

O comportamento do pulso na extremidade da corda depende da sua fixacao. Fixada numaparede, o pulso refletido tem amplitude e direcao de propagacao oposta,

Yrfl(x, t) = f(x+ vt) . (4.2)Fixada uma outra corda, o pulso sera parcialmente refletido e transmitido.

4.1.1 Ondas transversais, propagacao de pulsos numa corda

Pulsos numa corda sao exemplos para ondas transversais. A velocidade com que o pulso sepropaga numa corda depende essencialmente das propriedades da corda, isto e, a sua densidadede massa e a tensao aplicada T e nao da amplitude do pulso. Tomamos um pequeno elementodx da corda com massa dm = dx e consideramos um pulso deslocando-se com a velocidade v,como visto na Fig. 4.1.

Figura 4.2: Elemento de massa de uma corda quando ha passagem de um pulso.

A forca vertical devido a` diferencia das tensoes e,

Fy = T sin (x+ dx) T sin (x) . (4.3)Supondo (x) pequeno, tal que sin (x) ' tan (x) = dYdx ,

Fy = T

(dY

dx

)x+dx

T(dY

dx

)x

= T2Y

x2dx . (4.4)

Do outro lado, aplicado a segunda lei de Newton a este elemento de corda achamos,

Fy = dm2Y

t2. (4.5)

Desta forma,2Y

x2=

T

2Y

t2. (4.6)

Esta equacao e chamada de equacao de onda e descreve totalmente a propagacao do pulso nacorda. Como Y = f(x vt) depende tanto de x como de t, as derivadas que aparecem naequacao sao parciais, isto e, deriva-se em relacao a uma variavel matando a outra constante.Para achar a velocidade, fazemos,

2Y

t2=

t

(x

t

Y

x

)= v

t

(Y

x

)= v

x

(Y

t

)= v

x

(x

t

Y

x

)= v2

Y 2

x2, (4.7)

e comparamos a segunda relacao com a equacao de onda, achando,

v =

T

. (4.8)

4.1. PROPAGACAO DE ONDAS 37

4.1.2 Ondas longitudinais, propagacao de pulsos sonares num tubo

Pulsos acusticos sao exemplos para ondas longitudinais. Eles sao devidos a` um processo de com-pressao e decompressao de um meio gasoso (como o ar), lquido ou mesmo solido. Consideramosum pistao oscilante dentro de um tubo (secao transversal A) cheio de ar com a densidade demassa 0, como mostra a Fig. 4.3. Quando o pistao se desloca, ele causa um aumento local dapressao. Queremos encontrar a velocidade v com que a compressao se desloca ao longo do tubo.

Figura 4.3: Ondas sonoras produzidas por um pistao oscilante.

Como visto na Fig. 4.3, o pistao causa um gradiente de pressao negativo ao longo do tubodando origem a um desequilbrio de forca acelerando elementos de massa do ar para direita.Simplificando a situacao vamos supor que o pistao seja deslocado com a velocidade u dentro deum intervalo de tempo t comprimindo o volume do tubo por um valor

V = Aut . (4.9)

Neste tempo, o pistao acelera uma massa m = 0V do ar dentro de um volume V dado pelavelocidade de propagacao v do pulso ao longo do tubo,

V = Avt . (4.10)

A massa dentro deste volume recebe um impulso,

Ft = mu . (4.11)

A diferencia de pressao dentro e fora do volume V causa um desequilbrio de pressao,

F = AP . (4.12)

Com estas relacoes podemos calcular a compressibilidade do gas,

1

P

V/V=F/A

u/v=mu/At

u/v=0V v

At= 0v

2 , (4.13)

obtemos a velocidade de propagacao do pulso no gas,

v =

1

0(4.14)


Assim, a velocidade de propagacao do som depende criticamente do meio material. Temosvar = 331 m/s, vH2 = 1286 m/s, vH2O = 331 m/s, vborracha = 54 m/s e vAl = 5100 m/s.

