TEORIA-MOVIMENTO CIRCULAR+EXERCÍCIOS-2010

2010

TEORIA E EXERCÍCIOS | Prof. Luiz Abelardo Freire - Msc

IFPE

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME OU

CINEMÁTICA EM COORDENADA

ANGULAR

OS CINCO VALORES HUMANOS (BSSSB)

Prof. Luiz Abelardo Freire - Msc

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BSSSB

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME.

Prof. Luiz Abelardo Freire


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BSSSB

PROF. LUIZ ABELARDO FREIRE 16102006

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 1 - Conceito: é um movimento circular onde a velocidade é constante. Observação: Como se mede ângulos no circulo a unidade radiano será usada, não graus. 2 - Radiano: 2.1 – Por que não se usa a unidade graus? Porque precisamos relacionar o arco com o raio a fim de analisar a trajetória,coisa que a medida em graus não faz. 2.2 – Como é definida a medida em Radiano? Observe a figura a seguir e veja que o ângulo é medido dividindo a medida do arco pelo raio. Você terá um radiano se o comprimento do arco for igual ao raio.

Equação 1

Figura 1

radmetros

metros

r

l1

10

10

2.3 – Se dividir o arco (metros) pelo raio (metros) não vai resultar em unidade nenhuma, como é que aparece a palavra rad (radiano)? Realmente fica-se admirado de onde caiu essa unidade radiano. Acontece que se escrever o ângulo só com seu valor numérico ficará um pouco perdido quando tiver que relacioná-lo com outras grandezas, daí a necessidade de acrescentar a palavra “radiano” porque lembra a relação com o raio da circunferência. Então ter-se-á “radiano” multiplicado por “metro” dará como resultado “metro”. “Radiano” multiplicado por “centímetro” dará “centímetro”, e assim com qualquer unidade de comprimento. 3 - Posição angular: Determina a posição de uma partícula, que faz uma trajetória circular, mediante o valor de um ângulo medido em radiano. Veja o exemplo na figura a seguir.

Figura 2 Figura 3

4 - Deslocamento angular: Determina o deslocamento de uma partícula, que faz uma trajetória circular, mediante o valor de um ângulo medido em radiano. Observe a figura-3.

r

l


4

5 - Velocidade angular: : é a relação entre o deslocamento angular ( ) e tempo ( t ).

seg

rad

t

Equação 2

De uma forma mais simples “Velocidade angular” é saber quantos radianos a partícula descreve por segundo.

Figura 4

6 – Relação entre a velocidade linear (v) e a velocidade angular( ):

É possível analisar o movimento circular não através do deslocamento angular( ) mas medindo o

deslocamento linear ( l ) sobre a trajetória que faz a partícula; lembre-se que a definição de radiano

relaciona o arco com o ângulo; esse é o motivo da escolha do radiano e não da medida do ângulo em graus.

Sabe-se que r

l aqui se pode considerar um valor de l muito pequeno ao

ponto de se confundir com uma reta; agora podemos dizer que existe o vetor

l

que praticamente é tangente a curva em cada ponto, então se o dividirmos por

t teremos um vetor velocidade v

também tangente a curva em cada ponto, veja a

figura-5.

Se dividir ambos os membros de r

l por t obtem-se: v

r

1 ou

rv Equação 3

6.1 – Por que na figura-5 a velocidade linear (v) é representada por um vetor tangente a trajetória? Resp. Quando se amarra uma pedra num cordão fazendo um movimento circular (uniforme), ou seja, um movimento no qual a velocidade angular é constante o cordão pode partir e se isso ocorrer não teremos movimento circular e sim um movimento retilíneo, por isso que o vetor velocidade linear é tangente a trajetória naquele ponto como em qualquer outro da mesma. 6.2) – Ainda considerando a figura-5 o vetor “v” pode apontar no sentido contrário ao que foi mostrado? Resp. Sim, pode. É possível classificar dois sentidos para o movimento circular:

Sentido horário = Destrogiro (tomado como negativo)

Sentido anti-horário = Sinistrogiro (tomado como positivo) o sentido anti-horário foi tomado como positivo porque na matemática este já é considerado como positivo; veja na figura-6 e 7 o carro fazendo uma curva circular à direita e outro uma curva circular à esquerda.

