UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI … · MATEMÁTICA FINANCEIRA, SISTEMAS DE...
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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES – URI CAMPUS DE SANTO ÂNGELO/RS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO – MESTRADO PROFISSIONAL SILVERIO FORTUNATO MATEMÁTICA FINANCEIRA, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: UMA PROPOSTA PRÁTICA COM A CALCULADORA HP-12C SANTO ÂNGELO (RS) 2013
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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES –
URI CAMPUS DE SANTO ÂNGELO/RS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO CIENTÍFICO E TECNOLÓGICO –
MESTRADO PROFISSIONAL
SILVERIO FORTUNATO
MATEMÁTICA FINANCEIRA, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: UMA PROPOSTA PRÁTICA COM A
CALCULADORA HP-12C
SANTO ÂNGELO (RS)
2013
1
SILVERIO FORTUNATO
MATEMÁTICA FINANCEIRA, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: UMA PROPOSTA PRÁTICA COM A UTILIZAÇÃO
DE CALCULADORA HP-12C
Dissertação de Mestrado em Ensino Científico e
Tecnológico para obtenção do título de Mestre em
Ensino Científico e Tecnológico pela Universidade
Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões –
URI Cmapus de Santo Ângelo, Departamento de
Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-
Graduação em Ensino Científico e Tecnológico –
Mestrado Profissional.
Orientadora: Profa. Dra. Nilce Fátima Scheffer
Santo Ângelo (RS)
2013
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F745m Fortunato, Silverio
Matemática financeira, sistemas de amortização de empréstimos e
análise de investimentos : uma proposta prática com a calculadora HP-12C
/ Silverio Fortunato. – Santo Ângelo: URI, 2013.
120 f.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Regional Integrada do Alto
Uruguai e das Missões – URI – Santo Ângelo. – Programa de Pós-
Graduação em Ensino Científico e Tecnológico, 2013.
1. Matemática financeira 2. Sistemas de amortização 3. Novas
tecnologias I. Título.
CDU: 51.003.2 Responsável pela catalogação: Fernanda Ribeiro Paz - CRB 10 / 1720
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3
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiro a Deus, pela vida e por todas as oportunidades que me deu em
minha trajetória pessoal e profissional. Sem Ele nada podemos.
À Profa. Dra. Nilce Fátima Scheffer, pelo incentivo, paciência e solidariedade em
toda a trajetória do Mestrado e em toda a vida em que juntos lutamos, como colegas de
graduação e de trabalho. Agradeço a Deus por tê-la colocado em meu caminho.
À minha esposa Inês, por relevar minhas ausências, pela paciência e incentivo em
todas as minhas iniciativas nas quais, mesmo quando errei, ela sempre esteve ao meu lado.
Aos meus filhos Pedro, André e João Paulo, por entenderem minha ausência e pela
compreensão em todos os momentos difíceis de minha vida.
Aos meus pais, Ulisses (in memoriam) e Josephina, que me deram a vida e que
sempre me incentivaram na trajetória estudantil.
À minha sogra, Oliva, que sempre me incentivou, criou meus filhos e sempre esteve
ao lado de nossa família.
Ao professor Claodomir Martinazzo, pelo incentivo técnico, por sempre ter estado ao
meu lado nas horas de paciência com o computador.
À URI Erechim, que sempre me liberou para que pudesse realizar o Mestrado.
A todos os professores e funcionários do programa de Mestrado em Ensino
Científico e Tecnológico da URI Santo Ângelo.
Aos alunos do Curso de Administração que participaram das oficinas realizadas e
dos questionários feitos.
Enfim, minha gratidão a todos que contribuíram para que chegássemos até aqui.
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LISTA DE SIGLAS
CDC – Crédito Direto ao Consumidor
CHS – Troca de sinal de uma operação +/-
CF j – Fluxo de Caixa
FAPES – Fundação Alto Uruguai para Pesquisa e Ensino Superior
FC – Fluxo de Caixa
FCD – Fluxo de Caixa Descontado
FIDENE – Fundação de Integração, Desenvolvimento e Educação do Noroeste do Estado
FRC – Fator de Recuperação de Capital
PMT – Prestação
PRICE – Sistema Francês de Amortização de Empréstimo
SA – Sistema Americano
SAC – Sistema de Amortização Constante
SACRE – Sistema Crescente de Amortização de Empréstimos
SAM – Sistema de Amortização Misto
SAF – Sistema de Amortização Francês
TIR – Taxa Interna de Retorno
TMA – Taxa Mínima de Atratividade
URI – Universidade Regional Integrada
VP – Valor Presente
VF – Valor Futuro
VPL – Valor Presente Líquido
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RESUMO
Este trabalho teve por objeto de investigação a opinião de uma turma do Curso de
Administração da URI Erechim, RS, a respeito da utilização da Calculadora HP-12C no
ensino da Matemática Financeira e no mercado de trabalho. A pesquisa envolveu a realização
de uma revisão teórica a respeito das tecnologias para o ensino da Matemática; do estado da
arte da Matemática Financeira; de algumas definições importantes para o estudo da
Matemática Financeira e de uma prática de resolução de problemas com alunos do mesmo
curso na discussão de conceitos de Juros Simples e Compostos, Sistemas de Amortização de
Empréstimos e Análise de Investimentos utilizando a Calculadora HP-12C e o Emulador da
Calculadora HP-12C ($12C++). Os dados foram coletados a partir de observações e de
instrumentos aplicados aos alunos, no decorrer do desenvolvimento da prática e foram
organizados na forma de categorias. Os resultados apontaram que os alunos consideram a
Calculadora HP-12C uma ferramenta importante para o estudo da Matemática Financeira,
bem como para a tomada de decisões no trabalho. Assim, a maioria dos alunos considera a
tecnologia das calculadoras, os métodos e as técnicas de utilização, fundamentais para a
prática no trabalho se tornar mais eficiente e qualificada.
Palavras-chave: Matemática Financeira. Sistemas de Amortização. Novas Tecnologias.
Ensino Superior.
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ABSTRACT
The aim of this work was to investigate the opinion of a student group of the Administration
Course of URI Erechim, RS, regarding the use of the HP-12C calculator in Financial
Mathematics teaching and in the labor market. The research has involved the conducting of a
theoretical review regarding technologies for mathematics teaching, the state of art of
Financial Mathematics, some important definitions for the study of Financial Mathematics,
and a practice of problem solving with students of the same course in the discussion of
concepts of Simple and Compound Interest Systems, Loan Amortization Systems and
Investment Analysis using the HP-12C calculator and the Emulator of the HP-12C ($ 12C +
+) calculator. Data were collected from observations and instruments applied to the students
during the development of practice and were organized in the form of categories. The results
have showed that students consider the HP-12C calculator an important tool for the study of
Financial Mathematics as well as for making decisions in their work. So, most students
consider the technology of calculators, methods and techniques of use, fundamental to the
work practice, so that it becomes more efficient and qualified.
Keywords: Financial Mathematics. Amortization Systems. New Technologies. Higher
Education.
7
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Cálculo de juros simples ......................................................................................... 60
Tabela 2 - Cálculo de juros compostos ..................................................................................... 62
Tabela 3 - Dados para análise de investimentos ....................................................................... 73
Tabela 4 - Planilha de Financiamento pelo Sistema Price........................................................ 75
Tabela 5 - Planilha de Amortização de Empréstimos pelo Sistema SAC ................................ 78
Tabela 6 - Planilha de Amortização de Empréstimos pelo SAM ............................................. 80
Tabela 7 - Planilha de Amortização de Empréstimos no SAA ................................................ 84
Tabela 8 - Fundo de Amortização ............................................................................................ 85
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Presente Valor do fluxo de caixa modelo-padrão da série postecipada ................... 40
Figura 2 - Futuro Valor do fluxo de caixa modelo-padrão da série ......................................... 41
Figura 3 - Presente Valor do fluxo de caixa da série antecipada .............................................. 42
Figura 4 - Futuro Valor do fluxo de caixa de uma série antecipada ......................................... 43
Figura 5 - Presente Valor do fluxo de caixa de uma renda diferida ......................................... 44
Figura 6 - Presente Valor de um fluxo de caixa não uniforme ................................................. 46
Figura 7 - Futuro Valor de um fluxo de caixa não uniforme .................................................... 46
Figura 8 - Fluxo de caixa para o cálculo do NPV .................................................................... 65
Figura 9 - Fluxo de caixa para o cálculo de PV com incrementos trimestrais ......................... 67
Figura 10 - Fluxo de caixa para o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR) .......................... 68
Figura 11 - Fluxo de caixa para encontrar a taxa de juros de um empréstimo ......................... 69
Figura 12 - Fluxo de caixa para determinar a taxa de juros de um financiamento ................... 69
Figura 13 - Modelo de caixa para fazer análise de investimentos ............................................ 71
Figura 14 - Modelo de caixa para fazer análise de investimentos ............................................ 71
9
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 11
2 CONTEXTUALIZAÇÃO DA PESQUISA E PROBLEMATIZAÇAO DO TEMA ..... 14
3 NOVAS TECNOLOGIAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA ............................. 18
4 MATEMÁTICA FINANCEIRA: UM POUCO DA HISTÓRIA .................................... 22
5 A MATEMÁTICA FINANCEIRA E O ESTUDO: ALGUMAS DEFINIÇÕES. ......... 26
5.1 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS ............................................................... 26
5.1.1 Capitalização contínua .................................................................................................. 27
5.1.2 Capitalização descontínua ............................................................................................ 27
5.1.3 Capitalização simples .................................................................................................... 28
5.1.4 Capitalização composta ................................................................................................. 31
5.1.5 Distinção entre os regimes de juros simples e composto ............................................ 36
5.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ..................................................................................... 36
5.2.1 Equivalência de capitais de juros simples ................................................................... 38
5.2.2 Equivalência de capitais em juros compostos ............................................................. 38
5.2.3 Equivalência de fluxos de caixa .................................................................................... 39
5.3 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS ................................................. 48
5.3.1 Sistema Francês de Amortização - Tabela Price ........................................................ 50
5.3.2 Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................................................. 52
5.3.3 Sistema de Amortização Misto - SAM ......................................................................... 53
5.3.4 Sistema de Amortização Crescente - SACRE ............................................................. 53
5.3.5 Sistema de Amortização Americano - SAA ................................................................. 54
6 OS PROCEDIMENTOD DA PESQUISA ......................................................................... 56
6.1 A PESQUISA: CONTEXTO E SUJEITOS ....................................................................... 56
6.2 MATERIAL USADO NA PRÁTICA: CALCULADORA HP-12C, EMULADOR DA
CALCULADORA HP-12C E COMPUTADORES ................................................................. 57
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6.3 COLETA, ORGANIZAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ................................................ 57
7 PROPOSTA DE ENSINO .................................................................................................. 59
7.1 OFICINAS REALIZADAS ................................................................................................ 59
7.1.1 Oficina I .......................................................................................................................... 59
7.1.2 Oficina II ........................................................................................................................ 63
7.1.3 Oficina III ....................................................................................................................... 70
7.1.4 Oficina IV ....................................................................................................................... 73
7.1.5 Oficina V ......................................................................................................................... 83
8 DADOS E RESULTADOS ................................................................................................. 86
8.1 USO DA CALCULADORA HP-12C PARA TRABALHAR MATEMÁTICA
FINANCEIRA .......................................................................................................................... 86
8.2 OPINIÃO SOBRE AS DIVERSAS OFICINAS TRABALHADAS EM SALA DE AULA.
.................................................................................................................................................. 88
8.3 VANTAGENS E DESVANTAGENS QUANTO À UTILIZAÇÃO DA
CALCULADORA HP-12C NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS .................... 90
8.4 IMPORTÂNCIA DE UM TRABALHO COM ESSAS CARACTERÍSTICAS NO
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO ............................................................................................ 92
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 95
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 100
APÊNDICES ......................................................................................................................... 106
11
1 INTRODUÇÃO
A disseminação das novas tecnologias na sociedade e na educação implica uma
mudança na maneira de ensinar e aprender. Velloso e Albuquerque (1999, p.12) destacam
que boa parte da educação vai ocorrer fora da escola, na residência ligada à rede mundial de
computadores, na mídia, que não pode ser ignorada pelo sistema educacional.
D’Ambrosio (1997, p. 89) destaca a importância de a escola trazer para seu currículo
a educação tecnológica, pois as novas tecnologias trazem aos jovens atuais desafios e
exigências.
A tecnologia não consiste apenas em um recurso a mais para professores utilizarem
em suas aulas, mas consiste, sobretudo, em um meio poderoso que pode propiciar aos alunos
novas formas de gerar e disseminar o conhecimento e, consequentemente, proporcionar uma
formação condizente com os anseios da sociedade.
Neste sentido, a Matemática deve ser mediada por metodologias alternativas e
momentos em que o aluno em formação vivencie novos processos educacionais. Foi com esse
objetivo que realizamos este trabalho com a utilização da Calculadora HP-12C em sala de
aula no ensino e aprendizagem da Matemática Financeira, além de desenvolver uma prática
com os alunos do Curso de Administração da URI Erechim, na disciplina de Matemática
Financeira II, pesquisa esta que teve como objetivo principal a utilização da Calculadora HP-
12C no cálculo de Juros Simples e Compostos, Sistemas de Amortização de Empréstimos e
Análise de Investimentos.
O desenvolvimento da pesquisa ocorreu a partir de um trabalho desenvolvido na
disciplina de Matemática Financeira com o curso de Administração e envolveu atividades que
foram desde ligar a Calculadora HP-12C, testar operações básicas, efetuar cálculos de Juros
Simples e Compostos, Sistemas de Amortização de Empréstimos e Análise de Investimentos,
em uma proposta prática de utilização da Calculadora HP-12C.
O estudo teve por objetivo, também, incentivar os acadêmicos a utilizar tecnologias
como auxílio na construção de conhecimentos e tomada de decisões em seus próprios locais
de trabalho.
Tanto a Matemática Financeira quanto as tecnologias fazem parte da vida do
Administrador, sendo importantes na tomada de decisões. Por isso, os alunos necessitam de
conhecimentos e práticas para a realização de aplicações, empréstimos, financiamento,
arrendamentos mercantis, proteção contra riscos, análise de investimentos e outros. Deste
modo, os assuntos tratados neste trabalho interessam a expressivo número de profissionais de
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instituições financeiras, empresas, governo, professores, estudantes e indivíduos em geral,
desde profissionais do mercado financeiro, que necessitam avaliar alternativas e decidir entre
as muitas existentes, até simples compradores de eletrodomésticos que não sabem avaliar se é
melhor comprar à vista ou a prazo.
Nesta linha de trabalho buscou-se, no referencial teórico, autores que há muitos anos
trabalham com Matemática Financeira e a implementação de recursos tecnológicos nas
práticas realizadas.
Para apresentar o desenvolvimento da pesquisa, norteada pela proposta que já foi
apresentada, estruturou-se a presente dissertação da seguinte forma:
- Contextualização da Pesquisa e Problematização do Tema: são apresentadas
opções profissionais do pesquisador e sua decisão na apresentação do trabalho.
- Novas tecnologias para o ensino da Matemática: apresenta-se um estudo a
respeito das novas tecnologias para o ensino da Matemática e sua evolução no dia a dia.
Assim como o uso da Informática e calculadoras pode contribuir para o desenvolvimento de
ambientes de aprendizagem, em que professor e alunos têm a possibilidade de discutir e
refletir de forma abrangente os recursos oferecidos por essas novas abordagens.
- Matemática Financeira, um pouco da História: faz-se um estudo a respeito da
história da Matemática Financeira, bem como sua utilização e aplicação nos cursos
superiores.
- A Matemática Financeira e o estudo: algumas definições: considerando que a
parte teórica é fundamental na prática, realizou-se uma busca dos principais autores que
trabalham a Matemática Financeira e suas aplicações na prática, deixando claro que para
entender Amortização de Empréstimos e Análise de Investimentos é necessário conhecer toda
a parte inicial de juros simples, taxas equivalentes, juros compostos, capitalização contínua,
capitalização descontínua, equivalência de capitais em juros simples e juros compostos, e toda
a parte de equacionamento e fórmulas que, posteriormente, podem resolver-se com o uso da
Calculadora HP-12C, visto que as principais fórmulas financeiras estão programadas para o
cálculo e aquelas que não estão programadas poderão ser programadas pelo próprio usuário da
mesma. Neste capítulo, apresentam-se o contexto e o perfil dos sujeitos da pesquisa, os
procedimentos metodológicos adotados para a coleta, organização, análise e interpretação dos
dados, e a revisão teórica da pesquisa.
- Procedimentos da Pesquisa: neste capítulo, são apresentados o contexto e o perfil
dos sujeitos da pesquisa, os procedimentos metodológicos adotados para a coleta,
organização, análise e interpretação dos dados, e a revisão teórica da pesquisa.
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- Proposta de ensino: apresenta-se o material elaborado para o desenvolvimento de
cada oficina que foi realizada com os alunos, incluindo a solução detalhada com o uso da
Calculadora HP-12C e o Emulador da Calculadora HP-12C ($12C++).
- Dados e resultados: são apresentados os dados, na forma de categorias, que foram
analisados a partir da revisão teórica e do questionamento da pesquisa.
E, para finalizar, são apresentadas as Considerações Finais, que apontam a
viabilidade da realização de um trabalho deste nível para o enriquecimento do conhecimento e
do saber do nosso acadêmico, futuro profissional da Administração.
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2 CONTEXTUALIZAÇÃO DA PESQUISA E PROBLEMATIZAÇAO DO TEMA
Meu trabalho, com Matemática Financeira, teve início no ano de 1984, quando
comecei a carreira de docente no Ensino Superior, na antiga FAPES (Fundação Alto Uruguai
para a Pesquisa e o Ensino Superior), na cidade de Erechim, RS.
Motivado por querer saber sempre mais, e construir conhecimentos, iniciei, em 1982,
o curso de Licenciatura Plena em Matemática na FIDENE, posteriormente UNIJUÍ,
Universidade de Ijuí, onde dei meus primeiros passos com a Matemática Financeira.
Nos anos de 1983 e 1984, fiz o curso de Pós-graduação em Matemática (Curso de
Especialização), seguindo exemplos do então matemático da época, Prof. Dr. Ubiratan
D’Ambrósio, que foi meu professor e, já naquela época, falava em novas tecnologias para o
ensino de Matemática, destacando calculadoras, computadores, softwares matemáticos e
outras, que na época representavam coisas novas. Foi então que descobri a Calculadora HP-
12C, lançada no ano de 1981.
No ano de 1986, quando apresentei o trabalho final no curso de Pós-graduação em
Matemática, na UNIJUÍ, fiz um estudo detalhado a respeito da ração essencial e cesto básico,
da cidade de Erechim, estudo realizado com um grupo de pesquisa da FAPES do qual eu fazia
parte. Trabalhou-se durante um ano no levantamento mensal de dados, em quatro
supermercados da cidade. Este trabalho me motivou muito em aprofundar o estudo sobre a
Matemática Financeira e, consequentemente, as novas tecnologias.
Em agosto de 1984, comecei a trabalhar com Matemática Financeira no curso de
Administração da FAPES. Na época, só se trabalhava com as calculadoras científicas, pois
muito pouco se sabia sobre a Calculadora HP-12C, mas, motivado por isso, fiz vários cursos
com a mesma e aos poucos introduzi, com o auxílio de colegas professores, nos cursos de
Administração e Ciência Contábeis um estudo de Matemática Financeira com a utilização de
Calculadora HP-12C. No primeiro contato com alunos desses cursos, observei que grande
parte deles pouco conhecia sobre a Matemática Financeira e muito menos a respeito da
utilização da Calculadora HP-12C.
Poucos eram os alunos que sabiam utilizar essa calculadora, com raras exceções.
Dentre estes, alguns dos alunos que trabalhavam em instituições financeiras, ou que tinham
feito curso sobre a Calculadora HP-12C, mas não passavam de algumas técnicas para a
obtenção de resultados, pois penso que a teoria da Matemática Financeira, com o auxílio da
Calculadora HP-12C, uma tecnologia, permite ao aluno realizar um bom curso de Matemática
Financeira e estar preparado para o mercado de trabalho, que exige conhecimentos sobre o
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Mercado Financeiro. Segundo Casaroto e Kopittke (2007, p. 13), o conhecimento de técnicas
especiais, no estudo da Engenharia Econômica, faz parte do estudo na ciência chamada
Matemática Financeira.
Em 2010, inicie o curso de Mestrado profissional em Ensino Científico e
Tecnológico na URI Santo Ângelo, com a intenção de buscar fundamentação à prática de sala
de aula, desenvolvida com tecnologias informáticas. Partindo do pressuposto de que quando
se aborda o tema Matemática Financeira na escola, pode-se estar trabalhando com problemas
e tecnologias. Resolvi realizar um trabalho, para o Mestrado, com acadêmicos do curso de
Administração da URI Erechim, que estavam cursando a disciplina de Matemática Financeira,
mais precisamente com o uso da Calculadora HP-12C. Com a intenção de trabalhar a
Matemática Financeira, antes explorou-se a utilização da calculadora desde as operações mais
simples até as mais complexas, utilizando uma apostila elaborada por mim e readaptada várias
vezes, a respeito das operações financeiras.
Na elaboração do trabalho, a Matemática Financeira esteve presente em muitas
atividades, sendo, portanto, o seu conhecimento entendido como importante para a tomada de
decisões que envolvam investimentos, bem como suas aplicações. Schneider (2008) destaca
que, sem o conhecimento de cálculos financeiros que envolvem as relações de consumo, fica
difícil uma pessoa analisar, por exemplo, a existência de vantagens de uma propaganda de
rádio ou televisão, de um outdoor, ou fôlder promocional de venda de produtos.
Nesta linha, Almeida (2004), em sua pesquisa, registrou o que segue em relação ao
trabalho com Matemática Financeira em sala de aula:
Trabalhar com Matemática Financeira possibilita uma vertente de ensino
delimitada por discussões que perpassam conteúdos e fórmulas puramente
matemáticas. Fura barreiras e entra no campo da cidadania, dos direitos e deveres,
do abuso nas propagandas. Proporciona aos estudantes a possibilidade de questionar
ao consumir ou ao receber a recompensa de seu trabalho. (Almeida, 2004, p. 70).
Entende-se, dessa forma, que o aluno, ao estudar a Matemática Financeira, a qual faz
parte da sua vida, terá maiores condições de tomar uma decisão em caso de negócios e,
inclusive, administrar melhor a própria vida.
Neste trabalho o que se avaliou, na utilização da Calculadora HP-12C, foi a fato da
rapidez e precisão com que os cálculos são efetuados, bem como o entendimento da
Matemática Financeira e sua teoria. A calculadora, que é uma tecnologia para o ensino da
Matemática, é uma ferramenta grandiosa no estudo e tomada de decisões. Além disso, a
16
Calculadora HP-12C tem um emulador que pode, também, ser baixado pela internet e ser
trabalhado em qualquer computador.
Em relação ao uso do computador nos meios educacionais, é algo que hoje faz parte
do ensino da Matemática, como referem Scheffer et al. (2006, p.14), quando destacam que o
mesmo “[...] privilegia a construção e visão ampla do conhecimento, já que se caracteriza pela
inovação e descoberta no processo de ensino e aprendizagem, pelo desenvolvimento de
habilidades de processamento e análise de informações, exploração, experimentação e
resolução de problemas”.
Os autores ressaltam, ainda, que tanto as calculadoras quanto os computadores são
capazes de possibilitar a reflexão sobre os significados matemáticos a partir da resolução de
problemas em situação de interação entre professor e aluno.
