Capitilo 2 AstromTempo realParmetro de estimao

2.1 INTRODUOA determinao em linha de parmetros de processo um elemento-chave no controle adaptativo. Um parmetro estimador recursivo aparece explicitamente como um componente de um regulador de auto-ajuste (ver figura 1-19). Estimao de parmetros tambm ocorre implicitamente em um controlador adaptativo por modelo de referncia (ver figura 1.18). Este captulo apresenta alguns mtodos de estimao de parmetros em tempo real. til para ver estimativa parmetro no contexto mais amplo de identificao do sistema. Os elementos-chave de identificao do sistema so a seleo de estrutura do modelo, design experincia, estimativa de parmetros e de validao. Desde identificao, o sistema executado automaticamente em sistemas adaptativos, essencial ter uma boa compreenso de todos os aspectos do problema. Seleo do modelo estruturado e parametrizao so questes fundamentais. Modelos de funo de transferncia simples sero usados neste captulo. Os problemas de identificao so significativamente simplificada se os modelos so parmetros lineares.Desenho do experimento crucial para a identificao do sistema bem sucedida. Em problemas de controle isso se resume da seleo do sinal de entrada. A escolha de um sinal de entrada requer algum conhecimento do processo e a utilizao prevista para o modelo. Em sistemas adaptativos, h uma complicao adicional, porque o sinal de entrada para a planta gerado pela realimentao. Em certos casos, esta no se permite que os parmetros sejam determinados exclusivamente, uma situao que tem consequncias a longo prazo. Em alguns casos, pode ser necessrio introduzir sinais de perturbao, como discutido em mais detalhado no captulo 6 e 7. No controle adaptativo os parmetros de um processo mudam de forma contnua, por isso, necessrio ter MTODOS estimao que atualizam os parmetros de forma recursiva.Ao resolver problemas de identificao muito importante para validar os resultados. isto especialmente importante para os sistemas adaptativos, em que a identificao realizada automaticamente. Por conseguinte, ir ser discutido Algumas tcnicas de validao.O mtodo dos mnimos quadrados uma tcnica bsica para estimativa de parmetros. O mtodo particularmente simples, se o modelo tem a propriedade linear nos parmetros. No caso mnimo - quadrados a estimativa pode ser calculada analiticamente. A apresentao compacta do mtodo dos mnimos quadrados dada na seo 2.2. As frmulas para a estimativa so derivados e a interpretaes geomtricas e estatsticos so dadas. E mostra como os clculos podem ser feitos de forma recursiva. Na seco 2.3 mostrado como o mtodo do mnimo - quadrados pode ser usado para estimar parmetros dinmicos que introduzi a noo de excitao constante. A utilizao da estimativa de parmetros no controle adaptativo til para ter uma viso intuitiva sobre as propriedades dos estimadores dos parmetros. Para comear a desenvolver isso, damos uma srie de simulaes que ilustram as propriedades dos diferentes algoritmos em seo 2.5. Mais propriedades de diferentes esquemas de estimativa so dadas no captulo 6, em conexo com a convergncia e estabilidade anlise dos controladores adaptativos.2.2 Mnimo quadrado e modelo de regressoKarl Friedrich Gauss formulou o princpio dos mnimos quadrados no final do sculo XVIII e usado para determinar as rbitas dos planetas e asteroides. Gauss afirma que, de acordo com este princpio, os parmetros desconhecidos de um modelo matemtico devem ser escolhidos de tal maneira que a soma dos quadrados das diferenas entre os realmente observados e os valores calculados, multiplicada por um nmero que medem o grau de preciso, um mnimo.O mtodo do mnimo - quadrado pode ser aplicado a uma grande variedade de problemas. particularmente simples para um modelo matemtico que pode ser escrita na forma

Onde y a varivel observavel , , ... , , so parmetros determinados pelo modelo e , ,..., so conhecidos por funes que podem depender de outras variveis. Os vetores

