TEREZA CATRINA FERREIRA FERNANDES · para o dimensionamento de pilares de concreto armado e a...

TEREZA CATRINA FERREIRA FERNANDES

GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE

PILARES DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO

CIRCULAR

NATAL-RN

2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

i

Tereza Catrina Ferreira Fernandes

Geração de ábacos para dimensionamento de pilares de concreto armado com seção circular

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros

Coorientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho

Natal-RN

2018

ii

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Elaborado por Ana Cristina Cavalcanti Tinôco - CRB-15/262

Fernandes, Tereza Catrina Ferreira.

Geração de ábacos para dimensionamento de pilares de

concreto armado com seção circular / Tereza Catrina Ferreira Fernandes. - 2018.

117 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande

do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil.

Natal, RN, 2018.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Barros.

1. Pilares - Monografia. 2. Concreto Armado - Monografia. 3.

Ábacos adimensionais - Monografia. I. Barros, Rodrigo. II.

Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.4

Djalma Mariz Medeiros.

Monografia (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia – Departamento de Engenharia Civil.

1. Consumo de água. 2. Sistema de Abastecimento de Água. 3. Índice de Perdas. 4. Simulação Computacional. I. Sales, Lindolfo Neto de Oliveira. II. Medeiros, Djalma Mariz. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 626.21

iii


Geração de ábacos para dimensionamento de pilares de concreto armado com seção circular

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 30 de novembro de 2018:

___________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros – Orientador

___________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Coorientador

___________________________________________________

Prof. Dr. Joel Araújo do Nascimento Neto – Examinador interno

___________________________________________________

Eng. Marcos Daian Figueiredo da Silva Saraiva – Examinador Externo

Natal-RN

2018

iv

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais, que sempre

estiveram ao meu lado em todas as

dificuldades, me apoiando com amor, carinho

e confiança.

v

AGRADECIMENTOS

Faz-se necessário agradecer nominalmente àqueles que diretamente ou indiretamente,

participaram, de alguma forma, na elaboração desta tese. Desta forma, expresso aqui os meus

mais sinceros agradecimentos:

Agradeço em primeiro lugar aos meus pais, que sempre me proporcionaram uma

educação de qualidade e me incentivaram a progredir nos meus estudos, acreditando sempre no

meu potencial e me proporcionando pensamentos positivos nas fases mais difíceis.

Agradeço aos professores do Departamento de Engenharia Civil da UFRN e aos outros

que tive contato e que de alguma forma me auxiliaram na minha jornada até esse momento. Sou

grata pela dedicação seu tempo, da sua atenção e da sua paciência para passar os seus

conhecimentos e experiências para mim e para todos os alunos. É fundamental que essa

profissão seja reconhecida e admirada, pois é através da educação que a transformação da

sociedade pode acontecer.

Agradeço a cada um dos meus companheiros de sala, os quais, com suas

individualidades, tornaram essa jornada de cinco anos mais fácil e mais divertida. Em especial

às minhas amigas: Ana Carolina Galvão, Maria Eduarda Almeida e Silvia Rêgo que sempre

estiveram ao meu lado durante os projetos, trabalhos, estudos e nas horas de lazer.

Quero agradecer especialmente ao meu orientador Prof. Dr. Rodrigo Barros, que além

de professor e orientador, se tornou um grande amigo. Uma pessoa que não mede esforços para

ajudar o próximo, extremamente solícito, compreensivo e acima de tudo dotado de uma

inteligência brilhante. Agradeço por ter aberto tantas portas para mim durante esses dois anos.

Sou grata por ter me aceitado como aluna de Iniciação Científica e como orientanda do meu

Trabalho de Conclusão de Curso e por termos conseguido atingir muitos objetivos nas nossas

pesquisas e obtido os resultados almejados.


vi

RESUMO

Geração de ábacos para dimensionamento de pilares de concreto armado com seção

circular

O objetivo deste trabalho é apresentar a metodologia para a geração de ábacos

adimensionais para o dimensionamento de pilares de seção circular feitos com concretos

convencionais e de alta resistência. A utilização de ábacos adimensionais é uma das alternativas

para o dimensionamento de pilares de concreto armado e a construção dessa ferramenta para

pilares de seção circular feitos com concretos convencionais e de alta resistência se mostra

importante devido à escassez desses ábacos para esse tipo de seção. O trabalho expõe duas

metodologias de geração de ábacos se baseando sempre na norma da ABNT NBR 6118:2014.

Com auxílio do Programa Microsoft Excel é gerada uma planilha para possibilitar a criação

dessa ferramenta e é solucionado alguns exemplos para ilustrar o uso e eficiência da mesma.

Ao final, é deixada uma série de ábacos adimensionais os quais podem ser consultados por

estudantes e profissionais da área.

Palavras-chave: Pilares. Concreto Armado. Ábacos adimensionais. Dimensionamento

vii

ABSTRACT

Generation of abacuses for design of reinforced concrete column of circular section

This research program investigates the methodology for the generation of dimensionless

abacuses for the design of circular section columns made with conventional and high strength

concrete. The use of dimensionless abacus is one of the alternatives for the design of reinforced

concrete columns and the construction of this tool for columns of circular section made with

conventional concrete and of high resistance is shown to be important due to the lack of these

abacuses for this type of section. The paper exposes two abacus generation methodologies,

always based on the ABNT NBR 6118: 2014 standard. With the help of the Microsoft Excel

Program, a spreadsheet is generated to allow the creation of this tool and some examples are

solved to exemplify its use and efficiency. In the end, a series of dimensionless abacus is left

which can be consulted by students and professionals.

Keywords: Columns. Concrete. Dimensionless abacus. Sizing.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Ábaco adimensional para pilares de seção circular (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) .................... 1

Figura 2.1 - Diagrama tensão-deformação parábola-retângulo do concreto .............................. 8

Figura 2.2 - Diagrama tensão-deformação bilinear do aço. ..................................................... 10

Figura 2.3 – Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para

concretos de todas as classes. ................................................................................................... 12

Figura 2.4 – Regiões de deformação ........................................................................................ 13

Figura 2.5 – Deformações na Região I ..................................................................................... 14

Figura 2.6 – Deformações na Região II .................................................................................... 15

Figura 2.7 – Deformações na Região III .................................................................................. 16

Figura 2.8 - Esquema estrutural de uma edificação.................................................................. 18

Figura 2.9 - Viaduto de Millau, na França, construído com concreto de 60 MPa. .................. 19

Figura 2.10 – Seção submetida à (a) Compressão Simples. (b) Flexão Simples. (c) Flexão

Composta. ................................................................................................................................. 20

Figura 2.11 – Seção submetida a uma flexão (a) normal (b) oblíqua. ...................................... 21

Figura 2.12 – Superfícies de interação (𝑁,𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦) em valores reduzidos. .......................... 22

Figura 2.13 – Seções especiais para pilares (a) caixão (b) circular (c) circular vazada ........... 23

Figura 3.1 - Arranjo de armadura na seção circular ................................................................. 25

Figura 3.2 – Braço de alavanca para o momento fletor (a) LN no centro (b) LN abaixo do

centroide. .................................................................................................................................. 28


centroide. .................................................................................................................................. 28

Figura 3.4 – Configuração da planilha para esforços resistentes na armadura (por camadas) . 29

Figura 3.5 – Parâmetros para integração do concreto .............................................................. 30

Figura 3.6 – Demonstração para 𝜑 < 𝜋/2 (a) posição dos ângulos na seção transversal (b)

relação trigonométrica. ............................................................................................................. 31

Figura 3.7 – Demonstração para 𝜑 > 𝜋/2 (a) posição dos ângulos na seção transversal (b)

relação trigonométrica. ............................................................................................................. 32

Figura 3.8 – Elemento infinitesimal de área ............................................................................. 33

Figura 3.9 – Posição da fibra genérica ..................................................................................... 34

Figura 3.10 – Posição da fibra com encurtamento 휀𝑐2 ............................................................ 36

Figura 3.11 – Estado elástico (a) linha neutra na seção (b) linha neutra fora da seção ............ 38

ix

Figura 3.12 – Estado plástico (a) linha neutra na seção (b) linha neutra fora da seção ............ 38

Figura 3.13 – Planilha dos valores resistidos pelo concreto ..................................................... 43

Figura 4.1 - Coordenadas das barras de aço na seção circular ................................................. 46

Figura 4.2 – Configuração da planilha para esforços resistentes na armadura (por barras) ..... 48

Figura 4.3 – Representação dos elementos de concreto na seção circular. .............................. 49

Figura 4.4 – Braço de alavanca para o cálculo do momento fletor .......................................... 52

Figura 5.1 – Planilha com informações de entrada .................................................................. 54

Figura 5.2 - Valores limites da linha neutra em cada domínio de deformação ........................ 55

Figura 5.3 – Configuração final do ábaco gerado pela planilha ............................................... 58

Figura 6.1 – Informações de entrada da planilha (Exemplo 01) .............................................. 59

Figura 6.2 – Ábaco adimensional 𝑓𝑐𝑘 = 25 MPa, d’/h = 0,05 ................................................. 60

Figura 6.3 – Valores de entrada e saída do ábaco adimensional (Exemplo 01) ....................... 60

Figura 6.4 – Interface do Programa P-Calc 1.4.0 (Exemplo 01) ............................................. 61

Figura 6.5 – Ábaco proposto por Montoya (2001), d’/h=0,05 ................................................. 61

Figura 6.6 – Informações de entrada da planilha (Exemplo 02) .............................................. 62


Figura 6.8 – Valores de entrada e saída do ábaco adimensional (Exemplo 02) ....................... 63

Figura 6.9 – Interface do Programa P-Calc 1.4.0 (Exemplo 02) .............................................. 64

Figura 6.10 – Ábaco proposto por Montoya (2001), d’/h=0,05 ............................................... 64

Figura 6.11 – Ábaco adimensional 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa, d’/h = 0,075 ............................................. 65

Figura 6.12 – Valores de entrada e saída do ábaco adimensional (Exemplo 03) ..................... 66

Figura 6.13 – Interface do Programa P-Calc 1.4.0 (Exemplo 03) ........................................... 66

Figura 6.14 – Ábaco proposto por Montoya (2001), d’/h=0,10 ............................................... 67


Figura 6.16 – Interface do Programa P-Calc 1.4.0 (Exemplo 04) ............................................ 69





x

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Parâmetros dos concretos conforme classe de resistência ................................... 24

Tabela 5.1 - Deformações específicas e índice 𝑛 ..................................................................... 55

Tabela 5.2 – Pares (𝜈, 𝜇) para construção do ábaco ................................................................. 56

Tabela 6.1 – Resumo das áreas de aço obtidas (Exemplo 01) .................................................. 62






xi

LISTA DE SÍMBOLOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO

𝐴𝑐 Área de concreto comprimida da seção transversal

𝐴𝑐(𝑟,𝑏) Área do elemento de concreto na seção discretizada

𝐴𝑠 Área das barras de aço na seção transversal

𝐴𝑠𝑖 Área de uma barra genérica 𝑖

𝐵𝑐(𝑟,𝑏) Distância do centro do elemento de concreto até o centro da seção

𝐶𝐺 Centro geométrico da seção

𝐷 Diâmetro da seção

𝑑′ Cobrimento do concreto

𝑑𝑖 Distância do ponto de estudo ao topo da seção

𝐸𝑠 Módulo de elasticidade longitudinal do aço

𝑒0 Distância da força normal atuante ao centro da seção

𝑓𝑑 Força resistente de cálculo

𝑓𝑐𝑘 Resistência Característica do concreto à compressão

𝑓𝑐𝑑 Resistência de cálculo do concreto à compressão

𝑓𝑦𝑘 Resistência Característica do aço ao escoamento

𝑓𝑦𝑑 Resistência de cálculo do aço ao escoamento

ℎ𝑐(𝑟,𝑏) Distância do centro do elemento de concreto à linha neutra

ℎ𝑦 Altura da seção transversal

𝑀𝑑 Momento fletor de cálculo

𝑀𝑥 Momento fletor atuante no eixo x

𝑀𝑦 Momento fletor atuante no eixo y

𝑚 Distância vertical do ponto de ruína B ao topo da seção

𝑁𝑑 Força normal de cálculo

𝑛 Número de barras de aço na seção

𝑛′ Número de camadas de aço na seção

𝑝 Distância vertical da fibra genérica à linha neutra

𝑅𝑑 Força estabilizante na seção

𝑟 Raio da seção

𝑆𝑑 Força desestabilizante na seção

xii

𝑥 Posição vertical da linha neutra em relação ao topo da seção

𝑥′ Profundidade da fibra de encurtamento do concreto

𝑥𝑠𝑖 Distância horizontal da barra de aço ao centro da seção

𝑦 Distância do elemento infinitesimal de área do concreto ao topo

da seção

𝑦𝑐(𝑟,𝑏) Distância do centro do elemento de concreto ao centro da seção

𝑦𝑠𝑖 Distância vertical da barra de aço ao centro da seção

𝑦𝑡(𝑟,𝑏) Distância do centro do elemento de concreto ao topo da seção

𝑦𝑡𝑖 Distância vertical da barra de aço ao topo da seção

𝛼 Ângulo que define o elemento infinitesimal de área do concreto

𝛼1 Ângulo que define a fibra de encurtamento do concreto

𝛼𝑐 Fator que multiplica a tensão de compressão do concreto

𝛽𝑖 Relação entre 𝑑𝑖 e ℎ𝑦

𝛽𝑥 Relação entre 𝑥 e ℎ𝑦

𝛽′𝑥 Relação entre 𝑥′ e ℎ𝑦

𝛾1 Coeficiente de ponderação que considera a variabilidade da

resistência dos materiais

𝛾2 Coeficiente de ponderação que considera a diferença da

resistência entre o corpo de prova e a estrutura

𝛾3

Coeficiente de ponderação que considera os desvios de

construções e aproximações de projeto

𝛾𝑚 Coeficiente de ponderação das resistências

𝛾𝑐 Coeficiente de minoração da resistência do concreto

𝛾𝑠 Coeficiente de minoração da resistência do aço

𝛿 Relação entre 𝑑′ e ℎ𝑦

휀𝑐′ Deformação específica do concreto em uma fibra genérica

휀𝑐 Deformação específica de encurtamento máximo do concreto

휀𝑐0 Deformação específica de encurtamento mínimo do concreto

휀𝑐2 Deformação específica no início do patamar plástico do concreto

휀𝑐𝑢 Deformação específica última do concreto

휀𝑠𝑑 Deformação específica do aço em uma posição genérica

휀𝑠𝑖 Deformação específica da barra de aço i

xiii

휀𝑠𝑢 Deformação específica última do aço

휀𝑦𝑑 Deformação específica do aço no início do patamar de

escoamento

𝜂 Força normal reduzida resistida pelo concreto

𝜂′ Momento fletor reduzido resistido pelo concreto

𝜃 Curvatura do eixo da peça

𝜃′ Ângulo entre as barras de aço na seção transversal

𝜇 Momento fletor reduzido

𝜈 Força normal reduzida

𝜎𝑐 Tensão na área de concreto

𝜎𝑠 Tensão no aço

𝜎𝑠𝑖 Tensão na barra de aço i

𝜑 Ângulo que define a posição da linha neutra

𝜓𝑖 Ângulo que define a camada de aço

𝜔 Taxa de amadura mecânica da seção

𝜔𝑖 Taxa de armadura mecânica da barra i

xiv

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1

1.1 - Considerações iniciais ................................................................................................. 1

