QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR

VÓRTICES

Antonio Droescher Sandri

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre

em Engenharia Mecânica.

Orientador: Fernando Alves Rochinha

Rio de Janeiro

Novembro de 2010

QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR

VÓRTICES

Antonio Droescher Sandri

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO

ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE

ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

MECÂNICA.

Examinada por:

Prof. Fernando Alves Rochinha, D.Sc.

Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.

Prof. Luis Volnei Sudati Sagrilo, D.Sc.

Prof. Ricardo Franciss, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

NOVEMBRO DE 2010

Sandri, Antonio Droescher

Quantificação de Incertezas em Vibrações Induzidas por

Vórtices/Antonio Droescher Sandri. – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2010.

XII, 83 p.: il.; 29,7cm.

Orientador: Fernando Alves Rochinha

Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Mecânica, 2010.

Referências Bibliográficas: p. 74 – 83.

1. Quantificação de Incertezas. 2. Vibrações Induzidas

por Vórtices. 3. Método de Colocação Estocástica. I.

Rochinha, Fernando Alves. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica.

III. Título.

iii

"Engineering is the art of

modeling materials we do not

wholly understand, into shapes

we cannot precisely analyze, so

as to withstand forces we cannot

precisely assess, in such a way

that the public has no reason to

suspect the extent of our

ignorance."

Dr. A. R. Dykes

iv

Agradecimentos

Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PEM) do Ins-

tituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE-

UFRJ) pela oportunidade de participar de um curso que vem obtendo conceito má-

ximo pela avaliação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

(CAPES-MEC).

Agradeço ao Programa Demanda Social (DS) da CAPES pela bolsa na modali-

dade mestrado.

Agradeço à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FA-

PERJ) pela bolsa especial na modalidade mestrado através do Programa Bolsa Nota

10.

Agradeço aos servidores e professores do PEM por proporcionarem um ambiente

favorável ao desenvolvimento acadêmico e pessoal, em especial ao Prof. Fernando

Alves Rochinha pela amizade e orientação acadêmica.

Agradeço aos meus colegas de curso e de laboratório que procuram seu nome

por aqui, mesmo sabendo que não irão encontrar. Muito obrigado por terem feito

parte dessa minha experiência. Já dizia o C. Chaplin: "Cada pessoa que passa em

nossa vida passa sozinha, e não nos deixa só, porque deixa um pouco de si e leva

um pouquinho de nós".

Finalmente, agradeço à minha família não só pelo apoio, mas também pela com-

preensão e tolerância durante a minha ausência.

Muito obrigado.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS EM VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR

VÓRTICES

Antonio Droescher Sandri

Novembro/2010

Orientador: Fernando Alves Rochinha

Programa: Engenharia Mecânica

Os recentes desenvolvimentos na área da Computação de Alto Desempenho vem

estabelecendo as simulações numéricas como uma ferramenta eficaz e efetiva para a

análise de problemas reais de Engenharia. Entretanto, a credibilidade nos resulta-

dos fica sujeita a interpretações de analistas, uma vez que o processo de modelagem

de sistemas físicos carrega erros e incertezas inerentes. A Quantificação de Incer-

tezas propõe uma metodologia para auxiliar os analistas na tarefa de determinar

sistematicamente a validade das simulações numéricas.

O presente trabalho, que se integra a área de Quantificação de Incertezas re-

centemente nucleada no PEM, analisa um modelo para predição de Vibrações In-

duzidas por Vórtices (VIV). O fenômeno de VIV vem recebendo atenção especial

por se apresentar como um carregamento importante nas estruturas para explora-

ção de hidrocarbonetos em lâmina de água ultraprofunda. A análise leva em conta

incertezas nas variáveis de entrada do modelo de predição. O problema é então for-

mulado através da abordagem probabilística onde as incertezas são caracterizadas

por uma função densidade de probabilidade. O método de Colocação Estocástica

(CE) é empregado para propagar as incertezas através do modelo. Os resultados

são apresentados na forma de funções densidade de probabilidade para a amplitude

de vibração e velocidades na zona de sincronização.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

UNCERTAINTY QUANTIFICATION IN VORTEX INDUCED VIBRATION

Antonio Droescher Sandri

November/2010

Advisor: Fernando Alves Rochinha

Department: Mechanical Engineering

Recent developments in the subject of High Performance Computing has estab-

lished numerical simulations as an efficient and effective tool for the analysis of

real Engineering problems. However, the credibility in the results is subjected to

the analysts’s interpretation, as the process of modeling physical systems inherently

carries errors and uncertainty. The Uncertainty Quantification proposes a method-

ology to assist the analysts in the task of systematically determining the validity of

the numerical simulations.

This work, which integrates the newly established area of Uncertainty Quantifi-

cation in PEM, examines a model for predicting Vortex Induced Vibrations (VIV).

The phenomenon of VIV is receiving special attention by presenting itself as an

important structural load for hydrocarbon exploration in ultradeep water depth.

The analysis takes into account uncertainties in the input variables of the prediction

model. The problem is then formulated through the probabilistic approach where

the uncertainties are characterized by a probability density function. The Stochastic

Collocation method is used to propagate uncertainties through the model. Results

are presented as probability density functions for the amplitude of vibration and

free stream velocity in the range of synchronization.

vii

Sumário

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xii

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Vibrações Induzidas por Vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Quantificação de Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Quantificação de Incertezas em Vibrações Induzidas por Vórtices 5

1.3 Objetivos do presente trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Apresentação dos capítulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Vibrações Induzidas por Vórtices 7

2.1 Fluidodinâmica ao redor de um cilindro circular fixo . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Forças resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Dinâmica da interação fluido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Estruturas amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 VIV em um cilindro circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Métodos de predição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Modelos fenomenológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 Mecânica dos Fluidos Computacional . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Validação dos modelos de predição para VIV . . . . . . . . . . 23

2.4.4 Métodos experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Quantificação de Incertezas 25

3.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Análise da Quantificação de Incertezas . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Modelos de sistemas mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Validação de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Fontes não-determinísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Caracterização de funções densidade de probabilidade . . . . . 33

viii

3.4 Métodos de propagação de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Análise crítica de modelos fenomenológicos para predição de VIV 37

4.1 Modelo de interação fluido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 Acoplamento fluido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.2 Valores adotados para as variáveis do modelo . . . . . . . . . 41

4.1.3 Quantidades de interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Modelo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Método de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Quantificação de Incertezas em Vibrações Induzidas por Vórtices . . . 47

4.5 Implementação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Resultados e Discussões 51

5.1 Desempenho computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1 Comportamento na integração temporal . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2 Reprodução do comportamento experimental . . . . . . . . . . 55

5.1.3 Avaliação do método de CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Análise crítica do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1 Incerteza associada à velocidade de corrente . . . . . . . . . . 59

5.2.2 Incerteza associada aos parâmetros de ajuste do modelo κ e ε 63

6 Conclusões 72

Referências Bibliográficas 74

ix

Lista de Figuras

1.1 Estruturas marinhas sujeitas as VIV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Escoamento ao redor de um cilindro circular fixo. . . . . . . . . . . . 8

2.2 Regiões de escoamento próximas ao cilindro circular. . . . . . . . . . 9

2.3 Visualização da esteira de von Kármán. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Mecanismo de desprendimento de vórtices. . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Número de Strouhal para um cilindro circular fixo. . . . . . . . . . . 11

2.6 Média temporal do coeficiente de arrasto. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Envelope de resultados para os coeficientes fluidodinâmicos. . . . . . 13

2.8 Esquema para explanação do experimento. . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Apresentação dos resultados do experimento. . . . . . . . . . . . . . . 18

2.10 Diferentes respostas para alta e baixa razão mássica. . . . . . . . . . 20

3.1 Esquema geral para Quantificação de Incertezas. . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Esquema detalhado para Quantificação de Incertezas. . . . . . . . . . 30

4.1 Esquema do acoplamento fluido-estrutura para VIV. . . . . . . . . . . 38

4.2 Ajuste dos parâmetros do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Nós de diferentes níveis hierárquicos de grides esparsos. . . . . . . . . 46

4.4 Esquema para o algoritmo elaborado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Estudo da condição inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Simulação da quantidade de interesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Resposta temporal distante da zona de sincronização. . . . . . . . . . 54

5.4 Resposta temporal próxima da zona de sincronização. . . . . . . . . . 55

5.5 Resposta temporal na zona de sincronização. . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Resultados experimentais para m∗ = 320 e (m∗ + Cm)ζ = 0,251. . . . 56

5.7 Resultados para a simulação do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.8 Envelope de resultados devido a velocidade de corrente incerta. . . . . 60

5.9 Média e variabilidade dos resultados devido a U . . . . . . . . . . . . . 61

5.10 Função densidade de probabilidade para u∗ = 4,7677. . . . . . . . . . 62

5.11 Funções densidade de probabilidade devido a U . . . . . . . . . . . . . 63

x

5.12 Proposta de ajuste para os parâmetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.13 Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a κ(θ). . . . . . . 65

5.14 Média e variabilidade de A∗ devido a κ(θ). . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.15 Funções densidade de probabilidade devido a κ(θ). . . . . . . . . . . . 66

5.16 Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a ε(θ). . . . . . . 67

5.17 Média e variabilidade de A∗ devido a ε(θ). . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.18 Funções densidade de probabilidade devido a ε(θ). . . . . . . . . . . . 68

5.19 Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a κ(θ) e ε(θ). . . 70

5.20 Média e variabilidade de A∗ devido a κ(θ) e ε(θ). . . . . . . . . . . . 70

5.21 Funções densidade de probabilidade devido a κ(θ) e ε(θ). . . . . . . . 71

xi

Lista de Tabelas

5.1 Valores nominais adotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Comparação entre os métodos de MC e CE . . . . . . . . . . . . . . . 58

xii

Capítulo 1

Introdução

A ciência moderna tem como precursores Descartes, Galileu e Newton, que intro-

duziram o rigoroso formalismo matemático na Física. De acordo com esta visão, o

modelo de um fenômeno físico pode ser idealizado como uma representação mate-

mática abstrata através de um conjunto de equações, cuja análise e solução buscam

reproduzir observações experimentais. Estes modelos foram utilizados por cientis-

tas para entender e criar as leis da física. Nos últimos tempos, este conceito se

desenvolveu e a elaboração de modelos se tornou uma ferramenta indispensável aos

engenheiros para projetar e fabricar produtos.

Tendo isto em vista, presencia-se uma revolução causada pela Simulação Com-

putacional. A crescente disponibilidade de recursos computacionais e a criação de

algoritmos mais velozes permitem um maior refinamento dos modelos computaci-

onais promovendo a diminuição dos erros numéricos nas simulações de problemas

de Engenharia. Como resultado, estes erros já atingiram níveis aceitáveis de pre-

cisão para problemas reais da indústria. Entretanto, os modelos não são capazes

de representar totalmente a complexidade dos fenômenos físicos. De fato, os mode-

los matemáticos estão sempre sujeitos à simplificações e a algum tipo de validação

utilizando resultados experimentais na qual sempre estão presentes incertezas nas

medições. Além do mais, a estimativa dos dados de entrada para os modelos também

podem carregar incertezas.

Se a resposta de um modelo é sensível às mudanças nos dados de entrada, até

mesmo pequenas variações nestes dados podem causar efeitos significativos nos re-

sultados. Fato este que pode acarretar em uma grande perda de desempenho em

projetos altamente otimizados. Os sistemas dinâmicos não-lineares com soluções

descontínuas e comportamentos instáveis podem ser altamente sensíveis à varia-

bilidade dos parâmetros de entrada. Este é o caso dos problemas de interação

fluido-estrutura. Como agravante, estes problemas são conhecidos por amplificar

variabilidade com o decorrer do tempo de integração [1]. Como consequência, o

efeito das incertezas podem causar mais impacto do que os erros da solução do

1

modelo matemático nas simulações para predizer o comportamento das interações

fluido-estrutura. Então, para obter maior credibilidade em um modelo para predição

de um fenômeno de interação fluido-estrutura é possível realizar uma Quantificação

de Incertezas.

1.1 Motivação

Grande parte dos esforços realizados na área de interação fluido-estrutura é dedicado

ao estudo de Vibrações Induzidas por Vórtices (VIV). As áreas que apresentam maior

interesse na compreensão do fenômeno de VIV são as de projeto com aplicação

hidrodinâmica e hidroacústica [2].

Uma das áreas que faz uso destas aplicações é a indústria do petróleo. O interesse

está voltado para modelar o fenômeno de VIV em estruturas marítimas, que serão

utilizados para explorar reservas de hidrocarbonetos em grandes profundidades [3].

Entre os componentes estruturais essenciais para garantir a produção e a ex-

ploração do petróleo sujeitos às VIV estão: os risers de perfuração, os risers de

completação das plataformas de perfuração, os risers de produção dos sistemas flu-

tuantes de produção, as linhas de ancoragem, os tendões nas plataformas de pernas

tracionadas e os dutos submarinos. Algumas destas estruturas estão esquematizados

na Fig. 1.1.

Figura 1.1: Estruturas marinhas sujeitas as VIV [4].

As correntes marítimas são geralmente irregulares, não-uniformes e multidire-

cionais. Entretanto, em lâmina de água ultraprofunda é comum a existência de

2

correntes constantes em uma única direção. Como consequência, aumenta a chance

de que estas estruturas venham a sofrer os efeitos das VIV [5].

Os projetos para a indústria do petróleo lidam com elementos extremamente

caros e sofisticados. Algumas empresas tem como objetivo a exploração de petróleo

em lâmina de água cada vez mais profunda satisfazendo condições de redução de

custos. O processo de otimização destes elementos estruturais se torna delicado

e a quantificação das incertezas presentes no projeto é essencial para garantir a

credibilidade nos modelos utilizados. Recentemente, a British Petroleum estimou

que 10% do valor de um projeto de estruturas offshore atuando em águas profundas

é destinado a evitar as VIV [3].

A principal razão para isto é que o fenômeno das VIV é naturalmente não-linear,

autolimitado, autoexcitado e multidimensional. Essas características se apresentam

na forma de um escoamento complexo causado pela existência de duas camadas

limites instáveis gerando vórtices. As forças fluidodinâmicas exercidas no corpo de-

vido ao desprendimento de vórtices são alternantes e podem causar fadiga e eventual

falha [6, 7].

1.2 Revisão da literatura

O problema da vibração de um cilindro devido às forças exercidas por uma es-

teira de vórtices remonta aos trabalhos de Strouhal em 1878 e Rayleigh em 1879.

Desde então, devido a grande complexidade do fenômeno, diversos trabalhos foram

publicados. Entretanto, a Quantificação de Incertezas nos modelos de interação

fluido-estrutura através da modelagem estocástica é recente. Consequentemente, o

número de publicações abordando este tema é reduzido.

1.2.1 Vibrações Induzidas por Vórtices

As primeiras publicações identificando o fenômeno das VIV foram feitos por Strouhal

em aeroacústica [8] e por Rayleigh sobre as oscilações das cordas de violino sujeitas

ao escoamento de vento [9]. Entretanto, Birkhoff e Zarantonello, [10] apud [11], fo-

ram os primeiros a sugerir um modelo de oscilador para a esteira de desprendimento

de vórtices. Bishop e Hassan, [12] apud [11], realizaram experimentos em um cilin-

dro oscilando harmonicamente na direção transversal ao escoamento, cobrindo uma

faixa de número de Reynolds de 5850 a 10800. Quando a frequência de resposta

na direção transversal ao escoamento se aproximava da frequência de excitação, a

esteira respondia na frequência do movimento caracterizando uma sincronização.

Baseados nestes experimentos, Bishop e Hassan propuseram que uma esteira sin-

cronizada poderia ser modelada através de um simples oscilador forçado. A maioria

3

dos modelos de esteira resulta em uma equação diferencial ordinária não-linear que,

devidamente integrada no tempo, fornece o histórico de uma variável interna do

escoamento.

Os dois tipos de osciladores que foram mais utilizados, até o momento, para

modelar a força de sustentação exercida pelo desprendimento de vórtices são: o

oscilador de Rayleigh e o oscilador de van der Pol [13]. Ambos são osciladores

autoexcitados, autolimitados e não-lineares de ordem cúbica. Entretanto, em [14],

concluiu-se que o oscilador de van der Pol apresenta melhores características para

modelar a força de sustentação exercida em um cilindro fixo. Este oscilador reproduz

um ângulo de fase entre o componente principal da força de sustentação e sua terceira

harmônica que é próximo ao obtido através de simulações numéricas das equações

de Navier-Stokes.

Em [15], o problema das VIV foi modelado acoplando o oscilador de van der Pol

à um oscilador linear, para modelar a interação entre a esteira de vórtices e uma

estrutura com suportes elásticos. Três formas de acoplamento entre a estrutura e a

esteira de vórtices foram utilizados: deslocamento, velocidade e aceleração. O estudo

comparou os resultados numéricos do modelo com alguns resultados experimentais

para um cilindro forçado e concluiu-se que o acoplamento através da aceleração é o

mais apropriado.

1.2.2 Quantificação de Incertezas

A modelagem e simulação numérica de sistemas complexos está em desenvolvimento

constante em vários campos da Engenharia e Ciências. As simulações numéricas mi-

nimizam os gastos em experimentos que, muitas vezes, são inviáveis nas primeiras

etapas do projeto. Entretanto, estas devem ser cuidadosamente planejadas, realiza-

das e verificadas para fornecer informações úteis e confiáveis em relação ao sistema

em estudo. De fato, a credibilidade na computação realizada é um fator essencial

para a interpretação e análise dos resultados. Além do mais, as simulações inerente-

mente envolvem erros e incertezas associadas as etapas de modelagem do problema

[16].

A Quantificação de Incertezas envolve a caracterização, estimação, propagação e

análise de qualquer tipo de incerteza em um problema de decisão complexa. Qual-

quer que seja o caso, as fontes de incerteza são, geralmente, classificadas em dois

tipos: epistêmicas ou aleatórias [17]. A presença de incertezas pode ser modelada

no sistema através da reformulação das equações governantes. Ou seja, um sistema

governado por equações diferenciais passa a ser governado por equações diferenciais

estocásticas.

Um dos objetivos dos estudos na área da Quantificação de Incertezas é desenvol-

4

ver e avaliar métodos e algoritmos que reflitam de forma precisa a propagação das

incertezas através de modelos. Para esta finalidade, o método de Monte Carlo (MC)

é geralmente empregado, mas é computacionalmente caro [18]. A análise de sensibi-

lidade é mais econômica, mas é menos robusta e depende fortemente do modelo [19].

A técnica mais popular para modelar sistemas estocásticos em Engenharia é pelo

método de perturbação, onde todas as quantidades estocástica são expandidas em

torno da média através de séries de Taylor [13]. No entanto, essa abordagem é limi-

tada à pequenas perturbações. A modelagem estatística Bayesiana é empregada em

diferentes aplicações e conhecida por lidar com incertezas subjetivas. Baseada no te-

orema de Bayes ela relaciona a predição com dados observados [20]. A expansão em

Caos Polinomial (CP) e suas variações são métodos não-estatísticos que receberam

atenção especial nos últimos anos por fornecerem uma representação hierárquica

para processos estocásticos [21]. Entretanto, o método é intrusivo e a expansão dos

termos em CP se torna complexa conforme aumentam o número de variáveis esto-

cásticas. Já o método de Colocação Estocástica (CE) alia a não-intrusividade dos

métodos de amostragem com uma aproximação polinomial na tentativa de aumentar

a taxa de convergência [22].

1.2.3 Quantificação de Incertezas em Vibrações Induzidas

por Vórtices

O fenômeno de VIV apresenta uma interação fluido-estrutura complexa. O fenômeno

é geralmente menos compreendido do que outros processos de forçamento marinho.

