Teorias de Colas_operativa

8/15/2019 Teorias de Colas_operativa

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

TEORIAS DE COLAS LÍNEAS DE ESPERA)

DEFINICIÓN

La línea de espera o teoría de colas es una de las técnicas de análisis cuantitativo que ayuda

a los administradores a evaluar el costo y la eficacia del sistema. Ejemplos: supermercados,

bancos, restaurantes, etc. no solo involucra a personas en la línea de espera; sino también

objetos como por ejemplo máquinas en espera de ser reparadas, camiones en espera de ser

descargados.

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS


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COSTOS DE LÍNEA DE ESPERA

Uno de los objetivos primordiales en el análisis en línea de espera es encontrar el mejor

nivel de servicio para la empresa, pero los administradores deben actuar con equilibrioentre los costos de proporcionar un buen servicio y el costo de tiempo de espera del cliente

el cual sería un tanto difícil de cuantificar.

Uno de los medios para evaluar una instalación de servicios consiste en observar el costo

total esperado que es la suma de los costos esperados de servicio más los costos de espera.

Los costos de servicio parecen aumentar conforme la empresa trata de elevar su nivel de

servicio. Por ejemplo, si se utilizan tres equipos de cargadores en vez de dos para descargar

un buque de carga, los costos de servicio aumentan en la medida que lo hacen los montos

del salario. No obstante, al mejorar la rapidez del servicio, disminuye el costo del tiempo

que se pasa esperando en la fila. El costo de espera podría reflejar pérdidas de

productividad de los trabajadores mientras sus herramientas o maquinaria esperan ser

reparadas, o bien, podría simplemente ser una estimación de los costos de clientes perdidos

debido al mal servicio y a las largas colas.

EJERCICIO

Una empresa opera una instalación portuaria durante cada turno de trabajo de 12 horas,llegan a descargar aproximadamente 5 barcos, cada hora que un barco permanece ociosoesperando en la fila para descargar le cuesta mucho dinero a la empresa, cerca de $1000,


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por su experiencia estima que si un equipo de cargadores (50) está de turno para manejar eltrabajo de descarga, cada barco espera un promedio de 7 horas para descargar. Si son dosequipos los que trabajan el tiempo de espera promedio cae hasta 4 horas; cuando laboran 3equipos disminuye a 3 horas y cuando hay 4 equipos de cargadores solo esperan 2 horas.Sin embargo, cada equipo adicional de cargadores es una propuesta cara debido a los

contratos del sindicato y el costo del salario por hora que es $10 por hora. Encuentre la propuesta más óptima.

Análisis de costos de la línea de espera Número de Equipos deCargadores

1 2 3 4

a) Número promedio de barcos que llegan/turno 5 5 5 5

b) Tiempo promedio que cada barco espera para

ser descargado (hora)

7 4 3 2

c) Total de horas-barco perdidas por barco por

turno (a x b)

35 20 15 10

d) Costo estimado por hora del tiempo ocioso del

barco

$1000 $1000 $1000 $1000

e) Valor del tiempo perdido del barco o costo de

espera (c x d)

$35000 $20000 $15000 $10000

f) Salario del equipo de cargadores o costo deservicio ($10*12 horas*50*#equipos) $6000 $12000 $18000 $24000

COSTO TOTAL ESPERADO (e + f ) $41000 $32000 $33000 $34000

CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS

Las partes de un sistema de colas son tres:

1. las llegadas o entrada al sistema (que a veces se conocen como población potencial),

2. la cola o línea de espera misma, y

Costo Óptimo


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3. la instalación de servicio. Los tres componentes tienen ciertas características que

deberían examinarse, antes de que se desarrollen modelos matemáticos de colas.

1.- CARACTERÍSTICAS DE LLEGADA

La fuente de entrada que genera las llegadas o los clientes al sistema de servicio muestra

tres características principales. Es importante considerar el tamaño de la población

potencial, el patrón de llegadas al sistema de colas y el comportamiento de las llegadas.

a) Tamaño de la Población, Fuente o Número de Servidores:

Ilimitados (infinito) ejemplo: peaje y gasolinera.