1.2 – Objetivos ................................................................................................................... 2

1.2.1 - Objetivo geral ............................................................................................. 2

1.2.2 - Objetivos específicos ................................................................................... 3

1.3 - Estrutura do trabalho .................................................................................................. 3

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................... 5

2.1 - Dimensionamento de estruturas de concreto armado.................................................. 5

2.2 – Concreto .................................................................................................................... 6

2.2.1 - Tensão-deformação para o concreto ............................................................ 7

2.3 - Aço ............................................................................................................................. 9

2.3.1 - Tensão-deformação para o aço .................................................................. 10

2.4 - Domínios de deformação ......................................................................................... 11

2.5 - Regiões de deformação ............................................................................................ 13

2.7 - Estudo dos pilares de concreto armado .................................................................... 18

2.7.1 - O pilar como elemento estrutural ............................................................... 18

2.7.2 - Flexão composta normal e oblíqua ............................................................ 20

2.7.3 - Dimensionamento de pilares ...................................................................... 21

2.8 - Concretos de Alta Resistência - CAR ...................................................................... 23

3 - METODOLOGIA I – ÁBACOS POR INTEGRAÇÃO ................................................ 25

3.1 - Equacionamento para o aço ..................................................................................... 25

3.1.1 - Planilha para esforços na armadura .............................................................. 29

3.2 - Equacionamento para o concreto ............................................................................. 29

3.2.1 - Posição da linha neutra ................................................................................ 30

3.2.2 - Elemento infinitesimal de área .................................................................... 32

3.2.3 - Tensão na fibra genérica .............................................................................. 34

3.2.4 - Localização da fibra com encurtamento (𝛆𝐜𝟐) ............................................ 36

3.2.5 - Estados elástico e plástico ........................................................................... 37

3.2.6 - Cálculo da força normal............................................................................... 38

xv

3.2.6.1 - Estado elástico................................................................................. 38

3.2.6.2 - Estado plástico ................................................................................ 39

3.2.7 - Cálculo do momento fletor .......................................................................... 40

3.2.7.1 - Estado elástico................................................................................. 40

3.2.7.2 - Estado plástico ................................................................................ 41

3.2.8 - Planilha do concreto .................................................................................... 42

3.3 - Esforços resistentes da seção transversal ................................................................. 43

4 – METODOLOGIA II – ÁBACOS POR SOMATÓRIO ................................................ 46

4.1 - Equacionamento para o aço ..................................................................................... 46

4.1.1 - Planilha para esforços na armadura ............................................................. 48

4.2 - Equacionamento para o concreto .............................................................................. 48

4.2.1 - Coordenada dos elementos da seção transversal ......................................... 48

4.2.2 - Equações das regiões de deformação .......................................................... 50

4.2.3 - Área de cada elemento da seção transversal ................................................ 51

4.2.4 - Braço de alavanca para cada elemento da seção transversal ....................... 51

4.3 - Esforços resistentes da seção transversal ................................................................. 52

5 - PLANILHA DE GERAÇÃO DE ÁBACOS ................................................................... 54

5.1 - Planilha com informações de entrada ...................................................................... 54

5.2 - Planilha com dados base .......................................................................................... 54

5.3 - Planilha de iteração .................................................................................................. 56

5.4 - Planilha de armazenamento de dados ...................................................................... 57

5.5 - Planilha do ábaco ..................................................................................................... 57

6 - RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................... 59

6.1 - Exemplo 01 .............................................................................................................. 59

6.2 - Exemplo 02 .............................................................................................................. 62

6.3 - Exemplo 03 .............................................................................................................. 65

6.4 - Exemplo 04 .............................................................................................................. 67

6.5 - Exemplo 05 .............................................................................................................. 69

6.6 - Exemplo 06 .............................................................................................................. 71

6.7. Análise dos resultados ................................................................................................ 73

7 - CONCLUSÃO ................................................................................................................... 74

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 75

xvi

APÊNDICES ........................................................................................................................... 77

ANEXO A ................................................................................................................................ 77

1

1 - INTRODUÇÃO

1.1 - Considerações iniciais

O dimensionamento de pilares é uma importante atividade do cálculo estrutural e o seu

objetivo é adequar as características da seção do pilar tanto às exigências arquitetônicas quanto

às do projeto estrutural, garantindo assim que os esforços resistentes de cálculo sejam superiores

aos esforços solicitantes (BENDÔ, 2011).

Para esse dimensionamento podem ser utilizados programas computacionais ou mesmo

ábacos adimensionais. Esses ábacos são diagramas em duas ou três dimensões, a depender da

solicitação empregada na questão. Eles permitem que um usuário, ao conhecer os esforços

solicitantes como a força normal reduzida (𝜈) e o momento fletor reduzido (𝜇), encontre uma

taxa mecânica de armadura (𝜔) suficiente para resistir à solicitação. Dessa forma, os ábacos são

formados por diferentes curvas de nível, sendo cada curva um conjunto de pontos, onde cada

um desses pontos por sua vez representa um par de esforços resistentes para a seção.

Figura 1.1 - Ábaco adimensional para pilares de seção circular (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎)

Fonte: Adaptada de Montoya (2000)

Sendo:

2

𝜔 = taxa mecânica de armadura;

𝜇 = momento fletor reduzido;

𝜈 = força normal reduzida;

ℎ = altura de seção;

𝑑′ = cobrimento;

𝑁𝑑 = força normal de cálculo;

𝑒0 = excentricidade da força aplicada.

De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) NBR 8953:2015

– Concretos para fins estruturais – Classificação pela massa específica, por grupos de resistência

e consistência, os concretos estruturais utilizados nos pilares de concreto armado podem

pertencer ao grupo I, quando variam a classe de resistência à compressão (𝑓𝑐𝑘) de 20 MPa à 50

MPa ou pertencer ao grupo II, com 𝑓𝑐𝑘 variando de 55MPa à 90MPa, estes últimos são

conhecidos como Concretos de Alta Resistência (CAR).

Devido ao surgimento de projetos arquitetônicos mais ousados, os concretos com

resistência elevada se mostram importantes para viabilizar construções com vãos maiores,

elementos mais esbeltos e consequentemente estruturas mais leves.

Os elementos estruturais, como os pilares, podem possuir diferentes tipos de seções

transversais, dentre elas é possível destacar as seções circulares, as quais estão presentes em

diversas estruturas como Obras de Arte Especiais (OAE), as estacas para fundações e as bases

de reservatórios elevados.

O procedimento para dimensionar pilares com essas seções também pode ser realizado

com o uso de ábacos adimensionais e estes variam conforme se modificam as características

iniciais do pilar, como resistência do concreto, geometria da seção, cobrimento e posição da

armadura.

1.2 – Objetivos

1.2.1 - Objetivo geral

O objetivo principal deste Trabalho de Conclusão de Curso é apresentar a metodologia

para a geração de ábacos adimensionais para o dimensionamento de pilares com seção circular

3

feitos em concretos convencionais e de alta resistência, a fim de ampliar o acervo técnico desse

material.

1.2.2 - Objetivos específicos

Os objetivos específicos são:

a) Elencar os parâmetros que diferenciam os concretos do grupo I (𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂 ≤ 𝒇𝒄𝒌 ≤

𝟓𝟎 𝑴𝑷𝒂) dos concretos do grupo II (𝟓𝟓 𝑴𝑷𝒂 ≤ 𝒇𝒄𝒌 ≤ 𝟗𝟎 𝑴𝑷𝒂), como a deformação

específica do concreto na ruptura (𝜺𝒄𝒖), a deformação específica do concreto no início

do patamar plástico (𝜺𝒄𝟐) e o índice 𝒏;

b) Desenvolver a relação entre a tensão e deformação para o concreto e para o aço da

estrutura de concreto armado e a equação de resistência desses elementos no Estado

Limite Último (ELU), encontrando a força normal e o momento fletor resistidos pela

seção transversal;

c) Transformar os dados em estudo para valores adimensionais, conforme propõe Santos

(1994), a fim de permitir a ampliação na utilização dos ábacos e não se vincular a valores

como o diâmetro da armadura e área da seção de concreto;

d) Criar um algoritmo no Programa Microsoft Excel que realize as devidas iterações com

a variação da linha neutra e otimize o procedimento de geração dos ábacos

adimensionais;

e) Deixar um acervo técnico de ábacos adimensionais para dimensionar pilares de seção

circular, a fim de que possa ser consultado por profissionais e estudantes da área.

1.3 - Estrutura do trabalho

A estrutura do trabalho é composta por sete capítulos. Este primeiro introduz o tema e

objetivos do trabalho, o segundo capítulo traz uma fundamentação teórica dos assuntos que são

essenciais para o desenvolvimento do trabalho. O terceiro expõe a metodologia de Santos

(1994) para geração de ábacos para os concretos do grupo I. O quarto capítulo demonstra a

metodologia de Sias (2014) para a geração de ábacos, a qual é expandida tanto para os concretos

do grupo I como para os do grupo II. O quinto capítulo aborda a configuração da planilha

construída no Programa Microsoft Excel. O sexto expõe os resultados e discussões com alguns

4

exemplos, os quais servem de comparação para verificar a eficiência dos ábacos e também

apresentar o procedimento de utilização. Por último, o sétimo capítulo exterioriza as

conclusões. Em anexo, estão disponíveis diversos ábacos adimensionais para o

dimensionamento de pilares de concreto armado de seção circular, os quais podem ser

facilmente consultados por profissionais da área.

5

2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - Dimensionamento de estruturas de concreto armado

Dimensionar uma estrutura de concreto armado consiste em definir uma seção

transversal de um elemento estrutural com intuito de fazer com que este elemento suporte as

solicitações impostas pelos carregamentos. Conforme Carvalho e Figueiredo Filho (2015), esse

dimensionamento deve garantir que, durante toda a sua vida útil, a estrutura se comporte de

forma segura, estável e sem deformações excessivas, com uma conveniente margem de

segurança.

Os métodos de cálculo das estruturas de concreto armado podem ser divididos em dois

grupos: métodos clássicos, ou das tensões admissíveis e os métodos de cálculo na ruptura, ou

dos estados limites (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015).

O primeiro deles é um método determinístico e supõe um comportamento

completamente elástico do material. Dessa maneira, as tensões máximas são limitadas a uma

fração da resistência dos materiais, as tensões admissíveis. Esse método leva ao

superdimensionamento dos elementos e mau aproveitamento dos materiais, uma vez que não

considera a capacidade de adaptação plástica. O segundo grupo garante a segurança fazendo

com que as solicitações correspondentes às cargas majoradas sejam menores do que as

solicitações últimas, as quais levariam a estrutura à ruptura, em um chamado Estado-Limite

Último (ELU) (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015).

Em seu item 12.5.2 a ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento afirma que, nas condições analíticas de segurança, as resistências não podem ser

menores do que as solicitações e devem ser analisadas para todos os estados-limites. Desse

modo, a relação na Equação 2.1 deve ser sempre atendida.

𝑅𝑑 ≥ 𝑆𝑑

(2.1)

Para verificação do Estado-Limite Último, 𝑅𝑑 e 𝑆𝑑, assumem os seus valores de cálculo

das ações estabilizantes e desestabilizantes, respectivamente.

Com intuito de determinar os efeitos dessas ações nos elementos, a ABNT NBR

6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento afirma que a análise estrutural

permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos

nas estruturas.

6

Assim sendo, em seguida a análise estrutural, são desenvolvidas as etapas de

dimensionamento, verificação e detalhamento, garantindo a segurança em relação aos Estados

Limites Últimos (ELU) e de Serviço (ELS). Em relação ao ELU, deve-se garantir uma

probabilidade suficientemente pequena de ruína além de uma boa ductilidade, de modo que a

ruína ocorra de forma avisada. Com relação ao ELS, deve-se respeitar o desempenho em

serviço, garantindo um limite para flechas, abertura de fissuras e vibrações.

Com relação às parcelas resistentes do concreto e do aço, deve-se transformar os valores

característicos das resistências em valores de cálculo. A resistência característica (𝑓𝑘) é aquela

que em um determinado lote de material tem uma determinada probabilidade de ser

ultrapassada, no sentido desfavorável. Já a resistência de cálculo (𝑓𝑑) é obtida a partir da

resistência característica inferior, através da Equação 2.2.

𝑓𝑑 =

𝑓𝑘𝛾𝑚

(2.2)

A variável 𝛾𝑚 é o coeficiente de ponderação das resistências, o qual é importante devido

às incertezas e possíveis falhas existentes como: execução inadequada, ausência de ensaios,

falhas no posicionamento dos elementos, ação de cargas não computadas, valores das

solicitações previstas diferente dos reais.

Assim, esse coeficiente considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos

(𝛾1), a diferença de resistência entre o corpo de prova e a estrutura (𝛾2) e os desvios gerados na

construção e aproximações de projeto (𝛾3), sendo:

𝛾𝑚 = 𝛾1 ∙ 𝛾2 ∙ 𝛾3 (2.3)

2.2 – Concreto

O concreto é um material obtido pela mistura adequada de cimento, agregado fino,

agregado graúdo e água. As diversas características que o concreto endurecido deve apresentar

para ser utilizado para compor um elemento estrutural dependem do planejamento e cuidado na

execução.

O concreto apresenta inúmeras vantagens as quais permitem o seu uso na construção

civil. A facilidade de moldagem, a resistência à água, ao fogo, às influências atmosféricas e ao

7

desgaste mecânico são algumas das propriedades que colocam o material em posição vantajosa

(TORRICO, 2010).

Torrico (2010) afirma ainda que alguns fatores dificultam a compreensão do

comportamento do concreto, como a diferença de resistência à compressão e à tração, a não

linearidade física, na qual a relação entre as tensões aplicadas no material e as deformações

obtidas se dá conforme um diagrama parábola-retângulo, a presença de fissuras e fenômenos

reológicos como retração e fluência.