Dentre os autores que abordam o uso de tecnologias para ensino e aprendizagem de
Matemática Financeira com alunos de graduação, é possível citar os estudos de Morgado
(2003), Gouvea (2006) e Leme (2007).
Atualmente, vários livros didáticos apresentam um estudo detalhado da Matemática
Financeira com a utilização da Calculadora HP-12C, entre eles: Gimenes (2006), Puccini
(2004), Zentgraf (2007).
A escolha da Calculadora HP-12C deveu-se ao fato de esta ser utilizada em todas as
instituições financeiras e também no comércio, visto que alunos de Administração e Ciências
Contábeis trabalham nestes estabelecimentos. Além disso, conta-se também com a
possibilidade de fazer downloads de emuladores gratuitos na internet, com o crescimento da
utilização de computadores em sala de aula, facilitando em muito o estudo da Matemática
Financeira com a Calculadora HP-12C.
Além de fazer cálculos aritméticos e financeiros, com a Calculadora HP-12C é
possível programar a realização de cálculos, sendo que o programa é simplesmente uma
sequência de teclas armazenadas na memória da calculadora. Toda vez que precisar calcular
algo usando a mesma sequência de teclas várias vezes, pode-se poupar tempo incorporando
essas operações em um programa. Assim, utiliza-se somente uma tecla para iniciar o
programa, e a calculadora faz o resto automaticamente.
Hoje, tanto a Matemática Financeira quanto as tecnologias fazem parte de nossa vida
e de nosso trabalho, principalmente nos cursos da área da economia. Foi com o decorrer do
tempo, com vinte e sete anos de trabalho no curso de Administração e vários cursinhos de
Matemática Financeira em instituições financeiras, como Caixa Econômica Federal, Banrisul,
Banco do Brasil, Sicredi etc., em que vários alunos participavam, é que resolvemos fazer um
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trabalho de Matemática Financeira utilizando a Calculadora HP-12C, com um grupo de 23
alunos, do curso de Administração da URI Erechim, que cursavam a disciplina de Matemática
Financeira II, como turma especial, em fevereiro de 2012. Tivemos, como proposta de
investigação: Quais as opiniões que os alunos do curso de Administração têm a respeito da
utilização da Calculadora HP-12C no ensino da Matemática Financeira e qual a importância
de um trabalho com essas características no curso de Administração?
Foram desenvolvidas várias oficinas envolvendo Juros Simples e Compostos,
comparando os tipos de capitalização. Também foi realizado um trabalho sobre Análise de
Investimento com a utilização da calculadora HP-12C e os Sistemas de Amortização de
Empréstimos mais utilizados no sistema financeiro. O que relaciona definitivamente o estudo
com a Linha de Pesquisa do Programa: Práticas Educativas no Ensino de Ciência e
Tecnologia.
Essa pesquisa foi aprovda pelo Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade
Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – URI Campus de Santo Ângelo, pelo nº
0038.0.282.000-10.
18
3 NOVAS TECNOLOGIAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA
Neste capítulo iremos tratar de ambientes de aprendizagem com o auxílio de
tecnologias, mais especificamente de softwares matemáticos e calculadoras, levando-se em
consideração a mudança de postura provocada pelo uso dos recursos da Informática na escola
e na sociedade.
A cada dia que passa, novas descobertas no campo da Informática vão surgindo e,
consequentemente, hábitos e costumes vão sendo substituídos. Essas mudanças têm afetado o
contexto escolar, instituindo, assim, novos ambientes de aprendizagem. De acordo com
Scheffer e Sachet (2007), a Informática, bem como outras mídias, vem marcando presença na
educação atual, e o computador tem se apresentado como um auxiliar no desenvolvimento de
um trabalho exploratório desenvolvido pelo professor.
O uso da Informática pode contribuir para o desenvolvimento de ambientes de
aprendizagem, em que professor e alunos têm a possibilidade de discutir e refletir de forma
abrangente os recursos oferecidos pela Informática. Nesse sentido, para Scheffer, Sachet e
Webber (2008, p. 3), “[...] os ambientes informatizados contribuem para o enriquecimento de
experiências, possibilitam maior reflexão, elaboração, representação, construção e
interpretação de problemas”.
Para Miskulin (2005), a disseminação da Informática na sociedade e na Educação
implica uma nova lógica, uma nova linguagem, novos conhecimentos e novas maneiras de
compreender e de se situar no mundo, exigindo do indivíduo em formação uma nova cultura
profissional. Assim, o maior uso da Informática tem exigido um novo perfil dos indivíduos
para o mercado de trabalho. Fica evidente que algumas exigências, necessárias à atuação
profissional na sociedade atual, estão relacionadas ao uso da Informática e, portanto, não
podem ser desconsideradas pela escola.
Nesse sentido, Pais (2002) ressalta que se, por um lado, aumenta o número de
equipamentos especializados em executar tarefas repetitivas, por outro lado cresce a
valorização de competências necessárias à utilização desses equipamentos. Sendo assim, se
faz necessário o desenvolvimento de um novo perfil de cidadão, crítico e criativo. Borba e
Penteado (2005) destacam que esses sentimentos podem ser vistos como possibilidades para o
desenvolvimento do aluno, do professor e das situações de ensino e de aprendizagem.
Então, na superação desses sentimentos, o conhecimento das técnicas de utilização
será útil pela forma como vão alterar o trabalho, das vantagens e limitações que o recurso
apresenta, entre outras, são destacados por Ponte:
19
[...] o uso fluente de uma técnica envolve muito mais do que o seu
conhecimento instrumental, envolve uma interiorização das suas possibilidades e
uma identificação entre as intenções e desejos dessa pessoa e as potencialidades ao
seu dispor. [...] exige o conhecimento do seu modo de operação (comandos, funções,
etc.) e das suas limitações. Exige também uma profunda interiorização das suas
potencialidades, em relação com os nossos objetivos e desejos. E exige, finalmente,
uma apreensão das suas possíveis consequências nos nossos modos de pensar, ser e
sentir. (Ponte, 2000, p. 74).
As considerações de Ponte (2000) apontam o uso de tecnologias não somente para
conhecimentos técnicos, mas também destacam interações com aspirações e objetivos. Para
Jacinski e Faraco (2002), o contato com tecnologias de informação e comunicação altera os
modos de representar e interpretar o mundo, indo muito além das interpretações
proporcionadas pelas linguagens oral, escrita, visual ou audiovisual, tomadas isoladamente,
pois constituem novas formas de expressão a partir da reunião dessas linguagens.
A partir disso, pode-se dizer que as tecnologias representam novas formas de ler, de
escrever, de comunicar, de produzir conhecimento e, portanto, de pensar e agir. Assim,
quando se realiza um planejamento no âmbito educacional, contando com o auxílio de algum
software computacional, a intenção de ensinar fica determinada pelas formas como se utiliza
este recurso, com o intuito de contribuir para o aprendizado.
Assim, o uso de softwares em sala de aula envolve um trabalho com o professor, que
é salientado por Penteado (2000, p. 24) ao dizer: “[...] é preciso que o professor conheça os
softwares a serem utilizados no ensino de diferentes tópicos e que seja capaz de reorganizar a
sequência de conteúdos e metodologias para um trabalho com a tecnologia informática”.
As palavras de Penteado (2000) vão ao encontro do que diz Pais (2002), quando
ressalta que o trabalho com as tecnologias informáticas, na sala de aula, não pode correr o
risco da repetição, mas exige um envolvimento diferenciado no qual prevalece a busca pela
autonomia e pela construção do conhecimento. Nessa linha de pensamento, Fernandes (2006)
também aponta que:
[...] a escolha de determinado software ocorre em função da proposta de
ensino elaborada pelo professor. Cabe ao professor planejar a aula, escolher o software
adequado que seja satisfatório à necessidade e aplicar as atividades com a exploração
do mesmo. Os softwares educativos servem para auxiliar o professor a usar o
computador como ferramenta pedagógica, são programas que não se orientam
simplesmente por certo ou errado para respeitar as hipóteses formuladas pelo aluno, e
sim de permitir ao professor de intervir e mediar o processo. (Fernandes, 2006. p. 4).
20
Com base nas afirmações dos autores, pode-se dizer que a inserção de recursos
tecnológicos informáticos em sala de aula, mais especificamente os softwares, é uma tarefa de
responsabilidade do professor. Para isso, faz-se necessária a criação de espaços de exploração,
estudo e discussão sobre diferentes softwares, para que ele tenha a possibilidade de escolher o
que melhor possa auxiliá-lo em situações de ensino.
Segundo Pires et al. (2008), a utilização de softwares educacionais não vai alterar ou
substituir os conteúdos estudados em aula, mas vai auxiliar e complementar o seu
aprendizado. Outro aspecto a se considerar é a reflexão sobre a prática pedagógica que, para
Franchi (2007, p. 183): “Não se trata de desenvolver sequências de atividades no estilo da
chamada instrução programada, em que o computador assume o papel do professor
transmissor de conhecimento, continuando o aluno na posição de receptor.” Então, usar o
computador, no sentido descrito pela autora, implica uma nova postura diante do processo de
construção do conhecimento, no qual o professor passa a ser o mediador que questiona o
aluno, questiona-se a si mesmo e provoca reflexões.
Por isso é importante que os professores aprendam a utilizar as ferramentas
tecnológicas, pois, se os mesmos não se sentirem preparados, corre-se o risco da simples troca
do lápis e papel pelo computador.
Nesta linha de pensamento, D´Ambrosio destaca:
As novas tecnologias exigem o despertar de uma nova consciência.
Revalorizam o indivíduo pelo que ele é, não pelo que tem. Alguns dirão: Quem
manda é quem tem o hardware e o software. Não posso concordar. O hardware e o
software são e continuarão sendo estúpidos, incapazes de iniciativas. […] Assim
como o hardware, o software só é operacional se houver um operador, e este é um
indivíduo. Não há como remover dos seres humanos a capacidade de crítica –
portanto a capacidade de resistência –, tornando operacional o sistema, como
aconteceu no período colonial. (D´Ambrosio 1997, p.146).
Com essa colaboração, o autor salienta que no ambiente escolar há certa expectativa
por parte dos professores quanto à utilização dos recursos da informática. E essa expectativa
às vezes se transforma em sentimento de insegurança ou de resistência. Portanto, não basta
que os futuros professores tenham contato com a Matemática, as teorias educacionais e com
as perspectivas da didática, pois isso não garante uma efetiva aquisição do conhecimento
profissional.
21
Assim, o licenciando em Matemática precisa receber uma formação que lhe
possibilite assumir a prática docente como compromisso social, que seja um pesquisador de
sua prática pedagógica e possa promover a integração entre tecnologia e educação.
Em meio a estas questões, o ensino de Matemática no Brasil e no mundo enfrenta
uma profunda necessidade de mudança, exigindo dos professores a reformulação de suas
práticas, a redefinição das estratégias e a inclusão de novas ferramentas de ensino. Dessa
forma, o uso de tecnologias tem se tornado um aliado importante nesse enfrentamento.
Não há porque negar, entretanto, que, hoje em dia, quando a expressão “Tecnologia
na Educação” é empregada, dificilmente se pensa em giz e quadro-negro ou mesmo em livros
e revistas, muito menos em entidades abstratas como currículos e programas. Normalmente,
quando se usa a expressão, a atenção se concentra no computador, que se tornou o ponto de
convergência de todas as tecnologias mais recentes. E especialmente depois do enorme
sucesso comercial da internet, computadores raramente são vistos como máquinas isoladas,
sendo sempre imaginados em rede – a rede, na realidade, se tornando o computador.
A tarefa de discutir, analisar, avaliar e aplicar essa informação a tarefas práticas será
realizada, mais e mais, não através da escola, mas através de grupos virtuais de discussão, em
que cada um se alterna no papel de ensinante e de aprendiz. O que é virtual aqui é o grupo,
não a aprendizagem: esta é suficientemente real para satisfazer a maior parte das necessidades
de aprendizagem das pessoas.
Se a escola puder se reinventar e tornar-se um ambiente de aprendizagem desse tipo,
ela pode sobreviver. Mas a internet, a Web, correio eletrônico, bate-papos, discussões
baseadas em texto (grupos de discussão), videoconferências, etc., precisarão estar no centro
dela e se tornar parte de sua rotina. O que aqui é dito da escola aplica-se a escolas de todos os
níveis, inclusive às universidades.
22
4 MATEMÁTICA FINANCEIRA: UM POUCO DA HISTÓRIA
A função principal da Matemática Financeira é estudar o comportamento do dinheiro
através do tempo, ou, ainda, fazer a avaliação do comportamento do dinheiro num
determinado período, considerando sempre as taxas de juros ou de desconto estipuladas no
período de tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos
de entrada e saída de dinheiro de caixa, verificados em diferentes momentos.
O conceito de juros é muito antigo, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao
longo da história. Esse conceito surgiu naturalmente quando o homem percebeu a existência
de uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a
desvalorização da moeda levariam normalmente à ideia de juros, pois se realizavam
basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.
As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam
claro que o sistema sexagesimal posicional já estava, de longa data, estabelecido. Há estudos
desses primeiros tempos que destacam a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos
aritméticos baseados nessas transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam
familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas
promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos.
A história também revela que a ideia tinha se tornado tão bem estabelecida que já
existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 a.C., com os escritórios centrais na
Babilônia, cuja renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu
dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas
mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seu uso sofreu
poucas mudanças através dos tempos.
Assim, houve a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de
equivalências, fundado num princípio (vizinho daquele da base de um sistema de numeração)
dando a definição de algumas unidades ou padrões fixos. Nesse sistema é sempre possível
estimar tal ou qual valor, não somente para as operações de caráter econômico, mas também
para a regulamentação de problemas jurídicos importantes e todas as espécies de produtos,
matérias ou objetos utilitários serviram na ocasião.
Até então, tratava-se somente de introduzir nas transações e nos atos jurídicos uma
espécie de peso-padrão, unidade de valor à qual o preço de cada uma das mercadorias ou
ações consideradas era referido. Partindo desse princípio, tal metal ou tal outro podia então
servir em toda ocasião como “salário”, “multa” ou como “valor de troca”, e, no caso da
23
“multa”, algum tipo de cálculo de juros primário era utilizado para se obter um certo valor
para a mesma.
Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos
seguindo o princípio da base, o homem aprendeu a estimar, avaliar e medir diversas
grandezas, tais como pesos, comprimentos, áreas, volumes, capacidades. Pôde elaborar,
também, várias técnicas operatórias mentais, concretas e, mais tarde, escritas, erguendo os
primeiros rudimentos de uma aritmética inicialmente prática, antes de tornar-se abstrata e
conduzir à álgebra, campo em que hoje temos a Matemática Financeira amplamente
desenvolvida.
Com o surgimento dos bancos diretamente ligados ao cálculo de juros compostos e
ao uso da Matemática Comercial e Financeira de modo geral, na época em que o comércio
avançava, uma das atividades do mercador foi a do comércio de dinheiro, com o ouro e a
prata.
Durante a expansão do comércio, da mesma forma que durante as guerras de
conquista, as moedas dos diferentes países eram trocadas, mas o pagamento só podia ser
efetuado com dinheiro do país específico. Consequentemente, dentro das fronteiras de cada
país, as moedas estrangeiras deviam ser cambiadas por dinheiro deste país. Por outro lado, os
comerciantes e outras pessoas possuidoras de muito dinheiro, que viajavam ao exterior,
precisavam de dinheiro de outros países, que compravam com moeda nacional. Com o passar
do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e
passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente
ao câmbio de dinheiro, ou melhor, ao comércio de dinheiro.
Num período de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas somas de
dinheiro nas mãos de cambistas que, com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade:
guardar e empregar dinheiro. Naquela época, devido à deficiente organização das instituições
responsáveis pela segurança social do indivíduo, não era recomendável que se tivesse em casa
muitas moedas de ouro o prata. As pessoas entregavam seu dinheiro à custódia de cambistas
ricos, que o guardavam e devolviam ao dono quando ele pedisse. Imaginemos um cambista
qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro.
Dessa maneira tiveram início as operações creditícias. Recorria-se ao cambista, que
emprestava grandes somas de dinheiro a juros “razoáveis”.
O juro era pago pelo uso do dinheiro recebido ou, mais propriamente, era a
“compensação pelo temor” de quem dava dinheiro emprestado e, assim, se expunha a um
grande risco. Entretanto, esses juros alcançaram, em alguns casos, quantias incríveis: na
24
antiga Roma, os usuários exigiam de 50% a 100%, e na Idade Média, de 100% a 200%, às
vezes mais, em relação direta com a necessidade do solicitante ou do montante da soma.
Esses juros foram chamados de usurário, o dinheiro recebido emprestado, de capital
usurário, e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado em um banco de
madeira, em algum lugar do mercado. Daí a origem das palavras “banqueiro” e “banco”.
Apesar de ser muito utilizada no dia a dia, a Matemática Financeira se mantém
distante dos bancos escolares, tanto no ensino médio quanto no ensino superior. Neste
sentido, escreveu Santos:
Percebemos que a Matemática Financeira está muito presente no dia a dia
de qualquer pessoa através dos problemas de ordem financeira comuns da vida
moderna, o que possibilita uma aproximação com a vida do aluno fora da escola. No
entanto, mesmo sendo um conteúdo imediatamente aplicável fora da escola é de
extrema importância na formação do cidadão, verifica-se uma ausência no currículo
escolar. (Santos 2005, p. 13).
O conhecimento matemático é construído por meio de diferentes formas de ensinar e
aprender. Nesse processo, o aluno tem papel central, devendo participar ativamente, vendo a
Matemática como um conhecimento a ser elaborado individual e coletivamente, a partir de
interações com o conteúdo e necessidades cotidianas.
Questões que envolvam ensino e aprendizagem da Matemática e que servem de base
para investigações, estão presentes não só nas salas de aula da educação básica, mas também
do ensino superior. Muitas vezes, por considerar que os alunos de cursos superiores já têm
uma bagagem suficiente de conhecimentos prévios, as salas de aula tornam-se um espaço
onde o formalismo excessivo e a vinculação com problemas da realidade tornam a
Matemática incompreensível para muitos. É necessária uma reflexão sobre como ensinar e
aprender Matemática Financeira no ensino superior, visto que muitos alunos encontram
dificuldades em compreender a linguagem utilizada nesta disciplina, bem como relacionar os
conteúdos desenvolvidos com as situações vivenciadas no cotidiano, ou seja, o conhecimento
teórico deve vir unido à capacidade de colocá-lo em prática.
Considerando um currículo moderno, não linear e utilizando estratégias de ensino e
aprendizagem como forma de desenvolver competências, pode-se modificar essa relação entre
teoria e prática, como salientam Coll et al.:
O que importa é que os alunos possam construir significados e atribuir
sentido àquilo que aprendem. Somente na medida em que se produz este processo de
construção de significados e de atribuição de sentido se consegue que a
aprendizagem de conteúdos específicos cumpra a função que lhe é determinada e
25
que justifica a sua importância: contribuir para o crescimento pessoal dos alunos,
favorecendo e promovendo o seu desenvolvimento e socialização. (Coll et al., 1998,
p.14).
As palavras dos autores salientam que é indiscutível, nos dias atuais, a relevância da
Matemática Financeira no cotidiano das pessoas. O fato de vivermos num país capitalista em
desenvolvimento, e que sofre os efeitos da globalização da economia, torna essa importância
ainda maior. Com a economia em fase de estabilização e crescimento, aumenta a oferta de
crédito e as pessoas estão se endividando cada vez mais. Torna-se necessário que o cidadão
tome conhecimento, pelo menos um pouco, dos mecanismos que regem o sistema financeiro.
Portanto, conhecer os conteúdos matemáticos que estão envolvidos nas atividades
financeiras, tais como os cálculos dos juros simples e compostos, os descontos, as
capitalizações e amortizações de dívidas é, sem dúvida, uma forma agradável de dar
significado a diversos conteúdos importantes da Matemática no ensino superior.
A Matemática Financeira faz parte de poucos currículos de cursos superiores, a não
ser dos Cursos de Administração, Contabilidade e Economia, ou em outros cursos
profissionalizantes. Mesmo assim, as cargas horárias deixam a desejar.
Não são raras as situações do dia a dia em que necessitamos lançar mão de algum
conhecimento de Matemática Financeira para nos orientarmos na tomada de decisões
importantes na nossa vida. Partindo de alguns conhecimentos básicos adquiridos pelos alunos
na educação básica, tais como noções de proporcionalidade, juros simples e a noção de
funções, o professor pode, aos poucos, ir reforçando esses conceitos e lançando as bases da
Matemática Financeira, introduzindo os conceitos da capitalização composta, da equivalência
de capitais e dos sistemas de amortização de dívidas. Para esse propósito, o professor deve
fazer um planejamento bastante criterioso das suas ações, tendo em vista as limitações de
tempo e a disponibilidade de recursos tecnológicos da sua escola.
Quando possível, o uso adequado de recursos computacionais pode ajudar a dar mais
agilidade e melhorar a qualidade dos trabalhos desenvolvidos, mas na impossibilidade desses
recursos, uma calculadora simples, usada de forma eficiente, pode ser um bom recurso para se
trabalhar a Matemática Financeira, assim como hoje há recursos tais como softwares, como
planilha Excel, software Maxima, e o emulador da Calculadora HP-12C, que pode ser baixado
gratuitamente nas máquinas do Laboratório de Informática da escola e possibilitar uma aula
prática de Matemática Financeira bem interativa e dinâmica.
26
5 A MATEMÁTICA FINANCEIRA E O ESTUDO: ALGUMAS DEFINIÇÕES1
A Matemática Financeira está relacionada ao valor do dinheiro, às taxas de mercado
e ao período. Tanto é verdade que, sem um desses elementos, não existem juros. Segundo
Casarotto e Kopittke (2007, p. 68), a disponibilidade de recursos é, sem dúvida, um fator
imperativo para a concretização de um investimento. Nesta linha de pensamento também
escrevem Brigham e Ehrhardt (2006, p. 284): “de todos os conceitos utilizados em finanças,
nenhum é mais importante que o valor do dinheiro no tempo, também chamado análise do
fluxo de caixa descontado (FCD)”.
Souza e Clemente (2000, p. 58) destacam que o ramo da Matemática que trata da
movimentação do dinheiro no tempo é a Matemática Financeira, e as inúmeras formas com
que os valores monetários distribuem-se ao longo de um horizonte de tempo são denominadas
fluxos de caixa. Mathias e Gomes (2002, p. 22) registram que os problemas dependem
basicamente do fluxo (entrada e saída) de dinheiro no tempo, reconhecido como fluxo de
caixa.
Nesse sentido, Assaf Neto (2001, p. 181) menciona que “um fluxo de caixa
representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em
determinado intervalo de tempo e podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em
termos de períodos de ocorrência, de periodicidade, de duração e de valores”.
Para realizarmos o estudo da Matemática Financeira, sistemas de amortização de
empréstimos e análise de investimento com a utilização da Calculadora HP-12C, conforme
proposto no início do trabalho, necessitamos de uma análise profunda sobre conceitos de:
regimes de capitalização, taxas nominal e efetiva, equivalência de taxas, equivalência de
capitais, fluxos de caixa uniformes ou não uniformes, série com pagamentos ou recebimentos
antecipados, postecipados e diferidos, valor presente (PV), valor presente líquido (NPV), taxa
interna de retorno (TIR), valor futuro e taxas efetivas de juros.
5.1 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS
Segundo Assaf Neto (2001, p. 18), “os critérios de capitalização demonstram como
os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo”. Na
verdade isso demonstra o cálculo dos juros compostos, utilizando os juros simples para o
cálculo dos mesmos.