Para derivar a equacao do movimento, consideramos um fino elemento de gas com espessurax e massa m = 0Ax sujeito a` uma diferencia de pressao nos dois lados de,

Px Px+x = Pxx

x = x

(P0 + P )x = Px

x , (4.15)

subtraindo a pressao de fundo P0 suposto constante. Essa diferencia de pressao cria uma forcaF = A(PxPx+x) acelerando o elemento de gas seguinte a lei de Newton, F = m, onde (x)e o deslocamento do elemento, tal que,

x=

V

V(4.16)

e a compressao (vide Fig. 4.3). Obtemos portanto,

0x2

t2=F

A= P

xx . (4.17)

Substituindo P pela relacao (4.13),

02

t2=

x

(1

x

)=

1

2

x2, (4.18)

o que da a equacao de onda.

Exerccio 40 (Velocidade do som): Uma pessoa deixa cair uma pedra do topo do arco deuma ponte e ouve o som da pedra na agua exatamente depois de t = 4 s.a. Estimar a distancia entre o topo do arco e o nvel da agua, admitindo que o tempo de transitodo som seja desprezvel.b. Melhore a estimativa tomando em conta a velocidade finita do som.

Exerccio 41 (Distancia de um relampago): Um metodo aproximado para estimar a dis-tancia a que caiu um relampago e o de principiar a contar os segundos ao se perceber o claraoe terminar ao se ouvir o trovao. O numero de segundos contados dividido por 3 da a distanciado da queda em quilometros. Estime a exatidao tem esse procedimento.

Exerccio 42 (Velocidade do som): Uma estudante, no seu quarto, ouve a transmissaode radio de um campo de futebol proximo. Ela esta 1.6 km ao sul do campo. No radio, aestudante ouve o rudo gerado por um pulso eletromagnetico provocado pela queda de um raio.Dois segundos depois ouve o barulho do trovao pelo radio e que foi capturado pelo microfone docampo de futebol. Quatro segundos depois de ouvir o rudo eletromagnetico do raio pelo radio, aestudante ouve diretamente o rudo do trovao. Onde caiu o raio em relacao ao campo de futebol?


4.1.3 Ondas eletromagneticas

Ondas eletromagneticas sao em varios aspectos diferentes de ondas longitudinais ou transversaisclassicas. Por exemplo, elas nao precisam de um meio de propagacao, mas se deslocam atravesdo vacuo com uma velocidade extremamente alta. Com exatamente c = 299792458 m/s avelocidade da luz e tao alta, que as leis da mecanica classica deixam de ser validas. Como naoexiste meio de propagacao, a respeito do vacuo todos os sistemas inerciais sao equivalentes, eeste fato tera consequencias importantes sobre o efeito Doppler. Mostraremos que a equacao deonda eletromagneticas sai quase como um corolario da teoria da relatividade especial.

As ondas sempre ocorrem quando uma carga muda de posicao. Deste jeito a teoria das ondaseletromagneticas tambem esta um consequencia da teoria eletrodinamica, que esta contida nasequacoes de Maxwell. Introduziremos aqui sem derivacao a equacao de onda para os camposeletricos e magneticos.

Figura 4.4: O espectro eletromagnetico.

Equacao de Helmholtz

Ja mostramos como a conversao periodica entre energia cinetica e potencial num pendulo podese propagar no espaco, quando o pendulo esta acoplado a` outros pendulos pendurados numacadeia, e que este modelo explica a propagacao de um pulso na corda. Tambem discutimoscomo energia eletrica e magnetica podem ser interconvertidas num circuito eletronico L-C comum capacitor (armazenando energia eletrica) e uma indutancia (bobina armazenando energia


magnetica). A lei da eletrodinamica descrevendo a transformacao de variacoes do campo eletricoem energia magnetica e a lei de Ampe`re, e a lei descrevendo a transformacao de variacoes docampo magnetica em energia eletrica e lei de Faraday,

~E

ty ~B(t) ,

~B

ty ~E(t) . (4.19)

Estendendo o circuito L-C numa cadeia e possvel mostrar, que a oscilacao eletromagnetica sepropaga ao longo da cadeia. Este modelo descreve bem a propagacao da energia eletromagneticaao longo de um cabo coaxial ou a propagacao da luz no espaco livre.

Figura 4.5: Analogia entre propagacao de ondas mecanicas (acima) e ondas eletromagneticas(embaixo).