A principal característica do concreto é a sua resistência à compressão, determinada por

ensaios em corpos de prova submetidos à compressão centrada (CARVALHO E FIGUEIREDO

FILHO, 2015). Costa et al (2017) afirmam que essa resistência característica é obtida aos 28

dias, quando o material atinge entre 60% e 90% da sua resistência total. Em décadas passadas,

os projetistas estavam satisfeitos em projetar estruturas de concreto armado com resistências à

compressão reduzidas, as quais satisfaziam as necessidades da época (Aïtcin, apud Rohden et

al, 2016). Entretanto, com o avanço do conhecimento na técnica e no cálculo estrutural,

estruturas mais ousadas foram surgindo, sendo então solicitadas por esforços maiores. Dessa

maneira, foi necessário elevar a resistência à compressão do concreto, de modo a compatibilizá-

la com as solicitações atuantes (BACCIN, 1998).

2.2.1 - Tensão-deformação para o concreto

O diagrama tensão-deformação expõe a relação entre a tensão (𝜎) e a deformação (휀)

para o concreto. Essa relação é importante, pois para a construção dos ábacos adimensionais

será necessário encontrar os esforços resistentes pelo concreto e pelo aço, e para isso é preciso

estudar a relação entre a tensão e a deformação para cada material que compõe a estrutura.

Para o concreto, o processo se torna mais complexo pois, conforme Carvalho e Pinheiro

(2009), quando a peça se aproxima do Estado Limite Último (ELU), onde são dimensionadas

as estruturas de concreto armado, a distribuição de tensões nesse material ocorre segundo um

diagrama parábola-retângulo, ou seja, para descobrir a força e o momento resistente pelo

concreto é necessário realizar a integração dessa tensão na área da seção comprimida.

A relação entre a tensão e a deformação se dá por intermédio do módulo de elasticidade,

ou módulo de deformação do material. Essa variável é uma grandeza mecânica que mede a

rigidez de um material sólido (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015). No concreto,

devido a não linearidade-física do material, esse módulo varia à medida que a tensão aumenta.

Esse módulo também se modifica ao mudar a classe de resistência do concreto.

8

Figura 2.1 - Diagrama tensão-deformação parábola-

retângulo do concreto

Fonte: ABNT NBR 6118 (2014)

A expressão que representa a relação entre a tensão e a deformação no concreto exposta

na Figura 2.1 é dada pela Equação 2.4.

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐′

휀𝑐2)

𝑛

] (2.4)

Sendo:

𝜎𝑐 = tensão no concreto em MPa;

휀𝑐2 = deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico

em ‰;

휀𝑐′ = deformação de uma fibra genérica de encurtamento do concreto em ‰;

𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘/1,4: resistência de cálculo à compressão do concreto em MPa, sendo 𝑓𝑐𝑘 a

resistência característica do concreto aos 28 dias.

𝑛 = índice utilizado na equação tensão-deformação do concreto.

Os valores das deformações apresentadas irão depender da classe de resistência do

concreto. Sendo valores constantes para os concretos do grupo I e valores que variam a cada

classe de resistência a partir do grupo II.

Um fato relevante na equação da tensão no concreto é a utilização do valor 0,85. A

ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento afirma que quando

se utiliza o diagrama parábola-retângulo, esse valor será fixo e igual a 0,85. Todavia, caso haja

9

uma simplificação desse diagrama para um retângulo, esse valor mudará conforme a classe de

resistência do concreto e de acordo com a geometria da seção.

No caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir

desta para a borda comprimida, esse valor será dado por:

𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

(2.5)

Caso contrário, será dado por:

0,9 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

(2.6)

Sendo, para os concretos do grupo I:

𝛼𝑐 = 0,85

(2.7)

Para os concretos do grupo II:

𝛼𝑐 = 0,85 ∙ [1 −

𝑓𝑐𝑘 − 50

200]

(2.8)

Neste trabalho não será feita a simplificação do diagrama parábola retângulo, logo esse

valor será sempre fixo igual a 0,85 conforme equação 2.4.

2.3 - Aço

Os aços são ligas metálicas ferrosas com teor de carbono de 0,008% até 2,04%. As

barras e os fios destinados a armaduras para concreto armado (CA25, CA50 e CA60), possuem

normalmente teor de carbono entre 0,08% e 0,50% (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO,

2015). As principais características para a definição de um aço são: a sua resistência

característica de escoamento à tração, seu limite de resistência e o alongamento na ruptura.

Cada categoria de aço utilizado na estrutura de concreto armado possui características

específicas. Os valores 25, 50 e 60 que acompanham suas siglas referem-se às resistências

características de escoamento (𝑓𝑦𝑘) respectivamente iguais a 250MPa, 500MPa, 600MPa, as

10

quais são reduzidas para a resistência de escoamento de cálculo (𝑓𝑦𝑑) para fins de cálculo

estrutural. O coeficiente de ponderação utilizado para o aço é igual a 1,15. Para este trabalho

será utilizado o aço da categoria CA50, sendo:

𝑓𝑦𝑑 =

500

1,15

(2.9)

𝑓𝑦𝑑 = 434,78 𝑀𝑃𝑎

(2.10)

2.3.1 - Tensão-deformação para o aço

Dentre os dados a serem fornecidos para a geração dos ábacos está o arranjo da

armadura, o qual é indispensável para qualquer cálculo de flexão simples ou composta

(SANTOS, 1994).

Para lajes, vigas e outros elementos estruturais, a distribuição dessa armadura é mais

econômica quando disposta em duas bordas. Entretanto, o mesmo não ocorre para os pilares,

onde é conveniente distribuí-la em todo o perímetro da seção (SANTOS, 1994).

Para o aço, conforme Bendô (2011), o cálculo da resistência da armadura torna-se mais

simples, porque a utilização de integrais não é necessária. Isso ocorre, pois diferente do

concreto, o diagrama tensão-deformação do aço é bilinear, de acordo com Santos (1994) (Figura

2.2).

Figura 2.2 - Diagrama tensão-deformação bilinear do aço.

Fonte: Adaptada de Bendô (2011)

A tensão (𝜎𝑠𝑑) em cada barra na seção do transversal é dada pela relação entre o módulo

de elasticidade (𝐸𝑠) e a deformação do material (휀𝑠𝑑), limitando o valor máximo da tensão à

resistência de escoamento do aço (𝑓𝑦𝑑), conforme equações 2.11 e 2.12.

𝜎𝑠

휀𝑦𝑑 휀𝑠𝑢 휀𝑠

𝑓𝑦𝑑

11

𝜎𝑠𝑑 = 𝐸𝑠 ∙ 휀𝑠𝑑 , para 0 ≤ |휀𝑠𝑑| ≤ |휀𝑦𝑑|

(2.11)

𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 , para |휀𝑠𝑑| > |휀𝑦𝑑|

(2.12)

𝐸𝑠 = módulo de elasticidade do aço igual a 210.000 MPa;

𝑓𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘/1,15 = resistência de escoamento de cálculo do aço, sendo 𝑓𝑦𝑘 a resistência

característica do aço à tração;

휀𝑦𝑑 = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento;

휀𝑠𝑢 = deformação última do aço;

휀𝑠𝑑 = deformação do aço em uma dada posição de linha neutra.

2.4 - Domínios de deformação

O modelo de cálculo adotado neste trabalho é o dos estados limites. Logo, para que uma

seção transversal atinja a ruína, para qualquer tipo de flexão no estado limite último, é preciso

que as deformações específicas do aço ou do concreto (ou de ambos) atinjam os valores

máximos de deformação específica desses materiais (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO,

2015).

As deformações específicas últimas do concreto dependem da classe de resistência desse

material. As deformações específicas últimas do aço tanto em tração como em compressão

equivale a 10‰. Os valores dessas deformações sempre estarão representados em ‰.

Carvalho e Figueiredo Filho (2015) afirmam que os domínios de deformação, então,

representam as diversas possibilidades de ruína da seção, a cada par de deformação específica

de cálculo 휀𝑐 (concreto) e 휀𝑠 (aço), a seção é capaz de resistir a um par de esforço normal e

momento fletor.

Assim, Bendô (2011) afirma que para estudar a ruptura da seção transversal, deve-se

verificar qual dos materiais irá romper primeiro, a depender do domínio em que estão situadas

as deformações, o que, por sua vez, dependerá da posição da linha neutra.

A Figura 2.3 demonstra os domínios de deformação.

12

Figura 2.3 – Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal

para concretos de todas as classes.

Fonte: ABNT NBR 6118:2014

No domínio 1 ocorre a tração não uniforme e não ocorre compressão. A ruptura é

comandada pelo aço que se encontra com deformação 휀𝑠 = 10‰ e não há participação do

concreto que se encontra tracionado e, portanto, totalmente fissurado. A linha neutra é externa

a seção transversal e quando se encontra na posição 𝑥 = −∞ ocorre tração uniforme

representada pela reta “a”.

No domínio 2 a linha neutra já corta a seção ocorrendo portanto esforços de tração e

compressão (flexão simples ou composta), o estado limite último ocorre com o aço em 휀𝑠 =

10‰, porém o concreto não atinge a deformação última, ou seja, 휀𝑐 < 휀𝑐𝑢 . Nos domínios 1 e

2 as deformações giram em torno do ponto A.

No domínio 3 também ocorre a flexão simples ou composta, a reta de deformação gira

agora em torno do ponto B. O concreto atinge a sua deformação específica última 휀𝑐 = 휀𝑐𝑢 e

por isso a ruína da seção ocorre com ruptura do concreto simultaneamente com o escoamento

do aço, pois este possui valores maiores do que a deformação especifica de escoamento (휀𝑦𝑑).

No domínio 4 a reta de deformação continua girando em torno no ponto B, a linha neutra

ainda corta a seção transversal, porém a armadura não atinge a sua deformação de escoamento,

o que significa que não ocorrem grandes deformações do aço e a ruptura é sem aviso.

No domínio 4a a linha neutra passa entre a armadura e o cobrimento inferior da seção.

Ou seja, a armadura está sofrendo esforços de compressão. Portanto, a seção possui apenas uma

13

pequena parcela de concreto tracionado, a deformação ainda gira em torno do ponto B. Nos

domínios 3, 4 e 4a, estão incluídas as compressões excêntricas com grande excentricidade

(FUSCO apud SIAS, 2014).

Finalmente no domínio 5, há a compressão uniforme, sem tração. A linha neutra está

fora da seção e a reta de deformação gira em torno do ponto C. Quando a linha neutra encontra-

se na posição 𝑥 = +∞ ocorre compressão uniforme representada pela reta “b”. Neste domínio,

estão as compressões excêntricas com pequena excentricidade (FUSCO apud SIAS, 2014).

2.5 - Regiões de deformação

Com o estudo dos domínios de deformação, é possível perceber que apesar de existirem

6 domínios (1, 2, 3, 4, 4a e 5), as retas de ruptura sempre giram em torno de três pontos (A, B

e C). Esses pontos são chamados de polos de ruína, os quais definem três regiões de deformação,

as quais englobam os seis domínios (SANTOS, 1994).

A região III englobará os domínios 1 e 2. A região II englobará os domínios 3, 4 e 4a.

E a região I englobará o domínio 5, conforme Figura 2.4.

Figura 2.4 – Regiões de deformação

Fonte: Adaptada de Bendô (2011).

Em seguida, é necessário estudar como ocorrem as deformações em cada uma dessas

regiões, estabelecendo equações de compatibilidade sempre em função da linha neutra.

Para a região I, conforme a Figura 2.5, as retas que definem a deformação passam pelo

ponto B, no qual a deformação equivale a 휀𝑐2. No topo da seção ocorre encurtamento máximo

(휀𝑐) e na base ocorre o encurtamento mínimo (휀𝑐0). A variável 𝑚 representa a distância vertical

do ponto de ruína B e o topo da seção, 𝑥 é a posição da linha neutra, ℎ𝑦 a altura da seção, 휀𝑐′ a

14

deformação em uma fibra genérica, 휀𝑐𝑢 a deformação última e 𝑑𝑖 a distância dessa fibra ao topo

da seção.

Figura 2.5 – Deformações na Região I

Fonte: Adaptada de Bendô (2011).

Desse modo, a relação de deformação será:

휀𝑐

𝑥=

휀𝑐2

𝑥 − 𝑚 (2.13)

Sendo:

𝑚 =휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2

휀𝑐𝑢∙ ℎ𝑦 (2.14)

Portanto, substituindo 2.14 em 2.13:

휀𝑐

𝑥= (

휀𝑐2

𝑥 −(휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2) ∙ ℎ𝑦

휀𝑐𝑢

) (2.15)

Denominando-se a relação entre 𝑥 e ℎ𝑦 de 𝛽𝑥, tem-se:

𝑚

휀𝑐2

휀𝑐′

15

휀𝑐 =

𝛽𝑥 ∙ 휀𝑐2

𝛽𝑥 −(휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2)

휀𝑐𝑢

(2.16)

Logo, para descobrir a deformação da fibra genérica denominada 휀𝑐′ :

휀𝑐′

𝑥 − 𝑑𝑖=

휀𝑐

𝑥 (2.17)

Denominando-se a relação entre 𝑑𝑖 e ℎ𝑦 de 𝛽𝑖:

휀𝑐

′

𝛽𝑥 − 𝛽𝑖=

휀𝑐

𝛽𝑥 (2.18)

Assim, aplicando 2.16 em 2.18:

휀𝑐

′ =

𝛽𝑥 ∙ 휀𝑐2

𝛽𝑥 −(휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2)

휀𝑐𝑢

∙ (𝛽𝑥 − 𝛽𝑖)

𝛽𝑥

(2.19)

Segundo explica Bendô (2011) deve-se ter cuidado, porque quando 휀𝑐 = 휀𝑐2, 𝛽𝑥 tende

ao infinito. Porém, a planilha limitará os valores de 𝛽𝑥 a 10000.

A região II engloba os domínios 3, 4 e 4a e a reta de deformação gira em torno no ponto

A, conforme Figura 2.6.