Então, a predição das VIV é considerada relativamente menos precisa [23]. Contudo,

existem poucos trabalhos visando a Quantificação de Incertezas nas predições de

VIV.

As incertezas em problemas de interação fluido-estrutura foram modelados atra-

vés do método de expansão em CP em [21, 24, 25]. O algoritmo proposto acopla um

oscilador de segunda ordem com incertezas nos valores de rigidez e amortecimento

às equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível para capturar o fenô-

meno de VIV. A partir de uma simulação utilizando o número de Reynolds igual

a 100 foram apresentadas margens de incertezas para a distribuição da pressão na

superfície de um cilindro.

A primeira tentativa de aplicar técnicas recentes de CE para VIV em cilindros

com suportes elásticos abordou um problema bidimensional. Este trabalho teve

como objetivo capturar a sensibilidade da amplitude e frequência de vibração de-

vido às variações nas frequências naturais da estrutura nas direções alinhadas e

transversais do escoamento [26].

Em [6], os autores utilizaram o oscilador de van der Pol com parâmetros randô-

5

micos para modelar as VIV em um riser e prever sua vida em fadiga resultante. No

total foram consideradas quatro variáveis incertas: duas associadas a parâmetros de

calibração do modelo e duas a coeficientes hidrodinâmicos. O modelo proposto foi

capaz de fornecer uma estimativa da vida em fadiga ao longo do riser.

1.3 Objetivos do presente trabalho

O presente trabalho, que se integra na área de Quantificação de Incertezas recen-

temente nucleada no PEM-COPPE, objetiva o desenvolvimento e aplicação de mé-

todos robustos e eficientes para Quantificação de Incertezas nas previsões das VIV.

Através da Quantificação de Incertezas busca-se obter maior credibilidade em um

modelo de predição para VIV.

1.4 Apresentação dos capítulos

Esta dissertação fará uso de conceitos de duas áreas distintas. Os assuntos abordados

em ambas as áreas estão em desenvolvimento acelerado: A área de Quantificação

de Incertezas devido ao aumento do emprego da simulação computacional na in-

dústria e a área de VIV devido ao interesse da exploração de hidrocarbonetos em

lâminas de água ultraprofundas. Para o melhor entendimento dos resultados que

serão apresentados os capítulos se dividem da seguinte forma:

No Capítulo 2 são apresentadas as informações referentes ao fenômeno das VIV.

Atenção especial é dedicada aos assuntos necessários para a interpretação dos resul-

tados. De forma que, o foco é dado sobre a fenomenologia presente nas VIV.

No Capítulo 3 é apresentada uma metodologia básica para a Quantificação de

Incertezas. Os assuntos são abordados do ponto de vista da prática de Engenha-

ria, em especial na modelagem de sistemas mecânicos. São apresentados conceitos

referentes à caracterização e métodos de propagação de incertezas em modelos.

No Capítulo 4 o problema proposto é detalhado. As equações governantes adota-

das para a predição das VIV, assim como do método de propagação das incertezas,

são apresentadas. Também é realizada uma discussão sobre as fontes de incertezas

no modelo.

O Capítulo 5 apresenta os resultados de testes e simulações para o estudo da

Quantificação de Incertezas em VIV. As características e o desempenho de um mo-

delo fenomenológico baseado no oscilador de van der Pol são discutidas a partir de

informações relevantes obtidas no processo de Quantificação de Incertezas.

O Capítulo 6 apresenta as conclusões do estudo e propostas para trabalhos fu-

turos.

6

Capítulo 2

Vibrações Induzidas por Vórtices

O estudo de VIV emprega conceitos de um grande número de disciplinas. Os proble-

mas mais corriqueiros integram idéias da Mecânica dos Fluidos, Mecânica Estrutu-

ral e Vibrações. Porém, na tentativa de descrever o fenômeno para problemas mais

complexos os estudos podem incorporar assuntos da Mecânica dos Fluidos Com-

putacional, Demodulação Complexa e Estatística. As áreas que apresentam maior

interesse na compreensão do fenômeno de VIV são as de projetos voltados para

aplicações fluidodinâmicas [27].

O problema mais estudado envolve a interação de um corpo rígido, geralmente um

cilindro circular, submetido a um escoamento tridimensional. Os graus de liberdade

do cilindro circular são geralmente reduzidos de seis para um. O escoamento é

aproximado como unidimensional. As restrições impostas refletem a complexidade

de se modelar um movimento autolimitado e autoexcitado.

Para entender a mecânica das VIV são empregadas diferentes técnicas que se

complementam. Algo semelhante ao que ocorre no estudo da Mecânica dos Fluidos,

onde um grande número de parâmetros devem ser aproximados, eliminados por

otimização ou variados para que seja possível obter uma solução numérica. Neste

processo, não apenas os dados analíticos, heurísticos e experimentais, mas também

a intuição, devem ser utilizados para avançar no entendimento do fenômeno.

As características do fenômeno das VIV se apresentam na forma de um escoa-

mento complexo causado pela existência de duas camadas limites opostas instáveis

gerando vórtices com dimensões da escala de grandeza do diâmetro do cilindro cir-

cular. Muitas características já estão bem estabelecidas, porém muitas descrições

ainda são empíricas.

As consequências das incertezas sobre certos aspectos do fenômeno e a incapa-

cidade de predizer amplamente a resposta dinâmica da interação fluido-estrutura

são aparentes em aplicações da indústria. Pela incapacidade de predizer de forma

precisa a resposta dinâmica de um sistema submetido a VIV, se faz necessário ins-

trumentar e controlar parâmetros de entrada e saída e o uso de altos fatores de

7

segurança.

Em resumo, é interessante perceber que um mecanismo tão comum como o des-

prendimento de vórtices dá origem a um fenômeno tão complexo com as VIV. Ainda

assim, é mais vantajoso tentar predizer e evitar as VIV do que suprimi-las mudando

o formato do corpo submerso, pois o cilindro circular é um dos formatos mais comuns

nas aplicações da Engenharia.

2.1 Fluidodinâmica ao redor de um cilindro cir-

cular fixo

As características de um escoamento ao redor de um cilindro circular fixo são geral-

mente relacionadas à quantidade adimensional proveniente da razão entre as forças

de inércia e as forças viscosas conhecida como número de Reynolds

Re =du

ν, (2.1)

no qual d é o diâmetro do cilindro circular, u é a velocidade do escoamento e ν é

a viscosidade cinemática do fluido. Este parâmetro adimensional se mostra interes-

sante pois as características do escoamento apresentam grandes mudanças associadas

ao valor do número de Reynolds. As mudanças das características representadas

esquematicamente na Fig. 2.1 são o resultado da interação entre duas regiões do

escoamento.

Figura 2.1: Características do escoamento ao redor de um cilindro circular fixo emcorrente uniforme [28].

Estas duas regiões são chamadas de esteira e camada limite e estão esquema-

tizadas na Fig. 2.2. O tamanho da região da esteira pode ser comparada com a

dimensão do diâmetro do cilindro circular. O mesmo não ocorre para a região da

camada limite, que apresenta extensão muito menor do que o diâmetro do cilindro.

8

Figura 2.2: Esquema evidenciando as duas regiões de escoamento próximas ao ci-lindro circular [28].

As características do escoamento ao redor de um cilindro circular em função do

número de Reynolds se apresentam da seguinte forma [28]: Para a faixa em que o

número de Reynolds Re < 5 (Fig. 2.1 (a)) não ocorre o descolamento da camada

limite. Para a faixa em que o número de Reynolds 5 < Re < 40 (Fig. 2.1 (b))

surge um par de vórtices estacionários simétricos na região da esteira. A partir do

momento em que o número de Reynolds Re > 40 (Fig. 2.1 (c)) a esteira se torna

instável e apresenta como característica principal a presença de vórtices alternantes.

Este fenômeno é chamado de desprendimento de vórtices. Consequentemente, a es-

teira tem a aparência de uma esteira de vórtices como na Fig. 2.3, também chamada

de esteira de von Kármán.

Figura 2.3: Visualização da esteira de von Kármán [29].

Após o início do desprendimento de vórtices o número de Reynolds ainda é

associado à algumas faixas com escoamentos apresentando camadas limites instáveis

com características peculiares. Entretanto, atualmente o interesse prático nesta

definição é irrelevante e não existe um consenso entre autores para definir uma

9

terminologia adequada.

O fenômeno de desprendimento de vórtices é muito importante no estudo da

dinâmica das VIV. Como visto na seção anterior, o desprendimento de vórtices

pode ser observado em escoamentos ao redor de um cilindro circular fixo para os

números de Reynolds em que Re > 40. Para estes valores de número de Reynolds,

a camada limite junto a superfície do cilindro irá descolar devido ao gradiente de

pressão causado pelas características da esteira a jusante do cilindro circular.

Com a ajuda da Fig. 2.4, é possível descrever mais algumas características do

mecanismo do desprendimento de vórtices. O vórtice V1 na Fig. 2.4 (a) se torna

forte o bastante para mover o vórtice V2 ao longo da extensão da esteira. Supondo

que a vorticidade no vórtice V1 é no sentido horário, enquanto a vorticidade do

vórtice V2 é no sentido anti-horário. A aproximação de uma vorticidade no sentido

oposto irá acabar com a vorticidade do vórtice V1 a partir da sua camada limite.

Este é o instante no qual o vórtice V1 será desprendido.

Seguindo o mecanismo, um novo vórtice V3 será formado na Fig. 2.4 (b). Agora o

vórtice V2 assumirá o papel desempenhado anteriormente pelo vórtice V1. O vórtice

V3 será sugado e provocará o desprendimento do vórtice V2. Este processo irá se

repetir de forma alternada entre os lados do cilindro.

Figura 2.4: Mecanismo de desprendimento de vórtices [28].

Como implicação do mecanismo exposto acima, o desprendimento de vórtices

ocorre quando as duas camadas de cisalhantes interagem. Se está interação for

inibida de alguma forma, e.g., colocando uma placa a jusante do cilindro circular, o

desprendimento de vórtices pode ser impedido.

Apesar das características complexas do escoamento de um fluido ao redor de

um cilindro circular fixo, o número de Strouhal aparece como um parâmetro adi-

10

mensional robusto,

St =fdvd

u, (2.2)

onde fdv é a frequência de desprendimento de vórtices ou frequência de Strouhal.

Esta robustez se dá ao fato de que mesmo as simulações numéricas ou experimentos

mais grosseiros podem predizer o número de Strouhal com precisão suficiente [27].

O número de Strouhal pode ser visto em função do número de Reynolds como na

Fig. 2.5. Esta curva foi levantada a partir de dados experimentais para o escoamento

de um fluido ao redor de um cilindro fixo por [30–32] apud [28].

Figura 2.5: Número de Strouhal para um cilindro circular fixo [28].

O fenômeno do desprendimento de vórtices aparece a partir do número de Rey-

nolds Re ≈ 40 com o número de Strouhal St ≈ 0,1. Este valor gradualmente

aumenta com o número de Reynolds atingindo o valor St ≈ 0,2 e apresenta pouca

dispersão na faixa conhecida como subcrítica, em que o número de Reynolds assume

valores de Re ≈ 300 até Re ≈ 3× 105. Nesta faixa é possível dizer que o desprendi-

mento de vórtices ocorre de forma regular e bem definida. Aumentando o número

de Reynolds, a frequência de desprendimento de vórtices apresentará um salto, de-

vido ao comportamento da camada limite que passa de laminar para turbulenta, e

o número de Strouhal passa a ter o valor de aproximadamente 0,45. Este alto valor

é mantido durante uma faixa de número de Reynolds e volta a cair exibindo um

comportamento peculiar.

2.1.1 Forças resultantes

Como foi visto anteriormente, o fenômeno de desprendimento de vórtices se mani-

festa para escoamentos ao redor de cilindros circulares para valores em que Re > 40.

Como consequência, a distribuição de pressão ao redor do cilindro passa por varia-

ções durante o processo de desprendimento de vórtices. Isto resulta na variação das

11

componentes da força atuando no cilindro circular fixo.

A partir da interação entre o escoamento e o cilindro circular fixo irá surgir uma

força resultante motivada pelos efeitos da pressão e viscosidade. A força resultante

é geralmente decomposta em uma direção alinhada e em uma direção transversal

à velocidade do escoamento denominadas, respectivamente, força de arrasto e força

de sustentação.

A média temporal da força de arrasto pode ser obtida a partir da integração no

tempo dos efeitos citados anteriormente. De forma mais simples, devido à simetria

do escoamento, a média temporal da força de sustentação tende a ser nula. Entre-

tanto, a força de sustentação instantânea exercida no cilindro circular não é nula e

pode atingir valores relativamente altos.

A média temporal da força de arrasto pode ser caracterizada como

Fa =12ρdu2Ca, (2.3)

onde, ρ é a densidade do fluido, Ca é a média temporal do coeficiente de arrasto e

pode ser visto como uma função do número de Reynolds. Os resultados experimen-

tais obtidos para mostrar esta relação para um cilindro circular fixo estão expostos

na Fig. 2.6.

Figura 2.6: Média temporal do coeficiente de arrasto para um cilindro circular fixoem função do número de Reynolds [28].

A média temporal para o coeficiente de arrasto diminui com o crescente número

de Reynolds até que este atinja o valor de Re ≈ 300. Entretanto a partir deste valor,

a média temporal do coeficiente de arrasto assume um valor praticamente constante

de Ca ≈ 1,2 até que o número de Reynolds atinja Re ≈ 3× 105. Após este valor, o

coeficiente de arrasto médio sofre uma queda abrupta passando a valer Ca ≈ 0,25.

12

Durante o desprendimento de vórtices, o gradiente de pressão atuando em um

cilindro fixo é dependente do tempo. Consequentemente, a força resultante e os

coeficientes fluidodinâmicos também variam com o tempo. Para expor os dados,

esta dependência temporal pode ser removida tomando o valor médio quadrático

dos resultados dentro de um intervalo de tempo. Além da dependência temporal,

experimentalmente observa-se uma variabilidade para os valores do gradiente de

pressão, o que pode ser descrito a partir de uma abordagem estatística como um

comportamento aleatório. A Fig. 2.7 apresenta uma área hachurada contendo os

resultados para o valor médio quadrático dos coeficientes fluidodinâmicos, onde C ′aé o coeficiente de arrasto instantâneo e C ′s é o coeficiente de sustentação instantâneo.

Figura 2.7: Envelope de resultados para o valor médio quadrático dos coeficientesde arrasto e de sustentação instantâneos [28].

Os coeficientes fluidodinâmicos são obtidos através das equações

F ′a =12ρdu2C ′a, F

′

s =12ρdu2C ′s, (2.4)

onde F ′a é a força de arrasto instantânea e F ′s é a força de sustentação instantânea.

13

Estas forças são parte da decomposição das forças fluidodinâmicas em uma com-

ponente média mais uma componente de variação. Logo, no caso do coeficiente de

sustentação Cs = C ′s.

2.2 Dinâmica da interação fluido-estrutura

Foi visto nas seções anteriores que o escoamento de um fluido ao redor de um cilindro

circular fixo provoca o fenômeno de desprendimento de vórtices para Re > 40 resul-

tando em variações de componentes da força agindo sobre o mesmo. Supondo que

uma estrutura seja considerada um cilindro circular rígido com suportes elásticos

ou um cilindro circular flexível, a variação da força de sustentação provoca vibra-

ções transversais, enquanto a variação da força de arrasto acarreta em vibrações

no sentido da velocidade de corrente. Esta interação fluido-estrutura é complexa

e motiva os estudos sobre as VIV. Algumas revisões mais recentes sobre o assunto

foram apresentadas em [27, 33].

A partir deste momento é considerado a dinâmica linear de uma estrutura flexível

com 1 grau de liberdade na direção y. As forças atuando na estrutura de massa

me são a força restauradora −ky, a força dissipadora cey e uma força externa F ,

onde (·) significa a derivada com relação ao tempo t, ce é o amortecimento da

estrutura e k é a rigidez da estrutura. Toda as grandezas são consideradas por

unidade de comprimento. Em se tratando de interação fluido-estrutura, o estudo do

amortecimento se torna importante para o entendimento do fenômeno.

2.2.1 Estruturas amortecidas

A dissipação de energia de um estrutura é conhecida como amortecimento. Nas

VIV o amortecimento é responsável por limitar a amplitude de vibração. Exis-

tem basicamente três mecanismos de amortecimento: o amortecimento estrutural,

o amortecimento histerético e o amortecimento fluidodinâmico. O amortecimento

estrutural é gerado através do contato entre partes de uma estrutura. O amorteci-

mento histerético é causado pela dissipação de energia interna em materiais, e.g., os

polímeros apresentam grande amortecimento histerético.A partir desse ponto, será

utilizado o termo amortecimento estrutural para referir-se aos efeitos combinados

do amortecimento estrutural e do amortecimento histerético. O amortecimento flui-

dodinâmico é o resultado da dissipação de energia causada pelo movimento relativo

entre a estrutura e o fluido na qual ela se encontra em imersão.

Em VIV, a caracterização experimental do amortecimento estrutural e do amor-

tecimento fluidodinâmico se torna complexa, pois é muito difícil isolar os efeitos

de cada mecanismo de amortecimento. Para isolar o amortecimento estrutural é

14

possível idealizar a situação na qual a estrutura vibra no vácuo. Somente neste

caso, seria possível estabelecer uma metodologia experimental para avaliar o amor-

tecimento estrutural através do fator de amortecimento, que é proporcional à razão

entre a energia dissipada por ciclo e a energia total da estrutura [28].

Para se aproximar do caso da estrutura sujeita a VIV considera-se a estrutura

amortecida imersa em um fluido parado submetida a vibrações livres. O compor-

tamento será parecido com o obtido para a estrutura no vácuo. No entanto, o

amortecimento agora será composto do amortecimento estrutural somado ao amor-

tecimento fluidodinâmico.

Quando uma estrutura vibra imersa em um fluido parado, ela estará submetida

à uma força fluidodinâmica geralmente modelada pela equação de Morison [34],

FM =12ρCaAf(−r)| − r|+ Cmmfd(−r), (2.5)

onde Af é a área projetada no plano transversal à velocidade da estrutura, r é o

vetor de velocidades da estrutura, Cm é o coeficiente de massa adicionada e mfd é a

massa de fluido deslocada pela estrutura.

Para facilitar a análise do amortecimento fluidodinâmico é possível realizar al-

gumas simplificações. Para o caso em que a estrutura pode ser modelada como um

cilindro circular, a área projetada é Af = d e a massa de fluido deslocada pela es-

trutura é mfd = ρπd2/4. Lembrando que todas as quantidades estão definidas por

unidade de comprimento.

O número de estudos experimentais sobre cilindros livres para vibrar em ambas

direções alinhada e transversal à velocidade do escoamento é reduzido. Entretanto,

alguns resultados já apresentaram que a amplitude das vibrações alinhadas ao escoa-

mento apresentam amplitude máxima muito menor do que das vibrações transversais

[35, 36]. Geralmente, para simplificar o problema, o sistema mecânico é reduzido

à um grau de liberdade na direção transversal ao escoamento y. Desta forma, a

Eq. 2.5 é simplificada para,

FM =12ρCad(−y)| − y|+ ρCmπ

d2

4(−y). (2.6)

O segundo termo do lado direito da equação pode ser escrito como −mf y, onde

mf é a massa adicionada, ou seja,

mf = ρCmπd2/4. (2.7)

A partir das hipóteses e simplificações adotadas, a equação do movimento de

15

estrutura vibrando imersa em um fluido parado pode ser reescrita como

(me +mf )y + cey +12ρCady|y|+ ky = F. (2.8)

A análise da dinâmica descrita pela Eq. 2.8 revela que: a massa do sistema

mecânico é composta por uma massa da estrutura mais uma massa adicionada

devido a imersão no fluido parado e surge uma nova força não-linear que afeta o

amortecimento da estrutura.

