Limites

INTRODUÇÃO

Fala, galera! Vamos começar a agora o “tão temido” , “aquela matéria cabulosa em que

todos reprovam”. Cara, RELAXA! Felizmente nem é assim. Dedique parte de seu tempo para os estudos,

pois não é uma matéria fácil, mas a gente tá aqui pra facilitar a tua vida e ajudar você a mandar super

bem nas provas.

Nas P1s caem os conceitos de limites, continuidade, derivadas e suas aplicações. Então vamos começar

falando de limites.

1 CONCEITOS INICIAIS DE LIMITES

O limite é uma operação que nos diz “pra onde uma função de aproxima quando a(s) variável(is) tende

de certo valor e pode ser representado da seguinte forma:

Como no exemplo:

Lê-se: limite de

quando x tende a 2.

Aí a gente pensa: “Qual número

se aproxima quando x ta beeem próximo a 2?”

Tá, então vamos ver f(x) em números como x=2,01 , x=2,001 , x=1,99 e 1,999 que são bem próximos a 2.

Daí, da pra ter uma noção de que quando x tende a 2 tanto positivamente quanto negativamente f(x)

tende a 1,5. Ai tu me pergunta...

E se fizéssemos x=2, o que daria?

Vemos que, muitas vezes, para calcular o limite naquele ponto, basta apenas calcular f(x) naquele ponto,

então fazer x=2 é o correto a se fazer nesse caso. Existem exceções (que são as que são mais cobradas,

pois não são tão simples assim de resolver) em que fazer só isso nos dará indeterminações e devemos

ter certa bagagem de exercícios pra poder resolvê-las. Vamos expor as formas mais cobradas em

exercícios e provas, mas antes vamos falar um pouco das propriedades dos limites pra a gente ficar mais

seguro para prosseguir.

[UFRJ-2014.1]Calcule

.

Resposta:

Substituindo por f(1), a gente tem:

Logo:

2 PROPRIEDADES DOS LIMITES

As propriedades dos limites são bem parecidas com as das funções, quase iguais, são elas:

Soma e Subtração O limite da soma ou subtração é a soma ou subtração dos limites.

Multiplicação: Se g(x) e f(x) existem ou não são indeterminações em a, teremos

Divisão: Se g(x) e f(x) existem ou não são indeterminações e ≠0, o limite da divisão é a

divisão dos limites.

Potência: O limite de uma função elevada a uma constante é igual ao limite da função, elevado a

contante.

Raízes, Senos e Logaritmos : O limite dessas funções compostas são as compostas dos limites.

E por aí vai...

Se .

Calcule

Nessa questão devemos aplicar as propriedades de limites que a gente acabou de ver.

Já que a gente já ta sabendo todas as propriedades dos limites, vamos avançando no conteúdo. Bem,

falei existem exceções, que são os conteúdos que os professores mais cobram. Para essas exceções

vamos ter que desenvolver métodos para que possamos substituir f(a) e ter um valor aceitável (sem

indeterminações). Se liga esse exemplo:

Tá, como na outra questão ,vamos substituir em f(3), encontraremos

.

Fala tu aí, quanto é 0/0?

É. Nem você sabe,nem eu sei, nem seu professor sabe nem Einstein soube.

é uma indeterminação, e

não pode ser calculada.

Existem vários tipos de indeterminações, como por exemplo :

,

, , entre outros.

Então a minha questão não tem solução??

Não é bem assim! Temos que usar algumas ferramentas matemáticas para poder resolver alguns limites.

Vejamos que

pode ser fatorado em:

Showw! Agora sim você pode substituir por f(3), e então teremos:

Como toda questão de limite, primeiro vamos tentar ver se encontramos o resultado logo em f(0).

Substituindo, encontraremos outra vez o maldito

. E aí, o que fazer agora?

Existe uma ferramenta matemática pra resolver esse tipo de questão. Multiplicar em cima e em baixo

pelo conjugado.