Figura 2.6 – Deformações na Região II


휀𝑐′

휀𝑐𝑢

16

As relações se dão de forma mais simples e a deformação da fibra genérica será dada

por:

휀𝑐′

휀𝑐𝑢=

(𝑥 − 𝑑𝑖)

𝑥

(2.20)

휀𝑐′

휀𝑐𝑢=

(𝛽𝑥 − 𝛽𝑖)

𝛽𝑥

(2.21)

휀𝑐

′ =휀𝑐𝑢 ∙ (𝛽𝑥 − 𝛽𝑖)

𝛽𝑥

(2.22)

Para a Região III:

Figura 2.7 – Deformações na Região III


A deformação da fibra genérica será dada por:

휀𝑐′

𝑥 − 𝑑𝑖=

10

ℎ𝑦 − 𝑑′ − 𝑥 (2.23)

휀𝑐

′ =10 ∙ (𝛽𝑥 − 𝛽𝑖)

1 − 𝛿 − 𝛽𝑥 (2.24)

17

Sendo 𝛿 a relação entre 𝑑′ e ℎ𝑦.

2.6 - Curvatura do eixo da peça

Santos (1994) traz a equação da curvatura do eixo da peça em uma seção, dada por:

1

𝑟=

휀𝑐𝑎− 휀𝑐𝑏

𝑑𝑎𝑏 (2.25)

Sendo:

1

𝑟 : A curvatura do eixo da peça;

휀𝑐𝑎− 휀𝑐𝑏 : diferença de deformação entre duas fibras quaisquer (deformações em

números puros);

𝑑𝑎𝑏 : distância entre as duas fibras medidas perpendiculamente à linha neutra.

Essa variável possui dimensão e pode ser representada por 𝑐𝑚−1,𝑚−1. Santos (1994)

sempre propõe trabalhar com variáveis adimensionais, e dessa forma, ele define uma nova

curvatura chamada de 𝜃.

𝜃 = 1000 ∙ ℎ𝑦 ∙

1

𝑟

(2.26)

A curvatura da seção então é dada pela diferença de deformação entre o topo da seção

e a deformação na linha neutra que é igual a zero. A distância entre essas fibras equivale a

posição da linha neutra dada por 𝑥.

1

𝑟=

(휀𝑐 − 0)

𝑥

(2.27)

Desse modo:

𝜃 = 1000 ∙ ℎ𝑦 ∙휀𝑐

𝑥 (2.28)

𝜃 = 1000 ∙휀𝑐

𝛽𝑥 (2.29)

Ou, com a deformação em ‰, pode-se escrever:

18

𝜃 =휀𝑐

𝛽𝑥

(2.30)

2.7 - Estudo dos pilares de concreto armado

2.7.1 - O pilar como elemento estrutural

Segundo Carvalho e Pinheiro (2009), pilares são elementos estruturais que recebem

esforços de compressão simples ou de compressão composta normal ou oblíqua e são dispostos

geralmente na vertical, sendo estes de grande importância, pois conduzem para as fundações as

cargas provenientes de vigas e lajes (Figura 2.8).

Em seu item 14.4.1.2 a ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento conceitua pilar como sendo um elemento linear de eixo reto, no qual são

preponderantes as forças normais de compressão e que este é disposto usualmente na vertical.

Figura 2.8 - Esquema estrutural de uma edificação

Fonte: http://www.educacional.com.br/especiais/Niemeyer/includes/

arqCalculos/arranhaceus_imprimir.asp?strTitulo=Arranha-c%E9us

(2018).

Diante disso, é possível concluir que os pilares são triviais na composição de uma

estrutura e que eles atuam como membros de transição do carregamento estrutural, proveniente

do peso próprio ou de cargas de utilização.

Esse elemento pode ser feito em concreto armado, utilizando tanto os concretos

convencionais, concretos do grupo I, com resistência à compressão (𝑓𝑐𝑘) de 20 MPa até 50 MPa,

como os Concretos de Alta Resistência (CAR), concretos do grupo II com 𝑓𝑐𝑘 variando entre

55MPa e 90MPa.

Devido ao desenvolvimento na área da engenharia e arquitetura, foram criadas

construções e obras de arte mais ousadas e os materiais convencionais não eram suficientes para

19

essa construção, sendo muitas vezes inviáveis e antieconômicos. Para acompanhar essa

evolução foi necessário aplicar os CAR, permitindo a construção de elementos mais esbeltos e

com desempenho esperado (TORRICO, 2010).

Dentre as obras que necessitam da utilização desses concretos estão, conforme Baccin

(1998): os edifícios de grande altura, nos quais pilares com resistência elevada permitem seções

mais esbeltas; as pontes com grandes vãos, nas quais o peso próprio da estrutura é reduzido

porque o volume de concreto é menor e, além disso, a durabilidade dos pilares aumenta, em

função da menor atuação de agentes agressivos, porquanto a porosidade e permeabilidade do

concreto é mais baixa; e as plataformas de petróleo, devido a durabilidade estendida, menor

custo de manutenção e maior fluidez do concreto, o que possibilita a concretagem com taxas de

armadura altas.

Figura 2.9 - Viaduto de Millau, na França, construído com concreto de

60 MPa.

Fonte: https://www.engenhariaeconstrucao.com/2011/02/viaduto-de-

millau.html (2018).

Frente a essa importância, a ABNT NBR 6118:2007 – Projeto de estruturas de concreto

– Procedimento foi reavaliada para introduzir a metodologia para dimensionamento de

elementos feitos com os concretos do grupo II, porque antes só abordava para concretos com

𝑓𝑐𝑘 de até 50 MPa. Assim sendo, foi elaborada a ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas

de concreto – Procedimento, a qual traz os métodos de dimensionamentos com concretos de

resistência à compressão de até 90 MPa.

https://1.bp.blogspot.com/-kmgLFUSML9A/UPykHxOUAwI/AAAAAAAAB-w/5pvPaUuHRTQ/s1600/viaduto+de+millau5.jpg

20

2.7.2 - Flexão composta normal e oblíqua

Os pilares podem estar submetidos à compressão simples, na qual atua apenas uma força

normal, à flexão simples (normal ou oblíqua), que atua apenas um momento fletor ou

submetidos à flexão composta (normal ou oblíqua) na qual atuam tanto o esforço normal como

o momento fletor (Figura 2.10).

Sias (2014) afirma que raramente são encontrados pilares sujeitos a esforços de tração

ou a compressão pura, pois na prática, esta última é quase impossível devido às imperfeições

físicas e geométricas.

Figura 2.10 – Seção submetida à (a) Compressão Simples. (b) Flexão Simples. (c) Flexão

Composta.

(a) (b) (c)


A flexão normal ocorre quando o plano de carregamento ou a sua resultante é

perpendicular à linha neutra. Ou seja, o plano contém um dos eixos principais de inércia da

seção, que, em seções simétricas, o momento fletor atua no plano de simetria.

A flexão oblíqua ocorre quando o plano do carregamento não é normal à linha neutra,

ou quando a seção não é simétrica, pela forma ou disposição das armaduras.

21

Figura 2.11 – Seção submetida a uma flexão (a) normal (b) oblíqua.

(a) (b)


2.7.3 - Dimensionamento de pilares

O dimensionamento de pilares pode ser realizado por meio de programas

computacionais ou por métodos analíticos com o uso de ábacos adimensionais. Dentre os

programas computacionais está o aplicativo gratuito P-Calc, o qual foi desenvolvido com

intuito de auxiliar o estudo de pilares de concreto armadura submetido a flexão composta

oblíqua (CARDOSO JÚNIOR, 2014). Por outro lado, conforme Carvalho e Pinheiro (2009), os

ábacos para o dimensionamento de pilares submetidos à flexão composta oblíqua são diagramas

em três dimensões, mas, para simplificar a elaboração e utilização destes, são reduzidos para

duas dimensões. Isto significa cortar a superfície em um plano em que a força normal 𝑁 (ou em

valor reduzido, 𝜈) é constante e obter um gráfico no qual os eixos horizontal e vertical são

compostos pelo momento fletor decomposto.

22

Figura 2.12 – Superfícies de interação (𝑁,𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦) em

valores reduzidos.

Fonte: Carvalho e Pinheiro (2009)

Para os pilares submetidos à flexão composta normal, como só há atuação do momento

fletor em um dos eixos, o ábaco será composto por duas dimensões, sendo um eixo formado

pelo momento fletor e o outro pela força normal. Dessa forma, tem-se um corte vertical

coincidindo com um dos eixos horizontais apresentados na Figura 2.12.

De acordo com Lima (2018), o uso desses ábacos consiste na transformação dos

esforços solicitantes em parâmetros adimensionais 𝜈, 𝜇𝑥 e 𝜇𝑦, os quais representam,

respectivamente, a força normal reduzida e os momentos fletores reduzidos em torno do eixo y

e do eixo x. Esses parâmetros podem ser visualizados na Figura 2.12.

Os ábacos adimensionais para dimensionar esses pilares se modificam conforme as

características iniciais do elemento estrutural, dentre elas: o tipo de seção, a resistência a

compressão do concreto (grupo I ou grupo II), o posicionamento da armadura, o cobrimento

adotado. Para pilares, Montoya (2000) expõe que, além das seções retangulares e em T,

aparecem na prática outras seções transversais, como as em forma de caixão, as circulares e as

em forma de anel.

23

Figura 2.13 – Seções especiais para pilares (a) caixão (b) circular (c) circular vazada

(a) (b) (c)

Fonte: Autor (2018)

Assim, os pilares com seção circular possuem ábacos adimensionais específicos devido

às particularidades desse tipo de seção. Diante dessa singularidade, o acervo técnico atual

desses ábacos se mostra escasso, a citar o material proposto por Montoya (2000), o qual traz

alguns ábacos para pilares circulares com concretos convencionais, mas que de acordo com a

norma brasileira não podem ser utilizados para os concretos de resistência elevada.

2.8 - Concretos de Alta Resistência - CAR

Os Concretos de Alta Resistência (CAR) são materiais que possuem uma resistência à

compressão elevada e menor quantidade de fissuras internas iniciais. Essas características se

dão pela menor relação água cimento e pela escolha adequada de agregados. Assim, devido a

essa menor quantidade de fissuras, quando o concreto está submetido a esforços de compressão,

principalmente pilares, acumula-se energia antes da ruptura, o que a torna repentina e frágil

(TORRICO, 2010).

Essa característica se reflete nas propriedades dos CAR, como na deformação específica

do concreto na ruptura (휀𝑐𝑢) e na deformação específica do concreto no início do patamar

plástico (휀𝑐2). Para os concretos do grupo I, esses valores de deformação são constantes,

todavia, quando se trata dos concretos do grupo II, esses valores modificam-se à medida que a

resistência à compressão aumenta. Observa-se que com o incremento do 𝑓𝑐𝑘, os valores de 휀𝑐𝑢

e 휀𝑐2 se tornam cada vez mais próximos, comprovando assim o aumento da fragilidade do

material, pois isso significa que ao atingir o estado plástico 휀𝑐2 o concreto se deformará menos

até a ruptura 휀𝑐𝑢. Além dessas variáveis, existe o índice 𝑛, utilizado na expressão da relação

24

entre a tensão e a deformação do concreto (Equação 2.4), o qual também sofre variações com a

mudança da classe do concreto, a partir do grupo II.

A ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento traz as

equações utilizadas na obtenção desses parâmetros para os concretos do grupo II. São elas:

휀𝑐𝑢 = 2,6‰ + 35‰ ∙ [

90 − 𝑓𝑐𝑘100

]4

(2.31)

휀𝑐2 = 2,0‰ + 0,085‰ ∙ (𝑓𝑐𝑘 − 50)0,53

(2.32)

𝑛 = 1,4 + 23,4 ∙ [

(90 − 𝑓𝑐𝑘)

100]

4

(2.33)

Para os concretos do grupo I, esses valores são fixos e iguais a: 휀𝑐𝑢 = 3,5‰, 휀𝑐2 =

2,0‰ e 𝑛 = 2.

Sendo:

휀𝑐𝑢 = deformação específica do concreto na ruptura;

휀𝑐2 = deformação específica do concreto no início do patamar plástico;

𝑓𝑐𝑘= resistência do concreto à compressão;

𝑛 = índice utilizado na equação tensão-deformação do concreto.

Tabela 2.1 – Parâmetros dos concretos conforme classe de resistência

𝑓𝑐𝑘 (𝑀𝑃𝑎) 휀𝑐2 (‰) 휀𝑐𝑢 (‰) 𝑛

Até 50 2,000 3,500 2,000

55 2,199 3,125 1,751

60 2,288 2,884 1,590

70 2,416 2,656 1,437

80 2,516 2,604 1,402

90 2,600 2,600 1,400

Fonte: Autor (2018)

25

3 - METODOLOGIA I – ÁBACOS POR INTEGRAÇÃO

3.1 - Equacionamento para o aço

Quando se calcula uma seção de concreto armado submetida à flexão simples ou

composta é indispensável o estudo da sua armadura. Para vigas e lajes é mais econômica a

distribuição dessas barras em duas bordas, mas, para pilares, é conveniente distribuí-la em todo

o perímetro da seção (SANTOS, 1994).

Em pilares com seções circulares, o arranjo da armadura adequado é o formato circular

ou coroa de círculo, mantendo uma distribuição uniforme das barras, de acordo com a Figura

3.1.

A metodologia apresentada a seguir para descobrir os esforços resistentes da armadura

é proposta por Santos (1994).

Sendo 𝑛 o número de barras na seção transversal, o número de camadas na seção é dado

por:

𝑛′ =𝑛

2+ 1

(3.1)

Figura 3.1 - Arranjo de armadura na seção circular

Fonte: Adaptada de Santos (1994)

26

É necessário encontrar a posição de cada barra na seção, pois, sabendo a distância desta

ao topo da seção, é possível aplicar as relações de tensão-deformação equacionadas no Capítulo

2, a depender da posição da linha neutra e da região na qual a seção se encontra (I, II ou III).

Santos (1994) propõe trabalhar com funções trigonométricas, e define o ângulo de cada camada

(𝑖) através da variável 𝜓𝑖, em radianos.

𝜓𝑖 = (

𝑛

2+ 1 − 𝑖) ∙

2 ∙ 𝜋

𝑛 (3.2)

Aplicando 3.1 em 3.2:

𝜓𝑖 = (𝑛′ − 𝑖) ∙

2 ∙ 𝜋

𝑛 (3.3)

A partir dessa informação é possível determinar a distância dessa camada ao topo da

seção (𝑑𝑖) e trabalhar com essa variável em valores reduzidos dividindo esse valor pelo

diâmetro da seção (ℎ𝑦):

𝑑𝑖

ℎ𝑦= 𝛽𝑖 (3.4)

Assim, tem-se:

𝛽𝑖 = 0,5 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜓𝑖) + 𝛿 ∙ cos 𝜓𝑖 (3.5)

Sendo:

𝛿 = A relação entre o cobrimento 𝑑′e o diâmetro da seção ℎ𝑦.