Figura 5


5

Sentido anti-horário = Sinistrogiro Sentido horário = Destrogiro

Figura 6 Figura 7

7 – Aceleração Centrípeta: Observe que o vetor tem módulo, direção e sentido; e no nosso caso, que é o vetor velocidade, apenas o módulo permanece constante, ou seja, a direção varia com o tempo. Então não podemos, vetorialmente falando, dizer que a velocidade linear é constante. O que se deduz é que existe uma aceleração devido à variação da posição do vetor velocidade tangencial (ou velocidade linear). Veja na figura-8 os vetores “v” em duas posições distintas, uma considerada velocidade inicial (vo) e a outra velocidade final (v), como também

está na figura-8 o vetor v

;

Figura 8

se dividir v

por t teremos o vetor aceleração que pode ser visto na figura-9.

Figura 9


6

como este vetor aceleração está apontando para o centro da trajetória circular ele foi nomeado Aceleração

Centrípeta ( ca

).

Veja na figura-10 que o vetor aceleração é sempre perpendicular ao vetor velocidade tangencial;

Figura 10

8 – Módulo da Aceleração Centrípeta: Vamos por comparação encontrar o módulo da aceleração centrípeta. Para isso desenhamos duas circunferências, figura-11 e figura-12. Na figura-11 vemos o raio “r” se deslocar a uma velocidade angular “ ”

junto com o vetor velocidade linear ( ou tangencial);note que podemos fazer uma outra circunferência tendo como raio o vetor velocidade; e como a aceleração centrípeta é perpendicular a velocidade tangencial teremos em cada ponto o que se vê na figura-12.

Figura 11 Figura 12

Considerando a figura-11 podemos escrever a equação-3, rv , notando que o correspondente de “r” é

“ v

” na figura-12 , por comparação teremos que o vetor v

gira também a uma velocidade ,e como “v” é

perpendicular a “r” teremos ca

como correspondente de v

:

vac Equação 4


7

8.1 – Aceleração Centrípeta em função de “v” e “r”:

Substituindo a equação-3, rv , na equação-4 fica: r

vac

2

Equação 5

8.2 – Aceleração Centrípeta em função de “ ” e “r”:

Substituindo a equação-3, rv , na equação-5 obtemos: rac 2 Equação 6

9 – Período (T): Quando se mede o tempo de uma volta completa estamos medindo o que se chama de Período do movimento circular uniforme.

Exemplo: O Período do movimento de rotação da Terra em torno de si mesma é de 24 horas: hT 24

O Período do movimento de rotação da Terra em torno do Sol é de 1 ano: anoT 1

10 – Freqüência (f) ou ( ): Quando se determina quantas voltas a partícula dar por unidade de tempo

estamos encontrando a sua freqüência.

Exemplo: Uma partícula dar 5 voltas por segundo, então sua freqüência é : seg

voltasf

5

Observação: Pode-se substituir “voltas” por “ciclos”, por “rotações” e por “revoluções”.

Unidade de freqüência é: 11 seg

segseg

revoluções

seg

rotações

seg

ciclos

seg

voltashertz

Lembrar que: rpsseg

rotações ; rpm

rotações

min e rpmrps 601 (procure provar).

11 – Freqüência em função do período: Se o período do movimento é igual à 0,2 segundos, teremos, ao fim de

1 segundo, 5 voltas dadas; então note que se tomar o inverso do período (s2,0

1) vamos obter a freqüência

desse movimento ( hertzseg

55

) então escreve-se:

Tf

1 Equação 7


8

12 – Velocidade angular em função do período: Voltemos a equação E-2 e lá podemos considerar o

deslocamento angular ( ) como sendo correspondente a uma volta completa, 2 , e o intervalo de tempo

será o período (T) do movimento. Como este é uniforme tanto faz medir para um deslocamento angular pequeno ou grande teremos a mesma velocidade angular.