Limitado (finito) ejemplo: taller para reparar vehículos.

b) Comportamiento de las llegadas: La mayoría de los modelos de colas suponen que uncliente que llega es un cliente paciente. Los clientes pacientes son personas o máquinas que

esperan en la cola hasta que se les atiende y no se cambian de fila.

Paciente: Son los que esperan en la cola para ser atendidos.

Impaciente: Son los que se reúsan a esperar.

c) Patrón de llegada:

Según programa conocido. Ejemplo: consultorios

Aleatorias (independiente uno de otros). Ejemplo: bancos

Las llegadas se consideran aleatorias cuando son independientes entre sí y su ocurrencia no

se predice con exactitud. En los problemas de colas, con frecuencia el número de llegadas por unidad de tiempo se calcula mediante una distribución de probabilidad denominada

“distribución de Poisson”. Para cualquier tasa de llegada aleatoria ejemplo: 4 camiones por

minuto se puede establecer una distribución de POISSON discreta mediante el uso de la

siguiente formula.

La definición del proceso de llegada a una línea de espera implica determinar la

distribución probabilística del número de llegadas en un lapso de tiempo determinado. En

muchas situaciones de línea de espera las llegadas ocurren al azar e independientemente de

otras llegadas, y no podemos predecir cuándo ocurrirá una. En esos casos, los analistas

cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson provee una buena descripción del patrón de llegadas.

La función de probabilidad de Poisson da la probabilidad de x llegadas en un periodo de

tiempo específico. La función de probabilidad es la siguiente

FÓRMULA:


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( ) = −! Para x = 0,1,2,3… P(X) = Probabilidad de x llegadasX = Número de llagadas por unidad de tiempo

= Tasa promedio de llegadae = 2,7183EJERCICIOS

a) Cuáles serán las probabilidades de POISSON de que x sea 0,1 y 2 cuando la tasa de promedio de llegada es 2 clientes.

0

=

2,7183−2 × 200!

=0,1353 × 1

1= 0,1353

13,53% de probabilidad de que no venga ningún cliente.

1 = 2,7183−2 × 211!

=0,2707

1= 0,2707

27,07% de probabilidad de que llegue un cliente.

2 = 2,7183−2 × 222!

=0,5412

2= 0,2707

27,07% de probabilidad de que lleguen dos clientes.b) Suponga que Burger King analizó los datos sobre llegadas de clientes y concluyó que latasa de llegadas es de 45 clientes por hora. Durante un periodo de un minuto, la tasa de

llegadas sería = 45 clientes/60 minutos = 0.75 clientes por minuto. Así, podemos utilizarla siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de X llegadas

de clientes durante un periodo de un minuto.

( ) = −

!

0 = 2,7183−0,75 × 0,7500!

= 0.4724

1 = 2,7183−0,75 × 0,7511!

= 0.3543


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2 = 2,7183−0,75 × 0,7522!

= 0.1329

La probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto es de 0.4724, la

probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de un minuto es de 0.3543 y la

probabilidad de que lleguen dos clientes en un periodo de un minuto es de 0.1329.

PROBABILIDADES DE POISSON DEL NÚMERO DE LLEGADAS DECLIENTES EN UN RESTAURANTE BURGER KING DURANTE UN

PERIODO DE UN MINUTO ( = 0.75) Número de llegadas Probabilidad

0 0.4724

1 0.3543

2 0.1329

3 0.0332

4 0.0062

5 o más 0.0010

2.- CARACTERÍSTICAS DE LÍNEA DE ESPERA

a) Longitud de fila: La línea de espera en sí misma es el segundo componente de unsistema de colas. La longitud de la fila puede ser limitada o ilimitada. Una cola es limitada

cuando no puede, por la ley de las restricciones físicas, aumentar hasta un tamaño infinito.

Este sería el caso en un restaurante pequeño que únicamente tiene 10 mesas y no puede

atender a más de 50 comensales en una noche.