1- As fórmulas e figuras de 1 a 7, presentes nas páginas (40 a 47) são adaptações da dissertação de mestrado de
Sandrini, J. C. 2007.
27
Quanto ao cálculo da remuneração do capital, também escreveram Souza e
Clemente:
[...] o procedimento geralmente adotado para o cálculo de remuneração do
capital imobilizado consiste em estabelecer uma taxa por unidade de tempo. Daqui
resultam duas formas fundamentais para a remuneração do capital: juros simples e
juro composto, que são denominados regimes de capitalização. (Souza e Clemente,
2000, p.12).
Os autores ressaltam a remuneração do capital, definindo o que são juros simples e
juros compostos, dando a entender que não existe um sem o outro, sendo, desta forma, os
juros simples necessários para se fazer os juros compostos.
5.1.1 Capitalização contínua
No regime de capitalização contínua, os valores monetários fluem contínua e
uniformemente através do tempo, segundo uma função matemática. É uma ferramenta muito
usada em finanças na avaliação de opções, derivativos, projetos de investimento, geração de
lucros de empresas, desgaste de equipamentos e outras situações em que os fluxos monetários
se encontram distribuídos uniformemente no tempo. Na prática, muitas situações exigem o
uso da capitalização contínua. As empresas recebem e fazem pagamentos muitas vezes
durante um dia, padrão esse que está mais próximo da suposição de fluxos contínuos
uniformemente distribuídos do que de fluxos discretos de fim de período. A computação
contínua de juros é uma modalidade alternativa de cálculo de juros que permite resolver
alguns problemas de Matemática Financeira e Engenharia Econômica que, de outro modo,
tem soluções apenas aproximadas.
Assaf Neto (2001, p. 22) define: “a capitalização contínua é um regime que se
processa em intervalos de tempo bastante reduzidos, – caracteristicamente em intervalo de
tempo infinitesimal – promovendo grande frequência de capitalização”. Portanto, são
capitalizações que se formam continuamente e não somente ao final de cada período de
capitalização, razão de encontrar enormes dificuldades em aplicações práticas.
Na prática, em se tratando de juros compostos, o que define o valor do mesmo é o
intervalo de tempo de capitalização.
5.1.2 Capitalização descontínua
A capitalização descontínua é muito usada no dia a dia, no sistema financeiro e no
cálculo econômico. Neste período os juros são gerados e incorporados ao principal para os
28
cálculos do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são
incorporados ao principal. Nesta capitalização as datas são determinadas e o rendimento dos
juros só é incorporado ao principal no período estabelecido de período a período.
Sobre a capitalização descontínua, Faro pondera:
Suponha-se agora que seja convencionado que o juro só seja formado no
fim de cada período de tempo a que se refere à taxa de juros considerada. Por esta
convenção, adotada no cálculo dos rendimentos das chamadas Cadernetas de
poupança, o capital passa a evoluir de uma maneira descontínua. (Faro, 1990, p.8).
Portanto, nesse caso, os rendimentos ocorrem mensalmente, porém, somente num
único momento do prazo da taxa (dia da abertura da poupança) e não distribuidamente pelo
mês. A capitalização descontínua, considerando o comportamento dos juros, pelo fato de
renderem juros ou não, pode ser dividida em capitalização simples e composta.
5.1.3 Capitalização simples
Segundo Puccini (2006, p. 13), na capitalização simples “os juros de cada período
são sempre calculados em função do capital inicial aplicado. Os juros não são somados ao
capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes”.
No regime de capitalização simples, segundo Kuhnen,
[...] os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo
qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. […] O
regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo
que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os
juros são pagos periodicamente ou no final do período total. (Kuhnen 2006, p.3).
Nessa mesma linha, Francisco (1985, p. 12) define: “os juros são todos iguais, pois
são calculados sobre o mesmo valor, que é o capital inicial. Podem ser retirados no final de
cada mês ou no fim de n meses; o total será o mesmo”; e Cavalheiro (1992, p. 6) destaca que
“quando os juros produzidos são pagos periodicamente ao capitalista, a capitalização se
processa a juros simples”.
Veras (1991, p. 60), por sua vez, entende que o regime de capitalização simples se
caracteriza pela soma dos juros ao capital inicial uma única vez, no final do prazo contratado,
e arremata alertando que nada impede que os juros sejam calculados ou até colocados, à
disposição do investidor, parceladamente no decorrer desse prazo. Nesse caso, embora os
juros sejam calculados periodicamente, em várias vezes, seu cálculo é feito sempre sobre o
29
capital inicial e o montante será a soma do capital inicial com várias parcelas de juros, o que
equivale a uma única operação.
Portanto, os juros simples, conforme alerta Puccini (2006, p. 23), somente devem ser
utilizados para a obtenção dos fluxos de caixa das operações financeiras, quando o problema
implicar a adoção desse regime. Além disso, o referido autor escreve que “o regime de juros
simples é totalmente incorreto e que nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de
fluxo de caixa”.
Ao longo deste trabalho, para explicar os conceitos anteriormente expostos até aqui
de forma literal, em linguagem matemática, são utilizados desenvolvimento e formulário
comuns a muitos autores, a exemplo de Assaf Neto (2001), Faro (1990), Mathias e Gomes
(2002), Puccini (2006), Souza e Clemente (2000), Vieira Sobrinho (2000), Casarotto e
Kopittke (2010), entre outros.
Assim, se houver mais de um período, o juro simples produzido em cada período é
constante e proporcional ao capital que, aplicado a uma taxa unitária i (do inglês interest =
juro), ao final de n períodos produzirá um juro simples (J), igual ao produto do capital (C)
pela taxa unitária (i) e pelo número de períodos de capitalização (n), e um montante (M) igual
ao somatório desse juro com o capital inicial:
J= C. i (1)
No final de 2 períodos, tem-se:
J= C. i.2
No final de n períodos, deduzindo-se a expressão genérica, obtém-se:
J= C . i . n (2)
Como a soma do capital e seus respectivos juros simples é igual ao montante,
obtém-se:
M= C + nJ
Utilizando a igualdade (2), tem-se:
nM = C + C.i.n
nM = C( 1 + i.n ) ou FV =PV ( 1 + i.n ) (3)
Isolando o capital (valor presente), obtém-se:
C = i.n1
Mn
ou PV =
i.n)(1
FV
(4)
30
a) Classificação de taxas:
Na capitalização simples, as taxas podem ser classificadas sob dois enfoques:
em relação aos prazos a que se referem e em relação aos juros produzidos.
Taxas proporcionais
Segundo Samanez (2001, p. 38), a maior parte dos juros praticados no sistema
financeiro nacional e internacional encontra-se referenciada na taxa linear, como a
remuneração linear da caderneta de poupança, as taxas internacionais libor e prima rate, o
desconto bancário, os juros da Tabela Price, as taxas de mercado interfinanceiro, entre outros.
Ao considerar duas taxas de juros arbitrárias 1i e 2i , relacionadas aos períodos
1n e 2n , referidos à unidade comum de tempo das taxas, essas taxas se dizem proporcionais se
houver a igualdade de quociente de taxas com o quociente dos respectivos períodos.
Como exemplo, determine-se a taxa anual proporcional a 20% ao semestre:
1
2
20%
i2 1i = 40% a.a.
Taxas equivalentes
Conforme Assaf Neto (2001, p. 27), as taxas de juros simples são equivalentes
quando produzem o mesmo juro ou montante linear de juros, se aplicadas sobre um mesmo
capital e pelo mesmo prazo.
Como exemplo, pede-se responder à seguinte questão: o que é mais interessante para
um investidor ao aplicar $ 50.000.00, durante 1 ano, considerando as taxas de Juros Simples:
(1) 20% ao semestre ou (2) 40% ao ano?
1J = 50.000,00 x 0,20 x 2 = 20.000,00
2J = 50.000,00 x 0,40 x 1 = 20.000,00
No regime de juros simples, torna-se evidente que taxas proporcionais são
igualmente equivalentes, sendo dispensável a classificação de taxas de juros equivalentes ou
proporcionais. Então, aplicar à taxa de juros simples de 20% ao semestre ou 40% ao ano é
indiferente, pois essas taxas são proporcionais no regime de Juros Simples.
b) Formas de apresentação da taxa
Taxas percentual e unitária
31
Para Faro (1990, p. 3), as taxas de juro costumam ser apresentadas sob uma das duas
seguintes formas: percentual e unitária. Considerando que simplifica as anotações e os
cálculos, a forma unitária, que corresponde à taxa centesimal dividida por 100, é adotada
como padrão em todas as fórmulas de Matemática Financeira. Dessa forma, se a taxa
percentual é 20%, a sua correspondente unitária será 0,20. Isto quer dizer que, se um capital
de 100 produz 20 de juros, o capital de 1 produzirá 0,20.
5.1.4 Capitalização composta
Na capitalização composta, a forma de calcular os juros é a mesma que de Juros
Simples. A diferença, neste caso, é que, a cada período, os juros são incorporados ao capital e
passam também a render novos juros.
Segundo Puccini (2006, p. 15), na capitalização composta “os juros de cada período
são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes, os juros são
capitalizados e, consequentemente, rendem juros”.
Lemes Júnior, Rigo e Cherobim (2005, p. 102) destacam que é importante conhecer
o período de capitalização dos juros para se saber quando os juros serão incorporados ao
principal, para também renderem no período seguinte. Puccini (1999, p. 16) define que “após
cada período os juros são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros.
A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e o período de tempo considerado é
denominado período de capitalização”.
Na capitalização composta, segundo Araújo (1993, p. 50), os juros do período se
somam ao capital do período anterior acrescido dos juros, para gerar, no período seguinte, um
acréscimo de juros sobre juros.
Para Veras (1991, p. 60), no regime de capitalização composta é contratado o
período de capitalização. Se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários desses
períodos, no final de cada período os juros serão capitalizados e o montante assim constituído
passará a render juros durante o período seguinte.
Já Casarotto Filho e Kopittke (2007, p. 19), ao se referirem a juros compostos,
observam que, depois de cada período de capitalização, os juros são somados à dívida
anterior, e passam a render juros no período seguinte. Tudo se passa como se a cada período
fosse renovado o empréstimo, mas no valor principal mais os juros relativos ao período
anterior.
Para Vieira Sobrinho (2000, p. 34), capitalização composta é aquela em que a taxa de
juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.
32
Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce em função do tempo. Daí também a
denominação de juros sobre juros, indicando que a caracterização se dá quando a taxa de juros
incide sobre um valor que já contém juro.
Na capitalização composta, os juros produzidos no final de cada período são
incorporados ao capital e, mesmo havendo retiradas parciais, passam a render juros nos
períodos seguintes, até o resgate total.
Dessa forma, se houver mais um período, o juro produzido será somado ao capital
(C) que, aplicado a uma taxa unitária (i), ao final de n períodos produzirá um montante (M)
ou valor futuro (VF) igual ao produto do capital pelo fator de capitalização composta ni)(1 ,
e um juro (J) igual à diferença entre esse montante e o capital inicial (C) ou valor presente
(VP):
1J = C.i (1)
Como a soma do capital e juros é igual ao montante, tem-se:
11 JCM (2)
Utilizando a igualdade (1) e fatorando o capital, tem-se:
1M = C(1 + i) (3)
No final de 2 períodos, o montante será:
12 MM (1 + i)
2M = C(1 + i).(1 + i)
2
2 i)C(1M (4)
No final de n períodos, deduzindo-se a expressão genérica, obtêm-se:
n
n i)C(1M ou FV = PV ni)(1 (5)
Consequentemente, isolando C, tem-se o fator de capitalização composta de
forma invertida:
C =n
n
i)(1
M
ou PV =
ni)(1
FV
Considerando que o juro é a diferença entre o montante e o capital, tem-se:
CMJ nn
Ci)C(1J n
n
1i)(1CJ n
n (6)
33
Na capitalização composta, as taxas podem ser classificadas sob dois enfoques: em
relação aos prazos a que se referem e conforme o fluxo de caixa, considerando a relação entre
o valor resgatado ou pago e o valor aplicado ou tomado emprestado, respectivamente.
Segundo Vieira Sobrinho (2000, p. 186), pode-se caracterizar mais facilmente a
classificação das taxas de juros em função do capital inicial tomado como base de cálculo:
Taxa nominal: é a taxa calculada com base no valor nominal da aplicação do
empréstimo, ou seja, com base no valor explicitado no título ou no contrato;
Taxa efetiva: é a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou
emprestado, ou seja, o valor colocado à disposição do banco ou do cliente na data da
aplicação ou do contrato;
Taxa real: é a taxa calculada com base no valor efetivamente aplicado ou
emprestado, corrigido monetariamente pela inflação do período, contado desde o dia da
aplicação ou do empréstimo até o dia de seu resgate ou vencimento.
Taxas equivalentes
Segundo Hazzan e Pompeo (2001, p. 38), “duas Taxas são equivalentes a Juros
Compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem
montantes iguais”.
Como exemplo, pede-se responder à seguinte questão: o que é mais interessante para
um investidor ao aplicar $ 100.000,00, durante um ano, considerando as taxas efetivas de
juros: 20% ao semestre ( 2i = 0,20) ou 44% ao ano ( 1i = 0,44)?
M =100.000 2(1,2) = 144.000,00
M =100.000(1,44) = 144.000,00
Portanto, conclui-se que 20% ao semestre (as) são equivalentes a 44% ao ano (aa).
Procedendo-se à igualdade obtida, tem-se:
100.000,00 x (1+0,44) = 100.000,00 x (1+0,20)²
2
as
1
aa )i(1)i1( → 1)i(1i 2
asaa (7)
Como se observa, ao determinar uma taxa equivalente em período superior ao
período da taxa que se tem, deve-se capitalizar o número de períodos necessários para atingir
o prazo da taxa que se tem. No exemplo, há de se capitalizar dois períodos para atingir um
ano.
Consequentemente, isolando a taxa semestral, tem-se o fator de capitalização
composta de forma invertida:
34
1
aa
2
aa )i(1)i(1 → 2
1
aaas )i(1i (8)
Constata-se, então, que ao calcular uma taxa equivalente em período inferior ao
período da taxa que se tem, deve-se proceder ao inverso, ou seja, descapitalizar o número de
períodos necessários para retornar ao prazo da taxa que se tem. No exemplo, há que se
descapitalizar dois períodos para atingir um semestre.
Considerando qi a taxa que se quer determinar e ti a taxa que se tem: q o prazo da
taxa que se quer determinar e t o prazo da taxa que se tem, com q e t obrigatoriamente na
mesma unidade de tempo, Hazzan e Pompeo (2001, p.40) descreveram a fórmula genérica
para o cálculo da equivalência de taxas no regime de juros compostos, da seguinte forma:
q
t
t
q )i(1)i(1 → 1)i(1i t
q
tq (9)
Portanto, a taxa de 20% ao semestre é proporcional, no regime de juros simples, a
40% ao ano, porém equivalente a 44% ao ano, no regime de juros compostos. A diferença de
4 pontos percentuais entre essas taxas se dá em razão da incidência de juros sobre juros, ou
seja, 20% sobre 20%.
Então, aplicar à taxa efetiva de 20% ao semestre, capitalização semestral, ou 44% ao
ano, capitalização anual, é indiferente, pois essas taxas são equivalentes no regime de juros
compostos, já que produzem os mesmos juros, por conseguinte, montantes.
No regime de juros compostos, a taxa de juro costuma ser apresentada sob as formas
percentual ou unitária e efetiva ou nominal.
Taxa percentual e unitária
As taxas de juros podem ser apresentadas na forma percentual e unitária. A
Calculadora HP-12C requer a apresentação na forma percentual e a taxa unitária, que é a
percentual dividida por 100, é adotada como padrão em todas as fórmulas da Matemática
Financeira.
Taxa efetiva e nominal
A taxa nominal é a taxa de juro acordada em contrato que se acrescentará às
prestações de um empréstimo. Essa taxa geralmente é expressa em períodos de incorporação
dos juros que não coincide com aquele a que a taxa está se referindo.
35
A taxa efetiva geralmente é usada quando o período de formação e incorporação dos
juros coincide com o período a que a taxa está se referindo. Essa taxa é resultante da aplicação
periódica do juro previsto na taxa nominal.
Segundo Puccini (2006, p. 62), “taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização”.
Essa é a taxa que deve ser utilizada nos cálculos das operações financeiras, ou qualquer outra
taxa, desde que equivalente.
Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e
dos períodos de capitalização, costuma-se não mencionar o período de capitalização. Portanto,
quando o período de capitalização dos juros não é mencionado, subentende-se e está implícito
que ele é coincidente com o período da taxa, razão da omissão. Por consequência, a taxa é
efetiva e deve ser utilizada nos cálculos das operações financeiras, ou qualquer outra taxa,
desde que equivalente.
Como exemplo: 26,82% a.a, capitalização anual, ou 12
1
)2682,1( –1 = 2% a.m,
capitalização mensal. Deve-se utilizar, então, para efeito de cálculo, a taxa efetiva de 26,82%
ao ano, ou qualquer outra equivalente, por exemplo, 2% ao mês, pois os resultados serão
rigorosamente os mesmos.
Segundo Souza e Clemente (2000, p. 49), “no regime de juros compostos, uma taxa é
dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de
capitalização (períodos em que são feitos os cálculos financeiros para atualização do capital)”.
Mathias e Gomes (1984, p. 136) destacam que temos uma taxa de juros nominal quando o
prazo de formação e incorporação de juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a
taxa se refere. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de
capitalização seja proporcional à taxa nominal.
Uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, é uma taxa apresentada na
forma nominal, porquanto se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é
realizada mensalmente. Essa taxa é utilizada apenas para efeito de referência, jamais para
cálculo. Para cálculos, a taxa tem que estar na forma efetiva, obrigatoriamente. Assim, a taxa
por período de capitalização é de 12% ÷ 12 = 1% ao mês, capitalizados mensalmente, ou
12)01,1( - 1 = 12,6825% a.a, capitalizados anualmente. Deve-se utilizar, então, para efeito de
cálculo, a taxa efetiva de 1% ao mês, capitalização mensal, ou qualquer outra equivalente, por
exemplo, 12,6825% a.a., capitalização anual, pois os resultados serão exatamente os mesmos.
36
5.1.5 Distinção entre os regimes de juros simples e composto
Brealey e Myers (1998, p. 41) enfatizam que existe uma importante diferença entre o
juro composto e o juro simples. Quando o dinheiro é investido a juro composto, os juros
vencidos são reinvestidos para obter mais juros nos períodos seguintes. Em contrapartida, a
oportunidade de ganhar juros sobre juros não existe num investimento que proporcione
apenas juros simples.
Nesse mesmo sentido, Pilão e Hummel (2004, p. 20) destacam que o que,
basicamente, diferencia uma modalidade da outra é que, no caso de juros simples, temos a
incidência de um índice simples sobre o principal, enquanto nos juros compostos este mesmo
índice (ou taxa) simples incidirá sobre o principal mais os juros vencidos.
Ao fazer referência sobre os dois tipos de juros, Puccini (2006, p. 23) afirma que os
juros simples devem ser utilizados apenas para a obtenção do fluxo de caixa das operações
financeiras, quando o problema indicar a adoção desse regime, e deixa claro que “o regime de
juros simples é totalmente incorreto e nunca deve ser utilizado como ferramenta de análise de
fluxo de caixa”.
Os problemas financeiros, como alertam Brealey e Myers (1998, p. 41), envolvem,
de forma geral, mais juros compostos do que juros simples, razão de os profissionais de
finanças partirem sempre do princípio de que se está mencionado juros compostos, a não ser
que se antecipe o contrário.
5.2 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Muitas vezes se quer renegociar o pagamento de uma dívida, prorrogar, antecipar,
parcelar ou saber se uma forma de pagamento é mais atrativa que outra. Para isso, há que se
considerar que o dinheiro tem valor no tempo, raciocínio fundamental da Matemática
Financeira.
Puccini (2003, P. 3) observa que a Matemática Financeira está diretamente ligada ao
valor do dinheiro no tempo, que está interligado à existência de taxa de juros, e preceitua os
mandamentos fundamentais dessa ciência: (a) valores de uma mesma data são grandezas que
podem ser comparadas e somadas algebricamente; (b) valores de datas diferentes são
grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem movimentadas
para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros.
37
De acordo com Mathias e Gomes (2002, p. 155), essa data comum, que se considera
como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes, é denominada data focal,
que também pode ser denominada de data de avaliação ou de referência.
Para Juer (1985, p. 21), o valor do dinheiro no tempo foi o principal conceito que
orientou todo seu raciocínio ao longo do desenvolvimento de seu trabalho, quando observa
que “empréstimos ou investimentos realizados no presente terão seu valor aumentado no
futuro. Inversamente, valores disponíveis no futuro, se considerados ou avaliados no presente,
terão seus valores reduzidos”.
Weston e Brigham (2000, p. 202 e 209) destacam que capitalização é o processo de
passar os valores de hoje para valores futuros e o seu oposto, o processo de encontrar valores
presentes, é chamado de desconto. Nessa mesma linha, Brigham e Ehrhardt (2006, p. 322)
afirmam que capitalização é o processo que determina o valor futuro de fluxos de caixa, e o
desconto é o processo de encontrar o valor presente de um fluxo de caixa futuro ou de uma
série de fluxos de caixa, representando a recíproca, ou o inverso, da capitalização.
Conclui-se, por consequência, que somar ou subtrair valores em datas diferentes, não
tem qualquer fundamento financeiro, em razão do valor do dinheiro no tempo.
Para Mathias e Gomes (2002, p. 156) a equação de valor permite que sejam
igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde
que seja fixada certa taxa de juros. Em outras palavras, a equação de valor pode ser obtida
igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos
compromissos que formam a alternativa em análise.
Para se comparar alternativas de fluxos de caixa, com valores exigidos em datas
diferentes, primeiramente define-se a data focal, para depois proceder à equivalência,
considerando uma determinada taxa de juros e o seguinte argumento, conforme Mathias e
Gomes (2002, p. 157), dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são
equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem
valores iguais. Os referidos autores observam que o tipo de desconto deve ser especificado,
pois o resultado da operação de desconto depende da modalidade adotada, se comercial (ou
por fora) ou racional (ou por dentro).
Vieira Sobrinho (2000, p. 31) define desconto comercial como aquele obtido por
meio da multiplicação do valor de resgate do título pela taxa de desconto, e este produto pelo
prazo a decorrer até o vencimento do título; e o desconto racional como o resultado da
multiplicação do valor atual pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o vencimento do
título.
38
5.2.1 Equivalência de capitais de juros simples
Assaf Neto (2001, p. 31) enfatiza que, na questão da equivalência financeira em
Juros Simples, é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados
(fracionados), sob pena de alterar os resultados. Entretanto, o referido autor conclui que, na
prática, a definição da data focal em problemas de substituição de pagamentos do regime de
juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes, não se verificando um
posicionamento técnico definitivo da Matemática Financeira.
Mathias e Gomes (1984, p. 94) observam que as equações de valor não são
equivalentes e os seus resultados numéricos são diferentes, devido à forma de capitalização
adotada no regime de Juros Simples, em que não se pode fracionar o prazo de aplicação.
Como na maioria dos problemas a época de referência não está claramente determinada, deve-
se evitar o uso do conceito de equivalência na solução de problemas a Juros Simples, a menos
que esteja bem definido.
