Vetores uma introdução

Professor: Antonio dos Anjos Pinheiro da SilvaTutor: Gustavo Luz

VETORES – UMA INTRODUÇÃO

Grandezas Físicas

Escalares e Vetoriais

O conceito de vetor foi introduzido na matemática por físicos para representar quantidades com direção

ALGUNS EXEMPLOS

Velocidade, força, deslocamento

VETORES - DEFINIÇÃO

Vetores são grandezas físicas que ficam completamente caracterizadas estabelecendo para a mesma uma intensidade e uma ORIENTAÇÃO (direção e sentido)

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Vetores se combinam segundo as regras da álgebra vetorial

OPERAÇÕES VETORIAISSOMA

Como somar dois vetores?BA

SOMA DE VÁRIOS VETORES

Regra Geral: Traça-se os vetores unindo a origem de cada um com extremidade do outro. O vetor soma (R) é obtido unindo a origem do 1º vetor à extremidade do último vetor.

Dado os vetores abaixo: A B C D

A B

C

DR

VETORES UNITÁRIOS

BASE CANÔNICA

OPERAÇÕES VETORIAISPRODUTO

Como multiplicamos dois vetores? Há duas formas: uma delas conduz a um número e a outra produz um novo vetor

O PRODUTO ESCALAR

Projetamos geometricamente na direção de e multiplicamos por B (ou vice-versa). Assim:

Note que:

Como fazer esse produto entre os vetores e ?

ABBABA )cos()cos(

ABBA

A

B

A

B

O resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar.

A cos

B

B

DEFINIÇÃO

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR

PRODUTO ESCALAR ATRAVÉS DAS COMPONENTES

kkBAjkBAikBAkjBAjjBAijBAkiBAjiBAiiBA

kBjBiBkAjAiABA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

O produto escalar de dois vetores em termos das suas componentes cartesianas

,0ˆˆˆˆˆˆe1ˆˆˆˆˆˆ jkkijikkjjii

Zzyyxx BABABABA

APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR

APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR

Definição: o produto vetorial de dois vetorespor , é um vetor

i) a direção de é perpendicular ao

plano formado por e ;

ii) o seu módulo é igual à área do

paralelogramo formado por e :

iii) o seu sentido segue à regra da mão direita (figura).

O produto vetorial não é comutativo:

C

AB

AB

BAC

senBAC

ABBA

B

A

C

C

B

A

AB

e

C

, representadoBA

( )tal que:

PRODUTO VETORIAL

PRODUTO VETORIAL DOS VETORES DA BASE CANÔNICA

Sejam os vetores da base canônica

kji ˆ,ˆ,ˆ

PRODUTO VETORIAL - EXEMPLO

EXERCÍCIO PROPOSTO

1) Das operações abaixo quais são possíveis e quais são os resultados? Explique o significado geométrico do item d).

kjj ˆ3)ˆ4ˆ2(

jii ˆ4)ˆ3ˆ2(

iji ˆ4)ˆ3ˆ2(

kji ˆ4)ˆ3ˆ2( Resp: volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

a)

c)

b)

d)

EXERCÍCIO PROPOSTO

2) Dados os vetores: Determinar: a) o módulo de b) o ângulo de com c) o módulo e o ângulo de com d) o ângulo entre as direções de e

jibjia ˆ0,8ˆ0,6eˆ0,3ˆ0,4

a

ba

ab

ab

ba

ij