Como assim?

O que denominamos conjugado de uma expressão é o primeiro termo subtraído do segundo. Tipo, o

conjugado de é . Nesse caso, a gente vai ter:

Massa! Simplificamos a nossa expressão, agora basta aplicar o limite.

Utilizando f(0), a gente vai encontrar...

Pelas propriedades dos limites, a gente tem que:

Fácil então.

Já

. Oo

E esse

?

Realmente, 1/0 é uma indeterminação. Mas como nós queremos o limite de quando x ta beeeeeeem

pertinho de 0, podemos dizer que

tende ao infinito. Logo

Mas tipo, infinito não é um número. O seno vai continuar variando entre -1 e 1 em quanto “maior for

esse infinito”.

Tá,uma boa sacada é saber que o seno varia entre -1 e 1, ou seja ele é limitado entre -1 e 1. Escrevendo

isso em inequação, a gente tem:

Se a gente multiplicar todos os lados por , a igualdade permanecerá. Daí...

Aplicando agora o limite, que é o que a gente quer calcular...

Se

é menor ou igual a zero por um lado , e maior ou igual a zero do outro, ou seja, no

intervalo [0,0], isso nos induz a dizer que

.

Isso que acabamos de ver é chamado de Teorema do Confronto ou do Sanduíche. Que consiste em

“apertar” funções limitadas, como o seno ou o cosseno, entre outras funções, em intervalos para

determinar seu verdadeiro valor, sempre utilizando as propriedades dos limites em desigualdades.

Vamos resolver mais um exemplo:

3 LIMITES LATERAIS

Até aqui já vimos limites têm como resultado números, o infinito, uma indeterminação. Mas também a

possibilidade de não existir limite. Aqui definimos limites laterais como limites que se aproxima

positivamente ou negativamente de um número, e pode ser representados por:

Limite de f(x) quando x tende a k pela direita,é o limite para o x que se aproxima positivamente de k.

Limite de f(x) quando x tende a k pela esquerda, é o limite para o x que se aproxima negativamente de k..

Para um limite existir Se eles forem diferentes, simplesmente não existe

limite naquele ponto.

Se liga nos exemplos.

.

Primeiramente, somente substituindo f(1) teremos:

Isso nos faz acreditar que a resposta é infinito. Mas, utilizando os limites laterais, podemos tomar

melhores conclusões.

Daí a gente vê que o limite não existe, pois o limite pela direita é diferente do da esquerda, como

mostra o gráfico.

Vimos na imagem que elas vêm por caminhos diferentes e só mudam a partir do número 1. Ou seja, o limite em 1 não existe.

Calcule

.

Resposta:

Como facilmente se percebe temos uma indeterminação do tipo 0/0. Devemos calcular os limites

laterais para ver como a função reagiria.

Pela direita, sabemos que teremos um número infinitamente perto de 0 em cima e embaixo, podendo

cortar, tendo o nosso limite igual a 1.

Já pela esquerda observaremos um fato um pouco diferente.

Sabemos que no numerado teremos um número infinitamente próximo a zero, só que negativo e

embaixo, por causa do módulo, teremos um número infinitamente próximo de zero, só que positivo. Um

número negativo dividido por um positivo resultará em um negativo. Nesse caso, o limite será -1.

Como o limite pela direita é diferente pela esquerda. Essa função não tem limite nesse ponto.

4 LIMITES FUNDAMENTAIS

Existem alguns limites que são chamados de fundamentais, que vamos demonstra-los aqui, mas vocês

podem decorar, pra não ter que ficar sempre demonstrando tudo isso. Os três limites fundamentais são:

Substituindo f(0) a gente vê que vamos ter uma indeterminação 0/0. Então, aqui devemos utilizar um

argumento geométrico para resolver. Se liga no desenho.