Quanto se trata de equivalência de capitais a Juros Simples, a época de comparação a
ser usada só pode ser a época zero, ou seja, a época em que a dívida foi contraída. Assim, para
todos os capitais componentes da antiga e da nova forma de pagamento deve ser utilizada a
data focal zero, em que o somatório de ambos deve apresentar o mesmo valor para que haja
equivalência.
5.2.2 Equivalência de capitais em juros compostos
O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou
recebimentos em outras equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre elas.
Na capitalização composta, conforme Vieira Sobrinho (1998, p. 111), provado que
dois ou mais capitais são equivalentes em determinado ponto de referência, para determinada
taxa, esses mesmos capitais serão equivalentes em qualquer outro ponto tomado como
referência, considerada a mesma taxa.
De acordo com Puccini (2006, p. 152), se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor
presente, a uma determinada taxa de juros, então, seus valores futuros, após n períodos,
obtidos com essa mesma taxa de juros, são necessariamente iguais. Dessa forma, a
equivalência de fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero da
escala de tempo. Ela pode ser verificada no final de qualquer período “n”.
Francisco (1985, p. 81), ao ensinar equivalência pelo sistema de capitalização
composta (juros compostos e desconto composto real), destaca que a equivalência dos capitais
39
diferidos pode ser feita não somente na data zero (valor atual), como na capitalização simples,
mas em qualquer outra data, pois os juros compostos são equivalentes aos descontos
compostos.
Como se pode perceber, quando a equivalência se processa no regime de juros
compostos, os conceitos dos vários autores convergem.
Portanto, tecnicamente, a equivalência financeira entre valores, no regime de juros
compostos, independe da data focal escolhida, pois, havendo equivalência em determinada
data focal, essa equivalência ocorrerá em qualquer outra data.
5.2.3 Equivalência de fluxos de caixa
Utiliza-se o mesmo raciocínio financeiro da equivalência de capitais, quando se
envolvem valores monetários em épocas distintas no tempo. Segundo Puccini (2006, p. 153),
“dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se seus
valores presentes, calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais”.
a) Fluxos uniformes ou homogêneos
Quando um empréstimo ou financiamento é amortizado periodicamente, existe uma
indiscutível e maciça preferência para que as parcelas sejam constantes, por uma questão de
administração do fluxo de caixa, tanto do credor, como do tomador do empréstimo.
Ao escrever sobre a liquidação de empréstimos e financiamentos, Assaf Neto (2001,
p. 233) destaca que o crédito direto ao consumidor (CDC) é uma operação destinada a
financiar a aquisição de bens e serviços, e esse financiamento é geralmente amortizado em
prestações periódicas, iguais e sucessivas, seguindo a estrutura do modelo-padrão de fluxo de
caixa.
O modelo-padrão ou modelo-básico, ou série uniforme de valores monetários
postecipados de fluxo de caixa é caracterizado quando uma sucessão de pagamentos ou
recebimentos apresenta, ao mesmo tempo, as seguintes características:
O primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período, o segundo
pagamento no final do segundo período e assim sucessivamente. O fluxo ou a série é
denominado postecipado ou por termos vencidos.
O prazo total do fluxo de caixa é previamente conhecido; por conseguinte, o
número de pagamentos é finito.
Os valores dos pagamentos são constantes.
40
Os intervalos entre os pagamentos são iguais, ou seja, o lapso de tempo entre
um pagamento e o pagamento anterior ou posterior é constante, e esses pagamentos são ditos
periódicos.
Graficamente, o fluxo de caixa modelo-padrão ou básico pode ser assim
representado, na figura 1:
Figura 1 - Presente Valor do fluxo de caixa modelo-padrão da série postecipada
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
O valor presente (PV) desse fluxo de caixa (PMT), para uma taxa (i) efetiva definida
em período igual ao período do fluxo, é determinado pelo somatório dos valores presentes
(data focal zero) de cada um de seus valores:
PV = PMT 1i)(1 + PMT 2i)(1 + …+ PMT 1ni)(1 + PMT ni)(1
Colocando-se em evidência PMT, comum a todos os fatores, tem-se:
PV = PMT ni)(1i)(1i)(1i)(1 1n21
O fato das prestações serem constantes permite a obtenção de fórmulas simplificadas
para o desconto e a capitalização dessas parcelas, pois a soma das mesmas constitui-se na
soma dos termos uma progressão geométrica. Observa-se que entre os colchetes tem-se a
soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica limitada, cujo primeiro termo
( 1a ) e a razão (q) são iguais a 1i)(1
Como a 1q
1qaSoma
n
1PG
, obtém-se:
1i)(1
1i)(1i)PMT(1PV
1
n1
Fazendo-se as devidas simplificações e fatorações, obtém-se a expressão para o
cálculo do valor presente do fluxo de caixa modelo-padrão ou básico:
PV = PMTii)(1
1i)(1n
n
(10)
41
Consequentemente, isolando PMT, tem-se o fator do valor presente de forma
invertida:
PMT = PV1i)(1
ii)(1n
n
(11)
Graficamente, o fluxo de caixa modelo-padrão ou básico pode ser, também,
representado, conforme a Figura 2:
Figura 2 - Futuro Valor do fluxo de caixa modelo-padrão da série
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
O valor futuro (FV) desse fluxo de caixa (PMT), para uma taxa (i) efetiva definida
em período igual ao período do fluxo, é determinado pelo somatório dos valores futuros (data
focal n) de cada um de seus valores. Considerando os valores apresentados, pode-se obter a
expressão para o cálculo do valor futuro do fluxo de caixa modelo-padrão, que ocorrerá em
data coincidente com a data da última parcela (depósito ou pagamento):
ni)(1
FV
= PMT
ii)(1
1i)(1n
n
Fazendo as devidas simplificações, obtém-se a expressão para o cálculo do valor
futuro de uma série postecipada:
FV = PMTi
1i)(1 n (12)
Consequentemente, isolando PMT, tem-se o fator do valor futuro de forma invertida:
PMT = FV1i)(1
in
(13)
42
Com base no modelo-padrão, quando a primeira parcela for paga no ato, como
entrada, a série de pagamento é denominada antecipada, exatamente em razão de o pagamento
da primeira parcela estar sendo antecipado em um período.
Graficamente, o fluxo de caixa da série antecipada pode ser assim representado,
conforme Figura 3:
Figura 3 - Presente Valor do fluxo de caixa da série antecipada
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
Vieira Sobrinho (1998, p. 81) define que nas séries com termos antecipados os
pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário; assim, a primeira
prestação é sempre paga no momento “zero”, ou seja, na data da contratação do empréstimo.
Por conseguinte, todos os problemas de séries de pagamentos ou recebimentos antecipados
poderão ser resolvidos a partir dos fatores tabelados ou calculados para a série de pagamentos
postecipados (ou com termos vencidos), bastando multiplicá-los ou dividi-los por (1+ i).
A divisão ou multiplicação por (1+ i) dependerá do que se quer determinar. Ao se
determinar o Presente Valor da série antecipada, como o primeiro pagamento é na data zero, o
valor presente do modelo-padrão estará calculado na data menos um (-1). Para obter o valor
presente da série antecipada, na data zero, tem-se, então, que multiplicar o fator do modelo-
padrão por (1+i). Ao se determinar o valor das parcelas constantes, o procedimento é o
inverso, como se constata:
PV = PMT 1
n
n
i)(11i)(1
1i)(1
Fazendo as devidas simplificações, obtém-se a expressão para o cálculo do valor
presente de uma série antecipada:
PV = PMTii)(1
1i)(11n
n
(14)
43
Consequentemente, isolando PMT, tem-se o fator do valor presente de forma
invertida:
PMT = PV1i)(1
ii)(1n
1n
(15)
Graficamente, o fluxo de caixa da série antecipada pode ser representado conforme a
Figura 4:
Figura 4 - Futuro Valor do fluxo de caixa de uma série antecipada
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
Considerando que o valor futuro da série antecipada ocorre um período após o valor
futuro da série postecipada, obtém-se a expressão para o cálculo do valor futuro (montante) do
fluxo de caixa com termos antecipados, que ocorrerá um período após o último depósito
(pagamento):
FV = PMT i
i n 1)1( (1 + i) (16)
Consequentemente, isolando PGTO, tem-se o fator do valor futuro de forma
invertida:
PMT = 1i)(1
i.
i)(1
FVn
(17)
Com base no modelo-padrão, quando a primeira parcela for paga a partir do primeiro
período, portanto com deferimento ou carência para se pagar a primeira prestação, a série de
pagamento é denominada diferida.
44
Graficamente, o fluxo de caixa da série diferida, com carência igual a 2 (dois)
períodos, pode ser representado conforme a Figura 5:
Figura 5 - Presente Valor do fluxo de caixa de uma renda diferida
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
Mathias e Gomes (2002, p. 295), ao apresentarem os modelos genéricos de anuidades
ou séries uniformes, conceituam anuidades diferidas como sendo aquelas em que os termos
são exigíveis, pelo menos, a partir do segundo período. Em outras palavras, o primeiro termo
é exigível a partir de certo período de carência. Tudo se passa como se os termos fossem
transladados de um intervalo de tempo igual à carência (m).
Conclui-se, então, que a carência (m) se caracterizará quando o primeiro pagamento
ou recebimento ocorrer após o final do primeiro período, ou seja, se o primeiro pagamento de
uma série de pagamentos uniformes e periódicos ocorrer no 2º (segundo) período, a carência
será um período; se o primeiro pagamento de uma série de pagamentos uniformes e
periódicos ocorrer no 3º (terceiro) período; a carência será dois períodos; e assim
sucessivamente. Todos os problemas de séries de pagamentos diferidos poderão ser resolvidos
a partir dos fatores tabelados para a série de pagamentos com termos postecipados (ou
vencidos), bastando multiplicá-los ou dividi-los por mi)(1 . Dependerá do que se quer
determinar. Ao se determinar o Presente Valor da série diferida, como o primeiro pagamento
se dará na data de carência mais um (m+1), o Presente Valor do modelo-padrão sairá na data
igual à carência, obrigando-se, então, a dividir o fator do modelo-padrão por mi)(1 .
Fazendo as devidas simplificações, obtém-se a expressão para o cálculo do valor
presente de um fluxo com termos diferidos:
PV = PMTii)(1
1i)(1mn
n
(18)
Consequentemente, isolando PMT, tem-se o fator do valor presente de um fluxo com
termos diferidos de forma invertida:
45
PMT = PV1i)(1
ii)(1n
mn
(19)
As calculadoras ou softwares financeiros têm funções apropriadas para cálculo das
cinco variáveis componentes das fórmulas, ou seja, PV – Presente Valor (PV – Present value),
FV – Futuro Valor (FV – Future value), PMT– Pagamento (PMT – Payment), n – Número de
pagamento (n – Number), e i – Taxa (i – Interest), de séries ou fluxos de pagamentos
uniformes previamente armazenados. Para resolver os problemas na forma algébrica é
possível utilizar, também, tabelas financeiras, que contêm os referidos fatores.
b) Fluxos não uniformes ou não homogêneos
Souza e Clemente (2000, p. 77), ao analisarem séries de pagamentos, comentam que
em muitas situações elas apresentam valores distintos para cada época e que o valor presente
de um valor futuro qualquer é obtido pela fórmula básica que relaciona dois valores
monetários em épocas distintas no tempo, e concluem que a concentração de todos esses
diferentes fluxos na data focal zero é obtida transportando-se cada valor para essa data e, em
seguida, procedendo ao somatório.
Segundo Puccini (2006, p. 190), fluxos de caixa cujos valores são distintos entre si e
que não apresentam nenhuma lei de formação que permita uma simplificação do cálculo do
valor presente, são denominados fluxos de caixa não homogêneos. Dentre os fluxos de caixa
não convencionais, para Assaf Neto (2001, p. 199), encontram-se aqueles em que os valores
de caixa apresentam-se desiguais (variáveis): “o valor presente é calculado pela soma dos
valores atualizados de cada um de seus termos e o valor futuro, por seu lado, é determinado
pelo somatório dos montantes de cada um dos termos, ou, ainda, capitalizando-se o valor
presente para a data futura”.
Já para Mathias e Gomes (2002, p. 271), as unidades, cujos termos não são iguais
entre si, são denominadas anuidades variáveis e calcula-se o seu valor atual como sendo a
soma dos valores atuais de cada um de seus termos e o montante pela capitalização do valor
atual ou pela soma dos montantes de cada termo.
Valor presente, taxa de desconto e fluxos de caixa, com respectiva equivalência, são
conceitos totalmente interdependentes. Segundo Puccini (2006, p. 123), o valor monetário
(VP) do ponto zero da escala de tempo é o valor presente de um fluxo de caixa, que é
equivalente à soma de suas parcelas futuras, transportadas para o ponto zero, com uma
determinada taxa de desconto.
46
Portanto, o valor presente de um fluxo de caixa não uniforme é a soma dos valores
presentes de todos os diferentes fluxos de caixa )FC( j , na data focal zero, descontadas a uma
determinada taxa efetiva, no mesmo período do fluxo.
Graficamente, o fluxo de caixa não uniforme pode ser representado pela Figura 6:
Figura 6 - Presente Valor de um fluxo de caixa não uniforme
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
O Presente Valor (PV) desse fluxo de caixa, para uma taxa definida em período igual
ao período do fluxo, é determinado pelo somatório dos valores presentes (data focal zero) de
cada um de seus valores:
PV = n
n1n
2
2
1
10 i)(1FCFC...i)(1FCi)(1FCFC
PV =
n
0j j
j
i)(1
FC (20)
Graficamente, o fluxo de caixa não uniforme, em função do valor futuro, pode ser
representado conforme a Figura 7:
Figura 7 - Futuro Valor de um fluxo de caixa não uniforme
Fonte: Adaptação da dissertação de Mestrado de SANDRINI J.C.
47
O valor futuro (VF) desse fluxo de caixa, para uma taxa definida em período igual ao
período do fluxo, é determinado pelo somatório dos valores futuros (data focal n) de cada um
de seus valores:
FV = n
n
1n
1n
2
2
1
10 i)(1FCi)(1FC...i)(1FCi)(1FCFC
FV = jn
0j j i)(1FC (21)
Ao se cotejar o valor presente dos fluxos futuros )FC( j dos pagamentos, ou dos
investimentos, com o valor inicial do empréstimo ou da aplicação (PV), tem-se como
resultado um valor denominado valor presente líquido.
A obtenção do valor presente líquido (VPL), para séries não uniformes, segundo
Vieira Sobrinho (1998, p. 167), “consiste em calcular o valor presente de uma série de
pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o
valor do fluxo inicial (valor do empréstimo ou investimento)”. Para Puccini (2006, p. 132), “o
valor presente líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras
(que são descontadas a uma determinada taxa), somado algebricamente com a grandeza
colocada no ponto zero”.
VPL = 0
n
1j j
jFC
i)(1
FC
(22)
Embora seja possível determinar o valor presente líquido em qualquer dos regimes
de juros, as calculadoras e softwares financeiros têm funções apropriadas para cálculo do VPL
- Valor Presente Líquido (NPV - net present value) de fluxos de caixa somente no regime de
juros compostos.
Assaf Neto (2001, p. 270) define a taxa interna de retorno como sendo “a taxa de
juros (desconto) que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das
entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa”. Para Teixeira e
Di Pierro Netto (1998, p. 103), “a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa pode ser
entendida como sendo a taxa de desconto que faz com que as receitas futuras descontadas a
esta taxa se igualem ao investimento inicial. Em outras palavras, é a taxa que proporciona o
NPV de um investimento igual a zero”. Em síntese, é o i das fórmulas de juros compostos e,
normalmente, adota-se a data zero como data focal, considerando que o fluxo de caixa nessa
data é representado pelo valor da operação.
48
n
0j j
j
0i)(1
FCFC (23)
Embora seja possível determinar a taxa interna de retorno em qualquer dos dois
regimes de capitalização de juros, as calculadoras e softwares financeiros têm funções
apropriadas para cálculo da TIR – Taxa Interna de Retorno (IRR – internal rate return) de
fluxos de caixa somente no regime de juros compostos.
5.3 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Weston e Brigham (2000, p. 230) enfatizaram que uma das aplicações mais
importantes dos juros compostos envolve empréstimos que são liquidados em prestações com
o passar do tempo. [...] Se um empréstimo deve ser restituído em quantias periódicas iguais
(mensal, trimestral ou anualmente), ele é chamado de empréstimo amortizado, e
complementam informando que a palavra “amortizado” vem do latim mors, que significa
“morte”. Portanto, conclui-se que um empréstimo amortizado é aquele empréstimo liquidado
com o tempo.
Segundo Veras (2001, p. 181), as formas de pagamento dos empréstimos chamam-se
sistemas de amortização. Da mesma forma, Neves (1982, p. 44) não somente entende por
sistema de financiamento a maneira pela qual uma dívida será paga, mas complementa,
afirmando que num sistema de financiamento a série de pagamentos a ser realizada para a
liquidação da dívida será financeiramente equivalente ao valor da dívida, à taxa de juro do
empréstimo.
Samanez (2007, p. 150), além de mencionar que a prestação é a soma da amortização
e os juros correspondentes aos saldos, enfatiza que essa separação é importante para as
necessidades jurídico-contábeis e para a análise de investimentos, em que os juros, por serem
dedutíveis para efeitos tributáveis, têm um efeito fiscal.
Entretanto, Mathias e Gomes (2002, p. 307) afirmam que nos sistemas de
amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor. Isto
significa que consideraremos apenas os regimes de juros compostos, pois, se os juros são
calculados desse modo, o não pagamento de juros de um dado período levará a um saldo
devedor maior, sendo calculado juro sobre juro Os sistemas estudados em sua obra são
49
Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema Francês (PRICE), Sistema Americano
(SAA) e Sistema de Amortizações Variáveis (SAV).
Da mesma forma, porém utilizando outro argumento para a caracterização do juro
sobre juro, Assaf Neto (2001, p. 335) destaca que uma característica fundamental dos
sistemas de amortização estudados neste capítulo é a utilização exclusiva do critério de juros
compostos, em razão de a taxa de juros incidir exclusivamente sobre o saldo devedor apurado
em período imediatamente anterior. Os sistemas estudados em sua obra são Sistema de
Amortização Constante (SAC) e Sistema de Amortização Americano (SAA).
Para caracterizar a incidência de juros sobre juros no Sistema PRICE, Nogueira
(2002, p. 223) afirma que da primeira parcela cobrada até a última, a prestação permanece
inalterada e o saldo devedor nunca deduz o juro que foi pago. Assim sendo, não precisaríamos
ir mais longe na conclusão do anatocismo, uma vez que, para cada parcela paga, para
apurarmos o saldo devedor, deve-se deduzir, do total pago, somente uma parte, que é a
amortização.
Todavia, Faro (1989, p. 242) alerta que, sendo os juros calculados período a período,
e como para um período não há diferença entre capitalização simples e composta, tudo se
passa como se o capital fosse emprestado a taxa i de juros simples.
Em contraste, Lapponi, após construir as planilhas de um financiamento pelo sistema
de amortização Price, destacando o juro, a amortização e o saldo devedor, conclui:
Podemos ver que a taxa de juro paga pelo devedor é ao mês e não há juro
acumulado, ou juros sobre juros. O mesmo se deduz se periodicamente e de forma
contratual o valor da taxa de juro sofrer mudança, pois as novas prestações serão
sempre calculadas a partir do saldo devedor definido na última prestação honrada
quando o juro nessa data foi zerado. Assim sendo, (...), nenhum juro, parcial ou
total, é acrescido ao saldo devedor por não ter sido honrado durante o prazo de
financiamento. (Laponi, 2006, p.242).
Após construir as planilhas do plano de um financiamento pelo sistema de
amortização SAC, destacando juro, a amortização e o saldo devedor, Lapponi (2006, p. 430)
afirma que no Sistema SAC não há juro acumulado ou juros sobre juros, ou seja, nenhum
juro, parcial ou total, é acrescido ao saldo devedor por não ter sido honrado durante o prazo de
financiamento.
Branco (2002, p. 159 e 167), ao demonstrar e realizar o cálculo dos juros período a
período, tanto no PRICE quanto no SAC, e também no SAA, utiliza a fórmula de juros
simples, deixando clara sua conduta com relação à capitalização dos juros nesses três sistemas
de amortização.
50
Ao abordar amortização a juros simples, Cavalheiro (1992, p.134) destaca o método
que liquida uma dívida por meio de prestações periódicas e constantes destinadas à
amortização do capital, em que o valor da dívida é parcelado, pagando-se conjuntamente os
juros correspondentes ao saldo devedor, decrescentes.
Pires e Negra (2005) procuram evidenciar que a fundamentação sobre a qual se
alicerça toda a doutrina jurídica na identificação da capitalização de juros parte do
pressuposto da utilização de expressão matemática que se utiliza juro composto e concluem:
[...] a formação dos juros se faz a partir do saldo devedor e não da parcela
ou da prestação, e existe a evidência da não existência de capitalização de juros
porquanto dos pagamentos dos mesmos ao tempo de sua formação, conforme
evidencia o saldo devedor indicado para cada mês, sempre em procedimento de
redução, advindo da amortização resultante da diferença positiva entre a prestação e
os juros incorridos. (Pires e Negra, 2005, p. 44).
Vieira Sobrinho (2006, p. 1-4), ao elaborar parecer sobre a capitalização dos juros e o
conceito de anatocismo, deixa claro que o valor das prestações na Tabela Price é obtido com
base no critério de juros compostos e sustenta: “é fácil verificar que, ao se efetivar os
pagamentos de cada uma das prestações nos respectivos vencimentos, os juros são
integralmente pagos, e, portanto, nada restará de juros para o mês seguinte” e, após
demonstrar em planilha de amortização, arremata: “podemos verificar que o valor dos juros
devidos integralmente pago e no mês seguinte a taxa incide somente sobre o saldo devedor
que nada contém de juros, e assim sucessivamente”.
Rezende (2003, p. 146) conclui que qualquer que seja o sistema de amortização em
que os juros são quitados mensalmente, sem serem incorporados ao saldo devedor, inexiste,
até mesmo por definição, o fenômeno denominado “juros sobre juros”, e a única hipótese
disso ocorrer é quando a prestação torna-se inferior à parcela de juros, produzindo
amortização negativa.
Portanto, fica clara a divergência de opiniões entre autores e estudiosos da matéria,
com relação à capitalização de juros nos sistemas de amortização de empréstimos mais usuais
na realidade brasileira, em que a taxa de juros incide sobre o saldo devedor anterior,
justificando a investigação expressa nos objetivos gerais e específicos deste trabalho.
5.3.1 Sistema Francês de Amortização - Tabela Price
Vieira Sobrinho, ao apresentar em seu livro os sistemas de amortização de
empréstimos, destaca o Sistema Francês (Tabela Price) como largamente utilizado no
51
mercado financeiro e de capitais brasileiro. Observa que esse sistema é mais conhecido no
Brasil como Tabela Price, que consiste em um plano de amortização de uma dívida em
prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o
valor de cada prestação é composto por duas parcelas distintas: uma de encargos financeiros
(Juros) e outra de Capital (Amortização), e complementa:
De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira, a denominação
“Tabela Price” se deve ao nome do Matemático, Filósofo e Teólogo inglês Richard
Price, (…) que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de
empréstimos. A denominação “Sistema Francês”, pelo autor citado, deve-se ao fato
de esse sistema ter-se efetivamente desenvolvido na França, no século XIX. O
Sistema Francês consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações
periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o
valor de cada prestação é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra
de capital (chamada amortização). (Viera Sobrinho, 1998, p. 222).
