UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL

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“LOB1021 - FÍSICA IV“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)

Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

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UNIDADE 8a -

Fótons e Ondas de Matéria I

A radiação do corpo negroAté agora estudamos fenômenos em que a luz é encarada como onda. Entretanto, há casos em que a explicação convencional da teoria eletromagnéticade Maxwell não é satisfatória.

Corpo Negro

Material aquecido emite no visível

Max Planck

• Para explicar o comportamento da radiação emitida por uma cavidade mantida a temperatura T, em função da sua freqüência (ou comprimento de onda), Planck (1900) usou uma expressão que, além de explicar as suas observações, reproduziu o resultado clássico da radiância espectral (lei de Rayleigh-Jeans):

KJk

TkcS

B

B

/1038.1

2)(

23

4

−×=

=λ

πλ

A radiação do corpo negro

(Constante de Boltzmann)

4

2)(λ

πλ TkcS B=

A lei de Rayleigh-Jeans concordacom os resultados experimentaispara longos comprimentos de onda

corpo negro

A radiação do corpo negro

Planck postulou a expressão (lei da radiação de Planck):

1)/exp(12)( 5

2

−=

TkhchcS

BP λλ

πλ

Comparando esta expressão com resultados experimentais para várias temperaturas, Planck determinou o valor de h como:

J.s1063,6h 34−×=(constante de Planck)

A radiação do corpo negro

Dois limites importantes:

4

2)(1)iλ

πλν cTkSTk

h BP

B

≈⇒<<

lei de Rayleigh-Jeans da radiação.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈⇒>>

TkhchcS

Tkh

BP

B λλπλν exp2)(1)ii 5

2

A radiação do corpo negro

λνλ

ν== c pois

Tkhc

Tkh com

BB

O Postulado de Planck e suas implicações

• Como foi visto, em 1900, Max Planck (1858-1947) desenvolveu um modelo matemático para a emissão de radiação eletromagnética, que se ajustava perfeitamente aos dados experimentais.

• Para isso, teve de admitir que a emissão de energia não era contínua. No modelo de Planck, a radiação era emitida e absorvida em pequenos pacotes de energia, denominados quanta, donde o nome teoria dos quanta, ou teoria quântica.

Planck) de (Constante 10626,6

radiação da freqüênciaquânticonúmero onde

34 sJh

nhnE

⋅⋅=

→→⋅⋅=

−

νν

1. Planck considerou que, na superfície do corpo negro, existem osciladores harmônicos simples (cargas elétricas oscilantes). As partículas oscilantes, que emitem radiação, podem ter apenas determinadas quantidades de energia, com valores discretos:

O Postulado de Planck e suas implicações

2. Planck também considerou que os osciladores existentes na superfície do corpo só emitem ou absorvem energia quando passam de um estado quântico para outro. Se um oscilador passa, por exemplo, de n = 2 para n = 1, emite uma porção discreta de energia igual a hν, que é a diferença entre 2hν e 1hν. Se passa de n = 1 para n = 2, absorve uma porção discreta de energia hν.Portanto, a emissão e a absorção de energia também se dão em quantidades quantizadas.

O Postulado de Planck e suas implicações

O Postulado de Planck:

“A energia total ε de qualquer entidade física cuja única ‘coordenada’execute oscilações harmônicas simples (isto é, seja expressa por umafunção senoidal do tempo) pode assumir tão somente valores quesatisfaçam a relação ε = nhν, onde ν é a freqüência da oscilação, h é umaconstante denominada constante de Planck (h = 6,63 x 10-34 J.s) e n é um ‘número quântico’ que só pode assumir valores inteiros (n = 0, 1, 2, 3, ...)”.

O caso clássico poderia ser encontrado para Δε = hν pequeno, ou seja, para ν pequeno.

• Para obter sua lei de radiação, Planck fez a hipótese de que a energia armazenada, em cada modo de oscilação eletromagnética (de frequência ), era discreta e da forma:

,...2,1,0== nhnEn νν

portanto, independente da amplitude do campo. Isso indicava que o movimento dos elétrons oscilantes nas paredes da cavidade (que geram o campo elétrico) deveria apresentar apenas valores discretos (quantizados), não contínuos, como se acreditava.

} νhE =Δ

A radiação do corpo negro

• Planck acreditava que a sua hipótese eraapenas um artifício matemático, e que ofenômeno de radiação do corpo negroainda viria a ser explicado de uma outraforma. Ele mesmo tentou obter uma outraexplicação, por muitos anos.