T

2 Equação 8

13 – Velocidade angular em função da freqüência: De acordo com a equação E-7 podemos substituir o período pela freqüência obtendo:

f 2 Equação 9

14 – Aceleração Centrípeta em função do Período: Reportando a equação E-6 e substituindo nesta a equação E-8 ficaremos com:

rT

ac 2

24 Equação 10

15 – Aceleração centrípeta em função da freqüência: Ainda revendo a equação E-6 podemos substituir a velocidade angular pela equação E-9 e obtemos:

rfac 224 Equação 11


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MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

EXERCÍCIOS



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Exercícios – Movimento Circular Uniforme. 1 – Faça as transformações que se pede abaixo: (a) 30,0° em radianos; (b) 50,0° em rotações; (c) 5,0 rad em graus; (d) 80,0° em radianos; (e) 400,0° em rotações. Resp. (a) 0,5 rad; (b) 0,14 rot; (c) 286,6º; (d) 1,4 rad; (e) 1,1 rot. 2 – Uma pedra faz um movimento circular uniforme,no plano horizontal, o fio que a sustenta tem 120,00 cm e num certo intervalo de tempo ela descreveu um arco de 20,00 cm. Determine o ângulo descrito por ela em radianos e em graus. Resp. 0,2 rad; 11,5º. 3 – As paletas de um ventilador gira a 780,0 rpm. Calcular: (a) a velocidade angular dessas paletas; (b) a velocidade tangencial de um ponto na extremidade da paleta, sabendo que ela mede 30,0 cm. Resp. (a) 81,64 rad/s; (b) 24,5 m/s. 4 – A 6,00 cm do centro de um disco existe uma marca de tinta que gira com o mesmo a 200,0 rpm. Encontre: (a) o período desse movimento; (b) a velocidade angular do disco; (c) a aceleração centrípeta de um ponto situado na marca de tinta. Resp. (a) 0,3 seg; (b) 20,9 rad/s; (c) 36 m/s

2.

5 – O pneu de um carro faz 150,0 rpm. Determine as velocidades, angular e linear, de um ponto de sua periferia sabendo que o pneu, cheio, tem um raio de 30,0 cm. Resp. 15,7 rad/s; 4,71 m/s. 6 – Determinar a velocidade angular da Terra em rad/h. Resp. 0,3 rad/h; 15º/h. 7 – Calcule a velocidade linear de um ponto situado no equador da Terra. O raio do equador é igual a

mx 610378,6 .

Resp. 1913 km/h. 8 – Compare a velocidade linear do exercício anterior com a do som que é 340,0 m/s na temperatura de 15,0°C expressando em unidade mach.. Resp. Mach1,6. 9 – Determinar a velocidade orbital da Terra, em km/h, sabendo que o ano tem 365,256 dias e que sua

distância média ao Sol mede kmx 6106,149 . Compare com a velocidade do som.

Resp. 107.172 km/h; Mach 88. 10 – Sabendo que a latitude do Recife é aproximadamente 8,0° abaixo do equador, determine a velocidade

linear de uma pessoa nessa cidade. Raio médio da Terra é igual a mx 610371,6 .

Resp. 1893 km/h; Mach 1,5. 11 – Encontre a freqüência de um motor em hertz que gira a 3600,0 rpm.


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Resp. 60 Hz. 12 – Um CD (compact disc) player possui os seguintes dados:

(a) distância entre as trilhas = m6,1 ;

(b) raio do disco-laser = 60,0 mm; (c) rotação anti-horária (vista do lado da leitura) = (500,0 – 200,0) rpm. Calcule a diferença de velocidade linear entre duas trilhas localizadas a 30,0 mm do seu centro sabendo que nesse instante a rotação da reprodução é de 500 rpm.

Resp. sm /84


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POLIAS ROLDANAS RODA DENTADA ENGRANAGENS



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16 – Que é Polia? -É uma roda para correia transmissora de movimento. 17 – Que é Roldana? -É uma roda girante, canelada em toda a circunferência, por onde passa uma correia, veja figura-13.

Figura 13

18 – Que é Roda Dentada ou Engrenagens ? - É uma roda com dentes (de formato chato ou pontiagudo) que existe na sua periferia afim de se fazer acoplamentos diretos entre engrenagens,figura-14, ou indireto usando correntes; exemplo das bicicletas, figura-15.