Segundo Nogueira (2002, p. 28), a partir de estudo a pedido de uma seguradora
inglesa, Price publicou sua mais famosa obra de estatística, Northampton Mortality Tables
(Tábuas de Mortalidade de Northampton), que serviu para definir as probabilidades de vida e
de morte.
Com base nesse estudo e da elaboração das tábuas de mortalidade, segundo o autor,
foi publicada a obra final em 1771, intitulada Observations on Reversionary Payments
(Observações sobre Devolução de Pagamentos Reversíveis), em que se encontra, entre
diferentes assuntos relacionados a seguros, a coleção das Tabelas de Juros Compostos,
batizada no Brasil de Tabela Price.
Mathias e Gomes, ao apresentarem os sistemas de amortização de empréstimos,
fazem os seguintes destaques sobre o Sistema Price:
Este sistema também é conhecido como “Tabela Price” e é um caso
particular do sistema francês, com as seguintes características:
1. A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática,
esta taxa é dada em termos anuais.
2. As prestações têm período menor que aquele a que se refere à taxa.
Em geral, as amortizações são feitas em base mensal.
3. No cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere
a prestação, calculada a partir da taxa nominal. (Mathias e Gomes, 2002, p. 319).
Assaf Neto (2001, p. 335), destaca que o Sistema de Amortização Francês (SAF), do
qual o Sistema Price representa uma variante, estabelece que as prestações devam ser iguais,
periódicas e sucessivas, equivalendo ao modelo-padrão de fluxos de caixa.
52
Entretanto, para Faria (2000, p. 174), a Tabela Price é um caso particular do Sistema
Francês de Amortização quando a prestação é mensal. Normalmente, a taxa de juros é dada ao
ano e deve-se usar a taxa mensal proporcional. E para Faro (1990, p. 210), “usualmente,
principalmente em operações de financiamento para fins habitacionais, a Tabela Price tem a
conotação de implicar em prestações mensais com a taxa de juros sendo anual, com
capitalização mensal”. Nessa mesma linha, Hoji (2007, p. 89) afirma que “no sistema Price, a
taxa de juros é dada em termos nominais, geralmente em períodos anuais, mas os juros são
calculados em bases mensais pelo regime de capitalização simples, o que resulta numa taxa
efetiva maior do que a taxa nominal”.
Em contrapartida, Vieira Sobrinho (1998, p. 125) observa que o Sistema Francês –
Tabela Price – não implica necessariamente em prestações mensais e em taxa de juros de 1%
ao mês, (12% ao ano, como normalmente é indicado), podendo ser definidas prestações e
taxas para quaisquer períodos.
5.3.2 Sistemas de Amortização Constante - SAC
Vieira Sobrinho (2000, p. 239) realça a importância do Sistema de Amortização
Constante – SAC no Brasil, principalmente pela sua utilização no Sistema Financeiro de
Habitação, e comenta que sua denominação deriva de sua principal característica, ou seja, as
amortizações iguais, e que consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações
periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos
vencidos, em que o valor de cada prestação é composto de uma parcela de juros e outra de
capital (ou amortização).
Da mesma forma, Assaf Neto (2001, p. 337) ensina que o SAC, como o próprio
nome indica, tem como característica básica amortizações do principal constantes durante
todo o prazo da operação e como os juros incidem sobre um saldo devedor decrescente,
assumem valores decrescentes e, em consequência, as prestações periódicas e sucessivas são
decrescentes em progressão aritmética.
Tanto Faro (1990, p. 239), como Kuhnen (2006), além de destacarem as
características desse sistema, informam que o SAC também costuma ser denominado de
Método Hamburguês.
Neste sistema, o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais.
Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente em progressão aritmética,
já que os juros diminuem a cada prestação, também em progressão aritmética. O valor da
53
amortização é calculado dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de
pagamento, ou seja, de parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos
imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do saldo
devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre o mesmo,
o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do financiamento,
fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros mecanismos de
amortização.
5.3.3 Sistema de Amortização Misto - SAM
Vieira Sobrinho (2000, p. 239) destaca que esse sistema foi criado pelo Banco
Nacional da Habitação - BNH e constitui-se num misto entre o Price e o SAC, originando-se
daí a sua denominação, e complementa que o SAM é um plano de pagamentos composto por
prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos
planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos prazos; os valores das parcelas de
amortização e juros resultam da mesma regra.
De acordo com Souza e Clemente (2000, p. 98), o Sistema de Amortização Misto -
SAM foi muito utilizado para financiamento dos programas de aquisição de casa própria e
que a característica desse sistema é a de se posicionar, em termos de valor da prestação,
consequentemente juros, amortização e saldo devedor, entre o Price e o SAC, de tal forma que
o valor da prestação, e os demais componentes da planilha de amortização, representam a
média aritmética dos valores desses dois referidos sistemas.
Para Assaf Neto (2001, p. 352), esse sistema representa, basicamente, a média
aritmética entre o sistema Francês (PRICE) - SAF e o sistema de amortização constante -
SAC, daí explicitando a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de
pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo PRICE com os do SAC e simplesmente
dividir o resultado por dois.
Faro (1989, p. 254) comenta que o Sistema Financeiro da Habitação - SFH, buscando
conciliar vantagens e desvantagens da Tabela Price e SAC, introduziu o chamado Sistema de
Amortização Mista - SAM, e ensina que esse sistema “é equivalente a imaginar-se que metade
do capital seja financiada segundo o método francês e a outra metade, à mesma taxa e prazo,
pelo método de amortização constante”.
5.3.4 Sistema de Amortização Crescente - SACRE
54
O Sistema de Amortização Crescente - SACRE foi criado pela Caixa Econômica
Federal para liquidação de financiamentos originários do Sistema Financeiro de Habitação.
Kuhnen (2006, p. 231) afirma que esse sistema utiliza exatamente os conceitos do Sistema
SAC, destacando-se o fato de que, enquanto a prestação é corrigida a cada 12 meses, o saldo
devedor é atualizado mensalmente, podendo gerar algum valor residual no final do período. A
prestação deverá ser recalculada a cada 12 meses, com base no saldo devedor do período
imediatamente anterior e na quantidade de prestações a vencer; no entanto, considera-se o
critério de cálculo de prestação para o primeiro período, repetindo-se para os demais 11
meses.
Segundo Branco (2002, p.175), o sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo
de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela
de juros sobre o saldo devedor, e as prestações mensais são calculadas com base no saldo
devedor existente no início de cada período de 12 meses, da mesma forma como se obtém o
valor da prestação do SAC. O autor alerta sobre a possibilidade de haver saldo remanescente
no final do contrato, lembrando que o mutuário terá direito à devolução quando o saldo
residual for negativo e, caso contrário, para a liquidação total da dívida, deverá efetuar o
pagamento desse valor.
Nesse sistema, Penna (2007, p. 55) menciona que o cálculo da prestação é feito em
duas etapas: (1) apura-se o valor da parcela de amortização constante, dividindo o valor do
financiamento pelo prazo; (2) multiplica-se a taxa mensal de juros pelo valor do
financiamento. O somatório dessas duas parcelas compõe o valor da prestação inicial que, a
cada 12 meses, é recalculada, considerando o saldo devedor atualizado, a taxa contratada e o
prazo remanescente.
Contrapondo-se aos três autores, Samanez (2007, p. 156) afirma que o Sistema de
Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na liquidação de
financiamentos da casa própria e se baseia no SAC e no PRICE, já que a prestação é igual à
média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de
juros e prazos. Destaca, ainda, como vantagem do sistema, a queda mais acentuada do saldo
devedor e menores chances de ter resíduo ao final do contrato, “como pode ocorrer no
Sistema PRICE”, e como uma das desvantagens, prestações iniciais ligeiramente mais altas
que as do PRICE.
5.3.5 Sistema de Amortização Americano - SAA
55
Na visão de Zentgraf (2007, p.364), nesse sistema “o mutuário paga periodicamente
apenas os juros do financiamento e devolve o capital emprestado de uma só vez no final do
prazo contratado. Essa é a razão de muitos autores o classificarem como Sistema de Juros
Constantes”.
Casaroto e Kopittke (2010, p. 75) escrevem: “No Sistema Americano, pagam-se os
juros e o principal é devolvido no final do empréstimo” [...] “Quem toma um empréstimo
neste sistema deve normalmente formar um fundo para amortizar o principal”. Este fundo será
feito utilizando-se o Sistema PRICE, com a mesma taxa do financiamento ou com taxas
diferentes.
Na versão mais comum do Sistema de Amortização Americano, conforme Araújo
(1993, p. 202), os juros são pagos periodicamente e as amortizações de uma única vez no
último período. Há casos em que os juros não são pagos periodicamente e, assim, o saldo
devedor deve ser capitalizado.
Da mesma forma, Assaf Neto (2001, p. 357) observa que o sistema americano
estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da
operação, de uma só vez. Não se preveem, de acordo com esta característica básica do SAA,
amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos
periodicamente.
Mathias e Gomes (2002, p. 321) definem o Sistema de Amortização Americano de
forma semelhante; entretanto, dão o nome de carência ao prazo em que se pagam somente os
juros. Veras (1991, p. 193) escreve que, por esse sistema, é indiferente que o regime seja
simples ou composto, pois como os juros são pagos periodicamente, o saldo devedor é sempre
o mesmo, o que não muda o valor básico para o cálculo dos juros.
Classificando a criação desse fundo com habitual, Mathias e Gomes (2002, p. 322)
observam que o chamado sinking fund, que muitas vezes é confundido com o “sistema
americano”, é um fundo de amortização constituído pelo mutuário para pagar o principal
devido. Com tal providência, o mutuário procura evitar o problema de liquidez que surgiria
devido a um grande desembolso de uma só vez. Segundo os autores, nas operações
financeiras normais, via de regra, a taxa de juros da aplicação é menor que a taxa de juros
cobrada pelo empréstimo.
56
6 OS PROCEDIMENTOD DA PESQUISA
Neste capítulo, são apresentados o contexto e o perfil dos sujeitos da pesquisa, os
procedimentos metodológicos adotados para a coleta, organização, análise e interpretação dos
dados, bem como a revisão teórica da pesquisa.
6.1 A PESQUISA: CONTEXTO E SUJEITOS
Esta pesquisa insere-se na abordagem qualitativa por considerar, de acordo com
Silva e Menezes (2001), que há uma relação dinâmica entre a realidade e os sujeitos. Para os
autores, a interpretação dos fenômenos e a atribuição de significados são básicas no processo
de pesquisa qualitativa, não requerendo o uso de métodos e técnicas estatísticas, tendo como
fonte direta de coleta de dados o ambiente natural e o pesquisador como instrumento-chave.
Chizzotti (2001) destaca que a pesquisa qualitativa objetiva provocar o esclarecimento
de uma situação para uma tomada de consciência, pelos próprios pesquisadores, dos seus
problemas e das condições que os geram, a fim de elaborar os meios e estratégias de resolvê-
los.
Nesta mesma linha de raciocínio, Leal e Souza (2006, p. 17) consideram que a
pesquisa qualitativa, que envolve ouvir as pessoas, o que elas têm a dizer, explorando suas
ideias e preocupações sobre determinado assunto, analisa os temas em seu cenário natural,
buscando interpretá-los em termos de significado assumido pelos indivíduos.
Para D’Ambrósio (2004), concebe-se a pesquisa qualitativa como sendo aquela que
procura dar atenção às pessoas, às suas crenças, ou seja, àquilo que permanece silencioso e
que, na maioria das vezes, não pode ser interpretado somente por características numéricas.
A metodologia de pesquisa qualitativa é aquela na qual o pesquisador busca obter
resultados aprofundados por meio da averiguação com certo número de pessoas. Por se tratar
de uma pesquisa exploratória (que busca definir como é um cenário) ela é recomendada para
quem deseja fazer uma pesquisa mais geral e depois definir pontos mais específicos. Ou seja,
o público que vai responder a pesquisa qualitativa é que vai ajudar a definir como é o cenário
para um produto ou serviço.
Diferentemente do modelo de metodologia quantitativo, a pesquisa qualitativa busca
se aprofundar nas questões e não em resultados estatísticos (Ludke e André, 1986). Por isso, a
metodologia de pesquisa qualitativa é mais complexa. Normalmente, quando as perguntas são
mais abertas, as respostas também tendem a ser mais longas e difíceis de interpretar. Fazer
57
questões que deem liberdade para os entrevistados ajuda a formar o cenário da pesquisa. Por
isso, é primordial fazer este tipo de abordagem.
As dificuldades de se fazer uma pesquisa qualitativa (em relação à quantitativa) não
ficam apenas na hora de apuração dos dados. Conseguir um público-alvo disposto a responder
muitas perguntas não é uma tarefa fácil. Na hora de fazer as perguntas em profundidade, a
metodologia qualitativa também se mostra mais complicada que a quantitativa. Isto acontece
porque é necessário deixar o grupo participante da pesquisa o mais livre possível e ainda
demonstrar neutralidade na hora das questões.
Conforme mencionado na Seção 2, o contexto da pesquisa envolveu um grupo de 23,
sendo 10 do sexo feminino e 13 do sexo masculino, acadêmicos do Curso de Administração
da URI Erechim, turma 2010, cursando a disciplina (Curso Especial) de Matemática
Financeira II. Alunos estes que participaram de cinco oficinas com a utilização da
Calculadora HP-12C.
6.2 MATERIAL USADO NA PRÁTICA: CALCULADORA HP-12C, EMULADOR DA
CALCULADORA HP-12C E COMPUTADORES
O Emulador da Calculadora HP-12C ($12C++), da Ware Software, apresenta, na tela
do computador, o teclado e menus da Calculadora HP-12C, com a opção de visualização de
algumas operações que a calculadora executa internamente, as quais estariam apenas
disponíveis no manual do usuário. Além disso, esse emulador está disponível para download,
na internet, por meio do site <http://jetoo.org/utilidades.html>, e pode ser instalado facilmente
em qualquer computador que utilize o sistema Windows.
A calculadora HP-12C, também conhecida como Calculadora Financeira, utiliza uma
linguagem especial chamada Notação Polonesa Reversa (RPN). Por meio dessa linguagem,
informa-se primeiro o número seguido da tecla Enter. Posteriormente, o segundo número e,
por último, a operação desejada (conforme descrito na Seção 3).
Os recursos tecnológicos apresentados estão presentes, de alguma forma, na rotina
diária de cada instituição, principalmente as bancárias e comerciais. Sendo assim, é
imprescindível que nossos alunos, principalmente os que realizam cursos como
Administração, Ciências Contábeis e Economia, saibam usar essas tecnologias. Borba e
Penteado (2005) chamam isso de “alfabetização tecnológica” e saber utilizar novas
tecnologias é tão importante quanto a alfabetização em linguagem Matemática.
6.3 COLETA, ORGANIZAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
58
A coleta dos dados foi realizada após as cinco oficinas, visto que o curso de
Matemática Financeira II foi realizado de forma intensiva (durante um mês). Antes da
realização das oficinas foram utilizadas oito horas-aula para reconhecimento e utilização da
Calculadora HP-12C e seus comandos, bem como do Emulador. Goldenberg (1999, p. 53)
destaca que os dados qualitativos são vistos como descrições detalhadas com o objetivo de
compreender os indivíduos em seus próprios termos. Como não são padronizáveis como os
dados quantitativos, obrigam o pesquisador a ter flexibilidade e criatividade no momento de
coletá-los e analisá-los. Com relação aos instrumentos de coleta de dados, mais
especificamente o questionário, Cervo e Dervian (2002) ressaltam que é a forma mais
utilizada para coletar dados, porque possibilita obter, com exatidão, o que se deseja, a partir
de um conjunto de questões relacionadas com o problema central.
Por ser de caráter impessoal, o questionário facilita a coleta de dados, visto que os
entrevistados poderão expressar-se livremente sobre as questões propostas na pesquisa.
A observação também foi um instrumento de coleta de dados. Ludke e André (1986)
consideram que a observação possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o
fenômeno pesquisado e que, na medida em que acompanha as experiências dos sujeitos, tem a
possibilidade de apreender a sua visão de mundo, isto é, o significado que os mesmos
atribuem à realidade que os cerca e às suas próprias ações.
Os dados foram organizados em quatro categorias de análise, que foram constituídas
a partir dos instrumentos, tendo por base os objetivos e a questão norteadora da investigação.
Com relação à análise de dados, segundo Gil (1990) esta tem por objetivo organizar e
sumariar os dados de tal forma que possibilite o fornecimento de respostas ao problema de
pesquisa proposto, à investigação.
59
7 PROPOSTA DE ENSINO
7.1 OFICINAS REALIZADAS
Nesta seção, é apresentada a Proposta de Ensino desenvolvida a partir das oficinas
para os acadêmicos do Curso de Administração, da URI Erechim, que realizaram a disciplina
de Matemática Financeira II em regime especial, no verão de 2010, em janeiro.
As cinco oficinas centraram-se na discussão e solução de problemas de Matemática
Financeira com a utilização da Calculadora HP-12C. Os problemas tratados nas oficinas
envolveram Juros Simples, Juros Compostos, Análise de Investimentos, utilizando o Valor
Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR) e Sistemas de Amortização de
Empréstimos.
O trabalho contou primeiro com a definição do problema, depois com os
procedimentos para a solução e, por último, a solução dos problemas utilizando a Calculadora
HP-12C. As oficinas foram realizadas durante o período de aula e tiveram a duração de duas
horas cada uma.
A seguir, são apresentadas as oficinas e atividades realizadas pelos alunos.
7.1.1 Oficina I
TEMA: CÁCULO DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS UTILIZANDO A HP-12C
1) Objetivos
- Familiarizar-se com a Calculadora HP-12C;
- Resolver problemas de juros simples, utilizando as funções da
Calculadora HP-12C.
2) Dinâmica
Nesta oficina, foram realizados cálculos de Juros Simples e Compostos, com a
utilização da Calculadora HP-12C. Primeiro foi visto a definição de Juros Simples e Juros
Compostos com seus montantes e, posteriormente, após ter sido feito um estudo da HP-12C,
desde como ligar até fazer cálculos mais sofisticados, estudo este realizado no início do curso,
foi proposto pelo pesquisador a solução de dois problemas envolvendo cálculo de Juros
Simples e cálculo de Juros Compostos, para serem feitos utilizando a Calculadora HP-12C e
não o formulário corriqueiro utilizado pela maioria dos professores de Matemática, no ensino
60
da Matemática Financeira. Os alunos foram orientados quanto aos procedimentos para os
cálculos, utilizando as funções específicas para o cálculo dos Juros Simples e dos Juros
Compostos. Foi, ainda, explicado aos alunos os procedimentos para o cálculo dos Juros
Simples, ou seja, que além da introdução do capital na calculadora, a taxa deve sempre ser
anual e o período em dias e que nos Juros Compostos as taxas devam ser equivalentes e deve-
se encontrar o montante para, depois, se determinar os juros.
3) Desenvolvimento
PROBLEMA DE JUROS SIMPLES:
Considere um capital de 10.000 u.m., aplicado a uma taxa de juros simples de 10%
a.a. por um período de 5 anos. Calcular os juros simples período a período e construir uma
tabela utilizando a HP-12C.
PROCEDIMENTOS DE SOLUÇÃO:
Para o cálculo de juros simples com a calculadora HP-12C, deve-se considerar o
capital como PV, a taxa anual e o período em dias e fazer o cálculo periódico dos juros
fazendo-se o seguinte procedimento, conforme a Tabela 1:
10.000 CHS PV
10 i
360 n (um ano)
f i – juros do primeiro ano
Tabela 1 - Cálculo de juros simples
Capital Período (dias) Juros Montante
10.000 180 500 10.500
10.000 360 1.000 11.000
10.000 720 2.000 12.000
10.000 1.080 3.000 13.000
10.000 1.440 4.000 14.000
10.000 1.800 5.000 15.000
Fonte: o autor
10.000 CHS PV
180 n
61
10 i
F 500 + 10.000 = 10.500
10.000 CHS PV
360 n
10 i
f 1000 + 10.000 = 11.000
10.000 CHS PV
720 n
10 i
f 2.000 + 10.000 = 12.000
10.000 CHS PV
1.080 n
10 i
f 3.000 + 10.000 = 13.000
10.000 CHS PV
1.440 n
10 i
f 4.000 + 10.000 = 14.000
10.000 CHS PV
1.800 n
10 i
f 5.000 + 10.000 = 15.000
i
i
i
i
i
i
62
PROBLEMA DE JUROS COMPOSTOS:
Considere um capital de 10.000 u.m. aplicado a juros compostos de 10% a.a. para um
período de 5 anos, com regime de capitalização anual. Calcular os juros e montante, período a
período, e construir a tabela.
PROCEDIMENTOS DE SOLUÇÃO:
Para o cálculo dos juros compostos utiliza-se o capital como PV, a taxa i, o período
n; calcula-se então o FV que significa o montante, bastando para o cálculo dos juros subtrair o
capital inicial. Para o próximo período utiliza-se o montante como novo capital para calcular
os novos juros e assim sucessivamente até o final do período estipulado. Ver Tabela 2.
10.000 CHS PV
10 i
1 n
FV -11.000 ENTER10.000 - =1.000
Tabela 2 - Cálculo de juros compostos
Capital Período (anos) Juros Montante
10.000 0,5 488,09 10.488,09
10.000 1 1.000 11.000
10.000 2 2.100 12.100
10.000 3 3.310 13.310
10.000 4 4.641 14.641
10.000 5 6.105,10 16.105,10
Fonte: o autor
10.000 CHS PV
0,5 n
10 i
FV? 10.488,09 E 10.000 - = 488.09
10.000 CHS PV
1 n
10 i
FV? 11.000 E 10.000 - = 1.000
63
10.000 CHS PV
2 n
10 i
FV? 12.100 E 10.000 - = 2.100
10.000 CHS PV
3 n
10 i
FV? 13.310 E 10.000 - = 3.310
10.000 CHS PV
4 n
10 i
FV? 14.641 E 10.000 - = 4.641
10.000 CHS PV
5 n
10 i
FV? 16.105,10 E 10.000 - = 6.105,10
4) Avaliação
Nesta oficina foi realizado um acompanhamento individual dos alunos, pois o grupo
estava iniciando os cálculos com a Calculadora HP-12C, após terem conhecido as
informações básicas sobre o funcionamento da Calculadora.
No início, apresentaram-se algumas dificuldades, pois a maioria nunca tinha
utilizado a calculadora ou sabiam pouco sobre como utilizar a calculadora científica, mas com
os procedimentos feitos o resultado foi muito bom, inclusive com alguns alunos vibrando por
encontrar resultados jamais vistos antes de utilizar a Calculadora HP-12C.
Com os resultados obtidos houve, inclusive, uma discussão sobre o juro do primeiro
período, pois todo o questionamento era porque os juros compostos eram menores. Fez-se
necessário, então, um estudo sobre os juros compostos pela convenção linear e convenção
exponencial.
7.1.2 Oficina II
64
TEMA: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS USANDO A CALCULADORA HP-12C
1) Objetivos
- Analisar investimentos utilizando a Calculadora HP-12C para o cálculo do
valor presente líquido ou valor atual quando há investimentos e retornos na execução de um
projeto;
- Utilizar a Calculadora HP-12C para determinar a Taxa Interna de Retorno
(TIR) na execução de um projeto;
- Analisar projetos pelo Valor Presente Líquido (NPV) e pela Taxa Interna de
Retorno (TIR), quando há uma taxa de atratividade no mercado financeiro.