Foram tambm introduzidas. O modelo indexado pela varivel i, que muitas vezes denota tempo. ser assumido inicialmente que este conjunto de ndices um conjunto discreto. as variveis so chamados de regresso varivel, ou os regressores, e o modelo na eq 2.1 concorda, tanto quanto possvel com as variveis medidas y(i) no sentido dos mnimos quadrados. Isto , o parmetro devem ser escolhidos para minimizar a perda da funo mnimo quadrados.

uma vez que a varivel y medida linear nos parmetros 0 e o critrio do mnimo - quadrados quadrtica, o problema admite uma soluo analtica. Apresente-se as notaes

Onde os resduos (i) so definidos por

com estas notaes a funo de perda (2.2) pode ser escrita como Onde E pode ser escrita como

A soluo do problema de mnimo quadrado, dada pelo seguinte teoremaTeorema 2.1 Estimao do mnimo quadradoA funo da equao 2.2 um mnimo para o parmetro tal que

Se a matriz no singular, o mnimo nico e dada por

Prova: A funo de perda de Eq. (2.2) pode e escrito como

Uma vez que a matriz sempre definida no negativa , a funo V tem um mnimo. A funo de perda quadrtica em . O mnimo pode ser encontrado em muitos aspectos. uma maneira de determinar a inclinao da Eq. (2.7) com respeito a (veja o problema 2.1 no final do capitulo). O gradiente zero quando a Eq. (2.5) satisfeita. Outra maneira de encontrar o mnimo -quadrado completo; Ns temos.

O primeiro termo do lado direito independente de . O segundo termo sempre positivo. O mnimo obtido por:

Logo o teorema provado.Observao 1: A equao (2.5) chamada de equao normal. A equao 2.6 pode ser escrita como

Observao 2: A condio que a matriz irreversvel e chamada de condio de excitao.Observao 3: o critrio do mnimo quadrado a ponderao de todos os erros so iguais, e isso corresponde suposio de que todas as medies tm a mesma preciso.Diferentes ponderao de erros podem ser contabilizadas alterando a funo de perda (2.2) para

Onde W uma matriz diagonal com as ponderaes na diagonal. A estimao do mnimo quadrado dada por

Exemplo 2.1 Estimativa do mnimo quadrado do sistema esttico.Considere o sistema

Quando e(i) zero a media Gaussian, o rudo com desvio padro 0.1. O sistema de parmetro linear e pode ser escrito na forma 2.1 como

A sada medida para as sete diferentes entradas mostrado pelos pontos na Fig. 2.1. Na prtica, a estrutura do modelo geralmente desconhecida, e que o usurio deve decidir sobre um modelo adequado. Ilustramos este parmetros estimando os seguintes modelosOs diferentes modelos dado um polinmio dependente de ordens diferentes entre y e u.A tabela 2.1 mostra as estimativas do mnimo quadrado para diferentes modelos em conjunto com a funo de perda resultante. A figura 2.1 tambm mostra a relao entre a estimativa entre u e y para diferentes modelos. A partir da tabela verifica-se que sobre as mesmas perdas so obtidos para os modelos 3 e 4. O ajuste para os pontos de dados quase o mesmo para estes dois modelos, como visto na Fig. 2.1.O exemplo mostra que importante escolher o modelo de estrutura correta para obter um bom modelo. Com alguns parmetros no possvel obter um bom ajuste aos dados. Se forem usados muitos parmetros, o ajuste aos dados medidos vai ser muito bom, mas o ajuste para outro conjunto muitos dados pode ser muito pobre. Neste ltimo caso chamado overfitting (superajuste).

