teoriaatomica

Introdução a Modelagem Molecular

1

Origens da Teoria Atômica

“Até o fim do século XIX muitos cientistas sentiam que todos os princípios da física tinhamsido descobertos e que pouco faltava para ser esclarecido. A mecânica de Newton chegou a um altograu de sofisticação por Lagrange e Hamilton. O trabalho de Gibbs completava o desenvolvimento datermodinâmica. A teoria cinética dos gases e a mecânica estatística foram formuladas com granderefinamento por Maxwell, Boltzman e Gibbs. Mas a física estava para entrar numa era de descobertas eo que se supunha na época de grande desenvolvimento passou a chamar-se de física clássica.”

O começo do século XX viu o começo da teoria de relatividade e quântica. A teoria darelatividade devida a Einstein sozinho, completamente alterou a idéia de tempo-espaço. A mecânicaquântica ao contrário, foi desenvolvida em várias décadas por muitos cientistas, várias descobertasajudaram a formulação da mecânica quântica.

# Descoberta do Elétron

Em 1896, H. Becquerel, descobriu que raios emitidos pelo urânio podem expor uma chapafotográfica, mesmo que a chapa esteja protegida por um papel preto. Em 1898 Marie Curie ecolaboradores isolaram polônio e radio, os quais emitem o mesmo tipo de radiação. Em 1899 sugeriramque átomos de substancias radioativas se desintegram quando emitem os raios, chamando então deradioatividade.

J. J. Thomson, em 1897, demonstrou que um feixe luminoso que deixa o cátodo, chamado deraios catódicos, consistia de feixes de carga negativa. Balanceando este feixe entre um campo elétrico emagnético, Thomson foi capaz de medir a razão carga-massa destas partículas: 1,7588x1011 C.kg-1. Adescoberta do elétron e dos raios X por Röentgen em 1895 e a radioatividade por Becquerel e M. Curieem 1896, mostraram que o átomo era mais complexo do que se previa. É uma das grandes mudanças dafísica clássica descrever a estrutura do átomo.

Por sua vez a carga do elétron foi calculada por R. S. Mullikan, no experimento da gota de óleo,com o valor de 1,60x10 –19C (onde C representa coulomb, a unidade SI para carga elétrica), bem comosua massa de 9,109389x10-28g (para o valor de carga atualmente aceito de 1,60217733x10-19 C.Partículas carregadas positivamente foram denominadas de prótons por Ernest Rutherford(significando “o primeiro”). A massa do próton é 1.672623x10-24 g. A carga do próton é igual e emsinal oposto a carga do elétron.

Figura 1 - Raios α, β e γ de um elemento radioativo são separados ao passar por uma chapacarregada eletricamente. Cargas positivas α são atraídas pela chapa negativa, e negativas β pelachapa positiva. Raios γ não apresentam carga elétrica e portanto não deflexão.


2

Na

Estrutura Atômica

Figura 3 - experimento de Thomson medindo a razão carga/massa do elétron. O feixe é desviadopor um campo elétrico em uma direção e o campo magnético causa o desvio para outra direção.Balanceando os efeitos dos campos, a razão carga/massa pode ser determinada. Thomson sugeriuque os raios catódicos são os mesmos que os elétrons associados com o experimento deFaraday(eletrólise). Obteve a mesma razão massa/carga para 20 diferentes metais e vários gasesno tubo de raios catódicos. Estes resultados sugeriram que os elétrons estão presentes em todos ostipos de matéria e presumivelmente existe nos átomos de todos os elementos.

Figura 2 - Deflexão do raio catódico por um campo elétrico (acima) e por um campo magnético(abaixo). Quando um campo elétrico externo é aplicado, os raios catódicos são desviados em direçãoao polo positivo. Quando o campo magnético é aplicado os raios catódicos são desviados do seucaminho normal em uma curva. Em ambos casos, a curvatura está relacionada com a massa e avelocidade das partículas dos raios catódicos e com a magnitude do campo.


3

#Radiação eletromagnética

O comprimento de onda de uma onda é dado pela distância entre dois picos sucessivos, adistância pode ser dada em metro ou nanômetros, o símbolo usado é o λ. Ondas são caracterizadas por

frequências, ν. A unidade da frequência é o Hertz(s-1). A frequência é o número de ondas passando porum determinado ponto em uma dada quantidade de tempo, por isto a frequência refere-se ao númerode ciclos por segundos.

Sais de metais aos quaisforam adicionadosmetanol. Como estão ascores relacionadas aestrutura dos átomos?