2.3 VIV em um cilindro circular

Nas seções anteriores foram apresentados alguns resultados obtidos para a interação

fluido-estrutura onde: ou um cilindro circular fixo é exposto ao escoamento de um

fluido ou o cilindro circular livre é imerso em um fluido parado. Entretanto, o

fenômeno de VIV ocorre em estruturas livres imersas em fluidos que apresentam

velocidade de corrente no plano transversal da estrutura.

O estudo do fenômeno das VIV baseia-se fortemente em experimentos, apesar

do grande esforço dedicado ao entendimento dos mecanismos envolvidos no fenô-

meno. Devido a esta dependência experimental, alguns parâmetros adimensionais

foram adotados para facilitar a apresentação e interpretação dos dados de diferentes

publicações.

Um parâmetro que assume grande relevância é a velocidade reduzida dada por

u∗ =u

fnd, (2.9)

onde fn é a frequência natural do sistema, ou seja, a frequência natural da estrutura

imersa no fluido. Os resultados mais representativos do fenômeno das VIV são

apresentados a partir da amplitude reduzida de vibração a∗ = a/d e da frequência

reduzida de vibração f ∗ = fe/fn, onde a é a amplitude vibração da estrutura e fe é a

frequência de vibração da estrutura. Outros parâmetros adimensionais importantes

já citados anteriormente são: o número de Reynolds dado pela Eq. 2.1 e o número

de Strouhal dado pela Eq. 2.2. O parâmetro de razão mássica, que relaciona a massa

da estrutura com a massa de fluido deslocada pela estrutura, é dado por

m∗ =meπρd2/4

. (2.10)

De forma análoga, o fator de amortecimento reduzido relaciona o amortecimento

16

estrutural com o amortecimento fluidodinâmico através de

ζ =ce

2√

k(me +mf ). (2.11)

Para melhor entender o fenômeno das VIV considera-se a Fig. 2.8. Imagina-se

que a velocidade do escoamento é aumentada em pequenos incrementos, começando

do zero. Em cada incremento, a observação dura até que o sistema entre em estaci-

onariedade, ou seja, que o sistema apresente oscilações com alguma periodicidade.

Para cada velocidade de corrente u, as seguintes quantidades são observadas: a

frequência de desprendimento de vórtices fdv, a frequência de vibração da estrutura

fe e a amplitude de vibração a. As quantidades medidas são apresentadas em termos

de a∗ e f ∗ e então comparadas em um gráfico como função da velocidade reduzida

u∗.

Figura 2.8: Esquema para explanação do experimento.

O resultado apresenta-se na forma de gráficos como os da Fig. 2.9. No diagrama

de frequências, a linha contínua f ∗ = 1 marca o valor para quando a frequência de

oscilação é igual à frequência natural do sistema e a linha tracejada marca a frequên-

cia de Strouhal assumindo St = 0,2. O marcador + é utilizado para a frequência de

vibração da estrutura e o marcador representa a frequência de desprendimento de

vórtices.

Assim que a velocidade do escoamento é aumentada a partir do zero, não é possí-

vel observar nenhuma vibração na direção transversal até que a velocidade reduzida

atinja o valor u∗ ≈ 4. Neste ponto, é possível observar vibrações de pequenas am-

plitude. A frequência de vibração da estrutura ocorre num valor muito próximo

à frequência natural do sistema, f ∗ ≈ 1, enquanto o desprendimento de vórtices

ocorre na frequência de Strouhal. Quando u∗ ≈ 5 a frequência de desprendimento

de vórtices abandona a frequência de Strouhal e entra em sincronia com a frequência

natural do sistema.

Esta característica se mantém por uma faixa de velocidades. Nesta faixa pode-se

dizer que a frequência de desprendimento de vórtices deixa de ser controlada pela

17

Figura 2.9: Apresentação dos resultados do experimento [28].

frequência de Strouhal e passa a ser controlada pela frequência de vibração da es-

trutura. Este fenômeno é conhecido como sincronização [28]. Outros termos como

ressonância ou captura da esteira também são utilizados. Durante este fenômeno

ocorre a sincronização de três frequências: a frequência de desprendimento de vór-

tices, a frequência de vibração da estrutura e a frequência natural do sistema. Isto

causa um impacto direto na ação da força transversal que, agora em fase com o

movimento da estrutura, provoca vibrações de grande amplitude.

Assim que a velocidade é aumentada acima da faixa de sincronização, u∗ ' 7,

a frequência de desprendimento de vórtices sai de sincronia com a frequência de

vibração da estrutura, apresentando um salto abrupto para assumir a frequência de

Strouhal novamente. Nota-se que a frequência de vibração da estrutura permanece

sendo muito próxima à frequência natural do sistema, porém a amplitude de vibração

é reduzida devido à falta de sincronia entre a força de sustentação e o movimento

do cilindro circular. Aumentando ainda mais a velocidade de corrente a amplitude

de vibração se torna cada vez menor.

Imaginando que o experimento seja feito de forma similar exceto pela veloci-

dade de corrente, que agora será inicialmente alta e então decrescida. Pela Fig. 2.9

observa-se um fenômeno histérico nos resultados para a amplitude de vibração in-

dicado pelas setas. Este mecanismo está ligado a estrutura da esteira, ou seja, da

18

maneira como são dispostos os vórtices. De fato, a entrada e a saída do sincronismo

aparece associado a mudanças no padrão de desprendimento de vórtices na esteira

[37].

O desprendimento de vórtices a jusante de um cilindro circular fixo como na

Fig. 2.1 apresenta, basicamente, um único padrão de esteira de vórtices. Já para

o caso em que o cilindro é submetido à vibrações controladas ou livres, os padrões

observados se apresentam na forma de vórtices simples S e pares de vórtices P,

dando origem aos padrões de vórtices 2S, 2P e P + S, que são os principais padrões

perto da região de sincronização. Recentemente, um estudo com resolução mais alta

identificou uma região onde dois modos de desprendimento de vórtices se superpõem,

chamado de 2P0 [38].

Os estudos sobre os padrões de desprendimento de vórtices são motivados pelo

fato de que mudanças no comportamento da esteira podem ser associados ao fenô-

meno da sincronização [37]. Um resultado interessante obtido através destes estudos

é que as vibrações forçadas podem criar padrões do tipo P + S, que não é observado

em vibrações livres [33]. Isto demonstra a complexidade dos fenômenos físicos en-

volvidos e leva à uma discussão sobre a validade dos dados experimentais obtidos

através de vibrações forçadas para estimar vibrações livres [27].

A extensão da faixa de sincronização varia com as propriedades do sistema. A

amplitude de vibração é limitada pelo amortecimento fluidodinâmico. A amplitude

máxima de vibração durante a sincronização já observada para os casos de um

cilindro circular é de aproximadamente o seu diâmetro [28].

Uma das características mais notáveis e de interesse prático nas VIV é a sin-

cronização. Durante a sincronização, além das grandes amplitudes de vibração, o

desprendimento de vórtices ocorre na frequência de oscilação da estrutura ao invés

da frequência de Strouhal, ou seja, o movimento do corpo controla a frequência de

desprendimento de vórtices. A frequência de vibração da estrutura pode ser um

pouco diferente da frequência natural do sistema porque o processo de formação e

desprendimento de vórtices altera a massa adicionada à estrutura [27].

Embora os fatos citados acima sejam observados experimentalmente, a definição

da sincronização ainda é discutida na literatura [37]. A descrição dada acima é

característica para sistemas com alta razão mássica m∗ ≈ O(100). Entretanto, para

baixa razão mássicam∗ ≈ O(10) a sincronização pode ser observada para frequências

mais altas do que a frequência natural do sistema [39]. Portanto, definir o fenômeno

de sincronização a partir do valor frequência natural do sistema não é válido para

todos os valores de m∗. Uma definição mais apropriada diz que: a sincronização

ocorre quando a frequência de desprendimento de vórtices é próxima à frequência

de oscilação da estrutura [40].

Os sistemas com diferentes razões mássicas apresentam comportamentos muito

19

distintos em VIV. Um dos motivos para isto é que os sistemas com razões mássicas

mais altas são menos afetados pelas variações da massa adicionada.

As consequências diretas de sistemas com razão mássica baixa são maiores ampli-

tudes de vibração e faixa de sincronização mais extensa. O comportamento durante

a sincronização também se diferencia pela presença de um ramo de valores superiores

para amplitude [41].

A Fig. 2.10 apresenta esquematicamente as respostas de sistemas com alta e baixa

razões mássicas. Observa-se para razões mássicas altas a existência de dois ramos de

amplitudes, denomindados inicial e inferior. Entretanto, para razões mássicas baixas

existem três ramos de amplitude, denominados, inicial, superior e inferior. As setas

indicam histerese e I indica padrões de desprendimento de vórtices intermitentes.

Figura 2.10: Diferentes respostas para alta e baixa razão mássica [37].

Para razões mássicas altas, espera-se que o valor da frequência de vibração na sin-

cronização seja f ∗ ≈ 1. Entretanto, para razões mássicas muito baixas m∗ ≈ O(1),

a frequência de vibração na sincronização aumenta drasticamente. Uma expres-

são ad-hoc foi desenvolvida em [37] para prever a frequência de vibração durante a

sincronização

f ∗s =

√

m∗ + Cmm∗ − 0,54

, (2.12)

e para velocidade reduzida final da sincronização

u∗f = 9,25

√

m∗ + Cmm∗ − 0,54

. (2.13)

Estas expressões podem ser utilizadas para calcular a maior frequência e veloci-

dade reduzida atingida por um sistema no regime de sincronização a partir da razão

mássica m∗. Como consequência surge o conceito de massa crítica: m∗crit = 0,54.

Este valor foi comprovado experimentalmente em [42]. Para tanto, os suportes elásti-

cos do cilindro circular submetido as VIV foram retirados. Desta forma, a frequência

natural do sistema tende a zero, fn → 0, e a velocidade reduzida tende ao infinito,

20

u∗ → ∞. Observou-se que nestas condições persistiam vibrações de grande ampli-

tude e frequência elevada, caracterizando o sincronismo e a existência de uma valor

crítico para a razão mássica.

2.4 Métodos de predição

As predições de VIV compreendem uma grande variedade de métodos. Cada pro-

posta apresenta suas vantagens e limitações. A dificuldade na realização dos ensaios

experimentais faz com os que resultados obtidos a partir de diferentes métodos se-

jam comparados entre si. Ainda existem muitas discrepâncias entre as predições dos

modelos utilizados em VIV [43]. A seguir serão apresentados brevemente os métodos

de predição mais comuns.

2.4.1 Modelos fenomenológicos

Modelos fenomenológicos de predição das VIV fazem uso de ensaios experimentais

utilizando cilindros rígidos com movimentos forçados para caracterizar comporta-

mentos. Comparações entre estes modelos podem ser encontradas em [43, 44]. Um

dos modelos fenomenológicos mais comuns são os modelos de esteira.

Muitos modelos de esteira foram propostos recentemente na literatura [15, 45–

53]. Os modelos geralmente apresentam características de: serem autoexcitados e

autolimitados, a frequência natural da esteira é proporcional à velocidade do esco-

amento, de forma que a relação de Strouhal é satisfeita, a dinâmica da estrutura

interage com a esteira.

A característica comum a todos os modelos de esteira é a possibilidade de esco-

lher uma quantidade representativa para a esteira. Entretanto, existem diferenças

entre os mecanismos assumidos para acoplar esta variável interna da esteira com a

dinâmica da estrutura. Uma revisão sobre este assunto pode ser encontrada em [27].

Recentemente, o oscilador de van der Pol foi revisado para predições de VIV.

Os acoplamentos entre a esteira e a estrutura foi estudado em [15]. O modelo de

esteira proposto qualitativamente e, em alguns aspectos, quantitativamente repro-

duziu características das VIV observadas em experimentos para cilindros rígidos

com vibrações forçadas.

Os modelos de esteira são muito utilizados na simulação das VIV [6, 54]. Uma

das maiores vantagens das abordagens fenomenológicas, por causa da simplicidade

do modelo, é o pequeno custo computacional. Isto permite grandes estudos para-

métricos de VIV. Além do mais, em termos de alto número de Reynolds, é possível

obter a dependência dos coeficientes no número de Reynolds através de experimen-

tos. Isto caracteriza a ampla faixa de aplicação destes modelos. Por natureza, os

21

modelos fenomenológicos fazem uso de dados obtidos em experimentos simples para

predizer comportamentos em aplicações mais complexas.

A validação sistemática e a busca pelo entendimento físico dos mecanismos ele-

mentares que atuam nas VIV são as prioridades para estimar a faixa de aplicação

dos modelos fenomenológicos [50].

2.4.2 Mecânica dos Fluidos Computacional

Muito embora simulações numéricas bidimensionais empregando a Mecânica dos

Fluidos Computacional na predição das VIV possam ser encontrada na literatura

nas últimas décadas, simulações tridimensionais ficam restritas a baixos números de

Reynolds e baixas razões de aspecto. Recentemente, devido ao grande aumento da

capacidade computacional e códigos empregando computação paralela foi possível

realizar algumas simulações tridimensionais com escoamento ao redor de um cilindro

rígido ou flexível para avaliar as VIV. Existem diferentes abordagens para descrever

o campo de velocidades do escoamento. Os métodos mais utilizados são o método

dos vórtices discretos (DVM), Large Eddy Simulation (LES), Reynolds Averaged

Navier Stokes (RANS) e Direct Numerical Solver (DNS).

As simulações empregando DNS com formulação espectral foram acopladas com

as equações de movimento de um riser elástico para um número de Reynolds igual

a 1000 em [55, 56]. Um aumento significativo no número de Reynolds foi obtido em

[57] simulando o escoamento ao redor de um cilindro com oscilações forçadas para

Re = 10000 obtendo os coeficientes de sustentação e arrasto. Esta simulação só foi

possível utilizando um algoritmo paralelo altamente eficiente. Ainda usando um có-

digo tridimensional DNS com formulação spectral foi estudado os modos de vibração

de um riser com diferentes perfis de velocidade de corrente, caracterizando a mis-

tura de modos complexos apresentado em forma de ondas estacionárias e viajantes

[58].

Os métodos empregando LES são utilizados para escoamentos com alto número

de Reynolds. Uma análise bidimensional para um cilindro com um grau de liberdade

foi apresentado em [59]. Uma simulação quasi-tridimensional analisou um tubo longo

e flexível submetido a um escoamento com Re = 2,84 × 105 utilizando um modelo

de LES Smagorinsky para capturar os efeitos de turbulência [60]. Mas, os modelo

de turbulência tridimensional ainda são inadequados para capturar todos os efeitos

do escoamento [27].

O DVM é um esquema numérico Lagrangeano para simular o escoamento bidi-

mensional de um fluido viscoso e incompressível. A vantagem de utilizar este método

é a drástica redução do tempo computacional. Numa extensão quasi-tridimensional

para avaliar as forças fluidodinâmicas, planos bidimensionais descorrelacionados fo-

22

ram acopladas através da estrutura tridimensional em [61].

Os códigos empregando RANS são mais robustos, necessitando de menos tempo

computacional. Até o presente momento, as simulações utilizando RANS para VIV

estão limitadas a oscilações transversais de um cilindro rígido com suportes elásti-

cos submetido a um escoamento uniforme com o número de Reynolds até 15000.

Contudo, não foi possível reproduzir o comportamento para casos de baixa razão

mássica [62]. A literatura ainda carece de comparações entre diferentes modelos de

turbulência e extensões para simulações tridimensionais [63].

Simulações numéricas tridimensionais utilizando métodos espectrais que permi-

tem uma pequena redução no tempo de processamento são reconhecidamente os

métodos numéricos mais precisos para predizer as VIV [57]. Entrentanto, os recur-

sos computacionais ainda não são adequados para simular casos com interesse prá-

tico, i.e., escoamentos com alto número de Reynolds e grandes razões de aspecto.

De fato, embora o significante aumento no poder computacional e em particular o

uso de códigos em paralelo que permitem simulações tridimensionais de escoamento

ao redor de um cilindro flexível ou com suportes elásticos, o número de Reynolds

atingido com este tipo de método é tipicamente da ordem de 103.

A simulação numérica empregando a mecânica dos fluidos computacional ainda

é considerada uma ferramenta com custo computacional proibitivo e com grandes

incertezas. Entrentanto, este é provavelmente o método que vai provar seu potencial

no futuro.

2.4.3 Validação dos modelos de predição para VIV

Para analisar a capacidade de diferentes métodos para predizer as VIV, uma compa-

ração entre resultados experimentais de laboratório e predições de onze modelos foi

realizado em [44]. O estudo de caso abrangeu movimentos alinhados e transversais

ao escoamento que flui ao redor de um riser. O perfil de velocidades da corrente foi

disposto em degraus. Diferentes medidas foram realizadas variando a velocidade de

corrente e a pré-tensão do modelo do riser. Entre os onze modelos surgem, basica-

mente, três grupos diferentes. Os códigos de Mecânica dos Fluidos Computacional

resolvendo o escoamento ao redor do riser utilizando um grande número de planos

bidimensionais descorrelacionados ao longo do seu comprimento e a cada incremento

de tempo atualizando a posição do riser. Dois modelos no domínio do tempo que

usam uma aproximação para diminuir o custo computacional no cálculo das forças

fluidodinâmicas. Cinco modelos híbridos usando dados de medições em cilindros rí-

gidos sujeitos as VIV ou vibrações forçadas para identificar a amplitude de resposta

dos modos que tem maior chance de serem excitados. As conclusões obtidas podem

ser resumidas nos seguintes pontos: os modelos empíricos obtiveram mais sucesso

23

em predizer os deslocamentos transversais do que os códigos baseados na Mecânica

dos Fluidos Computacional, notou-se uma grande dispersão nos resultados das pre-

dições para a curvatura dos movimentos transversais, o deslocamento alinhado à

velocidade do escoamento é subestimado por todos os modelos numéricos.

Apesar de nos últimos anos a semelhança entre as predições de diferentes mode-

los numéricos utilizando os mesmos dados experimentais disponíveis apresentarem

maior semelhança, a discrepância entre os resultados dos modelos numéricos e dos

experimentos continuam grandes.

2.4.4 Métodos experimentais

Existem muitos estudos experimentais em VIV, de forma que se torna muito com-

plicado rever todos os resultados. De forma geral, revisões extensas e conclusões

sobre os últimos resultados pode ser vistas em [27, 28].

O fenômeno de VIV causa grande impacto na vida em fadiga de estruturas ma-

rítimas, especialmente as de aplicação em lâminas de água ultraprofundas. Apesar

disto, é o carregamento marítimo menos entendido em comparação com outros fenô-

menos da interação fluido-estrutura. Estes aspectos foram os motivos para inves-

timentos em estudos de modelos experimentais nas últimas décadas e, atualmente,

eles se apresentam como uma ferramenta substancial na predição das VIV [7].