Interpretao geomtricaO problema de mnimo quadrado pode ser interpretado como problema geomtrico em Rt . Quanto t um numero de observao. A fig. 2.2 ilustra uma situao com dois parmetros e trs observadores. Os vetores e abrange um plano linearmente independente. Os resultados de sada previstos Y encontram-se no plano gerado por e . O erro pequena quando E ortogonal a este plano. No caso geral a equao (2.4) pode ser escrita como:

Onde so as colunas da matriz . O problema do mnimo quadrado pode ser interpretado como o problema de encontrar constantes . Tal que o vector Y aproximado assim possvel por uma combinao linaer dos vetores . Sendo o vetor no espao de que a melhor aproximao, e tendo o vetor E pequeno quando ortogonal a todo o vetor . Dado por

Que idntica a equao normal 2.5 . O vetor nico se os vetores so linearmente independentes.

Interpretao estatsticaO mtodo do mnimo quadrado pode ser interpretado em termos estatsticos. Em seguida, necessrio fazer suposies sobre como os dados foram gerados. Assume-se que o processo Onde 0 o vetor de verdadeiros parmetros e { e(i) , i=1,2, ...} uma sequncia independente, distribudos igualmente por variveis aleatrias com mdia zero. Isto , tambm assume que e independente de . A equao 2.4 pode ser escrita como

Multiplicando por T temos

desde que E seja independente de T , o que equivale dizer que e(i) independente de a expectativa matemtica de igual para . Uma estimativa com essa propriedade chamada imparcial. O teorema a seguir dado sem uma prova.Teorema 2.2 Propriedade estatstica para estimao do mtodo quadradoConsidere a estimativa na equao 2.6 assumindo que os dados so gerados a partir da equao (2.12), onde { e(i) , i=1,2, ...} uma sequncia de variveis aleatrias independentes com mdia zero e varincia . Sendo que E denota expectativa matemtica e cov a covarincia de uma varivel aleatria. Se no singular, ento: uma estimativa imparcial de Onde n o numero dos parmetros em e e t o numero de dados no ponto.o teorema afirma que as estimativas so imparcial, isto , . Alm disso, desejvel que converja para uma estimativa do verdadeiro valor de parmetro como o nmero de observaes aumenta para o infinito. Esta propriedade chamada de consistncia. Existem vrias noes de consistncia correspondentes a diferentes conceitos de convergncia para variveis aleatrias. Convergncia mdia quadrada uma possibilidade, que pode ser investigada simplesmente atravs da anlise da varincia da estimativa. O resultado (ii) pode ser usado para determinar a varincia de estimativa que diminui com o nmero de observaes. Isto ilustrado por um exemplo.

Exemplo 2.2 Diminuio de varinciaConsideremos o caso em que o modelo em eq. (2.12) tem apenas um parmetro. Seja t o nmero de observaes. Segue-se a partir de (ii) do teorema 2.2 que a estimativa da varincia dada por

Vrios casos diferentes agora podem ser considerados, dependendo do comportamento assinttico de para grande k. Introduzindo a notao para indicar que e so proporcionais.a) Assume que . A soma no denominador acima, em seguida, converge, e a variao vai para uma constante.b) Assume que Em seguida

a variao vai de zero se c) Assume que . A varincia em seguida, vai para zero com 1/t.d) Assume que A varincia em seguida vai para zero com e) Assume que A varincia em seguida vai para zero com

O exemplo mostra claramente como a preciso da estimativa depende da taxa de crescimento do vector de regresso. A variao no vai a zero com o aumento do nmero de observaes, se a varivel de regresso diminui mais rapidamente do que . Na situao normal, quando os regressores so da mesma ordem de grandeza, a varincia diminui medida 1/t. A varincia diminui mais rapidamente se as variveis aumentam com o tempo de regresso.quando vrios parmetros so estimados, as taxas de convergncia podem ser diferente para diferentes parmetros. Isto est relacionado com a estrutura da matriz na eq. (2.6).Clculos Recursivos Em controladores adaptativos as observaes so obtidas sequencialmente em tempo real. ento desejvel fazer os clculos de forma recursiva para salvar tempo de computao. A estimativa do clculo do mnimo - quadratico podem ser dispostos de tal maneira que os resultados obtidos no tempo t - 1 pode ser usado para obter as estimativas no tempo t. A soluo na Eq. (2.6) para o problema mnimo quadrtico ser reescrito de forma recursiva. Sendo denotam os mnimos quadrados estimamos com base em t -1 medies. Assume-se que a matriz no singular para todo t. Resulta a partir da definio de P (t) na Eq. (2.3) que