4

As ondas estão movendo-se para frente, com a mesma velocidade. Em “A” a onda tem maiorcomprimento de onda que em “B”, λA>λB . Por outro lado, “A” tem menor frequência que “B”,

νA<νB

Para uma radiação eletromagnética o produto da frequência, λ, pelo comprimento de onda, ν,dá a velocidade da luz, c:

λ . ν = cm . s-1 = m/s

c=2,99792458x08 m/sExemplo: Calcule o comprimento de ondas em metros e a frequência da cor laranja, cujo comprimentode onda é 625nm.

mxnm

mxnm 7

9

1025,61

101625 −

−

= 1147-

8

1080,46,25x10

m/s 2,998x10 −=== sxma

cν

Unidade Símbolo Comprimento (m) Tipo de Radiação Angstrom Å 10-10 Raios X Nanômetro nm 10-9 UV, visível Micrômetro m 10-6 Infravermelho Milímetro mm 10-3 Infravermelho Centímetro cm 10-2 Microondas Metro m 1 TV, radio

Figura 4- Espectro eletromagnético, no qual a luz visível é uma pequena parte do mesmo. A frequênciautilizada em um forno de microondas é de 2,45GHz(2,45x109Hz).

A velocidade da luz passando através de uma substância (ar, vidro, água) depende dacomposição química da substância e o comprimento de onda da luz. Esta é a base usada em um primade vidro para dispersar a luz.

# Radiação do Corpo Negro


5

A série de experimentos que revolucionou os conceitos da física, estão relacionadas a radiaçãode um material quando aquecido. Todos já vimos que um metal quando aquecido torna-se cada vezmais vermelho com o aumento da temperatura, ou seja emite uma radiação eletromagnética quedepende da temperatura. Também sabemos que um corpo aquecido mais ainda a radiação torna-sebranca, com o aumento da temperatura. Mostrando assim uma mudança contínua da cor com oaquecimento. Ou seja, a radiação vai de uma frequência mais baixa para uma frequência mais alta como aumento da temperatura.

Nossos olhos detectam a radiaçãode um corpo aquecido que ocorre na região do visível do espectro eletromagnético. Entretanto, essesnão são os únicos comprimentos de onda da luz emitida pelo metal. Ao contrário, a radiação é emitidacom comprimentos de onda menores (no ultravioleta) e maiores (no infravermelho) que o da luzvisível, ou seja um espectro de radiação eletromagnética é emitido.

Um corpo negro, é um corpo que absorve e emite em todas as frequências. Uma boaaproximação é uma cavidade. Radiação que entra é repetidamente refletida dentro da cavidade, emcada reflexão, uma certa quantidade de radiação é absorvida pelas paredes da cavidade. Quando acavidade é aquecida, as paredes emitem luz, cujo comprimento depende somente da temperatura. Deacordo com as leis da física clássica, uma relação para a intensidade versus a frequência é:

4

8

λπκρ T=

onde ρ é a densidade de frequência. Esta é a relação de Rayleigh-Jeans(1900), que consegue descrevera radiação a baixas frequências. A altas frequências a expressão diverge de ν2,. Esta divergência éconhecida como catástrofe do ultravioleta, já que esta fórmula prediz que, a maior quantidade deenergia radiante estaria em frequências altas do espectro (a partir do ultravioleta).De acordo com estafórmula, da física clássica, mesmo objetos relativamente frios poderiam irradiar no visível e em regiões

Figure 5 O espectro da radiação emitida por umcorpo aquecido. A linha vermelha representa oespectro para o vermelho, já que a intensidademáxima do comprimento de onda ocorre na regiãodo vermelho. Com o aumento da temperatura acor do objeto torna-se mais laranja, amarela, jáque o máximo se desloca com o comprimento deonda em direção ao ultravioleta (menorcomprimento de onda, maior energia). O objetotorna-se branco, pois existe uma intensidadecomparável em todos os comprimentos de onda doespectro visível.


6

do ultravioleta, ou objetos poderiam brilhar no escuro, e assim não haveria escuro. Esta é a primeirafalha que encontramos na teoria clássica.

# Teoria de Planck

Max Planck, em 1900, explicou satisfatoriamente a radiação do corpo negro. Planck tambémimaginava que a radiação emitida era devida a oscilação dos elétrons. Na teoria de Rayleigh-Jeans asenergias dos osciladores eletrónicos responsáveis pela emissão da radiação poderiam assumir qualquervalor, ou seja valores contínuos, essa é uma suposição da física clássica. Planck fez a derivaçãorevolucionária de que as energias dos osciladores tem que ser proporcional a um inteiro múltiplo dafrequência ou em através da equação, ε=nhν, n é um inteiro, h é uma constante de proporcionalidadee v é a frequência. Planck propôs que o átomo do corpo negro que irradia luz de frequência v estárestrito a emitir uma quantidade de energia dada por hv. Plank chamou essa quantidade de energia dequantum de energia (do latim quantidade). Na física clássica a energia é uma variável contínua,enquanto que na física quântica a energia é quantizada. Usando termodinâmica estatística (que estavasendo construída nesta época) os argumentos de Planck facilmente levam a equação, para o corponegro:

−=

1

18/5 kThce

hcλλ

πρ

A constante h é chamada de constante de Planck. Com o valor de h em 6.626 x 10-34 J.s. Planckdemonstrou que a equação acima dá uma excelente concordância com o resultado experimental. Aequação acima é conhecida como distribuição de Planck. A teoria de Planck não foi bem aceita naépoca. Somente em 1905, Einstein utilizou-a para explicar o efeito fotoeletrônico.

