Mecânica dos Fluidos2007/2008
• Movimento em Bloco:
-Translação com aceleração uniforme
Gustavo Rodrigues de Almeida Simões
Hugo de Sousa Ramalho
Exercício
Um tanque rectangular de 6m de comprimento
por 1,8m de altura e 2,1m de largura, contém
0,9m de água:
O tanque sofre uma
aceleração linear,
horizontalmente, na
direcção do
comprimento, de
2,41m/s2.
Em primeiro lugar, vamos calcular a força total devida à acção da
água, exercida em cada extremidade do tanque, ou seja, a força
resultante da acção da água, nas faces AB e CD da figura.
Analisando a equação simplificada de Navier-Stokes:
VggradpV)gradpV(t
Va 2
Explicitando a pressão, obtemos a expressão seguinte:
Vaggradp 2
Como o movimento estudado é em bloco, o fluido comportar-se-á como se fosse um corpo rígido, não havendo movimento relativo entre os diversos elementos constituintes e, consequentemente, não há tensões tangenciais. A equação anterior será então escrita da seguinte forma:
aggradp
Na translação em bloco com aceleração uniforme, a aceleração
é dada pela expressão:
kaiaa zx
z)ga(xapp zx0
No problema que apresentamos não existe aceleração segundo a vertica. Considerando a origem do referencial no ponto B, o valor de X será 0, o que permite simplificar bastante a expressão.
Assim, a partir das equações anteriores, a expressão que nos permite determinar a pressão num ponto do tanque, é a seguinte:
Quando o corpo é sujeito à referida aceleração, a superfície livre
da água vai assumir uma nova posição, formando um ângulo θ
com a superfície horizontal inicial, tal como na figura anexa.
O ângulo θ pode ser determinado através da seguinte expressão:
θ = arctg (ax / (g+az))
Sabendo que a aceleração segundo a horizontal é de 2,41 m/s2,
que a aceleração gravítica é de 9,81 m/s2 e que não há aceleração
segundo a vertical, podemos determinar θ:
arctg θ = 2,41 / 9,81 => θ = 13,8º
tg θ = Y/3 => Y =0,737m
De seguida vamos calcular as alturas de fluido nas duas faces, ou
seja, as cotas d1 d2 que o fluido adquire em AB e em CD após a
aceleração
d2 + 0,737 = 0,9 => d2 = 0,163m
d1 = 0,9 + Y =>d1 = 0,9 + 0,737 => d1 = 1,637m
Apesar de haver aceleração segundo o eixo horizontal, tal como já foi referido, ao utilizarmos a origem do referencial no ponto B, a expressão ficará bastante mais simples.
p = p0 - axx - (az + g)z
Assim, a expressão fica do seguinte modo, tendo em conta que a carga tem uma distribuição triangular:
p = gz x 1/2
Como pretendemos a força, apenas temos que multiplicar a pressão pela área onde a força é aplicada.
FAB = (1000 x 9,81 x 1,635)/2 x 1,635 x 2,1
FAB = 27535,6 N = 2806,89 Kgf 2810 Kgf
1N = 9,81Kgf
De forma análoga, considerando agora a origem do referencial no
ponto C, determinamos a força exercida pela água na face CD:
FCD = (1000 x 9,81 x 0,165)/2 x 0,165 x 2,1
FCD = 280,431 N = 28,5863 Kgf 28,6 Kgf
1N = 9,81Kgf
Mostremos agora que a força perturbadora necessária para acelerar
a massa líquida é igual à diferença entre as forças calculadas
anteriormente:
Partindo da 2ª Lei de Newon, temos que:
Força perturbadora necessária = massa de água x aceleração
= 6 x 2,1 x 0,9 x 1000 x 2,41
= 27329,4 N = 2785,87 Kgf
FAB – FCD = 2810 – 28,6 = 2781,4 Kgf 2785,87 Kgf
Admitamos agora que o tanque estudado se encontrava cheio
de água, ocupando esta a totalidade do volume. Se submetermos o
tanque, nesta nova situação, a uma aceleração de 1,5 m/s2, qual a
quantidade de água que transbordará?
Tal como no primeiro caso, vamos determinar o ângulo θ, o qual
depende da aceleração a que o tanque está sujeito e da aceleração
gravítica, sendo a aceleração segundo z nula.
θ = arctg (ax / (g+az)) => θ = arctg (1,5/9,81) => θ = 8,6935º
tg θ = Y/6 => Y = 0,917m
0,917 x 6 / 2 x 2,1 = 5779,82 litros 5780 litros
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