2) Dinâmica
Nesta segunda oficina, os estudos centraram-se na análise de projetos, pelos métodos
do Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (TIR). Foram propostas algumas
atividades que envolveram análise e cálculos de valores atuais e taxa interna de retorno
utilizando os procedimentos oferecidos pela Calculadora HP-12C, vistos no capítulo sobre os
conceitos básicos da utilização da mesma.
3) Desenvolvimento
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO: VPL
Este método tem uma característica semelhante à do Presente Valor (PV), qual seja, a
de “trazer” (descontar) para o momento zero todos os valores constantes de um fluxo de
caixa, a uma taxa de juros que remunere o capital aplicado. Em termos matemáticos, tudo isto
pode ser resumido na fórmula a seguir:
n
0tn
t
)i1(
FCNPV
,
onde:
“FCt” é o fluxo de caixa específico a cada período;
“t” é qualquer um dos períodos para os quais foram projetados valores
esperados;
“i” é a taxa requerida de retorno para remuneração do capital investido;
“n” é o numero total de períodos.
Portanto, a fórmula acima está expressando que o Valor Presente Líquido (ou
65
Net Present Value, em inglês) será a soma algébrica de todos os valores do fluxo de caixa,
descontados para o momento zero. Ainda, se o resultado for positivo, isto significará que o
projeto deverá ser aceito, pois além de atender à taxa requerida de retorno, ainda propiciará
um ganho extra, medido em termos atuais, igual ao valor levantado para o VPL.
Naturalmente, um resultado negativo motivará a ação de rejeição do projeto pelo fato do
mesmo não prometer a superação da taxa requerida de retorno imposta.
Os conceitos colocados acima podem ser mais bem esclarecidos com o exemplo a
seguir:
Atividade 1
Os analistas de uma empresa acabam de levantar os fluxos de caixa esperados de um
projeto de investimento na área agrícola, os quais serão relatados na linha de tempo abaixo.
Sendo de 18% ao ano a taxa requerida de retorno colocada pela diretoria da empresa,
pergunta-se se o projeto é viável economicamente.
Figura 8 - Fluxo de caixa para o cálculo do NPV
Fonte: o autor
De acordo com a fórmula acima, o cálculo do NPV será:
654321 )18,01(
000.380
)18,01(
000.480
)18,01(
000.480
)18,01(
000.480
)18,01(
500.220
)18,01(
000.145920000
NPV
NPV = $5.776,20
CÁLCULO DO NPV USANDO A HP-12C
(920.000) (145.000) 220.500 480.000 480.000 480.000 380.000
0 1 2 3 4 5 6
66
920.000 CHS g CFo
145.000 CHS g CFj
220.500 g CFj
480.000 g CFj
3 g Nj
380.000 g CFj
18 i
f = 5.776,20
Atividade 2
Qual seria a decisão caso a diretoria decidisse que a taxa de avaliação do projeto
fosse de 20% ao ano?
920.000 CHS g CFo
145.000 CHS g CFj
220.500 g CFj
480.000 g CFj
3 g Nj
380.000 g CFj
20 i
f = 5.8286,61
Atividade 3
Podemos visualizar, no esquema abaixo, uma situação na qual um potencial
comprador de um posto de gasolina estivesse colocado diante de um plano de pagamento
descrito pela linha de tempo a seguir, no qual vemos que além da prestação mensal de
$30.000 durante 12 meses, tem-se ainda 4 prestações trimestrais de $30.000, com a primeira
ao final do 3º mês. Sabendo que a taxa de juros que este comprador geralmente obtém no
mercado é de 1% ao mês, qual seria o valor máximo que ele estaria disposto a pagar à vista
pelo posto?
PV
PV
67
Figura 9 - Fluxo de caixa para o cálculo de PV com incrementos trimestrais
Fonte: o autor
UTILIZANDO A HP-12C
0 CHS g CFo
20.000 g CFj
2 g CFj
50.000 g CFj
20.000 g CFj
2 g Nj
50.000 g CFj
20.000 g CFj
2 g Nj
50.000 g CFj
20.000 g CFj
2 g Nj
50.000 g CFj
1 i
f = 336543,28
MÉTODO DA TAXA DE RETORNO: TIR
Este é o método de avaliação de investimento mais utilizado em todo o mundo, o que
parece se dever à simplicidade da interpretação de seus resultados. Como se recordou, o
método do valor presente líquido não é de fato intuitivo, pois a interpretação do seu resultado
envolve a taxa requerida de retorno e um valor monetário dado em termos atuais. Por sua vez,
os exemplos que se seguem revelarão que o método da Taxa Interna de Retorno (TIR) se
expressa apenas com uma taxa, o que facilita a interpretação para os usuários acerca da
pertinência e da potencialidade de investimentos.
Outro fato que leva à ampla utilização deste método é a possibilidade que ele oferece
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PV=? 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
30.000 30.000 30.000
30.000
PV
68
de avaliar os produtos financeiros no sentido de aferir qual a sua real rentabilidade. Além
disso, podemos levantar através dele as taxas realmente cobradas por financiadores diversos,
como lojas comerciais.
Apesar da facilidade na interpretação dos seus resultados, a técnica de obtenção
destes mesmos resultados é algo de difícil entendimento por parte dos usuários. Assim é que,
tecnicamente, a TIR é a taxa que “zera” o valor presente líquido de um fluxo de caixa.
Atividade 4 - Determine a TIR do seguinte investimento:
Figura 10 - Fluxo de caixa para o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR)
Fonte: o autor
Onde “i” é a taxa que leva a zero o NPV de um fluxo de caixa. Notem que todos os
valores da equação já são dados e apenas a taxa fica por ser determinada. Com relação à
aplicação desta fórmula aos dados do exemplo, teremos a seguinte equação de cálculo:
654321 )1(
30000
)1(
40000
)1(
56000
)1(
56000
)1(
56000
)1(
560001800000
iiiiii
UTILIZANDO A HP-12C
180.000 CHS g CFo
56.000 g CFj
4 g Nj
40.000 g CFj
30.000 g CFj
f = 17,82 % a.a.
Atividade 5
Qual a taxa de juros em um empréstimo de $400.000 a ser liquidado em 4
pagamentos mensais de $50.000, $90.000, $130.000 e $170.000?
(180.000) 56.000 56.000 56.000 56.000 40.000 30.000
0 1 2 3 4 5 6
PV
69
Figura 11 - Fluxo de caixa para encontrar a taxa de juros de um empréstimo
Fonte: o autor
A equação de cálculo será:
4321 )1(
170000
)1(
130000
)1(
90000
)1(
500004000000
iiii
CÁLCULO USANDO A HP-12C
400.000 CHS g CFo
500.000 g CFj
90.000 g CFj
130.000 g CFj
170.000 g CFj
f = 3,30% a.m.
Atividade 6
Um equipamento pode ser adquirido em 6 prestações mensais de $ 1.545, sendo a 1ª
prestação paga ao final de 30 dias. Qual a taxa de juros cobrada pela loja, sabendo-se que o
valor à vista do equipamento é de $ 8.400?
Figura 12 - Fluxo de caixa para determinar a taxa de juros de um financiamento
Fonte: o autor
Temos que a equação de cálculo será:
654321 )1(
1545
)1(
1545
)1(
1545
)1(
1545
)1(
1545
)1(
154584000
iiiiii
(8.400) 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545
0 1 2 3 4 5 6
(400.000) 50.000 90.000 130.000 170.000
0 1 2 4 3
PV
70
UTILIZANDO A HP-12C
8.400 CHS PV
1.545 PMT
6n
i =2,89 % a.m.
Ou
8.400 CHS g CFo
1.545 g CFj
6 g Nj
f = 2,89 % a.m.
4) Avaliação
Nesta oficina, os alunos apresentaram um nível de envolvimento mais amplo, pois a
proposta inicial era de que todos deveriam fazer um estudo detalhado sobre a introdução dos
valores na Calculadora HP-12C.
Inicialmente os alunos apresentaram alguma dificuldade com o manuseio das
funções, mas com o trabalho realizado em grupo o resultado final foi muito bom, e isto ficou
provado a partir dos resultados apresentados nas atividades e nas avaliações feitas pelos
mesmos.
7.1.3 Oficina III
TEMA: ANÁLISE DE LANÇAMENTO DE UM PRODUTO USANDO A
CALCULADORA HP-12C
1) Objetivos
- Resolver problemas envolvendo conceito de Valor Presente Líquido (NPV) e
Taxa Interna de Retorno (TIR) usando a Calculadora HP-12C;
- Explorar uma sequência de comandos a serem seguidos, na resolução de cada
problema, com a Calculadora HP-12C;
- Interpretar através do resultado, qual a melhor alternativa que a Empresa
dispõe para introduzir o seu produto.
2) Dinâmica
PV
71
Nesta oficina, o uso da Calculadora HP-12C demandou mais tempo, devido às várias
operações a serem realizadas, bem como a sequência delas. Os problemas envolveram uma
análise profunda de duas alternativas que uma empresa tinha para introduzir seu principal
produto no mercado, visto que havia uma taxa de atratividade no mercado e, além disso, os
investimentos iniciais eram diferentes.
3) Desenvolvimento
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS USANDO O VPL E A TIR
Problema: Uma empresa cuja Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é de 6% ao ano,
dispõe de duas alternativas para introduzir uma linha de fabricação para um dos componentes
de seu principal produto. A alternativa A é para um processo automatizado que exigirá um
investimento de 20.000 u.m. e propiciará saldos anuais de 3.116 u.m. durante dez anos. A
alternativa B é para um processo semiautomatizado, com investimento mais baixo, 10.000
u.m., mas que, devido ao uso mais intenso de mão de obra, propiciará um saldo anual de
1.628 u.m., também durante dez anos. Qual a melhor alternativa usando a TIR e o VPL?
A
Figura 13 - Modelo de caixa para fazer análise de investimentos
Fonte: Casarotto F. & Kopittke 10 ed. Página 131
B
Figura 14 - Modelo de caixa para fazer análise de investimentos
Fonte: Casarotto F & Kopittke 10 ed. Página 131
20.000
1 2 10
3.116
0
10.000
1 2 10
1.628
0
72
Plano A TIR
20.000 CHSg CFo
3.116 g CFj
10 g N j
f = 9,00 %
Plano B TIR
10.000 CHS g CFo
1.628 g CFj
10 g Nj
f = 10,00 %
VPL no PLANO B
10.000 CHS g CFo
1.628 g CFo
10 g Nj
f = 8.464,15
VPL no PLANO A
20.000 CHS g CFo
3.116 g CFo
10 g NJ
f = 17.060,38
CONCLUSÕES
As duas alternativas apresentam TIR maior que a Taxa Mínima de Atratividade
(TMA), A = 9% ao ano e B = 10% ao ano e, portanto, ambas seriam atrativas para a empresa.
A alternativa B apresenta taxa melhor, porém só será possível tomar uma decisão após
conhecer o que será feito com a diferença dos investimentos e o que será feito com as parcelas
que retornarão do primeiro ao décimo ano. É problema de reinvestimento, uma vez que pelo
NPV a alternativa A resulta em 2.933 u.m. e a alternativa B em 1.982, o que demonstra que A
é a melhor alternativa e leva o analista a um aparente impasse. Esse impasse pode ser
solucionado achando a TIR da diferença A – B, que se chama investimento incremental.
FV
FV
PV
PV
73
Vejamos:
Tabela 3 - Dados para análise de investimentos
Ano A B A - B
Investimento inicial 0 -20.000 -10.000 -10.000
Economia anual 1 a 10 3.116 1.628 1.488
TIR - 9 % 10 % 8,0 %
Fonte: Casarotto F. & Kopittke 10 ed. Página 132
10.000 CHS g CFo
1.488 g CFj
10 g Nj
f = 7,97 = 8,0 %
O investimento (A – B) é o investimento incremental e apresenta TIR de 8,0 %. Se a
empresa optasse por B, ela teria que aplicar a diferença num investimento que rendesse no
mínimo 8% ao ano, para equivaler a A. Como se supõe que a empresa só possui a alternativa
de aplicar a diferença à TMA de 6% ao ano, verifica-se facilmente que é preferível que ela
opte por A. A melhor alternativa, portanto, é aplicar em A.
4) Avaliação
Como anteriormente foi trabalhado tanto NPV como TIR utilizando as fórmulas do
valor atual e da taxa, a partir da indução matemática, os alunos fizeram o problema com
facilidade e tiveram resultado. Notou-se que os mesmos estavam muito interessados nos
resultados obtidos, provando, desta forma, que a Calculadora HP-12C é uma tecnologia para
solução e análise de investimento.
7.1.4 Oficina IV
TEMA: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
1) Objetivos
- Resolver problemas de financiamento utilizando a Calculadora HP-12C,
calcular juros, amortização e saldo devedor, num financiamento com os comandos da
calculadora;
FV
74
- Explorar comandos para resolver problemas de amortização de empréstimos,
pelos três sistemas: PRICE, SAC e SAM.
2) Dinâmica
Nesta oficina, o uso da HP-12C facilitou a solução dos problemas de financiamento
utilizando os três métodos já mencionados. Para o sistema PRICE, a solução é simples e
rápida, pois a utilização de alguns comandos permite o desenvolvimento da tabela com
facilidade. Já os sistemas SAC e SAM, além dos comandos e procedimentos para o cálculo
dos juros, o processo de solução para amortização e saldo devedor foi realizado como se
estivéssemos usando uma calculadora qualquer.
3) Desenvolvimento
3.1 Sistemas de amortização
Sistema de amortização francês (Tabela Price)
Sistema de amortização constante (SAC)
Sistema de amortização misto (SAM)
3.2 Definições básicas
Encargos (despesas) financeiros: representam os juros da operação, caracterizando-se
como custo para o devedor e retorno para o credor.
Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital
emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas. Alguns poucos
tipos de empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um
único pagamento ao final do período.
Saldo devedor: representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.
Prestação: é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos
em determinado período de tempo. Assim:
Prestação = Amortização + Encargos financeiros
3.3 Sistema de amortização francês (Tabela Price)
O Sistema de amortização francês, amplamente adotado no mercado financeiro do
Brasil, estipula, ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais, periódicas e
sucessivas.
75
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de
amortização assumem valores crescentes.
Em outras palavras, no Sistema francês os juros decrescem e as amortizações
crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da
prestação.
As prestações são determinadas usando o valor atual de uma série postecipada.
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos
períodos.
Exemplo: Um empréstimo de 200.000 u.m. deva ser pago, pelo sistema Price, dentro
de um prazo de 10 meses, em 10 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês. Determinar o
valor de prestação e construir a planilha.
200.000 CHS PV
10 n
2 i
PMT = 22.265,31
Tabela 4 - Planilha de Financiamento pelo Sistema Price
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 4.000,00 18.265,31 22.265,31 181.734,69
2 3.634,69 18.630,62 22.265,31 163.104,07
3 3.262,08 19.003,23 22.265,31 144.100,84
4 2.882,02 19.383,29 22.265,31 124.717,55
5 2.494,35 19.770,96 22.265,31 104.946,59
6 2.098,93 20.166,38 22.265,31 84.780,21
7 1.695,60 20.569,71 22.265,31 64.210,50
8 1.284,21 20.981,10 22.265,31 43.229,40
9 864,59 21.400,72 22.265,31 21.828,68
10 439,57 21.828,74 22.265,31 0,06
Total 22.635,04 200.000,06 222.653,10 -
Fonte: o autor
76
1- 200.000 CHS PV
10 n
2 i
PMT = 22.265,31
1f = 4.000
x >< y = 18.265,31
RCL PV = 181.734,69
2- 1f = 3.634,69
x >< y = 18.630,62
RCL PV = 163.104,07
3- 1f = 3.262,08
x >< y = 19.003,23
RCL PV = 144.100,84
4- 1f = 2.882,02
x >< y = 19.383,29
RCL PV = 124.717,55
5- 1f = 2.494,35
x >< y = 19.770,96
RCL PV = 104.946,59
6- 1f = 2.098,93
x >< y = 20.166,38
RCL PV = 84.780,21
7- 1f = 1.695,60
x >< y = 20.569,71
RCL PV = 64.210,50
8- 1f = 1.284,21
x >< y = 20.981,10
n
n
n
n
n
n
n
n
77
RCL PV = 43.229,40
9- 1f = 864,59
x >< y = 21.400,72
RCL PV = 21.828,74
10- 1f = 436,57
x >< y = 21.828,74
RCL PV = 0.06
3.4 Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante, como o próprio nome indica, tem como
característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em
todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do
capital emprestado pelo número de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes no período.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações
periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes, em progressão aritmética.
O SAC determina que a restituição do principal (capital emprestado) seja efetuada
em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida é calculado pela simples
divisão entre o principal e o número fixado de prestações.
Amortização = valor do empréstimo / número de prestações
Exemplo: Um empréstimo de 200.000 u.m. deve ser pago pelo sistema SAC dentro
de um prazo de 10 meses, em 10 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês. Determine a
quota de amortização e construa a planilha.
A =10
20.000
A = 20.000
n
n
78
Tabela 5 - Planilha de Amortização de Empréstimos pelo Sistema SAC
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 4.000,00 20.000,00 24.000,00 180.000,00
2 3.600,00 20.000,00 23.600,00 160.000,00
3 3.200,00 20.000,00 23.200,00 140.000,00
4 2.800,00 20.000,00 22.800,00 120.000,00
5 2.400,00 20.000,00 22.400,00 100.000,00
6 2.000,00 20.000,00 22.000,00 80.000,00
7 1.600,00 20.000,00 21.600,00 60.000,00
8 1.200,00 20.000,00 21.200,00 40.000,00
9 800,00 20.000,00 20.800,00 20.000,00
10 400,00 20.000,00 20.400,00 0,00
Total 22.000.00 200.000,00 222.000,00 -
Fonte: o autor
1 – T1 = A + J1
T1 = 4.000 + 20.000 = 24.000
200.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 4.000,00
2 – T2 = 20.000 + 3.600
180.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 3.600,00
3 – T3= 20.000 + 3.200
160.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 3.200,00
i
T
1
=
4
.
0
0
0
+
2
0
.
0
0
0
=
i
i
79
4 – T4 = 20.000 + 2.800
140.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 2.800,00
5 – T5 = 20.000 + 2.400
120.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 2.400,00
6- T6 = 22.000
100.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 2.000,00
7- T7 = 21.600,00
80.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 1.600,00
8- T8 = 21.200,00
60.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 1.200,00
i
i
i
i
i
80
9- T9 = 20.800,00
40.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 800,00
10- T10 = 20.400,00
20.000 CHS PV
24 i
30 n
f = 400,00
3.5 Sistema de Amortização Misto (SAM)
Foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema
Financeiro de Habitação. Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês e
o SAC, daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de
pagamentos, deve-se somar aqueles obtidos pelo Sistema Francês com os do SAC, e dividir o
resultado por dois.
Exemplo: Com relação aos dois exemplos anteriores, determinar as prestações e
construir a planilha.
Tabela 6 - Planilha de Amortização de Empréstimos pelo SAM
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 4.000 19.132,65 23.132,65 180.867,35
2 3.617,35 19.315,31 22.932,66 161.552,04
3 3.231,04 19.501,62 22.732,66 142.050,42
4 2.841,01 19.691,65 22.532,66 112.358,78
5 2.447,18 19.885,48 22.332,66 102.473,28
6 2.049,47 20.083,19 22.132,66 82.390,11
7 1.647,80 20.284,86 21.932,66 62.105,25
8 1.242,11 20.490,55 21.732,66 41.614,70
9 832,36 20.736,00 21.532,66 20.914,34
10 418,29 20.914,37 21.332,66 0,03
Total 22.326,61 200.000,03 222.326,64 -
Fonte: o autor
i
i
81
1 – J = 4.000 + 4.000 / 2 = 4.000,00
A = 20.000 + 18.265,31 / 2 = 19.132,66
P = 24.000 + 22.265 / 2 = 23.132,50
D = 200.000 + 200.000 / 2 = 200.000,00
2- J = 3.600 + 3.634,69 / 2 = 3.617,35
A = 20.000 + 18.630,62 / 2 = 19.315,31
P = 23.600 + 22.265,31 / 2 = 22.932,66
D = 160.000 + 163.104,07 / 2 = 161.552,04
3- J = 3.200 + 3.262,08 / 2 = 3.231,04
A = 20.000 + 19.003,23 / 2 = 19.501,62
P = 23.200 + 22.265,31 / 2 = 22.732,66
D = 140.000 + 144.100,84 / 2 = 142.050,42
4- J = 2.800 + 2.882,02 / 2 = 2.841,01
A = 20.000 + 19.383,29 / 2 = 19.691,65
P = 22.800 + 22.265,31 / 2 = 22.532,66
D = 120.000 + 124.717,55 / 2 = 122.358,78
5- J = 2.400 + 2.494,35 / 2 = 2.447,18
A = 20.000 + 19.770,96 / 2 = 19.882,48
P = 22.400 + 22.265,31 / 2 = 22.332,66
D = 100.000 + 104.946,59 / 2 = 102.473,30
6- J = 2.000 + 2.098,93 / 2 = 2.049,47
A = 20.000 + 20.166,31 / 2 = 20.083,19
P = 22.000 + 22.265,31 / 2 = 22.132,66
D = 80.000 + 84.780,21 / 2 = 82.390,11
7- J = 1.600 + 1.695,60 / 2 = 20.284,86
A = 20.000 + 20.569,71 / 2 = 20.284,86
P = 21.600 + 22.265,31 / 2 = 21.932,66
D = 60.000 + 64.210,50 / 2 = 62.105,25
82
8- J = 1.200 + 1.284,21 / 2 =1.242,11
A = 20.000 + 20.981,10 / 2 = 20.490,55
P = 21.200 + 22.265,31 / 2 = 21.732,66
D = 40.000 + 43.229,40 / 2 = 41.614,70
9- J = 800 + 864,59 / 2 = 832,30
A = 20.000 + 21.400,72 / 2 = 20.700,36
P = 20.800 + 22.265,31 / 2 = 21.532,66
D = 20.000 + 21.828,68 / 2 = 20.914,34
10- J = 400 + 436,57 / 2 = 418,29
A = 20.000 + 21.828,74 / 2 = 0.914,37
P = 20.400 + 22.265,31 / 2 = 21.332,66
D =0 + 0,06 / 2 = 0,03
83
4) Avaliação
Neste trabalho sobre Sistemas de Amortização de Empréstimos, percebeu-se a
importância da Calculadora HP-12C, visto que para o sistema PRICE, que é o mais utilizado
no mundo, está programado na mesma, basta operar os comandos e o resultado irá aparecendo
de forma automática. Também foi observado que os alunos, após estudo dos conceitos
matemáticos e operações com a Calculadora HP-12C, realizaram o trabalho com
tranquilidade. Basta ver os resultados dos trabalhos nas avaliações feitas pelos mesmos.
7.1.5 Oficina V
TEMA: SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS COM
FUNDO DE AMORTIZAÇÃO
1) Objetivos
- Utilizar a Calculadora HP-12C para o cálculo dos Juros Simples do Sistema de
Amortização Americano;
- Resolver problemas com a HP-12C para constituir um fundo que permita, no
final do período, ter o valor para liquidar a dívida;
- Trabalhar com a Calculadora HP-12C e Sistema Price na constituição do
fundo, para amenizar o impacto do reembolso no final do pagamento da dívida.
2) Dinâmica
Neste trabalho, o uso da Calculadora HP-12C demandou um pouco mais de tempo,
visto que, além da parte financeira da mesma, fizeram-se necessários, também, procedimentos
manuais que são realizados com a calculadora científica.
Os problemas envolveram financiamentos utilizados no dia a dia, principalmente em
instituições financeiras, quando paga-se somente os juros do período e, no final, faz-se o
pagamento do principal, evidentemente com os juros do último período.