A estimativa do mnimo quadrtico dada pela equao (2.9)

Resulta das Eqs. (2.9) e (2.14) que

A estimativa do tempo t agora pode ser escrito como

Onde

O residual (t) pode ser interpretado como erro na predio do sinal y(t) um degrau a frente com base na estimativa Para prosseguir necessrio obter uma equao recursiva para P (t), em vez de P(t)-1 na Eq. (2.14). O seguinte lema til.LEMMA 2.1 Lema da Matriz InversaTemos A, C, and C-1 + DA 1B sejam matriz quadrtica no singular. Ento A+BCD inversvel, e

Prova: Por multiplicao direta descobrimos que

Aplicando o lema 2.1 para P(t) e usando a Eq. (2.14), temos.

Isto implica que

Note-se que a matriz inversa necessrio para calcular P. No entanto, as matriz a serem invertidas da mesma dimenso que o nmero de medies. Isto , para um nico sistema de sada um escalar.Os clculos recursivos esto resumidos no seguinte teorema.Teorema 2.3 Estimativa recursiva dos mnimos quadrados (RLS)Assume-se que a matriz (t) tem categoria (classificao) completa, que no singular, para todo . Dado ( , a estimativa do mnimo quadrado em seguida, satisfaz as equaes recursivas.

Observao 1: A equao (2.15) tem forte apelo intuitivo. A estimativa obtido adicionando uma correo estimativa anterior A correo proporcional a (t), onde o ltimo termo pode ser interpretado como o valor de y no tempo t previsto pelo modelo da Eq. (2.1). O termo de correo , assim, proporcional diferena entre o valor medido de Y (t) e a predio de y (t) com base na estimativa do parmetro anterior. Os componentes do vetor K (t) so fatores de ponderao que dizem como a correo e a estimativa anterior devem ser combinados.Observao 2: A estimativa do mnimo quadrado pode ser interpretado pelo filtro de Kalman ao seguinte processo

Observao 3: A equao recursiva pode tambm ser derivadas iniciando pelas perdas da funo da Eq. (2.2). Usando as Eqs. (2.8) dada

O primeiro termo do lado direito independente de , e os dois termos restantes so quadrticos em . V(,t) pode ento ser facilmente minimizado em relao .Nota-se que a matriz P(t) definida apendas quando a matriz no singular. Sendo

Segue que sempre singular se t < n. Para obter uma condio inicial para P, , portanto, necessrio escolher t = t0 tal que no singular. As condies inicias so

As equaes recursivas pode ento ser utilizado para t > t0 . Isto , no entanto, muitas vezes conveniente utilizar as equaes recursivas em todos os passos. se as equaes recursivas so iniciados com a condio inicialP(0) = P0 Onde P0 definido positivo, ento

Note que P(t) pode ser feito arbitrariamente prximo de ( escolhendo P0 suficientemente grande.Pelo uso do filtro de Kalman a interpretao do mtodo mnimo quadrado, pode-se ver que esta forma de iniciar a recurso corresponde situao na qual os parmetros tm uma distribuio inicial significativo e covarincia P0.Parmetros variando com o tempoPara o modelo mnimos quadrados (2.1) os parmetros so assumidos como constantes. Em vrios problema de adaptao interessante para considerar a situao em que os parmetros variam com o tempo. Dois casos podem ser abrangidos por extenses simples do mtodo dos mnimos quadrados. Em um dos caso os parmetros assumem alteraes de forma bruscas, mas com pouca frequncia. No outro caso, os parmetros mudam continuamente, mas lentamente. O caso de mudanas bruscas de parmetros podem ser abrangidos atravs da reposio. A matriz P do algoritmo mnimos quadrados (Teorema 2.3) ento redefinir periodicamente para , onde um numero grande. Isto implica que o ganho K(t) no estimador torna-se grande e a estimativa pode ser atualizada com um passo maior. Uma verso mais sofisticada executar n estimadores em paralelo, que so repostas sequencialmente. A estimativa ento escolhida usando alguma lgica de deciso (ver captulo 6). O caso dos parmetros que variam lentamente com tempo pode ser coberto por modelos matemticos relativamente simples. Uma abordagem pragmtica e simplesmente para substituir o critrio de mnimos quadrados da Eq. (2.2) com

