TEORIA DA ELASTICIDADE E DA PLASTICIDADE · Teoria da Elasticidade e da Plasticidade – TEP Prof....

Teoria da Elasticidade e da Plasticidade – TEP Prof. José Divo Bressan

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TTEEOORRIIAA DDAA EELLAASSTTIICCIIDDAADDEE EE DDAA PPLLAASSTTIICCIIDDAADDEE INTRODUÇÃO Atualmente, na prática da engenharia, os processos industriais de fabricação estão sendo modelados matematicamente de modo crescente com o emprego de computadores. O modelamento analítico ou numérico dos processos de fabricação tem grande potencial para aumentar a velocidade e qualidade dos processos, como também reduzir os custos atravez dos seguintes fatores :

- redução do número de iterações nas tentativas experimentais (erro-acerto), - permite a construção rápida de um modelo ( ou prototipo), - gera um embasamento físico para um controle de tempo real do processo, - melhora a visualização do processo. Os processos de fabricação envolvem algumas das combinações dos seguintes

tipos de comportamento dos materiais : - escoamento do tipo fluido (fundição de metais, injeção de polímeros, etc.) - transferência de calor (solidificação de metal fundido, conformação a

quente de metais, compactação a quente e sinterização de pós metálicos ou cerâmicos, soldagem, tratamentos térmicos de aços)

- deformação plástica (conformação de metais, usinagem dos metais) - evolução da microestrutura e propriedades (fundição de metais, soldagem,

conformação a quente de metais, tratamentos térmicos ) . O Modelamento do Processo termo-mecânico requer a formulação matemática

adequada para as seguintes condições : a- comportamento do material durante o processo analisado (deformação

elástica e/ou plástica, escoamento de fluido e transferência de calor) , e b- condições de contorno apropriadas para o problema (tensões e

deformações em extremidades livres ou de contato, atrito na interface peça-matriz de conformação ou cavaco e ferramenta, etc.)

O modelamento matemático analítico ou simulação numérica permite o cálculo das "variáveis de campo" como tensões de escoamento plástico, componentes de tensões e de deformações, temperatura, etc., das quais podemos prever os seguintes resultados de interesse na análise dos processos como :

- distorções geométricas do produto e tensões residuais, - parâmetros da microestrutura para previsão do limite de escoamento,

tenacidade, etc. : tamanho de grão, estado do precipitado, etc., - defeitos microestruturais : acabamento superficial, porosidades e trincas. Os métodos ou técnicas de solução matemática dos modelos de processos

podem ser classificados em, - métodos analíticos - simulação numérica com malhas (elementos finitos e diferenças finitas) A técnica apropriada depende do tipo de condições de contorno e do nivel de

precisão desejada na solução do problema. A análise dimensional também é uma ferramenta util para verificar a consistência

da solução e para transferir as soluções de um material para outro. Concluindo, podemos definir o Modelamento do Processo como sendo uma descrição matemática do comportamento físico do material durante o seu processamento.


2

1. ANÁLISE TENSORIAL

Embora os processos de conformação de metais sejam diversos, o principal objetivo é produzir uma mudança de forma desejada e uma peça sem defeitos internos. Portanto, como mencionado acima, os aspectos de maior importância para o engenheiro são: calcular as forças e tensões necessárias para produzir a operação, calcular as deformações produzidas internamente no material trabalhado bem como suas propriedades. Deve-se reconhecer que as propriedades do material afetam o processo, e o processamento altera as propriedades do material. 1.1 Tensão e Tensor Tensão

A conformação de metais involve deformação, e portanto, a análise dos processos de conformação requer o estudo de tensão e da deformação.

Geralmente, a tensão é definida considerando-se o “estado de tensão num ponto” como mostrado abaixo:

δF P δA

A força δF atua no ponto P dentro da área δA. A definição de tensão é dada por :

S = lim δF δA→0 δA

Considerando-se as componentes normal e tangencial da força,

temos a definição de tensão normal,

e tensão tangencial ou tensão de cisalhamento,

δA

δFn δF

δFt P

AFt

δδ

=τ

AnF

n δ

δ=σ


3

Exemplo: tração simples Se o ponto P for representado por um cubo elementar de dimensões dx , dy e

dz , e que se encontra em equilíbrio, o caso geral será: Cada uma dessas forças F1, F2 e F3 poderão ser decompostas nas componentes

paralelas aos eixos de coordenadas x, y, z .

Portanto, o Estado de Tensão no ponto P dentro do material, no cubo elementar, é dado por 9 componentes de tensão: σxx, σyy, σzz, τxy, τyx, τyz, τzy, τxz, τzx. Esse conjunto de tensões é chamado Tensor Tensão de Cauchy e é designado por σij.

Na notação tensorial temos:

z

y

x

dz

dy dx

F1

F2

F3

• P

z

y

x

zzσ

F F

y

x

AF

x =σ

A

Tensor Tensão de Cauchy

σττ

τστ

ττσ

=σ

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

Fig.1 – Cubo elementar do sólido em equilíbrio com as componentes de tensões.


