UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO FÁBIO ......3 Oliveira, Fábio Francisco de PROBABILIDADE...

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

FÁBIO FRANCISCO DE OLIVEIRA

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Proposta de um experimento de ensino envolvendo

registros de representações semióticas

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

UNIAN São Paulo

2014

2

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO



Proposta de um experimento de ensino envolvendo

registros de representações semióticas

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.

UNIAN São Paulo

2014

3

Oliveira, Fábio Francisco de


Proposta de um experimento de ensino envolvendo registros de

representações semióticas/Fábio Francisco de Oliveira. São

Paulo: [s.n], 2014.

_______f ; ____ ; _______.

Dissertação (Mestrado Acadêmico) – Universidade

Anhanguera de São Paulo, Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática.

Orientadora: Profª. Drª. Monica Karrer.

1. Probabilidade Condicional 2. Registros de representações

semióticas 3. Letramento Probabilístico 4. Design Experiment.

5. Software R.

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por ter me proporcionado tamanha oportunidade de crescimento

pessoal e profissional.

À minha esposa Juliana pelo incentivo, compreensão e apoio para que eu pudesse

me dedicar ao programa de Mestrado.

À minha família e amigos pela força e compreensão nos momentos em que a

dedicação à vida acadêmica esteve acima dos demais compromissos sociais.

À Professora Doutora Monica Karrer pela parceria, paciência, imensa dedicação,

estímulo e competência na orientação deste trabalho.

À Professora Doutora Verônica Yumi Kataoka pela parceria, paciência, dedicação e

estímulo na co-orientação deste trabalho e por ter aceitado participar da banca,

contribuindo com sua experiência e competência na realização desta pesquisa.

À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima por ter aceitado participar da

banca, pela dedicação e orientações dadas, de suma importância para o

desenvolvimento deste trabalho.

A todos os professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática desta

Instituição que, de forma direta ou indireta, contribuíram para o desenvolvimento

deste trabalho.

Aos estudantes participantes voluntários desta pesquisa pelo comprometimento e

dedicação demonstrados nos encontros realizados.

5

“Não se deve ir atrás de objetos fáceis. É preciso buscar o que

só pode ser alcançado por meio dos maiores esforços.”

Albert Einstein

6



PROPOSTA DE UM EXPERIMENTO DE ENSINO ENVOLVENDO

REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE ANHANGUERA

DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-

GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Presidente e Orientadora

Nome: Profª Drª Monica Karrer

Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo

Assinatura:

2ª Examinador:

Nome: Profª Drª Verônica Yumi Kataoka

Instituição: Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC

Assinatura:

3ª Examinador:

Nome: Profª Drª Rosana Nogueira de Lima

Instituição: Universidade Anhanguera de São Paulo

Assinatura: Biblioteca

Bibliotecário:____________________________________________

Assinatura:__________________________ Data____/_____/_____

São Paulo, 15 de agosto de 2014.

7

RESUMO

OLIVEIRA, F. F. de PROBABILIDADE CONDICIONAL Proposta de um experimento de ensino envolvendo registros de representações semióticas 2014. ___f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2014.

Esta pesquisa teve por objetivo investigar a aprendizagem de estudantes diante de

um experimento de ensino sobre probabilidade condicional, por meio de uma

abordagem com material concreto, aliada à exploração de diferentes registros de

representações semióticas. O estudo fundamentou-se na Teoria dos Registros de

Representações Semióticas de Duval e no Letramento Probabilístico de Gal. Para a

construção e condução do experimento, foi utilizada a metodologia de Design

Experiment de Cobb et al. O design foi desenvolvido nos ambientes papel e lápis e

software R e teve por foco a exploração das conversões e tratamentos envolvendo

representações da língua natural, da tabela de dupla entrada e da árvore de

probabilidades. O experimento elaborado foi aplicado em nove encontros a oito

alunos voluntários do segundo ano do Ensino Médio de uma escola estadual da

cidade de Guarulhos. Inicialmente, os alunos realizaram um levantamento de dados

e exploraram situações de probabilidade com material concreto. Para a construção

das probabilidades da intersecção e condicional, além do material concreto, foram

utilizadas as representações da tabela de dupla entrada e da árvore de

probabilidades, sendo proposta uma nova versão, denominada árvore de

probabilidades na versão completa. Identificou-se que essa última representação

favoreceu a extração das probabilidades simples, condicional e da intersecção.

Apesar da importância de cada estratégia isolada, os resultados demonstraram que

o trabalho integrando material concreto, recurso computacional e exploração de

representações foi vital para o avanço dos estudantes em questões probabilísticas.

Espera-se que a proposta deste estudo possa contribuir para o avanço do

Letramento Probabilístico dos alunos da educação básica, representando um

recurso adicional para a área de Educação Matemática.

Palavras-chave: Probabilidade Condicional. Registros de representações

semióticas. Letramento Probabilístico. Design Experiment. Software R.

8

ABSTRACT

OLIVEIRA, F. F. CONDITIONAL PROBABILITY Proposal of a teaching experiment involving registers of semiotic representations 2014.___f Dissertation in Mathematics Education, Anhanguera University of São Paulo, São Paulo, 2014.

This research study aimed to investigate students’ learning in a teaching experiment

about Conditional Probability, through an approach with concrete material, added to

the exploration of different semiotic representations. The study is based on Duval’s

Theory of Semiotic Representations Registers and in Gal’s Probabilistic Literacy. To

construct and to conduct the experiment, we have used Cobb et al’s Design

Experiment Methodology. The design was developed in paper & pencil and

software R environments and it focused on the exploration of the conversions

between representations of the natural language, two-way table and probability tree.

The experiment was administered in nine meetings to eight volunteer students at the

second grade of High School in a public School in Guarulhos. First of all, the

students did a data collection and explored probability situation with concrete

material. For constructing the intersection and conditional probabilities, besides

concrete material, representations of the two-way table and the probability tree have

been used and a new version of it has been proposed, called complete probability

tree. It has identified that this last representation supported the extraction of the

simple, conditional and the intersectional probabilities. Despite the importance of

every isolated strategy, the results have indicated that a work integrating concrete

material, computational resources and representational exploration were vital for the

students’ development in probabilistic matters. We hope the proposal of this study

may contribute for the probabilistic literacy advance of the Elementary school

students, representing an additional resource for the area of Mathematics Education.

Key words: Conditional Probability, Registers of semiotic representations,

Probabilistic Literacy, Design Experiment, Software R

9

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – A urna de Falk.......................................................................................... 32

Figura 2 – Resolução do problema das três cartas de Falk...................................... 36

Figura 3 – Possibilidades de gêmeos ....................................................................... 37

Figura 4 – Árvore de frequências naturais................................................................ 43

Figura 5 – Árvore de probabilidades na versão proposta por Martignon e Wassner

(2002)........................................................................................................................ 46

Figura 6 – Árvore de probabilidades na versão completa proposta por este

estudo........................................................................................................................ 47

Figura 7 – Design Experiment: Ecologia da aprendizagem do experimento............. 59

Figura 8 – Primeiro protótipo da urna ....................................................................... 61

Figura 9 – Segundo protótipo................................................................................... 61

Figura 10 – Segundo protótipo à esquerda e o terceiro protótipo à direita............... 62

Figura 11 – Abertura para retirada dos cartões......................................................... 62

Figura 12 – Primeira versão dos cartões................................................................... 63

Figura 13 – Cartões de ambos os tamanhos............................................................ 63

Figura 14 – Cartões com papel adesivo ................................................................... 64

Figura 15 – Apresentação dos dados em tabela simples ........................................ 71

Figura 16 – Apresentação dos dados em língua natural materna ............................ 71

Figura 17 – Apresentação dos dados em tabela de dupla entrada ......................... 71

Figura 18 – Simulação do caso hipotético das retiradas por meio do software R

................................................................................................................................... 76

Figura 19 – Cartões da probabilidade da intersecção .............................................. 77

Figura 20 – Cartão branco com cartão azul sobreposto........................................... 81

