Mecânica dos Fluidos2007/2008

• Movimento em Bloco:

-Translação com aceleração uniforme

Gustavo Rodrigues de Almeida Simões

Hugo de Sousa Ramalho

Exercício

Um tanque rectangular de 6m de comprimento

por 1,8m de altura e 2,1m de largura, contém

0,9m de água:

O tanque sofre uma

aceleração linear,

horizontalmente, na

direcção do

comprimento, de

2,41m/s2.

Em primeiro lugar, vamos calcular a força total devida à acção da

água, exercida em cada extremidade do tanque, ou seja, a força

resultante da acção da água, nas faces AB e CD da figura.

Analisando a equação simplificada de Navier-Stokes:

VggradpV)gradpV(t

Va 2

Explicitando a pressão, obtemos a expressão seguinte:

Vaggradp 2

Como o movimento estudado é em bloco, o fluido comportar-se-á como se fosse um corpo rígido, não havendo movimento relativo entre os diversos elementos constituintes e, consequentemente, não há tensões tangenciais. A equação anterior será então escrita da seguinte forma:

aggradp

Na translação em bloco com aceleração uniforme, a aceleração

é dada pela expressão:

kaiaa zx

z)ga(xapp zx0

No problema que apresentamos não existe aceleração segundo a vertica. Considerando a origem do referencial no ponto B, o valor de X será 0, o que permite simplificar bastante a expressão.

Assim, a partir das equações anteriores, a expressão que nos permite determinar a pressão num ponto do tanque, é a seguinte:

Quando o corpo é sujeito à referida aceleração, a superfície livre

da água vai assumir uma nova posição, formando um ângulo θ

com a superfície horizontal inicial, tal como na figura anexa.

O ângulo θ pode ser determinado através da seguinte expressão:

θ = arctg (ax / (g+az))

Sabendo que a aceleração segundo a horizontal é de 2,41 m/s2,

que a aceleração gravítica é de 9,81 m/s2 e que não há aceleração

segundo a vertical, podemos determinar θ:

arctg θ = 2,41 / 9,81 => θ = 13,8º

tg θ = Y/3 => Y =0,737m

De seguida vamos calcular as alturas de fluido nas duas faces, ou

seja, as cotas d1 d2 que o fluido adquire em AB e em CD após a

aceleração

d2 + 0,737 = 0,9 => d2 = 0,163m

d1 = 0,9 + Y =>d1 = 0,9 + 0,737 => d1 = 1,637m

Apesar de haver aceleração segundo o eixo horizontal, tal como já foi referido, ao utilizarmos a origem do referencial no ponto B, a expressão ficará bastante mais simples.

p = p0 - axx - (az + g)z

Assim, a expressão fica do seguinte modo, tendo em conta que a carga tem uma distribuição triangular:

p = gz x 1/2

Como pretendemos a força, apenas temos que multiplicar a pressão pela área onde a força é aplicada.

FAB = (1000 x 9,81 x 1,635)/2 x 1,635 x 2,1

FAB = 27535,6 N = 2806,89 Kgf 2810 Kgf

1N = 9,81Kgf

De forma análoga, considerando agora a origem do referencial no

ponto C, determinamos a força exercida pela água na face CD:

FCD = (1000 x 9,81 x 0,165)/2 x 0,165 x 2,1

FCD = 280,431 N = 28,5863 Kgf 28,6 Kgf

1N = 9,81Kgf

Mostremos agora que a força perturbadora necessária para acelerar

a massa líquida é igual à diferença entre as forças calculadas

anteriormente:

Partindo da 2ª Lei de Newon, temos que:

Força perturbadora necessária = massa de água x aceleração

= 6 x 2,1 x 0,9 x 1000 x 2,41

= 27329,4 N = 2785,87 Kgf

FAB – FCD = 2810 – 28,6 = 2781,4 Kgf 2785,87 Kgf

Admitamos agora que o tanque estudado se encontrava cheio

de água, ocupando esta a totalidade do volume. Se submetermos o

tanque, nesta nova situação, a uma aceleração de 1,5 m/s2, qual a

quantidade de água que transbordará?

Tal como no primeiro caso, vamos determinar o ângulo θ, o qual

depende da aceleração a que o tanque está sujeito e da aceleração

gravítica, sendo a aceleração segundo z nula.

θ = arctg (ax / (g+az)) => θ = arctg (1,5/9,81) => θ = 8,6935º

tg θ = Y/6 => Y = 0,917m

0,917 x 6 / 2 x 2,1 = 5779,82 litros 5780 litros