24

Capítulo 3

Quantificação de Incertezas

Os modelos determinísticos são essenciais na grande maioria dos projetos de Enge-

nharia. Entretanto, na grande maioria das aplicações práticas, existem incertezas

associadas às condições de carregamento, parâmetros estruturais e de materiais,

modelagem das condições de contorno, etc. Para lidar com estas incertezas ineren-

tes mantendo o âmbito determinístico, tradicionalmente são introduzidos fatores de

segurança [64]. Esta prática pode levar ao superdimensionamento de sistemas de

Engenharia e, ainda assim, não exclui a possibilidade de falha. Apesar do notável su-

cesso e avanço trabalhando com análises determinísticas nos campos da Engenharia,

algumas falhas estruturais motivaram a incorporação de análises que levassem em

conta os efeitos das incertezas. Em outras palavras, existe um interesse crescente em

projetos que se mostrem mais robustos e confiáveis [16]. Além da segurança, outro

objetivo do controle sobre os efeitos das incertezas são projetos ótimos em termos de

custo-benefício [65, 66]. Todavia, a análise de modelos levando em conta sistemati-

camente incertezas é um campo desafiador. Os métodos utilizados na Quantificação

de Incertezas podem se tornar complexos, uma vez que o esforço computacional é

muito maior do que para uma análise determinística [67].

Nos últimos anos, a Quantificação de Incertezas vem conquistando novos campos

de aplicação [68]. Algoritmos combinados com conceitos de aproximação adequados

possibilitaram a análise de problemas práticos de Engenharia. Os novos métodos

permitem modelar as incertezas de forma realística, empregando processos estocás-

ticos ou campos randômicos [69]. Outro fator muito importante que contribui para

a Quantificação de Incertezas em sistemas complexos é o avanço computacional. O

aumento da capacidade computacional permitem utilizar modelos detalhados com

esforço computacional razoável através de algoritmos para Computação de Alto De-

sempenho.

A Quantificação de Incertezas em simulações numéricas avança em direção de

um novo tipo de simulação numérica onde as variáveis de entrada e o domínio geo-

métrico tem representações realísticas através da maior quantidade de informações

25

disponíveis. Desta forma, o resultado da simulação não será representado por pontos

isolados, mas por distribuições que expressam a sensibilidade do sistema às variáveis

de entrada consideradas incertas [70]. Esta é uma questão dos estudos de confia-

bilidade e fundamenta os primeiros passos na direção de estabelecer certificados de

conformidade para projetos baseados em simulação computacional.

3.1 Metodologia

A Quantificação de Incertezas em modelos de sistemas físicos pode ser tratada a

partir da formulação de problemas estocásticos. Este tipo de análise surgiu de forma

substancial nos campos da Engenharia Mecânica e Civil por volta de 1970 [71]. Para

a formulação e a solução dos problemas estocásticos são utilizados conhecimentos das

áreas da estatística, teoria da probabilidade e simulação computacional aplicadas ao

fenômeno físico de interesse.

Nesta seção serão apresentados conceitos e metodologias probabilísticas para in-

troduzir incertezas em modelos de sistemas físicos de forma geral. As principais

etapas para a Quantificação de Incertezas estão resumidas na Fig. 3.1. O esquema

apresenta basicamente três etapas principais: a definição de um modelo, a caracte-

rização de fontes de incerteza e o efeito das incertezas nas quantidades de interesse.

Muito embora existam na literatura outras etapas definidas para fases da modelagem

e simulação, a divisão em um número maior de fases apenas discrimina atividades

dentro de um contexto mais amplo [16].

Na Fig. 3.1 considera-se que um modelo para um sistema físico já foi definido.

Após um levantamento sobre os erros e incertezas presentes no modelo, este pode

ser considerado como uma caixa-preta, onde para um vetor de entrada existe um

vetor de saída. A complexidade destes modelos vai de acordo com o problema

que se deseja resolver. As fontes de incertezas podem incluir variáveis incertas de

natureza aleatória ou epistêmica. Estas incertezas surgem a partir de várias fontes,

e.g., incertezas sobre os valores para as variáveis do vetor de entrada ou incertezas

introduzidas a partir da falta de conhecimento sobre algum mecanismo existente no

sistema físico.

Figura 3.1: Esquema geral para Quantificação de Incertezas.

26

Formalmente, um modelo precisa apenas fornecer as quantidades de interesse

na saída Z a partir de uma função Z = H(X,b), onde o vetor de entrada incerto

é dado por X, enquanto o vetor de entrada determinísticos é dado por b. Desta

forma, o tempo de computação necessário para resolver um ponto (x,b), onde x é

uma realização de um estado estocástico, pode variar de frações de segundos até dias

dependendo da complexidade do modelo. O vetor de entrada incerto X pode assumir

grandes dimensões para modelos complexos e se apresentar de muitas formas, e.g., os

valores das incertezas podem ser dependentes de uma posição espacial ou temporal

na forma de um processo estocástico ou um campo randômico [72]. O vetor de

entrada determinístico b leva em conta parâmetros que são controlados com precisão

ou incertezas que não causam grandes impactos na variância das quantidades de

interesse.

Logo, na Quantificação de Incertezas, a primeira etapa consiste em definir um

modelo ou uma sequência de modelos para representar o sistema físico. Esta etapa

apresenta características semelhantes a de uma análise determinística clássica. No

entanto, deve-se ter em mente que o esforço computacional necessário para a Quan-

tificação de Incertezas é superior ao de uma análise determinística.

A segunda etapa consiste em identificar e caracterizar fontes de incertezas, ou

seja, identificar variáveis de entrada que apresentam algum tipo de incerteza. Após

a identificação das variáveis, é necessário empregar técnicas de modelagem de incer-

tezas.

A terceira etapa consiste em analisar os resultados da propagação das incertezas

através do modelo. Existem alguns métodos propostos para realizar a tarefa de

propagação de incertezas, muitos trabalhos vem sendo publicados cujo objeto de

estudo são as características e a validade destes métodos.

Na prática, categorizar variáveis de um modelo entre determinísticas e incertas é

mais uma questão de escolha do que teoria. Isto quer dizer que, durante o processo

de Quantificação de Incertezas é possível mover variáveis de um grupo para outro

baseando-se na sensibilidade do modelo. Em outras palavras, mesmo que uma va-

riável de entrada tenha seu valor incerto, se o modelo escolhido for insensível a esta

incerteza, ou seja, a variabilidade da quantidade de interesse devido a esta variável

incerta for pequena, então a variável pode ser considerada determinística assumindo

um valor determinado pelo analista.

Existem basicamente quatro objetivos da análise de Quantificação de Incertezas

[64, 73],: entender a influência ou importância de incertezas, desta forma servindo

de guia para direcionar medições, modelos ou estudos; dar credibilidade para um

modelo ou método, i.e., para obter uma visão mais crítica sobre um modelo; compa-

rar desempenhos e otimizar sistemas; avaliar o atendimento de normas reguladoras

para operação de sistemas de risco.

27

O emprego da análise de Quantificação de Incertezas pode associar mais de um

dos objetivos citados acima. Inclusive, os objetivos podem ser modificados con-

forme a análise ganha maturidade. Geralmente, o estudo realizado para entender a

influência ou importância de incertezas e para dar credibilidade a um modelo ocor-

rem numa fase inicial de projeto, enquanto a otimização de sistemas e demonstração

de cumprimento de normas aparecem como análises conclusivas.

A atualização de modelos pode ser um dos objetivos de uma análise de Quanti-

ficação de Incertezas. Esta atualização pode ocorrer através do ajuste de medições

para atingir um critério, da mudança da consideração sobre algumas variáveis incer-

tas para diminuir o custo computacional sem comprometer a robustez ou refinando

um modelo para diminuir as fontes de incerteza [74]. Este processo é essencial para

otimizar modelos incertos que serão utilizados num âmbito maior.

O tratamento quantitativo dado aos vetores de entrada e saída do modelo va-

riam de acordo com o objetivo da Quantificação de Incertezas. Entretanto, alguns

resultados são esperados para as quantidades de interesse, e.g., média e variância de

uma variável, a função densidade de probabilidade de algum evento, intervalos de

confiança para os valores de algum parâmetro ou uma probabilidade de falha.

A Quantificação de Incertezas pode fazer parte de um sistema de controle. Por

exemplo, dada uma instalação, um processo ou um sistema que precisa ser suficien-

temente robusto para receber uma licença de operação ou certificação. Para tanto é

utilizada uma medida de incerteza estabelecendo que para ser considerado robusto,

o modelo do sistema deve apresentar uma probabilidade de falha menor que 10%

ao ano, para um intervalo de confiança de 95%. Possivelmente, na maioria das

aplicações não existirão critérios tão explícitos como os do exemplo, especialmente

se a prática da Quantificação de Incertezas for relativamente recente no campo de

aplicação.

A escolha das quantidades de interesse pode se apresentar de forma natural se

o objetivo da análise é atender alguma especificação ou selecionar modelos. No

entanto, quando o objetivo é aumentar a credibilidade de um modelo, a escolha da

quantidade de interesse pode se tornar arbitrária.

Uma vez que as fontes de incertezas e as variáveis de entrada correspondentes

estão identificadas, surge a etapa de modelagem das incertezas. Na metodologia

probabilística o modelo de incertezas será teoricamente uma função densidade de

probabilidade conjunta do vetor de entrada incerto X, entretanto algumas conside-

rações podem ser feitas para simplificar esta tarefa, e.g., assumir que as variáveis

incertas são estatisticamente independentes.

Qualquer que sejam as condições adotadas, é preciso levantar a maior quantidade

possível de informações para caracterizar de forma satisfatória as variáveis incertas.

Estas informações incluem: observações diretas sobre as variáveis incertas, aplicando

28

inferências estatísticas se possível; julgamento de especialistas sobre intervalos de

realizações para alguns eventos; argumentação física, i.e., mesmo considerando in-

certezas, algumas variáveis devem ser positivas para manter a consistência física;

observações indiretas, quando os modelos são calibrados ou validados envolvendo

métodos inversos.

A modelagem de incertezas pode se tornar uma etapa associada a alto consumo

de recursos devido à necessidade de um grande número de dados. Entretanto, é

extremamente importante a caracterização das variáveis incertas que apresentam

grande impacto na quantidade de interesse.

O cálculo da quantidade de interesse depende da metodologia escolhida para

a propagação das incertezas. Esta etapa é necessária para propagar as incertezas

existentes nas variáveis de entrada através do modelo resultando em incertezas so-

bre as variáveis de saída. Utilizando a abordagem probabilística, isto implica em

estimar a quantidade de interesse de Z = H(X,b), definido a função densidade de

probabilidade do vetor de entrada incerto X.

De acordo com a quantidade de interesse e as características do sistema do modelo

podem ser empregados mais de um método. A comparação de resultados obtidos

através de diferentes métodos serve para aumentar a credibilidade da análise. Outra

técnica utilizada em combinação com os métodos de propagação de incertezas é a

análise de sensibilidade.

A análise de sensibilidade se refere à computação e à análise dos índices de im-

portância das variáveis de entrada em relação a quantidade de interesse Z. De fato,

isto involve uma etapa de propagação e vários métodos foram desenvolvidos para

realizar esta tarefa em especial [19]. Entretanto, na prática muitas vezes é possível

considerar cada parâmetro incerto de forma independente e utilizar um método de

propagação de incertezas convencional para analisar os efeitos na quantidade de in-

teresse devido a incerteza sobre este único parâmetro. Os resultados apresentados

desta forma podem assumir o papel de uma análise de sensibilidade.

Apesar de existirem métodos bem desenvolvidos, especialmente para confiabili-

dade estrutural, eles não são genéricos o suficiente para se enquadrar em uma grande

parte das aplicações de Engenharia. Logo, para ampliar os campos de aplicação de

análises não-determinísticas é preciso estabelecer os métodos de propagação de in-

certezas.

3.1.1 Análise da Quantificação de Incertezas

A partir dos conceitos discutidos até este ponto já é possível expandir um esquema

mais elaborado para a Quantificação de Incertezas. As considerações sobre o conceito

envolvido na análise de Quantificação de Incertezas exposto na Fig. 3.1 aparecem

29

com maiores detalhes conceituais na Fig. 3.2.

Figura 3.2: Esquema detalhado para Quantificação de Incertezas [64].

Neste quadro elaborado da análise da Quantificação de Incertezas foram incor-

porados alguns exemplos para as quantidades de interesse, critérios de decisão e

processos de atualização e apresentação dos dados. Os exemplos condizem com a

abordagem probabilística adotada nesta dissertação. Portanto, serão expostas algu-

mas informações de interesse prático para a Quantificação de Incertezas.

Uma das interpretações para os resultados é sob uma visão frequentista, ou seja,

entender x e z como realizações observáveis de uma dada variável ou evento incertos.

Isto possibilita a representação através de funções de densidade de probabilidade a

partir de um histograma. Neste contexto, modelar funções de densidade de proba-

bilidade para variáveis incertas na entrada se dá através da inferência estatística.

Esta abordagem favorece a interpretação dos resultados e possibilita a validação

potencial do modelo incerto a partir de um grande número observações.

Outras interpretações são possíveis a partir da mesma visão probabilística. Uma

interpretação subjetiva é considerar a distribuição de probabilidade como uma crença

da realização de um evento sem necessariamente fazer referência à observação da

variável física. Desta forma, uma quantidade de interesse pode ser utilizada num

processo de tomada de decisão sem se basear na validação a partir de observações.

Esta interpretação é importante pois a validação a partir de observações nem sempre

é possível.

Utilizar as distribuições de probabilidade para a entrada X de um modelo e

30

considerar as medidas de probabilidade da saída Z favorece a exploração do modelo

aumentando a credibilidade nas simulações. Logo, entradas e saídas do modelo

podem ser não-observáveis, sendo apenas variáveis abstratas utilizadas no processo

de pesquisa e desenvolvimento.

Apesar das diferenças entre as interpretações para a abordagem probabilística,

elas compartilham das mesmas características práticas durante a implementação,

e.g., a escolha de um método numérico para a propagação das incertezas através do

modelo.

3.2 Modelos de sistemas mecânicos

Para esclarecer as fontes e o tratamento dado as incertezas, serão apresentadas al-

gumas etapas da elaboração de um modelo. No desenvolvimento das etapas serão

evidenciados os pontos que podem introduzir incertezas, especialmente na modela-

gem de sistemas mecânicos.

A primeira etapa consiste em especificar o sistema físico e a vizinhança. A espe-

cificação inclui determinar quais eventos físicos e quais tipos de acoplamentos entre

diferentes processos físicos serão considerados. Nesta etapa também deve-se identi-

ficar elementos do sistema ou da vizinhança que podem ser considerados incertos. O

sistema físico pode existir ou não, durante a etapa de modelagem conceitual apenas

são identificados possíveis eventos, processos físicos contendo incertezas aleatórias

ou epistêmicas.

Em seguida é necessário desenvolver modelos matemáticos a partir do modelo

conceitual. A complexidade dos modelos depende de cada fenômeno considerado.

Nesta etapa, devem ser elaboradas as equações governantes e auxiliares, assim

como condições iniciais e de contorno para o sistema. Outra atividade a ser re-

alizada nesta etapa é a seleção de representações apropriadas para os elementos

não-determinísticos do problema.

A modelagem matemática pode resultar na introdução de uma incerteza epistê-

mica ou um erro desconhecido, especialmente quando mais de um modelo pode ser

empregado para o mesmo aspecto de um problema. Presumidamente, um modelo

é o mais adequado para a simulação, mas essa informação pode não ser disponível

previamente. Além do mais, o modelo mais adequado pode ter um custo que torne

a análise inviável. Desta forma, adota-se um modelo viável e trata-se de modelar as

incertezas associadas a este modelo.

Qualquer modelo matemático é, por definição, uma simplificação da realidade.

Qualquer sistema complexo de Engenharia, ou até mesmo processos físicos, possuem

características que não estão contempladas em um modelo matemático. Segundo

[75]: "Todos os modelos estão errados, alguns são úteis".

31

3.2.1 Validação de modelos

Validar um modelo, em termos de estabelecer um nível aceitável de credibilidade

para uma aplicação em específico, é um assunto fundamental na prática de Engenha-

ria, principalmente nas etapas de projeto e desenvolvimento de sistemas mecânicos.

A Quantificação de Incertezas pode ser utilizada como uma ferramenta na validação

de modelos [76]. De maneira que, a finalidade da Quantificação de Incertezas é obter

uma análise crítica do modelo.

Em geral, as questões levantadas pela Quantificação de Incertezas são válidas no

processo de validação de um modelo. Entretanto, a validação de um modelo é um

assunto mais amplo. O processo de validação de modelos envolve muitas atividades,

desde testes numéricos padronizados a projetos experimentais rigorosos [77].

Apesar das diferentes técnicas ou das definições envolvidas em processos mais ou

menos rigorosos, a validação de modelos implica na comparação dos resultados com

dados experimentais, opiniões de especialistas ou outros modelos que proporcionem

credibilidade dentro de uma faixa de aplicação. A validação de modelos, que é

essencial, embora eventualmente negligenciada na prática, limita o domínio e o tipo

de aplicação, variáveis e quantidades de interesse. De fato, um modelo pode ser

aceitável para predizer a dispersão de uma dada variável de interesse na saída e ao

mesmo tempo inaceitavelmente impreciso para as outras, o que torna a validação de

modelos um assunto complexo.

3.3 Fontes não-determinísticas

Na literatura, o uso da terminologia incerteza e erro é muitas vezes ambíguo [78].

Diferentes estudos aplicam a mesma terminologia, mas com significados inconsis-

tentes. Isto motiva uma clarificação sobre a terminologia que será utilizada nesta

dissertação. As fontes de comportamentos físico não-determinísticos consideradas

são devido às incertezas aleatórias ou epistêmicas, além de imprecisões adicionadas

durante as etapas de modelagem do sistema físico e a erros de simulação.

As incertezas aleatórias também são apresentadas na literatura como incertezas

irredutíveis, incertezas inerentes, variabilidade ou incerteza estocástica. As incer-

tezas aleatórias descrevem variações imprevisíveis no comportamento de sistemas

físicos, e.g., a velocidade de uma corrente marinha. Outra característica deste tipo

de incerteza é que qualquer esforço realizado na tentativa de reduzir a incerteza

aleatória é inútil. Desta forma, os estudos dedicados a este tipo de incerteza tem

como objetivo caracterizar o comportamento da variabilidade, ou seja, através de

um grande número de observações inferir uma distribuição de probabilidade que

represente da melhor forma possível a frequência de ocorrência dos eventos. Geral-

32

mente, as fontes de incertezas aleatórias podem ser isoladas de outras contribuições

de incertezas para o modelo, o que facilita sua caracterização.

Incertezas epistêmicas são uma fonte de comportamento não-determinístico ori-

ginadas da falta de conhecimento sobre um fenômeno ou ambiente. Na literatura,

também são chamadas de incertezas redutíveis, incertezas subjetivas ou incertezas

cognitivas. Mesmo que a diferença entre incertezas aleatórias e incertezas epistê-

micas ainda seja objeto de debate na literatura [17], nesta dissertação as incertezas

epistêmicas são definidas como uma imprecisão potencial em qualquer fase ou ativi-

dade do processo de modelagem que é devida à falta de conhecimento. A definição

utiliza a palavra potencial significando que a imprecisão pode ou não existir, ou seja,

pode ser que mesmo existindo a falta de conhecimento acerca de algum evento não

exista imprecisão alguma na forma como foi modelado. Outra interpretação para

as incertezas epistêmicas vem a partir de informações incompletas. As informações

incompletas podem ser causadas por vagueza, não-especificidade ou dissonância. Va-

gueza é caracterizada pela informação que tem sua definição imprecisa ou confusa,

geralmente tem origem na comunicação por linguagem. Não-especificidade se refere

à variedade de alternativas possíveis para uma dada situação. Dissonância se refere

à existência de conflitos, parciais ou totais, entre evidências.