Ilimitada: Infinita

Limitada: finita

b) Disciplina de la cola: Una segunda característica de las líneas de espera está relacionadacon la disciplina en la cola, que se refiere a la regla con la cual los clientes que están en la

línea van a recibir el servicio. La mayoría de los sistemas utilizan la disciplina en la cola

conocida como regla de primeras entradas, primeras salidas (PEPS). Sin embargo, en una

sala de urgencias de un hospital o en la fila de la caja rápida del supermercado, varias

prioridades asignadas podrían reemplazar las PEPS. Los pacientes que están heridos de


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gravedad deben tener una prioridad de tratamiento mayor que los pacientes de gravedad

menor.

PEPS (FIFO). Ejemplo: bancos

UEPS (LIFO). Ejemplo: Hospitales (Sala de Emergencia)

3.- CARACTERÍSTICAS DE INSTALACIÓN DE SERVICIO

a) Patrón de tiempos de servicio

Constante

Aleatorio

Los patrones de servicio son como los patrones de llegada en el sentido de que pueden ser

constantes o aleatorios. Si el tiempo de servicio es constante se emplea la misma cantidadde tiempo para atender a cada uno de los tiempos de servicio; se distribuye de manera

aleatoria. En muchos se puede suponer que los tiempos aleatorios de servicio se describen

mediante la distribución exponencial de POISSON.

b) Configuraciones de los sistemas de colas

Los sistemas de servicio generalmente se clasifican en términos del número de canales, o

del número de servidores, y el número de fases o de número de paradas de servicio, que

deben realizarse. Un sistema de un solo canal, con un solo servidor, se tipifica como la

ventanilla del banco para atender a los automóviles que solamente tiene una caja abierta, o

como el tipo de restaurante de comida rápida tan popular en Estados Unidos donde hay

servicio en el vehículo. Si, por otro lado, el banco tuviera varios cajeros atendiendo y cada

cliente esperara su turno en una fila común para pasar con el primer cajero disponible, se

tendría en funcionamiento un sistema multicanal. Actualmente, muchos bancos son

sistemas de servicio multicanal, así como muchas grandes peluquerías y varios mostradores

de aerolíneas.

Un sistema de una sola fase es aquel donde el cliente recibe el servicio en una sola estación

y luego sale del sistema. Un restaurante de comida rápida en el cual la persona que toma la

orden también entrega la comida y cobra, es un sistema de una sola fase. También lo es una

agencia de licencias de manejo donde la persona que recibe la solicitud también califica el

examen y cobra el pago de la licencia. Pero, si el restaurante requiere que el cleinte haga su

pedido en una estación, pague en la segunda y recoja la comida en una tercera parada de

servicio, este será un sistema multifase. Asimismo, si la agencia de licencias de manejo es

grande o muy concurrida, quizá tenga que esperar en una fila para llenar la solicitud (la

primera parada de servicio), luego hacer otra fila para que le apliquen el examen (segunda

parada de servicio) y, por último, ir a un tercer mostrador de servicio para pagar la tarifa.


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Cuatro configuraciones básicas de sistemas de cola

1.- Sistema de un solo canal, una sola fase.

2.- Sistema de un solo canal, multifase

3.- Sistema multicanal de una sola fase


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4.- Sistema multicanal, multifase

IDENTIFICACIÓN DE MODELOS MEDIANTE NOTACIÓN

KENDALL

La notación básica de KENDALL; lo constituye 3 símbolos y es de la forma.

1.- Distribución de llegadas

POISSON (M)

2.- Distribución de tiempos de servicio

NORMAL (G)

EXPONENCIAL (M)

CONSTANTE (D)

3.- Número de canales de servicio

1,2,3… se identifica con los números.

EJEMPLOS

Un modelo de un solo canal con llegadas POISSON y tiempos de servicio

exponenciales (M/M/1).

Cuando se añade un solo canal al mismo canal quedara (M/M/2).

Si existen canales de servicio distintos dentro del sistema de colas con llegadaPOISSON y tiempos de servicio exponencial (M/M/m).

Un sistema de 3 colas con llegadas POISSON y tiempos de servicio constante

(M/D/3).