Onde um parmetro tal que . O parmetro chamado de fator de ou fator de desconto. A funo de perda da Eq (2.20) implica que introduzido a variao do tempo de ponderao dos dados. Os dados mais recentes so dadas por unidade de peso, mas de dados que tempo de n unidades de idade ponderada pelo . o mtodo ento chamado de esquecimento exponencial ou desconto exponencial. Ao repetir os clculos que levam ao teorema 2.3 para a funo de perda da Eq. (2,20), o seguinte resultado obtido.Teorema 2.4 - Mnimos quadrados recursivos com esquecimento exponencialAssume-se que a matriz (t) tem classificao para . O parmetro , que minimiza a Eq. (2.20) dada de forma recursiva por:

Uma desvantagem de do esquecimento exponencial que os dados so descontados mesmo que . Esta condio implica que y (t) no contm qualquer nova informao sobre o parmetro . Neste caso, segue-se a partir das Equaes. (2,21) que a matriz P aumenta exponencialmente com taxa . Diversas formas para evitar isso so discutidos em detalhe no captulo 11.Um mtodo alternativo de lidar com os parmetros que variam com o tempo assumir um modelo matemtico que varia com o tempo. Os parmetros que variam com o tempo podem ser obtidos por substituio do primeiro na equao (2.18) com o modelo

Onde v uma matriz conhecida e tempo discreto rudo branco. A interpretao do problema de filtragem dos mnimos quadrados dada na observao 2 do teorema 2.3 agora podem facilmente ser generalizados. O estimador de mnimos quadrados ser, ento, o filtro de Kalman. O caso v=1 corresponde a um modelo em que os parmetros esto deriva do processo Wiener.Algoritmos simplificadosO recurso do algoritmo pelos mnimos quadrados dado pelo Teorema 2.3 tem dois conjuntos de variveis de estado, , que deve ser atualizao em cada degrau. Para um grande n a atualizao da matriz P domina a computao da matriz P ao custo de convergncia mais lenta. O algoritmo de projeo de Kaczmarzs uma soluo simples. Para descrever este algoritmo, considera-se o parmetro desconhecido como um elemento de Rn. uma medio

Determina a projeo do parmetros vetor do no vetor . Desde que seja imediatamente claro n medies, onde intervalo Rn , so necessrios para determinar exclusivamente o parmetro do vetor . Assume-se que a estimativa , est disponvel a uma nova medio, tal que obtm a eq. (2.22). Uma vez que a medida y (t) contm informaes apenas na direo no espao de parmetros, natural para escolha de uma nova estimativa do valor que minimiza sujeito a restrio Introduzindo o multiplicador de Lagrange para lidar com a restrio, temos, portanto, que minimizar a funo.

Tomando derivadas em relao a e . Temos.