A energia eletrica armazenada no capacitor e a energia magnetica armazenada na bobinasao dadas por,

Eele =02 | ~E|2 , Emag = 120 | ~B|2 , (4.20)

onde as constantes 0 = 8.854 1012 As/Vm e 0 = 4pi 107 Vs/Am sao chamadas de permi-tividade e permeabilidade do vacuo. Por analogia com as ondas numa corda, podemos escreveras equacoes de onda para ondas eletromagneticas planas se propagando ao longo do eixo x,chamadas de equacao de Helmholtz,

2Eyt2

=1

00

2Eyx2

,2Bzt2

=1

00

2Bzx2

. (4.21)

A derivacao formal e feita pelas equacoes de Maxwell, que sao as equacoes fundamentais dateoria eletrodinamica. So notamos aqui que,

ondas eletromagneticas (no espaco livre) sao transversais; a amplitude do campo eletrico, do campo magnetico e a direcao de propagacao sao orto-

gonais;

a velocidade de propagacao e a velocidade da luz, pois c2 = 1/00.

Intensidade da radiacao

Na teoria eletrodinamica o fluxo de energia e calculado pelo vetor de Poynting,

~S(~r, t) = 10~E(~r, t) ~B(~r, t) . (4.22)

O valor absoluto e a intensidade do campo luminoso,

I(~r, t) = |~S(~r, t)| . (4.23)


4.1.4 Ondas harmonicas

Geralmente, a luz e uma superposicao de muitas ondas com muitas frequencias e polarizacoesdiferentes e propagando em muitas direcoes. O laser representa um excecao. Sendo mono-cromatico, polarizado, direcional e coerente, ele e muito perto do ideal de uma onda harmonica,isto e, um onda descrita pela funcao

Y (x, t) = Y0 cos(kx 0t) , (4.24)

onde 0 = 2pi e a frequencia angular da oscilacao e k = 2pi/ o vetor de onda. Inserindo estafuncao na equacao de onda,

2Y

t2= c2

Y 2

x2, (4.25)

onde chamamos agora de c a velocidade de propagacao da onda harmonica, verificamos a relacaode dispersao,

= ck . (4.26)

Figura 4.6: Onda harmonica.

Frequentemente, a velocidade de propagacao e independente do comprimento de onda, c(k) =const. Neste caso, uma onda composta de varias ondas com diferentes vetores de onda k sepropaga sem dispersar, isto e, sem mudar a sua forma. Em outros casos, quando c(k) 6= const,a onda se deforma ao longo da sua trajetoria.

4.1.5 Pacotes de ondas

Como a equacao de onda (4.25) e linear, vale o princpio de superposicao, isto e, se Y1 e Y2 saosolucoes, Y1 + Y2 tambem e. De maneira mais geral podemos afirmar que, se A(k)e

i(kxt) euma solucao satisfazendo a equacao de onda para qualquer k, obviamente

Y (x, t) =

A(k)ei(kxt)dk , (4.27)

tambem satisfaz. Isso significa, que o deslocamento Y (x) e a distribuicao de amplitudes A(k)sao relacionadas por transformacao de Fourier, Y (x, t) = eitFA(k).

Supondo uma distribuicao gaussiana de vetores de onda com largura k, A(k) = e(kk0)2/2k,obtemos como solucao para a equacao de onda,

Y (x, t) =

e(kk0)2/2kei(kxt)dk = ei(k0xt)

eq2/2keiqxdq =

2pikekx

2/2ei(k0xt) .

(4.28)


Essa solucao da equacao de onda descreve um pacote de onda com um envoltorio gaussiana1 ,isto e, uma perturbacao localizada como nos discutimos inicialmente no exemplo da propagacaode pulsos num corda. Obviamente, outras distribuicoes de vetores de onda sao possveis.

Note, que a largura da distribuicao de vetores de onda, k, e aquela da distribuicao espacial,x 1/k, satisfazem a relacao chamada de teorema de Fourier,

xk = 1 , (4.29)

que na mecanica quantica vira a relacao de Heisenberg. Quanto mais larga fica uma distribuicaode vetores de onda, mais estreita fica a distribuicao espacial, e vice versa. No limite de uma ondasenoidal descrita por um unico vetor de onda esperamos uma extensao espacial da amplitudeinfinita.

