TEORIA DE COLA

Una Cola es una línea de espera y la Teoría de Colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas.

Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre los costos del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. ‘‘El objetivo esencial es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto, para que el tiempo de espera no sea muy largo y el costo de servicio no sea muy alto’’.

Esto no es sencillo de determinar, ya que, un cliente no llega a un horario fijo, como también, el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Por lo tanto, se deduce de aquí, que los sistemas de líneas de espera son sistemas probabilísticos y aleatorios. El análisis cuantitativo con frecuencia es útil en estas situaciones.

El tener que esperar en una cola es una experiencia cotidiana que normalmente se considera desagradable.

Esperar ser servido en un restaurante o en la cola de un banco, es una confrontación con la pérdida de tiempo por parte del cliente. Ejemplos Típicos de Teoría de Colas: Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión Dpto. de bomberos Alarmas de incendio Incendios Dpto. de bomberos Compañía telefónica Números marcados Llamadas Conmutador Panadería Clientes con números Vendedor.

SITUACION LLEGADAS COLA MECANINISMO DE SERVICIO

Aeropuerto Pasajero sala de espera avión Panadería clientes clientes con

númerosvendedor

Dpto. de bomberos

alarmas de incendio

incendio dpto. de bomberos

Compañía telefónica

Números marcados

llamadas conmutador

Panadería clientes Clientes con números

vendedor

Ejemplos típico de teoría de cola

DEFINICION DE LA TEORIA DE COLAS La Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando ‘‘clientes’’ llegan a un ‘‘lugar’’ demandando un servicio a un ‘‘servidor’’, el cual, tiene una cierta capacidad de atención. Si el servicio no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la cola o línea de espera. Esquema General del Sistema de Colas Llegadas Línea o Cola de Espera Servidor (Mecanismo de Servicio) Salidas Sistema de Colas. SISTEMA DE

COLA

LLEGADAS

SALIDAS

Línea o cola de espera

Servidor (Mecanismo de servicio)

CONCEPTOS BASICOS DEL SISTEMA DE COLAS a) Clientes: término usado en un sistema de colas para referirse por ejemplo

a: • Gente esperando líneas telefónicas desocupadas. • Máquinas que esperan ser reparadas. • Aviones esperando aterrizar.

b) Instalaciones de Servicio: este término se usa para referirse por ejemplo a:• Líneas telefónicas. • Talleres de reparación.• Pistas de aeropuerto.

c) Llegadas: es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

d) Tasa de Servicio: este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo: • Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por

minuto. • Una instalación de reparación puede (de media), reparar máquinas a razón

de una cada 8 horas. • Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

e) Número de Servidores de Servicio: es la cantidad de servidores de que disponemos, por ejemplo: • Número de conmutadores telefónicos. • Número de puestos de reparación. • Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto. El número de servidores

no tiene porqué ser siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases:

Servidores fases ejemplos típicos Uno una kiosco de prensa con un empleado varios una oficina bancaria con varios cajeros Uno varios lavado / secado de automóviles varios varias centro de servicio radiológico del hospital

COSTOS ASOCIADOS AL SISTEMA DE COLAS a) Los costos de espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso

activo que bien se puede aprovechar en otra cosa. Lo normal es pensar que estos costos de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.

b) Los costos de servicio. Contra la reducción anterior de los costos de espera, es también normal que el costo asociado a incrementar la capacidad de servicio, crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad.

c) Los costos totales del sistema de servicio. La suma de los dos costos anteriores, da una función de costos totales del sistema en función de la capacidad. Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimentan largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta este servicio, disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye.

TIPOS DE SISTEMAS DE COLAS Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:

a) Una línea, un servidor El primer sistema, es típico de una consulta médico - paciente, el lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar. llegadas salida

b) Una línea, múltiples servidores El segundo sistema, es típico de una peluquería o una panadería, en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.

llegada

cola servidor

cola

servidoresservidores

servidores

c) Varias líneas, múltiples servidores El tercer sistema en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola.

salidas

Llegada salidas

salidas

d) Una línea, múltiples servidores secuenciales En el cuarto sistema un cliente después de ser atendido por un servidor, pasa al siguiente, después al siguiente y así sucesivamente, hasta salir de la cola. Este sistema es útil para las líneas de producción, en donde hay varios pasos intermedios para el proceso de manufactura.

Llegada salida

cola

cola

cola

servidor

servidor

servidor

COLA SERVIDOR COLA SERVIDOR

DISTRIBUCIONES Puesto que, la Teoría de Colas se basa en la probabilidad, con el fin de estudiar las opciones más ventajosas para controlar situaciones o procesos en los que existen líneas de espera, ocupándose para aquello de factores como el patrón de llegada a la cola, las distintas necesidades de cada nueva llegada, así como de las probabilidades y patrones estadísticos de los tiempos de espera y de procesado. En razón, tenemos para aquello, dos tipos de distribuciones que nos proveen información para controlar mencionadas situaciones. Estas son: 1. La Distribución de Poisson Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc.. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.

2. La Distribución Exponencial La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución Exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es Exponencial. La distribución de Poisson es discreta, Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor mientras que la distribución Exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero. Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.

Ejemplo # 1Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes porhora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe quelos clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Númeropromedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en unmomento dado.

Solución: Se conoce la siguiente información:λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutosµ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos=Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lopodemos calcular a partir de Wq y µ.

𝑾𝒔 = + = 3 minutos + = + = 𝑾𝒒 𝟏 𝝁 𝟏𝟏 𝟑 𝟏 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:Lq= λ Wq. 𝐿𝑞 = ∗ =0.75 * 3 minutos = 2.25 𝜆 𝑊𝑞 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠clientes.Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientesen la cola.

c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.

𝐿𝑆 = ∗ = 0.75 ∗ 4 = 3 𝜆 𝑊𝑆 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho quesolo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por loque los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

EJEMPLO # 2Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan un promedio de 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema:a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque elsistema está ocupado?c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?

Solución: Se conoce la siguiente información:λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutosµ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos=Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).

a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primeroconoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización delsistema.

este porcentaje representa tiempoque el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso delsistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.

b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estarácomo primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:

𝑃𝑛 = ( 1 - ) ( ) ˆ n Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en:

𝑃𝑛 = ( 1- ) ( ˆ 1 = ( 1- ) ( ) (1 − 0.667)(0.667) = 0.222=22.2%Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la colaesperando ser atendido.

c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.

𝐿𝑞 = ∗ =1.667 * 2 minutos = 3.334 clientes.≈4 clientes en la 𝜆 𝑊𝑞cola.Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la líneade espera.

d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe unpromedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 lasprobabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmulaque usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.

𝑃10 = ( 1-- ) ( ) ˆ 10 = ( 1 -- ) ( ) ˆ 10 = (1 − 0.667)(0.667)10 =0.0058=0.58% (lo cual es casi cero). Es decir es muy remoto o poco probableque pueda haber 10 clientes en la línea de espera.