Figura 21 – Todas as possibilidades de intersecção................................................. 81

Figura 22 – Organização dos grupos ..................................................................... 101

Figura 23 – Ficha 1 ................................................................................................ 101

Figura 24 – Produção do estudante A2................................................................... 102

Figura 25 – Produção do estudante B3................................................................... 104

Figura 26 – Produção do estudante B2................................................................... 105

Figura 27 – Apresentação dos dados colhidos na pesquisa de opinião - Grupo

A.............................................................................................................................. 107

10

Figura 28 – Apresentação dos dados colhidos na pesquisa de opinião - Grupo

B.............................................................................................................................. 108

Figura 29 – Resposta dada pelo estudante A1 – Questão 1 – Ficha 2

................................................................................................................................. 109

Figura 30 – Resposta dada pelo estudante B3 – Questão 2 – Ficha 2

................................................................................................................................. 109

Figura 31 – Organização das duplas....................................................................... 110

Figura 32 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla A1.1..................................... 110

Figura 33 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla A1.2 ..................................... 111

Figura 34 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla B1.1. .................................... 112

Figura 35 – Ficha 3 - Parte 1 preenchida pela dupla B1.2...................................... 113

Figura 36 – Registros das retiradas da urna – Dupla A1.1 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 114

Figura 37 – Registros das retiradas da urna – Dupla A1.2 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 115

Figura 38 – Registros das retiradas da urna – Dupla B1.1 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 115

Figura 39 – Registros das retiradas da urna – Dupla B1.2 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 116

Figura 40 – Comparação entre as razões– Dupla A1.1 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 116

Figura 41 – Comparação entre as razões– Dupla A1.2 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 117

Figura 42 – Comparação entre as razões– Dupla B1.1 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 117

Figura 43 – Comparação entre as razões– Dupla B1.2 – Ficha 3 - Parte 2

................................................................................................................................. 118

Figura 44 – Ficha 3 - Parte 3................................................................................... 119

Figura 45 – Ficha 3 - Parte 2 – Produção da dupla A1.1........................................ 120

Figura 46 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla A1.2................................... 120

Figura 47 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla B1.1................................... 121

Figura 48 – Ficha 3 - Parte 2 - preenchida pela dupla B1.2................................... 121

Figura 49 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla A1.1........................................ 122

Figura 50 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla A1.2 ....................................... 122

11

Figura 51 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla B1.1........................................ 123

Figura 52 – Ficha 3 - Parte 5 – Produção da dupla B1.2........................................ 123

Figura 53 – Produção da dupla A1.1 – Item e – Ficha 3 - Parte 5 ......................... 124

Figura 54 – Produção da dupla B1.2 – Item e – Ficha 3 - Parte 5.......................... 124

Figura 55 – Organização de duplas para grupos ................................................... 124

Figura 56 – Produção do Grupo A........................................................................... 125

Figura 57 – Produção do Grupo B........................................................................... 126

Figura 58 – Estudantes confeccionando os cartões............................................... 126

Figura 59 – Produção do Grupo A – Apresentação dos dados para a Ficha

4............................................................................................................................... 127

Figura 60 – Produção do Grupo B – Apresentação dos dados para a Ficha

4............................................................................................................................... 127

Figura 61 – Produção do Grupo A - Ficha 4 - Parte 2 ........................................... 128

Figura 62 – Produção do Grupo B - Ficha 4 - Parte 2 ............................................ 128

Figura 63 – Produção do Grupo A - Ficha 4 - Parte 3 ........................................... 129

Figura 64 – Produção do Grupo B - Ficha 4 - Parte 3 ........................................... 129

Figura 65 – Produção do Grupo A – Ficha 4 - Parte 4 ........................................... 130

Figura 66 – Produção do Grupo A – Item e – Ficha 4 - Parte 5 ............................. 131

Figura 67 – Produção do Grupo B – Item e – Ficha 4 - Parte 5.............................. 131

Figura 68 – Produção do Grupo A – Ficha 5 - Parte 1............................................ 132

Figura 69 – Produção do Grupo B – Ficha 5 - Parte 1 ........................................... 132


Figura 71 – Produção do Grupo B – Ficha 5 - Parte 2............................................ 134

Figura 72 – Produção do Grupo A – Registro das retiradas condicionais.............. 135

Figura 73 – Produção do Grupo B – Registro das retiradas condicionais.............. 135





Figura 78 – Ficha 6 - Parte 2 – Árvores de possibilidades – Grupo A ................... 140

Figura 79 – Ficha 6 - Parte 2 – Questões árvores de possibilidades – Grupo A.... 141

Figura 80 – Ficha 6 - Parte 2 – Árvores de possibilidades – Grupo B.................... 141

Figura 81 – Ficha 6 - Parte 2 – Questões árvores de possibilidades – Grupo A.... 142


12


Figura 84 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 1 – Árvore iniciando pela variável

“mais investimentos por parte do governo na Copa do Mundo do que nas áreas de

Educação e Saúde................................................................................................. 145

Figura 85 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 1 – Árvore iniciando pela variável

“Série”..................................................................................................................... 145

Figura 86 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável

“Acreditar que as manifestações terão resultado”. ................................................ 146

Figura 87 – Produção do Grupo B – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável

“Cursar ensino superior”......................................................................................... 147

Figura 88 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 2 – Iniciando pela variável “Mais

investimentos por parte do governo na Copa do Mundo do que nas áreas de

Educação e Saúde. ............................................................................................... 148


“Série”..................................................................................................................... 149

Figura 90 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável

“acredita que as manifestações terão resultado”.................................................... 150


“Série”...................................................................................................................... 151

Figura 92 – Produção do Grupo A – Ficha 7 - Parte 3 – Iniciando pela variável “Mais

investimentos por parte do governo na Copa do Mundo de que nas áreas de

Educação e Saúde”................................................................................................. 152


“Cursar ensino superior”.......................................................................................... 152



Figura 96 – Montagem da árvore com os cartões do Grupo A .............................. 155

Figura 97 – Montagem da árvore com os cartões do Grupo B............................... 156

Figura 98 – Tarefa I – Ficha avaliativa.................................................................... 156

Figura 99 – Produção do estudante A1 .................................................................. 157

Figura 100 – Produção do estudante A2................................................................. 157

Figura 101 – Produção do estudante B1................................................................. 158



13






Figura 109 – Tarefa II – Ficha Avaliativa ................................................................ 161

Figura 110 – Produção do estudante B1. ............................................................... 162


Figura 112 – Produção do estudante B3 ................................................................ 164






14

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Reportagem do BBC Journal.................................................................. 19

Quadro 2 – Quadro de classificação dos registros de representações semióticas... 24

Quadro 3 – Quadro de tipos e funções de representações....................................... 25

Quadro 4 – Exemplos dos registros utilizados neste trabalho................................... 28

Quadro 5 – Problema 8.............................................................................................. 39

Quadro 6 – Problema 15............................................................................................ 46

Quadro 7 – Ficha 1 – Sondagem dos conhecimentos prévios dos estudantes

................................................................................................................................... 69

Quadro 8 – Ficha 2 - Apontamentos dos dados colhidos na pesquisa de opinião

................................................................................................................................... 70

Quadro 9 – Ficha 3 - Parte 1 – Estimativas de probabilidades

simples....................................................................................................................... 73

Quadro 10 – Ficha 3 - Parte 2 – Registros das retiradas, análise das razões e

verificação da convergência...................................................................................... 74

Quadro 11 – Ficha 3 - Parte 3 – Familiarização com o software R........................... 76

Quadro 12 – Ficha 3 - Parte 4 – Atividade com o software R................................... 77

Quadro 13 – Ficha 4 - Parte 1 – Estimativa da probabilidade da intersecção .......... 79

Quadro 14 – Ficha 4 - Parte 2 – Registros das retiradas e análise dos dados.......... 81

Quadro 15 – Ficha 4 - Parte 3 – Apresentando a tabela de dupla entrada............... 83