A radiação do corpo negro

O uso da lei da Radiação de Planck na Termometria

• Uma forma prática de medida da temperatura de um corpo é a utilização da Lei de Planck na escala prática de temperatura internacional, adotando como a temperatura de referência padrão T1 a temperatura normal de fusão do ouro (T = 1068ºC).

• Para radiação monocromática de comprimento λ e T > 1068ºC tem-se

11

2

1

−

−kThc

kThc

ee

λ

λ

O Efeito Fotoelétrico

Observado por Hertz (1887) e Hallwachs (1888)

)(νi

ν0ν• Ocorre a emissão de elétrons de uma placa metálica, quando iluminada por radiação EM. Os fotoelétrons emitidos, e a corrente por eles gerada, só existem acima de um limiar de frequência , independente da intensidade da radiação.

0ν

O Efeito Fotoelétrico• A primeira observação relacionada com esse fenômeno foi feita

pelo físico russo Alexander Stoletov (1839-1896), em 1872. Enquanto retirava ar de um pequeno frasco dentro do qual havia duas placas metálicas, isoladas eletricamente uma da outra e ligadas aos terminais de uma bateria, ele detectou o surgimento de uma corrente elétrica na bateria, quando uma das placas foi atingida pela luz de uma lâmpada de mercúrio. Stoletov também percebeu que essa corrente cessava quando a placa deixava de ser iluminada.

Investigação do Efeito Fotoelétrico• As energias cinéticas dos fotoelétrons não dependem da

intensidade da radiação incidente.• Maior intensidade da radiação incidente produz maior

quantidade de fotelétrons.

• As energias cinéticas dos fotoelétrons dependem da freqüência da radiação incidente. Quanto maior é essa freqüência, maiores são as energias cinéticas dos fotoelétrons.

• O efeito fotoelétrico só ocorre se a freqüência da radiação incidente estiver acima de certo valor mínimo, que depende do metal utilizado. Se isso não for respeitado, o efeito não ocorrerá, por mais intensa que seja a radiação.

Equação do efeito fotoelétrico

• E é a energia do fóton absorvido pelo elétron (E = h f = h ν)

• Ecmax é a energia cinética máxima dos fotoelétrons

• A ou φ0 ou W é uma característica do metal, denominada função trabalho. Essa grandeza significa a energia mínima necessária para extrair um elétron situado na superfície do metal, ou seja, é a mínima energia para extrair um elétron "mais fácil" de ser extraído.

•Cada elétron requer uma energia mínimapara sair do metal. Assim, se fornecermos uma energia E o fotoelétron sairá com uma energia cinética: φ−= EEc

φ

Assumindo que a absorção de energia de 1 elétron se dê através da absorção de 1 quantum, , teremos:νh

φν −= hEc

Como diferentes elétrons necessitamdiferentes energias para sairem, vamosdefinir o mínimo de como ; afunção trabalho do metal

φ 0φ

O efeito fotoelétrico

kE

0φνh

Ec

kE

0φνh

0maxc hE φν −=

0h0E 00maxc =−⇒= φν

h0

0φν =

não há emissão de fotoelétrons para frequências abaixo de:

O efeito fotoelétrico

Ec

• O valor mínimo da freqüência da radiação eletromagnética (ν0 ou fmin) a partir do qual os elétrons podem escapar é dado pela razão: hh

Af 0min0

φν ===

• Isso corresponde à Energia Cinética nula.

O elétron-volt

Função trabalho (W=φ0)

0V

ν

h0

0φν =

α

eV 0

0φ

−=

Ecmax pode ser medida pelo circuito acima, pois os elétrons são freiados por V . Assim, podemos zerar a corrente para um certo valor V0 (potencial de corte):

eh

=α

eehVheVeVE 0

0000maxcφ

νφν −=⇒−=⇒=

O efeito fotoelétrico

+ _

Coef. Ang.:

O que independe da intensidade da radiação incidente são os valores de e ; não o valor da corrente depois de estabelecida!

0V 0ν photoelectric

O efeito fotoelétrico)(Vi

V0V−

νe2I

νeI

•

0ν

Explicação do efeito fotoelétrico

Em 1905, o físico, também alemão, Albert Einstein (1879-1955) explicou o efeito fotoelétrico (Prêmio Nobel de 1921). Para isso, ele estendeu a teoria de Planck às radiações eletromagnéticas, considerando que a energia dessas radiações também é quantizada.

Assim, uma radiação eletromagnética passou a ser tratada como um feixe de partículas, denominadas fótons, propagando-se.