Resolvendo estas equaes temos

A atualizao da frmula chamada de algoritmo de Kaczmars. til para ser capaz de alterar o comprimento do passo do ajuste dos parmetros atravs da introduo de um fator . Dado

Para evitar um problema potencial que ocorre quando o denominador no termo de correo alterada de para , onde uma constante positiva. Obtem ento o algoritmo a seguir.Algoritimo 2.1 Algoritmo de Projeo

Onde e .Observao 1. Em alguns livros didticos isso chamado o algoritmo de projeo normalizada.Observao 2. O limite para o parmetro obtida a partir da seguinte anlise. Suponha que os dados foram gerados pela Eq. (2.2) com o parmetro . Segue-se ento a partir da Eq. (2,24) o erro do parmetro

Satisfaz a equao

Onde

A matriz A(t) tem um valor prprio, este valor inferior a 1 em magnitude se . O outro valor prprio de A so todos igual a 1.O algoritmo de projeo assume que os dados so gerados pela Eq. (2.22) sem erro. Quando os dados so gerados pela Eq. (2.12) com erro aleatrio adicional, um algoritmo simplificado dada por

Onde

Esta a aproximao do algoritmo estocstico (SA). Note que um novo escalar quando y(t) um escalar. A maior simplificao a mdia do algoritmo do mnimo quadrtico (LMS) em que o parmetro de atualizao feito atravs da utilizao.

Onde uma constanteModelo em tempo continuoNos esquemas recursivos as variveis at agora tm sido indexado por um parmetro discreto t. A notao t foi escolhido porque em muitas aplicaes que indica a hora. Em alguns casos, natural para utilizar observaes de tempo contnuo. fcil de generalizar os resultados para este caso. A equao (2.1) ainda utilizada, mas agora assumida como sendo uma varivel real. Assumindo esquecimento exponencial, o parmetro deve ser determinado de tal modo que o critrio. minimizado. O parmetro quando , corresponde ao fator de esquecimento na equao (2.20). Um clculo simples mostra que o critrio minimizado se (ver problema 2,15 no final do captulo)

Que a equao normal. A estimativa nica se a matriz

inversivel. Tambm possvel obter equatios recursivas diferenciando Eq. (2,28). A estimativa dada pelo seguinte teorema.Teorema 2.5 Tempo de estimao constante para mnimos quadradosAssume-se que a matriz R(t) dada pela equao (2.29) inversivel para todo t. A estimativa que minimiza satisfaz a equao (2.27)

Prova: O teorema provado pela diferenciao da eq (2.28)Observao 1: A matriz R(t) = P(t) -1 satisfaz

Observao 2: H tambm verses de tempo contnuas dos algoritmos simplificados. O algoritmo de projeo que correspondem as equaes (2.25) e (2,26) so dadas pela equao (2.30) com

Onde P(t) um novo escalar.2.3 Estimando os parmetros em sistemas dinmicosNs agora mostrar como o mnimos quadrados pode ser utilizado para estimar os parmetros de modelos de sistemas dinmicos. A maneira particular de fazer isso vai depender do carter do modelo e sua parametrizao.Modelo de resposta de impulso infinitoO sistema dinmico linear invariante no tempo caracterizado unicamente por sua resposta ao impulso. A resposta ao impulso geralmente infinito dimensional. para sistemas estveis a resposta ao impulso vai para zero exponencialmente rpida e, em seguida, pode ser truncado. Nota, no entanto, que pode ser necessrio um grande nmero de parmetros, se o intervalo de amostragem curto em comparao com a constante de tempo mais lento do sistema. Isto resulta no chamado modelo de resposta de impulso finito.

Este modelo idntico ao modelo de regresso da equao. (2.1), para esperar o ndice T do vetor de de regresso, que diferente. A razo para esta alterao de notao que ser conveniente para rotular o vetor de regresso com o tempo dos dados mais recente que aparece no regressor. O modelo da equao (2.33) se adapta claramente formulao de mnimos quadrados, e o estimador ento dado pelo teorema 2.3.O parmetro de estimao pode ser representado pelo diagrama de blocos da figura 2.3. O estimador pode ser considerado como um sistema com entradas u e y e de sada .. Sendo o sinal

est disponvel no sistema, tambm pode considerar como uma sada. Sendo prevista uma estimativa de y, o estimador recursivo tambm pode ser interpretado como um filtro adaptativo para prever y. O uso desse filtro discutido no captulo 13.