Quadro 16 – Ficha 4 - Parte 4 – Atividade com Software R...................................... 83

Quadro 17 – Formalização da probabilidade ........................................................... 84

Quadro 18 – Ficha 5 - Parte 1 – Atividade introdutória da probabilidade condicional

................................................................................................................................... 85

Quadro 19 – Ficha 5 - Parte 2 – Atividade da probabilidade condicional com o banco

de dados ................................................................................................................... 87

Quadro 20 – Ficha 5 - Parte 3 – Cálculo da probabilidade condicional por meio da

tabela de dupla entrada ............................................................................................ 88

Quadro 21 – Ficha 6 - Parte 1 – Apresentando a tabela de dupla entrada

................................................................................................................................... 88

Quadro 22 – Ficha 6 - Parte 2 – Revisitando as intersecções entre as

possibilidades............................................................................................................ 90

15

Quadro 23 – Ficha 7 - Parte 1 – Apresentação da representação da árvore

................................................................................................................................... 91

Quadro 24 – Ficha 7 - Parte 2 – Revisitando as intersecções entre as

possibilidades............................................................................................................ 92

Quadro 25 – Ficha 7 - Parte 3 – Análise da árvore de possibilidades

completa.................................................................................................................... 93

Quadro 26 – Ficha 7 - Parte 4 – Revisitando as probabilidades condicionais e suas

inversas..................................................................................................................... 94

Quadro 27 – Ficha 8 – Avaliação das contribuições proporcionadas pelo

experimento............................................................................................................... 99

16

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Relações entre as representações semióticas e os elementos

cognitivos................................................................................................................... 66

Tabela 2 – Apresentação da distribuição das tarefas do experimento

................................................................................................................................... 67

Tabela 3 – Apresentação da distribuição das tarefas do experimento

................................................................................................................................. 100

Tabela 4 – Dificuldades evidenciadas na obtenção da probabilidade e nas suas

conversões.............................................................................................................. 106

Tabela 5 – Frequências absolutas e relativas das respostas dadas ao exercício I -

Ficha avaliativa ....................................................................................................... 157

Tabela 6 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens a, b, f e g -

Ficha avaliativa. ...................................................................................................... 163

Tabela 7 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens c, d, e, h e i -

Ficha avaliativa........................................................................................................ 164

Tabela 8 – Frequências e porcentagens das respostas dadas aos itens 2, 3, 4, 5 e 6

- Ficha avaliativa...................................................................................................... 165

Tabela 9 – Respostas esperadas - Ficha avaliativa

................................................................................................................................. 172

17

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 19

1. REFERENCIAL TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA................................. 23

1.1 Registros de Representações Semióticas........................................................... 23

1.2 Letramento Probabilístico................................................................................... 29

1.3 Revisão de Literatura ......................................................................................... 31

1.3.1 As relações entre causa e condicionamento ................................................... 31

1.3.2 A problemática da definição do evento condicionante .................................... 35

1.3.3 Falácia da conjunção ....................................................................................... 38

1.3.4 Falácia da condicional transposta.................................................................... 40

1.3.5 Utilizando representações para resolver situações condicionais..................... 42

1.3.6 Recurso computacional na aprendizagem de Probabilidade........................... 48

2. ORIENTAÇÕES CURRICULARES...................................................................... 50

3. METODOLOGIA .................................................................................................. 57

3.1 Design Experiment.............................................................................................. 57

3.2 Sujeitos ............................................................................................................... 60

3.3 Material e Ambiente de Trabalho...................................................................... 60

3.4 Descrição do Experimento de Ensino................................................................ 60

3.5 Apresentação da análise preliminar do experimento de ensino e previsão de

organização............................................................................................................... 64

3.5.1 Concepção do experimento.............................................................................. 64

3.5.2 Análise preliminar das atividades..................................................................... 68

3.5.2.1 Primeiro encontro.......................................................................................... 68

3.5.2.2 Segundo encontro......................................................................................... 70

3.5.2.3 Terceiro encontro.......................................................................................... 77

3.5.2.4 Quarto encontro............................................................................................. 84

3.5.2.5 Quinto encontro............................................................................................. 90

4. ANÁLISE DOS DADOS...................................................................................... 101

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................ 173

5.1 Síntese das etapas de pesquisa...................................................................... 173

5.2 Contribuições evidenciadas durante a aplicação do experimento................... 174

5.3 Relação dos resultados com a revisão de literatura......................................... 176

18

5.4 Retomando as hipóteses e a questão de pesquisa........................................... 178

5.5 Perspectivas para novas investigações............................................................. 179

REFERÊNCIAS....................................................................................................... 181

ANEXOS.................................................................................................................. 184

19

INTRODUÇÃO

Este estudo teve por objetivo investigar a aprendizagem de estudantes sobre

probabilidade condicional numa abordagem experimental com a exploração de

registros de representações semióticas, focando principalmente as relações entre as

representações algébrica, da língua natural, da tabela de dupla entrada e da árvore

de probabilidades.

Cada vez mais, no cotidiano, surgem situações que envolvem conceitos

probabilísticos, como, por exemplo, a análise de risco de doenças, a interpretação

de resultados de testes de diagnóstico e a tomada de decisão sobre o tratamento a

ser indicado para cada paciente.

Na docência, temos observado as dificuldades dos alunos em ler, interpretar

textos e determinar estratégias de resolução em situações envolvendo o conteúdo

de Probabilidade e, de forma mais específica, de Probabilidade Condicional. Tal

constatação representou a motivação para investigarmos o processo de

aprendizagem desse conteúdo matemático e, no curso de mestrado, foi possível

buscar, de forma mais efetiva na literatura científica, pesquisas que tratam dessa

temática.

A probabilidade condicional é um importante conteúdo de Probabilidade

devido às aplicações existentes nos aspectos pessoais, profissionais e científicos.

Em diversos momentos, por exemplo, é comum o contato com notícias que

envolvam situações condicionais, conforme se observa na reportagem a seguir,

sobre o falso positivo em exames diagnósticos (Quadro1).

Quadro 1: Reportagem do BBC Journal de 12/01/2010 Fonte:www.bbc.co.uk/portuguese/ciencia/2010/01/100111_cancerprostata_testes_mv.shtml – em 18/09/2013.

A literatura acadêmica identifica como problemática, no tocante à

aprendizagem de probabilidade condicional, o equívoco cometido pelos alunos em

considerar , evidenciando a não diferenciação entre o evento

condicionado (o que irá ocorrer) e o evento condicionante (o que já ocorreu). Essa

Um em oito homens submetidos a testes para câncer da próstata apresentam resultados positivos quando na verdade não estão sofrendo da doença, segundo um estudo europeu publicado na revista científica britânica British Journal of Cancer.

20

dificuldade foi identificada por pesquisadores, como, por exemplo, Falk (1986),

Figueiredo (2000), Martignon e Wassner (2002), Diaz e La Fuente (2006), Estrada e

Díaz (2006) e Borovcnik (2012).

Estrada e Diaz (2006) realizaram uma investigação sobre o uso de tabelas de

dupla entrada para a resolução de problemas de probabilidade. Os resultados desse

estudo indicaram que os sujeitos de pesquisa, futuros professores, apresentaram

vários problemas quanto à interpretação e à resolução de situações que envolviam

conceitos probabilísticos. Dentre as dificuldades mais evidenciadas, as autoras

destacaram a confusão entre um evento e seu complementar, entre uma

probabilidade condicional e sua inversa, entre as probabilidades da intersecção e

condicional e entre a probabilidade simples e as probabilidades da intersecção e/ou

condicional.

As autoras revelaram que a interpretação das informações contidas em uma

tabela de dupla entrada é essencial na vida profissional e cotidiana. Elas também

observaram que uma vantagem do uso desse tipo de representação é a

possibilidade de sintetizar informações de uma população ou de uma amostra,

favorecendo a tomada de decisões em situações de incerteza nas mais diversas

áreas de conhecimento.