Exemplo:A distribuição de Planck da radiação do corpo negro dá a densidade de energia entre v e v+dv.

Integre sobre todas as freqüências.Solução:

A integral da equação sobre todas as freqüências é:

Ev= ρ π0 3

3

0

8

1

∞ ∞

∫ ∫=−

( , ) /v T dvh

c

v dv

ehv kT

Se usamos o fato de que:x dx

e x

3

0

4

1 15−=

∞

∫π

nós obtemos:

Eh

c

kT

h

x dx

e

k T

h cV x=

−

=∞

∫8

1

8

153

4 3

0

5 4 4

3 3

π π


7

# Einstein e o Efeito Fotoelétrico

Em 1886 e 1887 Heinrich Hertz descobriu que a luz ultravioleta causa a emissão de elétrons deuma superfície metálica. A ejeção de elétrons de uma superfície metálica por radiação é o chamadoefeito fotoelétrico. De acordo com a teoria clássica a radiação eletromagnética é um campo elétricooscilando perpendicular a sua direção de propagação e a intensidade da radiação é proporcional aoquadrado do campo elétrico. Com o aumento da intensidade, também aumenta a amplitude do campoelétrico oscilante. Os elétrons na superfície do metal oscilam ao longo do campo, e como a intensidade(amplitude) cresce, os elétrons oscilam mais violentamente e eventualmente são ejetados da superfíciecom uma energia cinética que depende da amplitude (intensidade) do campo. No entanto,experimentalmente, a energia cinética do elétron ejetado é independente da intensidade da radiação.Um outro ponto em contraste: a descrição clássica prevê que o efeito fotoelétrico pode ocorrer emqualquer frequência da luz. O fato experimental é que existe uma frequência limite ν0 característica dometal, abaixo do qual nenhum elétron é ejetado. Acima de ν0 a energia cinética do elétron ejetado éproporcional a freqüência v, uma contradição da teoria clássica. Abaixo na fotocélula, podemos ver quecom o aumento da frequência da luz incidente, nenhuma corrente é observada até que uma frequênciacrítica seja atingida.

Um applet interativo do efeito fotoelétrico encontra-se em:http://lectureonline.cl.msu.edu/%7Emmp/kap28/PhotoEffect/photo.htm.

Lembrete:A energia cinética do elétron é medida da seguinte forma: Se os elétrons estão indo em direção a umeletrodo de carga negativa, então eles irão mover-se mais lentamente, se o potencial do eletrodo é

Figura 6 - Umexemplo do efeitofotoeletrônico é a portaautomática. Umafotocélula compreendeum cátodofotosensitivo,geralmente um metalque ejeta elétronsquando atingido porfótons de luz comenergia suficiente. Oselétrons movem-separa o ânodo e acorrente flui na célula.


8

aumentado, os elétrons vão eventualmente diminuir sua velocidade, até o chamada potencialestacionário. Neste potencial a energia cinética inicial dos elétrons é igual a energia potencial:½ mv2=-eVs

Einstein usou a hipótese de Planck, mas estendendo em um importante caminho. Planckacreditava que a luz emitida comportava-se como onda clássica. Einstein propôs que, ao contrário, quea radiação existia como pequenos pacotes de energia, E=hv, os quais agora são conhecidos comofótons. Usando um simples argumento da conservação da energia, Einstein mostrou que a energiacinética do elétron ejetado (½mv2) é igual a energia da radiação incidente (hv) menos a energiarequerida para remover o elétron da superfície (φ), chamado de função trabalho(análogo a energia deionização).

½ mv2 = hv - φ

A frequência mínima para remover um elétron é a própria função trabalho, hvo=φ, assim:-eVs = hv - hv0

Essa equação está em completa concordância com o experimental, já que o gráfico de Vs contraν é linear. E a inclinação da linha dá h/-e. Usando o valor de e Einstein calculou o valor da constante dePlanck, obtendo um valor em concordância com o obtido por Planck com a fórmula da radiação docorpo negro.

#Vibrações dos Cristais.

Em 1907, Einstein adicionou um outro termo a respeitabilidade do conceito de quantização daenergia. A lei de Dulong e Petit estabelece que o calor específico de um sólido atômico vezes a massaatômica é aproximadamente 25 J. Uma outra versão, mais detalhada, relaciona a capacidade calorificamolar a constante volume, Cv, é igual a 3R, onde R é a constante dos gases. O resultado clássico éválido a temperaturas elevadas, mas Cv decresce e vai para zero com a diminuição da temperatura.Einstein assumiu que a oscilação dos átomos sobre as posições de equilíbrio são quantizadas, deacordo com a formula: ε=nhν, ou ∆ε=hν

Energia cinética dos elétrons ejetados deuma superfície de sódio metálico. Afrequência limite é de 4,4x1014Hz.