Funo de transferncia do modeloO mtodo mnimos quadrados pode ser usado para identificar o parmetro do sistema dinmico. Vamos usar o sistema descrito pelo modelo.

Onde q o operador de deslocamento e A(q) e B(q) so polinmios

A equao (2.34) pode ser escrita como equao diferena

supe que a sequncia de entradas {u(1), u(2),...,u(t)} foi aplicado ao sistema e a correspondente sequncia de sadas {y(1), y(2),...,y(t)} foi observado. Introduo ao parmetro vetor.

e o vetor regresso

Nota-se que o sinal de atraso de sada aparece no vetor de regresso. O modelo ento chamado de um modelo auto-regressivo. A maneira na qual os elementos esto ordenados na matriz claro, arbitrrio, desde que tambm similarmente reodernado. Mais tarde, ao lidar com controle adaptativo, ser natural para reordenar os termos. A conveno de que o ndice de tempo de vetor ir se referir ao tempo em que todos os elementos do vetor esto disponveis tambm ser adotada. O modelo pode formalmente ser escrito como o modelo de regresso.

A estimao do parmetro pode ser obtido aplicando o mtodo do mnimo quadrado (teorema 2.1). A matriz dada por

Se usarmos a interpretao estatstica da estimativa dos mnimos quadrados dadas pelo teorema 2.2, segue-se que o mtodo descrito ir funcionar bem quando as pertubaes pode ser descrito como rudo branco adicionados ao lado direito da equao. (2,34). Isto leva ao modelo de mnimos quadrados

(Comparando com a equao 2.12). O mtodo chamado, portanto, um mtodo equao de erro. Um ligeira variao do mtodo melhor se as perturbaes so descritos como rudo branco em vez adicionada sada do sistema, isto , quando o modelo est

O mtodo obtido ento chamado de mtodo de erro de sada. Para descrever um tal mtodo, seja u a entrada e a sida do sistema com a entrada em relao a sada.

Determinando o parmetro que minimiza o critrio

Onde . Este problema pode ser interpretado como problema de mnimo quadrado, cuja soluo dada por

Onde

Comparando com o teorema 2.1. O estimador recursivo obtido pode ser representado pelo diagrama de blocos na figura 2.4.

Funo de transferncia em tempo continuoAgora mostrado que o mtodo de mnimos quadrados tambm pode ser usado para estimar parmetros em funes de transferncia em tempo contnuo. Por exemplo, considere um modelo da forma tempo contnuo.

que tambm pode ser escrito como

Onde A(p) e B(p) so polinmios em que o operador diferencial p=d/dt. Na maioria dos casos, no podemos calcular convenientemente pny(t) porque iria envolver as n derivadas de um sinal. O modelo de equao (2.36), portanto, reescrito como

Onde

E Hf(p) uma funo de transferncia estvel com excesso de polo de n ou mais. Veja a figura 2.5. Se introduzirmos.

O modelo expresso pela equao (2.37) pode ser escrito como

Por uma realizao adequada do filtro Hf possvel utilizar um filtro para gerar todos os sinais piHf(p)y, i=0, ... , n, e um outro filtro para gerar piHf(p)u, i= 0, ... ,m-1. O padro mnimos Quadrados agora pode ser aplicado, uma vez que este um modelo de regresso. A estimativa recursiva dada pelo Teorema 2.5. Com a restrio de Hf no haver qualquer diferenciao simples da sada ou a entrada para o sistema.Modelo no linearMnimos quadrados tambm pode ser aplicado para um certo modelo no linear. A principal restrio que os modelos de parmetros lineares podem ser escritos como modelo de regresso linear. Note que os regressores no precisa ser linear, nas entradas e sadas. Um exemplo ilustra a idia.Exemplo 2.3- Sistema no linearConsidere o modelo