Un sistema de servicio de 4 colas con llegadas POISSON y tiempo de servicio que

se distribuye normalmente (M/G/4).


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MODELO DE COLAS CON UN SOLO CANAL CON LLEGADAS

POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIOS EXPONENCIALES

M/M/1)

SUPOSICIONES DEL MODELO

El sistema de colas de un solo canal y una sola fase es uno de los sistemas más sencillos y

más utilizados; pero implica suponer que existen 7 condiciones.

1.- Las llegadas se tienen sobre una base PEPS.

2.- Cada llegada espera hacer atendida independientemente de la longitud de la línea; en

otras palabras, no hay rechazo o clientes impacientes.

3.- Las llegadas son independientes a las anteriores, pero su número promedio no cambia a

lo largo de su tiempo.

4.- Las llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad de POISSON y

llegan a partir de una población infinita o muy grande.

5.- Los tiempos de servicio varían de un cliente al siguiente y son independientes uno de

otro, pero se conoce su tasa promedio.

6.- Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo a una distribución de probabilidad

exponencial negativa.

7.- La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegada promedio.


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ECUACIONES

λ = Número promedio de llegadas por periodo

μ = Número promedio de personas o artículos que se admiten por periodo.

1. L = El número promedio de clientes o unidades en el sistema, L, es decir, el número enla fila más el número que se está atendiendo:

2. Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, W, es decir, el tiempo que pasa en la fila más el tiempo en que se le atiende:

3. = Número promedio de clientes en la cola:

4. = Tiempo promedio que pasa un cliente esperando en la cola,

5. ρ = Factor de utilización del sistema, ρ (la letra griega rho), es decir, la probabilidad de

que se esté utilizando la instalación de servicio:.

6. = Porcentaje de tiempo ocioso, Po, es decir, la probabilidad de que nadie esté en elsistema:

= −

= −

=

(

− )

= ( − )

=

= −


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7. > = Probabilidad de que el número de clientes dentro del sistema sea mayor que K.

8. Costo total servicio = Número de canales * Costo por Canal de Servicio

9. Costo total de espera = (# de llegadas)*(Espera promedio de llegada)*Costo Espera

Si se basa en el tiempo dentro del sistema

Si se basa en el tiempo dentro de la cola

10.

Modelo de canales múltiples con llegadas Poisson y

tiempos de servicio exponenciales Modelo M/M/m

En este sistema dos o más servidores o canales se encuentran disponibles para atender a losclientes que llegan, supongamos que los clientes esperan el servicio en una cola, entoncesse dirgen al primer servicio. Un ejemplo de este tipo de línea de espera una sola fase ymulticanal se encuentra en los Bancos. Se forma una fila común y el cliente que está al principio de la cola se dirige al primer cajero disponible. El sistema multicanal presenta lasmismas suposiciones que el modelo anterior.

m = # de canales abiertos (1, 2, 3, …)

ECUACIONES

λ = Número promedio de llegadas por periodoμ = Número promedio de personas o artículos que se admiten por periodo.

> = +

= ∗

= ∗∗ = ∗∗

Costo total =Costo Total Servicio + Costo Total Espera


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1. Po = Probabilidad de que haya cero clientes o unidades en el sistema

2. L = Número promedio de clientes en el sistema

3. W = Tiempo promedio que una unidad pasa dentro de la cola o recibiendo servicio.

4. = Número promedio de clientes que se encuentran en la cola

5. = Tiempo promedio de un cliente en la cola

6. Tasa de utilización

7. Costo Total

=

!

=−=

+

!

−

=

− ! (−) ∗ +

=

− ! (−) ∗ + =

= −

= − =

= ∗

= ∗∗ +∗ ∗ # í


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EJERCICIO DE APLICACIÓN

a) En un taller de silenciadores, el mecánico Juanito es capaz de instalar nuevos

silenciadores a una tasa promedio de 3 por hora o cerca de uno cada 20 minutos; losclientes que requieren el servicio llegan al taller a un promedio de 2 por hora, si secumplen las 7 condiciones para elaborar un modelo de un solo canal. Calcular losvalores numéricos de las características de operación de este modelo.El taller considera que el costo del tiempo de espera de los clientes en términos deinsatisfacción y pérdida de buena voluntad es de $ 10 por hora, el tiempo que están enespera en la cola y la cuota del pago al mecánico Juanito es de $ 7 por hora.

