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MateMática VaULa 07:
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: MUTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE ARCOS
eXeRcÍciOS PROPOStOSAnUaL
VOLUME 2
OSG.: 096254/15
01. Considere a figura, em que h é a diferença pedida.
100 m
15º
h
Sabendo que cos 30º = 3
2, vem
sencos
sen
sen,
sen
2 230
2
1 30
215
13
22
152 1 73
2
1
°
=
− °⇔ ° =
−
⇒ ° ≅−
⇒ 551
2
27
100
151
2
3 1 73
1015 0 26
° ≅ ⋅
⇒ ° ≅ ⋅⋅
⇒ ° ≅
sen,
sen , .
Portanto,h = 100 · sen 15° ≅ 100 · 0,26 = 26 m.
Resposta: B
02. Observando a figura abaixo, temos:
a
ax
���
θ
θθ
θ
I. volume vazio = a2 · 1
4
1
2a
= · a2 · x → xa=2
II. tgx
a
a
aθ = = =
2
1 1
2.
III. Já para tg(q) = 1
4, com 0 < q <
π2
, obtemos:
1
4
a 17
a2 = 12 + 42
a = 17
sen q 1
17 e cos q
4
17
Logo, cos2q – sen2q = cos2q – sen2q – 2senq · cosq =
−
− = − − =4
17
1
172
1
17
4
17
16
17
1
17
8
17
7
17
2 2
. .
Resposta: A
OSG.: 096254/15
Resolução – Matemática V
03. Sabendo que cos (k · 2π + α) = cosα com k ∈ , α ∈ ]0, 2π[ e cos (π – β) = – cosβ, sendo β um arco do segundo quadrante, obtemos:
cos cos,
,
cos,
,
a a
a22 21
33
12 2 4
1 44
9 60
1 44
−
=−
=
π π
π
=
= +
=
= −
cos
cos
cos
cos
20
3
62
3
2
3
3
π
ππ
π
π
= −1
2.
Resposta: A
04. No plano inclinado, a força de atrito é numericamente igual à componente do peso (P) no eixo x.Veja:
yF
x
α
α
Px
P
• senPx
PF P P senxα α= → = = ·
Assim, nas figuras 1 e 2, as forças de atrito são respectivamente iguais a:
F1 = P · sen 2q e F
2 = P · senq
Portanto, houve uma variação relativa de:
F F
F
P sen P sen
P sen
P sen
P2 1
1
2
2
1 2− = − =−( )· · · cos
· · · cos
· · cosθ θ θθ θ
θ θ·· · · cos2 senθ θ
Assim, F F
F2 1
1
1 2
2
− = − cos
cos,
θθ
onde q é solução da equação:
tg2q + 1 = 25
16 → sec2q 25
16 → secq =
5
4→ cosq =
4
5, positivo, pois q é agudo.
Daí, F F
F2 1
1
1 245
245
3
5
5
837 5
− =−
= −
= −·
·· , %
Logo, houve uma redução de 37,5%
Resposta: D
05. Temos:
I. EA = EG = 3
II. AF = FG = x
III. AÊF = GÊF = αIV. 32 = 22 + y2 → y2 = 5 → y = 5
V. x2 = 12 + (y – x)2
x2 = 1 + 5 – 2 5x + x2
2 5x = 6
x = =3
5
3 5
5
Resposta: D
yE
Ax
x
F
α
α
B
1
2
y – x
3
G3
OSG.: 096254/15
Resolução – Matemática V
06. Imediato:
A
y
Q
P
x(– 1,0) (1,0)11 0θ/2 θ
∆AQP → sen θ2
= PQ
2 → PQ = 2 sen
θ2
Resposta: B
07. Temos que:
f x x sen x
x sen x
x se
( ) = + −
( ) = − +
( ) = +
2 2 1
2 1 2
2
2
2
cos
cos
cos
f x
f x
nn x
f x sen x
sen x sen x
2
2
2
2
22
2
22
2
245 2 2 4
· (x) · cos
· º cos · cos
= +
( ) = +f x 55
2 24
2 2
º
·
,
( )
( ) = +
−
f x
Logo:
Imf =
sen xπ
Resposta: D
08. Temos:
• cotg 2x = 1 → = →−
=tg xtg x
tg x2 1
2
112
Então:2 1
2 1
2 1 2
1 2
1 2 0
2
2
2
2
tgx tg x
tg x tg x
tg x tg x
tgx
tgx x
= −
+ =
+ + =
+( ) =
+ = ∈, ,π22
2 1
= −tgx
• ∆ auxiliar → Pitágoras
a
1
x
2 1−
a
a
2 22
2
1 2 1
4 2 2
= + −( )= −
OSG.: 096254/15
Resolução – Matemática V
• Logo:
cos2x = 1 1
4 2 2
4 2 2
8
2 2
42a=
−=
+=
+
cos x = 1
22 2· .+
Resposta: A
09. Temos:
I. 202 = 152 + x2 → x = =175 5 7
II. cosq = 15
20
3
4= e senq =
5 7
20
7
4=
III. cos2q = cos2q – sen2q = 9
16
7
16
2
16
1
8− = =
Resposta: E
10. ∆DEB:
x 2 x
2 xx
4 x
h
B
AyEDC160
160
100
100
isósce
les
isósc
eles
I. No ∆DEB:
• 1002 = 802 + a2 → a = 60
• sen2x = 60
100 cos2x =
80
100
B
D E100
a
100
160160
2 x
2 x
80
80
II. No ∆DEB:
sen4x = sen(2 · 2x) = h
100 → 2 sen2x · cos2x =
h
100 → 2
60
100
80
100 100· · =
h → h = 96 m
Outra solução:
160 100
100
2 2 2
2 2 2
= +( ) +
= +
y h
y h
Subtraindo, obtemos:
y = 28 e, depois, h = 96
Resposta: A
2015
x
θ
SM – 09/11/15 Rev.: AC09625415_pro_Aula07 – Transformações Multiplicação e divisão de Arcos