Elasticidade e Plasticidade

7/26/2019 Elasticidade e Plasticidade

1/42

1

las t i c i d ade

IN TRODUO

A elasticidade trata das deformaes e tenses elsticas a que os corpos

so submetidos, assim como da relao entre tenses e deformaes, e ten-

ses, deformaes. e foras aplicadas ao corpo. Define-se uma deformao

elstica como aquela que desaparece uma vez removida a fora que a causou.

A teoria da elasticidade para slidos hookianos (isto , slidos que demons-

tram proporcionalidade entre tenso e deformao) necessariamente caracte-

rizada por certa complexidade. No entanto, essencial seu conhecimento para o

tratamento de problemas mais gerais e da a estrutura deste capitulo, A elas-

ticidade recebe dois tratamentos dist intos. Primeiro.. um tratamento simpli-

ficado, perfeitamente ajustado ao

nvel

de graduao (Parte' A). As tenses

e deformaes so apresentadas, primeiro, para casos simplificados. O tra-

tamento tridimensional mantido a um rninimo. Um mtodo grfico de so-

luo de problemas (Crculo de Mohr) descrito. Munido dessas ferramentas,

o leitor estar preparado para compreender a maior parte' das derivaes

matemticas dos captulos subseqentes. Em cursos de nvel de ps-graduao,

por outro lado, recomendvel usar-se um tratamento mais profundo e ri-

goroso da teoria da elasticidade.

As tenses e deformaes existem, na maior parte dos casos, em corpos

considerados tridimensionais e o clculo tensorial e a notao indicial per-

mitem um tratamento elegante e simples desses problema, sendo evitados

algebrismos excessivos. A Parte B deste captulo apresenta a teoria da elas-

ticidade sob um ponto de vista tensorial. Uma vez apreendidos os conceitos

do tratamento tensorial da teoria da ela ticidadc para slidos hookianos, o

leitor ter ganhado uma co nce itu a o tridimensional de tenses de deforma-

es. Esta ser-lhe- de grande utilidade na olu o de problemas mais com-

plexos, como anlise I campo de tens e' em torno de discordncias, intera-

es entre discordncias e torn s solutos, mecnica das fraturas, ondas

plsticas em slidos, onda de choque, concentraes de tenses causadas

por precipitados, ani otropia dos gros e estado de tenso em materiais con-

jugados, etc. Recomenda-se ao alun de ps-graduao tambm ler o trata-

mento simplificado, j que as duas partes deste captulo so complementares

e a duplicao ele material foi mantida a um mnimo.


2/42

Principios de Metalurgia Mecnica

I. 1< 1.SII(IJ)ADE - TRATAMENTO ELEMENTAR

I. L 1 1 \11 /01 li t deformao longitudinal

A Fi . 1.1 mostra um corpo de prova de seo cilndrica sendo tracionado

\'11111111:1mquina de ensaios. A extremidade superior est aparafusada ao

bnrnuncnt da mquina. A rotao acopluda dos dois parafusos sem-fim

IlIt .rais permite o movimento do barramento para cima ou para baixo (h

11I1,llb~mum outro. tipo de mquina de trao acionado por dispositivo servo-

-I\I~lraulIco). Ad~ltIndo~se que, em um determinado instante, a carga externa

aplicada pela maquina e F, haver uma tendncia para esticar o corpo de

prova e rornp-lo. Esta tendncia ruptura combatida por reaes internas.

A melhor maneira de visuali z-las pelo mtodo de anlise usado na Resis-

tncia dos Materiais: seciona-se o corpo de prova e substitui-se a parte remo-

'vida pelas foras ,que ~xercia. Para a parte inferior do corpo de prova, esse

procedimento esta Indicado na Fig.

1 .1 .

Essa resistncia est, no presente

caso,. homogenea~ente. distribuda na seo transversal e representada,

na Fig. 1.1, por tres setinhas. Define-se a tenso longitudinal (1 como a resis-

CLULA DE CARGA

I

F

BARRAMENTO

/

PARAFUSO

/SEM-FIM

CORPO

DE PROVA---

F BASE

I I1I1111.1 - Des enho es quemtico de m quina para ensa ios de trao

Elasticidade

3

tnc ia por unidade de rea . Aplicando-se as equaes bsicas da Resistncia

dos Materiais parte inferior do corpo de prova, tem-se

F

=

R

=

(1A

ou

Esta a tenso interna que resiste

fora aplicada evitan I ,assim, a ruptura

da amostra. a seguinte a conveno de sinais usada: as tenses trutivas so

positivas e as cornpressivas, negativas.