Erro por definição é uma imprecisão identificável em qualquer etapa ou atividade

de modelagem e simulação que não é devido à falta de conhecimento. Essencialmente

um erro é introduzido quando se utiliza uma abordagem simplificada mesmo sabendo

que poderia ser utilizado uma mais detalhada. Isto ocorre devido a restrição prá-

ticas, como custo e tempo. O analista ainda pode separar os erros introduzidos

em dois grupos: erros conhecidos ou erros desconhecidos. Erros de valor conhecido

são aqueles que o analista pode identificar a magnitude ou o impacto, e.g., erros de

precisão computacional, aproximações adotadas para simplificar um modelo de um

processo físico, discretização de equações diferenciais parciais. Erros desconhecidos

são imprecisões que passam despercebidas pelo analista, mas podem ser identifi-

cadas, e.g., o analista tem a intenção de realizar um tipo de análise mas por erro

humano acaba realizando outra. Infelizmente, não existe um método simples para

estimar e controlar os erros desconhecidos. Geralmente este tipo de erro deve ser

identificado a partir de revisões das atividades.

3.3.1 Caracterização de funções densidade de probabilidade

Geralmente, uma fonte de incerteza aleatória é descrita por uma quantidade dis-

tribuída em uma dada faixa de valores. O valor exato de um evento ocorre dentro

desta faixa, mas varia a cada realização. Idealmente, informações objetivas sobre

a faixa de valores e a chance de ocorrência de eventos está disponível. Através da

33

inferência estatística esse conjunto de dados é convertido para uma função densidade

de probabilidade. A literatura apresenta muitos estudos sobre grande variedade de

funções de densidade de probabilidade e suas aplicações na descrição de quantida-

des aleatórias [72]. Entretanto, nem sempre é possível obter um número suficiente

de observações para realizar a inferência estatística. Neste caso, a modelagem é

submetida ao julgamento de um especialista.

O julgamento de especialistas é muito utilizado para estimar funções densidade

de probabilidade de fontes de incerteza epistêmicas ou fontes de incertezas aleató-

rias onde a observação dos eventos é reduzida ou complexa. A inexistência de uma

prática sistemática probabilística e o possível julgamento tendencioso dado pelos es-

pecialistas motivaram alguns protocolos e técnicas [79]. Todavia, abordagens mais

simples são utilizadas na prática, e.g., supondo que as únicas informações sobre uma

fonte de incerteza em um modelo são obtidas a partir do julgamento de engenheiros

e especialistas, os modelos paramétricos podem ser utilizados para traduzir este jul-

gamento em distribuições de probabilidade apropriadas. Neste caso a distribuição de

probabilidade apropriada é aquela que vai contemplar as características evidenciadas

pelos especialistas sem adicionar informações sobressalentes. Por exemplo, se uma

variável incerta X é limitada ao intervalo [x1, x2], sem nenhum conhecimento sobre

a chance de realizações dentro deste intervalo, então uma distribuição uniforme se

apresenta como uma escolha razoável, ou seja, todos os valores dentro do intervalo

tem a mesma chance de ocorrer e qualquer valor fora do intervalo é impossível. Mas,

se um especialista pensa que um valor x3 pertencente ao intervalo [x1, x2] tem mais

chances de ocorrer, então uma distribuição triangular pode ser adotada, onde as

chances de ocorrência aumentam quando os valores de aproximam de x3.

Outras técnicas podem ser utilizadas como as derivadas do Princípio de Má-

xima Entropia [80]. Entretanto, esta técnica é menos intuitiva, pois sempre associa

uma variável incerta positiva definida pela média à uma distribuição exponencial.

Além do mais, grande parte dos estudos nesta área estão voltados para a estatística

Bayesiana.

O princípio da estatística Bayesiana é precisamente levar em conta o julgamento

de especialistas [20]. As possibilidades desta técnica são interessantes, uma vez que

o julgamento dos especialistas é ponderado, e.g., ao invés de associar um evento à

uma distribuição de probabilidade com parâmetros completamente determinados, é

possível definir um conjunto de distribuições de probabilidade. Ele também possibi-

lita uma atualização do modelo incerto se for possível coletar dados posteriormente.

Outras abordagens também exploram esta idéia de distribuições de probabilidade

imprecisas, como a Teoria de Dempster-Shafer [81].

Estas abordagens são adequadas para a descrição de incertezas epistêmicas, mas

elas continuam muito sofisticadas e geralmente mais avançadas do que é empregado

34

na prática em estudos de incertezas da indústria [64].

3.4 Métodos de propagação de incertezas

Para obtenção das medidas de probabilidade e quantidades de interesse é necessário

propagar as incertezas através do modelo. A abordagem mais usual em Engenharia

para resolver esse tipo de problema é o método de Monte Carlo (MC) [18]. Através de

um conjunto finito de amostras o método de MC fornece os momentos estatísticos da

solução através da inferência estatística. Este conjunto de amostras é obtido através

de repetidas simulações determinísticas de um modelo utilizando geração de valores

quasi-randômicos para variáveis incertas, o que fundamenta sua não-intrusividade.

Desta forma, para ser implementado basta existir um código determinístico funci-

onando. Outra característica positiva é a taxa convergência do método que não

depende do número de variáveis randômicas independentes. Contudo, a abordagem

estatística se torna impraticável para problemas complexos devido ao tempo de si-

mulação. Para chegar a esta conclusão basta imaginar que uma simulação, que pode

levar um dia ou mais para ser concluída, deve ser repetida milhares de vezes para

obter um conjunto de amostras suficientemente grande.

Em [82], Ghanem e Spanos apresentaram as incertezas através de uma represen-

tação espectral dando origem ao Método dos Elementos Finitos Estocástico Espec-

trais (Spectral Stochastic Finite Element) (SSFEM). Este trabalho foi baseado no

estudo de Norbert Wiener sobre o Caos Homogêneo (Homogeneous Chaos) em [83],

que tratava de variáveis randômicas com distribuição de probabilidade Gaussiana e

utilizava uma expansão em polinômios de Hermite para obter uma representação da

variável incerta. Esta idéia foi expandida para outras funções densidade de proba-

bilidade dando origem a Expansão em Caos Polinomial Generalizado (Generalized

Polynomial Chaos) (CPG) em [21]. Estudos mostraram que a taxa de convergência

aumenta com a ordem da expansão dos polinômios [84]. Todavia, esses estudos so-

bre a convergência assumem que a solução é suave, ou seja, no caso da presença de

descontinuidades o desempenho fica comprometido.

Para que fosse possível lidar com as descontinuidades na solução surgiu a idéia do

método de Expansão em Multielementos de Caos Polinomial Generalizado (Multi-

Element Generalized Polinomial Chaos) (ME-CPG) [85–87]. Contudo, o acopla-

mento das equações resultantes para encontrar os coeficientes da expansão se tor-

nam extremamente complexas ao passo que o número de termos da expansão cresce,

caracterizando a chamada "maldição"da dimensionalidade (curse of dimensionality).

O método de Colocação Estocástica busca aliar a rapidez da convergência dos

métodos de Galerkin com a natureza desacoplada da amostragem do método de MC

[88]. Nesta abordagem, a medida de probabilidade é representada por uma aproxi-

35

mação polinomial construída a partir da interpolação de soluções determinísticas em

um determinado conjunto de pontos definidos em uma dimensão estocástica formal

e abstrata. Este conjunto de pontos pode ser dado pelo produto tensorial de funções

de interpolação unidimensionais baseadas nos pontos da quadratura de Gauss [89].

Entretanto, esse conjunto de pontos resulta em um número muito elevado de simu-

lações à medida que aumenta o número de variáveis randômicas. Por outro lado,

os grides esparsos resultantes do algoritmo de Smolyak são fracamente dependen-

tes do número de dimensões estocásticas [90]. Por este motivo, os grides esparsos

obtidos pelo algoritmo de Smolyak interpolados por polinômios de Lagrange foram

utilizados para aproximar dimensões estocásticas relativamente altas [22, 91, 92].

O conceito de hierarquia presente no método de CE foi explorado para possibilitar

refino adaptativo do espaço randômico em [93].

36

Capítulo 4

Análise crítica de modelos

fenomenológicos para predição de

VIV

Esta dissertação apresenta técnicas da Quantificação de Incertezas para obter uma

visão crítica de um modelo utilizado na predição do fenômeno das VIV em aplicações

de Engenharia. O resultado da propagação dessas incertezas revela características

do modelo, fornecendo mais informações para as previsões.

Geralmente, o tempo de simulação e o esforço computacional empregado na

Quantificação de Incertezas é muito maior do que para uma análise determinística.

Então, durante a escolha do modelo de VIV deve-se levar em conta o fator tempo de

simulação. De forma que, se um modelo de VIV demanda muito tempo de simulação

para uma análise determinística, ele se torna pouco prático para a Quantificação de

Incertezas.

Com este problema posto, os modelos fenomenológicos são presumidamente os

mais adequados. Estes modelos permitem considerações que auxiliam no entendi-

mento da física envolvida no fenômeno das VIV. Acerca da grande variedade de

modelos fenomenológicos é necessário estabelecer uma análise crítica em termos de

comportamentos fundamentais. Para tanto, busca-se um modelo fenomenológico

capaz de reproduzir características das VIV da maneira mais simples possível.

Para realizar a propagação das incertezas, o método de CE apresenta caracterís-

ticas desejáveis no presente contexto. A escolha estratégia dos pontos de amostra-

gem e a interpolação dos resultados conferem, para vários exemplos, uma taxa de

convergência mais alta do que o método de MC [93, 94].

37

4.1 Modelo de interação fluido-estrutura

O modelo utilizado na predição das VIV será o proposto por Facchinetti em [15]. Ele

apresenta um modelo utilizando o oscilador de van der Pol para capturar os efeitos

dinâmicos da esteira formada pelo desprendimento de vórtices. O modelo de esteira

é acoplado ao modelo da estrutura que apresenta apenas um grau de liberdade na

direção transversal ao escoamento. Para manter o modelo mais simples possível, a

dinâmica da estrutura é dada por um oscilador linear e apenas termos lineares de

acoplamento fluido-estrutura são considerados. Como o modelo de VIV é definido

no plano transversal do cilindro circular, todos parâmetros de massa, amortecimento

e rigidez são definidos por unidade de comprimento.

Considera-se um cilindro circular rígido de diâmetro externo d com um suporte

elástico na direção transversal ao escoamento de velocidade uniforme u, apresentado

de forma esquemática na Fig. 4.1.

Figura 4.1: Esquema do acoplamento fluido-estrutura para VIV [15].

O deslocamento transversal da estrutura é dado por y e tem sua dinâmica descrita

pelo oscilador linear

my + cy + ky = gq, (4.1)

onde (·) significa a derivada com relação ao tempo t e gq é o forçamento da estrutura

devido ao desprendimento de vórtices. A massa m leva em conta as massas da

estrutura me e a massa adicionada mf , logo m = me + mf . A massa adicionada,

que modela os efeitos inerciais invíscidos do fluido, [28], é dada por

mf = ρCmπd2/4. (4.2)

Na Eq. 4.1, o amortecimento linear c modela a dissipação viscosa do suporte cee o amortecimento das forças inerciais referentes à massa adicionada cf , ou seja,

c = ce+ cf . O amortecimento devido a massa adicionada [95] apud [15], é dado pela

38

equação

cf = γΩρd2, (4.3)

onde γ é um parâmetro de perda de força de sustentação relacionado à amplificação

do coeficiente de arrasto Ca [95] apud [15],

γ =Ca

4πSt, (4.4)

e Ω é uma frequência angular de referência. Para o caso de vibrações transversais

a frequência angular Ω é considerada a frequência angular de desprendimento de

vórtices, i.e., Ω = Ωdv = 2πStu/d.

Na Eq. 4.1, ao contrário da rigidez k, que depende apenas das propriedades da es-

trutura, a massam e o amortecimento c têm contribuições de efeitos fluidodinâmicos

mf e cf .

Definindo a frequência angular natural da estrutura imersa no fluido Ωn =√

k/m

e o fator de amortecimento reduzido ζ = ce/(2mΩn), a Eq. 4.1 pode ser reescrita

como

y +

(

2ζΩn +γ

µΩdv

)

y + Ω2

ny =gqm, (4.5)

onde µ = (me +mf )/ρd2 é uma medida de massa adimensional.

A dinâmica da esteira de vórtices é modelada por um oscilador não-linear que

satisfaz a equação de van der Pol [13],

q + εΩdv(

q2 − 1)

q + Ω2

dvq = gy, (4.6)

onde a variável adimensional q pode ser associada ao coeficiente de sustentação.

O valor do parâmetro de ajuste do modelo ε deve ser ajustado a partir de dados

experimentais. O forçamento exercido pela estrutura sobre a esteira é gy foi objeto

de estudo em [15].

4.1.1 Acoplamento fluido-estrutura

Introduzindo o tempo adimensional t∗ = tΩdv e a coordenada espacial adimensional

y∗ = y/d, as Eqs. 4.5 e 4.6 levam ao sistema acoplado

y∗ +

(

2ζδ +γ

µ

)

y∗ + δ2y∗ = g∗q , (4.7)

q + ε(

q2 − 1)

q + q = g∗y , (4.8)

39

onde δ = Ωn/Ωdv é a frequência angular reduzida da estrutura, que também pode

ser escrita como

δ =1

Stu∗, (4.9)

ou seja, uma função do número de Strouhal e da velocidade reduzida u∗ dada por

u∗ =2πuΩnd, (4.10)

resultando nos termos de acoplamento adimensionais

g∗q =gqdΩ2dvm, g∗y =

gydΩ2dv

. (4.11)

O sistema apresentado é um modelo fenomenológico simples para predição das

VIV utilizando a equação de van der Pol como modelo para a dinâmica da esteira

de vórtices. Adicionar não-linearidades no lado esquerdo da equação da dinâmica

da estrutura também foi explorado na tentativa de reproduzir melhor os resultados

experimentais [45–48, 52, 53].

Várias idéias foram propostas para os termos de acoplamento desde o início da

utilização dos modelos de esteira. Entretanto, para manter o modelo mais simples

possível, os termos de acoplamento fluido-estrutura do lado direito do sistema de

equações são limitados à funções lineares de q, y∗ e suas derivadas temporais. De

forma que, a única não-linearidade presente na dinâmica do sistema é a da equação

de van der Pol.

O forçamento da estrutura gq é, geralmente, interpretado como uma força de

sustentação [15], dada em variáveis dimensionais por

gq =12ρu2dCs. (4.12)

É importante ressaltar que Cs é o coeficiente de sustentação instantâneo agindo na

estrutura devido somente ao desprendimento de vórtices.

A variável q pode ser interpretada como um coeficiente reduzido de sustentação

devido ao desprendimento de vórtices dado por q = 2Cs/Cs0, onde o coeficiente de

sustentação de referência Cs0 é aquele observado em uma estrutura fixa submetida

ao desprendimento de vórtices. Na forma adimensional, o forçamento gq é

g∗q =Cs0

16π2St2µq. (4.13)

Muitas escolhas podem ser consideradas para o efeito do forçamento gy na esteira

de vórtices [46, 48]. Os estudos conduzidos em [15] sugerem que o acoplamento pela

aceleração da estrutura apresenta o melhor desempenho para o modelo de predição

40

das VIV. Logo,

g∗y = κy∗, (4.14)

onde κ é um parâmetro a ser ajustado a partir de dados experimentais. Essa escolha

foi inspirada por [96] que utilizou esse acoplamento para modelos que combinavam

fenômenos de Vibrações Induzidas por Escoamentos.

4.1.2 Valores adotados para as variáveis do modelo

O modelo faz uso de doze variáveis. Duas destas variáveis tem seus valores obtidos a

partir de estudos experimentais de desprendimento de vórtices em cilindros circulares

fixos: o número de Strouhal St e o coeficiente de sustentação devido somente ao

desprendimento de vórtices Cs0. Dois coeficientes tem seus valores estimados: o

coeficiente de arrasto de um cilindro circular livre submetido as VIV Ca tem o valor

aproximado para que a dinâmica da estrutura possa ser modelada por um oscilador

linear [15] e o coeficiente de massa adicionada Cm tem seu valor aproximado pela

Teoria de Escoamento Potencial. O modelo utiliza duas variáveis para ajuste: κ e

ε. O escoamento do fluido é caracterizado a partir de duas variáveis: a densidade ρ

e a velocidade u. Os quatro parâmetros restantes dizem respeito a constituição da

estrutura: a massa da estrutura me, a rigidez da estrutura k, o amortecimento da

estrutura ce e o diâmetro d.

Das aplicações que se encaixam numa determinada faixa de Reynolds que co-

brem o regime dito subcrítico, é possível aproximar algumas variáveis como sendo

constantes. Este é o caso do número de Strouhal que pode ser assumido St = 0,2, do

coeficiente de sustentação para um cilindro circular fixo Cs0 = 0,3 e a amplificação

do coeficiente de arrasto Ca = 2,0 [15]. Entretanto, é importante notar que essas

aproximações carregam incertezas inerentes.

A frequência reduzida δ, Eq. 4.9, é um parâmetro que depende apenas do número

de Strouhal e da velocidade reduzida. De forma similar, a massa adimensional

µ depende da massa da estrutura e da massa adicionada, onde o coeficiente de

massa adicionada é aproximado pela Teoria do Escoamento Potencial, resultando

em Cm = 1 [28].

Para a dinâmica da esteira, Eq. 4.8, é preciso definir valores para o parâmetro

da equação de van der Pol, ε, e o parâmetro de escala da força de acoplamento

g∗y, denominado κ. Esta questão foi um dos objetos de estudo em [15], onde os

valores para estes parâmetros foram ajustados através de dados de um experimento

com um cilindro circular forçado à oscilações de amplitude y0 na frequência natural

do sistema. A partir desse forçamento foi medida a amplificação K da força de

sustentação em relação à uma estrutura estacionária submetida ao desprendimento

de vórtices. Na Fig. 4.2 é possível observar o ajuste adotado para os parâmetros. Os

41

marcadores estão relacionados com diferentes fontes de dados experimentais. Nota-

se que existe uma grande dispersão dos dados experimentais utilizados. A partir

de uma interpolação por mínimos quadrados o valor κ = 12 e ε = 0,3 foi proposto,

indicado pela linha cheia. A dispersão dos dados experimentais motiva um estudo

da Quantificação de Incertezas sobre estes parâmetros de ajuste.

Figura 4.2: Ajuste dos parâmetros do modelo aos dados experimentais, a linha cheiaindica o valor proposto de κ = 12 e ε = 0,3 [15].

Os parâmetros κ e ε podem ser ajustados considerando dados experimentais de

VIV em cilindros livres. Isto permitiria maior adesão entre os resultados do modelo

e dados experimentais para vibrações livres. No entanto, os dados experimentais

para analisar o fenômeno de VIV em estruturas livres ainda não estão bem definidos

[33]. Além do mais, para vibrações livres o ajuste torna-se mais complicado, pois

não se pode obter uma forma fechada para as equações do problema.

4.1.3 Quantidades de interesse

A integração numérica do sistema de equações resulta na evolução das variáveis

primárias y∗ e q e de suas taxas de variação com o tempo adimensional. A análise

restringe-se a um intervalo de tempo adimensional [0, t∗f ]. Ainda neste intervalo,

devido às características da integração do modelo, existem um regime transiente e

um regime permanente, ou seja, a resposta temporal leva algum tempo até atingir

um regime periódico. Assim que este regime periódico é atingido, a frequência da

oscilação do deslocamento da esteira passa a ser igual à frequência do deslocamento

da estrutura, ou seja, fq = fy. Estas frequências podem ser obtidas numericamente

através da transformada de Fourier da resposta temporal. O tempo de integração

42

necessário para atingir a condição do regime permanente varia de acordo com os

valores adotados para os parâmetros do sistema. O intervalo de tempo adimensional

contento o regime permanente é τ = [t∗p, t∗

f ], onde t∗p é o tempo adimensional que

marca o início do regime permanente e t∗f é o tempo adimensional que marca o final

da integração.