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#Espectro do Átomo de Hidrogênio

No início do século XX, era conhecido que cada átomo tem um espectro de emissãocaracterístico, quando submetido a altas temperaturas ou a descarga elétrica. Esses são os espectros delinha, já que o espectro de emissão dos átomos consiste de apenas algumas frequências.

l

Se uma alta voltagem é aplicada a um elemento em fase gás a baixa pressão, átomos absorvemenergia e são ditos “excitados”, somente algumas linhas são vistas, esse é o espectro de emissão delinhas. Os átomos excitados emitem luz. Um exemplo são os tubos de néon. Como o espectro atômicoé característico do átomo, é razoável pensar que depende também da distribuição dos elétrons noátomo. Portando, a elucidação da estrutura eletrônica dos átomos poderia ser feita via uma análisecompleta do espectro de emissão. Assim, por muito tempo cientistas tentaram encontrar um padrãopara as frequências. Daí surgiu, por exemplo a série de Balmer,

νλ

= = −

−1109680

1

2

12 2

1

ncm n=3,4,...

A equação prevê uma série de linhas com o aumento de n, com n aumentando 1/n2 diminui, atédesaparecer do termo, dando o limite de 1/λ=2,742x104cm-1 (λ=365nm), em excelente concordânciacom o experimental, este é o último termo da série de Balmer (região do visível), o limite da série. Comesta fórmula é possível então calcular as três linhas de maior comprimento de onda do átomo dehidrogênio. Se n=3, calculando o comprimento de onda, obteremos o valor de 6,561x10-7m ou656,1nm, o qual corresponde a linha vermelha do espectro do hidrogênio. Com n=4, obteremos a linhaverde.

#Série de Rydberg

A equação de Rydberg leva em consideração todos as linhas do espectro de hidrogênio,generalizando a equação de Balmer:

Figura 8 Um espectro da luz branca, produzido pela refraçãoem um prisma. A luz é observada com um espectroscopio,passando através um obturador e depois por um prisma, oqual separa os componentes da luz.

Figura 7 - Espectro de linha de átomosde hidrogênio excitado.

H

Hg

Ne


10

νλ

= = −

−1

1096801 1

12

22

1

n ncm com n2 > n1

A constante aparecendo na fórmula é chamada de constante de Rydberg, RH=109677,57 cm-1.

Outras séries foram desenvolvidas, para diferentes regiões do espectro. O espectro de emissãode outros átomos também constituem uma série. Rydberg encontrou leis empíricas aproximadas paramuitos deles, expressas em termos como o da equação acima.

Figura 10-Níveis deenergia parao átomo dehidrogênio,calculadospela teoria deBohr.

Figura 9 - Representação esquemática das diversas séries no espectro do átomode hidrogênio.


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#Momento Angular

Em 1911, o físico E. Rutherford, baseado no experimento de espalhamento dos seus colegasGeiger e Marsden, propôs um modelo nuclear para o átomo. Niels Bohr trabalhava no laboratório deRutherford e viu como incorporar esse nova visão do átomo com a condição de quantização de Planck,numa nova teoria bem sucedida para o átomo de hidrogênio. Neste modelo entram conceitos damecânica clássica do movimento circular.

O momento angular é dado por mv e é usualmente indicado por p. Agora imagine uma partículagirando ao redor de um centro fixo em um plano. A velocidade da partícula, então é v=2πrνrot =rϖrot,onde vrot é a freqüência de rotação e wrot=2πνrot (tem unidade de radianos/segundo) é a velocidadeangular. A energia cinética da partícula é:

K= ½mv2 = ½mr2ϖ2= ½Iϖ2, onde I é o momento de inércia.

Como se vê w e I são quantidades angulares e v e m são quantidades lineares. Assim, Iϖcorresponde ao momento linear mv, e de fato a quantidade l, definida por:

l=Iϖ= (mr2) (v/r)=mvr

é chamada de momento angular, e é a principal quantidade associada a sistemas rotacionando. Aenergia cinética para sistemas rotacionando, então é:

KIw Iw

I

l

I= = =

2 2 2

2 2 2( )

# Bohr Inclui o Momento Angular Quantizado para o Átomo de Hidrogênio

De acordo com o modelo nuclear, o átomo de hidrogênio pode ser visto como um núcleo centralcom um elétron. Podemos considerar o núcleo fixo, pois é mais pesado e o elétron girando ao redordele em uma orbita circular. A força mantendo o elétron na orbita circular é suprida pela forçaCoulombica de atração entre próton e o elétron:

e

r

mv

r

2

02

2

4πε= [1]