Ainda nesse estudo, as autoras afirmaram que a linguagem cotidiana que

usamos para propor um problema que envolve probabilidade condicional não possui

precisão suficiente e, muitas vezes, o seu uso pode acarretar ambiguidades. No

entanto, indicam que o professor deve diversificar a linguagem usada no ensino,

para que possa despertar nos estudantes as habilidades de percepção crítica,

fazendo com que eles, ao se depararem com esses diferentes tipos de informações

presentes no cotidiano, possam ser capazes de ler, interpretar e lidar com situações

que envolvam conceitos probabilísticos.

Ao atuarem dessa forma, os professores estarão em consonância com o

proposto no Letramento de Gal (2005, 2012), o qual será detalhado no Capítulo 1. A

pesquisa também sugere aos professores formadores a necessidade de reformar e

melhorar o ensino de probabilidade, por meio da formação de futuros professores

Figueiredo (2000), Martignon e Wassner (2002) e Diaz e La Fuente (2006)

apontaram estratégias para amenizar as dificuldades referentes à determinação de

probabilidades, tais como o uso de tabelas de dupla entrada e o trabalho com a

árvore de probabilidades.

21

As pesquisas de Falk (1986) e Borovcnik (2012) indicaram que o maior índice

de conflitos ocorreu em conceitos que envolveram a probabilidade da intersecção e

a probabilidade condicional. Esses pesquisadores revelaram que a adoção de

procedimentos de cunho experimental e a utilização de estratégias de resolução que

se utilizaram da árvore de probabilidades favoreceram a compreensão desses

conceitos. O detalhamento desses trabalhos será apresentado no Capítulo 2 do

presente trabalho.

Partindo da problemática identificada, buscamos contemplar essas indicações

de abordagens e estratégias de resolução em nosso experimento de ensino,

promovendo um trabalho com o uso de material concreto, explorando diferentes

representações do objeto matemático e integrando um software, com o intuito de

fornecer aos estudantes um ambiente favorável para a aprendizagem de conceitos

probabilísticos, com vistas a avançar no desenvolvimento do Letramento

Probabilístico dos mesmos.

Considerando a importância de um trabalho de integração entre

representações de diversos registros para a aprendizagem matemática, optamos por

fundamentar o estudo na teoria dos registros de representações semióticas de Duval

(1995, 2003, 2009, 2011). O estudo tratou principalmente dos registros da língua

natural materna, figural (com as representações da tabela de dupla entrada e das

árvores de possibilidades e de probabilidades) e simbólico (com as representações

algébrica e numérica).

Além disso, a presente pesquisa se baseou no Letramento Probabilístico

proposto por Gal (2005, 2012), o qual aponta a importância da formação do

estudante como cidadão crítico diante dos diferentes tipos de informações presentes

no cotidiano, tornando-o capaz de ler, interpretar e lidar com uma série de situações

reais que envolvam interpretação ou geração de mensagens probabilísticas,

auxiliando-o na tomada de decisões.

Devido a essas características e considerando que a proposta do Letramento

Probabilístico se adéqua às indicações dos Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL, 1998, 2002 e 2006), essa pesquisa investigou as possíveis contribuições

de uma abordagem experimental para a compreensão da probabilidade condicional

por parte dos sujeitos deste estudo.

Para a construção e condução do experimento, foi escolhida a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al. (2003), uma vez que esta é flexível, iterativa e

22

cíclica, permitindo que o desenho inicial seja adaptado durante a execução do

experimento em função das produções dos sujeitos. Ao longo do trabalho, buscamos

essa flexibilidade pelo fato de investigarmos as trajetórias dos estudantes na

construção dos conhecimentos probabilísticos e na adaptação das produções

propostas.

Diante da problemática evidenciada, apresentamos a questão de pesquisa do

presente estudo: Em que aspectos uma abordagem com uso de material concreto

que prioriza um trabalho de relação entre representações de diversos registros

influencia o estudante na compreensão do conteúdo de Probabilidade Condicional?

A hipótese proposta é a de que o experimento elaborado favorece a

construção do conceito de probabilidade condicional, partindo de uma abordagem

com material concreto, e que o trabalho com diferentes registros proporciona uma

compreensão mais efetiva deste conteúdo.

O presente trabalho está organizado em cinco capítulos, além da presente

introdução. No Capítulo 1, é apresentado o referencial teórico e a descrição dos

trabalhos que compuseram a nossa revisão de literatura. O Capítulo 2 contém a

descrição das orientações curriculares utilizadas e as relações delas com o nosso

estudo. O Capítulo 3 traz a descrição da metodologia adotada e a relação dela com

o nosso estudo, além também da primeira versão do experimento e a análise

preliminar das atividades. O Capítulo 4 é reservado para a descrição da análise da

aplicação do design e suas remodelações. Por fim, no Capítulo 5, apresentamos as

conclusões do estudo e as indicações para futuras pesquisas.

23

1. REFERENCIAL TEÓRICO E REVISÃO DE LITERATURA

Neste capítulo, apresentamos a descrição da teoria dos registros de

representações semióticas de Duval (1995, 2003, 2009, 2011) e do Letramento

Probabilístico de Gal (2005, 2012), os quais fundamentaram o presente estudo.

Descrevemos, também, os trabalhos pesquisados na literatura acadêmica que

contribuíram para a elaboração deste estudo.

1.1 Os Registros de Representações Semióticas

Segundo Duval (2009), as representações são produções constituídas pelo

emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas

dificuldades próprias de significado e funcionamento.

Essas representações constituem os graus de liberdade de que um sujeito

pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda confusa, um sentimento

latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um

interlocutor (DUVAL, 2009, p.37).

Assim, podemos conceber registro como o sistema semiótico constituído por

representações que possuem regras próprias e que permitem uma relação ou

comparação com outras representações. Duval (1995) afirma que, para um sistema

semiótico ser considerado um registro de representação semiótica, ele deve admitir

três atividades cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão. Essas

atividades, quando verificadas, determinam a diferenciação entre os sistemas

semióticos.

Duval (2003) afirma que as representações semióticas não são somente meios

de exteriorização de ideias e pensamentos, mas são também essenciais para a

atividade cognitiva do pensamento. O autor difere a semiósis, capacidade de

absorção ou produção de uma representação semiótica de um objeto, da noésis,

apreensão conceitual do objeto representado. Ele afirma que, na aprendizagem

matemática, semiósis e noésis são inseparáveis, isto é, para que ocorra a

apreensão de um objeto matemático, é necessário que a formação do conceito

(noésis) aconteça por meio do emprego de signos que possam gerar

representações, ou seja, semiósis.

24

Os registros de representações semióticas são o resultado de uma produção

pelo emprego de regra de sinais ou de símbolos, que são expressos por meio de

enunciados em língua natural, fórmula algébrica, figuras e gráficos inerentes ao

objeto. Proporcionam aos indivíduos a exteriorização de suas representações

mentais, tornando-as visíveis por meio de uma troca de informações entre os

participantes desse processo.

Ainda segundo o autor, o objeto matemático possui conteúdo e forma, sendo o

conteúdo o objeto pelo qual estamos nos referindo e a forma, o modo pelo qual ele

está se apresentando. Na Matemática, somente conseguimos acessar os objetos

por meio de representações, pois os conteúdos matemáticos são abstratos, fato que

diferencia essa ciência das demais, dado que na Física, na Biologia e em outras

áreas, é possível tal acesso por outros meios.

As representações semióticas contribuem de forma muito significativa no

desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.

Ainda, “os registros são sistemas cognitivamente produtores, ou mesmo criadores de

representações novas, e a produção de novas representações permite descobrir

novos objetos” (DUVAL, 2011, p. 72).

Duval (2003) classifica as representações semióticas em quatro grandes

registros, conforme o quadro a seguir:

Quadro 2 : Classificação dos Registros de Representações Semióticas.

Fonte: Duval, 2003, p. 14

Representação Discursiva Representação Não Discursiva

Registros Multifuncionais

Os tratamentos não são algoritmizáveis.

