VETORESProf. Tadeu A. Martins

Existem dois tipos de grandezas:As Grandezas Escalares: São aquelas definidas por de um número real e de uma unidade de medida.

As Grandezas Vetoriais: Para definirmos as grandezas vetoriais, é preciso ter a noção de três conceitos básicos (direção, sentido e comprimento).Vetores: São representados no plano ou no espaço por segmentos orientados.

A Bv

v = AB, afirmamos que o vetor é determinado pelo segmento AB de origem A e extremidade B.

Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa o vetor v.

v = B – A = AB

CASOS PARTICULARES DE VETORESCada ponto do espaço pode ser considerado como origem do vetor v.

O módulo de um vetor significa o comprimento do vetor v. E indica – se por |v|.

Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0.

A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto –v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção , porém sentido contrário ao de v.

Um vetor v é unitário se |v| = 1.

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

v-v

DCBA

Se os vetores u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, diz – se que eles são coplanares.

OPERAÇÕES COM VETORESADIÇÃO DE VETORES

Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectivamente.

A

B

C

u v

u + v

AC = u + v

OPERAÇÕES COM VETORESADIÇÃO DE VETORES

No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há uma outra maneira de se encontrar o vetor soma u + v

B

C

Regra do Paralelogramo

A

D

u

v

u + v

OPERAÇÕES COM VETORESADIÇÃO DE VETORES

No caso de se determinar a soma de três ou mais vetores:

u

v

u + v w

u + v + w

OPERAÇÕES COM VETORESADIÇÃO DE VETORES

CASO PARTICULAR: Se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro, a soma deles será o vetor zero.

u

v

w

t

u + v + w + t = 0

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

I. Comutativa: u + v = v + u

II. Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)

III. Elemento Neutro: u + 0 = 0 + u = u

IV. Elemento oposto: v + (-v) = -v + v = 0

DIFERENÇA DE VETORESO vetor u + (-v), escreve – se u – v, é chamado de diferença entre u e v

A

D

v

u

u + v

-v

u

u - v

MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR

Dado um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama – se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:a)Módulo: |p| = |kv| = |k||v|;b)Direção: a mesma de v; c)Sentido: o mesmo de v se k > 0; e contrário ao de v se k < 0.OBSERVAÇÕES:1)Se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0;2)Se K = -1, o vetor (-1)v é o oposto de v, isto é, (-1)v = -v.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR

Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:

I)a.(b.u) = (a.b).u

II)(a + b).u = a.u + b.u

III)a.(u + v) = a.u + a.v

IV)1.u = u

VETORES NO R2

Dado o conjunto: R2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R}, é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy.Qualquer vetor AB considerado neste plano tem um representante.Sistema de Coordenadas Retangulares: Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v1, v2) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem (0,0).

Figura: As componentes do vetor V no plano

Figura: As coordenadas de P são iguais as componentes de

A origem do sistema O (0,0) representa o vetor nulo.O vetor oposto de v = (x,y) é o vetor –v= (-x, -y).