Probabilidade condicional

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Prova 1 27/05

Prova 2 01/07

Recuperação 08/07

Professora Adriane ParragaLivro:Probabilidade e estatística para engenharia e ciênciasJay L. DevoreSexta edição

Apresentaçãoquinta-feira, 6 de maio de 20108:28

Página 1 de Prob e Estatística

A apresentação de dados colocados de forma bem escrita e coerentes são essenciais ao bom julgamento estático

Histogramas (forma gráfica de probabilidade)○

Distribuição de probabilidades○

Formas gráficas:

Construção de um histograma:

Definir a faixa de dados em intervalos de igual espaçamento, chamado classes1)Contar a frequência que a medida aparece dentro do int Frequência cumulativa2)Desenhar o histograma3)

Exercício 1:Foram medidos corpos de prova para determinação da resistência de uma liga metálica sem identificação.105, 97, 245, 163, 207, 134, 218, 199, 160, 196, 221, 154, 228, 131, 180, 178, 157, 151, 175, 201.

Menor valor: 97 - 90Maior valor: 245 - 250

250-90=160 160/4=40

Intervalo de classes Frequência Frequência relativa Frequência relativa cumulativa

90 <=x<= 130 2 2/20=0,1 0,1

130 <x< 170 8 8/20=0,4 0,1+0,4=0,5

170 <=x<= 210 6 6/20=0,3 0,3+0,5=0,8

210 <x<= 250 4 4/20=0,2 0,2+0,8=1

Histograma

Medidas de tendência central e dispersão

Média amostral: se n observações de uma amostra forem bem devotadas por x1, x2, x3....xn então a média da amostra é

Media da população

n=tamanho da populaçãoẍ é uma estimativa razoável da população

Estatística descritivaquinta-feira, 6 de maio de 20108:33


ẍ é uma estimativa razoável da populaçãoVariância e desvio padrão da amostra:Se x1, x2, x3....xn for uma amostra de n observações, estão a variância S² é:

Desvio amostral, representado por S é: s=sqrt(S²)

Calcule o desvio padrão dos seguintes dados:

X Xi Xi-ẍ Sxx S² S

1 0,68 0,68-1,752=-1,072

2 2,54 2,54-1,752=0,788

3 0,92 0,92-1,752=-0,832

4 3,13 3,13-1,752=1,378

5 1,49 1,49-1,752=-0,262

Σ Xi 8,76 Soma desses valores = 0 4,4298

ẍ 8,76/5=1,752

0,68+2,54+0,92+3,13+1,49=8,76

Desvio padrão populacionalVariância:б²=

Mediana: sinônimo de metade ~xÉ o valor do meio quando as observações são ordenadas da menor para a maior

Teoria da probabilidades:Tem objetivo de fornecer modelos matemáticos para experimentos aleatórios

Espaço amostral:a todo experimento está associado um conjunto S, chamado espaço amostral, composto por

todos resultados possíveis do experimento

Ex1: lançamento de um dadoS={1,2,3,4,5,6}Ex2: sexo da próxima criançaS={f,m}Prob: 1/2Ex3: qualidade de uma peçaS={aprovado, reprovado}Ex5: lançamento de um dadoS={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1)....(6,6)}Prob: 1/36

Evento:

É dito que o evento 'a' ocorreu ('a' contido em S) quando o resultado do experimento for

Qualquer subconjunto de S. O evento é denominado simples se existir um único resultado e composto se existir mais de um resultado.


É dito que o evento 'a' ocorreu ('a' contido em S) quando o resultado do experimento for um elemento de 'a'.

Ex:Experimento: lançamento de dado evento a: "resultado par".Caso par: A{2, 4, 6...}

Teoria dos conjuntos:União AUB1)Intersecção AȠB S={vazio}2)Complemento do evento: A=A'3)

Ex seja S=(0, infinito)

E1={x|1<=x<10}E2={x|3<x<118}

E1, U E2 = {x|1<=x<118}a)E1, Ƞ E2 = {x|3<x<10}b)E'1= {x|0<x<1 e x=>10}c)E'1 Ƞ E2 d)

Diagrama de Venn

Recorte de tela efetuado: 6/5/10; 10:18

Axiomos e propriedades da probabilidade

Dado um espaço amostral S, o objetivo da probabilidade e atribuir a cada evento A um (N^S)*P(A) - probabilidade do evento AAxiomasP(s)=11)0<=P(A)<=12)