Einstein supôs que a energia de um fóton (quantum ) é dada por:

radiação da freqüência Planck de constante Js1063,6 34

→→⋅= −

fh

O fóton• A partir do conceito do quantum de energia, , e da fórmula da energia de uma partícula relativística com massa de repouso m0= 0, podemos escrever:

νhhf =

2222420

2 cpcpcmE =+= pchfE ==Portanto, o momento linear do quantum é :hf

s.J1005,12honde ;k2

2h h

chfp 34−×≈≡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

πλπ

πλhh

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

ω

λ

h

rh

r

Ekp

fcpictoricamente:

Prob. 1:Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W irradia energia (λ = 589 nm)

uniformemente em todas as direções. a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão

(ou fluxo: F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?c) Qual é o fluxo de fótons, F (por unid. de área e de tempo), em uma pequena tela

situada a 2,00 m da lâmpada?

fótons/s1096,2)m/s103)(sJ1063,6(

)W100()m10589( 20834

9×≈

××

××== −

−

hcPR λ

s)fótons/(m1089,5m)(24fótons/s1096,2

4218

2

20

2 ×≈×

==ππ r

RFc)

→= 24 rRFπ

m1085,4s)fótons/(m104

fótons/s1096,24

72/1

24

202/1

×≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ππ FRr

onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)

b)

→===λ

ν chRhRERPa)

02

02

01

01

φλ

φλ

−=

−=

hceV

hceV)()()()( 1

21

1

020112

110201 −−

−−

−−

=→−=−λλ

λλ VVcehhcVVe

a) e b)

seV10136,4)083,0(103

eV03,110)43(103

eV82,0eV85,1 15157118

−−− ×≈

××=

×−××−

=h

eV28,2eV85,1103

10310136,47

815

011

0 ≈−×

×××=−= −

−

eVhcλ

φ

→==max

00 λ

φν ch

c)

0ν maxλ

nm544m1044,528,2

10310136,4 7815

0max =×≈

×××== −

−

φλ hc

: frequência de corte : comprimento de onda de corte

Prob.2:Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo

de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:

a) O valor da constante de Planck.b) A função trabalho do sódio.c) O comprimento de onda de corte do sódio.

O efeito Compton•A hipótese da existência do fóton foi confirmada experimentalmente por Compton (1923), ao incidir raios-X sobre um alvo de carbono:

Elétron do alvoDetetor

Fóton do raio-X

Elétron espalhado

Fóton espalhado

compton

Classicamente esperaríamos somente um pico de da radiação incidente, o que não ocorre.

A explicação é baseada no fato do fóton carregar momento linear ( ) e energia ( E ).

0λλ =

O efeito Compton

0λ

0λ

0λ

0λ

pr

4321 pppp rrrr +=+

4321 EEEE +=+

420

224

20 cmcpEcmE ++′=+

431 ppp rrr =−

420

224

220 )( cmcpcmEE +=+′−

θcos2 3123

21

24 ppppp −+=

)cos1(1112

0

θ−=−′ cmEE

)0( 1

1

=

=

mcEp

02 =p

?4 =p

cEp′

=3

θ

O efeito Compton

PROVAR !

Como podemos escrever: νhE =

)cos1(1112

0

θνν

−=−′ cmhh

)cos1(0

0 θλλ −=−′cm

h

)cos1( θλλ −=Δ cm1043,2 12

0

−×≈≡cm

hcλ; onde:

é o comprimento de onda de Compton da partícula espalhada.

• Se um elétron que espalha a radiação está fracamente ligado ao átomo de carbono, m0 = me . Mas se um elétron está fortemente ligado ao átomo, m0 = M, onde M é a massa do átomo. Como isso sempre ocorre, detecta-se sempre dois picos (para θ > 0) porque:

eaemM λλ Δ<<Δ⇒>>

O efeito Compton

Prob. 3:Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada

pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:a) O deslocamento Compton.b) A energia cinética fornecida ao elétron.c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.

a)

→=°−=Δcm

hcm

h

00

)90cos1(λ pm43,2m1043,2)m/s103)(kg1011,9(

Js1063,6 12831

34

=×≈××

×=Δ −

−

−

λ

°== − 90;m10 10 θλi if λλλ −=Δ

0; ≈+≈→+=+ iecinfi

fe

ff

ie

if EEhhEEEE ννb)

( )[ ] ( )[ ]1101083411 0243,11010)103)(1063,6( −−−− −××=Δ+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= λλλλλ ii

ficin hccchE

[ ] eV295eV102,95J1072,41037,210989,1 217215 =×≈×≈××≈ −−−cinE

c) Variação da energia do fóton: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=Δ −

−

111

1

f

i

i

fif

if

ff

f hchc

EEE

Eλλ

λλ

( ) %4,21976,01001100243,1

10100(%) 10

10

−≈−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×≈Δ −

−

fE (cedida ao elétron)