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22 - Sistemas com N GDL

Vibração livre

O problema de autovalor e autovetor

Ortogonalidade dos modos normais

LT.: 6.9 a 6.10

Problemas: 6.44 a 6.63

2

Vibração livreO modelo matemático de um sistema mecânico, em sua forma mais geral, em vibração livre sem amortecimento, é obtido fazendo a matriz amortecimento e

o vetor forçamento nulos na eq. (6.3):

)t(

Fx[k]x[c]x[m]

...

(6.3)

(6.55)

1 x n vetores são e , e n x n matrizes são e onde

..0xx[k][m]

A solução da eq. (6.55) pode ser obtida supondo soluções harmônicas

0x[k]x[m]

..

)tcos( Xx

onde é o vetor amplitude de dimensões n x 1 (vetor modal), é a freqüência natural e é o ângulo de fase inicial

X

3

Derivando duas vezes a equação acima e substituindo no modelo matemático, chegamos, após alguma manipulação algébrica, a

0X[m][k] 2 (6.61)

Não é qualquer valor de 2 que permite encontrar uma solução não trivial

para a eq. (6.61), mas apenas um conjunto seleto de n valores de 2, chamados autovalores

0X

A determinação desses autovalores é conhecida, em Álgebra Linear, como um Problema de Autovalor

Conforme já vimos, é uma freqüência natural e os vetores são os vetores modais, os quais representam fisicamente os modos naturais de

vibração

X

XA cada autovalor corresponde um vetor, denominado autovetor

O problema de achar, para cada autovalor, o autovetor correspondente, constitui, em Álgebra Linear, um Problema de Autovetor

4

Para obter soluções não triviais (soluções em que o vetor das amplitudes seja não-nulo), é necessário que o determinante da matriz da eq. (6.61) seja nulo:

02 [m][k] (6.63)

Conclusão: as freqüências naturais são as raízes quadradas dos autovalores, enquanto que os modos de vibração são os autovetores

Pré-multiplicando a eq. (6.63) pela inversa da matriz massa:

021 [I][k][m]

[k][mD 1]][

Definindo a matriz dinâmica [D] como

02 [I][D]

Portanto, determinar freqüências naturais e modos de vibração de um sistema mecânico corresponde a achar os autovalores e os autovetores da equação

matricial correspondente

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A expansão do determinante acima conduz a um polinômio de grau n em 2

Se o GDL do sistema for grande, a solução desse polinômio torna-se inviável. Devemos, então, recorrer a um método

numérico computacional para achar as raízes desse polinômio, os quais estão disponíveis calculadoras científicas (HP 48 e 49) e

em vários softwares comerciais, tais como o MatLab, Maple, etc.

Após obtermos os valores de 2, podemos substituí-los na eq. (6.61) para encontrar os autovetores, os quais constituem os

modos naturais de vibração

Vamos ilustrar o método para um sistema com 3 GDL

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Exemplo 6.10Achar as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema da figura

Solução

Matriz massa:

100

010

001

m

m00

0m0

00m

m

Matriz rigidez:

110

121

012

k

kk0

kk2k

0kk2

k

Primeiro, vamos obter a matriz dinâmica para depois achar seus autovalores:

[k][mD 1]][

7

>> m=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];>> inv(m)

ans =

1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

Para inverter a matriz [m], vamos usar o MatLab:

Logo:

100

010

001

m

11m

110

121

012

100

010

001

m

k][][ 1 kmD

Podemos, novamente, usar o MatLab para efetuar a multiplicação matricial acima e obter a matriz dinâmica:

8

A seguir, usamos o determinante

0

100

010

001

110

121

012

m

k 2

0

m

k

m

k0

m

k

m

k2

m

k

0m

k

m

k2

2

2

2

0[I][D] 2

>> k=[2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 1];>> inv(m)*k

ans =

2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 1

110

121

012

m

k][DLogo:

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Resolvendo o determinante, chegamos a uma equação cúbica em 2, a qual fornece os seguintes autovalores:

m

k2490,3

m

k5553,1

m

k19806,0

23

22

21

cujas raízes quadradas são as freqüências naturais:

m

k8025,1

m

k2471,1

m

k44504,0

3

2

1

10

Após obtermos as freqüências naturais, podemos substituí-las na eq. (6.61) para encontrar os autovetores, os quais são os modos naturais de vibração

0

0

0

X

X

X

mkk0

kmk2k

0kmk2

3

2

1

2

2

2

Substituindo inicialmente [k] e [m], obtemos

0X[m][k] 2 (6.61)

Substituindo 2 pelos autovalores obtidos, temos:

:m

k19806,0 Para 2

1

0

0

0

X

X

X

)m

k19806,0(mkk0

k)m

k19806,0(mk2k

0k)m

k19806,0(mk2

)1(3

)1(2

)1(1

1o modo

11

0

0

0

X

X

X

k19806,0kk0

kk19806,0k2k

0kk19806,0k2

)1(3

)1(2

)1(1

0X)k19806,0k(kX

0kXX)k19806,0k2(kX

0kXX)k19806,0k2(

)1(3

)1(2

)1(3

)1(2

)1(1

)1(2

)1(1

Podemos colocar as amplitudes das massas 2 e 3 em função da amplitude da massa 1 a partir da primeira e da terceira equação; a segunda equação ficará

automaticamente satisfeita:

0X80194,0X

0XX80194,1X

0XX80194,1

)1(3

)1(2

)1(3

)1(2

)1(1

)1(2

)1(1

Dividindo as 3 equações por k e simplificando:

12

)1(1

)1(1

)1(2)1(

3

)1(1

)1(2

X2470,280194,0

X80194,1

80194,0

XX

X80194,1X

Assim, o primeiro modo de vibração é dado por:

2470,2

8019,1

0,1

XX )1(1

)1(

Analogamente, podemos encontrar os segundo e terceiro modos de vibração:

8020,0

4450,0

0,1

XX )2(1

)2(

5544,0

2468,1

0,1

XX )3(1

)3(

Em geral, os valores das amplitudes da massa 1 nos 3 modos é arbitrada como unitária, de modo que podemos construir os diagramas dos modos:

13

14

Obs.: uma maneira muito mais rápida e eficaz de obter os autovalores e os autovetores pode ser feita através do MatLab, mediante o comando abaixo,

onde [D] é a matriz dinâmica:

>> [F,M]=eig(D)

F =

-0.3280 0.7370 -0.5910 -0.5910 0.3280 0.7370 -0.7370 -0.5910 -0.3280

M =

0.1981 0 0 0 1.5550 0 0 0 3.2470

A matriz [M] mostra os autovalores na diagonal

principal; extraindo as raízes quadradas, obtem-se as

freqüências naturais

A matriz [F] mostra os autovetores nas colunas; para

obtermos os modos de vibração normalizados, dividimos cada

coluna pelo valor da respectiva primeira linha

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Ortogonalidade dos Modos NormaisConsideremos a i-ésima freqüência natural, i, e o seu correspondente

vetor modal,)i(

X

Evidentemente, a eq. (6.61) deve ser satisfeita, logo:

0X[m][k] 2

(6.61)

0X[m][k]

)i(2i

)i()i(2i

X[k]X[m] (6.69)

Considerando, agora, a j-ésima freqüência natural, j, e o seu correspondente

vetor modal, , podemos igualmente escrever)j(

X

)j(ij(2j

X[k]X[m] (6.70)

Pré-multiplicando as eqs. (6.69) e (6.70), respectivamente, por e , e levando em conta a simetria das matrizes [k] e [m]:

T)j(X

T)i(X

16

)j(T)i()i(T)j()i(T)j(2i

X[k]XX[k]XX[m]X (6.71)

)j(T)i()i(T)j(2j

)j(T)i(2j

X[k]XX[m]XX[m]X (6.72)

Simetria de [k]

Simetria de [m]

Subtraindo a eq. (6.72) da eq. (6.71): 0)()i(T)j(

2j

2i

X[m]X (6.73)

Como, em geral, i j, podemos escrever

ji ,0)i(T)j(

X[m]X (6.74)

Levando em conta as eqs. (6.74) e (6.71):

ji ,0)i(T)j(

X[k]X (6.75)

Conclusão: os vetores modais são ortogonais com relação às matrizes massa e rigidez

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Quando i = j, os membros esquerdos das eqs. (6.74) e (6.75) não são nulos, mas fornecem os elementos das matrizes massa e rigidez generalizadas,

correspondentes ao i-ésimo modo:

n1,2,...,i ,M)i(T)i(

ii X[m]X (6.76)

n1,2,...,i ,K)i(T)i(

ii X[k]X (6.77)

Eqs. (6.76) e (6.77) na forma matricial:

XmXM T

nn

22

11

M0

...

M

0M

(6.78)

(6.79) XKXK T

nn

22

11

K0

...

K

0K

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onde [X] é a chamada matriz modal, na qual a i-ésima coluna corresponde ao i-ésimo vetor modal:

)n()2()1(

... XXXX (6.80)

Em muitos casos, normalizamos os vetores modais de tal modo que a matriz [M] seja igual à matriz identidade [I], ou seja:

n1,2,...,i ,1)i(T)j(

X[m]X (6.81)

Nesses casos, a matriz [K] reduz-se a:

XKXK T

2n

22

21

0

...

0

(6.82)

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Ortonormalização dos AutovetoresDiz-se que um autovetor é ortonormal em relação à matriz massa [m] quando a

seguinte relação é satisfeita:

Exemplo 6.11

1)i(T)i(

X[m]X

Ortonormalizar os autovetores do Exemplo 6.10 em relação à matriz massa

Solução

Do Exemplo 6.10:

Matriz massa:

100

010

001

mm

20

2470,2

8019,1

0,1

XX )1(1

)1(

8020,0

4450,0

0,1

XX )2(1

)2(

5544,0

2468,1

0,1

XX )3(1

)3(

Autovetores:

1)i(T)i(

X[m]X

i = 1 1

2470,2

8019,1

0,1

100

010

001

m2470,28019,10,1X )1(1

1)2470,28019,10,1()X(m 2222)1(1

m

3280,0X )1(

1

Analogamente, encontraremos:

i = 2m

7370,0X )2(

1 i = 3m

5911,0X )2(

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