Língua natural Associações verbais (conceituais). Formas de raciocinar: argumentação a partir de

observações, de crenças...; dedução válida a partir de

definição ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).

apreensão operatória e não somente perceptiva;

construção com instrumentos.

Registros Monofuncionais

Os tratamentos são principalmente algoritmos.

Sistemas de escritas numéricas (binária, decimal,

fracionária ...); algébricas; simbólicas (línguas formais).

Cálculo

Gráficos cartesianos mudanças de sistemas de coordenadas;

interpolação, extrapolação.

25

Para Duval (2003), a compreensão em Matemática supõe a coordenação de ao

menos dois registros de representação semiótica, que podem ser a própria língua

natural e as figuras geométricas e os sistemas de escrita numérica, algébrica,

simbólica, esquemática e gráfica.

Os registros monofuncionais possuem características próprias na Matemática,

pois seu uso é mais evidente nessa área de conhecimento. De forma mais

específica e restrita, apresentam-se nos gráficos cartesianos e nos sistemas de

escritas numérica, algébrica e simbólica.

Os registros multifuncionais são utilizados também em outras áreas do

conhecimento, cujo uso se concentra nas funções de objetivação e de comunicação.

É possível identificá-los de forma mais evidente no uso da linguagem natural e nas

representações das formas geométricas.

As funções de representações podem ser classificadas em internas ou

externas e, em relação ao nível de consciência aplicado pelo indivíduo no

desenvolvimento de uma tarefa, são classificadas em conscientes ou não

conscientes. Podemos representar essa classificação por meio do Quadro 3.

Interna Externa

Consciente Mental

Função de Objetivação

Semiótica

Função de Objetivação

Função de Expressão

Função de Tratamento

Intencional

Não-consciente Computacional

Função de tratamento

automático ou quase

instantâneo

Quadro 3 – Tipos e funções de representações Fonte: Duval (2009), p.43

As representações externas ocorrem por meio da operacionalização de um

sistema semiótico. Elas possuem características da transmissão de informações

entre os indivíduos, os quais estabelecem uma comunicação pela produção de

representações. Dentre as funções que apresentam essas características, existem

26

as de tratamento e as de objetivação, sendo que estas últimas possuem

características tanto externas quanto internas.

A função de tratamento é caracterizada pela transformação de uma

representação em outra no interior de um mesmo registro. A função de objetivação,

quando externa, é caracterizada pela exteriorização daquilo que ainda não foi

realizado e, quando interna, é caracterizada pela conscientização daquilo que ainda

não foi realizado. As representações internas pertencem ao indivíduo e não são

passadas pela produção de outras representações.

Duval (2003) explica que, na resolução de um problema, um registro pode

aparecer explicitamente privilegiado. No entanto, no ensino de Matemática, sempre

devemos nos atentar para a possibilidade de utilização de mais de um registro.

Neste caso, ele define a conversão como a transformação que parte de uma

representação em um registro em direção a uma representação em outro registro.

Para que isso ocorra, é necessário explicar as variáveis visuais pertinentes aos

registros envolvidos. Essas transformações podem ser realizadas entre

representações dos registros da língua natural, simbólico, figural e gráfico.

As conversões, na perspectiva de Duval (2003), podem se apresentar de

duas formas: como conversões congruentes ou como conversões não congruentes.

Para verificar a congruência de uma conversão, devem ser analisados três critérios:

a possibilidade de uma correspondência semântica entre os elementos significantes,

a univocidade semântica e a ordem dentro da organização das unidades de

composição de cada uma das duas representações.

A possibilidade de uma correspondência semântica entre os elementos

significantes é dada a partir da associação de cada unidade do significante da

representação de partida com cada unidade do significante da representação de

chegada. A univocidade semântica terminal é dada quando cada unidade

significante da representação de saída corresponde a uma só unidade significante

do registro de chegada. A ordem dentro da organização das unidades de

composição é dada quando cada uma das duas representações apresentam o

mesmo número de dimensões, ou a mesma arrumação das unidades quando as

representações são comparadas.

No presente estudo, foram utilizados os registros de representações

semióticas da língua natural materna, figural e simbólico. Almejávamos, com o uso

desses registros de representações, que os sujeitos de nossa pesquisa

27

construíssem o conhecimento por meio da mobilização e coordenação de diferentes

registros.

Para Duval “uma representação semiótica só é interessante à medida que ela

pode se transformar em outra, e não em função do objeto que ela representa”

(Duval, 2011, p.52). Dessa forma, a representação semiótica se torna interessante

para a abordagem de algum conteúdo à medida que podemos utilizá-la para realizar

uma conversão, o que poderá provocar uma reversão do ponto cognitivo sobre

essas diferentes representações.

Destaca-se, como característica fundamental dos encaminhamentos

matemáticos em um registro de representação semiótica, o poder de criação

inerente das operações discursivas dadas ou obtidas no contexto de um problema

proposto, com sua diversidade de graus de explicitação ou de sintetização das

variáveis presentes nesses registros. Esses graus estão relacionados com a

congruência das representações.

No esquema do Quadro 4, podem ser observados alguns exemplos de

tratamento e de conversão de registros, dentro da perspectiva da probabilidade

condicional.

28

Registro Exemplo

Registro da Língua Natural Materna

Num grupo de turistas temos dezoito argentinos, sendo oito mulheres e vinte

e dois brasileiros, com 10 mulheres.

18 argentinos, sendo 10 homens e 8 mulheres; 22 brasileiros, sendo 10 mulheres e 12 homens.

Registro Figural

de tabela de dupla entrada

Homens 22

Mulheres 18

Brasileiros 22

Argentinos 18

Argentinos Brasileiros

Homens 10 12

Mulheres 8 10

de árvore de possibilidades

de árvore de probabilidades

Registro

Simbólico

na forma algébrica

na forma numérica

Quadro 4 – Exemplos dos registros utilizados neste trabalho Fonte: Acervo próprio

Tratamento

Conversão

Situação

B

A

H

M

H

M

P (H I A)

P (H I B)

P (A) P (M I A)

P (B)

P (M I B)

P (H ∩ A)

P (M ∩ A)

P (H ∩ B)

P (M ∩ B)

Situação

B

A

H

M

H

M

H I A

H I B

A M I A

B

M I B

H ∩ A

M ∩ A

H ∩ B

M ∩ B

Situação

B

A

H

M

H

M

H I A

H I B

A M I A

B

M I B

P (B I H)

B

A H

M

P (A I H)

P (M)

P (B I M)

P (H)

P (A I M)

P (H ∩ A)

P (M ∩ A)

P (H ∩ B)

P (M ∩ B)

Situação

BRA

ARG

H

M

H

M

P (H I A)

P (H I B)

P (A) P (M I A)

P (B)

P (M I B)

P (H ∩ A)

P (M ∩ A)

P (H ∩ B)

P (M ∩ B)

A

B

Situação

29

Neste trabalho, ao propormos atividades de conversão entre esses registros de

representação na exploração dos conteúdos de probabilidade e dos problemas

condicionais, tivemos a intenção de propiciar um ambiente que permitisse ao

estudante transitar por diversas formas de representação, visando à construção do

objeto matemático deste estudo.

No que tange à Probabilidade, foi proposto aos estudantes que realizassem a

conversão da língua natural materna para os registros da tabela de dupla entrada ou

para o registro do diagrama da árvore. Dependendo do problema de probabilidade, o

custo do tratamento (transformação de uma representação dentro de um mesmo

registro) pode ser menor dentro de um registro do que em outro.

Além de utilizar o referencial teórico de Duval dos registros de representações

semióticas, o experimento de ensino foi desenvolvido na perspectiva do Letramento

Probabilístico proposto por Gal (2005, 2012), que dispõe sobre os requisitos

desejáveis para que os estudantes alcancem o nível de letramento em

Probabilidade.

1.2 O Letramento Probabilístico

Vários conceitos probabilísticos têm sido utilizados pela mídia para transmitir

informações, como, por exemplo, notícias sobre previsões meteorológicas, cálculos

dos riscos de incidência de doenças, aplicações de mercado, dentre outras.