4

Definição de Tensor: “é uma grandeza física que se transforma, de acordo com determinadas Leis, com a mudança do sistema de coordenadas”. O número de componentes do tensor é dado por c = 3n onde n é a ordem do tensor. Por exemplo: massa → tensor de ordem zero → c = 30 = 1 componente força → tensor de primeira ordem → c = 31 = 3 componentes tensão → tensor de segunda ordem → c = 32 = 9 componentes módulo de elasticidade → tensor de quarta ordem → c = 34 = 81 componentes 1.2 Tensão Resultante num Plano Qualquer

seja o plano ABC com normal N e cuja tensão resultante é σR. Essa tensão σR poderá ser decomposta em σRx , σRy , σRz , de modo que :

O equilíbrio implica na ausência de efeitos de translação e rotação, pois estamos considerando apenas os efeitos de mudança de forma. Para equilíbrio de forças devemos ter:

sabendo-se que temos as relações entre as áreas projetadas e a área ABC,

AOBC = AABC cos AOAC = AABC cos AOAB = AABC cos

A

C

B

x

y

z

σR

σRz

σRy

σRx

NDaqui em diante simplificaremos a notação para :

σx = σxx

σy = σyy

σz = σzz - σ y

- σ z

- σ x

σR2 =

∑Fx = 0 → - σx . AOBC + σRx . AABC - τzx . AOAB - τyx . AOAC = 0

∑Fy = 0 → = 0

∑Fz = 0 → = 0


5

substituindo acima e rearranjando teremos:

σRx = σRy = σRz =

ou na notação tensorial:

( )( )( )

=

σ

σσ

z,Ncosy,Ncosx,Ncos

Rz

Ry

Rx

Cossenos Diretores

Define-se os Cossenos Diretores da direção normal ao plano qualquer como, temos que: = 1 1.3 Equilíbrio de Momentos

Para equilíbrio de momentos, isto é, não levando em conta a rotação e a translação, devemos ter :

ΣMx( P ) = 0 , isto é,

( N , x )

( N , z )

( N , y )

x

y

z

N ( l, m, n )l = cos m = cos n = cos

δy

δz

δx

• P

y

z

x


6

=

∂

∂

∂−+

∂

∂

∂+

221

221 yzxy

yyzxy

yyx

yxyx

yxδδδ

ττδδδ

ττ

221

221 xzyx

xxzyx

xxy

xyxy

xyδδδ

ττδδδ

ττ

∂

∂

∂−+

∂

∂

∂+=

simplificando, temos, Portanto, a condição para equilíbrio de momentos é que as tensões de cisalhamento sejam simétricas. De modo análogo temos: τyz = τzy e τxz = τzx. Portanto, o Tensor Tensão tem somente seis componentes independentes, a saber : σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx .

1.4 Equações Diferenciais de Equilíbrio

As equações diferenciais de equilíbrio de forças válido para qualquer ponto dentro do corpo sólido, conforme Fig.1 acima, são as seguintes ,

Onde X, Y e Z são as componentes das forças de campo como

gravitacional, centrífuga ou magnética. Na ausência das forças de campo, as equações acima se simplificam para as seguintes ,

No caso de Estado Plano de Tensão as equações se simplificam ainda mais pois temos σz = τxz = τyz = 0 , e portanto, as equações se reduzem para as duas primeiras.

=σ ij o Tensor Tensão é

simétrico


7

1.5 Tensão Normal Num Plano Qualquer Portanto, σN = Obs: ângulo entre duas retas no espaço: 1.6 Tensão de Cisalhamento Num Plano Qualquer

=σ

=σ

R

R

v

v

Portanto, o módulo da componente σRx deverá ser igual a soma da

decomposição de σN e τ no eixo x, isto e’:

sN

xNxRx

l.l. τ+σ=τ+σ=σ

então, τσ−σ

=l.l NRx

s

de modo análogo,

τσ−σ

=τ

σ−σ=

n.nem.

m NRzs

NRys

N ( l, m, n )

σR

σN

τ

( l’, m’, n’ ) σN

σR

τ

ϕ

σN = σR cos ϕ = σR ( ll’ + mm’ + nn’ ) = ( σRl’ ) l + ( σRm’ ) m + ( σRn’ ) n

( l, m, n )

σN

σR

τ ( ls, ms, ns )

Pela soma vetorial:

x

y

z r ( lr, mr, nr )

s ( ls, ms, ns )

cos ϕ =

ϕ


8

( ) ( ) ( ) ( )

=τ

σ+σ+σ=++σ=τ∴=τ

sRsRsRsssR n'nm'ml'l'nn'mm'll

Na notação matricial, a tensão de cisalhamento no plano considerado é dado por,

[ ]

[ ]

=τ∴

σ

σσ

=τ

..nml

.nml

sss

Rz

Ry

Rx

sss

De modo análogo,

[ ]

σττ

τστ

ττσ

=σnml

..nml

zzyxz

zyyxy

xzxyx

N

ou =σN 1.7 Rotação do Sistema de Coordenadas Dado o Tensor Tensão σij no sistema de coordenadas x, y, z, queremos determinar o Tensor Tensão σij’ de um movimento para novas coordenadas x’, y’, z’.