Com o valor de 𝛽𝑖 é possível descobrir a deformação de cada uma das camadas

utilizando as equações genéricas 2.19, 2.22 e 2.24 das Regiões I, II e III abordadas no Capítulo

2. Nesse momento, a planilha terá uma posição de linha neutra fixa, assim é possível saber qual

das três equações utilizar.

Obtida a deformação, é preciso encontrar a tensão atuante na barra. Para o aço, basta

multiplicar a deformação em cada camada pelo módulo de elasticidade do material equivalente

a 210 𝐺𝑃𝑎. É importante lembrar que a tensão é limitada ao valor da tensão de escoamento do

aço, que, para este trabalho, devido ao uso do CA50, será:

𝑓𝑦𝑑 =

500

1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 (3.6)

27

Dessa forma, a planilha verifica se a deformação é maior do que a deformação de

escoamento 휀𝑠𝑖 > 2,07. Caso seja maior, a tensão é limitada a 434,78 𝑀𝑃𝑎. É relevante

lembrar também a convenção de sinais adotada que, segundo Santos (1994) propõe, quando

ocorre alongamento, ou seja, tração nas barras, a deformação específica é dada em valores

negativos. Uma vez que os valores da tensão variam linearmente com deformação por

intermédio do módulo de elasticidade, essa tensão também será negativa. Nesses casos, quando

a deformação específica ultrapassar a deformação de escoamento do aço, a tensão é limitada a

−434,78 𝑀𝑃𝑎.

Com a tensão em cada camada, precisa-se descobrir a força normal e o momento fletor

resistente. Para a força normal, multiplica-se a tensão pela área de aço da camada e para o

momento fletor multiplica-se essa força pelo braço de alavanca, conforme equações a seguir:

𝐹𝑠𝑖 = 𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝐴𝑠𝑖 (3.7)

𝑀𝑠𝑖 = 𝐹𝑠𝑖 ∙ (0,5 − 𝛽𝑖) (3.8)

A parcela (0,5 − 𝛽𝑖) representa a distância da barra ao centro da seção e é dada em

valores reduzidos. Uma vez que essa parcela seja multiplicada por ℎ𝑦 e sabendo que 𝑟 é o raio

e a metade de ℎ𝑦, tem-se:

𝑀𝑠𝑖 = 𝐹𝑠𝑖 ∙ (0,5 ∙ ℎ𝑦 − 𝑑𝑖)

(3.9)

𝑀𝑠𝑖 = 𝐹𝑠𝑖 ∙ (𝑟 − 𝑑𝑖)

(3.10)

Dessa maneira, quando a barra em estudo está posicionada acima da linha neutra, esta

está submetida a esforços de compressão (positivos de acordo com a convenção de sinais

adotada). Nesta posição, a diferença (𝑟 − 𝑑𝑖) também é positiva, de modo que o momento tem

sinal positivo, conforme a Figura 3.2.

28


centroide.

(a) (b)

Fonte: Autor (2018)

Por outro lado, quando a barra em estudo está posicionada abaixo da linha neutra, esta

está submetida a esforços de tração (negativos de acordo com a convenção de sinais adotada).

Nesta posição, a diferença (𝑟 − 𝑑𝑖) também é negativa, de modo que o momento fletor ainda

terá sinal positivo, de acordo com a Figura 3.3.


centroide.

(a) (b)

Fonte: Autor (2018)

Há um caso específico em que a barra está posicionada entre o centro geométrico da

seção e a linha neutra, para esses casos, o momento fletor resistido por essa barra será negativo.

Porém, como a resistência da seção é equivalente a soma da contribuição de todas as barras, o

29

momento fletor final será sempre positivo, pois essa parcela negativa não é suficiente para zerar

o somatório.

3.1.1 - Planilha para esforços na armadura

A Figura 3.4 expõe a parte da planilha que calcula a resistência da armadura na seção

transversal:

Figura 3.4 – Configuração da planilha para esforços resistentes na armadura (por camadas)

Camada 𝜓𝑖 𝛽𝑖 휀𝑠𝑖 𝜎𝑠𝑖 ∅𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐴𝑠𝑖 𝐹𝑠𝑖 𝑀𝑠𝑖

11 0,00000 0,1000 3,15 434,78 20 3,14 1365,91 546,36

10 0,31416 0,1196 3,08 434,78 20 6,28 2731,82 1039,25

9 0,62832 0,1764 2,88 434,78 20 6,28 2731,82 884,04

8 0,94248 0,2649 2,57 434,78 20 6,28 2731,82 642,29

7 1,25664 0,3764 2,18 434,78 20 6,28 2731,82 337,67

6 1,57080 0,5000 1,75 367,50 20 6,28 2309,07 0,00

5 1,88496 0,6236 1,32 276,65 20 6,28 1738,24 -214,86

4 2,19911 0,7351 0,93 194,69 20 6,28 1223,28 -287,61

3 2,51327 0,8236 0,62 129,65 20 6,28 814,61 -263,61

2 2,82743 0,8804 0,42 87,89 20 6,28 552,23 -210,08

1 3,14159 0,9000 0,35 73,50 20 3,14 230,91 -92,36

n° barras 20 TOTAL 62,832 19161,518 2381,083

Camadas 11

Fonte: Autor (2018)

3.2 - Equacionamento para o concreto

Nas seções circulares, Santos (1994) propõe trabalhar com coordenadas polares e realiza

integrações com limites de integração de zero a 𝜑, sendo este o ângulo que define a posição da

linha neutra.

As equações a seguir são válidas apenas para os concretos do grupo I, pois Santos (1994)

utiliza os valores de deformação específica e o índice 𝑛 referentes a esses concretos. A Figura

3.5 representa a seção transversal de concreto com suas respectivas variáveis de estudo.

30

Figura 3.5 – Parâmetros para integração do concreto


Sendo:

𝜑 = ângulo que fornece posição da linha neutra;

𝛼 = ângulo que fornece a posição do elemento de concreto infinitesimal;

𝑥 = profundidade da linha neutra;

ℎ𝑦 = altura da seção/diâmetro;

𝑟 = raio da seção;

𝑑𝐴𝑐𝑐 = Elemento infinitesimal de área;

𝑦 = profundidade do elemento de concreto infinitesimal.

3.2.1 - Posição da linha neutra

Como já dito anteriormente, a linha neutra é representada pelo ângulo 𝜑, que vai de zero

no topo da seção até 𝜋. Quando a linha neutra está dentro da seção (𝑥 ≤ ℎ𝑦), ela é dada por:

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑟 − 𝑥

𝑟 (3.11)

Relembrando a equação da curvatura da seção, pode-se afirmar que:

𝑥 = 𝛽𝑥 ∙ ℎ𝑦 =

(휀𝑐 ∙ ℎ𝑦)

𝜃 (3.12)

Assim, sabendo que 𝑟 é a metade de ℎ𝑦:

31

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑟 −

(휀𝑐 ∙ ℎ𝑦)𝜃

𝑟

(3.13)

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 cos

𝑟 ∙ 𝜃 − (휀𝑐 ∙ ℎ𝑦)

𝑟 ∙ 𝜃 (3.14)

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 cos

𝜃 − 2 ∙ 휀𝑐

𝜃 (3.15)

Quando a linha neutra estiver fora da seção (𝑥 > ℎ𝑦) considera-se:

𝜑 = 𝜋 (3.16)

A Equação 3.11 é válida para todos os casos em que 𝜑 assume valores de zero a 𝜋.

Para 𝜑 variando de zero a 𝜋/2, tem-se :

Figura 3.6 – Demonstração para 𝜑 < 𝜋/2 (a) posição dos ângulos na seção transversal (b)

relação trigonométrica.

Fonte : Autor (2018)

Para 𝜑 variando de 𝜋/2 a 𝜋, tem-se :

32

Figura 3.7 – Demonstração para 𝜑 > 𝜋/2 (a) posição dos ângulos na seção transversal

(b) relação trigonométrica.

Fonte : Autor (2018)

Dessa maneira, para que a relação seja válida para todos os casos, os cossenos dos

angulos 𝛽 e 𝜑 devem ter módulos iguais e sinais opostos. De acordo com as Figuras 3.6 e 3.7 :

cos𝜑 = −cos 𝛽

(3.17)

(𝑟 − 𝑥)

𝑟= −

(𝑥 − 𝑟)

𝑟

(3.18)

(𝑟 − 𝑥)

𝑟=

(−𝑥 + 𝑟)

𝑟

(3.19)

Desse modo, a solução sempre resulta na Equação 3.11. A razão para essa relação

ocorrer é o fato desses ângulos serem suplementares, pois a soma deles é igual a 180°. Como

exemplo, considera-se os ângulos 120° e 60°. Assim:

cos 120 = −cos 60

−0,5 = −(0,5)

3.2.2 - Elemento infinitesimal de área

33

Para encontrar os esforços resistentes associados ao concreto comprimido é necessário

realizar uma integração da tensão atuante conforme o diagrama parábola-retângulo (Equação

2.4) na área de concreto comprimida (área hachurada da Figura 3.5). Dessa forma, é necessário

resolver as seguintes integrais para força normal e momento fletor, respectivamente:

𝑅𝑐𝑐 = ∫ 𝜎𝑐 ∙ 𝑑𝐴𝑐𝑐

𝜑

0

(3.20)

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎 = ∫ 𝜎𝑐 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴𝑐𝑐

𝜑

0

(3.21)

Santos (1994) passa a caracterizar todas as variáveis em função dos ângulos 𝛼 e 𝜑. O

elemento infinitesimal de área 𝑑𝐴𝑐𝑐 será dado em função do ângulo 𝛼.

Figura 3.8 – Elemento infinitesimal de área

Fonte : Adaptada de Santos (1994)

Desse modo:

𝑑𝐴𝑐𝑐 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ 𝑑𝑦 (3.22)

Sendo:

34

𝑦 = 𝑟 − 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 (3.23)

𝑑𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ 𝑑𝛼 (3.24)

Assim:

𝑑𝐴𝑐𝑐 = 2 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑑𝛼 (3.25)

3.2.3 - Tensão na fibra genérica

A posição de uma fibra genérica na seção circular também será dada em função dos

ângulos. Observando a Figura 3.9 é possível desenvolver a equação da tensão para essas fibras.

Figura 3.9 – Posição da fibra genérica


Assim:

𝑦 = 𝑟 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) (3.26)

𝑝 = 𝑥 − 𝑦 (3.27)

𝑝 = 𝑥 − 𝑟 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) (3.28)

휀𝑐

휀𝑐′

35

E a deformação em uma fibra genérica é dada por:

휀𝑐′ = 휀𝑐 ∙

𝑥 − 𝑦

𝑥 (3.29)

휀𝑐′ = 휀𝑐 ∙

𝑝

𝑥 (3.30)

Finalmente, para encontrar a tensão em uma fibra genérica e sabendo que a tensão no

concreto é regida pela Equação 3.31:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐′

휀𝑐2)

𝑛

] (3.31)

Fazendo as substituições dos parâmetros dos concretos do grupo I (휀𝑐2 = 2,0‰ e 𝑛 =

2), tem-se:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐′

2)

2

] (3.32)

De modo que ao substituir 3.30 em 3.32:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐 ∙ 𝑝

2 ∙ x)2

] (3.33)

Desenvolvendo o produto notável:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (

휀𝑐 ∙ 𝑝

x−

휀𝑐2 ∙ 𝑝

4 ∙ x2

2

) (3.34)

Inserindo 3.12 em 3.28:

𝑝 =

휀𝑐 ∙ ℎ𝑦

θ− 𝑟 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) (3.35)

Ao inserir as Equações 3.35 e 3.12 na 3.34, tem-se, conforme Santos (1994):

36

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (A + B ∙ cos 𝛼 + C ∙ cos2 𝛼) (3.36)

Sendo:

𝐴 = 𝐷 −

𝐷4

4 (3.37)

𝐵 =

𝜃

2∙ (1 −

𝐷

2)

(3.38)

𝐶 = −

𝜃2

16 (3.39)

𝐷 = 휀𝑐 −

𝜃

2 (3.40)

3.2.4 - Localização da fibra com encurtamento (𝜺𝒄𝟐)

A fibra com encurtamento 휀𝑐2 é importante pois definirá se o concreto está trabalhando

no estado elástico ou no estado plástico.

Conforme a Figura 3.10 é possível fazer as seguintes correlações:

Figura 3.10 – Posição da fibra com encurtamento 휀𝑐2


𝑥′ =

𝑥 ∙ (휀𝑐 − 휀𝑐2)

휀𝑐 (3.41)

휀𝑐

휀𝑐2

휀𝑐′

37

Da Equação 3.12:

𝑥′ =

ℎ𝑦 ∙ (휀𝑐 − 휀𝑐2)

𝜃 (3.42)

𝛽𝑥

′ =(휀𝑐 − 휀𝑐2)

𝜃 (3.43)

Por outro lado, tem-se:

𝑥′ = 𝑟 − 𝑟 ∙ cos 𝛼1 (3.44)

𝑥′ =

ℎ𝑦

2∙ (1 − cos 𝛼1) (3.45)

𝛽𝑥′ = 0,5 ∙ (1 − cos 𝛼1) (3.46)

Por fim, a posição da fibra de encurtamento dada pelo ângulo 𝛼1.

𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐 cos (

𝜃 − 2 ∙ 휀𝑐 + 2 ∙ 휀𝑐2

𝜃) (3.47)

3.2.5 - Estados elástico e plástico

A depender do domínio em que a seção se encontre, o concreto pode estar parcialmente

ou totalmente comprimido (BENDÔ, 2011). Diante disso, para resolver as integrais das

Equações 3.20 e 3.21, é preciso estudar os estados elástico e plástico.

No estado elástico, a deformação da fibra mais comprimida não atinge a deformação

limite de escoamento (휀𝑐 < 휀𝑐2) e a tensão no concreto não atinge o seu valor máximo e

continua a ser regida pela equação do diagrama parábola-retângulo. No estado plástico, a

deformação da fibra mais comprimida ultrapassa a deformação limite de escoamento (휀𝑐 >

휀𝑐2). Nesse caso, quando a deformação limite é atingida a tensão no concreto é igual a um valor

fixo equivalente a tensão máxima.

38

Figura 3.11 – Estado elástico (a) linha neutra na seção (b) linha neutra fora da seção

(a) (b)


Figura 3.12 – Estado plástico (a) linha neutra na seção (b) linha neutra fora da seção

(a) (b)


3.2.6 - Cálculo da força normal

A força normal é dada pela integração da tensão no concreto na área de concreto

comprimida.