As quantidades de interesse encontram-se no regime permanente τ e são dadas

por

a∗ = max(|y∗(t∗)|), t∗ ∈ τ (4.15)

f ∗ = F(y∗(t∗)), t∗ ∈ τ (4.16)

ou seja, a amplitude reduzida e a frequência reduzida de vibração da estrutura,

onde max(| · |) é o valor máximo absoluto e F(·) é a Transformada de Fourier. A

partir destas quantidades é possível derivar dados que permitem identificar a zona

de sincronização. Estes são os valores mais importantes não só para comparação

com dados experimentais, mas também para o projeto de estruturas sujeitas ao

fenômeno das VIV [33]. Tradicionalmente, as VIV são evitadas no projeto da vida

em fadiga de risers. No entanto, recentemente, vem sendo utilizada uma abordagem

na qual as VIV são permitidas caso não excedam alguns valores para frequência e

amplitude de vibração [97]. Isto motiva o crescente interesse na avaliação precisa

destas quantidades.

4.2 Modelo estocástico

Como visto no capítulo anterior, uma das formas de tratar a presença de incertezas

é através da reformulação das equações governantes, ou seja, as Eqs. 4.15 e 4.16

passam a ser estocásticas. Uma maneira de interpretar este modelo estocástico é

considerando as incertezas como variáveis de dimensões adicionais do problema [98].

Desta forma, o sistema apresenta espaço físico contendo a dimensão temporal e um

espaço estocástico contendo as dimensões das variáveis estocásticas [99].

Para tanto, se faz necessário definir um espaço de probabilidade completo

(Θ,F ,P), onde Θ é o espaço amostral, F ⊂ 2Θ é a σ-álgebra e P : F → [0, 1]

é a medida de probabilidade e o domínio temporal fechado τ ⊂ R [72]. A partir

destas definições busca-se as funções estocásticas A∗ e F ∗ que descrevem o processo

estocástico dado por

a∗ ≡ A∗(t∗; θ) : τ ×Θ→ R, (4.17)

f ∗ ≡ F ∗(t∗; θ) : τ ×Θ→ R, (4.18)

43

tal que para P-quase completo, θ ∈ Θ as Eqs. 4.15 e 4.16 sejam satisfeitas.

A metodologia aplicada para resolver este sistema de equações estocásticas é

primeiramente reduzir a complexidade do problema. Isto implica em limitar o es-

paço estocástico à uma dimensão finita definindo o número de variáveis estocásticas,

[100]. É importante notar que, o número de variáveis estocásticas necessárias para

descrever o problema depende das incertezas modeladas. Por exemplo, considerando

que a velocidade de corrente estocástica U(θ) é representada através de uma variá-

vel estocástica, ou seja, U = U(ξ1(θ)), a solução se torna um processo estocástico

dependente da variável estocástica ξ1(θ). Desta forma podemos escrever o processo

estocástico descrito pelas Eqs.4.15 e 4.16 como

A∗(t∗; θ) = A∗ (t∗; ξ1 (θ) , . . . ,ξN (θ)) , (4.19)

F ∗(t∗; θ) = F ∗ (t∗; ξ1 (θ) , . . . ,ξN (θ)) , (4.20)

onde N é o número de variáveis do espaço estocástico de N-dimensional. Assumindo

que ξi (θ) são variáveis estocásticas estatisticamente independentes assumindo va-

lores de acordo as com funções de densidade de probabilidade i : Γi → R nos

intervalos fechados Γi, onde i = 1, . . . ,N [99]. A função densidade de probabilidade

conjunta da N-tupla é então dada por

(ξ) =N∏

i=1

i (ξi) ∀ξ ∈ Γ, (4.21)

onde o suporte Γ =∏N

i=1Γi ⊂ R. O resultado deste procedimento é que as equações

Eqs. 4.7 e 4.8 podem ser escritas como um conjunto de equações diferenciais em N+1

dimensões, contemplando N dimensões estocásticas e uma dimensão temporal.

4.3 Método de Colocação Estocástica

Nos métodos de colocação busca-se satisfazer o sistema de equações estocásticas em

um determinado conjunto finito de pontos, denominado nós, definidos no espaço

estocástico. Este aspecto do método se assemelha aos métodos por amostragem,

como o método de MC. Entretanto, diferentemente do métodos de amostragem, que

utilizam pontos de amostragem randômicos ou quasi-randômicos, a escolha dos nós

de amostragem é estratégica para aumentar a eficiência. A solução da simulação

para estes nós são interpoladas por uma função polinomial. Esta função polinomial

cria um espaço contínuo acelerando a convergência da solução [94].

Seja λN = ξiQi=1 ∈ Γ um conjunto de nós prescritos no espaço estocástico

N-dimensional, onde Q é o número de nós. A solução pode ser aproximada pelos

44

polinômios de interpolação de Lagrange como

IA∗ =Q∑

l=1

A∗ (ξl)Ll (ξ) , (4.22)

IF ∗ =Q∑

l=1

F ∗ (ξl)Ll (ξ) , (4.23)

onde Li(ξj) são os polinômios de Lagrange definidos por

Li(ξj) =

1, i = j,

0, i 6= j,(4.24)

para 1 ≤ i, j ≤ Q. Desta forma, o método de CE é equivalente a resolver Q

problemas determinísticos com realizações do vetor estocástico ξl para l = 1, . . . ,Q.

Uma vez que a solução para os polinômios de Lagrange é obtida, os momentos

estatísticos podem ser facilmente obtidos [94], e.g., a média E[A∗] pode ser obtida

através de uma amostragem randômica da solução ou através da integração dada

por

E[A∗] ≈ E[IA∗] =Q∑

l=1

IA∗(

ξl)

∫

Γ

Ll (ξ) (ξ) dξ. (4.25)

A aparente simplicidade da implementação do método esbarra no problema com-

plexo da escolha do conjunto de nós adequados. Este problema se torna mais com-

plicado quando se lida com muitas variáveis estocásticas. Mesmo que nas aplicações

existam algumas propostas de como escolher esse conjunto de nós, a maioria deles

é ad hoc e não permitem controle sobre os erros de interpolação [94].

Para o caso de uma dimensão estocástica, os nós da quadratura de Gauss e

Chebyshev apresentam o menor erro de interpolação. Já para um problema estocás-

tico multidimensional, a metodologia que vem sendo aplicada é construir as funções

de interpolação e o conjunto de nós através do produto tensorial entre as funções de

interpolação e o conjunto de nós unidimensionais. Uma desvantagem desta prática

é que o número de nós necessários aumenta combinatorialmente com o número de

dimensões estocásticas. Este problema pode ser contornado utilizando um conjunto

de nós dados por grides esparsos [22].

Os grides esparsos baseados no algoritmo de Smolyak [90] apud [93], geram um

subconjunto dos nós do produto tensorial completo. Este subconjunto é escolhido

estrategicamente na tentativa de preservar o baixo erro de interpolação do modelo

unidimensional utilizando a menor quantidade de nós possível. Como consequên-

cia, o problema estocástico multidimensional demanda relativamente menor esforço

computacional.

Outra vantagem da utilização deste algoritmo é devido ao fato dos subconjuntos

45

de nós serem hierárquicos. Esta característica se apresenta como uma medida de

erro a partir da diferença entre as soluções aproximadas por níveis hierárquicos

subsequentes [101]. Por exemplo, na Fig. 4.3 estão representados os subconjuntos

de nós presentes em diferentes níveis hierárquicos S para um espaço bidimensional.

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1S = 2

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1S = 4

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1S = 6

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1S = 8

Figura 4.3: Nós de diferentes níveis hierárquicos de grides esparsos.

Os grides expostos na Fig. 4.3 foram obtidos a partir do produto tensorial da

quadratura de Chebyshev conforme o algoritmo de Smolyak. O número de nós que

compõem o nível hierárquico para um espaço bidimensional como o do exemplo é:

S = 2 com 13 nós, S = 4 com 65 nós, S = 6 com 321 nós e S = 8 com 1537

nós. Nota-se que o número de nós cresce rapidamente com o aumento do nível

hierárquico. Felizmente, devido ao caráter hierárquico, os nós dos níveis anteriores

são conservados, ou seja, as simulações realizadas naqueles nós não precisam ser

realizadas novamente e ajudam a compor o próximo nível hierárquico.

Para identificar o nível hierárquico do método de CE que aproxima a solução

com a precisão desejada é interessante definir um critério de convergência a partir

de dois níveis hierárquicos subsequentes. O vetor estocástico das quantidades de

interesse é definido por ZS = [ISA∗, ISF ∗], onde IS é a aproximação polinomial

obtida para a solução no nível hierárquico S. Uma quantidade representativa da

diferença relativa entre as médias e variâncias da aproximação da solução para o

46

nível hierárquico atual e anterior pode ser obtida por

ηmed =||E[ZS]− E[ZS−1]||

||E[ZS]||, ηV ar =

||Var(ZS)−Var(ZS−1)||||Var(ZS)||

, (4.26)

onde E[Z] e Var(Z) são respectivamente a média e a variância para Z obtidos a

partir da amostragem da aproximação polinomial para as funções estocásticas A∗ e

F ∗. Desta forma, pode-se definir um critério de convergência a partir de um valor

máximo para η = [ηmed, ηV ar], ou seja, a convergência para a aproximação da solução

é obtida quando

η < ǫ, (4.27)

onde ǫ é um valor arbitrário. Geralmente, a convergência do valor para a variância

é mais lenta do que para a média, este fato foi observado durante as simulações.

Além do critério de convergência, foi definido um limite para a simulação a

partir de um nível hierárquico máximo Smax. Esta prática é comum em processos

iterativos. Uma vez que, por exemplo, para o gride esparso unidimensional, cada

nível hierárquico tem aproximadamente o dobro de nós do que o nível hierárquico

anterior. Caso os níveis hierárquicos sejam aumentados indefinidamente a simulação

pode ser terminada devido à limites computacionais como a memória disponível.

4.4 Quantificação de Incertezas em Vibrações In-

duzidas por Vórtices

A modelagem do fenômeno de VIV é rica em incertezas. Parte destas incertezas tem

origem em comportamentos aleatórios da natureza, e.g., a velocidade de corrente ou

o movimento das marés, e parte vem da falta de conhecimento na determinação das

quantidades envolvidas no problema, e.g., o valor da massa de fluido adicionada [27].

Logo, é necessário analisar a propagação destas incertezas pelo modelo e identificar

quanto e como elas afetam os resultados para construir uma visão crítica do modelo.

O coeficiente de sustentação Cs0 é obtidos a partir de dados experimentais em

função do número de Reynolds. As incertezas no valor deste parâmetro tem muitas

fontes. Primeiramente os instrumentos utilizados no experimento tem incertezas de

medição, e.g., para definir o número de Reynolds é necessário medir a velocidade do

escoamento com um instrumento e o diâmetro do cilindro com outro instrumento.

Já a densidade e a viscosidade dinâmica do fluido podem ser tabeladas em função

da temperatura, logo se faz necessário medir a temperatura do fluido com outro

instrumento. Mais incertezas são adicionadas a partir de alterações nas condições do

experimento como mudança de temperatura do fluido, instabilidade na velocidade do

escoamento, posição dos instrumentos, etc. Toda esta metodologia de levantamento

47

de incertezas se aplica novamente na medição do coeficiente, que certamente farão

uso de medidores de pressão, células de carga, etc.

No caso do coeficiente de arrasto Ca, utilizado no modelo proposto existe uma

incerteza epistêmica, pois ele é utilizado como uma aproximação para eliminar a

necessidade de inserir uma não-linearidade na dinâmica da estrutura. Então, existe

uma interesse no sentido de avaliar os efeitos desta aproximação.

O conceito de massa adicionada é uma das questões mais complexas da fluido-

dinâmica. Ela se faz presente em todo o escoamento ao redor de corpos rombudos.

Entretanto, como todas as massas, essa grandeza só pode ser medida quando su-

jeita à aceleração. Ela depende de muitos fatores como: o tipo de movimento do

corpo, o escoamento ao redor do corpo, proximidade de outros corpos, superfícies

livres e o tempo. Ela pode ser positiva ou negativa. Os resultados obtidos para

a massa adicionada em escoamentos invíscidos causa a impressão de que eles são

aplicáveis em qualquer caso de escoamento viscoso para toda faixa de número de

Reynolds [102]. Normalmente, nos modelos de análises existentes já consagrados,

esta massa adicionada é considerada como um valor fixo, utilizando para o coefi-

ciente de massa adicionada, valores como, por exemplo, Cm = 1 ou outros valores

semelhantes. Porém, ensaios experimentais para VIV indicaram que o coeficiente de

massa adicionada varia intensamente ao longo do tempo, mesmo em condições de

fluxo uniforme e, tomando-se uma média desses coeficientes, esse valor também varia

com a velocidade reduzida [103]. Em outras palavras, o valor da massa adicionada

é afetada pela aceleração e a viscosidade do fluido [27]. Esta discussão em torno de

como definir um valor e como medir a massa adicionada revela uma incerteza de

natureza epistêmica na sua determinação. Através da Quantificação de Incertezas é

possível identificar se essa incerteza é um ponto crítico para o modelo.

As características da estrutura que podem ser medidas diretamente por instru-

mentos são a massa da estrutura me e o diâmetro d. Estas medições estão sujeitas

a erros comuns causados pela falta de paralelismo e imperfeições na constância do

diâmetro. Considerando uma estrutura marítima estas imperfeições podem ser cau-

sadas pelo processo de fabricação, transporte, armazenamento e lançamento.

O coeficiente de amortecimento estrutural ce, rigidez k são estimados de forma

mais complexa. Devido a não-linearidade, os valores são assumidos constantes para

algumas faixas de projeto que nem sempre são as faixas de operação. Constituindo

assim um foco de incertezas epistêmicas.

A densidade do fluido ρ é, geralmente, assumida constante, no entanto é uma

função da temperatura do fluido. Além da incerteza sobre o ensaio experimental

para determinar os valores da densidade, assumir que o fluido irá operar em uma

determinada temperatura fixa introduz incertezas sobre o valor desta constante.

Uma vez que a temperatura do fluido pode variar tanto com fenômenos localizados

48

quanto com diferentes correntes marinhas.

A análise de incertezas sobre a velocidade da corrente u pode ser utilizada sob

diversas perspectivas. Primeiramente existe o caráter aleatório natural da velocidade

de corrente marinha, o que caracterizaria a Quantificação de Incertezas voltada para

o projeto da estrutura. Outro ponto de vista seria utilizando o fato de que muitos

resultados experimentais visando as características das VIV são dados em função da

velocidade do escoamento do fluido. Então, quando se está procurando aderência

entre os resultados de simulação e dados experimentais é importante notar que

a velocidade do escoamento no ensaio experimental, mesmo que apresentada sem

barras de erro, é inerentemente incerta. Outra forma de interpretar a incerteza sobre

a velocidade de corrente é quando não se tem certeza de quais serão as condições

de operação e como isto irá afetar a resposta do modelo. Assim pode-se utilizar

uma faixa grande de incerteza sobre a velocidade e trabalhar com a estatística dos

resultados.

Ainda existem muitas grandezas físicas que não são contempladas diretamente,

e.g., a rugosidade superficial do cilindro que afeta os valores para os coeficientes

fluidodinâmicos. Consequentemente, quando estamos tentando comparar resultados

de simulação com resultados experimentais sempre existirão incertezas referentes às

condições do experimento e a tentativa de reproduzi-las no ambiente computacional.

Os parâmetros de ajuste do modelo são claramente os que apresentam maiores

incertezas pois não tem uma relação física explícita, i.e., não podem ser medidos

diretamente. Logo, são ajustados a partir de outras grandezas combinadas, o que de

certa forma aumentam a incerteza. Este tipo de prática demonstra claramente a falta

de conhecimento sobre a física do problema, caracterizando um foco de incertezas

epistêmicas.

A Quantificação de Incertezas sobre os parâmetros de ajuste do modelo são

as mais interessantes para obter maior credibilidade sobre o modelo, pois a partir

dos seus efeitos na resposta da simulação é possível identificar a potencialidade do

modelo na reprodução do fenômeno.

4.5 Implementação numérica

As rotinas necessárias para executar esta proposta foram todas desenvolvidas no

programa MATLABr. Na integração numérica das equações, exposição gráfica

dos resultados, entre outras tarefas, foram utilizadas rotinas próprias do programa.

Para a interpolação e geração dos grides esparsos foi utilizado um pacote de desen-

volvido para MATLAB em [104, 105]. Este pacote inclui rotinas configuráveis para

a interpolação polinomial hierárquica de grides esparsos pelo algoritmo de Smolyak.

A Fig. 4.4 apresenta um esquema com os pontos principais para o algoritmo

49

elaborado. O algoritmo tem início a partir da entrada dos dados sobre variáveis

incertezas, variáveis determinísticas e parâmetros da configuração da análise, como

o tempo final e condições iniciais da integração, o número de pontos de velocidade

reduzida que serão analisados, o nível hierárquico máximo para os grides esparsos

Smax, valor para o critério de precisão ǫ, entre outros.

Figura 4.4: Esquema para o algoritmo elaborado.

As seguintes atividades são realizadas para cada velocidade reduzida prevista

na análise. Primeiramente, é verificado se o nível hierárquico máximo foi atingido,

caso negativo são gerados os nós adicionais ao gride esparso para o nível hierárquico

atual. Desta forma, tem início a integração numérica de cada nó adicionado ao gride

esparso a partir da rotina ode45, que utiliza o método Runge-Kutta explícito com

o par Dormand-Prince [106]. Assim que todos os nós foram integrados numerica-

mente, o espaço da solução contendo as funções estocásticas A∗ e F ∗ é aproximado

através de uma interpolação polinomial. Através da amostragem quasi-randômica

da aproximação polinomial para o espaço da solução são calculadas a média e a

variância para a A∗ e F ∗ neste nível hierárquico. Desta forma é possível verificar se

o critério de convergência foi atingido, caso positivo o vetor com as quantidades de

interesse Z é armazenado, caso contrário um nível hierárquico adicional é calculado.

Assim que todos os pontos da velocidade reduzida foram analisados, resta apenas

uma etapa de pós-processamento. Na etapa de pós-processamento, os dados são

organizados para expor os resultados na forma de gráficos. As funções densidade

de probabilidade podem ser obtidas a partir da amostragem quasi-randômica da

aproximação polinomial do espaço da solução.

50

Capítulo 5

Resultados e Discussões

Neste capítulo são apresentados os resultados para o problema proposto no capítulo

anterior. Alguns testes são utilizados para avaliar o desempenho do código compu-

tacional desenvolvido. Em seguida, são apresentados resultados e discussões para a

proposta de Quantificação de Incertezas em VIV.

Como visto anteriormente, o fenômeno de VIV possui dois comportamentos dis-

tintos para baixa e alta razão mássica. No entanto, o modelo para VIV adotado

apresenta baixo desempenho para sistemas com baixa razão mássica [53]. Desta

forma, para os casos estudados são adotados os parâmetros de um sistema com alta

razão mássica m∗ = 320 a partir de [37]. A escolha desse valor para a razão mássica

também é motivada pela existência de mais de um conjunto de dados experimentais

para VIV utilizando esse parâmetro de razão mássica. Razões de massa alta são,

geralmente, associadas às estruturas submetidas a VIV cujo escoamento tem como

fluido o ar, e.g., pontes e chaminés. Nas estruturas marítimas a razão mássica é em

torno de m∗ ≈ O(10) [107].

As variáveis de entrada foram ajustadas de forma que o fenômeno, apesar das

incertezas, se desenvolva num ambiente com número de Reynolds na faixa subcrítica.