0<=P(A)<=12)Se A1, A2, A3....Ak for um conjunto finito de eventos mutuamente exclusivos:3)P(A1 U A2 U A3... Uak) = ΣP(Ai), k..i=14)

Propriedades:Para qualquer evento A1 P(A)=1-P(a')1)Se A e B forem mutuamente excludentes P(AȠB) = P(a)+P(B) - P(AȠB)2)

Resultados igualmente prováveis

Quando num espaço amostral S todos os elementos são igualmente provaveis de constituir N resultados possíveis, a probabilidade de cada resultado é 1/N

P(A)=N(A)/N

N(A)= numero de elementos em AN=numero de elementos em S

Ex1:Quando 2 dados são lançados, encontre P(A), onde A=(soma dos 2 dados = &)P(A)=6/36

Ex2:Qual a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda?P(A)= 1/2=0,5

Ex3:Num total de 940pastilhas semicondutoras sendo fabricadas, tem-se as seguintes informações

Centro da ferramenta

Centro Da ferramenta

alta Não Sim

conta Não 514 68

minação Sim 112 246

Eventos:A - pastilhas com altos níveis de contaminaçãoB - pastilhas no centro da ferramenta

Encontre:P(A)= 112+246=358 a)358/940=0,3809

P(B)= 246+68=314 b)314/940=0,334

P(AȠB)= 246/940=0,2617 c)

P(AUB)= 426/940=0,4532 d)

P((AUB)') 1-(426/940)=0,5468 e)


Ex4:Se a classificação fosse refinada:

Nº de partículascontaminadas

Centro Borda

0 0,30 0,10

1 0,15 0,05

2 0,10 0,05

3 0,06 0,04

4 0,04 0,01

5 ou + 0,07 0,03

Qual a probabilidade de que a pastilha:Esteja no centro da ferramenta?a)P(A)= 0,3+0,15+0,10+0,06+0,04+0,07=0,72

Contenha 4 ou mais partículas(E1) e que esteja na borda(E2)?b)P(E1 Ƞ E2)= 0,01+0,03=0,04

Esteja na borda(E1) ou que contenha 4 ou mais partículas(E2)?c)P(E1 U E2)= P(E1)+P(E2)-P(E1 Ƞ E2)P(E1)= 0,10+0,05+0,05+0,04+0,01+0,03=0,28 P(E2)= 0,04+0,01+0,07+0,03=0,15 P(E1 Ƞ E2)= 0,01+0,03=0,04 P(E1)+P(E2)-P(E1 Ƞ E2)= 0,28+0,15-0,04=0,39

Contenha menos de 2 partículas(E3) ou que estejam na borda e contenham mais de 4 partículas(E4)?

d)

P(E3)= 0,30+0,10+0,15+0,05=0,6 P(E4)= 0,03P(E1 Ƞ E2)= não háP(E3 U E4)= P(E3)+P(E4)-P(E1 Ƞ E2)= 0,6+0,03-0,0=0,63

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional de um evento A1 dado que o evento B ocorreu é denominado por: P(A|B).Probabilidade de chover dado que estar nubladoProbabilidade de chover dado que tem solProbabilidade de passar na disciplina caso o aluno estudeProbabilidade de passar na disciplina caso o aluno não estude

P(A|B)= P(A Ƞ B)/P(B)P(B|A)=P(A Ƞ B)/P(A)


de Prob e Estatística

( Ƞ == Π)

a. Qual a probabilidade de que a segunda peça seja defeituosa, dado que a primeira peça tirava foi defeituosa? 49/849

b. se 3 peças forem selecionadas ao acaso, qual a probabilidade que as 2 primeiras sejam defeituosas e que a terceira seja não defeituosa?

18 - Um dia de produção de 850 peças fabricadas, 50 peças não apresentam os requerimentos exigidos pelos consumidores. 2 peças são selecionadas ao acaso de uma batelada, sem reposição. O termo “ao acaso” implica que quando a primeira peça é selecionada, todas as outras peças são igualmente prováveis e quando a 2° peça é selecionada, todas as outras peças restantes são igualmente prováveis.