*Classicamente, entretanto, devido a que o elétron está constantemente sendo acelerado, (partículasgirando ao redor de um ponto fixo experimentam uma aceleração para fora) ele pode emitir radiaçãoeletromagnética e perder energia. Consequentemente, a física clássica prediz que um elétron girando aoredor do núcleo vai perder energia e entrar em espiral para dentro do núcleo, daí que uma orbita estávelnão é permitida classicamente.*


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Bohr fez duas grandes contribuições para duas suposições não clássicas. A primeira delas, eraassumir a existência de uma orbita de elétron estacionária em desafio a física clássica. Para que asondas ao redor da orbita serem estáveis, chegamos a condição que um número inteiro de ondas precisaajustar-se ao redor da orbita circular. Como a circunferência é 2πr, encontramos a condição quântica:2πr=nλ, onde n=1,2,3,... Então ele especificou as orbitas trazendo a condição de quantização, eassumindo que o momento angular do elétron precisa ser quantizado de acordo com:

l=mvr=n h n=1,2,... onde h é h/2π

Resolvendo esta equação para v e substituindo a equação da força Coulombica [1], obtemos:

rh n

me= 4 0

2 2

2

πε com n=1,2,...

Ou seja, o raio das orbitas permitidas são quantizados, as orbitas de Bohr. A orbita com o menorraio é a com n=1, resolvendo a equação de r para n=1, obtemos:

r = 4π(8,85419x10-12C2.N-1.m-2)(1,055x10-34J.s)2

(9,110x10-31kg)(1,602x10-19C)2

=5,29x10-11 m = 0,529 Å

A energia total do elétron é igual a soma da energia cinética e potencial, a energia potencial deum elétron e um próton separados de r é: U(r)= - e2

4πε0rE a energia total é dada por:

E mve

r= −1

2 42

2

0πεUsando a equação da lei de Coulomb para eliminar mv2 na energia cinética, temos:

r

e

r

e

r

eE

0

2

0

2

0

2

8442

1

πεπεπε−=−

=

Substituindo a equação de r com a quantização na equação anterior:

Eme

h nn = −4

02 28

1

ε com n=1,2,...

O sinal negativo na equação indica que os estados de energia sãoestados ligados. Veja que n=1 corresponde ao estado de mais baixa energia, o


13

estado fundamental. Os estados de energia mais altas são os estados excitados do átomo dehidrogênio.

Podemos mostras as energias dadas pela Equação anterior em um diagrama de níveis deenergia. Bohr assumiu que o espectro observado do átomo de hidrogênio é devido as transições de umestado de energia permitido para outro:

∆Eme

h n nhv= −

=

4

02 2

12

228

1 1

εColocando ∆E=hν (condição da frequência de Bohr) é a suposição de que quando um elétron

cai de um nível para outro, a energia envolvida é dada como foton de energia E= hν. Podemos verentão que todas as séries espectrais saem do modelo de Bohr naturalmente.

#Massa Reduzida

Quando deduzimos a equação de Bohr, assumimos o próton como fixo, devido a sua alta massa.Na realidade não é necessário fazer esta aproximação. Considere o caso geral de duas massas rodandouma ao redor da outra. O seu centro de massa mantêm-se fixo, e cada uma destas massas irá rodarsobre esse ponto. O centro de massas está ao longo da linha que une esses dois centros, é definido por:m1r1=m2r2

r= r1 + r2

Usando a equação para o centro de massa, temos: rm

m mr1

2

1 2

=+

e rm

m mr2

1

1 2

=+

A energia cinética total é K= ½ m1v12 + ½ m2v2

2

Agora usando a velocidade angular ω, temos: v1 = r1ω e v2 = r2ω Substituindo em K,temos:

K = ½ m1r12ω2 + ½ m2r2

2ω2 = ½ (m1r12 + ½ m2r2

2)ω2

K = ½ I ω2

onde I = m1r12 + ½ m2r2

2 é o chamado momento de inércia. Utilizando r1 e r2 emI, temos:

Im m

m mr=

+

1 2

1 2

2

O fator entre parênteses tem unidade de massa, e sempre ocorre em problemas de duas massasao longo de um centro, é chamado de massa reduzida, µ .

Temos então agora I = µ r2, enquanto que anteriormente utilizamos I = m r2, logo reduzimos osistema de dois corpos para um sistema de um corpo. Podemos aplicar este resultado ao nossotratamento do átomo de hidrogênio. Com isto, obtemos para a constante de Rydberg:


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Re

chH = µε

4

038

= 109681 cm-1

A teoria de Bohr pode ser aplicada a qualquer átomo tipo hidrogênio, como He+, Li2+,consistindo de um elétron e um próton. Onde a carga do núcleo é Ze, ao invés de somente e:

Ze

r

v

r

2

02

2

4πεµ= e ν µ

ε= −

Z e

ch n n

2 4

02 3

12

228

1 1

Um dos espetaculares sucessos da teoria de Bohr, foi a descrição correta das linhas espectraisdo He+. Mas, não pode ser estendido com sucesso para sistemas com dois elétrons, como o hélio.Também nunca foi capaz de explicar o espectro que aparece quando um campo elétrico é aplicado aohidrogênio.