Por introduo

E

O modelo pode ser escrito como

O modelo de parmetro linear, e o metodo mnimo quadrado pode ser usado para estimar .Modelos estocsticosA estimativa do mnimo quadrado baseado quando usado com dados gerados pela Eq. (2.12), onde o erro e(i) so correlacionadas. A razo (compare Eq.(2.13)). A possibilidade de lidar com este problema modelar a correlao dos distrbios e para estimar os parmetros que descrevem as correlaes. Considere o modelo. Onde A(q), B(q) e C(q) so polinmios no operador de deslocamento para a frente e {e(t)} indefinidos. Os parmetros do polinmio C descreve a relao da perturbao. O modelo da Eq. (2.38) no pode ser convertido diretamente para um modelo de regresso, sendo a varivel {e(t)} no so conhecidos. O modelo de regresso pode, ser obtida por adequadas aproximaes, para descrever estes, tem-se.Onde

As variveis e(t) so aproximadas pela previso de erros (t). O modelo pode ser aproximado por

e padro de mnimos quadrados recursivos pode ser aplicada. O mtodo obtido chamado de mnimos quadrados prolongados (ELS). As equaes para atualizar as estimativas so dadas por

(Compare com o teorema 2.3). Outro mtodo de estimar os parmetros na Eq. (2,38) a utilizao de Eq. (2.39) e deixar que o residual ser definido pela

E vetor regresso na Eq. (2.39) pode ser substitudo por , onde

As estimativas mais recentes devem ser usadas para a atualizar. O mtodo obtido no verdadeiramente recursivo, uma vez que as Eqs (2.41) e (2.40) so resolvidas a oartir de t=1 para cada medio. As seguintes aproximaes podem ser feitas.

Este algoritmo chamado o mtodo recursivo de probabilidade mxima (RML). vantajoso que tanto a ELS e RML para substituir o resduo no vetor de regresso pelo residual posterior definida como

isto , o valor mais recente de usado para calcular Outra possibilidade para modelar o rudo correlacionado usar o modelo

Em vez da Eq. (2.38). Estimativas dos parmetros recursivo para este modelo pode ser derivada da mesma forma que para Eq. (2.38)Detalhes sobre o prolongamento do mtodo dos mnimos quadrados e o mtodo de probabilidade mxima recursiva so encontrados nas referncias no final do captulo.UnificaoOs diferentes algoritmos recursivos discutidos so bastante semelhantes. Eles podem todos ser descrito pelas equaes.

Onde e so diferentes para diferentes mtodos.2.4 Condio experimentalAs propriedades dos dados utilizados na estimativa de parmetros so cruciais para a qualidade das estimativas. Por exemplo, evidente que no h estimativas dos parmetros teis podem ser obtidos, se todos os sinais so identicamente zero. Nesta seo, vamos discutir a influncia das condies experimentais sobre a qualidade das estimativas. No desempenho de identificao do sistema automaticamente, como em um sistema adaptativo, essencial para entender essas condies, a noo de excitao persistente, o que uma maneira de caracterizar entradas do processo, introduzido. Em sistemas adaptativos a entrada planta gerada pela realimentao. Dificuldades causadas por este tambm so discutidos.Excitao PersistenteVamos primeiro estimatima os parmetros em um modelo FIR dada pela Eq. (2.33). Os parmetros do modelo no pode ser determinado a no ser que algumas condies sejam impostas sobre o sinal de entrada. Decorre a condio de exclusividade de estimativa dos mnimos - quadrados dada pelo teorema 2.1 que o minimo nico se a matriz.

tem rank completo. Esta condio chamada de condio de excitao. Para conjuntos de dados longos, todas as quantias em Eq. (2.42) pode ser tomada de 1 a t. Obtemos ento

Onde c(k) so as covarincias empricas da entrada, isto ,

Para os dados de comprimento ajusta-se a condio para a singularidade pode assim ser expresso como a matriz na Eq. (2,43) sendo definida positiva. Isto conduz seguinte definio.DEFINIO 2.1 Excitao Persistente