3.2.6.1 - Estado elástico

휀𝑐 < 휀𝑐2 휀𝑐 < 휀𝑐2 𝜎𝑐 < 𝜎𝑐𝑑 𝜎𝑐 < 𝜎𝑐𝑑

휀𝑐 > 휀𝑐2 𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑 휀𝑐 > 휀𝑐2 𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑑

39

No estado elástico, a deformação limite não foi atingida, portanto a tensão no concreto

é dada pela Equação 3.36, de modo que:

𝑅𝑐𝑐 = ∫ 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (A + B ∙ cos 𝛼 + C ∙ cos2 𝛼) ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑑𝛼

𝜑

0

(3.48)

𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙ (𝐴 ∙ 𝐸 + 𝐵 ∙ 𝐹 + 𝐶 ∙ 𝐺) (3.49)

Sendo:

𝐸 =

𝜑

2−

𝑠𝑒𝑛 (2 ∙ 𝜑)

4 (3.50)

𝐹 =

𝑠𝑒𝑛3(𝜑)

3 (3.51)

𝐺 =

𝜑

8−

𝑠𝑒𝑛(4 ∙ 𝜑)

32 (3.52)

Santos (1994), propõe trabalhar com valores adimensionais dividindo o valor da força

normal pela tensão no concreto e pela área da seção. Portanto, o valor da força normal reduzida

é representado por:

𝜂 =

𝑅𝑐𝑐

0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 (3.53)

𝜂 =

2

𝜋∙ (𝐴 ∙ 𝐸 + 𝐵 ∙ 𝐹 + 𝐶 ∙ 𝐺) (3.54)

3.2.6.2 - Estado plástico

No estado plástico, a integral será dividida em duas partes: na primeira delas a

deformação limite foi atingida e a tensão é dada por um valor fixo igual a tensão máxima. O

limite de integração vai de zero até o ângulo 𝛼1, que representa o ponto que divide os estados

elástico e plástico. Na segunda parte, a tensão continua a ser dada pelo diagrama parábola-

retângulo e o limite de integração vai de 𝛼1 até a linha neutra (𝜑).

40

𝑅𝑐𝑐 = ∫ 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∙ 𝑑𝛼

𝛼1

0

+ ∫ σc ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑑𝛼𝜑

𝛼1

(3.55)

𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙

[ ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∙ 𝑑𝛼

𝛼1

0

+

∫ (A + B ∙ cos 𝛼 + C ∙ cos2 𝛼) ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ 𝑑𝛼𝜑

𝛼1 ]

(3.56)

O resultado da integral é:

𝑅𝑐𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟2 ∙ [𝐸1 + 𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐸1) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐹1) + 𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐺1)] (3.57)

Sendo:

𝐸1 =

𝛼1

2−

𝑠𝑒𝑛 (2 ∙ 𝛼1)

4 (3.58)

𝐹1 =

𝑠𝑒𝑛3(𝛼1)

3 (3.59)

𝐺1 =

𝛼1

8−

𝑠𝑒𝑛(4 ∙ 𝛼1)

32 (3.60)

Em valores reduzidos:

𝜂 =

2

𝜋∙ [𝐸1 + 𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐸1) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐹1) + 𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐺1)] (3.61)

3.2.7 - Cálculo do momento fletor

O momento fletor é dado pela integração da tensão no concreto na área de concreto

comprimida vezes o braço de alavanca do elemento infinitesimal de área.

3.2.7.1 - Estado elástico

No estado elástico, a deformação limite não foi atingida, portanto a tensão no concreto

é dada pela Equação 3.36, de modo que:

41

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎 = ∫ [0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (A + B ∙ cos 𝛼 + C ∙ cos2 𝛼) ∙ 2 ∙ 𝑟3 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∙

𝜑

0

∙ (1 − cos 𝛼)𝑑𝛼]

(3.62)

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟3 ∙ [𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐹) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐺) + 𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐽)] (3.63)

Sendo:

𝐽 = 𝐻 −

𝐹

5− 𝐼 (3.64)

𝐻 =

𝑠𝑒𝑛(𝜑)

5

(3.65)

𝐼 =

𝑠𝑒𝑛𝜑 ∙ cos4 𝜑

5

(3.66)

Portanto, o valor do momento fletor reduzido é representado por:

𝜂′ =

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎

0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3

(3.67)

𝜂′ =

1

𝜋∙ [𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐹) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐺) + 𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐽)]

(3.68)

3.2.7.2 - Estado plástico

No estado plástico, a integral também será dividida em duas partes:

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟3 ∙

∙

[ ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 ∙ (1 − cos𝛼) ∙ 𝑑𝛼

𝛼1

0

+∫ (A + B ∙ cos 𝛼 + C ∙ cos2 𝛼) ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 ∙ (1 − cos𝛼) ∙ 𝑑𝛼𝜑

𝛼1 ]

(3.69)

O resultado da integral é:

42

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 2 ∙ 𝑟3 ∙∙ [𝐸1 − 𝐹1 + 𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐸1 − 𝐹 + 𝐹1) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐹1 − 𝐺 + 𝐺1)+ 𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐺1 − 𝐽 + 𝐽1)]

(3.70)

Onde:

𝐽1 = 𝐻1 −

𝐹1

5− 𝐼1

(3.71)

𝐻1 =

𝑠𝑒𝑛(𝛼1)

5

(3.72)

𝐼1 =

𝑠𝑒𝑛 𝛼1 ∙ cos4 𝛼1

5

(3.73)

Em valores reduzidos:

𝜂′ =

1

𝜋∙ [

𝐸1 − 𝐹1 + 𝐴 ∙ (𝐸 − 𝐸1 − 𝐹 + 𝐹1) + 𝐵 ∙ (𝐹 − 𝐹1 − 𝐺 + 𝐺1)

+𝐶 ∙ (𝐺 − 𝐺1 − 𝐽 + 𝐽1)]

(3.74)

3.2.8 - Planilha do concreto

43

Figura 3.13 – Planilha dos valores resistidos pelo concreto

3.3 - Esforços resistentes da seção transversal

Com os esforços resistidos por cada um dos materiais, é possível encontrar o valor

resistido pela seção transversal. Na metodologia de Santos (1994) a parcela do concreto é dada

pela integral e a parcela do aço pelo somatório. Como o autor propõe trabalhar com valores

adimensionais:

𝑁𝑅𝑑

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐=

𝑅𝑐𝑐

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐+ ∑

𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑑𝑖

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐

𝑛

𝑖=1

(3.75)

POSIÇÃO DA LINHA

NEUTRA 𝛽𝑥 0,50

Domínio 3 Raio (𝑟) 0,1

D 0,2

n 2 휀𝑐𝑢 3,5 휀𝑐2 2 x 0,1

CÁLCULO DAS

DEFORMAÇÕES

𝛽𝑖 휀

Topo: 0,00 3,5000

Linha

neutra: 0,50 0,0000

Base: 1,00 -3,5000

𝜃 7

𝜑 1,570796327

𝛼1 0,962550748

VARIÁVEIS

DAS

INTEGRAIS

ESTADO

ELÁSTICO

A 0 휀𝑐 < 2

B 3,5 𝜂 0,35991056

C -3,0625 𝜂′ 0,09118182

D 0

E 0,785398

F 0,333333 ESTADO

PLÁSTICO

G 0,19635 휀𝑐 > 2

H 0,2 𝜂 0,38076855

I 2,82E-66 𝜂′ 0,09265069

J 0,133333

E1 0,24680

F1 0,18422 VALOR ADOTADO

G1 0,14065 𝜂 0,38076855

H1 0,16413 𝜂′ 0,09265069

I1 0,0175

J1 0,10978

Fonte: Autor (2018)

44

𝑀𝑅𝑑

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐 ∙ ℎ𝑦=

𝑅𝑐𝑐 ∙ (0,5 ∙ ℎ𝑦 − 𝑎)

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐 ∙ ℎ𝑦+ ∑

𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑑𝑖 ∙ (0,5 ∙ ℎ𝑦 − 𝑑𝑖)

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐 ∙ ℎ𝑦

𝑛

𝑖=1

(3.76)

Sabendo que Santos (1994) define:

𝜈 =

𝑁𝑅𝑑


(3.77)

𝜇 =

𝑀𝑅𝑑


(3.78)

𝜔 =

𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐 (3.79)

𝜔𝑖 =

𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝑓𝑦𝑑


(3.80)

𝜂 =

𝑅𝑐𝑐


(3.81)

𝜂′ =

𝑅𝑐𝑐 ∙ 𝑎


(3.82)

Pode-se reescrever as Equações 3.75 e 3.76:

𝜈 = 𝜂 +

1

𝑓𝑦𝑑∑𝜔𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑑𝑖

𝑛

𝑖=1

(3.83)

𝜇 = 0,5 ∙ 𝜂 − 𝜂′ +

1

𝑓𝑦𝑑∑𝜔𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑑𝑖 ∙ (0,5 − 𝛽𝑖)

𝑛

𝑖=1

(3.84)

Expressando o valor de 𝜔𝑖 em função de 𝜔:

45

𝜈 = 𝜂 +

𝜔

𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑∑𝜎𝑠𝑑𝑖

𝑛

𝑖=1

(3.85)

𝜇 = 0,5 ∙ 𝜂 − 𝜂′ +

𝜔

𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑∑𝜎𝑠𝑑𝑖 ∙ (0,5 − 𝛽𝑖)

𝑛

𝑖=1

(3.86)

Conforme Bendô (2011) sugere, a parcela do aço é constante para cada posição de linha

neutra e será representada pelas variáveis:

𝑠𝑜𝑚𝑎1 =

1


𝑛

𝑖=1

(3.87)

𝑠𝑜𝑚𝑎2 =

1


𝑛

𝑖=1

(3.88)

46

4 – METODOLOGIA II – ÁBACOS POR SOMATÓRIO

4.1 - Equacionamento para o aço

Sabe-se que para encontrar os esforços resistentes na armadura é preciso relacionar a

tensão-deformação para cada barra de aço. A deformação em cada barra é dada pelas relações

de compatibilidade de deformações na seção transversal, mas para isso, é preciso saber a

coordenada de cada barra e sua distância em relação ao topo da seção. Sias (2014) traz um

conjunto de equações que trabalham relações trigonométricas na seção e permitem encontrar

os parâmetros necessários para cada barra de aço.

A tensão em cada barra de aço é definida pelo autor como:

𝜎𝑠𝑖 = 𝐸𝑠 ∙ 휀𝑠𝑖

(4.1)

Sendo:

𝐸𝑠 = módulo de elasticidade do aço igual a 210.000 MPa;

휀𝑠𝑖 = deformação específica de uma barra de aço;

Figura 4.1 - Coordenadas das barras de aço na

seção circular

Fonte: Adaptada de Sias (2014)

47

Diferente de Santos (1994), Sias (2014) define as coordenadas para cada barra (𝑖) e não

para cada camada. A altura/diâmetro da seção será chamado pela variável 𝐷 e não mais ℎ𝑦.

O ângulo entre as barras (𝜃′) é definido pelo ângulo total da circunferência dividido pelo

números de barras na seção (𝑛).

𝜃′ =

2 ∙ 𝜋

𝑛

(4.2)

Dessa forma, as coordenadas de cada barra podem ser descritas em função de 𝜃′

conforme a Figura 4.1.

𝑦𝑠𝑖 = (

𝐷

2− 𝑑′) ∙ 𝑠𝑒𝑛 [(𝑖 − 1) ∙

2 ∙ 𝜋

𝑛]

(4.3)

Com 𝑖 variando de 1 até 𝑛. A variável 𝑦𝑠𝑖 representa a distância vertical da barra ao

centro da seção. Para encontrar a distância vertical até o topo da seção (𝑦𝑡𝑖):

𝑦𝑡𝑖 =

𝐷

2− 𝑦𝑠𝑖

(4.4)

𝑦𝑡𝑖 =

𝐷

2− (

𝐷

2− 𝑑′) ∙ 𝑠𝑒𝑛 [(𝑖 − 1) ∙

2 ∙ 𝜋

𝑛]

(4.5)

Assim, sabendo-se a distância da barra até o topo da seção, trabalha-se com valores

reduzidos, dividindo essa variável pelo diâmetro da seção e encontrando 𝛽𝑖.

𝛽𝑖 =𝑦𝑡𝑖

𝐷

(4.6)

Da mesma forma como foi feito para a metodologia de Santos (1994), com o valor de

𝛽𝑖 é possível descobrir a deformação de cada uma das camadas utilizando as equações genéricas

2.19, 2.22 e 2.24 das Regiões I, II e III abordadas no Capítulo 2. Encontrada a deformação,

utiliza-se a Equação 4.1 para obter a tensão nas barras de aço, lembrando de limitar esse valor

à tensão de escoamento do aço. Encontrada a tensão, descobre-se a força e o momento fletor

resistidos pelas barras com as Equações 3.7 e 3.8.

48

4.1.1 - Planilha para esforços na armadura

Figura 4.2 – Configuração da planilha para esforços resistentes na armadura (por barras)

Fonte: Autor (2018)

4.2 - Equacionamento para o concreto

4.2.1 - Coordenada dos elementos da seção transversal

Diferente de Santos (1994), Sias (2014) não trabalha com integrais. O autor divide a

área de concreto em partes pequenas o suficiente para ser desconsiderada a variação de tensão

dentro destas. Desse modo, o círculo que representa a seção transversal do pilar será dividido

em 20 círculos de igual espaçamento entre os raios e em 36 raios, de acordo com a Figura 4.3.

Barras D/2-d' θ ys(i) D/2 yt(i) bi esi Tensão Bitola Asi Fsi Msi

1 18,0 0,349 0,000 20,0 20,000 0,5000 1,7500 367,5000 20 3,142 1154,5353 0,0000

2 18,0 0,349 6,156 20,0 13,844 0,3461 2,2887 434,7826 20 3,142 1365,9098 210,2259

3 18,0 0,349 11,570 20,0 8,430 0,2107 2,7624 434,7826 20 3,142 1365,9098 395,09554 18,0 0,349 15,588 20,0 4,412 0,1103 3,1140 434,7826 20 3,142 1365,9098 532,31075 18,0 0,349 17,727 20,0 2,273 0,0568 3,3011 434,7826 20 3,142 1365,9098 605,32146 18,0 0,349 17,727 20,0 2,273 0,0568 3,3011 434,7826 20 3,142 1365,9098 605,32147 18,0 0,349 15,588 20,0 4,412 0,1103 3,1140 434,7826 20 3,142 1365,9098 532,31078 18,0 0,349 11,570 20,0 8,430 0,2107 2,7624 434,7826 20 3,142 1365,9098 395,09559 18,0 0,349 6,156 20,0 13,844 0,3461 2,2887 434,7826 20 3,142 1365,9098 210,225910 18,0 0,349 0,000 20,0 20,000 0,5000 1,7500 367,5000 20 3,142 1154,5353 0,000011 18,0 0,349 -6,156 20,0 26,156 0,6539 1,2113 254,3768 20 3,142 799,1484 -122,996212 18,0 0,349 -11,570 20,0 31,570 0,7893 0,7376 154,8980 20 3,142 486,6264 -140,758813 18,0 0,349 -15,588 20,0 35,588 0,8897 0,3860 81,0621 20 3,142 254,6641 -99,245514 18,0 0,349 -17,727 20,0 37,727 0,9432 0,1989 41,7748 20 3,142 131,2395 -58,1606

15 18,0 0,349 -17,727 20,0 37,727 0,9432 0,1989 41,7748 20 3,142 131,2395 -58,1606

16 18,0 0,349 -15,588 20,0 35,588 0,8897 0,3860 81,0621 20 3,142 254,6641 -99,2455

17 18,0 0,349 -11,570 20,0 31,570 0,7893 0,7376 154,8980 20 3,142 486,6264 -140,7588

18 18,0 0,349 -6,156 20,0 26,156 0,6539 1,2113 254,3768 20 3,142 799,1484 -122,9962

18 56,549 16579,7062 2643,5847

0,6743 0,1075

TOTAL

49

Figura 4.3 – Representação dos elementos de concreto

na seção circular.