σij → σij’

( l, m, n ) ( l’, m’, n’ )

( ls, ms, ns )

ϕ

σN σR

τ

Portanto,

z z’

y

y’

x x’

σ′Rx

σ′Rz

σ′Ry

Plano π O plano π é perpendicular a x’, logo, x’ = N ( l1, m1, n1 )


9

No plano π atuará uma resultante σ’R tal que N ( l1, m1, n1 ) e :

Por outro lado, a componente de σR′ na direção x’ será σx que e’ coincidente com a normal a π.

1Rz1Ry1RxxRx n'm'l''' σ+σ+σ=σ=σ

substituindo-se as equações acima, temos,

11xz11yz11xy2

z2

y2

x,

x nl2nm2ml2nml111

τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ

De modo analogo temos σy’, σz’, etc…

Da análise matemática, sabemos que a mudança de coordenadas pode ser determinada por:

∑∑ σ=σσ=σ mnjnimijT

ijij ll'ouR..R' onde R e’ a matriz rotação,

321

321

321T

nnnmmm

lllReR == “Matriz Transposta”

l1 = cos ( x’, x ) l2 = cos ( y’, x ) l3 = cos ( z’, x ) m1 = cos ( x’, y ) m2 = cos ( y’, y ) m3 = cos ( z’, y ) n1 = cos ( x’, z ) n2 = cos ( y’, z ) n3 = cos ( z’, z ) 1.8 Tensões Principais Girando o plano ABC até que σN ≡ N , isto e’ τ = 0 neste plano , então :

σN = Neste caso, a tensão σi = σR será chamada de tensão principal. A tensão principal atua no plano principal cuja direção de sua normal e’ a direção principal. Ou seja, para qualquer estado de tensão sempre existirá um sistema principal de coordenadas cujas direções atuam as tensões principais σi , i = 1, 2, 3. Isto e’, existem

zyzxyRz ' σ+τ+τ=σ

xzxyxRx ' τ+τ+σ=σ

yzyxyRy ' τ+σ+τ=σ


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tres direções principais distintas. As componentes de cada tensão principal com relação ao sistema de coordenadas x, y, z qualquer, sera’: σNx = σRx = σi cos ( i, x ) σNy = σRy = σi cos ( i, y )

σNz = σRz = σi cos ( i, z ) Por outro lado temos: σRx = σx cos ( i, x ) + τxy cos ( i, y ) + τxz cos ( i, z ) = σi cos ( i, x ) σRy = τxy cos ( i, x ) + σy cos ( i, y ) + τyz cos ( i, z ) = σi cos ( i, y ) σRz = τxz cos ( i, x ) + τyz cos ( i, y ) + σz cos ( i, z ) = σi cos ( i, z ) Este sistema de equações escrito na forma matricial fica:

( )

( )( )

=

σ−σττ

τσ−στ

ττσ−σ

000

)z,i(cos)y,i(cos)x,i(cos

izyzxz

yziyxy

xzxyix

cuja solução trivial e’ : cos A solução não trivial requer que:

( )( )

( )

=

σ−σττ

τσ−στ

ττσ−σ

000

izyzxz

yziyxy

xzxyix

Desenvolvendo temos:

σi

3 - ( σx + σy + σz ) σi2 + ( σx σy + σx σz + σz σy - τxy

2 - τxz2 - τyz

2 ) σi - - σx σy σz - 2 τxy τxz τyz + σx τyz

2 + σy τxz2 + σz τxy

2 = 0 ou, de modo simplificado:

é uma equação do 3o grau com 3 raizes : σ1, σ2, σ3 que são as tensões principais.

O Tensor Principal será:

=σ00

0000

ij


11

Portanto, reduzimos de 9 para 3 componentes distintas. Isto é, o Estado de Tensão fica determinado conhecendo-se as tres tensões principais. Obs.: se σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 → se σ1 = σ2 ≠ σ3 → se σ1 = σ2 = σ3 → 1.9 Tensões Normal e Tangencial em Termos das Tensões Principais

n.n.00

m.0m.0l.00l.