PARTÍCULAS E ONDAS

# de Broglie

A natureza da luz sempre provocara discussões. Em muitos experimentos a luz mostrava umcomportamento característico de onda. Entretanto em outros experimentos apresentava-se como umfóton. A dispersão da luz branca no seu espectro num prisma é um exemplo do comportamentoondulatório da luz. Enquanto que o experimento fotoelétrico é um exemplo da luz como partícula, empacotes de fótons. Deste comportamento vem o termo dualidade onda partícula da luz. Em 1924, Louisde Broglie, argumentou que se a luz pode mostrar a dualidade onda-partícula, então matéria, quecertamente parece ter comportamento típico de partícula, também poderia mostrar propriedades deonda sobre certas circunstâncias. Isto é bastante forte, mas apresenta uma simetria natural.

Louis de Broglie pôde colocar isto em um esquema quantitativo. Einstein tinha mostrado,através da teoria da relatividade, que o momento do foton é dado por:

λh

p = ou p

h=λ , como Einsten demonstrou massa e energia são a mesma coisa,

portanto o fóton tem momento (p=mv). O que de Broglie fez foi perguntar se, ambos, matéria e luz não obedeciam esta equação. Já queo momento de uma partícula é mv, esta equação mostra que a partícula de massa m movendo com a

velocidade v terá um comprimento de onda dado pela equação mv

h=λ

Exemplo: Calcule o comprimento de onda para uma bola de baseball (0,14kg) viajando a 144km/h.Solução: 144km/h corresponde em SI a 144 km/h * 1h/3600s * 1000m/1km = 40 m/s

O momento da bola é: p =mv= 0,14 kg * 40 m s-1 = 5,6 kg. m.s-1

A onda de Broglie é: λ= h / p = 6,626 x 10-34 J.s = 1,2 x 10 –34m5,6 kg.m.s-1

Como podemos ver este é um comprimento de onda extremamente pequeno.

O comprimento da bola de baseball é extremamente pequeno para ser detectado. A razão paraisto é a grande massa. Enquanto que para um elétron (viajando a 1% da velocidade da luz) ocomprimento de onda é:

A massa do elétron é: 9,11 x 10-31 kg


15

A velocidade do elétron: v = (0,01) * ( 3,00 x 108 m .s-1)O momento: p=mv= (9,11x10-31kg) (3,00 x 106 m.s-1)O comprimento de onda é:λ= h / p = 6,626 x 10-34 J.s = 2,43 x 10-10 m = 2,43 Å

2,73x10-24 kg.m.s-1

Como podemos ver o comprimento de onda do elétron está na região do comprimento de ondado raios-X.

Quando um feixe de raios-X é dirigido a uma estrutura cristalina o feixe é espalhado de umamaneira característica da estrutura atômica do cristal. Esse fenômeno, denominado de difração de raios-X é devido ao fato de que o espaçamento interatômico no cristal é da mesma ordem que o comprimentode onda do raios-X. A propriedade de onda do elétron é usada em microscópica eletrônica.

A fórmula de Broglie deu uma alternativa nova para interpretar o primeiro postulado de Bohr.Ela pode ser usada como argumento para que a orbita de Bohr seja quantizada. Como o elétron gira aoredor do próton, tem um comprimento de onda associado com ele. Para que a orbita seja estável, érazoável assumir que a onda precisa estar em fase, assim que o elétron completa cada revolução. Deoutro modo teríamos o cancelamento de uma amplitude a cada revolução e a onda desapareceria. Destaforma, temos a condição de que um número inteiro de onda completa precisa ajustar-se ao redor dacircunferência da orbita, para a onda ser estável. Na circunferência, temos o circulo de 2πr, então temosa condição quântica:

2πr = n λ.Substituindo na equação de de Broglie, temos a condição de quantização de Bohr:

mvr = n /hQue pode dar a velocidade de um elétron numa orbita de Bohr.

Foi J. J. Thomson (Recebeu o titulo de Lord Kelvin em 1908) quem primeiro mostrou em 1895o elétron como partícula, e G. P. Thomson (filho) em 1926 quem mostrou experimentalmente que oelétron pode atuar como onda. Os dois receberam prêmio Nobel, um por mostrar que o elétron é umapartícula subatômica (1906) e o outro por mostrar o seu comportamento de onda (1937).