Modelo M/M/1

λ = Tasa promedio de llegadas = 2 automóviles / hora

μ = Tasa promedio de servicio = 3 automóviles / hora

L = Número promedio de clientes dentro del sistema

= − = − = ó

W = Tiempo promedio que un cliente pasa dentro del sistema

= − = − = ó = Número promedio de clientes en la cola = ( − ) =

( − ) = = , ≈ ó

= Tiempo promedio de un cliente en la cola

= ( − ) = ( − ) = = , ó


15/20

= = = , = % á

= − = − , = , = % ó

Probabilidad de que no existanautomóviles en el sistema

Probabilidad de que existan más de 3automóviles en el sistema

Probabilidad de que existanmás de 7 automóviles en el sistema

= ∗∗ +∗ ∗ # í = ∗∗ +∗ ∗ í = ∗ ,∗+ ∗ ∗

í

= , $/í

K > =

+

0

0,67 = 67%

1

0,44

2 0,303

0,20 = 20%

4

0,13

5

0,09

6

0,06

7 0,04 = 4%


16/20

Modelo M/M/1

b) El jefe del taller ha examinado otra opción: podría mantener a su mecánico Juanito o

podría despedirlo y contratar otro mecánico más caro pero más rápido que instale 4silenciadores por hora pero cobra $ 9 por hora.

λ = Tasa promedio de llegadas = 2 automóviles / horaμ = Tasa promedio de servicio = 4 automóviles / hora


=

−

=

− =

ó


= − = − = = , ó

= Número promedio de clientes en la cola = ( − ) = ( − ) = = , ≈ ó

= Tiempo promedio de un cliente en la cola = ( − ) = ( − ) = = , ó

=

=

=

,

=

%

á

= − = − , = , = % ó


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Probabilidad de que no existanautomóviles en el sistema

Probabilidad de que existan más de 3automóviles en el sistema

Probabilidad de que existanmás de 7 automóviles en el sistema

= (∗∗ +∗) ∗ # í = ∗∗ +∗ ∗ í

= ∗ ,∗+ ∗ ∗ í = $/í c) Otra alternativa sería contratar a un segundo trabajador y se podría esperar que el nuevo

mecánico instalará 3 silenciadores por hora. Los clientes seguirán llegando a una tasa de2 silenciadores por hora. Y la cuota de pago al mecánico también será de 7 dólares porhora.

Modelo M/M/2

λ = Tasa promedio de llegadas = 2 automóviles / horaμ = Tasa promedio de servicio = 3 automóviles / hora

K > =

+

0

0,50 = 50%

1

0,25

2

0,13

3

0,06 = 6%

4

0,03

5

0,02

6 0,087

0,004 = 0,4%


18/20

= ! =−= + !

−

= ! =−= + ! ()()−

= ! + !

+ ∗

= + + ∗ ∗ = +

= = = ,


=

− ! (−) ∗ +

= () − ! ( ∗ − ) ∗ ,+

= ∗∗ ∗ + = ∗ + = + = = = ,


=

= , = ,


19/20

= Número promedio de clientes en la cola = −

= , − = ,

= Tiempo promedio de un cliente en la cola =

= , = ,

Costo total= costo de espera + costo servicio

= ∗∗ +∗

= ∗ , ∗ $+ ∗ $ = $, ∗ í = $, CONCLUSIÓN: De estas tres alternativas la más económica resultó ser la segunda opción,

aquella con una tasa de servicio μ = 4 automóviles y un solo canal.

a) Cs = $ 7 λ = 2 , μ = 3 M/M/1 $ 163,20

b) Cs = $ 9 λ = 2 , μ = 4 M/M/1 $ 112,00

c) Cs = $ 7 λ = 2 , μ = 3 M/M/2 $ 118,40


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BIBLIOGRAFÍA

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2010

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