MOVIMENTO CIRCULAR Movimento circular uniforme Vetor posição Velocidade angular Período e...
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MOVIMENTO CIRCULAR
Movimento circular uniforme Vetor posição Velocidade angular Período e frequência Aceleração centrípeta Movimento circular uniformemente acelerado Aceleração angular Aceleração total
MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
Vetor posição Velocidade Aceleração
1
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2
MOVIMENTO CIRCULAR
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333
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direção muda continuamente
Movimento de satélites artificiais
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Exemplos:
Pontos de um disco num gira discos
Pontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
As pessoas girando com o movimento da Terra
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44
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
Movimento circular uniforme MCU
x
y
r
xe
ye
Vetor posição
r e
x
y
r
xe
ye
cosr
sinr
yx ererr
sin cos
rr
onde
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55
O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:
x s
dr
rs
drds
O arco descrito em é dado pords d
x
y
r S
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666
v
v
A
B
ca
ca
• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória da partícula e é perpendicular ao raio da trajetória
• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
Demonstraremos que
r
No movimento circular uniforme
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77
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T
o tempo que demora para descrever um ângulo de 2
A velocidade angular é T
2
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
A unidade da velocidade angular é 1s rad
ou f 2 onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
t
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888
x
y
r
xe
ye
A velocidade da partícula é a
derivada em ordem ao tempo de rv
dt
d
O módulo da velocidade é
Relaciona a velocidade angular velocidade linear v
22222 )cos(sin rrv
rv
porque
)cos(sincossin 2222222222 rrr
v
yx ererr
sin cos
yx edt
dre
dt
dr
dt
rdv
cossin
yx ererv
cos sin
mas
rerervv yx
cos sin
cos
sin
rv
rv
y
xv
xv
yv
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99
Como , é constante.
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direção varia
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direção da velocidade
A aceleração é
Observe que :
É a aceleração centrípeta que faz variar o vetor velocidade !
a aceleração está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta
yx ererdt
d
dt
vda
cos sin
yx ererv
cos sin
yx e
dt
dre
dt
dr
sin cos
r 2
rv
) sin cos( yx ererr
ra
2 ra 2ou
a direção da aceleração tem sentido inverso ao do vetor posição
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10
Vetor posição Vetor aceleração centrípeta
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1111
O módulo da aceleração centrípeta é
como r
vrv
v
v
A
B
ca
ca
rac
2
rac2
r
vac
2
rr
vr
r
vrac 2
222
Substituindo em ca
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12
Exemplo 1: Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.
r
vac
2
1
r
vac 2
2
2
Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
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13
Exemplo 2. Um astronauta está numa centrífuga horizontal de raio de 6.0 m.
a) Qual o módulo da velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta possui um módulo de 7g, onde g é a aceleração da gravidade
b) Quantas rotações por minuto são necessárias para produzir esta aceleração
c) Qual é o período do movimento
r
vac
2
8.976 crav
É a frequência:
r
vffrrv
22
62
603.2060
2 rv
f
rpm 32
601
fT
m/s 3.20v
rpm 32f
s 9.1T
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141414
Exemplo 3. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(
-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(
A aceleração centrípeta será
-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac
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15
Exemplo3 : MCU
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16
Vetor posição
yx ererr
sin cos
Vetor velocidade
yx ererv
cos sin
No movimento circular uniforme (MCU)
rac 2
Aceleração centrípeta
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Como , a velocidade angular também não é constante.
é a aceleração tangencial e tem a mesma direção do vetor velocidade
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v
A aceleração é
rv
onde é a aceleração angular
ta
v
ca
tav
yx ererdt
d
dt
vda
cos sin
yx e
dt
dre
dt
dr
sin cos
dt
derer yx
cos sin
yx ererra
cos sin2
tc aaa
dt
d
rat
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181818
ta
a
ca
Módulo da aceleração total
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
22tc aaaa
const
t 0
200 2
1tt
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19191919
MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
zyx ezeyexr
Para um movimento em três dimensões o vetor posição é
zzyyxx evevevv
A velocidade é
zzyyxx eaeaeaa
A aceleração é
r
xe
ye
ze
x
z
y
zmzymyxmx evevevv
A velocidade média é
zmzymyxmx eaeaeaa
A aceleração média é