Dada a presença desses conceitos na vida cotidiana de nossos estudantes,

Gal (2012) aponta que se torna necessário o desenvolvimento de certas habilidades

para torná-los capazes de interpretar corretamente informações probabilísticas

normalmente encontradas na mídia, no local de trabalho e em contextos de ação

cívica. Dessa forma, o autor afirma que há a necessidade de se abordar situações

que possam proporcionar aos estudantes a instrução necessária para acessar,

utilizar, avaliar criticamente, comunicar e reagir a mensagens probabilísticas

encontradas em contextos de leitura, compreender textos apresentados em gráficos

e tabelas de dupla entrada.

De acordo com Gal (2005), o individuo “letrado” em probabilidade é capaz de

ler e interpretar informações probabilísticas presentes no seu cotidiano, tendo um

conjunto mínimo de habilidades básicas formais ou informais (crenças e atitudes na

perspectiva crítica).

30

Dessa forma, Gal (2012) define Letramento Probabilístico como:

A capacidade de acessar, utilizar, interpretar e comunicar informações e

ideias relacionadas com a probabilidade, a fim de envolver e gerir de forma

eficaz as demandas de papéis do mundo real e as tarefas que envolvem

incertezas e riscos. (GAL, 2012, p.4, tradução nossa).

O autor propõe cinco elementos cognitivos, denominados Abordagem de

Grandes Tópicos, Cálculos Probabilísticos, Linguagem, Contexto e Perguntas

Críticas, e três elementos disposicionais, Postura Crítica, Crenças e Atitudes, e

Sentimentos Pessoais sobre Incerteza e Risco. Segundo Gal (2005), esses

conjuntos de elementos são necessários para que uma pessoa seja considerada

letrada em Probabilidade.

Tendo em vista que o presente estudo tem o interesse específico nos aspectos

cognitivos, não nos aprofundaremos nos elementos disposicionais. Detalharemos,

então, apenas os cinco elementos cognitivos propostos por Gal (2005).

O primeiro elemento cognitivo, denominado Abordagem de Grandes Tópicos,

envolve temas como variação, aleatoriedade, independência e previsão/incerteza.

Para Gal (2005), a familiaridade com esses tópicos pode possibilitar aos alunos um

entendimento da representação, da interpretação e das implicações de afirmações

probabilísticas.

O segundo elemento cognitivo, Cálculos Probabilísticos, é representado pelas

formas de encontrar ou estimar a probabilidade de eventos. Nesse caso, os alunos

devem se familiarizar com os diferentes caminhos para o cálculo de probabilidade

dos eventos, para que, desta maneira, possam entender as afirmações

probabilísticas feitas por outras pessoas, gerar estimativas sobre a possibilidade dos

eventos e ter condições de se comunicar.

O terceiro elemento cognitivo, Linguagem, refere-se aos métodos utilizados

para comunicar resultados probabilísticos. O domínio de probabilidade requer

familiaridade com vários conceitos complexos, especialmente variabilidade,

aleatoriedade, independência, previsibilidade e certeza, chance, possibilidade ou

risco. Entretanto, na maioria das vezes, esses termos abstratos não têm definições

triviais que possam ser explicadas em linguagem simples ou por meio de referências

a objetos reais. Por essa razão, os seus significados muitas vezes só podem ser

entendidos depois de um processo acumulativo.

31

O quarto elemento cognitivo, Contexto, revela a importância da compreensão

do papel e dos significados de mensagens probabilísticas em diferentes contextos,

para desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e

intervenção no mundo real.

O quinto elemento cognitivo, Perguntas Críticas, tem como propósito possibilitar

ao estudante refletir e questionar criticamente uma estimativa ou uma declaração

probabilística. Segundo Gal (2012), os alunos tendem a estimar probabilidades

utilizando-se de certos métodos, sem necessariamente pensar sobre aleatoriedade,

variedade, independência ou os riscos que podem surgir ao utilizar caminhos

diferentes daqueles provenientes de aspectos formais.

Na próxima seção, serão descritos os estudos presentes na literatura científica

que colaboraram para a construção deste trabalho.

1.3 Revisão de Literatura

Nesta seção, são apresentados os trabalhos que tratam do conteúdo de

probabilidade condicional e que contribuíram para a construção do presente estudo.

A opção por analisar tais trabalhos segue as problemáticas inerentes ao estudo de

probabilidade condicional, evidenciadas por Tversky e Kahneman (1980), Falk

(1986), Diaz e La Fuente (2006) e Borovcnik (2012). Para isso, o ponto de partida é

a organização das problemáticas proposta por Falk (1986), que identificou

problemas relacionados às relações entre causa e condicionamento, à determinação

do evento condicionante, às falácias da conjunção e da condicional transposta. São

descritos, também, estudos que recomendam o uso de recursos didáticos e

tecnológicos para o ensino da probabilidade condicional.

1.3.1 As relações entre causa e condicionamento

A maneira como os alunos compreendiam a probabilidade condicional foi

objeto de investigação da pesquisadora da área de psicologia da Universidade

Hebraica, Rumma Falk (1986). Em seu estudo, a autora apresentou aos sujeitos a

seguinte situação-problema:

32

Uma urna contém duas bolas brancas e duas bolas pretas. Denotaremos o evento “sair bola branca” por (A) e o evento “sair bola preta” por (B). Ao retirarmos aleatoriamente duas bolas, uma após a outra e sem reposição, qual a probabilidade de a segunda bola ser branca dado que a primeira foi branca? Ou seja, P(A2 I A1)? (FALK, 1986, p. 292, tradução nossa).

Figura 1: A urna de Falk

Fonte: Acervo próprio

Falk (1986) constatou que os sujeitos de sua pesquisa consideraram o

problema de fácil resolução e apresentaram como resposta o valor correto

.

Ao propor a probabilidade inversa, P(A1 I A2), Falk (1986) constatou que alguns

sujeitos consideraram o problema sem sentido, alegando inclusive que não seria

permitido o condicionamento da probabilidade de um resultado de um evento que

ocorre depois. Entre os sujeitos que apresentaram uma resolução, a maioria

respondeu

, enquanto o correto seria

.

Em relação às respostas dadas pelos sujeitos de sua pesquisa, a autora

observou a recusa deles em aceitar evidências como a ocorrência posterior de um

evento, a formação de julgamentos probabilísticos equivocados e a falta de reflexão

em relação a situações que envolvem causalidade.

Enquanto o resultado do segundo sorteio depende causalmente do que

resulta o primeiro, o inverso não é verdadeiro. Ainda assim, temos o impacto

informacional que a condicionalidade de A2 em A1 é a mesma que de A1 em A2.

Segundo Falk (1986), psicologicamente esses dois problemas não são

percebidos como simétricos e o centro do problema está na forma como este é

direcionado ao nosso estado do conhecimento. A partir do momento em que

soubermos que a segunda retirada resultou em uma bola branca, teremos avançado

além do estágio inicial, ou seja, perceberemos que, neste caso,

P(A2 I A1) = P(A1 I A2)=

.

Ao analisar esses resultados, a pesquisadora concluiu que os sujeitos do

estudo basearam sua resposta apenas na composição da urna, desde o início da

experiência, não considerando a informação sobre o resultado posterior. Os sujeitos

da pesquisa argumentaram que, antes da primeira retirada, o segundo sorteio ainda

33

não havia sido realizado, e o resultado da primeira bola não sofreria interferência se

o resultado da segunda fosse branca ou preta.

Falk (1986) classifica a dificuldade de considerar a evidência após a

ocorrência do evento, ou seja, de assumir que o evento condicionado deve preceder

o evento condicional temporariamente, como falácia do eixo temporal.

Como sugestão para amenizar essa dificuldade, a autora indicou a

apresentação aos alunos de alguns exemplos de situações cotidianas ou de

situações recentemente resolvidas a partir da informação utilizada, para modificar as

avaliações anteriores da probabilidade de eventos incertos.