4.1.6 Dispersao

Consideramos uma superposicao de duas ondas,

Y1(x, t) + Y2(x, t) = a cos(k1x 1t) + a cos(k2x 2t) (4.30)= 2a cos

[(k1k2)x

2 (12)t2]

cos[

(k1+k2)x2 (1+2)t2

].

A onda resultante pode ser vista como uma onda da frequencia 12(1 + 2)t e o comprimentode onda 12(k1 + k2) com a sua amplitude modulada por um envoltorio de frequencia

12(12)t

e comprimento de onda 12(k1 k2)x.Na ausencia de dispersao as velocidade de fase das duas ondas e a` velocidade de propagacao

do envoltorio, chamado de velocidade de grupo, sao iguais,

c =1k1

=2k2

=1 2k1 k2 =

k= vg . (4.31)

Mas as velocidades de fase das duas ondas harmonicas podem ser diferentes, tal que a frequenciadepende do comprimento de onda, = (k). Neste caso, a velocidade de fase tambem variacom o comprimento de onda,

vg =d

dk=

d

dk(kc) = c+ k

dc

dk. (4.32)

Frequentemente, esta variacao nao e muito forte, tal que e possvel expandir,

(k) = 0 +d

dk

k0

(k k0) + 12

d2

dk2

k0

(k k0)2 0 + vg(k k0) + (k k0)2 . (4.33)

Geralmente, vg < c, situacao que se chama dispersao normal. Mas existem situacoes dedispersao anormal em que vg > c, por exemplo, perto de ressonancias ou com ondas de materiacaracterizadas pela relacao de dispersao ~ = (~k)2/2m.

1A definicao da transformada de Fourier em uma dimensao e,

Y (x) = FA(k) 12pi

A(k)eikxdk .

Para a funcao gaussiana temos,

Y (x) = 12pi

eak2

eikxdk = 12piex

2/4a

ea(kix/2a)2

dk = 12piex

2/4a

eaq2

dq = 12aex

2/4a .


1 0 1 2 30

0.5

1

k

A(q

)

10 0 100

0.5

1

x

Y(x

)

1 0 1 2 30

0.5

1

k

A(q

)

100 0 100

0

0.2

0.4

x

Y(x

)

Figura 4.7: Distribuicao de amplitudes gaussiana (graficos superiores) e retangular (graficosinferiores) no espaco de momento (graficos de esquerda) e no espaco de posicao (graficos dedireita).

Pacote de onda retangular com dispersao linear

Como exemplo determinamos a forma do pacote de onda para uma distribuicao retangular,A(k) = A0[k0k/2,k0+k/2], sujeito a` dispersao linear (expansao ate o termo linear na Eq. (4.33)).Pelo teorema de Fourier,

Y (x, t) =

A(k)ei(kxt)dk = A0 k0+k/2k0k/2

ei(kx0t+ ddk |k0 (kk0)t)dk (4.34)

= A0ei(k0x0t)

k0+k/2k0k/2

ei(kk0)

(x d

dk |k0 t)dk

= A0ei(k0x0t)

k/2k/2

eik(x d

dk |k0 t)dk

= A0ei(k0x0t)

k/2k/2

eikudk = A0ei(k0x0t) e

ik/2u eik/2uiu

A(x, t)ei(k0x0t) .

Com a abreviacao u x ddkk0t = x vgt fica obvio a interpretacao da velocidade de grupo,

vg ddk

k0

t . (4.35)

A envoltorio

A(x, t) = 2A0sin uk2u

. (4.36)

tem a forma de uma funcao sinc. Obviamente, o pacote de onda e localizado no espaco.