33Rz

22Ry

11Rx

σ=σ++=σ

σ=+σ+=σσ=++σ=σ

por outro lado, σN = σRx l + σRy m + σRz n , então: σN = de modo análogo, para τ com direções ( l’, m’, n’ ), τ = σRx l’ + σRy m’ + σRz n’ τ = σ1 l l’ + σ2 m m’ + σ3 n n’ temos também que: σR

2 = ∴ τ2 = = ∴ τ2 = 1.10 Invariantes do Tensor Tensão Os coeficientes I1 , I2 , I3 da equação principal são chamados de invariantes pois não se alteram com a mudança do sistema de coordenadas, isto e’: I1 =

σ3 Seja o plano ABC com direções ( l, m, n ) em relação ao sistema principal de coordenadas 1, 2, 3. A resultante σR no plano ABC tera’ as componentes:

σ1

σ2

σN τ

N ( l, m, n )

B

A

C


12

I2 = I3 = em outras palavras, I1 = σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 e’ invariante à transformações de coordenadas ortogonais, assim como também I2 e I3 mantém o valor constante. 1.11 Pressão Média Define-se Pressão Média ou Pressão Hidrostática,

pm −===σ

portanto, I1 = - 3 p = 3 σm 1.12 Tensor Esférico e Tensor Desviador Podemos decompor o tensor σij em duas componentes a saber: σij = onde: σij

E = Tensor σij

D = Tensor

=σ

=σ D

ijE

ij

000000

chamando σx’ = σx - σm ; σy’ = σy - σm ; σz’ = σz - σm , podemos reescrever σij

D da seguinte forma:

os invariantes do Tensor Esférico são:

3m

21E

3

2m

21E

2

m1E

1

33

II

33

II

3II

σ==

σ==

σ==

σττ

τστ

ττσ

=σ

'

'

'

zyzxz

yzyxy

xzxyxD

ij


13

os invariantes do Tensor Desviador são:

( ) ( ) ( ) 0'''I mzmymxzyxD

1 =σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ+σ+σ=

[ ]=

τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−=−= 2xz

2yz

2xyzxzyyx

21

2D

2 ''''''3

III

( ) ( ) ( ){ } 2xz

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx6

1τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=

( ) ( ) ( ){ } 0222271

I272

3IIII

213312321

31

213

D3

=σ−σ−σ+σ−σ−σ+σ−σ−σ=

+−=

1.13 Tensão Equivalente ou Representativa O Estado de Tensão pode ser definido pelo invariante de 2a ordem I2

D como, ( ) =σ 2 onde: σ = Tensão Equivalente ou representativa do estado de tensão. então: σ = para tensões principais: σ =

Exemplos:

a) Para tração simples: σ2 = σ3 = 0 ∴ σ =

b) Cisalhamento puro: σx = σy = σz = 0

σ = ( ){ } ==τ+++ 21

2xy6000

21

σ =

=σ=σ


14

1.14 Círculo de Mohr O Círculo de Mohr também é conhecido como círculo das transformações, i.e’, representa o lugar geometrico das tensões de todos os planos possíveis dentro do cubo elementar. Já sabemos que: σR

2 = σN2 + τ2 (1)

para eixos de coordenadas principais temos: σR1 = σ1 cos ( N, 1 ) σR2 = σ2 cos ( N, 2 ) (2) σR3 = σ3 cos ( N, 3 ) substituindo (2) em (1), σR

2 = σN2 + τ2 = σ1

2 cos2 ( N, 1 ) + σ22 cos2 ( N, 2 ) + σ3

2 cos2 ( N, 3 ) sabemos também que: σN = σ1 cos2 ( N, 1 ) + σ2 cos2 ( N, 2 ) + σ3 cos2 ( N, 3 ) e cos2 ( N, 1 ) + cos2 ( N, 2 ) + cos2 ( N, 3 ) = 1

Temos então 3 equações com 3 incognitas, e portanto:

)()(

)()1,N(cos1312

3232N22

N2

σ+σσ−σσσ+σ+σσ−τ+σ

=

)()(

)()2,N(cos2123

1313N22

N2


=

)()(

)()3,N(cos3231

2121N22

N2


=

rearranjando, temos:

322

3121

2322

232

N )1,N(cos)()(22

σσ−σ−σσ−σ+

σ+σ

=τ+

σ+σ

−σ

132

2123

2132

213

N )2,N(cos)()(22


σ+σ

=τ+

σ+σ

−σ

212

3231

2212

221

N )3,N(cos)()(22


σ+σ

=τ+

σ+σ

−σ


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A primeira equação define um círculo no sistema de coordenadas τ , σN para certo valor de cos ( N, 1 ). O raio correspondente do círculo será :

=1R ,

cujo centro do círculo terá coordenadas ( ); . Os valores máximo e mínimo serão:

( ) ( )2

R2

)1,N(R 21min1min1

σ−σ=→

π=→

( ) 0)1,N(R max1 =→

2

32 σ+σ

de modo análogo temos R2 e R3. Então podemos construir os 3 círculos: A localização do ponto P que representa o estado de tensão no plano dado, e' obtido através da representação geométrica. O método de construção geométrica e' mostrado na figura abaixo. Partindo-se dos cossenos diretores que definem o plano considerado, obtem-se os ângulos entre a normal ao plano e as direções principais 1 e 3, isto e', traçamos os ângulos (N,1) e (N,3) conforme figura abaixo. Os pontos de cruzamento das retas dos referido ângulos com os círculos, definem os raios dos arcos que são traçados até se cruzarem no ponto P.