Os valores nominais utilizados estão expostos na Tab. 5.1 de acordo com o Sistema

Internacional de Unidades.

St Ca Cs0 Cm κ ε ρ u me k ce d0,2 2,0 0,3 1 12 0,3 1000 0,5 2513,274 2521,128 3,933 0,1

Tabela 5.1: Valores nominais adotados.

Assumindo que o fluido é a água, a viscosidade cinemática é ν = 1 × 10−6 e o

número de Reynolds nominal resultante é Re = 5 × 104. Desta forma, o uso dos

coeficientes fluidodinâmicos obtidos para a região subcrítica é consistente. Alguns

dos parâmetros foram arbitrados para que a frequência natural do sistema seja

fn = 1.

51

5.1 Desempenho computacional

Nesta seção são apresentados resultados de alguns testes realizados que visam veri-

ficar e avaliar o desempenho da implementação do modelo. Para tanto, são feitas

comparações com trabalhos publicados e testes de caráter numérico. Além do mais,

estes testes são importantes para identificar possíveis limitações da simulação nu-

mérica e avaliar o tempo computacional necessário para a solução.

O início da dinâmica do sistema acontece a partir da arbitragem de uma condição

inicial não-nula. Esta condição inicial pode se apresentar a partir da velocidade ou

deslocamento da estrutura ou da esteira. Para simplificar a análise, é arbitrado um

valor para a condição inicial do deslocamento da esteira, denominado q0, mantendo

todas as outras condições iniciais nulas. Desta forma busca-se observar como a

resposta do sistema é alterada devido aos diferentes valores para as condições iniciais,

principalmente depois de atingir o regime estacionário.

A partir desta proposta foram escolhidos três valores para q0 de diferentes ordens

de grandeza: q0 = 0,001, q0 = 0,1 e q0 = 10. Apesar da diferença entre os valores

escolhidos espera-se que, devido às características do modelo, os resultados não

apresentem diferença em período e amplitude após o final do regime transiente

da resposta. Para ilustrar estas idéias, a Fig. 5.1 apresenta duas janelas temporais

retiradas dos primeiros e dos últimos instantes da resposta temporal do deslocamento

da estrutura y∗ para auxiliar na análise.

Dos resultados é possível observar que as mudanças nas condições iniciais tem

influência sobre o início da resposta temporal do problema, durante o regime tran-

siente. Mas, assim que o sistema atinge o regime permanente este se comporta com

a mesma amplitude e período para as diferentes condições iniciais. Sendo assim, é

possível inferir que as mudanças nas condições iniciais afetam a duração do regime

transiente. Como o interesse está voltado para resultados acerca do regime perma-

nente, é desejada a condição inicial que atinja o regime permanente com o menor

tempo de integração possível.

Tendo em vista que para a integração numérica do sistema está sendo utilizado

a rotina ode45 do MATLAB, é interessante utilizar a condição inicial que apresenta

menos passos de integração no intervalo de tempo proposto. Entretanto, esta tarefa

se torna complicada na medida que, durante a Quantificação de Incertezas, o modelo

deverá ser integrado diversas vezes para diferentes valores das variáveis de entrada.

Consequentemente, as respostas serão distintas e encontrar uma condição inicial

ótima se torna complexo.

Apesar da discussão, a escolha da condição inicial não traz maiores problemas

do que alguns poucos passos a mais na integração numérica do sistema. Então,

para os resultados apresentados a seguir será utilizado o valor q0 = 0,001. Pois,

52

0 10 20 30 40 50−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

t*

y*

2950 2960 2970 2980 2990 3000−0.2

−0.1

0

0.1

t*

y*

Figura 5.1: Resultados para o deslocamento da estrutura y∗ para diferentes valoresde condição inicial. Os resultados foram marcados para q0 = 0,001 (·), q0 = 0,1 (·−)e q0 = 10 (−).

aparentemente a rotina de integração numérica ode45 apreciou a evolução suave da

resposta utilizando menos passos de integração para cobrir o intervalo de tempo.

5.1.1 Comportamento na integração temporal

Um dos diagramas mais característicos na análise das VIV é o que relaciona a

amplitude e a frequência reduzida de vibração em função da velocidade reduzida.

Para obter esse diagrama é necessário realizar a integração temporal do modelo para

um número finito de velocidades reduzidas e a partir do regime permanente obter

os valores para a amplitude e frequência reduzida de vibração. Logo, foi realizado

um estudo sobre as características da resposta temporal do modelo associado aos

valores da velocidade reduzida.

A Fig. 5.2 apresenta o comportamento do sistema adotado para o estudo. Para

tanto, a faixa de velocidade reduzida entre u∗ = 4 e u∗ = 6 foi dividida em 100

pontos. Para cada ponto o sistema foi integrado até o tempo final de t∗f = 5000. A

região de sincronização é caracterizada pela amplitude de vibração elevada.

A resposta temporal do sistema muda de comportamento quando a velocidade

reduzida se aproxima das zonas de sincronização, onde a amplitude de vibração sofre

um salto abrupto. A Fig. 5.3 é característica da resposta temporal distante da região

53

4 4.5 5 5.5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

u*

a*

Figura 5.2: Simulação da amplitude reduzida de vibração do sistema em função davelocidade reduzida.

de sincronização.

0 1000 2000 3000 4000 5000−10

−5

0

5

x 10−4

t*

y*

u*=4

Figura 5.3: Resposta temporal distante da zona de sincronização.

Ao se aproximar da região de sincronização, o padrão da resposta temporal vai

se modificando em direção ao que está representado na Fig. 5.4. As amplitudes de

vibração ainda são pequenas, o que caracteriza que o sistema ainda está fora da

zona de sincronização. Por mais que se refine a discretização em torno do início

da sincronização ou se aumente o tempo final de integração, não foi possível obter

um ponto intermediário entre as amplitudes de vibração do ramo inicial e do ramo

superior.

No ponto da velocidade reduzida seguinte, a amplitude de vibração aumenta

abruptamente ao entrar na região de sincronização e o padrão da resposta temporal

se apresenta como na Fig. 5.5. O tempo de integração deve ser suficientemente alto

para que o sistema ultrapasse o regime transiente, assim possibilitando a apropriação

dos dados corretos sobre a amplitude e frequência de vibração. Este comportamento

se mantém durante todo o regime de sincronização. Estas mudanças de comporta-

mento se repetem da mesma forma ao sair da zona de sincronização.

A partir da Fig. 5.5 é possível afirmar que o tempo de integração deve ser no

mínimo 4000 para que seja desenvolvido o comportamento periódico. A obtenção

54

0 1000 2000 3000 4000 5000−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

t*

y*

u*=4.7677

Figura 5.4: Resposta temporal próxima da zona de sincronização.

0 1000 2000 3000 4000 5000−0.2

−0.1

0

0.1

t*

y*

u*=4.7879

Figura 5.5: Resposta temporal na zona de sincronização.

da amplitude e da frequência de vibração é feita a partir de um intervalo próximo ao

tempo final da simulação. Dentro desse intervalo, a amplitude de vibração é obtida

a partir de um algoritmo que busca o deslocamento máximo absoluto da resposta

temporal e a frequência de vibração é obtida a partir de um algoritmo empregando

a Transformada de Fourier do deslocamento da estrutura.

As medidas tomadas se mostraram eficientes para obter da melhor forma possí-

vel estes dados essenciais para a Quantificação de Incertezas. No entanto, caso as

condições de razão mássica sejam muito diferentes é necessário rever o tempo final

de integração.

5.1.2 Reprodução do comportamento experimental

O objetivo desta análise é verificar se o modelo utilizado captura as características

observadas experimentalmente para o fenômeno das VIV. Na Fig. 5.6 estão reprodu-

zidos os resultados experimentais para o caso em quem∗ = 320 e (m∗+Cm)ζ = 0,251.

Os dados experimentais marcados por () foram obtidos por [108] apud [37], para

um cilindro circular livre para vibrar na direção transversal exposto às VIV devido

ao escoamento de ar. Já, os dados experimentais marcados por (•) foram obtidos

recentemente na tentativa de reproduzir este experimento utilizando a água como

55

fluido [37].

Figura 5.6: Resultados experimentais para m∗ = 320 e (m∗ + Cm)ζ = 0,251 [37].

As simulações do modelo levaram aos resultados expostos na Fig. 5.7. Para tanto,

é escolhida uma faixa de velocidades reduzidas tal que 4 < u∗ < 6. Na simulação,

a faixa de velocidades reduzidas foi dividida em 100 pontos igualmente espaçados,

para cada ponto as equações do modelo foram integradas numericamente até atingir

o regime permanente. Os resultados para a amplitude reduzida e frequência reduzida

de vibração foram obtidos dentro deste regime.

4 4.5 5 5.5 60

0.1

0.2

u*

a*

4 4.5 5 5.5 60.9

1

1.1

1.2

u*

f*

Figura 5.7: Resultados a partir da simulação do modelo para m∗ = 320 e (m∗ +Cm)ξ = 0,251.

Nota-se que a concordância entre os resultados obtidos experimentalmente e

através da simulação do modelo apresentam algumas discrepâncias quanto a ampli-

tude e extensão da sincronização. Entretanto, é possível que através do ajuste dos

56

parâmetros κ e ε, o modelo seja capaz de apresentar maior aderência aos resulta-

dos observados experimentalmente. De fato, a investigação sobre as capacidades do

modelo é um dos objetivos da Quantificação de Incertezas.

A frequência reduzida apresenta uma oscilação em torno do valor f ∗ = 1 durante

a sincronização. De forma que, a sincronização no modelo fica melhor caracterizada

pela grande amplitude de vibração. Logo, nos resultados apresentados na sequência,

o gráfico da frequência reduzida será suprimida sempre que não apresentar nenhum

resultado significativo.

5.1.3 Avaliação do método de CE

O desempenho do método de CE para o presente problema é avaliado a partir de uma

comparação com o método de MC. Para esta proposta, é escolhida a propagação de

uma incerteza sobre a velocidade de corrente. Desta forma, a velocidade de corrente

é uma variável incerta dada por

u ≡ U(θ) = U + σUξ(θ), (5.1)

onde U = 0,5 é o valor nominal, σU = 1/10√

12 é o desvio padrão e ξ é uma variável

estocástica com distribuição uniforme de média nula e desvio padrão unitário. Esta

modelagem estocástica, faz com que a velocidade de corrente incerta tenha chances

iguais de assumir valores dentro da faixa 0,45 < U < 0,55. Lembrando que a

partir da Eq. 2.9 é possível obter uma relação entre a velocidade de corrente u e

a velocidade reduzida u∗, o valor nominal para U implica em u∗ = 5. Para esta

velocidade reduzida o sistema se encontra em sincronização conforme a Fig. 5.7.

A precisão adotada é ǫ = 1×10−2 para a diferença relativa entre a variância de A∗

de dois níveis subsequentes. No caso do método de MC, os níveis são considerados

a cada 100 amostragens quasi-randômicas e, para o caso do método de CE, são

considerados os níveis hierárquicos S. Os resultados estão apresentados na Tab. 5.2.

Nota-se que, como em muitos casos de problemas probabilísticos, a convergência para

o valor médio é mais rápida do que para a variância. O critério de convergência foi

atingido pelo método de CE com o nível hierárquico S = 8 composto por 257 nós,

enquanto pelo método de Monte Carlo foram necessários 900 amostragens. Para

a mesma precisão, o método de CE realizou aproximadamente três vezes menos

simulações do que o método de MC. Esta característica foi verificada para outros

valores nominais da velocidade de corrente incerta mantendo a mesma variância.

Isto é uma grande vantagem caso o tempo computacional para resolver o modelo

determinístico seja elevado. Além do mais o método de CE realiza uma aproximação

polinomial da solução, ou seja, além de obter uma aproximação para a média e a

variância da variável estocástica, é possível através da amostragem quasi-randômica

57

obter uma função densidade de probabilidade para as realizações de A∗.

E[A∗] Var(A∗) PontosMC 0,0678 0,0040 900CE 0,0671 0,0039 257

Tabela 5.2: Comparação entre os métodos de MC e CE

Ainda para esta variável incerta, um outro estudo foi realizado. Alguns méto-

dos de resolução de equações estocásticas apresentam divergência para o valor da

variância conforme a evolução da integração temporal [93]. Para verificar a im-

plementação da metodologia proposta, foi realizado um estudo sobre a evolução

temporal da variância para o deslocamento de y∗. Neste estudo foi considerado

como correto a evolução da variância obtida através do método de MC com 1× 103

simulações. A precisão exigida para a convergência foi que a diferença relativa entra

a variância obtida pelo método de MC e pelo método de CE para todos os pontos,

t∗i ∈ [4900, 5000], i = 1, . . . ,100, fossem menores do que ǫ = 1× 10−2. O método de

CE atingiu a convergência no nível hierárquico S = 8 com 257 nós.

A escolha do método de CE para a propagação de incertezas através deste modelo

se mostrou adequada e conveniente. Uma vez que um número de simulações menor

do que pelo método de MC foi necessária para obter o mesmo nível de precisão nos

primeiros momentos estatísticos.

5.2 Análise crítica do modelo

A Quantificação de Incertezas é utilizada para obter uma visão crítica do modelo.

Em se tratando de um sistema não-linear, a análise direta sobre a relação das va-

riáveis de entrada com a resposta para a quantidade de interesse é complexa. Uma

maneira de tratar este problema segue a metodologia proposta pela Quantificação

de Incertezas. Através da propagação de incertezas sobre as variáveis de entrada, é

possível verificar os efeitos no resultado para a quantidade de interesse.

As análises apresentadas abaixo adotam alguns procedimentos em comum. As

análises são realizadas a partir de dados obtidos para um intervalo de velocidades

reduzidas de 4 < u∗ < 6, discretizado em 100 pontos igualmente espaçados. Para

cada ponto u∗i , as variáveis incertas são propagadas através do modelo até que o

critério de convergência, dado pela Eq. 4.27, ou o nível hierárquico máximo seja

atingido. Adota-se o valor para a precisão ǫ = 1×10−2 e o nível hierárquico máximo

Smax = 12.

As variáveis incertas X são descritas genericamente por

X(θ) = X + σXξ(θ), (5.2)

58

onde X são as médias, σX são os desvios padrões e ξ são variáveis estocásticas com

distribuição uniforme de média nula e desvio padrão unitário. A modelagem da

variável incerta através de uma distribuição uniforme se dá ao fato de que a análise

realizada é de interesse investigativo. Desta forma, para caracterizar uma variável

incerta basta escolher o intervalo de valores que ela pode assumir.

Os resultados são apresentados na forma de gráficos relacionando a amplitude de

vibração reduzida A∗ com a velocidade reduzida U∗. As linhas tracejadas indicam

o envelope dos resultados obtidos nas simulações, ou seja, a área entre estas duas

linhas indica resultados possíveis. Neste mesmo gráfico, os marcadores (•) são as

realizações obtidas a partir do valor nominal da variável incerta, ou seja, quando ξ =

0. A média e uma variabilidade para a amplitude de vibração reduzida computada

estão representadas na forma de barras de erro, onde o marcador (•) representa a

média dos resultados e a barra de erro representa uma variabilidade dada por 10%

do desvio padrão para mais e para menos.

Algumas funções densidade de probabilidade são apresentadas para a zona de

sincronização através de amostragem quasi-randômica da solução. Esta prática é

possível devido ao fato de que no método de CE, a solução estocástica é aproximada

por uma interpolação polinomial. Estes dados serão obtidos considerando que a

sincronização ocorre quando a∗ > 0,05. Esta prática pode ser enunciada da seguinte

forma: Dado um sistema com variáveis incertas que está em sincronização, a chance

de ocorrência de um dado evento é expressa através da respectiva função densidade

de probabilidade. A interpretação estatística implica em uma probabilidade condi-

cional, ou seja, a probabilidade de ocorrer um evento, dado que o sistema está em

sincronização. Alguns exemplos de como fazer uso desta informação são discutidos

para cada caso em particular.

5.2.1 Incerteza associada à velocidade de corrente

Os motivos para caracterizar a velocidade de corrente como uma variável incerta já

foram discutidos no capítulo anterior. Na presente análise, a modelagem da incerteza

sobre a velocidade de corrente é feita para avaliar os efeitos da sua variabilidade sobre

a resposta da quantidade de interesse. Desta forma, será adotado uma média e um

desvio padrão com valores para a finalidade de investigação.

Para cada ponto u∗i , a velocidade de corrente Ui é uma variável incerta dada por

Ui(θ) = Ui + σUξ(θ), (5.3)

onde Ui = u∗i /10 é a média, σU = 1/10√

12 é o desvio padrão e ξ é uma variável

estocástica com distribuição uniforme de média nula e desvio padrão unitário. Isto

faz com que a modelagem da incerteza sobre a velocidade de corrente seja diferente

59

para cada ponto da velocidade reduzida u∗i . No entanto, para qualquer ponto u∗ia variabilidade de U é a mesma. A variabilidade é escolhida de forma arbitrária

tomando 10% do valor nominal da velocidade de corrente para mais e para menos.

Para esta modelagem de incerteza sobre a velocidade de corrente, o nível hierárquico

médio necessário para atingir o critério de convergência foi S = 8. Somando os nós

dos grides esparsos de cada incremento u∗i , foram resolvidos 70756 nós no processo

de propagação de incertezas pelo método de CE.

A Fig. 5.8 resume algumas informações importantes obtidas com a Quantificação

de Incertezas. É possível observar que a incerteza sobre a velocidade de corrente age

como uma translação nos resultados, movendo a curva das amplitudes de vibração

obtidas a partir do valor nominal da variável incerta para frente e para trás. Isto

é devido ao fato de que a variável dependente do gráfico é uma função linear da

variável incerta em questão. Como conclusão, é possível dizer que a incerteza sobre

a velocidade de corrente não modifica a amplitude máxima de vibração do sistema,

mas estende a região de sincronização.

4 4.5 5 5.5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

a*

u*

Figura 5.8: Envelope da amplitude reduzida de vibração devido à velocidade decorrente incerta.

A Fig. 5.9 apresenta a média e a variabilidade para os resultados da amplitude

de vibração reduzida computada. A velocidade de corrente incerta provocou maior

variabilidade sobre a amplitude de vibração nas proximidades e durante a sincroniza-

ção. Isto é devido ao fato de que em toda essa região a incerteza sobre a velocidade

de corrente pode implicar ou não na existência da sincronização, caso esteja em

sincronização as amplitude são muito altas, caso não esteja em sincronização as am-

plitudes são muito baixas. Por este motivo a variabilidade dos resultados é alta. Das

Fig. 5.8 e Fig. 5.9, observa-se que o resultado para o valor nominal da velocidade

60

de corrente incerta não é o mesmo que a média dos resultados. Esta conclusão por

si só revela a importância da Quantificação de Incertezas para melhor entender um

modelo.

4 4.5 5 5.5 60

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

a*

u*

Figura 5.9: Média e variabilidade da amplitude reduzida de vibração devido à velo-cidade de corrente incerta.