medida que a fora externa F aumenta o c mprimcnro til do corpo

de prova tambm aumenta. Para um aumento de fora

di,

O comprimento

e

aumenta de d e . Assim, define-se o aumento (ou decrscimo) de comprimento,

por unidade de comprimento, por

d i

t

Esse parmetro recebe o nome de deforrnuc lon ritu Iinul. A .onvcnco de

sinais usada : as deformaes trativas so positivas e :IS .ornprcssiva ,nega-

tivas. Na Fig. 1.2 esto apresentadas duas curvas t .ns: o-dcf irmuco (em tra-

o); arnbas descrevem o comportamento elstico ti, corpos. As linhas cheias

descrevem a trajetria de carregamento e as p ntilhudus, o

ti

'sc:lrregamento.

Para slidos perfeitamente elsticos, elas devem c in .idir. A .urvu da Fig. 1.2(a)

caracterstica de metais e cerrnicos, e o regime '1{lsti 'o pode ser descrito

por uma l inha reta. A curva da Fig.

1 .2 (b )

cuructcristi

'


3/42

4

Princpios de Metalurgia Mecnica

o

'lll

c

Q)

I-

E

(a )

o

'lll

c

Q

I-

,

I

,/

/'

/

. . .

/

_ - ,.,,,,-= :2 :-:::;-;,;.,-; ,/

-e-, CURVA DE DESCARREGAMENTO

- _... COM ANELASTICIDADE

-

----_.--

. . . -

. . ;

Deformao

(b)

E

Figura 1.2 Curva tcnso-dcforrnao no rcgune elstico: (a) curva caracterstica de metais e

cerrnicos: e (b ) Curva caracterstica da borracha

Para metais e cermicos, seu valor muito alto. Um valor tpico para o

ferro 210 GPa. E depende s da composio e da estrutura

cristalogr fica

do material, e tratamentos trmicos ou mecnicos tm efeito muito limitado

sobre

E.

Assim, um ao recozido tem o mesmo modulo de Young que um ao

laminado (h, claro, pequenas diferenas devidas formao de textura).

E diminui com o aumento de temperatura. Em monocristais, E tem diferentes

valores para diferentes orientaes crista logr ficas . Logo, anisotrpico. Para

policristais em que os gros no apresentam textura, E isotrpico: tem o

mesmo valor em todas as direes. Os valores de E apresentados em tabelas

(ver a Tab. 1.4) no so, em geral, obtidos mediante ensaios de trao mas

por mtodos dinmicos: passa-se uma onda elstica de pequena amplitude

pelo slido e mede-se sua velocidade. H expresses matemticas que permi-

tem obter

E

a partir da velocidade.

Elasticidade

5

1.2.2. Tenso e deformao cisalhantes

Imagine-se agora que se estabelea o tipo de carregamento descrito na Fig.

1 .3(a) .

O corpo de prova colocado entre um mbolo e urnu placa com um turo

cilndrico. O mbolo comprime a amostra. Os esforos Inlerno.s que reslsten~

solicitao externa so agora de natureza

cisulhant c . Na Fig. 1 .3 (b ~

esta

indicado um pequeno cubo retirado da regio de cisulhamcnto. ~Ic c dis-

torcido de tal modo que os ngulos no so mais iguais a 90 . Definem-se a

tenso e a deformao cisalhante(ou de

ci sal humento)

por

F

T

=-

e

A

d e

'=-=tg 11::: 11 .

I t

A

toda a rea da superfcie que sofre as tenses cisuihuntcs c aproxi-

madamente igual a:

REGIO o .

CISA liAMI N1

(a )

(b )

I-- -..J

10

Figura 1.3 .: (a ) Corpo de prova submetido a soliciruco cisalhante ; e

(b )

deformao sofrida por

pequeno cubo


4/42


'I

0I110U-S' CI

mdia dos dois dimetros j que se fez

D

2

ligeiramente su-

1ll'IIOI 1 1 o..

IJ 1 11 ensaio mecnico comumente usado para obter grfico de T

versas .

t' (~

:lIsaio de toro. Dieter (ver Sugestes paru leitura ) apresenta um:l

nulisc detalhada desse ensaio. Observa-se para metais, ccrrnicos e certos

p()l.ime~o , que T proporcional a ;. para o regime elstico. Em analogia

ti '11I1 ao apresentada na seo anterior. define-se o modulo transversal de

.lasticidade, mdulo de rigidez, ou mdulo de cisalharnento G como

G =~.