Quantidade de raios e círculos

apenas representativa

Fonte: Adaptada de Sias (2014)

A coordenada no eixo y de cada elemento será determinada considerando o centro

geométrico de cada um deles.

Considerando que os círculos são representados pela variável 𝑟 = (1,… ,20) e os raios

pela variável 𝑏 = (1,… ,36), é possível estabelecer a coordenada do eixo “y” de cada parte

(𝑦𝑐(𝑟,𝑏)), a qual representa a distância do centro geométrico de cada parte ao centro da seção.

𝑦𝑐(𝑟,𝑏) = (

𝐷

2− 𝑟 ∙

𝐷

40+

𝐷

80) ∙ 𝑠𝑒𝑛 [(𝑏 − 1) ∙

2 ∙ 𝜋

36+

2 ∙ 𝜋

72]

(4.7)

Logo, para encontrar a distância do centro do elemento ao topo da seção, subtrai o valor

da Equação 4.7 do raio da seção.

𝑦𝑡(𝑟,𝑏) =

𝐷

2− 𝑦𝑐(𝑟,𝑏)

(4.8)

A distância do elemento até a linha neutra será dada por:

50

ℎ𝑐(𝑟,𝑏) = 𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏)

(4.9)

Sendo:

𝑥 = posição da linha neutra.

Esse valor é importante para encontrar a tensão em cada elemento e consequentemente

encontrar a força normal e o momento fletor resistidos. Por fim, soma-se as parcelas de todos

os elementos e obtêm-se a resistência total.

4.2.2 - Equações das regiões de deformação

A relação para cada uma das três regiões já foi desenvolvida no Capítulo 2. Para a

Região II (Domínios 3, 4 e 4a) sabe-se que a deformação de uma fibra genérica na seção

transversal é dada pela relação:

휀𝑐

′ =휀𝑐𝑢 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

𝑥 (4.10)

Desse modo, a tensão no concreto que foi mostrada na Equação 2.4, fica representada

por:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐𝑢 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

𝑥 ∙ 휀𝑐2)

𝑛

]

(4.11)

Para a Região I (Domínio 5), baseando-se na Equação 2.19 sabe-se que a deformação

de uma fibra genérica na seção transversal é dada pela relação:

휀𝑐′ = [

휀𝑐2 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

(𝑥 ∙ 휀𝑐𝑢 − 𝐷 ∙ (휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2)

휀𝑐𝑢)] (4.12)

Desse modo, a tensão no concreto fica representada por:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

휀𝑐𝑢 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

𝑥 ∙ 휀𝑐𝑢 − 𝐷 ∙ (휀𝑐𝑢 − 휀𝑐2))

𝑛

] (4.13)

51

Para a Região III (Domínio 2), sabe-se que a deformação de uma fibra genérica na seção

transversal é dada pela relação:

휀𝑐

′ = [10 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

𝐷 − 𝑑′ − 𝑥] (4.14)

Desse modo, a tensão no concreto fica representada por:

𝜎𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ [1 − (1 −

10 ∙ (𝑥 − 𝑦𝑡(𝑟,𝑏))

(𝐷 − 𝑑′ − 𝑥) ∙ 휀𝑐2)

𝑛

]

(4.15)

É importante lembrar que quando a tensão resultar em um valor negativo, significa que

o elemento de concreto está sendo tracionado, ou seja, deve-se desconsiderar o seu valor, pois

considera-se que o concreto resiste apenas a esforços de compressão. Da mesma forma, o valor

máximo para a tensão conforme Sias (2014) afirma é limitado à (0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑).

4.2.3 - Área de cada elemento da seção transversal

Com a tensão em cada elemento, para encontrar a força normal e o momento fletor

resistido, é necessário saber a área de concreto em cada elemento, dada por:

𝐴𝑐(𝑟,𝑏) =[𝜋 ∙ (

𝐷40 ∙ (21 − 𝑟)

2

− 𝜋 ∙ (𝐷40 ∙ (20 − 𝑟)

2

]

36

(4.16)

4.2.4 - Braço de alavanca para cada elemento da seção transversal

Para encontrar o momento fletor resistido, além da área do elemento, é necessário

descobrir a sua distância até o centro da seção. Esse valor é dado por:

𝐵𝑐(𝑟,𝑏) =

𝐷

2− 𝑦𝑡(𝑟,𝑏)

(4.17)

52

Figura 4.4 – Braço de alavanca para o cálculo do momento fletor

Fonte: Autor (2018)

4.3 - Esforços resistentes da seção transversal

Encontrados os esforços de cada um dos materiais, é possível encontrar o valor resistido

pela seção transversal. Na metodologia de Sias (2014), isso é feito através de um somatório

conforme Equação 4.18 e 4.19.

𝑁𝑅𝑑 = ∑ ∑ 𝜎𝑐(𝑟.𝑏) ∙ 𝐴𝑐(𝑟,𝑏)

36

𝑏=1

20

𝑟=1

+ ∑𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖

𝑛

𝑖=1

(4.18)

𝑀𝑅𝑑 = ∑ ∑ 𝜎𝑐(𝑟.𝑏) ∙ 𝐴𝑐(𝑟,𝑏) ∙ 𝐵𝑐(𝑟,𝑏)

36

𝑏=1

20

𝑟=1

+ ∑𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖

𝑛

𝑖=1

(4.19)

Da mesma forma que Santos (1994) propõe, deve-se trabalhar com valores

adimensionais. De modo que:

𝑁𝑅𝑑

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐= ∑ ∑

𝜎𝑐(𝑟.𝑏) ∙ 𝐴𝑐(𝑟,𝑏)


36

𝑏=1

20

𝑟=1

+ ∑𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖


𝑛

𝑖=1

(4.20)

53

𝑀𝑅𝑑

𝜎𝑐𝑑 ∙ 𝐴𝑐 ∙ ℎ𝑦= ∑ ∑

𝜎𝑐(𝑟.𝑏) ∙ 𝐴𝑐(𝑟,𝑏) ∙ 𝐵𝑐(𝑟,𝑏)


36

𝑏=1

20

𝑟=1

+ ∑𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖


𝑛

𝑖=1

(4.21)

Pode-se reescrever as Equações 4.20 e 4.21:

𝜈 = 𝜂 +

1

𝑓𝑦𝑑∑𝜔𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖

𝑛

𝑖=1

(4.22)

𝜇 = 0,5 ∙ 𝜂 − 𝜂′ +

1

𝑓𝑦𝑑∑𝜔𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖 ∙ (0,5 − 𝛽𝑖)

𝑛

𝑖=1

(4.23)

Expressando o valor de 𝜔𝑖 em função de 𝜔:

𝜈 = 𝜂 +

𝜔


𝑛

𝑖=1

(4.24)

𝜇 = 0,5 ∙ 𝜂 − 𝜂′ +

𝜔


𝑛

𝑖=1

(4.25)

Da mesma forma, conforme Bendô (2011) sugere, a parcela do aço é constante para

cada posição de linha neutra e será representada pelas variáveis:

𝑠𝑜𝑚𝑎1 =

1


𝑛

𝑖=1

(4.26)

𝑠𝑜𝑚𝑎2 =

1


𝑛

𝑖=1

(4.27)

54

5 - PLANILHA DE GERAÇÃO DE ÁBACOS

5.1 - Planilha com informações de entrada

A planilha inicial informa ao Programa Excel os dados iniciais da seção transversal do

pilar circular. As informações necessárias são: o cobrimento da armadura, o tipo do aço, a

resistência à compressão do concreto, o diâmetro da seção. Além dessas informações, o usuário

pode inserir as solicitações de cálculo: esforço normal e o momento fletor.

A planilha, baseando-se nas informações dadas, calcula os valores reduzidos dessas

solicitações e plota esse par de esforços no gráfico. O usuário ao consultar o ábaco pode

facilmente identificar o valor da taxa de armadura e colocá-la no campo definido. Em seguida,

o usuário obtém como resultado a área de armadura necessária ao equilíbrio da seção.

Figura 5.1 – Planilha com informações de entrada

Fonte: Autor (2018)

5.2 - Planilha com dados base

A planilha com dados base contém as informações base para as equações apresentadas

nos capítulos anteriores. De acordo com o valor de resistência à compressão do concreto

fornecido nas informações de entrada, a planilha calcula alguns parâmetros intermediários

utilizados nos cálculos finais para determinação da resistência da seção transversal, como as

deformações específicas últimas, as deformações específicas do patamar de escoamento e o

índice 𝑛.

55

Tabela 5.1 - Deformações específicas e índice 𝑛

𝒇𝒄𝒌 𝜺𝒄𝟐 𝜺𝒄𝒖 𝒏

até 50 MPa 2,000 3,500 2,000

55 MPa 2,199 3,125 1,751

60 MPa 2,288 2,884 1,590

70 MPa 2,416 2,656 1,437

80 MPa 2,516 2,604 1,402

90 MPa 2,600 2,600 1,400

Fonte: Autor (2018)

Além disso, a planilha fornece a posição da linha neutra nas transições dos domínios de

deformação a depender do concreto selecionado na planilha de entrada. A posição da linha

neutra é tratada com seu valor adimensional, agora denominada por 𝛽𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜 e 𝛽fim.

Figura 5.2 - Valores limites da linha neutra em cada domínio de deformação

Fonte: Autor (2018)

Esses valores de linha neutra são importantes para definir as linhas que dividem os

domínios de deformação no ábaco. E com eles é possível definir qual a Região (I, II ou III) que

56

a seção transversal se enquadra e consequentemente saber qual equação de compatibilidade

utilizar.

5.3 - Planilha de iteração

A planilha de iteração gera os dados propriamente ditos para a formação dos ábacos.

Ela contém as equações que foram desenvolvidas nos capítulos anteriores e as suas partes

principais foram mostradas nos respectivos capítulos, ou seja, a parte que mostra o cálculo da

parcela resistente pelo aço e pelo concreto. Desse modo, ela fornece os valores resistentes da

seção e transforma esses valores em adimensionais.

A parte da planilha que gera os valores de entrada para o ábaco utiliza os valores de

𝜈, 𝜇 𝑒 𝜔. Desse modo, varia-se 𝜔 de 0,05 até 1,00, e encontram-se diversos pares (𝜈, 𝜇). É

preciso ter atenção na organização dos dados, porque o ábaco é formado por curvas e cada uma

delas corresponde a um valor fixo de 𝜔. Então, para formar uma curva são necessários diversos

pares (𝜈, 𝜇) correspondentes a um mesmo valor de 𝜔 que são obtidos a partir da variação da

linha neutra.

Tabela 5.2 – Pares (𝜈, 𝜇) para construção do ábaco

0,05 0,235149327 0,076625418

0,1 0,235149327 0,086841426

0,15 0,235149327 0,097057434

0,2 0,235149327 0,107273442

0,25 0,235149327 0,11748945

0,3 0,235149327 0,127705458

0,35 0,235149327 0,137921466

0,4 0,235149327 0,148137475

0,45 0,235149327 0,158353483

0,5 0,235149327 0,168569491

0,55 0,235149327 0,178785499

0,6 0,235149327 0,189001507

0,65 0,235149327 0,199217515

0,7 0,235149327 0,209433523

0,75 0,235149327 0,219649532

0,8 0,235149327 0,22986554

0,85 0,235149327 0,240081548

0,9 0,235149327 0,250297556

0,95 0,235149327 0,260513564

1 0,235149327 0,270729572

Fonte: Autor (2018)

57

Da mesma forma que Bendô (2011) propõe , a linha neutra varia de 0,1 até 10000,

através do valor de 𝛽𝑥, totalizando 50 iterações. Inicialmente, consideram-se incrementos iguais

a 0,05 e valor máximo 𝛽𝑥 = 2,0. Na sequência, foram adotados incrementos iguais a 0,25 e valor

máximo 𝛽𝑥 = 3,0. Posteriormente, foram empregados incrementos iguais a 0,5 e valor máximo

de 𝛽𝑥 = 4,0. Finalmente, adotou-se a sequência de valores fixos de 𝛽𝑥 = 5; 𝛽𝑥 = 10; 𝛽𝑥 =

100; 𝛽𝑥 = 1000; 𝛽𝑥 = 10000.

5.4 - Planilha de armazenamento de dados

A cada iteração da linha neutra novos dados são gerados, desse modo, é preciso a cada

iteração armazenar os dados obtidos na planilha de armazenamento de dados.

5.5 - Planilha do ábaco

No final, são reunidos os dados para a geração do ábaco. O ábaco é composto por 20

curvas com 𝜔 variando de 0,05 até 1,00. No eixo horizontal estão os valores de força normal

reduzida 𝜈 e no eixo vertical os valores de momento fletor reduzido 𝜇. O ponto em destaque

indica a solicitação inserida pelo usuário na planilha de entrada. Por fim, as retas traçadas

indicam a divisão dos domínios de deformação.

58

Figura 5.3 – Configuração final do ábaco gerado pela planilha

Fonte: Autor (2018)

59

6 - RESULTADOS E DISCUSSÕES

A fim de exemplificar o uso da planilha e identificar a sua precisão, foram apresentados

neste capítulo exemplos para dimensionamento de diversas seções transversais circulares de

concreto armado submetidas a esforços de flexo-compressão.