Tomamos um arco de circunferência bem pequeno, de modo que o tamanho S do arco formado tenha

um valor muito próximo ao tamanho L que liga a interseção da reta do que liga o centro com a borda

com a própria borda até a horizontal.

Da trigonometria podemos retirar duas relações:

E

Dividindo uma equação por outra, a gente tem:

Como para x muito pequeno, tendendo a zero, o valor do arco (S) é quase igual ao valor do cateto

oposto do triângulo que a gente formou (L), temos que

.

Daí a gente tira que :

Outro limite fundamental que se usa bastante é:

Fazendo a mesma coisa que devemos fazer em todos os limites, substituindo em f(x) também

encontraremos 0/0. Daí, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado encontramos uma forma

trigonométrica. Temos:

Calculando o limite..

Como vimos agorinha, esse limite é 1.

E assim:

Substituindo ...

E então...

O terceiro e último que vamos apresentar é o seguinte:

Como de praxe, verificando a função, vemos que ele dará um número muito próximo de 1 elevado

ao infinito. Será que vai ser apenas 1 a resposta? Temos um número infinitamente próximo de 1,

elevado um número muito grande. Talvez nem dê 1. E não dá mesmo. Esse limite, o qual não vamos

resolver por ser um tanto grande e chato, vale o número de Euler “e”. Basta dar uma olhada e

decorar esse limite que é sucesso.

Tranquilo? Então vamos dar uma exercitada!!

: [UFRJ-2013.1]Calcule

.

Resposta:

Substituindo em f(0), encontramos uma indeterminação do tipo 0/0.

Daí, podemos perceber que o denominador pode ser fatorado em (x-1)(x+1). Daí, temos que:

Podemos dizer que x-1=w. Daí, se x tende a 1, a tende a 1-1=0. E o limite pode ser reescrito por:

Sabemos que o limite em destaque, é um limite fundametal e vale 1. Logo o nosso limite se

simplifica somente a:

Fizemos pra vocês um algorítimo para resolver questões de limites. Vocês, ao ir resolvendo

exercícios, vão adquirindo experiência e vão saber como fazer sem esse algorítimo. Mas até chegar

lá acho muito válido usar isso ai. Saca só!

5 LIMITES NO INFINITO

Vamos estudar os limites que envolvem expressões muito grandes, a ponto de serem

consideradas infinitas. A notação dada para esses limites é:

Vamos então ver algumas propriedades básicas:

(I)

, quando n é impar, n > 0 (II)

, quando n é par, n > 0 (III)

, para c constante, n > 0 (IV)

Veja, por exemplo, o gráfico da função f(x)=1/x :

Quando “caminhamos” para direita ( ), a função fica muito perto do eixo OX, ou seja, se aproxima de 0.

Isso acontece porque o valor de ‘x’ cresce tanto, que temos um número muito pequeno (1), dividido por um

número cada vez maior (tende a ! Por isso a função fica cada vez mais perto de ZERO... :P

Agora, vamos a um macete que usamos quando há uma razão de polinômios e queremos descobrir o valor

do limite:

O macete aqui é uma espécie de fatoração, dividir todos os termos (em cima e em baixo) pelo

de maior valor do quociente, que no caso é (Considerando x ≠ 0):

Resolvendo cada um separadamente, a gente tem:

Logo:

Do segundo para o terceiro passo, utilizamos a propriedade (IV). Um ponto importante a ser

destacado é que quando o polinômio de cima tem o mesmo grau do de baixo, o limite tende a

um número. Quando o grau do de cima é maior, o limite tende a ± , de acordo com o sinal da

constante do ‘x’ de maior expoente. Já quando o de baixo é maior, o limite tende a 0.

Mas não é errado dizer que

é zero?

#Fikadik.

Sim.

é uma indeterminação, mas o limite de

quando x tende ao infinito é igual a zero.

Representamos

por ausência de uma forma melhor de representar. Da mesma forma, é errado dizer

que 1/0 é infinito pois ele em si é indeterminação, mas como queremos números muito

próximos de zero e não o próprio, temos ele como um número, que tende até o infinito!