Colado de <file:///D:\Uergs\4%20semestre\Probabilidade%20e%20estatistica\Eng%20de%20sistemas%20digitais%20_prob%20e%20est.doc>

Ex2) Comp complexos são montados em uma fábrica com 2 linhas de montagem B e B'. Sejam D os componentes defeituosos:

D D'

B 2 6

B' 1 9

8/18P(B)a)

P(B Ƞ D)/P(D)

Se o gerente seleciona um componente aleatoriamente e este apresentar defeito, qual a probabilidade dele ter vindo da linha B?

b)

Regra da probabilidade totalÚtil para determinar a probabilidade de um evento que dependa dos outros

P(B)=P(B Ƞ A)+P(B Ƞ A')P(B)=P(B|A).P(A)+P(B|A').P(A')

Evento B=(B Ƞ A) U (B Ƞ A')

19 – Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja de 0.1 de que um chip, que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. A probabilidade é de 0.005 de um chip, que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação, cause uma falha no produto. Sabendo que 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação, Qual a probabilidade de que um produto usando um dos chips venha a falhar? Ou seja, encontre P(F).

P(F|A)=0,1F – o evento em que o produto falhe:

P(F|A')=0,005A – o evento em que um chip esteja exposto a altos níveis de contaminação.

P(A)=0,2P(A')=0,8

P(F)=P(F Ƞ A)+P(F Ƞ A')

Faça:

Probabilidade condicionalquinta-feira, 13 de maio de 20108:46


P(F)=P(F Ƞ A)+P(F Ƞ A')P(F)=P(F|A).P(A)+P(F|A).P(A')=0,024


Suponha que E1, E2,...Ek sejam os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos

B=(B Ƞ E1) + (B Ƞ E2) + (B Ƞ E3) + (B Ƞ E4)P(B)=P(B Ƞ E1) + P(B Ƞ E2) + P(B Ƞ E3) + P(B Ƞ E4)P(B)=P(B|E1).P(E1)+P(B|E2).P(E2)...

Então:

Generalizando a regra da probabilidade total para múltiplos eventos.

20 – Continuando o exercício anterior. Considere agora as seguintes probabilidades:P(F|A) - 0.10 a probabilidade, de que um chip sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto.P(F|M) - 0.01 a probabilidade, de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto.P(F|B) - 0.001 a probabilidade, de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto.

Numa produção,P(A) - 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação.P(M) - 30% dos chips estão sujeitos a níveis médios de contaminação.P(B) - 50% dos chips estão sujeitos a baixos níveis de contaminação.

Faça:

P(F)=P(A Ƞ F) = P(F|A).P(A)+P(F|M).P(M)+P(F|B).P(B)=0,0235F – o evento em que o produto falhe

A – o evento em que um chip esteja exposto a altos níveis de contaminação.

B – o evento em que um chip esteja exposto a baixos níveis de contaminação.

M – o evento em que um chip esteja exposto a níveis médios de contaminação.

Encontre a probabilidade de que um produto usando um destes chips falhe.


EX:Numa batelada de 25 peças moldadas por injeção, 5 delas sofrem excessivo encolhimento

A - 1ª peça defeituosaB - 2ª Peça defeituosa

Eventos:

P(B)=P(A Ƞ B)+P(A' Ƞ B)P(B)=P(B|A).P(A)+P(B|A').P(A')

(4/24)*(5/25)+(5/24)*(20/25)=0,2

Se 2 peças forem selecionadas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de que a 2ª tenha sofrido excessivo encolhimento?

3 peças - qual a probabilidade da 3ª peça tenha excessivo encolhimento


Muitas vezes não temos uma tabela completa de informações e muitas vezes sabemos uma probabilidade condicional e gostaríamos de calcular outra

Teorema de Bayes:

P(A Ƞ B)=P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)P(A|B)=P(B|A).P(A)/P(B)

P(A|F)=P(F|A).P(A)/P(F)=0,84

Lembrando que:

Se usarmos a regra da probabilidade total na equação acima, temos o segundo resultado que é conhecido como teorema de bayesP(E1|B).P(B)=P(B|E1).P(E1)P(B|E1)=P(B|E1).P(E1)/P(B)

P(E1|B)=P(E1|B).P(E1)/P(B|E1).P(E1)+P(B|E2).P(E2)+...+P(B|Ek).P(Ek)

Ex: se o produto usando um chip semicondutor falhar, qual a probabilidade que ele tenha sido exposto a altos níveis de contaminação?