3) Desenvolvimento
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital
emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não prevê,
de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante o
período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
84
3.1 Construção de uma planilha para financiamento no sistema SAA
Problema: Um empréstimo de 200.000 u.m. deve ser pago, dentro de um prazo de 10
meses, pelo Sistema de amortização americano, a uma taxa de 2% ao mês. Determinar os
juros e construir a planilha.
200.000 CHS PV
2 Enter 24 X i
300 n
f i = 4000
Tabela 7 - Planilha de Amortização de Empréstimos no SAA
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
2 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
3 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
4 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
5 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
6 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
7 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
8 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
9 4.000,00 - 4.000,00 200.000,00
10 4.000,00 200.000,00 204.000,00 0
Total 40.000,00 200.000 240.000,00
Fonte: o autor
3.2 Tabela para a construção de um fundo de amortização
Exemplo: Construir uma tabela com um fundo de amortização do empréstimo
(sinking fund) efetuando depósitos mensais a juros efetivos de 1,5% ao mês, que permita ter
os 200.000 u.m. para o pagamento da dívida no final do período.
85
Tabela 8 - Fundo de Amortização
Período Depósitos Juros Saldo credor
0 - - -
1 18.686,84 - 18.686,84
2 18.686,84 280,30 37.653,98
3 18.686,84 564,81 56.905,63
4 18.686,84 853,58 76.446,05
5 18.686,84 1.146,69 96.279,58
6 18.686,84 1.444,19 116.410,61
7 18.686,84 1.746,16 136.843,61
8 18.686,84 2.052,65 157.583,10
9 18.686,84 2.363,75 178.633,69
10 18.686,84 2.679,51 200.000,04
Total 86.868,40 13.131,60
Fonte: o autor
Cálculo do depósito mensal para a constituição do fundo.
20.000 CHS FV
1,5 i
10 n
PMT = 18.686,83
4) Avaliação
Este método culminou com a utilização das outras oficinas realizadas, ou seja, Juros
Simples, Juros Compostos e Sistema para a constituição de um Fundo para a Amortização da
dívida. No início, os alunos apresentaram um pouco de dificuldade, mas, posteriormente, com
as explicações de como se calculava o fundo (sinking fund) a tarefa foi realizada de forma
satisfatória.
86
8 DADOS E RESULTADOS
Nesta seção, são apresentados dados coletados e uma análise considerando os
objetivos e a questão da pesquisa.
Na pesquisa, procurou-se apresentar citações diretas dos sujeitos da pesquisa sobre
suas experiências e interações com o estudo da Matemática Financeira feito com a utilização
da Calculadora HP-12C.
A coleta de dados ocorreu a partir de um questionário composto de quatro perguntas
sobre o estudo da Matemática Financeira com a utilização da Calculadora HP-12C:
1. Como você vê a aplicabilidade da Calculadora HP-12C para trabalhar Matemática
Financeira?
2. Qual sua opinião sobre as diversas oficinas desenvolvidas na prática da pesquisa?
3. Quais as vantagens e desvantagens quanto à utilização da Calculadora HP-12C na
resolução de problemas envolvendo Sistemas de Amortização de Empréstimos e Análise de
Investimentos?
4. Qual a importância de um trabalho com essas características no Curso de
Administração?
Desta forma iniciou-se a organização e análise voltada para os objetivos e propostas
da pesquisa que buscou levantar opiniões dos alunos do Curso de Administração da URI
quanto à utilização da Calculadora HP-12C no estudo da Matemática Financeira, envolvendo
cálculo de Sistemas de Amortização de Empréstimos e Análise de Investimentos como uma
proposta prática.
Na coleta de dados optou-se por deixar os alunos livres quanto à identificação ou não
dos nomes. Mesmo assim, quase todos fizeram questão de se identificar. Dessa forma, os
instrumentos aplicados foram numerados de modo a facilitar o acesso. Assim, a identificação
será (A1P1) se refere ao aluno 1, referente à pergunta número 1 na coleta de dados.
8.1 USO DA CALCULADORA HP-12C PARA TRABALHAR MATEMÁTICA
FINANCEIRA
De modo geral, os alunos, quando questionados sobre a utilização da Calculadora
HP-12C, responderam que a mesma facilita e agiliza a análise e interpretação dos resultados
na solução de problemas envolvendo Matemática Financeira.
87
Em minha opinião, vejo o uso da Calculadora HP-12C, na Matemática Financeira como um
instrumento fundamental, pois com a HP-12C conseguimos realizar cálculos com mais agilidade e
com precisão, pois é um instrumento indispensável tanto para a sala de aula como no trabalho
profissional. (A1P1).
Vejo como uma ferramenta fundamental, pois ela auxilia na execução de cálculos mais
extensos que demandariam mais tempo. (A2P1).
A Calculadora HP-12C é de fundamental importância para a Matemática Financeira e para
o curso de Administração, pois facilita os cálculos, a resolução e a interpretação dos problemas.
(A3P1).
É uma supermáquina, pois auxilia nos cálculos e economiza tempo na solução de
problemas. (A4P1).
Um dado importante que se observou nos alunos, a partir de suas respostas à primeira
questão, foi que a utilização da Calculadora HP-12C foi importante para todos e que a mesma
não encontrou nenhuma resistência, mesmo para os que a utilizaram pela primeira vez.
Verificou-se que esta tecnologia se manifesta como sequência de uma luta pela
democratização do saber e, em específico, do saber científico-tecnológico que vem
direcionando a vida social, mas que se encontra na mão de poucos. Para Bastos (2000), a
Educação Tecnológica envolve uma busca na formação de sujeitos competentes e inventores
de novos processos que reflitam atitudes inovadoras e criativas. O autor esclarece: “os sujeitos
competentes não são aqueles que apenas sabem aplicar técnicas, mas que adquirem, pelos
contatos com os artefatos, a capacidade de entender o mundo e a sociedade tecnológica em
que vivemos”.
Apesar de os alunos estarem participando de oficinas que discutem o uso de recursos
tecnológicos em sala de aula para sua vida profissional, nas respostas destacadas fica evidente
a necessidade de se manter na zona de conforto (PENTEADO, 2000). O trabalho com a
Calculadora é um desafio para os alunos, pois seu uso, assim como qualquer outro recurso,
exige que se compreenda sua linguagem de funcionamento.
Entendo que é uma ótima ferramenta para cálculos matemáticos, principalmente os
mais complexos. (A5P1).
Ela é eficiente nos resultados, tendo em vista ser uma ferramenta indispensável em
nossa área profissional. (A9P1).
88
A HP-12C é uma máquina muito útil para a vida profissional de qualquer um que
trabalha na área de finanças ou tem empreendimentos. A calculadora auxilia e simplifica a
vida do profissional. (A10P1).
Muito boa, pois além de ser rápida e ter uma boa memória, ela facilita nos cálculos
longos e complexos, possui vária funções que se torna possível resolver vários problemas
com a introdução das variáveis em sua memória. (A14P1).
[...] ela tem várias funções que possibilita ter vários resultados num só cálculo.
(A16P1).
Ela possui inúmeras funções que facilitam os cálculos mais complexos e demorados.
(A17P1).
A Calculadora HP-12C é uma ferramenta indispensável para a resolução de
cálculos financeiros, ela propicia rapidez e facilita o desenvolvimento prático e rápido dos
problemas. (A18P1).
Podemos fazer com facilidade cálculos de juros simples, juros compostos, taxas
nominais efetivas e real. (A20P1).
Acredita-se que o uso da calculadora seria uma oportunidade, segundo Scheffer et al.
(2006), que pode promover e ampliar reflexões sobre significados matemáticos, a partir da
resolução de problemas em ambientes de interação entre professor e alunos.
As posições dos alunos apontam que hoje não se tomam decisões, principalmente no
ramo da economia, sem que se façam análises de dados e situações que envolvem cálculos
financeiros com a utilização da Calculadora HP-12C.
Podemos perceber que as respostas apresentadas pelos alunos com relação à
Calculadora HP-12C e sua utilização nas soluções de problemas financeiros estão ligadas à
sua vida profissional e o quanto é importante para a tomada de decisões.
8.2 OPINIÃO SOBRE AS DIVERSAS OFICINAS TRABALHADAS EM SALA DE AULA
De modo geral, sobre o trabalho apresentado nas oficinas, os alunos responderam
que foi de fundamental importância, pois começaram resolvendo problemas de juros simples
até análise de investimento, tarefas fundamentais no ensino de Matemática Financeira.
Foi uma sequência ótima, com grande interesse de minha parte e de meus colegas,
pois todos se mostraram interessados em aprender Matemática Financeira. (A1P2).
89
As atividades tiveram uma sequência lógica e cronológica, o que tornou o trabalho
mais simplificado e fácil de assimilar. (A2P2).
As atividades foram desenvolvidas de forma correta, pois buscou-se, desde o início,
a solução de todos os problemas propostos. (A3P2).
As respostas dadas pelos alunos demonstram que a organização das tarefas foi muito
importante para o aprendizado, pois a sequência das mesmas demonstrou organização no
estudo proposto, o que vai ao encontro do que Reis (1995) destaca: o grande objetivo da
tecnologia é promover um desenvolvimento da educação moral e intelectual, para que a
tecnologia seja utilizada com fins pacíficos e socialmente proveitosos.
As respostas seguintes demonstram que, na literatura acadêmica, há uma ampla
reflexão sobre a importância de se compreender os processos tecnológicos manifestados na
sociedade, já que tais processos são, muitas vezes, percebidos pela maioria da população
somente como objetos, instrumentos facilitadores das tarefas do cotidiano. Rodrigues (2001)
propõe o desenvolvimento de espírito crítico em relação aos benefícios proporcionados pela
tecnologia, para que o homem não venha a viver alienado diante das inovações na sociedade
tecnológica.
Muito boas, pois trabalhamos todo o conteúdo de Matemática Financeira usando a
Calculadora HP-12C, que nos facilitou na solução e análise de problemas financeiros.
(A4P2).
Gostei muito, pois com os trabalhos e exercícios aplicados consegui aprender
bastante sobre a Matemática Financeira e manusear a calculador HP-12C. (A5P2).
Ótimas, as atividades foram bem ministradas e trouxeram muito conhecimento e
muito proveito para a disciplina. (A6P2).
As oficinas foram bem desenvolvidas, pois adquirimos conhecimentos em áreas até
então descobertas. (A7P2).
[...] excelente, pois os conhecimentos adquiridos poderão ser apresentados no futuro
em nossa vida profissional. (A9P2).
[...] esse trabalho fornece ao aluno uma visão ampla e moderna sobre o estudo da
Matemática Financeira com a utilização de tecnologias diferenciadas. (A10P2).
Foi uma sequência de atividades onde foi possível avaliar o aprendizado e a forma
diferenciada de aprender. (A13P2).
90
Excelente método, pois no caso do uso da HP-12C é uma ótima ferramenta, é muito
importante que o professor ensine a usar a mesma, pois de nada adianta ter a ferramenta e
não ter conhecimento. Nas oficinas, o professor, além de ensinar a matéria, ensinou a usar a
HP-12C. (A14P2).
A sequência de atividades foi de grande entendimento, sendo que foram muito bem
explicadas, esclarecidas. Foram usados muitos exemplos, onde conseguimos entender muito
bem os cálculos que usamos também em nosso dia a dia. (A15P2).
Acho que as atividades foram bem desenvolvidas, ótimas explicações para entender
o assunto e muitos exemplos para fixar a matéria. (A16P2).
As atividades desenvolvidas na pesquisa são de extrema importância, além de
despertarem maior interesse do aluno, elas ajudam e incrementam seu aprendizado, fazem
com que ele se empenhe e vá em busca de novos conhecimentos. (A18P2).
Uma ótima sequência para entendimento e aplicabilidade das equações. (A19P2).
Atividades realizadas em uma sequência de fácil entendimento e absorção do
conteúdo. (A20P2).
O método é muito válido, pois não torna o desenvolvimento cansativo e repetitivo.
(A22P2).
Foram importantes para conhecermos mais funções relacionadas com a HP-12C e
como podemos usá-las em diversas situações. (A23P2).
O que se percebeu nas atividades e respostas é que os alunos estão bem ligados às
sequências de atividades desenvolvidas e que as tecnologias fazem parte de sua vida
profissional, destacando a Calculadora HP-12C como uma ferramenta necessária para o seu
dia a dia. Nesta mesma linha de pensamento, sobre o uso da calculadora, reiteramos o que
escrevem Scheffer et al. (2006), como sendo uma oportunidade para promover e ampliar
reflexões sobre significados matemáticos, a partir da resolução de problemas em ambientes de
interação entre professor e aluno.
8.3 VANTAGENS E DESVANTAGENS QUANTO À UTILIZAÇÃO DA
CALCULADORA HP-12C NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO
AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Quanto às vantagens e desvantagem da Calculadora HP-12C, a maioria dos alunos
respondeu sobre as vantagens do uso da Calculadora HP-12C na resolução de problemas;
alguns comentaram sobre a não utilização em concursos da mesma, sendo esta uma
91
desvantagem e a dificuldade de resolver um problema quando há a necessidade da utilização
de fórmulas.
A Calculadora HP-12C torna a resolução dos problemas mais eficiente e ágil, ela nos dá os
resultados precisos. (A1P3).
Quanto às vantagens, analiso que devido à complexidade na execução manual dos cálculos,
a HP-12C otimiza o tempo e simplifica os cálculos, pois as fórmulas já estão na memória. Quanto às
desvantagens, acredito que nos torna dependentes da máquina e que requer treinamento constante
para aplicar os dados de forma correta. (A2P3).
Facilita o manuseio, economiza tempo, facilita os cálculos, ótima ferramenta de trabalho;
quanto às desvantagens, nenhuma. (A4P3).
Achei muito interessante, facilita os cálculos e resolve problemas que dificilmente se
resolveriam com outras calculadoras, porém deve-se ter cuidado em limpar as funções sempre antes
de iniciar os cálculos, caso contrário encontrará cálculos errados. (A5P3).
Com a Calculadora HP-12C, tem-se cálculos precisos e rapidez nos mesmos, porém na hora
de fazer um concurso teremos dificuldades em não utilizando a mesma. (A6P3).
É uma ótima ferramenta de trabalho, resolve problemas de pequenos e grandes cálculos, a
única desvantagem é não saber utilizá-la. (A7P3).
Saber utilizar a HP-12C não há desvantagens, pois a HP-12C é muito prática e rápida na
resolução de questões complicadas. (A10P3).
A única desvantagem, que seria de aprendermos os métodos sem as fórmulas, caso
precisássemos delas. A vantagem é a eficiência e a porcentagem de erro é bem menor. (A11P3).
Se soubermos utilizar a HP-12C não há nenhuma desvantagem, pois é prática e rápida na
solução de problemas. (A12P3).
Resultados rápidos e precisos, a desvantagem é que se você não tem noção de cálculos, tudo
fica difícil. (A15P3).
A HP-12C é dinâmica, mostra os resultados de imediato e as funções que ela tem são
práticas para resolver, por exemplo, tabelas de empréstimos. A desvantagem é em fazer um concurso,
pois nos mesmos não é permitido utilizá-la. (A17P3).
[...] a desvantagem é que a maioria das pessoas não aprende a utilizá-la com todo o
potencial. (A20P3).
Não encontrei desvantagens quanto à sua utilização; as vantagens são muitas: praticidade,
agilidade, precisão... (A22P3).
Facilidade, agilidade, cálculos mais precisos. A impossibilidade de usá-la em concursos e
demais provas do mesmo nível faz com que tenhamos dificuldades para desenvolver os cálculos com
fórmulas. (A23P3).
92
Nas respostas apresentadas, observa-se a apreciação dos alunos pela utilização da
Calculadora HP-12C em cálculos financeiros, pois consideram de fundamental importância
para o cálculo, principalmente na amortização de empréstimos e análise de investimentos. Por
outro lado, consideram uma preocupação nas horas em que precisarão fazer um concurso em
que a calculadora não é permitida.
8.4 IMPORTÂNCIA DE UM TRABALHO COM ESSAS CARACTERÍSTICAS NO
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
Quanto à utilização da Calculadora HP-12C, a grande maioria dos alunos respondeu
ser de extrema importância para o Curso de Administração, bem como para sua vida
profissional. Também relataram a importância de saber Matemática Financeira para o trabalho
e tomada de decisões em sua vida profissional e nas outras disciplinas do curso, pois a
maioria delas envolve conhecimento de Matemática, principalmente da Matemática
Financeira.
Este trabalho é de grande importância no curso de Administração, ele é um trabalho que
gera conhecimento que o aluno vai levar para a vida inteira. (A1P4).
Aprimora os conhecimentos no campo matemático, forçando o aluno a desenvolver o
raciocínio lógico. Na Administração é evidente sua importância, pois possibilita a aplicabilidade dos
exercícios estudados na prática do dia a dia dentro das organizações. (A2P4).
Este trabalho nos proporciona uma grande experiência no curso, tanto para a carreira
profissional quanto acadêmica. (A3P4).
Aprender lidar com finanças de empresas, linhas de financiamento e cálculos de taxas. Acho
que Administração Financeira com Matemática Financeira é de extrema importância para a vida das
empresas. (A4P4).
As respostam apresentadas pelos alunos indicam que as concepções elaboradas
acerca da tecnologia influenciam, consideravelmente, as práticas profissionais e as reações
dos sujeitos frente à sociedade. Segundo Kominet (2000), mais do que capacitar o aluno
quanto ao aspecto técnico ou quanto à assimilação de conteúdos, tem como objetivo levá-lo a
compreender o processo tecnológico e, assim, fazer opções, perceber o caráter histórico,
contextual e cultural do conhecimento e da tecnologia, e tomar decisões que considerem seu
contexto cultural e social, assim como suas consequências.
93
Acho que para o curso tem tudo a ver, já que na Administração envolve muitos valores,
investimentos, empréstimos e necessita de cálculos precisos para a tomada de decisão. (A5P4).
Ao administrar qualquer negócio deve-se ter noção de como fazê-lo. Cálculos são
necessários em qualquer Administração. A Matemática Financeira é fundamental para tudo. (A6P4).
Tem suma importância, porque o curso exige um certo domínio no campo de cálculos
utilizando a HP-12C, tanto na Matemática Financeira como em projetos e outras disciplinas. Sem
dúvidas, uma ferramenta indispensável para Administradores. (A7P4).
[...] a HP-12C facilita a resolução de projetos e nos dá novos conhecimentos. (A8P4).
[...] desenvolve o espírito do empreendedor. (A10P4).
Mostra o quanto precisamos de cálculos no dia a dia e o quanto a HP-12C facilita nossas
vidas. (A11P4).
Muito importante, oferece uma boa base sobre quais investimentos são mais vantajosos a se
fazer. (A14P4).
Possibilita uma visão bem ampla de como investir sem perder muito dinheiro. Para um
Administrador isso mostra visões futuras da empresa. (A15P4).
O atual Administrador precisa estar atualizado e conhecer as facilidades de hoje para usar
no seu trabalho que se relacionam com cálculos, juros, enfim, precisa de praticidade e conhecimento,
desta forma as funções da HP-12C podem auxiliar na vida profissional. (A17P4).
O Administrador precisa estar atualizado e conhecer as facilidades de hoje para usar no seu
trabalho e nas tarefas que se relacionam com cálculos, juros, etc. (A23P4).
Ao analisar as respostas relatadas pelos alunos, verificamos que tanto a Matemática
Financeira quanto a utilização da Calculadora HP-12C fazem parte de seu dia a dia, seja na
Universidade, seja no trabalho, pois a mesma auxilia de forma extraordinária o trabalho
acadêmico e profissional, trazendo mais facilidade e agilidade no trabalho e na tomada de
decisões.
A partilha de experiências, que ocorreu nas oficinas e principalmente com os alunos
trabalhando em grupo, tanto no que diz respeito ao conteúdo quanto à utilização de recursos
tecnológicos, está muito presente nos dados. Aqui vale lembrar Fiorentini (2004), quando se
refere à participação em um grupo colaborativo, em que prevalecem a voluntariedade e a
disposição para discutir, possibilitando o compartilhamento de experiências, sobre o que estão
debatendo, com um encaminhamento para a sistematização de conhecimentos.
Portanto, pode-se dizer que as contribuições advindas da participação nas
oficinas contribuem e auxiliam na solução de problemas que envolvem Matemática
94
Financeira e análise financeira, processos utilizados na tomada de decisões em empresas onde
nossos alunos trabalham.
95
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nos últimos anos, o papel das tecnologias em nossas vidas tem gerado muitas
discussões. Tecnologia é produto da ação humana, está inserida em todo o lugar, fazendo
parte do dia a dia de nossas vidas.
Chaves (2003) considera a tecnologia como qualquer artefato, métodos ou técnicas
criados pelo homem para tornar seu trabalho mais leve, sua locomoção e sua comunicação
mais fáceis, ou simplesmente sua vida mais satisfatória, agradável e divertida.
Foi com esta intenção que foi proposto um trabalho de Matemática Financeira com a
Calculadora HP-12C, que nada mais é do que uma tecnologia diferenciada, proposta na qual
analisamos o estudo de Sistemas de Amortização de Empréstimos e Análise de Investimentos,
uma prática com a Calculadora HP-12C. Este trabalho norteou a investigação e buscou
auxiliar os estudantes em suas tomadas de decisão e resolução de problemas de Matemática
Financeira. O trabalho foi realizado no curso de Administração da URI Erechim, na disciplina
de Matemática Financeira II, na qual o pesquisador era o professor.
Segundo Carvalho (1991), os alunos só aprendem a pensar por si próprios se tiverem
oportunidade de explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor e aos seus colegas.
Os professores que afirmam não ter tempo para isso devem repensar a sua atitude, pois só
negociando soluções é que se aprende a respeitar sentimentos e ideias de outras pessoas. Isso
não só é importante no que diz respeito a conflitos morais, mas, sobretudo, em situações de
aprendizagem cognitiva, em que os adolescentes devem mobilizar a sua inteligência e a total
idade dos seus conhecimentos quando têm que tomar uma posição e a confrontar com outra
opinião.
Para Dante (2005), um dos principais objetivos do ensino da Matemática é fazer o
aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que lhe apresentar situações-problema
que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual
a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo como uma das metas fundamentais
da Matemática. É preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico
e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis para que ele possa propor boas
soluções às questões que surgem em seu dia a dia. Dante (2005) expõe que, mais do que
nunca, precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão tomar decisões rápidas e,
tanto quanto possível, precisas.
Isso conduz a formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam resolver,
de modo inteligente, seus problemas de comércio, administração, engenharia, medicina,
96
matemática financeira e outros da vida diária. Para isso, é preciso que a criança tenha, em seu
currículo de Matemática, a resolução de problemas como parte substancial, para que
desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar situações-problema. Fonseca (2005), em
seu estudo sobre as Contribuições da Educação Matemática, nos explica que muitos autores
têm destacado que um componente forte da geração da necessidade de voltar ou começar a
estudar seria justamente o anseio por dominar conceitos e procedimentos da Matemática.
O trabalho realizado na Oficina I foi válido, visto que os alunos puderam praticar os
conhecimentos adquiridos em Juros Simples e Compostos. Nos dois exemplos realizados
fizeram de forma clara a diferenciação dos dois sistemas de capitalização: Simples e
Compostos. Constataram ainda que ambos os sistemas têm suas aplicações comerciais,
contudo o sistema composto é mais abrangente. Em Juros Simples, a taxa de juros sempre
incide sobre uma mesma base, ou seja, sobre um mesmo capital. Assim sendo, os juros serão
constantes e o crescimento do montante será linear. Por sua vez, em juros compostos, a taxa
de juros é incidente inicialmente sobre um capital inicial, após isso, passa a incidir sobre o
capital + juros. Temos então o efeito dos juros sobre juros: a taxa de juros começa a incidir
sobre os juros da aplicação do período anterior. O crescimento do montante passa a ser, então,
exponencial.