Mas sempre que você substituir...

...e encontrar algo do tipo...

o limite irá para infinito.

Já se encontrar...

o limite irá para menos infinito.

Ou no caso de você encontrar ...

o limite tenderá a zero.

Vamos a outro exemplo:

:

Resposta:

Resposta:

=

6 LIMITES INFINITOS

Agora, a notação é o seguinte:

Algumas funções variam o valor do sinal de acordo com a aproximação de ‘a’. Pela esquerda

ou pela direita, esse valor pode mudar. Veja um exemplo:

= ?

=

=

=

= +

=

=

=

=

Logo, o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. Ainda assim, podemos utilizar esse

resultado futuramente para o desenho de gráficos. Percebemos que, geralmente esses limites infinitos

ocorrem no limite que está tendendo a um ponto fora do domínio. No caso dessa questão, -1 não está

do domínio da função.

Vamos rever o gráfico da função f(x) = 1/x :

Vamos calcular os limites laterais em 0:

-

+

Assim, concordando com o gráfico, veja que quando aproximamos a função pela direita do 0,

encontramos o valor + . Já quando aproximamos pela esquerda, encontramos o valor - . Tente

entender que estamos dividindo o número 1 por um número muito pequeno, mas mesmo assim

negativo. Logo, o limite tende a infinito, mas negativo pelo sinal do divisor. O limite no ponto 0 não

existe, mas os limites laterais são úteis para o desenho de gráficos.

7 ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS

Assíntota é uma reta em que uma função, ao percorrer um eixo, tende a tocar mas nunca toca. Por

exemplo, na imagem abaixo temos a função

. Quando x cresce indefinidamente, de modo

que a gente pode escrever

, vermos que a função irá se aproximar cada vez mais da reta y=1.

Da mesma forma, se calcularmos um numero infinitamente próximo de 1, de forma que a gente escreva

, vamos ver que ela vai crescer de uma forma muito rápida, e a função tenderá a se

aproximar da reta x=1. Saca só o gráfico.

Show! Algebricamente, podemos dizer que

f(x) = y= b é uma assíntota horizontal se:

= b

Já x = a é uma assíntota vertical se:

=

Como assim?

Vamos a um exemplo:

f(x) =

Devemos descobrir as assíntotas verticais e horizontais:

= 4

= 4

Assíntotas em verde.

Logo, a reta x = 1 é uma assíntota vertical, pois em x=1, f(x) tende ao infinito, e a reta y = 4 é uma

assíntota horizontal, pois o limite no infinito tende a um valor (4).

Tá, então para determinar as assíntotas verticais basta encontrar um ponto em que ele a função tenda

ao infinito, no caso de funções racionais

as raízes de g(x) são pontos fora do domínio e muito

provavelmente terá assíntotas naquele ponto. Supondo que em quando meu limite tende a “n” e a “m”,

minhas assíntotas verticais serão em x=n e x=m. Já para encontrar as assíntotas horizontais, basta

calcularmos o limite nos infinitos ( ). Se der em um número k, por exemplo, a assíntota horizontal vai

ser em y=k. Ah, e se der infinito, não terá assíntota, porque x e y crescem infinitamente, não tendendo a

uma reta.

Exercícios Recomendados: Calcule, se existir, os limites abaixo:

1-

.

2-

3-

4-

5-

6-

7-

8-

9- [UFRJ-2014.1]

.

10- [UFRJ-2013.2] .

11- Calcule as assíntotas da função

12- Calcule as assíntotas da função

Gabaritos: Referências Bibliográficas:

James Stewart , 6ª Edição, Volume 1.

Bons Estudos!!

Dúvidas?

Acesse o Solucionador na página www.engenhariafacil.net ou mande email para

contato@engenhariafacil.net .

1)3 |2) Não Existe |3) |4) 1 |5) |6) 2 |7)