Com o objetivo de analisar a eficiência dos ábacos adimensionais gerados e comparar

os resultados obtidos, foi utilizado o P-Calc 1.4.0, um aplicativo gratuito que analisa pilares

submetidos a flexão composta. Esse aplicativo, verifica, no ELU, pilares submetidos a flexão

composta, normal ou oblíqua, tanto para concretos do grupo I como para os do grupo II para

diversos tipos de seções transversais, incluindo as seções circulares. O programa foi

desenvolvido pelo Engenheiro Civil Sander David Cardoso Júnior, encontra-se na versão

V1.4.0.

Nas tabelas de comparação dos resultados será calculada a diferença percentual da área

de aço encontrada em relação ao resultado obtido pelo ábaco desenvolvido.

6.1 - Exemplo 01

Proposto por Sias (2014) e obtido do trabalho de Borges (2014), o primeiro exemplo

corresponde a uma seção transversal de um pilar com: 𝐷 = 50 cm; 𝑑′ = 2,5 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 25 MPa;

𝑁𝑑 = 840 kN; 𝑀𝑑 = 210 kN.m.

Segundo Sias (2014), para esse pilar, a área de aço encontrada por Borges (2014) é de

13,55 cm².

Agora, verifica-se a área de aço encontrada com ábaco gerado pela metodologia

proposta por Sias (2014). Com o uso da planilha tem-se como informações entrada:

Figura 6.1 – Informações de entrada da planilha (Exemplo 01)

Fonte: Autor (2018)

60

Logo em seguida, é gerado o ábaco para a situação descrita, obtendo-se, portanto:

Figura 6.2 – Ábaco adimensional 𝑓𝑐𝑘 = 25 MPa, d’/h = 0,05

Fonte: Autor (2018)

Ao retirar o valor de 𝜔 do ábaco, tem-se:

Figura 6.3 – Valores de entrada e saída do ábaco adimensional (Exemplo 01)

Fonte: Autor (2018)

Dessa forma, com um 𝜔 igual a 0,18, tem-se uma área de aço de 14,52 cm².

Com o P-Calc 1.4.0, encontra-se para a situação descrita uma taxa da armadura de

0,72%, considerando um fator de segurança de 1,01. Ou seja:

𝐴𝑠 =0,72

100∙ 𝐴𝑐

61

𝐴𝑠 =0,72

100∙ 1963,49

𝐴𝑠 = 14,14 𝑐𝑚²

Figura 6.4 – Interface do Programa P-Calc 1.4.0 (Exemplo 01)

Fonte: Autor (2018)

Com o ábaco proposto por Montoya (2001) também se encontra um 𝜔 = 0,18.

Figura 6.5 – Ábaco proposto por Montoya (2001), d’/h=0,05

Fonte: Adaptada de Montoya (2001).

62

Desse modo, ao comparar os resultados, tem-se:

Tabela 6.1 – Resumo das áreas de aço obtidas (Exemplo 01)

Fonte As (cm²) Diferença

Percentual

Borges (2014) 13,55 -6,68%

Ábaco desenvolvido 14,52 -

Ábaco (Montoya, 2001) 14,52 0,0%

P-Calc 1.4.0 14,14 -2,62%

Fonte: Autor (2018)

6.2 - Exemplo 02

Proposto por Lima (2018), o segundo exemplo considera uma seção transversal de um

pilar com: 𝐷 = 40 cm; 𝑑′ = 2,0 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 25 MPa; 𝑁𝑑 = 2000 kN; 𝑀𝑑 = 114,02 kN.m.

Segundo Lima (2018), para esse pilar, a área de aço encontrada com o cálculo

automatizado do programa gerado em seu trabalho é de 23,39 cm².

Em seguida, verifica-se a área de aço encontrada com ábaco gerado pela metodologia

proposta por Sias (2014). Com o uso da planilha tem-se como informações entrada:

Figura 6.6 – Informações de entrada da planilha (Exemplo 02)

Fonte: Autor (2018)

Logo em seguida, é gerado o ábaco para a situação descrita, obtendo-se, portanto:

63


Fonte: Autor (2018)



Fonte: Autor (2018)

Dessa forma, com um 𝜔 igual a 0,56, tem-se uma área de aço de 28,90 cm².



𝐴𝑠 =1,95

100∙ 𝐴𝑐

𝐴𝑠 =1,95

100∙ 1256,63

𝐴𝑠 = 24,50 𝑐𝑚²

64


Fonte: Autor (2018)

Com o ábaco proposto por Montoya (2001) se encontra um 𝜔 = 0,50 e uma 𝐴𝑠 = 25,81

cm².


Fonte: Adaptada de Montoya (2001).


65



Percentual

Programa de Lima (2018) 23,39 -19,07%


Ábaco (Montoya, 2001) 25,81 -10,70%

P-Calc 1.4.0 24,50 -15,22%

Fonte: Autor (2018)

6.3 - Exemplo 03

Apresentado por Santos (1994), o terceiro exemplo traz uma seção transversal de um

pilar com: 𝐷 = 40 cm; 𝑑′ = 3,0 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 20 MPa; 𝑁𝑑 = 900 kN; 𝑀𝑑 = 100 kN.m.

Conforme Santos (1994) a área de aço necessária para resistir aos esforços é igual a

12,58 cm².

Verifica-se a área de aço encontrada com ábaco gerado pela metodologia proposta por

Sias (2014). O ábaco para a situação descrita é:


Fonte: Autor (2018)


66


Fonte: Autor (2018)

Dessa forma, com um 𝜔 igual a 0,32, tem-se uma área de aço de 13,21cm².



𝐴𝑠 =0,88

100∙ 𝐴𝑐

𝐴𝑠 =0,88

100∙ 1256,84

𝐴𝑠 = 11,06 𝑐𝑚²


Fonte: Autor (2018)

Com o ábaco proposto por Montoya (2001) encontra-se um 𝜔 = 0,30 e uma 𝐴𝑠 = 12,39

cm². O valor de 𝑑′/ℎ é de 0,075, mas como não há um ábaco específico para essa relação na

67

literatura de Montoya (2001), é prudente utilizar um ábaco com uma relação 𝑑′/ℎ

imediatamente superior, conforme Figura 6.14.


Fonte: Adaptada de Montoya (2001)




Percentual


Santos (1994) 12,58 -4,77%

P-Calc 1.4.0 11,06 -16,28%

Montoya (2001) 12,39 -6,21%

Fonte: Autor (2018)

6.4 - Exemplo 04

O quarto exemplo expõe uma seção transversal de um pilar feito com concreto de

resistência elevada: 𝐷 = 40 cm; 𝑑′ = 4,0 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 60 MPa; 𝑁𝑑 = 450 kN; 𝑀𝑑 = 200 kN.m.

68




Fonte: Autor (2018)

Sendo os valores de entrada 𝜈 = 0,0836 e 𝜇 = 0,0928. Obtém-se a partir do ábaco um

𝜔 igual a 0,20, e portanto uma área de aço de 24,77 cm².



𝐴𝑠 =2,05

100∙ 𝐴𝑐

𝐴𝑠 =2,05

100∙ 1256,63

𝐴𝑠 = 25,76 𝑐𝑚²

69


Fonte: Autor (2018)




Percentual


P-Calc 1.4.0 25,76 4,0%

Fonte: Autor (2018)

6.5 - Exemplo 05

O quinto exemplo retrata uma seção transversal de um pilar feito com concreto de

resistência elevada: 𝐷 = 30 cm; 𝑑′ = 3 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 90 MPa; 𝑁𝑑 = 800 kN; 𝑀𝑑 = 150 kN.m.



70


Fonte: Autor (2018)

Sendo os valores de entrada 𝜈 = 0,176 e 𝜇 = 0,11. Obtém-se a partir do ábaco um 𝜔

igual a 0,26, e portanto, uma área de aço de 27,17 cm².



𝐴𝑠 =3,98

100∙ 𝐴𝑐

𝐴𝑠 =3,98

100∙ 706,86

𝐴𝑠 = 28,13 𝑐𝑚²

71


Fonte: Autor (2018)




Percentual


P-Calc 1.4.0 28,13 3,53%

Fonte: Autor (2018)

6.6 - Exemplo 06

Por fim, o sexto exemplo apresenta uma seção transversal de um pilar feito com concreto

de resistência elevada: 𝐷 = 50 cm; 𝑑′ = 5 cm; 𝑓𝑐𝑘 = 70 MPa; 𝑁𝑑 = 1000 kN; 𝑀𝑑 = 400 kN.m.



72


Fonte: Autor (2018)

Sendo os valores de entrada 𝜈 = 0,102 e 𝜇 = 0,0815. Obtém-se a partir do ábaco um

𝜔 igual a 0,16, e portanto, uma área de aço de 36,13 cm².



𝐴𝑠 =1,84

100∙ 𝐴𝑐

𝐴𝑠 =1,84

100∙ 1963,49

𝐴𝑠 = 36,13 𝑐𝑚²

73


Fonte: Autor (2018)




Percentual


P-Calc 1.4.0 36,13 0%

Fonte: Autor (2018)

6.7. Análise dos resultados

Com os exemplos abordados, foi possível concluir que as áreas de aço encontradas

através dos ábacos desenvolvidos foram semelhantes aos resultados obtidos por outros ábacos

ou por programas computacionais. Todavia, foi possível observar algumas diferenças

percentuais entre os resultados. O primeiro motivo que justifica essa diferença na área de aço é

o fator de segurança utilizado no aplicativo P-Calc 1.4.0, que na maioria dos casos foi

ligeiramente maior que 1,0, ocasionando área de aço maiores. O segundo fator se refere ao

procedimento de consulta aos ábacos adimensionais, que, para extrair o valor da taxa mecânica

de armadura, é realizado um processo manual, no qual, quando a solicitação não coincide com

uma das curvas, verifica-se o valor de 𝜔 entre as curvas, estimando um resultado que está entre

o 𝜔 superior e o 𝜔 inferior, realizando-se aproximações nessa variável.

74

7 - CONCLUSÃO

Os ábacos adimensionais são muito úteis no dimensionamento de pilares de concreto

armado e a compreensão da construção dessa ferramenta é fundamental pois permite ao usuário

entender como se dá a distribuição dos esforços na seção transversal e como é a contribuição

de cada material, aço e concreto, para a resistência total da seção. Apesar de existirem diversos

programas para calcular a área de aço para pilares de forma automática e mais rápida, o processo

de construção dos ábacos mostra toda a metodologia e o que é feito para chegar em toda a

automação desses programas de dimensionamento e verificação de seções transversais. Desse

modo, a metodologia deixada por esse trabalho é importante pois permite a compreensão da

distribuição de esforços na seção transversal e esclarece o estudo do dimensionamento de

pilares.

No Capítulo 6 foram realizados alguns exemplos e foi possível concluir que o resultado

obtido com o uso do ábaco foi sempre muito próximo dos resultados obtidos por outros ábacos

ou programas computacionais. Dessa forma, comprova-se a utilidade dos ábacos gerados pois

a existência desses ábacos para seções transversais com formato circular se mostravam bastante

escassas no acervo técnico atual.

Percebe-se também que apesar da metodologia de Sias (2014) realizar um somatório no

lugar de uma integral para encontrar o esforço resistente pelo concreto, dividindo a área da

seção em diversos elementos, o resultado não foge do real e as aproximações são bastante

válidas, produzindo resultados verdadeiros.

Além da metodologia exposta durante os capítulos a qual pode ser reproduzida, o

trabalho traz em seu Anexo A um conjunto de ábacos adimensionais para dimensionar pilares

de concreto armado de seção circular que podem ser consultados por estudantes e profissionais

da área. O anexo expõe ábacos com a relação 𝑑′/ℎ de 0,05; 0,10; 0,15 e 0,20.

Para trabalhos futuros, são deixadas como sugestões: o desenvolvimento de ábacos

adimensionais para seções circulares vazadas e a análise do pilar, considerando tanto a seção

como o tramo deste, verificando a necessidade de efeitos de segunda ordem locais.

75

REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8953:2015 - Concreto para

fins estruturais — Classificação pela massa específica, por grupos de resistência e consistência.

Rio de Janeiro, 2015.

BACCIN, A. G. C. Fundamentos do concreto de alto desempenho e sua aplicação no projeto

de pilares. 1998. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia

de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.

BENDÔ, N. E. P. Geração de ábacos para dimensionamento de seções de pilares solicitadas

por flexão composta. Monografia (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Federal do

Ceará, Fortaleza, 2011.

CARDOSO JÚNIOR, S. D. Sistema computacional para análise não linear de pilares de

concreto armado. Monografia (Especialista em Gestão de Projetos de Sistemas Estruturais) –

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de

concreto armado, Volume 2. 1ª Edição. São Paulo: Ed. PINI, 2009.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R.Cálculo e detalhamento de estruturas usuais

de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 4ª Edição. São Carlos: EdUFSCar, 2015.

COSTA, G. C. C.; ABREU, R. O. A.; AGUIAR, E. A. B. Verificação da estabilidade de pilares

esbeltos de concreto de alta resistência submetidos a flexo-compressão normal segundo o

método geral. In: Congresso Brasileiro do Concreto, 59., 2017, Bento Gonçalves. Bento

Gonçalves, 2017.

76

LIMA, D. A. Dimensionamento automático de pilares de concreto armado. Monografia

(Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2018.

MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G.; CABRÉ, F. M. Hormigón armado: Ajustada al código

modelo y al eurocódigo. 14. Ed. Barcelona: Editorial Gustavo Gili, 2000.

ROHDEN, A. B.; SEELBACH, L. C.; XAVIER JUNIOR, J. E. Utilização de concretos com

variação da resistência à compressão em pilares – estudo de caso: Edifício de 30 pavimentos

com resistência fixa e resistência variável ao longo dos pavimentos. Congresso Brasileiro do

Concreto, 58., 2016, Belo Horizonte. Belo Horizonte, 2016.

SANTOS, L. M. Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concreto armado. São

Paulo: Ed. Thot, 1994.

SIAS, F. M. Dimensionamento ótimo de pilares de concreto armado. 2014. Dissertação

(Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória.

SIAS, F. M, ALVES, E. C. Dimensionamento ótimo de pilares circulares de concreto armado

segundo a ABNT NBR 6118:2014, Revista Engenharia Estudo e Pesquisa, v. 16, p. 34-42,

2016.

TORRICO, F. A. Análise teórica e experimental do comportamento de pilares esbeltos de

concreto de alta resistência, considerando a ductilidade. 2010. Tese (Doutorado em Engenharia

de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.

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APÊNDICES

ANEXO A

1 – ÁBACOS ADIMENSIONAIS

TEREZA CATRINA FERREIRA FERNANDES · para o dimensionamento de pilares de concreto armado e a...

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