A análise determinística tradicional apresentaria apenas as informações como

na Fig. 5.7. A Quantificação de Incertezas apresenta informações adicionais mo-

dificando o panorama da simulação numérica. Por exemplo, considerando a incer-

teza sobre a velocidade de corrente como uma variabilidade identificada no sistema,

quando a velocidade reduzida é u∗ = 4,7677, uma análise determinística para o va-

lor nominal da velocidade de corrente apresenta amplitude reduzida de vibração da

ordem de a∗ ≈ O(10−3), Fig. 5.4. No entanto, considerando a variabilidade proposta

sobre o valor nominal para a velocidade de corrente, a média dos resultados para a

amplitude reduzida de vibração é da ordem de a∗ ≈ O(10−2), Fig. 5.9. Embora esta

diferença de uma ordem de grandeza possa parecer pequena, ela pode causar grandes

impactos caso este modelo seja utilizado como parte da análise da vida em fadiga

de uma estrutura. Caso na análise de vida em fadiga da estrutura seja utilizada a

abordagem de Quantificação de Incertezas, até mesmo a variabilidade da amplitude

reduzida de vibração em torno da média se torna importante. Inclusive, neste caso,

uma informação adicional pode ser obtida a partir da amostragem quasi-randômica

da aproximação polinomial para a solução estocástica de A∗: a função densidade de

probabilidade para a ocorrência de uma amplitude reduzida de vibração para uma

dada velocidade reduzida. A Fig. 5.10 apresenta a função densidade de probabili-

dade para u∗ = 4,7677. Esta informação pode ser usada como dado de entrada no

modelo de análise da vida em fadiga de estruturas.

61

0 0.05 0.1 0.150

50

100

150

200

250

a*

Dis

trib

uiç

ão d

e P

roba

bilid

ad

e

u*=4,7677

Figura 5.10: Função densidade de probabilidade da amplitude reduzida de vibraçãodevido à velocidade de corrente incerta quando u∗ = 4,7677.

As amplitudes reduzidas de vibração se acumulam no ramo inferior e no ramo

superior, como foi comentado anteriormente. A densidade de probabilidade para

ocorrência de amplitudes reduzidas numa grande faixa é nula. Isto reforça a hipótese

de que a∗ > 0,05 implica no sistema em sincronização.

A Fig. 5.11 apresenta duas funções densidade de probabilidade obtidas para o

sistema em sincronização. Isto caracteriza uma probabilidade condicional, ou seja,

a probabilidade de uma realização de um valor de amplitude reduzida de vibração

ou velocidade reduzida dado que o sistema se encontra em sincronização.

As funções densidade de probabilidade da Fig. 5.11 estão associadas a uma de-

terminada variabilidade sobre a velocidade de corrente. A partir das distribuições de

probabilidade é possível fazer afirmações como: a probabilidade de que a velocidade

reduzida do sistema em sincronização seja menor do que 5 é de 45,98% ou a proba-

bilidade de que a amplitude de vibração reduzida para o sistema em sincronização

seja maior do que 0,13 e menor do que 0,14 é de 48,24%. Este tipo de recurso é

interessante para a tomada de decisões e apresentação formal dos resultados.

As funções densidade de probabilidade complementam os resultados apresenta-

dos na Fig. 5.8 e Fig. 5.9. Estas distribuições confirmam que as amplitudes redu-

zidas de vibração dentro do envelope de resultados se concentram no ramo supe-

rior durante a sincronização, onde 99,25% dos resultados se concentram na faixa

0,11 < a∗ < 0,14, e apresentam informações sobre a densidade de probabilidade

para a ocorrência destes valores. O mesmo ocorre para a velocidade reduzida, onde

a função densidade de probabilidade complementa informações sobre a extensão da

zona de sincronização com a densidade de ocorrências para valores da velocidade

62

0.05 0.1 0.15 0.20

20

40

60

80

a*

4 4.5 5 5.5 60

0.5

1

1.5

u*

Figura 5.11: Funções densidade de probabilidade da velocidade reduzida e da am-plitude reduzida de vibração devido à velocidade de corrente incerta dado que osistema está em sincronização.

reduzida.

A análise realizada apresenta algumas características de uma análise de sensi-

bilidade [19]. A Quantificação de Incertezas se mostrou uma ferramenta útil para

obter informações sobre a relação da velocidade de corrente com a quantidade de

interesse.

5.2.2 Incerteza associada aos parâmetros de ajuste do mo-

delo κ e ε

As variáveis de entrada κ e ε são dois parâmetros de ajuste do modelo. A inves-

tigação das incertezas sobre estas variáveis pode trazer muitas informações acerca

da capacidade do modelo reproduzir características observadas experimentalmente.

A análise investiga as variáveis incertas individualmente e em conjunto. A partir

desta metodologia, busca-se não só obter mais informações sobre a sensibilidade da

quantidade de interesse à estes parâmetros, mas também utilizar a Quantificação de

Incertezas como ferramenta para aumentar a credibilidade no modelo.

A modelagem de incertezas para as variáveis κ e ε são baseadas no ajuste rea-

lizado em [15]. A motivação foi a variabilidade dos dados experimentais utilizados

para ajustar os parâmetros. A Fig. 5.12 apresenta uma proposta para os limites dos

valores para os parâmetros de ajuste baseados na contemplação da variabilidade dos

dados experimentais. O intervalo de valores para as das variáveis incertas foi arbi-

trado como 50% do valor nominal para mais e para menos. As duas curvas obtidas

63

foram estimadas a partir de uma equação utilizada para para realizar o ajuste em

[15].

Figura 5.12: Nova proposta de ajuste para os parâmetros como variáveis incertaslimitadas pelas curvas: (·−) para κ = 18 e ε = 0,2 e (· · −) para κ = 6 e ε = 0,4

Embora a modelagem para estas duas variáveis tenha sido motivada pela atuação

de forma conjunta, é interessante avaliar como cada uma delas impacta individual-

mente sob a quantidade de interesse.

Incerteza associada ao parâmetro de ajuste κ

Está análise assume κ como uma variável incerta dada por

κ(θ) = κ + σκξ(θ), (5.4)

onde κ = 12 é a média, σκ = 12/√

12 é o desvio padrão e ξ é uma variável estocástica

com distribuição uniforme de média nula e desvio padrão unitário. Desta forma, a

variável incerta κ(θ) é modelada através de uma função densidade de probabilidade

uniforme, ou seja, κ(θ) tem iguais chances de assumir valores na faixa 6 < κ < 18.

Para esta Quantificação de Incertezas, o nível hierárquico médio necessário para

atingir o critério de convergência foi S = 9. No total, foram resolvidos 115812 nós

neste processo de propagação de incertezas.

A Fig. 5.13 apresenta o envelope dos resultados da amplitude reduzida de vibra-

ção. É possível observar que os efeitos da incerteza sobre o parâmetro κ(θ) agem

como uma amplificação e redução dos resultados para o valor nominal, tanto para a

amplitude reduzida de vibração, como para a extensão zona de sincronização. Desta

forma, é possível afirmar que esta variável incerta tem efeito sobre a amplitude má-

xima de vibração e a extensão da faixa de sincronização.

64

4 4.5 5 5.5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

a*

u*

Figura 5.13: Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a κ(θ).

A Fig. 5.14 apresenta média e a variabilidade para a amplitude de vibração

reduzida computada. A incerteza sobre o parâmetro de ajuste κ(θ) provocou maior

variabilidade sobre a amplitude de vibração nas nas proximidades da entrada e da

saída da sincronização.

4 4.5 5 5.5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

a*

u*

Figura 5.14: Média e variabilidade de A∗ devido a κ(θ).

Das Fig. 5.13 e Fig. 5.14, observa-se que o resultado da amplitude reduzida de

vibração para o valor nominal de κ(θ) é muito próximo dos resultados para a média

em grande parte da zona de sincronização. Isto sugere que os efeitos da variabi-

lidade simétrica sobre o valor nominal de κ(θ) refletem em uma leve simetria no

65

efeitos sobre a amplitude reduzida de vibração. Nas zonas de entrada e saída da

zona de sincronização, a média dos resultados difere do resultado para o valor nomi-

nal. Isto pode ser devido ao fato de que os resultados ora em sincronização e ora fora

de sincronização refletem em amplitudes de vibração de magnitudes muito diferen-

tes. Consequentemente, reduzindo o valor da média dos resultados e aumentando a

variabilidade nestas regiões.

As funções densidade de probabilidade da Fig. 5.15 estão associadas a uma de-

terminada variabilidade sobre o parâmetro de ajuste do modelo κ(θ). Entretanto,

algumas informações podem ser obtidas a partir da análise das distribuições. A

partir do gráfico da distribuição das amplitudes de vibração durante a sincronização

é possível notar uma leve simetria ao redor do valor obtido para o valor médio, como

foi sugerido antes.

4 4.5 5 5.5 60

1

2

u*

0.05 0.1 0.15 0.20

10

20

30

a*

Figura 5.15: Funções densidade de probabilidade da velocidade reduzida e da ampli-tude reduzida de vibração devido a κ(θ) dado que o sistema está em sincronização.

As funções densidade de probabilidade estão associadas à variabilidade adotada

para κ(θ). A partir das distribuições de probabilidade é possível fazer afirmações

como, a probabilidade de que a velocidade reduzida do sistema em sincronização

seja menor do que 5 é de 41,29% ou média da amplitude de vibração reduzida do

sistema em sincronização é a∗ = 0,129.

O parâmetro de ajuste κ está ligado à amplificação do forçamento da esteira.

De maneira intuitiva, é possível dizer que a incerteza sobre este parâmetro acarreta

em mudanças na amplitude de vibração. No entanto, a partir da Quantificação de

Incertezas observa-se é possível afirmar que o valor para κ também tem efeito sobre

a extensão da zona de sincronização.

66

Incerteza associada ao parâmetro de ajuste ε

Esta análise assume ε como uma variável incerta dada por

ε(θ) = ε+ σεξ(θ), (5.5)

onde ε = 0,3 é a média, σε = 2/10√

12 é o desvio padrão e ξ é uma variável esto-

cástica com distribuição uniforme de média nula e desvio padrão unitário. Desta

forma, a variável incerta ε(θ) é modelada através de uma função densidade de pro-

babilidade uniforme, ou seja, ε(θ) tem iguais chances de assumir valores na faixa

0,2 < ε < 0,4. Para esta Quantificação de Incertezas, o nível hierárquico médio ne-

cessário para atingir o critério de convergência foi S = 9. No total, foram resolvidos

141924 nós neste processo de propagação de incertezas.

A Fig. 5.16 apresenta o envelope dos resultados para a amplitude reduzida de

vibração. É possível observar que a incerteza sobre o parâmetro ε(θ) favorece o

aumento da amplitude máxima de vibração assim como um leve deslocamento da

faixa de sincronização para velocidades reduzidas mais elevadas.

4 4.5 5 5.5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

a*

u*

Figura 5.16: Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a ε(θ).

A Fig. 5.17 apresenta média e a variabilidade para a amplitude de vibração

reduzida computada. A incerteza sobre o parâmetro de ajuste ε(θ) provocou maior

variabilidade sobre a amplitude de vibração nas proximidades da entrada e da saída

da sincronização.

As funções densidade de probabilidade da Fig. 5.18 estão associadas a uma de-

terminada variabilidade sobre o parâmetro de ajuste do modelo ε(θ). Assim como

para a incerteza sobre o parâmetro κ(θ), a partir do gráfico da distribuição das am-

67

4 4.5 5 5.5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

a*

u*

Figura 5.17: Média e variabilidade de A∗ devido a ε(θ).

plitudes de vibração durante a sincronização é possível notar uma leve simetria em

torno do valor referente ao pico de densidade de probabilidade.

4 4.5 5 5.5 60

1

2

u*

0.05 0.1 0.15 0.20

20

40

60

a*

Figura 5.18: Funções densidade de probabilidade da velocidade reduzida e da ampli-tude reduzida de vibração devido a ε(θ) dado que o sistema está em sincronização.

A variabilidade sobre o parâmetro de ajuste ε(θ) tem influências na amplitude

máxima de vibração e na faixa de sincronização.

68

Incerteza associada à ambos os parâmetros de ajuste

A Quantificação de Incertezas é realizada assumindo que existem incertezas sobre

ambos os parâmetros de ajuste do modelo. Desta forma as variáveis incertas serão

dadas por

κ(θ) = κ+ σκξ1(θ), ε(θ) = ε+ σεξ2(θ), (5.6)

onde κ = 12 é a média de κ(θ), σκ = 12/√

12 é o desvio padrão de κ(θ), ε = 0,3

é a média de ε(θ), σε = 2/10√

12 é o desvio padrão de ε(θ), ξ1 e ξ2 são duas

variáveis estocásticas estatisticamente independentes com distribuição uniforme de

média nula e desvio padrão unitário.

A hipótese de independência estatística das variáveis estocásticas parece razoável,

uma vez que os parâmetros de ajuste do modelo não são associados diretamente à

nenhuma grandeza física. Desta forma, seria muito difícil inferir algum tipo de

correlação entre os dois parâmetros.

Devido a este problema envolver duas variáveis estocásticas, o número de nós

compondo cada nível hierárquico é alto, por exemplo, nos problemas unidimensionais

anteriores o nível hierárquico máximo computado foi Smax = 12, que é composto por

4097 nós. Já para o problema bidimensional, o mesmo nível hierárquico é composto

por 32769 nós, ou seja, aproximadamente 8 vezes mais nós e consequentemente,

o tempo de computação aumenta muito. Para reduzir o tempo de simulação, o

nível hierárquico máximo permitido foi Smax = 10, que é composto por 7169 nós.

Como consequência, algumas vezes o nível hierárquico máximo foi atingido antes

que critério de convergência η < 1× 10−2 fosse satisfeito. No total, foram resolvidos

628580 nós neste processo de propagação de incertezas.

A Fig. 5.19 apresenta o envelope dos resultados para a amplitude reduzida de

vibração. É possível observar que os efeitos das incertezas em conjunto não é apenas

uma justaposição dos resultados anteriores. A combinação das incertezas sobre os

parâmetros de ajuste implicou em variações na amplitude reduzida de vibração e na

extensão da zona de sincronização.

A Fig. 5.20 apresenta média e a variabilidade para a amplitude de vibração

reduzida. Estes resultados se parecem muito com o da Fig. 5.14 obtida para a

variável incerta κ(θ). O valor médio para os resultados é muito próximo ao resultado

obtido para o valor nominal das variáveis incertas.

Das Fig. 5.19 e Fig. 5.20, observa-se que o resultado para os valores nominais das

variáveis incertas é muito próximo do que para a média dos resultados em grande

parte da zona de sincronização.

As funções densidade de probabilidade da Fig. 5.21 estão associadas a uma de-

terminada variabilidade sobre os parâmetros de ajuste do modelo κ(θ) e ε(θ). Di-

ferentemente dos resultados obtidos para as duas variáveis incertas consideradas de

69

4 4.5 5 5.5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

a*

u*

Figura 5.19: Envelope da amplitude reduzida de vibração devido a κ(θ) e ε(θ).

4 4.5 5 5.5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

a*

u*

Figura 5.20: Média e variabilidade da amplitude reduzida de vibração devido a κ(θ)e ε(θ).

forma individual, a função densidade de probabilidade para a amplitude reduzida

de vibração não aparenta simetria. A distribuição de probabilidade apresenta boa

densidade de probabilidade de ocorrência para valores mais elevados da amplitude

reduzida de vibração do que para as incertezas consideradas de forma individual.

A tentativa de contemplar a dispersão dos dados experimentais revelou que o

comportamento do modelo apresenta na média um resultado muito próximo do

que para o valor nominal das variáveis. No entanto, a Fig. 5.19 mostra que as

possibilidades para a resposta do modelo são muito diferentes para os casos extremos

70

0.05 0.1 0.15 0.20

10

20

30

a*

4 4.5 5 5.5 60

1

2

u*

Figura 5.21: Funções densidade de probabilidade da velocidade reduzida e da am-plitude reduzida de vibração devido a κ(θ) e ε(θ) dado que o sistema está em sin-cronização.

limitados pelas linhas tracejadas.

A análise de Quantificação de Incertezas do modelo considerando incertezas sobre

os valores para os dois parâmetros de ajustes revelou que é possível obter maiores

amplitudes de vibração e maior extensão da região de sincronização a partir do ajuste

destes parâmetros. Entretanto, a sensibilidade quanto aos efeitos sobre a amplitude

de vibração são maiores do que em relação a extensão da zona de sincronização.

71

Capítulo 6

Conclusões

Muitos tipos de estruturas submetidas a correntes marinhas ou vento podem sofrer

VIV, e.g., prédios altos, chaminés, pontes, risers e estruturas marítimas em geral.

A esbeltez e a flexibilidade de algumas destas estruturas são agravantes para o

problema. Nas aplicações de estruturas marítimas, a predição das VIV em estruturas

esbeltas são verdadeiros desafios para os projetistas. Nestes casos é preciso levar em

conta as VIV como causa potencial de dano em fadiga [6, 7].

A metodologia de Quantificação de Incertezas foi aplicada nas predições do fenô-

meno de VIV. Para tanto foi considerado um modelo fenomenológico baseado no

oscilador de van der Pol com variáveis de entrada incertas. A propagação das incer-

tezas através do modelo foi realizada sob uma abordagem probabilística utilizando

o método de Colocação Estocástica baseado nos grides esparsos de Smolyak.

A simplicidade do modelo para as previsões de VIV possibilitou um grande nú-

mero de simulações com precisão adequada. Foram analisadas características qua-

litativas do modelo para o caso de alta razão mássica, que permitiram obter mais

informações com o objetivo de aumentar a credibilidade do modelo.

A incerteza sobre a velocidade de corrente reflete na extensão da zona de sincro-

nização, no entanto, a amplitude máxima de vibração do sistema permanece inal-

terada. Já a incerteza sobre os parâmetros de ajuste κ(θ) e ε(θ) provocam efeitos

tanto na amplitude máxima de vibração, como na extensão da faixa de sincroniza-

ção. Logo, o modelo apresenta potencial para apresentar maior aderência com os

dados experimentais a partir do ajuste destes parâmetros, em especial para os casos

de alta razão mássica.

O método de CE se mostrou eficiente para a propagação de incertezas atra-

vés do modelo possibilitando a extração de informações relevantes a partir do pós-

processamento dos resultados. As funções densidade de probabilidade obtidas para

a zona de sincronização complementaram as informações dos gráficos de envelope e

barras de erro.

A aplicação da metodologia de Quantificação de Incertezas forneceu informações

72

adicionais relevantes sobre o desempenho de um modelo para previsão de VIV. Tam-

bém foi apresentado que pequenas incertezas sobre as variáveis de entrada podem

refletir em mudanças no comportamento do sistema. Desta forma, evidenciando a

necessidade da aplicação da Quantificação de Incertezas para aumentar a credibili-

dade em modelos e simulações de problemas em Engenharia.

Como propostas para trabalhos futuros seria interessante empregar a metodo-

logia de Quantificação de Incertezas para as outras variáveis do modelo proposto.

Encontrando, desta forma, os efeitos de cada incerteza sobre o comportamento do

sistema.

Outro fator importante é obter dados experimentais de maior significância, pos-

sibilitando conclusões mais confiáveis sobre a capacidade do modelo reproduzir o

comportamento experimental a partir da simulação computacional. Também é inte-

ressante empregar outros modelos fenomenológicos semelhantes de predição para as

VIV. Muitos modelos são propostos com não-linearidades na dinâmica da estrutura,

o que pode mudar de forma significativa o comportamento do sistema.

A eficiência do método de propagação de incertezas pode ser explorada a partir

do emprego do método de CE adaptativo proposto em [93]. Este método utiliza

polinômios de suporte local para capturar grandes gradientes ou descontinuidades,

aumentando a taxa de convergência e fornecendo uma medida de erro local. Isto

poderia acelerar as simulações e permitir que mais variáveis estocásticas fossem

adicionadas em conjunto nas análises.

Além de apresentar as conclusões sobre a Quantificação de Incertezas do modelo

adotado, este trabalho cobre aspectos importantes sobre o fenômeno de VIV e sobre

a metodologia de Quantificação de Incertezas. Desta forma, pode ser usado como

ponto de partida para estudos mais específicos.

73

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