Também se tornaram evidentes, no trabalho, as operações de cartão de crédito. Por
exemplo, o ideal é sempre pagar o saldo devedor total. Se rolarmos a dívida, os juros são
altos, e rolando sucessivamente os débitos, eles podem vir a se tornar impagáveis: é o efeito
dos Juros Compostos. O problema do cartão de crédito não é seu uso, mas como se paga o que
se compra.
No estudo da Matemática Financeira no ensino superior, regra geral, se começa a
estudar os juros simples e descontos simples. Seria uma espécie de introdução de conceitos,
como juros, prazo e taxas de juros, capital e montante. O cuidado em manter uma mesma base
do prazo com a taxa de juros é fundamental já nesse sistema, quanto mais em Juros
Compostos.
Nas oficinas II e III realizou-se um trabalho sobre Análise de Investimento, que
envolveu decisões de aplicação de recursos com prazos médios ou longos, com o objetivo de
propiciar retorno adequado aos proprietários desse capital.
Orçamento de capital é um processo que envolve a seleção de projetos de
investimento e a quantificação dos recursos a serem empregados e busca responder a questões
como: O projeto vai se pagar? O projeto vai aumentar a riqueza dos acionistas ou vai diminuí-
la? Esta é a melhor alternativa de investimentos?
97
O orçamento de capital requer uma estimativa de fluxos de caixa livres que serão
obtidos com o projeto de análise. As previsões de investimentos em ativos, de vendas,
também de preços, de custos e despesas devem ser elaboradas da forma mais realista a
acurada possível.
De qualquer modo, a incerteza em orçamentos de capital é elevada, pois envolve
cenários econômicos e políticos de médio e longo prazo.
Os métodos mais comuns de avaliação de projetos de investimento são: Valor
presente líquido - VPL e Taxa Interna de Retorno - TIR.
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL leva em conta o valor do dinheiro no
tempo. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente. O VPL de
um investimento é igual ao valor presente do fluxo de caixa líquido do projeto em análise,
descontado pelo custo médio ponderado de capital.
A Taxa Interna de Retorno - TIR é a taxa “i” que se iguala as entradas de caixa ao
valor a ser investido em um projeto. Em outras palavras, é a taxa que iguala o VPL de um
projeto a zero.
Um aspecto que deve ser considerado é que a utilização exclusiva da TIR como
ferramenta de análise pode levar ao equívoco de se aceitar projetos que não remuneram
adequadamente o capital investido, por isso deve ser uma ferramenta complementar à análise.
Neste aspecto realizamos uma atividade em que envolveu a Taxa Mínima de Atratividade
(TMA) no lançamento de um produto de uma determinada empresa.
Nas oficinas IV e V foram desenvolvidas atividades que envolveram Sistemas de
Amortização de Empréstimos.
Os Sistemas de Amortização são desenvolvidos basicamente para operações de
empréstimos e financiamentos de médio e longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos
do principal e encargos.
São vários os métodos de quitação de dívidas, ou seja, de sistemas de amortização.
Alguns mais simples e outros mais complexos, mas nota-se que o objetivo de todos é o
pagamento do principal, isto é, de um determinado valor contraído em empréstimo ou
financiamento, que geralmente são pagos em parcelas, sendo que dentro de cada parcela está
embutida uma parte de juros e outra de amortização da dívida. Uma característica
fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros
compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurando em
período imediatamente anterior.
98
Os sistemas mais utilizados em financiamentos são o Sistema Francês (PRICE), o
Sistema de Amortização Constante (SAC), o Sistema Misto (SACRE) e o Sistema
Americano. E para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual
relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
Nas oficinas realizadas os alunos perceberam que no Sistema PRICE as prestações
são constantes, os juros são decrescentes e as amortizações são crescentes, ao passo que no
Sistema SAC as amortizações são constantes, os juros e as amortizações são decrescentes em
Progressão Aritmética (PA). O Sistema SACRE é a média aritmética dos Sistemas PRICE e
SAC. Por fim, no Sistema Americano (SA) os juros são pagos periodicamente e na última
prestação o principal é pago de uma única vez com os juros da última prestação.
A discussão criada a partir das categorias de análise aponta, primeiramente, que a
utilização da Calculadora HP-12C no ensino da Matemática Financeira, de um modo em
geral, é fundamental para o ensino e principalmente para a vida do Administrador, pois na
vida prática e profissional, o mesmo necessita realizar aplicações, pagamentos, investimentos,
financiamentos, análise de alternativas, principalmente no mercado financeiro.
A partir das análises podemos chegar às seguintes conclusões, respondidas
pelos alunos no questionamento feito após as atividades praticadas:
- A calculadora HP-12C é uma tecnologia fundamental para a resolução de
problemas financeiros;
- Facilita na solução de cálculos mais avançados, pois dispensa as fórmulas ou
tabelas financeiras utilizadas por muitos séculos;
- Outro aspecto importante quanto à utilização da Calculadora, manifestado nos
dados, é que o Emulador da Calculadora HP-12C possibilitou o conhecimento de como
ocorreu o seu funcionamento interno;
- A Calculadora pode ser baixada no computador e todas as suas operações
podem ser feitas normalmente, da mesma maneira que na calculadora em si, com a vantagem
de gravar o feito e poder imprimir.
Os alunos do curso de Administração que participaram da pesquisa e práticas com a
Calculadora HP-12C responderam, nos questionários aplicados, que a calculadora é
universalmente conhecida, sendo sua utilização muito útil e importante para qualquer
profissional da área do comércio, da indústria, varejo em geral, serviços e bancos, que
necessite realizar cálculos matemáticos financeiros. Ela é uma ferramenta tecnológica que
auxilia e facilita cálculos financeiros com precisão e rapidez.
99
Quanto à sequência das atividades, os alunos responderam que foram de suma
importância, pois deram noções de cálculos de juros simples até análise de investimentos,
cálculos que são preponderantes para análise e tomada de decisão na vida prática de um
profissional de Administração.
Sabe-se, hoje, que a maior parte do tempo destinado à administração das empresas
brasileiras é empregada na área financeira, por isso os alunos entendem que a Matemática
Financeira, com a utilização da Calculadora HP-12C, é fundamental, visto que o mercado
financeiro não perdoa os amadores. Altos níveis de concentração de renda, taxas
estratosféricas e carga tributária extorsiva constituem entraves muito sérios à atividade
econômica que tornam o dia da gestão empresarial um desafio gigantesco.
100
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106
APÊNDICES
107
APÊNDICE A - CONSIDERAÇÕES SOBRE A UTILIZAÇÃO DA HP-12C
Nos últimos anos, pudemos presenciar um avanço tecnológico muito grande. Sendo
assim, tecnologias, computadores, calculadoras e outros elementos passaram a fazer parte do
cotidiano de muitas pessoas. Com essa intenção é que trataremos, neste capítulo, dos
processos básicos para a utilização de Calculadora HP-12C no estudo da Matemática
Financeira, visto que nos processos práticos a ser estudados (oficinas) precisaremos muito dos
processos básicos, dos cálculos mais simples até os mais avançados.
Um aspecto inicial no aprendizado de matemática financeira com a HP-12C é que
esta calculadora tem forma de operação inteiramente diversa das demais máquinas comuns no
mercado. Em que pese este fato, vemos que não importa o país ou a região do mundo, a HP-
12C é simplesmente invencível no gosto da maioria das pessoas envolvidas com o campo de
finanças. Até mesmo sua proprietária, a Hewlett-Packard Inc., vem tentando descontinuar sua
produção ao longo dos anos, como meio para lançar máquinas com maiores recursos e preços,
porém, o mercado mantém-se fiel à HP-12C e nada leva a crer que esta situação mudará nos
próximos tempos. Aliás, nem mesmo o advento e popularização dos microcomputadores
ofereceu o apego à calculadora e, paradoxalmente, não é difícil encontrarmos simuladores da
HP-12C para micros na internet.
Em vista do exposto acima quanto à forma diferenciada de operação da HP-12C,
somos levados a iniciar este trabalho explorando tanto as várias funções internalizadas como
desenvolvendo as operações de cálculo na calculadora. Após esta etapa, estaremos
capacitados a iniciar o aprendizado de Matemática Financeira e a concomitante resolução de
problemas com a HP-12C.
Atualmente existem três modelos diferentes da calculadora HP-12C no mercado:
Gold, Platinum e Prestige.
HP-12C GOLD
O modelo Gold foi a primeira versão e continua a ser vendida na atualidade. Os
outros modelos dependem de disponibilidade na região (tais como a versão comemorativa
Platinum 25th Anniversary Edition), com exceção da primeira versão da Platinum, que foi
retirada do mercado.
108
HP-12C Gold
É o modelo clássico, dourado e preto, com teclas pretas, lançado em 1981. Apresenta
apenas o modo de cálculo usando a notação RPN.
HP-12C PLATINUM
Primeira versão
Modelo lançado em 2003 com “quatro vezes mais memória, até seis vezes mais
rápida e com funções financeiras extras”. Além disso, é a primeira da série a conter, além do
RPN, o modo Algébrico de cálculo (modo convencional usado nas calculadoras comuns).
Segunda versão
HP-12C, modelo Platinum.
Modelo lançado logo após a sua primeira versão. Esta tem quase as mesmas
características da primeira, principalmente por não ter o defeito encontrado na primeira (taxa
interna de retorno), conta também com melhoria no cálculo de TVM, da adição de teclas
Backspace e Undo e da possibilidade de se controlar o contraste. Também apresenta abre e
fecha parênteses nas teclas STO e RCL, respectivamente.
HP-12C Platinum 25th
Anniversary edition
109
Este modelo é uma edição comemorativa lançada em 2006 em homenagem ao seu
25º aniversário. Ele conta com todas as funções presentes no modelo Platinum (segunda
versão), além de uma inscrição alusiva à comemoração. Este foi também o primeiro modelo a
vir com um case de couro incluso, abandonando o antigo envelope.
HP-12C PRESTIGE
Mesmo modelo que a HP-12C Platinum (segunda versão), porém com um visual
diferenciado, totalmente dourado, com teclas pretas, e já vem com um case duro de couro.
PROGRAMAÇÃO
A Calculadora HP-12C é uma calculadora programável, e permite que se instalem
programas para séries de cálculos repetitivos, equações e outros aplicativos. No modo “RUN”
serão introduzidas as variáveis seguidas da instrução de execução “R/S”. A mudança para o
modo de programação se faz com o uso da função “P/R”, que será novamente pressionada
após a introdução do programa desejado. A capacidade de programação em número de linhas
é diferente entre os modelos Gold, Platinum e Prestige, sendo de 99 para a primeira e 410 para
as outras. Assim, as linhas da Gold são designadas de 00 a 99 e nas outras de 000 a 410. Para
programar usando a lógica RPN, o usuário necessita conhecer apenas 9 funções específicas
para programação. (P/R, R/S, PSE, SST, BST, PRGM, GTO, x=0, x<>y). É principalmente
em programação que se destaca a vantagem do uso da lógica RPN sobre a algébrica, pela não
utilização de parênteses, colchetes e chaves e maximização do uso da pilha operacional, onde
os dados são espaçados pela tecla “ENTER”.
110
APÊNDICE B – OFICINAS REALIZADAS COM OS ALUNOS
OFICINA I
CÁCULO DE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS UTILIZANDO A HP-12C
- PROBLEMA DE JUROS SIMPLES:
Considere um capital de 10.000 u.m., aplicado a taxa de juros simples de 10% a.a.
por um período de 5 anos. Calcular os juros simples período a período e construir uma tabela
utilizando a HP-12C.
PROCEDIMENTOS:
Para o cálculo de juros simples com a calculadora HP-12C, deve-se considerar o
capital como PV, a taxa anual e o período em dias e fazer o cálculo periódico dos juros
fazendo-se o seguinte procedimento:
10.000 CHS PV
10 i
360 n (um ano)
f i – juros do primeiro ano
- PROBLEMA DE JUROS COMPOSTOS:
Considere um capital de 10.000 u.m. aplicado a juros compostos de 10% a.a. para um
período de 5 anos, com regime de capitalização anual. Calcular os juros e montante, período a
período e construir a tabela.
PROCEDIMENTOS:
Para o cálculo dos juros compostos utiliza-se o capital como PV, a taxa i, o período
n, calcula-se então o FV que significa o montante, bastando para o cálculo dos juros subtrair o
capital inicial. Para o próximo período, utiliza-se o montante como novo capital para calcular
os novos juros e assim sucessivamente até o final do período estipulado.
10.000 CHS PV
10 i
1 n
FV -__________10.000 - =_________
111
OFICINA II – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO: VPL
Este método tem uma característica semelhante à do Valor Presente (PV), qual seja, a
de “trazer” (descontar) para o momento zero todos os valores constantes de um fluxo de
caixa, a uma taxa de juros que remunere o capital aplicado. Em termos matemáticos, tudo isto
pode ser resumido na fórmula a seguir:
n
0tn
t
)i1(
FCNPV
,
onde:
“FCt” é o fluxo de caixa específico a cada período;
“t” é qualquer um dos períodos para os quais foram projetados valores esperados;
“i” é a taxa requerida de retorno para remuneração do capital investido;
“n” é o numero total de períodos.
Portanto, a fórmula acima está expressando que o Valor Presente Líquido (ou Net
Present Value, em inglês) será a soma algébrica de todos os valores do fluxo de caixa,
descontados para o momento zero. Ainda, se o resultado for positivo, isto significará que o
projeto deverá ser aceito, pois além de atender à taxa requerida de retorno, ainda propiciará
um ganho extra, medido em termos atuais, igual ao valor levantado para o NPV.
Naturalmente, um resultado negativo motivará a ação de rejeição do projeto pelo fato do
mesmo não prometer a superação da taxa requerida de retorno imposta.
Os conceitos colocados acima podem ser mais bem esclarecidos com o exemplo a
seguir:
Atividade 1
Os analistas de uma empresa acabam de levantar os fluxos de caixa esperados de um
projeto de investimento na área agrícola, os quais serão relatados na linha de tempo abaixo.
Sendo de 18% ao ano a taxa requerida de retorno colocada pela diretoria da empresa,
pergunta-se se o projeto é viável economicamente.
112
De acordo com a fórmula acima, o cálculo do VPL será:
Atividade 2
Qual seria a decisão caso a diretoria decidisse que a taxa de avaliação do projeto
fosse de 20% ao ano?
Atividade 3
Podemos visualizar, no esquema abaixo, uma situação na qual um potencial
comprador de um posto de gasolina estivesse colocado diante de um plano de pagamento
descrito pela linha de tempo a seguir, no qual vemos, que além da prestação mensal de
$30.000 durante 12 meses, tem-se ainda 4 prestações trimestrais de $30.000, com a primeira
ao final do 3º mês. Sabendo que a taxa de juros que este comprador geralmente obtém no
mercado é de 1% ao mês, qual seria o valor máximo que ele estaria disposto a pagar à vista
pelo posto?
(920.000) (145.000) 220.500 480.000 480.000 480.000 380.000
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PV=? 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
30.000 30.000 30.000 30.000
113
-MÉTODO DA TAXA DE RETORNO: TIR
Este é o método de avaliação de investimento mais utilizado em todo o mundo, o que
parece se dever à simplicidade da interpretação de seus resultados. Como se recordou, o
método do valor presente líquido não é de fato intuitivo, pois a interpretação do seu resultado
envolve a taxa requerida de retorno e um valor monetário dado em termos atuais. Por sua vez,
os exemplos que se seguem revelarão que o método da Taxa Interna de Retorno (IRR daqui
para diante, para usarmos a nomenclatura da HP) se expressa apenas com um taxa, o que
facilita a interpretação para os usuários acerca da pertinência e da potencialidade de
investimentos.
Outro fato que levam à ampla utilização deste método é a possibilidade que ele
oferece de avaliar os produtos financeiros no sentido de aferir qual sua real rentabilidade.
Além disso, podemos levantar através dele as taxas realmente cobradas por financiadores
diversos como lojas comerciais.
Apesar da facilidade na interpretação dos seus resultados, a técnica de obtenção
destes mesmos resultados é algo de difícil entendimento por parte dos usuários. Assim é que,
tecnicamente, a TIR é a taxa que “zera” o valor presente líquido de um fluxo de caixa.
Atividade 4 - Determine a TIR do seguinte investimento:
Onde “i” é a taxa que leva a zero o VPL de um fluxo de caixa. Notem que todos os
valores da equação já são dados e apenas a taxa fica por ser determinada. Com relação à
aplicação desta fórmula aos dados do exemplo, teremos a seguinte equação de cálculo:
Atividade 5
Qual a taxa de juros em um empréstimo de $400.000 a ser liquidado em 4
pagamentos mensais de $50.000, $90.000, $130.000 e $170.000?
(180.000) 56.000 56.000 56.000 56.000 40.000 30.000
0 1 2 3 4 5 6
114
Atividade 6
Um equipamento pode ser adquirido em 6 prestações mensais de $ 1.545, sendo a 1ª
prestação paga ao final de 30 dias. Qual a taxa de juros cobrada pela loja, sabendo-se que o
valor à vista do equipamento é de $ 8.400?
OFICINA III – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Sistemas de amortização
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de Amortização Misto (SAM)
3.2 Definições básicas
Encargos (despesas) financeiros: representam os juros da operação, caracterizando-se
como custo para o devedor e retorno para o credor.
Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital
emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas. Alguns poucos
tipos de empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um
único pagamento ao final do período.
Saldo devedor: representa o valor do principal da dívida, em determinado momento,
após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização.
Prestação: é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos
em determinado período de tempo. Assim:
(400.000) 50.000 90.000 130.000 170.000
0 1 2 4 3
(8.400) 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545
0 1 2 3 4 5 6
115
Prestação = Amortização + Encargos financeiros
3.3 Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
O Sistema de amortização francês, amplamente adotado no mercado financeiro do
Brasil, estipula, ao contrário do SAC, que as prestações devem ser iguais, periódicas e
sucessivas.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de
amortização assumem valores crescentes.
Em outras palavras, no Sistema Francês os juros decrescem e as amortizações
crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da
prestação.
As prestações são determinadas pela aplicação da fórmula do Fator de Recuperação
de Capital (FRC):
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos
períodos.
Exemplo: Um empréstimo de 200.000 u.m. deva ser pago, pelo sistema PRICE,
dentro de um prazo de 10 meses, em 10 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês.
Determinar o valor de prestação e construir a planilha.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante, como o próprio nome indica, tem como
característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais (ou constantes) em
todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do
capital emprestado pelo número de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes no período.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações
periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
),(niFRCCR
116
O SAC determina que a restituição do principal (capital emprestado) seja efetuada
em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida é calculado pela simples
divisão entre o principal e o número fixado de prestações.
Amortização = valor do empréstimo / número de prestações
Exemplo: Um empréstimo de 200.000 u.m. deve ser pago, pelo sistema SAC dentro
de um prazo de 10 meses, em 10 prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês. Determine a
quota de amortização e construa a planilha.
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema
Financeiro de Habitação. Representa, basicamente, a média aritmética entre o Sistema
Francês e o SAC, daí explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu
plano de pagamentos, deve-se somar aqueles obtidos pelo Sistema Francês com os do SAC e
dividir o resultado por dois.
Exemplo: Com relação aos dois exemplos anteriores, determinar as prestações e
construir a planilha.
OFICINA IV – SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital
emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não se
prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante
o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Construção de uma tabela para financiamento no SAA
Exemplo: Um empréstimo de 200.000 u.m. deve ser pago, dentro de um prazo de 10
meses, pelo Sistema de Amortização Americano, a uma taxa de 2% ao mês. Determinar os
juros e construir a planilha.
117
200.000 CHS PV
2 Enter 24 X i
300 n
F i = 4000
Tabela para a construção de um fundo de amortização
Exemplo – Construir uma tabela com um fundo de amortização do empréstimo
(sinking fund) efetuando depósitos mensais a juros efetivos de 1,5% ao mês que permita ter os
200.000 u.m. para o pagamento da dívida no final do período.
UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP-12C NA SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS SOBRE
FINANCIAMENTOS
Exercícios:
1. Um financiamento no valor de R$ 200.000,00 é concedido para ser amortizado em
12 pagamentos mensais pela Tabela Price. A taxa de juros contratada é de 2% ao mês. Com
base nestas informações, pede-se determinar:
a) o valor de cada prestação mensal;
b) o saldo devedor ao final de 8 meses.
2. Um financiamento no valor de R$ 200.000,00 é concedido para ser amortizado em
12 pagamentos mensais pelo SAC. A taxa de juros contratada é de 2% ao mês. Com base
nestas informações, pede-se determinar:
a) o valor de cada prestação mensal;
b) o saldo devedor ao final de 5 meses.
3. Construa a planilha do Sistema de Amortização Misto, com base nos dois
exercícios acima.
4. Construa a planilha do Sistema de Amortização Americano, com base nos
exercícios acima. Faça também uma planilha com o fundo de amortização do empréstimo
com uma taxa de 1% a.m. Determine o custo efetivo do empréstimo (TIR).
118
5. Um banco oferece um financiamento de R$ 180.000,00 para ser liquidado em 24
pagamentos mensais, podendo na amortização ser usado tanto o SAC, o SAF ou o SAM. O
financiamento não prevê carência e a taxa de juros é de 3% o mês. O tomador do empréstimo
está em dúvida quanto ao sistema de amortização que deve escolher. Para tanto, necessita de
informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento. Pede-
se:
a) a confecção das planilhas;
b) em qual pagamento as parcelas das prestações se tornam iguais no SAC e no
SAF;
c) após 12 pagamentos, qual o percentual que o saldo devedor corresponde da
dívida pelos três sistemas;
d) construa a planilha do SAA;
e) caso você fosse decidir, qual das quatro opções escolheria? Justifique sua
resposta.
OFICINA V - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS USANDO O VPL E A TIR
Exercício: Uma empresa cuja TMA (Taxa Mínima de Atratividade) é de 6% ao ano
dispõe de duas alternativas para introduzir uma linha de fabricação para um dos componentes
de seu principal produto. A alternativa A é para um processo automatizado que exigirá um
investimento de 20.000 u.m. e propiciará saldos anuais de 3.116 u.m. durante dez anos. A
alternativa B é para um processo semiautomatizado, com investimento mais baixo, 10.000
u.m., mas que, devido ao uso mais intenso de mão de obra, propiciará um saldo anual de
1.628 u.m., também durante dez anos. Qual a melhor alternativa usando a TIR e o NPV?
A
20.000
1 2 10
3.116
0
119
B
10.000
1 2 10
1.628
0
120
APÊNCICE C – QUESTIONÁRIO APLICADO AOS ALUNOS
1- Como você vê a aplicabilidade da CALCULADORA HP-12C para trabalhar
Matemática Finaceira?
2- Qual a sua opinião quanto à sequência de atividades trabalhadas nas diversas oficinas,
desenvolvidas na prática da pesquisa?
3- Aponte vantagens e desvantagens quanto à utilização da HP-12C na resolução de
problemas envolvendo Sistemas de Amortização de Empréstimos e Análise de Investimentos.
4- Qual a importância de um trabalho com essas características no curso de
Administração?