Figura 14 Figura 15

19 – Quando é que se usa polia e quando é que se engrenagens? Quando se constrói uma máquina onde um motor a movimenta e ainda queremos proteger esse motor, ou seja, evitar o seu super aquecimento ou avaria, nós colocamos polias; tendo em vista que se a máquina travar, a correia se parte, porém o motor não sofre avaria. Mas, se o que é importante é um sincronismo perfeito (ou seja, trabalhar em fase) entre a entrada de uma máquina e sua saída deve-se colocar engrenagens, temos como exemplo o antigo relógio de corda, veja figura-14. Na figura-16 encontramos duas polias acopladas por uma correia. A polia da esquerda, de raio r1,

está montada no eixo de um motor de um compressor de ar que gira a uma velocidade 1 . A polia

da direita, de raio r2, está montada no eixo do compressor de ar que gira a uma velocidade 2 .

Figura 16


14

20 – Qual o objetivo desse assunto? Queremos com isso saber qual a relação matemática que envolve as velocidades e os raios dessas polias, ou seja, se soubermos a velocidade do motor, o raio de sua polia e o raio da polia do compressor podemos encontrar qual será a velocidade que vai trabalhar esse compressor, ou a velocidade que quero que ele trabalhe. 21 – Como se faz isso? Pela figura-16 observe que a velocidade da correia (vel. linear) é a mesma de um ponto na periferia de cada polia. Esse é o elemento de ligação dos dois lados que matematicamente é o que se mostra a seguir.

221121 rrvvv Equação 12

daí a velocidade angular da polia-2 será igual a :

1

2

12

r

r Equação 13

Observe que o sentido de rotação das duas polias coincidem, porém se a correia estiver colocada do modo que segue na figura-17, as rotações terão sentidos contrários. A equação-13 ainda se mantém para esse caso.

Figura 17

Podemos utilizar a equação-9 e substituir na equação-13 obtendo agora uma relação entre as freqüências.

1

2

12 f

r

rf Equação 14

22 – Redução da freqüência de Rotação por Engrenagens:


15

Figura 18

Observação: o eixo (1) e o eixo (3) estão apenas alinhados, e nessa figura as engrenagens estão de perfil.

No eixo (1) está acoplado apenas a engrenagem de raio 1r ( spin horário);

no eixo (2) está acoplado as engrenagens de raio 32 rer (spin anti-horário);

no eixo (3) está acoplado as engrenagens de raio 54 rer (spin horário);

no eixo (4) está acoplado apenas a engrenagem de raio 6r (spin anti-horário).

spin = giro O que há de comum entre as engrenagens é a velocidade tangencial (engrenagens em eixos diferentes) ou a velocidade angular (engrenagens acopladas no mesmo eixo).

221121 rrvv (a velocidade tangencial é comum)

32 (velocidade angular é comum)


54 (velocidade angular é comum)


22.1 – Objetivo: Queremos saber como 6 varia com 1 .

1

2

1

4

3

6

5

2

4

3

6

5

3

4

3

6

5

4

6

5

5

6

5

6 r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

6

5

4

3

2

16

r

r

r

r

r

r Equação 15


16

Exemplo: Medindo as engrenagens de um sistema encontramos: mmrr 231 ; mmr 0,82 ;

mmr 0,84 ; mmr 5,25 e mmr 0,106 .Determinar a relação matemática entre a primeira

engrenagem e sexta.

Cálculo: 1

6

5

4

3

2

16

r

r

r

r

r

r substituindo os valores fica: 16

10

5,2

8

2

8

2 e finalmente

obtemos: 1664

1 Equação 16

22.2 – Redução da freqüência de Rotação por Polias:

Figura 19

A equação-15 vale para as Polias também.

No eixo (1) está acoplado apenas a engrenagem de raio 1r ( spin horário);



no eixo (4) está acoplado apenas a engrenagem de raio 6r (spin horário).

Note que a montagem da figura-19 vai nos dar giros horários em todos os eixos.


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POLIAS ROLDANAS RODA DENTADA ENGRANAGENS EXERCÍCIOS


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Exercícios – Movimento Circular Uniforme – Polias – Engrenagens.

13 – Crie um sistema de engrenagens que transforme, a rotação de um eixo motor de 3600 rpm, para aproximadamente 30 rpm. Faça um desenho mostrando as engrenagens. 14 – Queremos mover um gerador de energia elétrica com as mãos. Sabendo que manualmente só podemos girar a 20 rpm e que o gerador só fornece a voltagem desejada se sua rotação chegar a 1000 rpm. Calcule um sistema de polias que permita mover esse gerador.Faça um esquema mostrando todas as polias usadas.

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