0

R1

1 2 3 0

( R3 )min

( R2 )max ( R1 )min


16

Qualquer plano dentro do cubo elementar estará representado por um ponto P dentro do círculo maior e fora dos outros dois circulos menores:

231

maxσ−σ

=τ

Obs.: as direções principais são determinadas pelas equações:

=++=++=++

000

onde: 1nml 2

i2

i2

i =++

( ) ( ) ( )iiiiii ,zcosn;,ycosm;,xcosl σ=σ=σ= O círculo de Mohr para o Tensor Desviador será :

1 0

σN

P •

••

R1

R3

τ

Representa as tensões no plano ABC cujos cossenos diretores são: l = cos ( N, 1 ), m = cos ( N, 2 ),

σ1; σ2; σ3 são tensões principais

0 σ3 σ1 σN

τ

τmax


17

=σ

Círculo de Mohr para “Estado Plano de Tensões” Se uma das tres tensões (σx, σy, σz) for zero, por exemplo σz = 0, temos o estado plano de tensões. Nesse caso, as transformações de tensões serão como segue:

0

σN

para σij → τ

τ ← para σijD

σ1’ = σ2’ = σ3’ =

σx σx

σy

σy τyx

τyx

τxy

τxy φ φ

σx’ τx’y’

0

τ

2 φ

σN

σy, τyx

σy’, τy’x’

σx, τxy

σx’, τx’y’

φ

x

y

σy’

σy’ σx’

σx’

τx’y

τx’y τy’x

τy’x

x

y

z

σz = 0 τxz = τyz = 0 σ

σ

τxy

τyx


18

1.15 Tensões no Octaedro

( ) ( ) ( )

( )

=

===

1,Ncos

'3,N2,N1,N

A tensão normal à face do octaedro será :

==σ∴

=σ

oct

oct

A tensão do cisalhamento será : 2

oct2

Roct2 σ−σ=τ

mas,

23R

22R

21R

2R σ+σ+σ=σ

)3,N(cos)2,N(cos)1,N(cos 223

222

221 σ+σ+σ=

3

23

22

21 σ+σ+σ

=

substituindo-se acima, temos:

31

oct

2oct

2Roct

=τ∴

σ−σ=τ

σ3

σ1

σ2

3

2

1

N

σoct

τoct


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na forma geral (sistema x, y, z qualquer):

3

zyxmoct

σ+σ+σ=σ=σ

31

oct =τ

portanto, D2oct I

32

=τ também é um invariante. Em outras palavras, a tensão

equivalente σ será :

( ) ( ) ( )213

232

221oct 2

12

3σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ=σ

Isto é, a Tensão Equivalente σ representa a tensão de cisalhamento no plano da face do octaedro. Pelo critério de Von Mises, o escoamento plástico se inicia quando a tensão de cisalhamento τoct atinge um valor crítico que pode ser determinado pelo teste de tração simples :

oct0 23τ=σ=σ

onde σ0 = Limite de Escoamento. 2. ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES Quando um solido e’ deformado, pontos dentro dele sao deslocados. A deformacao é definida em termos de tais deslocamentos, mas de tal modo que os efeitos de movimentos de corpo rigido como translacao pura ou rotacao pura sao excluidos. Considere inicialmente um segmento AB de comprimento 0l no solido. Com a ação do carregamento, A move-se para A’ e B para B’, e todos os pontos entre A e B também se movem para posições relativas entre A’ e B’, então um estado de deformação existe quando 0ll ≠ . Embora ocorre ambos translação e rotação, e’ a mudança de comprimento que é utilizada para definir deformação normal como :

00

ell

==

A

A’ B’

B

l0


20

Para grandes deformações, uma definição alternativa mais conveniente foi proposta por Ludwik: deformação verdadeira ou logarítmica : ε ,

ln

d

=ε∴

=ε

Essa definição é fisicamente mais razoável que a definição anterior de engenharia pois para uma barra de comprimento 0l corresponderia a mesma

deformação ε = para um 02ll = de extensão, ou 2

0ll = de compressão, pois

ambas produzirão o mesmo grau de encruamento. 2.1 Deformação Uniaxial ou 1-D A deformação uniaxial pode ser representada pela deformação uniaxial em uma barra como mostramos abaixo. Os pontos A e B iniciais mudam para A’ e B’. Deformação em uma barra : du

dxxuu∂∂

+

dxxudx∂∂

+

A Deformação Normal ou Linear de engenharia é dada por :

=−

∂∂

+==

dx

dxdxxudx

ex

isto é , se u = u ( x ) , então =∆∂∂

=∆ xxuu

2.2 Deformação Biaxial ou 2-D A deformação em duas dimensões ou 2-D é representada pelas deformações normal e de cisalhamento ou angular que se verificam no plano.