Borovcnik (2012) utilizou em seu estudo o mesmo problema proposto por Falk

(1986), evidenciando que seus sujeitos, assim como os de Falk, revelaram que a

probabilidade de sair uma bola branca na segunda retirada era

, considerando,

assim, somente a composição inicial da urna. Os sujeitos não observaram que a

probabilidade seria de

, uma vez que haveria a possibilidade de se extrair somente

mais uma bola branca dentre as três restantes na urna. Diante disso, a partir da

produção dos sujeitos, Borovcnik (2012) concluiu que as causas precedem os

efeitos.

Para a obtenção da condicional inversa, Borovcnik (2012) afirmou que a

diversidade de estratégias pessoais é de conhecimento geral, especialmente para a

percepção de uma interferência causal. Dessa forma, considerando que no primeiro

sorteio havia duas bolas brancas e duas bolas pretas, a probabilidade de obter a

primeira bola branca, sabendo que a segunda era branca, era dada pelos sujeitos

como

, ou seja, eles acreditavam que essa probabilidade não se alterava na

realização de eventos posteriores. Para os sujeitos, a probabilidade posterior não

poderia influenciar a probabilidade do evento anterior, ao contrário do que ocorre

com a condicional inversa.

Para Borovcnik (2012), este pensamento é característico de um paradigma

causal, ou seja, para os sujeitos, primeiro ocorre a causa e a consequência ocorre

posteriormente. Além disso, essas variações da urna no problema de Falk (1986)

indicam que parece haver certa divisão em dois níveis entre essas duas ideias. Para

o autor, o nível mais alto atua por meio das razões lógicas, isto é, dos esquemas

causais, e outro mais baixo, atua por meio do raciocínio probabilístico.

34

Diaz e La Fuente (2006), ao utilizarem a mesma situação-problema,

observaram que os sujeitos apresentaram o mesmo tipo de dificuldade. Elas

consideraram que, na primeira situação, a primeira inferência causal é natural e

compatível com o eixo do tempo. Já a segunda "inferência para trás" parece criar

uma dificuldade para o raciocíonio probabilístico, uma vez que é indiferente à ordem

temporal.

Em relação a mesma problemática, Tversky e Kahneman (1980) investigaram

os julgamentos da probabilidade condicional de um evento X, dado em

relação a D. Ao realizar uma análise, os autores relataram que é possível distinguir

diferentes tipos de relações entre o juízo concebido entre D e X. Se D é percebido

como causa de X, então D é uma referência causal. Por outro lado, se X é tratado

como uma possível causa de D, D é tratado como um dado diagnóstico. Em um

tratamento da probabilidade condicional, uma distinção entre os vários tipos de

relação de D para X é imaterial e o impacto dos dados depende unicamente de sua

informatividade.

Tversky e Kahneman (1980) mostraram, em estudo que tratou da mesma

problemática, que o impacto psicológico dos dados depende criticamente do papel

deles sobre um esquema causal. Devido à prevalência de esquemas causais em

nossa percepção do mundo, os dados causais têm maior impacto na nossa

inferência probabilística do que outros dados de igual informatividade.

Esses autores propuseram um problema no qual foi solicitado aos sujeitos

que comparassem duas probabilidades condicionais, e para um

par de eventos positivamente correlacionados X e Y, de tal modo que X era

naturalmente visto como uma causa de Y, com = (tal como no

exemplo anterior das duas retiradas). Foi observado nesse estudo que a maior parte

dos sujeitos julgou uma relação causal mais forte do que a inversa (de diagnóstico),

relacionando erroneamente que > .

Esses autores contextualizaram essa situação com o seguinte exemplo:

Considerando que as proporções de olhos azuis nas duas gerações de uma família são iguais, qual a probabilidade de uma menina ter olhos azuis sabendo que sua mãe tem olhos azuis? (TVERSKY E KAHNEMAM, 1980, p.118, tradução nossa).

Diante dessa situação, a maior parte dos sujeitos da pesquisa considerou que

a probabilidade de uma menina ter olhos azuis se a mãe tem olhos azuis, era maior

que a probabilidade de a mãe ter olhos azuis se sua filha tem olhos azuis, embora

35

tenham sido consideradas as proporções de indivíduos de olhos azuis nas duas

gerações como iguais.

Essas situações trazem à luz conhecimentos psicológicos e didáticos

envolvidos nesses casos das condicionais, porém, consideramos que o exemplo de

Falk (1986) das duas retiradas (em que os dois eventos são negativamente

correlacionados) fornece um caso de maior impacto na análise de desempenho das

provas causais em relação às provas de diagnóstico, devido à total negação, por

parte dos sujeitos da pesquisa, da relevância deste último tipo de prova.

1.3.2. A problemática da determinação do evento condicionante

A problemática da determinação do evento condicionante consiste na

dificuldade de determinar que a probabilidade do evento em questão deve ser

condicionada ao evento imediato, dado como ponto de referência no problema, e

não em algum evento inferido. Essa problemática também foi destacada por

diversos autores, tais como Gardner (1959), Freund (1965), Mosteller (1965), Falk

(1978), Betteley (1979), Bar-Hillel e Falk (1982) e Falk (1986).

Falk (1986) evidenciou essa problemática ao propor a seguinte situação,

conhecida como o problema das três cartas.

Três cartas estão em um chapéu. Uma carta é azul em ambos os lados, outra é verde em ambos os lados, e a outra é azul de um lado e verde do outro. Retiramos uma carta ao acaso de dentro do chapéu e colocamos em cima da mesa. O lado visível da carta retirada é azul. Qual é a probabilidade de que o lado oculto também seja azul? (FALK, 1986, p. 293, tradução nossa).

Analisando o espaço amostral, verificam-se os seis resultados do

experimento, ou seja, as seis faces das três cartas, as quais têm a mesma

probabilidade de representar a face superior sobre a mesa, como garantido pelo

procedimento experimental.

Segundo Falk (1986), a maioria dos sujeitos de sua pesquisa forneceu

espontaneamente a resposta

, enquanto o correto seria

. Eles condicionaram o

cálculo desse evento ao fato de a carta com as duas faces verdes estar fora da

análise e acabaram considerando que a probabilidade de sair face azul seria dada

por um caso dentre as duas que tinham faces azuis. A autora revelou que, embora

os sujeitos estivessem certos ao considerarem que a dupla carta verde não poderia

36

ser a carta que estava sobre a mesa e que não seria o caso condicionar a

probabilidade do evento em questão, esse acontecimento condicionado não foi

definido no espaço amostral, ou seja, não foi relacionado entre os possíveis

resultados desse experimento.

A resolução desse problema é apresentada a seguir.

Frente Verso

ou

Figura 2 – Resolução do problema das três cartas de Falk Fonte: Acervo próprio

Ao analisar as dificuldades dos sujeitos, Falk (1986) observou que os sujeitos

não identificaram que a situação consistia em uma série de experiências sucessivas.

A este respeito, a autora afirmou que existem dois tipos de situações relacionadas à

probabilidade condicional, as situações sincrônicas e as situações diacrônicas.

As situações sincrônicas são situações estáticas, isto é, são realizadas

simultaneamente e, nesse caso, as probabilidades se mantêm. Nas situações

diacrônicas, ou seja, situações nas quais uma experiência é efetuada após a outra,

as probabilidades se alteram.

O problema a seguir, que se trata de uma situação diacrônica, proposto por

Tversky e Kahneman (1980), indica a extração das probabilidades condicionais, por

meio da análise do resultado de um exame diagnóstico, amniocentese, para verificar

as possibilidades dos sexos dos fetos, em caso de gêmeos.

Situação

3/6

3/6

1/3

2/3

1/3

2/3

A1

A1

V1

A2

V2

V1

A2

A1

V1

A1

V1

V2

37

Uma mulher está grávida de gêmeos. Ao considerarmos as três combinações possíveis de gêmeos - dois meninos (XY e XY), duas meninas (XX e XX), um menino e uma menina (XY e XX) – estes resultados são conhecidos por serem equiprováveis. Um teste cromossômico é realizado em células aleatórias da bolsa amniótica e os resultados mostram que é um menino. Qual é a probabilidade de que a mulher esteja esperando dois meninos? (TVERSKY E KAHNEMAM, 1980, p.118, tradução nossa).