Um pouco mais sobre a dualidade partícula/onda. Se elétrons são ondas, então faz sentido quenão perca ou absorva energia a menos que mudem de nível de energia. Se permanecem no mesmo nívelde energia, a onda não está realmente orbitando ou vibrando como um elétron no modelo deRutherford. Então não há razão para emitir qualquer radiação. Se o elétron muda para um nível deenergia mais baixo, então o comprimento de onda será maior, ou seja uma frequência menor, assim oelétron terá menos energia, com isto faz sentido que esta energia extra teria que “ir para algum lugar”,podendo então escapar como fóton. Se ocorre o contrário, então o fóton teria que vir com a mesmaquantidade de energia necessária para subir o elétron de nível.

# Princípio da Incerteza de Hesenberg

Figura 11 - Padrãode difração deelétrons obtidacom uma lâminade alumínio.


16

Chegamos ao ponto em que precisamos considerar luz e matéria como ou ondas ou partículas.Consideremos uma medida da posição do elétron. Se desejamos localizar o elétron dentro de umadistância ∆x, então precisamos usar luz com um comprimento de onda pequeno. Para que o elétron seja“visto”, um fóton deve interagir ou colidir de alguma maneira com o elétron, senão o fóton irájustamente passar por ele e o elétron parecerá transparente. O fóton tem momento p = h / λ, e durante acolisão algum momento será transferido para o elétron. O ato de localizar o elétron leva a mudança noseu momento. Se desejamos localizar o elétron precisamente, então temos que usar uma luz com umcomprimento de onda menor. Consequentemente, o fóton no feixe de luz irá ter grande momento.Como para localizar o elétron algo de momento deve ser transferido para o elétron, e com o aumentodo momento, teremos um maior mudança no momento do elétron.

Werner Heisenberg, estudou este processo na década de 1920 e mostrou que não é possíveldeterminar exatamente quanto de momento é transferido para o elétron no processo de localizá-lo. Istosignifica que se nos desejamos localizar o elétron numa região ∆x então isto causa uma incerteza nomomento do elétron. Heisenberg demonstrou que se ∆p é a incerteza do momento do elétron, então:

∆x∆p ≈ hQue é conhecido como o princípio da incerteza de Heisenberg. Estabelece que se desejamos

localizar uma partícula com uma distancia ∆x, então automaticamente introduzimos uma incerteza nomomento da partícula. É importante explicar que a incerteza é a propriedade fundamental do ato demedir.

Se calcularmos a incerteza na velocidade de uma bola de baseball, se medimos sua velocidadecom milionésimo de 1%(10-8):

Para uma bola viajando a 40m/s o ∆p = 5,6 x 10-8 kg.m.s-1

A incerteza na posição é:∆x= h/∆p = 6,625 x 10-34 Js-1 = 1,2 x 10-26 m

5,6x10-8kg.m.s-1

Como se vê este é um valor sem grandes conseqüências.

Mas no caso do elétron, se o queremos localiza com um ∆x = 50 pm, então∆p = 1,3x10-23 kg.m.s-1. Desta forma ∆v será: ∆v = 1,4 x 107 m.s-1. Isto é um valor muito grande para avelocidade.

# A equação de Onda (Avançado)

Em 1926, Erwin Schrödinger formulou a teoria quântica, a equação de onda, em termos deequações diferencias parciais. Assim estudaremos a equação de ondas clássicas inicialmente. Aequação de onda descreve o movimento de uma corda vibrando num sistema unidimensional.

∂∂

∂∂

2

2 2

2

21u

x v

u

t= (1)

Considere uma corda esticada entre dois pontos fixos. O deslocamento da corda de sua posiçãode equilíbrio horizontal é chamado de amplitude. Se usamos u(x,t) como sendo a amplitude da cordaentão u(x,t) satisfaz a equação:onde v é a velocidade com o qual a perturbação move ao longo da corda. Esta equação é a chamadaequação de onda clássica.


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A equação (1) é uma equação diferencial parcial, onde u depende de x e t. É linear, já que nãoexistem termos cruzados. A amplitude tem que, além de obedecer a equação (1), satisfazer algumascondições físicas. Já que os fins da corda são mantidos fixos, a amplitude destes dois pontos é semprezero, e assim:

u(0,t) = 0 u(l,t)=0 (para todo t)

Essas são as chamadas condições de contorno. Geralmente a equação diferencial parcial precisaser resolvida, sujeita as condições de contorno.