• • A B

• • A’ B’

u

P

x dx


21

Deformação no Plano

yx

yx

uuu

uuuvvv

vvv

∆+∆=∆

+=

Nesse caso, ux = u ( x, y ) , então

∆+∆=∆∂

∂+∆

∂

∂=∆

∆+∆=∆∂∂

+∆∂∂

=∆

yexeyy

ux

xu

u

yexeyy

uxx

uu

yyyxyy

y

xyxxxx

x

Na notação matricial:

∆∆

=

∆∆

yx

uu

y

x

2.3 Deformação Triaxial ou 3-D : O Tensor Deformação Para o caso geral de deformação, analisamos a deformação num cubo elementar do sólido como mostrado abaixo. O sólido está sob estado geral de tensão . O ponto A no centro da face z do cubo muda para A’ e assim por diante. Deformação em um cubo elementar

A

A’

B

B’

u + ∆u

∆y

∆x 0

x

y

z

∆x

∆y

∆z

∆u A

A’ ∆u

∆ux

∆uy

∆uz


22

Admitindo-se ux = u ( x, y, z ) , uy = u ( x, y, z ) , uz = u ( x, y, z ) funções continuas então, para u pequeno, isto e’, ∆u , temos da análise matemática : =∆ xu

=∆ yu

=∆ zu na notação matricial :

∆∆∆

=

∆

∆∆

zyx

eee

eee

eee

u

uu

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

Tensor Deformação Geral

onde: ∆∆

≅∂∂

=xxe desprezando-se os termos de segunda ordem

∆∆

≅∂∂

=yye ″

∆∆

≅∂∂

=zze ″

∆∆

≅∂∂

=xye ″

∆∆

≅∂∂

=xze ″

etc. O Tensor Deformação Geral é :

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

=

zu

yu

xu

zu

yu

xu

zu

yu

xu

eee

eee

eee

e

zzz

yyy

xxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

onde exx , eyy , ezz são Deformações Normais ou Lineares e exy , exz , ezy , ezx , eyx , eyz são deformações de Cisalhamento ou Angulares.


23

yu

yu

DA'DDe xx

xy ∂∂

≅∆∆

≅≅

x

uBA

'BBe Yyx ∂

∂≅≅

Destacamos tres tipos de mudança angular de forma: Através das propriedades de adicao de matrizes, podemos decompor o Tensor Deformação Geral em duas partes:

( ) ( )

=∴

−++=

ij

jiijjiijij

e

ee21ee

21e

onde :

∂

∂−

∂∂

=ω

∂

∂+

∂∂

=ε

i

j

j

iij

i

j

j

iij

xu

xu

21

xu

xu

21

Portanto, o Tensor Deformação no sistema de coordenadas cartesianas é dado por :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

++

++

++

=

=ε

21

21

21

21

21

21

ij

Observar que o Tensor Deformação εij é um pois εxy = εyx, εyz = εzy, εzx = εxz e o Tensor Rotação ωij é , i.e, ωij = - ωji . Se ωij = 0 a deformação é dita irrotacional.

y

x

C’

C

B’

B

D’

D

A ∆x

∆y

∆ux

∆uy

exy eyx

x

y

x

y

x

y exy = eyx exy = - eyx exy = γ eyx = 0

γ

Tensor Deformação Geral

Tensor Rotação i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3

Tensor Deformação i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3

u1 = ux u2 = uy u3 = uz

x1 = x x2 = y x3 = z


24

O Tensor Rotação é :

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂

∂+

∂∂

=

ωωω

ωωω

ωωω

=ω

0y

uz

u21

xu

zu

21

yu

zu

210

xu

yu

21

xu

zu

21

xu

yu

210

zyzx

zyyx

zxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Define-se a Deformação de Cisalhamento de Engenharia γ como sendo a mudança angular total de um ângulo reto das faces do cubo elementar, portanto: xyyxxyyxxyxy 2ee ε=ε+ε=+=γ ou

∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

+∂∂

=γ

yz

xz

xy

γxy = exy + eyx

∆∆

≅=∴

∆

∆≅

∆+∆

∆=θ

tge

xu

uxu

tg

yx

y

x

y

Obs.: As componentes do tensor deformação εxx , εyy , εzz são chamadas de componentes da Deformação Linear pois representam a mudança no comprimento da linha. O Tensor Deformação Pura pode ser escrito como:

εγγ

γεγ

γγε

=

εεε

εεε

εεε

=ε

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

ij

21

21

21

21

21

21

y

x

C’

C

B’

B A

exy eyx

•

eyx

γxy

A

B’

B ∆ux

∆uy

∆x

θ

eyx


25

Representação Geral de um Sólido em Movimento com Deformação O Estado Geral do Movimento com Mudança de Forma ou Deformação de um sólido pode ser decomposto nos seguintes tipos simples de movimento e deformação: = + + + Deformação Não-Linear O Tensor Deformação Não-Linear pode ser escrito da seguinte forma, considerando-se os termos de segunda ordem ou quadráticos. Definindo-se as componentes do deslocamento como sendo u = ux , v = uy , w = uz teremos :