Figura 3 – Possibilidades de gêmeos Fonte: Adaptado de HowStuffWorks, 2005

Da mesma forma do problema das cartas, citado anteriormente, sabemos

que, embora seja verdade que a possibilidade de duas meninas está descartada

pelo resultado do teste, as outras duas possibilidades não são igualmente prováveis.

Se a mulher está grávida de dois meninos, o resultado do teste é duas vezes mais

provável do que no caso em que ela está esperando um menino e uma menina.

Portanto, a probabilidade de serem dois meninos, sabendo que o teste demonstrou

como resultado “menino”, é de

.

O foco principal das duas versões, das cartas no chapéu e do exame para

identificar o sexo dos fetos, é a probabilidade de o evento alvo ser condicionado ao

evento imediato, dado como ponto de referência no problema e não em algum

evento inferido. O evento condicionado não deve coincidir com a conclusão válida "o

cartão com as duas faces verdes está fora" ou "duas meninas estão fora". Ele deve

ser definido diretamente pelo procedimento experimental do problema, ou seja, "um

lado selecionado aleatoriamente de um cartão é azul" ou “um feto selecionado

aleatoriamente a partir de uma gravidez de gêmeos é um menino”.

Para analisar a importância do raciocínio condicional, Borovcnik (2012),

investigou o conceito de probabilidade com o uso de ideias convergentes e de

estratégias de resolução. Para isso, recorreu à exploração de contextos médicos,

além de situações condicionais existentes na literatura acadêmica. O autor utilizou o

problema acima, que possui resolução análoga ao problema das cartas no chapéu,

citado anteriormente.

38

Ainda com relação ao uso de contextos médicos para a exploração de

probabilidades, o autor destaca que além da equiparação dos resultados das

condicionais, ainda temos o problema da interpretação entre causa e efeito.

Nesse sentido, Borovcnik (2012) afirma que o cálculo de probabilidades

condicionais corresponde às intuições das pessoas, unindo tanto estratégias não

probabilísticas como probabilísticas em problemas bayesianos. Para o autor, as

estratégias de ensino devem explorar essas condicionais sem envolver tempo e

causa, apresentando-as como um conceito amplo para integrar qualquer tipo de

tomada de decisão para avaliar uma probabilidade.

Segundo Falk (1986), o método pelo qual obtemos os dados é crucial na

determinação de um novo evento condicionado, ou seja, o importante não é apenas

determinarmos o que sabemos, mas também determinarmos como conhecemos.

Para Falk (1986), os exemplos das cartas no chapéu e da possibilidade de

gêmeos do mesmo sexo destacam o papel vital do conceito básico explorado a partir

de experimentos probabilísticos, ou seja, os resultados desses experimentos

auxiliam a definir o novo espaço amostral do experimento. Assim, para a autora,

uma forma de promover o ganho de conhecimentos referentes a tais problemas

consiste na utilização de um dispositivo de modelos experimentais, a fim de explicar

o procedimento exato que gerou os dados para descobrir pressupostos ocultos.

1.3.3. Falácia da conjunção

A falácia da conjunção foi evidenciada por Tversky e Kahneman (1980) como

a crença de que é mais provável a intersecção de dois acontecimentos do que a

probabilidade de qualquer um dos acontecimentos que constituem essa situação, ou

seja, a probabilidade da intersecção é considerada maior do que a probabilidade

isolada de cada evento, P(AB) > P(A) e P(AB) > P(B).

Nesse mesmo sentido, Tversky e Kahneman (1980), Falk (1986), Einhorn e

Hogarth (1986), Pollatsek, Well, Konold e Hardiman (1987), Ojeda (1995) e Diaz e

La Fuente (2006) afirmam que a confusão entre as probabilidades condicional e da

intersecção está relacionada com essa falácia.

Pollatsek, Well, Konold e Hardiman (1987) reforçaram as afirmações de Falk

(1986). Nesse estudo, os autores evidenciaram que muitos dos problemas que os

sujeitos apresentaram na compreensão da probabilidade condicional foram

39

decorrentes de dificuldades de compreensão dos enunciados das tarefas. Nesse

estudo, os pesquisadores verificaram que os alunos confundiam os significados das

probabilidades condicionais e da intersecção, isto é, P(A | B) com P(A ∩ B),

confusão que se tornou particularmente evidente quando da interpretação de

enunciados de problemas que implicavam a identificação destas probabilidades.

Einhorn e Hogarth (1986) propuseram um problema a vinte e quatro alunos,

com frases que utilizavam a conjunção "e". Por exemplo, foi proposta a seguinte

questão: "Qual é a probabilidade de eles irem ao supermercado e comprarem

café?". Os autores concluíram que 9 dos 24 alunos interpretaram essa questão

como uma situação condicional, entendendo-a como P(comprar café │ ir ao

supermercado). Os autores observaram que esses tipos de frases podem levar os

sujeitos a confundir a probabilidade da intersecção com a probabilidade condicional.

Ojeda (1995) realizou uma pesquisa que consistiu em questões que

envolviam a intersecção de eventos e eventos condicionais. Os sujeitos desse

estudo consideraram que as questões sobre a probabilidade da intersecção são

mais complexas que as de probabilidade condicional. Além disso, o autor apontou

como resultado que mais da metade dos sujeitos de seu estudo interpretou a

interseção como condicional. Ao final da pesquisa, o autor concluiu que essa

confusão está ligada a dificuldades de interpretação, compreensão e execução de

tarefas que envolvem situações condicionais.

Tversky e Kahneman (1983) propuseram aos estudantes de um curso de

formação em Estatística a situação apresentada a seguir, que também foi utilizada

posteriormente por Diaz e La Fuente (2006).

Quadro 5 – Problema 8 Fonte: Assessing Psychology Students Difficulties with conditional probability and Bayesian reasoning - Diaz e La Fuente, 2006 – p. 7

Foi realizada uma pesquisa em um grupo de homens de uma população e como resultado dessa pesquisa, obtivemos os seguintes resultados:

Menos de 55 anos Mais de 55 anos Total

Sofreu ataque cardíaco 29 75 104

Não sofreu ataque cardíaco 401 275 676

Total 430 350 780

Ao escolhermos ao acaso um desses homens: a) Qual o percentual de homens que tem mais de 55 anos que sofreu um ou mais ataques

cardíacos?

b) Qual o percentual de homens apresentou um ou mais ataques cardíacos?

40

Tversky e Kahneman (1983) relataram que a maior parte dos sujeitos indicou

que (a) é mais provável que (b), o que viola a regra da intersecção. Além disso, eles

relataram taxas similares de violações em várias variações dessa questão, inclusive

injetando mais alternativas e usando um personagem fictício diferente. Os autores

afirmaram que essa dificuldade, a falácia da conjunção, está associada ao fato de

considerar um dos resultados do conjunto como o mais representativo da população,

gerando, dessa forma, cada evento separadamente, bem como o fato de que ao

pensar na intersecção, os sujeitos pensam ou imaginam uma categoria ou modelo

mais restrito.

Tanto Tversky e Kahneman (1980) quanto Diaz e La Fuente (2006)

constataram que seus sujeitos deram uma porcentagem mais elevada para a

primeira pergunta do que para a segunda.

1.3.4. Falácia da condicional transposta

Falk (1986) defende que o problema da condicional está associado ao fato de

que muitos alunos não diferenciam adequadamente os dois sentidos da

probabilidade condicional | e | . Esse erro foi denominado por esse

autor como falácia da condicional transposta.

Segundo Diaz e La Fuente (2006), fatores que geram dúvida na maioria dos

alunos estão relacionados às situações sincrônicas (simultâneas) e as diacrônicas

(sequenciais). As sincr�

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