Dispersao de um pacote de onda gaussiano sujeito a` dispersao quadratica

A dispersao quadratica causa o derretimento de pacotes de onda. Mostramos isto no exemplodo pacote de onda gaussiano, A(k) = e(kk0)2 , expandindo a relacao de dispersao (4.33) ate o


termo quadratico. Pelo teorema de Fourier,

Y (x, t) =

A(k)ei(kxt)dk = A0ei(k0x0t)

ei(kk0)(xvgt)(+it)(kk0)2dk (4.37)

= A0ei(k0x0t)

eik(xvgt)(+it)k2dk

A0ei(k0x0t)

eikuvk2dk = A0

piv ei(k0x0t)eu

2/4v .

O quadrado absoluto da solucao descreve a distribuicao espacial de energia do pacote,

|Y (x, t)|2 = A20pivv

eu2/4vu2/4v = A20

pi

x0/2

e(xvgt)2/x20 , (4.38)

com x0

2

1 +

2

2t2. Obviamente, para grandes tempos o pulso derrete com velocidade

constante. Como a constante da a largura inicial do pulso, percebemos que um pulso inici-almente comprimido derrete mais rapidamente. Portanto, o coeficiente angular da relacao dedispersao determina a velocidade de grupo enquanto a curvatura determina a velocidade dederretimento (dispersao).

Exerccio 43 (Ausencia de dispersao no som): Discuta as evidencias experimentais (quevoce observa) que nos leva a admitir que a velocidade do som na faixa audvel deve ser a mesmapara todos os comprimentos de onda.

Exerccio 44 (): a. Enquanto o vacuo e estritamente sem dispersao, o ndice de refracao doar depende do comprimento de onda da luz , da temperatura T em C e da pressao ambienteP em mbar como

ns = 1 + 108(

8342.13 +2406030

130 1012/2 +15997

38.9 1012/2)

n = 1 + (ns 1) 0.00185097P1 + 0.003661T

.

Calcule a dispersao no ar dentro da faixa 1 = 400 nm e 2 = 800 nm.b. Usando a lei de Snellius

n =sinvacar

,

calcule a dispersao angular dar/d de um feixe de luz branco na interface vacuo-ar ambientepara P = 1013 mbar e T = 25C.

4.2 O efeito Doppler

4.2.1 Efeito Doppler sonico

Ondas propagam-se a` partir de uma fonte ate um observador dentro do meio material elasticocom a velocidade de propagacao v. Ate agora supomos a fonte, o meio e o observador em repouso.A questao agora e, o que acontece quando um destes tres componentes fica em movimento.

4.2. O EFEITO DOPPLER 45

Fonte em movimento

Imaginamos uma fonte de sinais ocorrendo com a frequencia f0. Dentro do tempo de um perodoT = 1f0 estes pulsos percorrem uma distancia,

= vT =v

f0, (4.39)

dentro do meio. Enquanto a fonte esta parada, a distancia entre os pulsos fica . Entretanto,quando a fonte se move na direcao de propagacao dos pulsos, um observador em repouso julga,que os pulsos sao emitidos dentro do meio em distancias x inferiores, como mostra a Fig. 4.8,

x = ufT . (4.40)Um ouvidor agora recebe os pulsos com a frequencia aumentada de,

f =v

x=

v

ufT =vf0

v uf =f0

1 uf/v . (4.41)

Este efeito se chama efeito de Doppler sonico. Para pequenas velocidades podemos expandir,

f =f0

1 uf/v ' f0(

1 ufv

), (4.42)

onde os sinais superiores (inferiores) se aplicam, quando a fonte se aproxima (afasta) do receptor.

Figura 4.8: Efeito Doppler devido ao movimento da fonte. Em (a) a onda esta parada, em (b)ela se move em direcao do observador.

Receptor em movimento

Consideramos de novo a fonte de pulsos emitidos com a frequencia f0. Enquanto a fonte estaparada, a distancia entre os pulsos fica . Entretanto, se o receptor esta se aproximando dafonte, como mostra a Fig. 4.9, pulsos sao registrados pelo receptor num perodo mais curto,

T =

v + ur=

1

f. (4.43)

Isto e, o receptor mede um numero de pulsos mais elevado de,

f = f0

(1 ur

v

), (4.44)

onde os sinais superiores (inferiores) se aplicam, quando o receptora se aproxima (afasta) dafonte.


Figura 4.9: Efeito Doppler devido ao movimento do ouvidor. Em (a) o ouvidor esta parado, em(b) ele se move em direcao da fonte.