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=ε

222

222

222

ij

zw

zv

zu

zw

yw

zv

yv

zu

yu

zw

xw

zv

xv

zu

xu

zw

yw

zv

yv

zu

yu

yw

yv

yu

yw

xw

yv

xv

yu

xu

zw

xw

zv

xv

zu

xu

yw

xw

yv

xv

yu

xu

xw

xv

xu

21

zw

yw

zv

21

xw

zu

21

yw

zv

21

yv

xv

yu

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

Tensor Deformação em Coordenadas Cilíndricas Definindo-se ur , uθ e uz como sendo as componentes do deslocamento nas direções r , θ , z no sistema de coordenadas cilíndricas, temos as seguintes deformações :

ru r

r ∂∂

=ε


26

O Tensor Rotação wij é : Para Estado Plano de Deformações , isto é, εz = 0 , temos,

zu

ruu

r1

zz

r

∂∂

=ε

+θ∂

∂=ε θ

θ

∂∂

+∂∂

=ε

θ∂

∂+

∂∂

=ε

−

∂∂

+θ∂

∂=ε

θθ

θθθ

zu

ru

21

ur1

zu

21

ru

ruu

r1

21

rzrz

zz

rr

∂∂

−θ∂

∂==− θ

θθ zuu

r1

21ww z

zz

∂∂

−∂∂

==−r

uz

u21ww zr

zrrz

θ∂

∂−

∂∂

==− θθθ

rrr

ur1

r)ur(

r1

21ww

Z

εz

εr εθ

ru r

r ∂∂

=ε

ruu

r1 r+

θ∂∂

=ε θθ

−

∂∂

+θ∂

∂=ε θθ

θ ru

ruu

r1

21 r

r


27

2.4 Rotação do Sistema de Coordenadas Do mesmo modo que para tensões, o tensor deformação pode ser transformado com um movimento do sistema de coordenadas x, y, z → x’, y’, z’ , de acordo com: T

ijij R..R' ε=ε também, do mesmo modo que tensões, obtemos: cujas raízes são : ε1 , ε2 , ε3 → deformações principais

=ε

000000

ij Matriz Principal

Invariantes do Tensor Deformação Os coeficientes da equação acima são os invariantes do tensor deformação, isto é :

3211J ε+ε+ε==

1332212J εε+εε+εε==

3213J εεε== Deformação Média Normal

33

321zzyyxxm

ε+ε+ε=

ε+ε+ε=ε

Direção ( l, m, n ) das Deformações Principais ε1 , ε2 , ε3 :

( )( )

( )

=ε−ε+γ+γ

=γ+ε−ε+γ

=γ+γ+ε−ε

0n2ml

0nm2l

0nml2

izzxzzx

yziyyxy

xzxyixx

portanto, para cada deformação principal temos tres cossenos diretores, isto é : 333122221111 n,m,l;n,m,l;n,m,l →ε→ε→ε


28

2.5 Deformação Normal (linear) num Plano Qualquer Dado o tensor deformação εij, determinamos a deformação normal εnn numa direção qualquer ( l, m, n ) pela equação: =εnn 2.6 Tensores Deformação Esférico e Deformação Desviadora Podemos decompor o tensor deformação em: D

ijE

ijij ε+ε=ε onde tensorEij =ε

tensorDij =ε

εε

ε=ε

m

m

mE

ij

000000

ε−εγγ

γε−εγ

γγε−ε

=ε

mzzyzxz

yzmyyxy

xzxymxx

Dij

21

21

21

21

21

21

Propriedade da deformação normal desviadora:

0''''''

zzyyxx

mzzzz

myyyy

mxxxx

=ε+ε+ε⇒

ε−ε=ε

ε−ε=εε−ε=ε

Tensor Desviador para deformação principal será :

ε−ε−ε

ε−ε−ε

ε−ε−ε

=ε

3200

03

20

003

2

213

312

321

Dij


29

Os invariantes do Tensor Esférico são: zzyyxx1

E1 JJ ε+ε+ε==

3

JJ2

1E2 =

27JJ

31E

3 =

Os invariantes do Tensor Desviador são: 0J D

1 = →

3

JJJ2

12

D2 −=

31

213

D3 J

272

3JJJJ +−=

2.7 Deformação Volumétrica

Considere o cubo elementar do sólido como visto anteriormente, cujas dimensões são l1 , l2 , l3 como mostrado abaixo,

321 JJJvv

vv

++==∆

∴

=∆

desprezando-se os produtos de ordem superior, a razão de variação no volume e' ,

=≅ε=∆

vvv

onde εv é a deformação volumétrica ou dilatação cúbica que é a mudança no volume por unidade de volume:

3v

mε

=ε

Portanto o tensor deformação será a soma do tensor desviador mais o tensor

dilatação, isto e’:

ε ε ε ε εij i jD

i jE

i jD

m= + = +

(isto é, o volume é constante apesar de haver deformações)


30

2.8 Círculo de Mohr das Deformações De modo análogo às tensões, podemos construir o Círculo de Mohr das

Deformações como apresentado abaixo : deformação de cisalhamento máximo: γmax = 2.9 Deformações no Octaedro De modo análogo à tensões, a deformação normal ou linear no plano do octaedro é,

3

1)3,(cos)2,(cos)1,(cos === lll

3

J3

1oct ==ε

a deformação angular ou de cisalhamento,

32

oct =γ

2.10 Deformação Equivalente ou Representativa

=γ=ε oct22

2.11 Trabalho de Deformação Plástica

octoctoctoct d.23d

22.