#Solução da equação de Onda (Avançado)

A equação de onda clássica pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Para talfatoramos a u(x,t) em uma função dependente do tempo e outra em função da posição: u(x,t) = X(x)T(t). Se substituímos na equação 1 teremos:

T tX

x vX x

T

t( ) ( )

∂∂

∂∂

2

2 2

2

21= , dividindo por u(x,t)=X(x)T(t) obtemos:

1 1 12

2 2

2

2X x

X

x v T t

T

t( ) ( )

∂∂

∂∂

= (2)

O lado direito da equação 2 é função de t somente e o lado esquerdo somente de x. Como x e tsão variáveis independentes, cada lado pode variar independentemente. Fazendo com que cada ladoseja igual a uma mesma constante:

1 2

2X x

X

xk

( )

∂∂

= 1 12

2

2v T t

T

tk

( )

∂∂

=

Essas equações podem ser escritas como:

∂∂

2

20

X

xkX x− =( )

10

2

2

2v

T

tkT t

∂∂

− =( ) (3)

Essas são as conhecidas equações diferenciais ordinárias. Diferentes das parciais, pois X(x) eT(t) ocorrem em derivadas ordinárias, são lineares devido a X(x) e T(t) aparecerem somente emprimeira potência. O valor de k é ainda indeterminado. Vamos assumir que é zero, neste casointegrando imediatamente encontramos:

X(x) = a1x + b1 (4)T(t) = a2t + b2


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onde a e b são constantes de integração, podem ser determinados pelas condições de contorno, as quaissão:

u(0,t) = X(0)T(t) = 0u (l,t) = X(l) T(t) = 0

Como T(t) não anula para todo t, temos que ter então:

X(0) = 0 e X(l) = 0 (5)

Estas são as condições de contorno, voltando a (4) concluímos que somente é satisfeita aequação (5) se a1 = 0 e b1=0, com isto X(x) = 0 e daí u(x,t) = 0, está é a chamada solução trivial.

Agora vejamos a equação (3) com k≠0. Essas equações são do tipo:

∂∂

2

20

y

xky x− =( ) , onde k é positivo ou negativo. (6)

Para resolver, usamos y(x) = eax onde a será determinado. Substituído exp(ax) na equação (6), eencontramos, para um exemplo de k positivo:

(a2 -4) y(x) = 0

cuja solução é: a= ±2

ou seja, temos duas soluções: y(x) = e2x e y(x) = e-2x.

Mas o somatório das duas soluções também é uma solução, pois a equação é de uma segundaderivada, logo temos duas integrações, com duas constantes, o que sugere que esta é a solução geral.

Para muitas equações a solução tem a como real. Mas em muitos casos, a pode ser umimaginário. Considere a equação:

∂∂

2

20

y

xy x+ =( )

Se usamos y(x) = eax, então temos:

(a2 + 1)u(x) = 0

e assim: a = ±i, e a solução geral será:

y(x) = c1eix + c2e

-ix, podemos utilizar a regra de Euler:

e+/- iθ = cos θ ± i senθ

obtendo:

y(x) = (c1+c2)cos(x) + (ic1 - ic2) sen (x)


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Mas podemos usar c1+c2 como uma nova constante c3:

y(x) = c3 cos(x) + c4 sen (x)

Resumindo: A resolução da equação (3) através do método de separação de variáveis,apresentou uma solução trivial com k=0, com k>0 a solução é real e com k< 0 a solução é imaginaria.Vamos voltar a k positivo. Escrevemos k como β2, isto assegura que k seja positivo, β sendo real.Colocando β2 na solução geral temos:

X(x) = c1eβx + c2e

-βx,

mas a única forma de satisfazer a as condições de contorno é com c1 = c2 = 0, novamente chegamos asolução trivial.

Vamos então voltar a k negativo. Se fazemos k = -β2 então a solução geral é:

X(x) = A cos (βx) + B sen (βx)

As condições de contorno são:

X(0) = 0, o que implica que A = 0, a condição em x= l, diz que:

X(l) = B sen (βl) = 0

Existe duas formas de satisfazer esta equação: a primeira é com B=0, mas isto levaria a soluçãotrivial. A outra forma é com sen(βl) = 0, * mas sen θ = 0, quando θ =0, π, 2π, 3π,..., então:

βl = nπ , com n= 1, 2, 3, ... (*n=0 é uma solução trivial)

Substituindo então na equação de X(x), teremos:

X(x) = B sen (nπx/l)

Como k = -β2, a equação∂∂

2

20

T

tkT t− =( ) pode então ser escrita como:

∂∂

β2

22 2 0

T t

tv T t

( )( )− = , a qual agora passamos a resolver.

A forma geral da solução é:

T(t) = D cos (ωnt) + E sen (ωnt), onde ωn = βv = nπv/l

Substituindo em u(x,t) = X(x) T(t) e Como existe um u(x,t), a amplitude, para cada inteiro,temos:

u x t A tn x

lu x tn n n

nn

n

( , ) cos( ) sen( ) ( , )= + ==

∞

=

∞∑ ∑ω φ π

1 1

(7)


20

onde A é a amplitude da onda, φ é o angulo de fase. Cada un(x,t) é um modo normal, e representa afrequência do movimento harmônico.

ν ωπnn vn

l= =

2 2

A dependência espacial dos primeiros termos da equação (7) é mostrada na figura abaixo. Oprimeiro termo é chamado de primeiro harmônico, ou modo fundamental u1(x,t), o segundo termo é osegundo harmônico....

Essas são as chamadas ondas estacionárias, já que a posição dos nós é fixa com t.

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