Ex: seja a seguir urna com Bolas

U1 U2 U3

Branco 3 4 3

Preto 1 3 3

Vermelho 5 2 3

P(U1|B) = (P(B|u1)*P(U1))/ P(B) = (1/3 * 1/3 )/((1/3*1/3)+(4/9*1/3)+(1/3*1/3)) = 0.3

"Regra da probabilidade Total = P(B) = P(B|u1) P(u1) * P(B|U2)*P(U2)..."P(U1) = 1/3=0,3333 P(U2)= 9/27=0,3333 P(U3)=9/27P(B|U1) = 1/3P(B|U2) = 4/9P(B|u3) = 1/3

Tirando-se uma bola branca, qual a probabilidade de U1?a)

Resp. P(U3|P)=0,428Tirando-se uma bola preta, qual a probabilidade de ser da U3?b)

17 - Um novo procedimento médico de detecção de uma doença foi proposto. Resolveu testar este procedimento. A probabilidade de que o teste dê positivo, dado que o sujeito foi diagnosticado como doente é 0.99. A probabilidade de que o teste dê negativo, dado que o sujeito não possui a doença é de 0.95. A incidência da doença na população é de 0.0001. Um novo sujeito fez o teste e o resultado deu positivo. Qual a probabilidade de que ele tenha a doença, ou seja, P(D|P)? (Use D para o evento em que o sujeito tem a doença e P para o evento em que o teste seja positivo).


D - Doença P - Positivo


P(D) = 0,0001 → P(D') = 1 - P(D)P(P|D) = 0,99 → P(P'|D) = 0,01 ← Falso NegativoP(P'|D') = 0,95 → P(P/D') = 0,05 ← Falso Positivo

P(D|P) = (P(P|D) .P(D)) / P(P) = (_____)/(P(P|D).P(D) + P(P|D').P(D')) =a)= (0,99*0,0001)/((0,99*0,0001)+(0,05*(1-0,0001))) = 0,002

Independência de eventos

Ex.: Ao receber as peças de volta ... P(B|A) = P(B)

Definição: 2 eventos são independentes se qualquer uma das afirmações são verdadeiras:

P(A|B) = P(A)1)P(B|A) = P(B)2)P(A Ƞ B) = P(A).P(B)3)

B= {1, 2, 3}C = {1, 2, 3, 4}

Ex: sejam os eventos de um lançamento de um dado: A = {2, 4, 6}

P(A)= 1/2 a)P(A|B)= (P( AΠB))/P(B) = 1/3b)P(A|C)= 1/2 c)Os eventos A e B são independentes? P(A|B) = P(A) ? Não são independentes.d)Os eventos A e C são independentes? P(A|C) = P(A) → 1/2 = 1/2 São ind.e)

Ex: Dado honestoA - resultado Par B - > 4 C - Múltiplo de 3

A e B são independentes? Sima)P(A|B) = P(A)1/2 = 1/2B e C são independentes? Nãob)P(B|C) = P(B) 1/2 =1/3

S={1,2,3,4,5,6}

P(A) = P(2,4,6) = 1/12 + 1/12 + 1/5 = 5/12a)P(B)=1/4+1/4=2/4=1/2b)A e B são ind.? c)P(a|B) = (P(AΠB))/ P(B) = (1/4)/(1/2) = 1/2 = P(A)

15 - Suponha que 2 % dos rolos de tecido de algodão e 3 % dos rolos de tecido de náilon contenham falhas. Dos rolos usados por um fabricante, 70 % são de algodão e 30 % são de náilon. Qual será a probabilidade de que um rolo selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante, contenha falhas?


probabilidade de que um rolo selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante, contenha falhas?


A = rolos de algodãoN = rolos de náilonF = Falhas

P(A) = 0,70P(N) = 0,30P(F) = P(AΠF) + P(NΠF)P(F) = P(F|A).P(A) + P(FZN).P(N)P(F) = (0,02*0,7)+(0,03*0,3)=0,023

16 - Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95 % dos produtos altamente aprovados recebiam boas críticas, 60 % dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas críticas e 10 % dos produtos ruins recebiam boas críticas. Além disso, 40 % dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35 % tenham sido moderadamente aprovados e 25 % tinham sido produtos ruins.

a. Qual é a probabilidade de que um produto atinja uma boa crítica?

b. Se um novo projeto atingir uma boa crítica, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado?

c. Se um produto não atingir uma boa crítica, qual será a probabilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado?

Colado de <file:///D:\uergs\UERGS-%20Engenharia%20em%20Distemas%20Digitais\2009.2\3º%20semestre\Adriane%20Parraga%20(2010)\Probabilidade%20e%20Estatistica\Eng%20de%20sistemas%20digitais%20_prob%20e%20est.doc>


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