23d.d γτ=γτ=εσ=ω

0 (linear)

• • • •


31

2.12 Comparação entre Deformação de Engenharia e Deformação Logarítmica

1e00

0 −=−

=l

l

l

ll → deformação de engenharia

( )e1lnln0

+==εl

l → deformação logarítmica

1e0

−=l

l

0

lnl

l=ε

0l

l

εe

Deformação de Engenharia ( para valores pequenos na Elasticidade )

εγγ

γεγ

γγε

=ε

xxyzxz

yzxxxy

xzxyxx

ij

21

21

21

21

21

21

Deformação Logarítmica ( aplicação em Plasticidade )

εγγ

γεγ

γγε

=ε

xxyzxz

yzxxxy

xzxyxx

ij

dd21d

21

d21dd

21

d21d

21d

d

dε = incremento de deformação plástica

1,0

-1,0

0

são iguais para valores pequenos


32

Deformação Equivalente: material isotropico,

( ) ( ) ( )232

231

221 dddddd

32d ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε

em tração simples, 2

ddd 132

ε−=ε=ε , então ε=ε dd ,

2dγ

Portanto existe uma analogia completa entre os círculos de Mohr para tensões e deformações pequenas: deformação linear corresponde a tensão normal e deformação angular à tensão de cisalhamento. Da teoria da elasticidade,

( )2211e.E σ+σν−σ= , rearranjando,

( )2121

m11

eeG2

E3

G2e

−=σ−σ∴

νσ−

σ=

de modo análogo,

)ee(G2)ee(G2

3232

3131

−=σ−σ−=σ−σ

Isto é, os círculos de Mohr das tensões e das deformações são proporcionais.

0 dε2 = dε3 dε1 dε • • •

Círculo de Mohr para deformação plástica em tração simples


33

2.12 Representação Geral da Deformação

A deformação geral pode ser decomposta nos casos simples de translação, rotação, deformação linear e deformação angular ( ou de cisalhamento ) como visto abaixo,

Introduzindo-se os angulos, a Deformação de Cisalhamento Geral pode ser dividida em,

Deformação Geral

x y

y x

=

e

e

ε =x ye + y xe

2

ω =y xe + x ye

2

Deformaçãocisalhamento puro

x yε = x ye + y ze2

= 12

γ x y

z

cisalhamento simples cisalhamento puro rotação

Rotação

=φ φ

2

φ2

+

+φ2

Translação

+

Deformação Linear

+

y

Deformação Geral

x

=

+

Rotação

Deformação de Cisalhamento

+


34

2.14 Equações de Compatibilidade As componentes do Tensor Deformação devem satisfazer as igualdades matemáticas vistas abaixo. Partindo-se das definições de deformação, e aplicando a derivada parcial vem,

yxv

yxu

yx

yxv

x

yxu

y

2

3

2

3xy

2

2

3

2y

2

2

3

2x

2

∂∂∂

+∂∂∂

=∂∂

γ∂

∂∂∂

=∂

ε∂

∂∂∂

=∂ε∂

e portanto,

2y

2

2x

2xy

2

xyyx ∂

ε∂+

∂ε∂

=∂∂

γ∂

isto é, as funções u(x,y,z) , v(x,y,z) e w(x,y,z) não são quaisquer, mas devem satisfazer as igualdades acima. Continuando o processo de derivação das equações de definição das deformações, obtemos as seis equações da compatibilidade visto a seguir. Equações da Compatibilidade :

Para o caso da Elasticidade, aplicando-se as Lei de Hooke, as equações da compatibilidade podem ser transformadas nas relações entre tensões. As equações da Elasticidade que relacionam tensões e deformações sao as seguintes :

∂

∂−

∂∂

+∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

∂

∂+

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂

+

∂∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

∂=

∂∂

+∂

∂

∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂

zyxzyx

zyxyzx

zyxxzy

zxzx

zyyz

yxxy

xyxzyzz

xyxzyzy

xyxzyzx

xzxz

yzzy

xyyx

γγγε

γγγε

γγγε

γεε

γεε

γεε

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

[ ]

[ ]

[ ] xzxyyxzz

yzyzzxyy

xyxyzyxx

GT

E

GT

E

GT

E

τγασσυσε

τγασσυσε

τγασσυσε

1)(1

1)(1

1)(1

3

2

1

=∆++−=

=∆++−=

=∆++−=

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