Vetores, Parte 2

Prof. Simões

Soma vetorial usando a lei dos cossenos• Quando necessitamos somar dois vetores, conhecendo o módulo de cada

um e o ângulo que eles formam entre si, podemos usar a Lei dos Cossenos.

• Essa lei diz que, para qualquer triângulo, valem as seguintes regras:

Soma vetorial usando a lei dos cossenos• Suponhamos que dois vetores u=6,3 e v=5,0,

formando um ângulo α=110° entre si devam ser somados (para o cálculo da resultante):

Soma vetorial usando a lei dos cossenos

110°

70°

𝑥

𝑦

Soma vetorial usando a lei dos cossenos• A resultante pode ser calculada por movermos um dos

vetores paralelamente, de modo a formar um triângulo.• No exemplo, o vetor de módulo 5,0 foi movido, resultando

num triângulo com ângulo interno β=70°

𝛽 = 180 − 𝛼

Soma vetorial usando a lei dos cossenos• Aplicando a lei dos cossenos, teremos

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 5,0 2 6,3 2 cos 𝛽

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 5,0 2 6,3 2 cos 180˚ − 𝛼

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 5,0 2 6,3 2 cos 180˚ − 110˚

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 5,0 2 6,3 2 cos 70˚

𝑅 = 6,6

Soma vetorial usando a lei dos cossenos• É mais conveniente utilizar

diretamente o ângulo que os vetores formam entre si, neste exemplo α=110°

• Podemos lembrar que, para qualquer ângulo será verdade que:

cos 𝛼 = −cos 180 − 𝛼Ou

cos 110° = − cos 180° − 110°

Soma vetorial usando a lei dos cossenos

Então, ao invés de:

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 4,0 2 cos 180° − 110°

Podemos escrever:

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ − 2 2 4,0 2 − cos 110 °

𝑅+ = 5,0+ + 6,3+ + 2 2 4,0 2 cos 110

Soma vetorial usando a lei dos cossenos

R

R2 =u2 + v2 +2uvcosαR2 =52 +6,32 +2⋅5⋅6,3⋅cos110˚R =6,6

Generalizando, na soma de dois vetores, quando usamos o ângulo entre os vetores (𝛼), fazemos:

𝑅+ = 𝑢+ + 𝑣+ + 2𝑢𝑣 2 cos 𝛼

No exemplo:

Lei dos senos

𝑎𝑠𝑒𝑛 @𝐴

=𝑏

𝑠𝑒𝑛 C𝐵=

𝑐𝑠𝑒𝑛 @𝐶

• O ângulo da resultante poderá ser calculado em relação a um dos vetores dados com a lei dos senos:

Lei dos senos• Demonstração

Lei dos senos• Como já sabemos o valor de R, fazemos:

6,6𝑠𝑒𝑛 70° =

5,0𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑠𝑒𝑛 𝛾 =5,0 2 𝑠𝑒𝑛 70°

6,6

𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 0,712

𝛾 = 45,4˚

𝛾

AplicaçãoDuas pessoas puxam um barco, de modo que as cordas formem um ângulo de 60° entre si. Determine a força resultante e a direção do movimento do barco em relação ao vetor �⃗�+.

�⃗�J = 100 𝑁

�⃗�+ = 150 𝑁

60°𝛼 =?𝑅 =?

𝑅+ = 100+ + 150+ + 2 2 100 2 150 2 cos 60°

𝑅 = 218

100𝑠𝑒𝑛 𝛼

=218

𝑠𝑒𝑛 180 − 60⇒ 𝛼 = 23,4°

100 𝑁

150 𝑁