Probabilidade Condicional

Aula 6

Profa. Dra. Juliana Garcia CespedesUNIFEI

Exemplo

• Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade no ano passado:

Sexo Homens MulheresCurso (H) (F) Total (cursos)

Matemática Pura (M) 70 40 110Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30Computação (C.) 20 10 30Total (sexo) 115 85 200

• Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de que seja mulher?

• Do total de 30 alunos que estudam • Do total de 30 alunos que estudam Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos:

3

2

30

20)aEstatístic|mulher( P

Probabilidade condicional

Probabilidade condicional

• Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas.

• A informação do que ocorreu em determinada • A informação do que ocorreu em determinada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrências das etapas sucessivas.

• Neste casos, dizemos que ganhamosinformação e podemos “recalcular” as probabilidades de interesse.

Probabilidade condicional

• DEF: Dados dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P(A|B) e é dada por:

• Se P(B) = 0 usaremos P(A|B) = P(A)

0)(,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

Voltando ao exemplo

• Se B indicar o evento: aluno matriculado em estatística, e A o evento: aluno é mulher, então:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

O aluno estar matriculado em estatística e o aluno é mulher.

3

2

200/30

200/20

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Como havíamos obtido !

Inferência Bayesiana

• Observe que P(A) = P(mulher) = 85/200, e com a informação de que B ocorreu (o aluno é matriculado em Estatística), obtém-se: P(A|B)=2/3.

• Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori • Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori de A e, com a informação adicional de B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori , P(A|B).

• P(A|B)>P(A), logo a informação de que B ocorreu aumentou a chance de A ocorrer.

Regra do produto deprobabilidades

• Da definição de probabilidade condicional deduzimos a regra do produto de probabilidades:

• DEF: Sejam A e B eventos de Ω. Então,

0)(com),()|()( BPBPBAPBAP

Exemplo

• Uma grande região de 100km2 tem um aqüífero subterrâneo com área igual a 2 km2 cuja localização é desconhecida. Para determinar a posição do aqüífero, perfurações são feitas ao acaso.

Ω = Região (100 km2)

• Considere o evento H: Encontrar água:

• Após um ano de pesquisas, uma área de 20 km2 já foi perfurada sem encontrar água e pode ser descartada.

02,0100

2)( HP

perfurada sem encontrar água e pode ser descartada. Representamos esse evento por I

• Qual é agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aqüífero? P(H|B)=2/80 = 0,025

• Considere como evento B: a nova região de procura.

Essa região é igual a área inicial menos a área perfurada = 100km2 -20km2 = 80 km2.

• Portanto a probabilidade do evento B é

P(B) = 80/100 = 0,8P(B) = 80/100 = 0,8

• O evento HB representa a ocorrência de, sem informação auxiliar, encontrarmos água num furo feito na região B.

P(HB)=P(H)=0,02.

• Então a probabilidade de encontrar água dado que a região é 80 km2 é:

02,0)( BHP025,0

8,0

02,0

)(

)()|(

BP

BHPBHP

Exemplo

• Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma é escolhido ao acaso.

1. Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão?

Resposta 1• Se o aluno sabe resolver a questão, ele tem probabilidade

1 de acertá-la, enquanto, se ele não sabe, sua probabilidade de acerto é 1/5 = 0,2.

P(acerta|sabe) = 1, enquanto P(acerta|não sabe) = 0,2.

• Podemos então obter as seguinte probabilidades:• Podemos então obter as seguinte probabilidades:

P(sabe e acerta) = P(sabe)·P(acerta|sabe) = 0,5 · 1 = 0,5

P(não sabe e acerta) = P(não sabe)·P(acerta|não sabe) =

= 0,5 · 0,2 = 0,1

• Finalmente,

P(acerta) = P(sabe e acerta) + P(não sabe e acerta)

= 0,5 + 0,1 = 0,6.

Cont. Exemplo

2. Dado que o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele tenha ”chutado”?

• O que desejamos calcular é a probabilidade condicionalde que o aluno não saiba resolver a questão, dado que de que o aluno não saiba resolver a questão, dado que ele a acertou.

Temos:

6

1

6,0

1,0

)acerta(

)acertaesabenão()acerta|sabenão(

P

PP

Independência de eventos

• Um conceito muito importante é o de independência de eventos:

DEF: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a ocorrência de A, ou seja, ocorrência de A, ou seja,

P(A|B)=P(A), para P(B)>0

Ou de forma equivalente:

P(AB)=P(A).P(B)

Não confundir com eventos disjuntos!!!!

Exemplo

• Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade 0,05 e 0,10.

• No início do dia de operação um teste é • No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste ela ficará sem operar nesse dia. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?

• Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i=1,2. • Pelas informações disponíveis temos:

P(O1)=0,95 e P(O2)=0,90

O1

O2

O2c

0,95

0,90

0,10

Árvore de probabilidades,representa os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações.