Meio em movimento

Podemos combinar os dois efeitos Doppler em uma expressao,

f = f0v2 ~v ~urv2 ~v ~uf . (4.45)

O impacto de um movimento do meio material carregando a onda, p.ex. um vento movendo oar, pode ser resumido em uma modificacao da velocidade de propagacao ~v ~v + ~um.

Exerccio 45 (Efeito Doppler sonico): Um alto-falante pendurado num fio de comprimentoL = 1 m oscila com um angulo maximo de m = 10

emitindo um som de = 440 Hz.a. Qual e a frequencia de oscilacao do pendulo?b. Qual e a energia Ecin + Epot da oscilacao?c. Qual e a velocidade maxima da oscilacao?d. Quais sao as frequencias mnima e maxima do som percebidas por um receptor estacionario.

Exerccio 46 (Efeito Doppler sonico): Dois alto-falantes identicos emitem uniformementeondas sonoras de f = 680 Hz. A potencia de audio de cada alto-falante e de P = 1 mW. Umponto P esta a r1 = 2.0 m de um dos aparelhos e a r2 = 3.0 m do outro.a. Calcular as intensidades I1 e I2 do som de cada alto-falante separadamente, no ponto P.b. Se a emissao dos alto-falantes for coerente e em fase, qual a intensidade do som em P?c. Se os alto-falantes emitirem coerentemente com uma diferenca de fase de 180, qual intensi-dade no ponto P?d. Se a emissao dos alto-falantes for incoerente, qual a intensidade no ponto P?

Exerccio 47 (Efeito Doppler sonico): Suponha que no efeito Doppler com o som, a fontee o observador estejam ambos em repouso, mas o meio esta se movendo com relacao a estereferencial. Havera alguma variacao na frequencia recebida pelo observador?

Exerccio 48 (Efeito Doppler sonico): Considere uma fonte que emite ondas de frequenciaffnt movendo-se com velocidade vfnt sobre o eixo x. Considere um observador movendo-se comvelocidade vobs tambem sobre o eixo x. Qual sera a frequencia percebida pelo observador? Chamea velocidade de propagacao da onda de c.

4.2. O EFEITO DOPPLER 47

4.2.2 Equacao de onda sob transformacao de Galilei

A transformacao de Galilei diz, que obtemos a funcao descrevendo o movimento no sistema S

simplesmente substituindo x x e t t com,t t e x x ut ou (4.46)t t e x x + ut ,

o que implica

v =x

t=x

t u . (4.47)

Figura 4.10: Onda no sistema inercial S vista por um observador se movendo com a velocidadeu no sistema S.

A mecanica classica de Newton e Galilei invariante, o que significa que as equacoes funda-mentais do tipo,

mvi = xij

Vij(|xi xj |) , (4.48)

nao mudam a sua forma sob a transformacao de Galilei. Em contraste, a equacao de onda naoe Galilei invariante. Para ver isso, consideramos uma onda no sistema inercial S em repouso arespeito do meio de propagacao sendo descrita por Y (x, t) e satisfazendo a equacao de onda,

2Y (x, t)

t2= c2

2Y (x, t)

x2. (4.49)

Um observador fica no sistema inercial S movendo-se a respeito de S com a velocidade u, talque x = x ut. A questao agora e, qual e a equacao de movimento para esta onda descrita porY (x, t), isto e, queremos verificar a validade de

2Y (x, t)t2

?= c2

2Y (x, t)x2

. (4.50)

Por exemplo, a onda Y (x, t) = sin k(x ct) viajando para direita e percebida no sistema S,tambem viajando para direita, como Y (x, t) = sin k[x (c u)t] = Y (x, t). Portanto,

Y (x, t) = Y (x, t) , (4.51)

isto e, esperamos que as leis validas em S tambem valem em S. Calculamos as derivadas parciais

Y (x, t)t

=Y (x, t)

t=t

tY (x, t)

t

x=const

+x

tY (x, t)

x

t=const

=Y (x, t)

t+ u

Vibra Coes Ondas Script

Documents

Transcript of Vibra Coes Ondas Script