Assumimos independência entre O1 e O2, pois acreditamos que a eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no comportamento da outra

O1c

O2

O2c

0,05

0,90

0,10

Cada um dos caminhos da árvore representa uma possível ocorrência

)()|( 212 OPOOP

• Então as possíveis ocorrências são:

005,010,005,0

045,090,005,0

095,010,095,0

855,090,095,0

adesProbabilidEventos

21

21

21

21

xOO

xOO

xOO

xOO

cc

c

c

• Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos uma máquina operando. Isto corresponde a união dos três primeiros eventos:

),()()()()()( 212121212121 OOPOOPOOPOOOOOOP cccc

Realizações disjuntas!!!

= 0,995

Teoria da confiabilidade• Esta teoria estuda sistemas e seus componentes, ex.

sistemas mecânicos (automóvel) e eletrônicos (computador).

• O objetivo da teoria é estudar a relação entre o funcionamento dos componentes e do sistema.

• A figura (a) ilustra um sistema composto de dois componentes ligados em série e a figura (b) um sistema em componentes ligados em série e a figura (b) um sistema em pararelo.

1 2

1

2a) b)

Figura (a)

• O sistema funcionará se os componentes 1 e 2 funcionarem simultaneamente. Se um dos componentes falhar, o sistema também falhará.

• Supondo que os componentes funcionem independentemente, e se pi for a probabilidade de o independentemente, e se pi for a probabilidade de o componente i (i=1,2) funcionar, então a probabilidade de o sistema funcionar será:

• Onde indicamos por F o evento “o sistema funciona” e Ai o evento “o componente i funciona”.

212121 )()()()( ppAPAPAAPFP

• A probabilidade pi é a chamada confiabilidade do componente i e P(F) é a confiabilidade do sistema.

Figura (b)

• Se os componentes 1 e 2 estiverem em paralelo, como na figura (b), então o sistema funcionará se pelo menos um dos dois componentes funcionar. Ou seja,um dos dois componentes funcionar. Ou seja,

• E a confiabilidade do sistema é p1+p2-p1p2.

2121

212121 )()()()()(

pppp

AAPAPAPAAPFP

Independência para trêseventos

• Dizemos que os eventos A, B e C são independentes se, e somente se,

)()()(

)()()(

CPAPCAP

BPAPBAP

• Se apenas as três primeiras equações forem satisfeitas, os eventos A, B e C são mutuamente independentes.

)()()()(

)()()(

)()()(

CPBPAPCBAP

CPBPCBP

CPAPCAP

Teorema de Bayes

• Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo teorema de Bayes. A versão mais simples é:

)|()()( ABPAPBAP

• Temos a probabilidade a priori, P(A), e dada a informação de B ocorreu, obtemos a probabilidade a posteriori P(A|B).Atualizamos a probabilidade inicial multiplicando-a por

P(B|A)/P(B)

)(

)|()(

)(

)()|(

BP

ABPAP

BP

BAPBAP

Partição do espaço amostral

• Os eventos C1, C2, ... Cn formam uma partição do espaço amostral se eles NÃO tem intersecção entre si e se a sua união é igual ao espaço amostral.

n

iiji CCC

1

ejipara

C1

C2

C3

C4

C5Partição do espaço amostral (n=5)

Ω

Teorema de Bayes

• Suponha que os eventos C1, C2, ... Cn formem uma partição do espaço amostral e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as probabilidades P(A|Ci) para todo i.

• Então, para qualquer j,

njCPCAP

CPCAPACP n

i ii

jjj ,...,2,1,

)()|(

)()|()|(

1

Exemplo

Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma fiscalização e observou-se que 20% do leite produzido por F1 está com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a proporção era de 5% e 2%. Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.

Qual a probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1? P(F1|A)?

• Considere o evento A: Leite está adulterado.

• Temos que:P(A|F1)=0,20, P(A|F2)=0,05 e P(A|F3)=0,02.

• F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral.

F3

F1

F2

A

)()()()( 321 FAPFAPFAPAP

• Pela regra do produto temos:

• E pelo teorema de Bayes

)()|( FPFAP

)()|()()|()()|()(

)()()()(

332211

321

FPFAPFPFAPFPFAPAP

AFPAFPAFPAP

• Portanto a probabilidade de que a amostra de leite tenha sido produzida pela fazenda F1 é de 0,615.

615,002,05,005,03,02,02,0

2,02,0)|(

)()|()()|()()|(

)()|()|(

1

332211

111

xxx

xAFP

FPFAPFPFAPFPFAP

FPFAPAFP

Inferência Bayesiana

• O teorema de Bayes, que aparentemente poderia ser encarado como mais um resultado na teoria de probabilidades, tem importância fundamental, pois fornece a importância fundamental, pois fornece a base para uma abordagem da inferência estatística conhecida como inferência Bayesiana.