G numericamente inferior a

E

e est a ele relacionado pelo coeficiente de

Poisson, que ser discutido na seo seguinte, cujos valores so dados na

Tub, IA. V-se que, em geral, G varia entre um tero e metade de E.

1.2.3. Coeficiente de Poisson

Um corpo, ao ser tracionado, tende tambm a sofrer contraes laterais.

Isso est mostrado para o cubo da Fig. IA, que tracionado na direo .\ .:

esto indicados no cubo a tenso a

JJ

e as deformaes resultantes. Os nd ice s

para tenses e deformaes so descritos em detalhe nas Secs. 1.3 e 1.6.3,

'l'lt 0 I r 'l'

-Jl~~

/1/ 2

/ I

/1

1

/ / I

- - r+ - - - , L - f _ _ _ _ _ _ ----f/

1 I 1

7

I I I

I I I

i o?

+ - - }

-x

L i _

/ ' )

L L

'Yj/'

E33 .1.* _

2

f - - - - - t - - - - {

1 1 , l I fl l 1 . 4

Cubo com dimenses unitrias sendo tracionado na dir eo 0,\, ,\

Elasticidade

7

respectivamente. [De modo simplificado. as tenses longitudinais (ou normais)

tm os dois ndices iguais e. para as deformaes longitudinais, aplica-se a

mesma conveno. J para as tenses (ou deformaes) cisalhantcs, o primeiro

ndice indica a direo da tenso e o segundo. a direo da perpendicular

ao plano em que est atuando.] Como esses ndices so diferentes, per-

feitamente claro que essas tenses so cisalhantcs:

tT2

t'Tu,

tT2J

Caso seja

usada essa notao (com dois ndices), usar-se- a em vez de T para as tenses

cisa lh.mtes. Na Fig. IA, a tenso

I.

.'

gerou deformaes

I:.

1:

22

e

1:.1.-

Corr~o

as dimenses iniciais do cubo

so

unitrias. os alongamentos so Iguais as

deformaes. O coeficiente de Poisson definido como a razo entre a defor- t

mao lateral e a longitudinal. Tem-se que tanto 1: e 1:

22

so negativos (de-

crscimo em dimenso) e que

1:.1.1

positivo. Para que o coeficiente de Poisson

seja positivo, introduz-se o sinal negativo. Assim:

\'=_~

1:

22

1: ., 1:.1.'

1:

11

igual a

1:

22

,

caso o material seja isotrpico. Podem-se calcular os

valores de \' para dois casos extremos: quando o volume permanece constante

e quando no h contrao lateral. Quando no

h

contrao lateral tem-se,

obviamente, v =O . Caso o volume permanea constante,

ter-se-

V

o

V (I +

1:

1

,) (I +

1:

22

) (I +

1:.1.1)'

Desprezando-se os produtos de deformaes, por serem estas admitidas

como pequenas, tem-se

V =I+ 1:

11

+ 1:

22

+ 1:,1.

-

azendo-se

V = V

o

:

1:

11

+ 1:

22

+ /:33 =

O .

1 :

22

para isotropia. Logo:

2 1 :

11

=-

/:3.1'

Substituindo-se esta igualdade na expresso para o coeficiente de Poisson:

\ = 0,5.

Para os metais, o coeficiente de Poisson flutua em torno de 0,3 (ver a

Tab. IA). Vale a pena ressaltar que os valores de \. representados na Tab. IA

se aplicam s ao regime elstico. Quando os metais so plasticamente defor-

mados, o coeficiente de Poisson aumenta para 0,5.

1.2.4. Estados de tenso mais complexos

As relaes entre tenso e deformao descritas nas Secs. 1.2.1 e 1.2.2

no se aplicam aos estados bi e tridimensionais de tenso. Os casos discutidos

so de tenso unidimensional ou uniaxial. Para o caso mais geral possvel,


5/42

Princfpios deMetalurgia Mecnica

11 I I l' tudo de tenses mostrado na Fig. 1.7 e descrito em detalhe na

1'111 11 1\ dl'NI' rpltulo. No obstante a complexidade da anlise, possvel

hh I- uma soluo bem sirnplificada. das relaes tenso-deformao me-

ti

lU

certas hipteses simplificadoras. Pode-se obter a expresso generalizada

pnrn li Lei de Hooke pelo procedimento que se segue.

Admite-se que tenses cisalhantes s podem gerar deformaes cis i-

Ihantes. Assim, as deformaes longitudinais s so produzidas por tenses

normais. A tenso (J

Ii

gera as seguintes deformaes:

Como V

_ e

22

__

e

33

- -- para a tenso (J 11 tem-se tambm:

e

ll

e

11

Por sua

vez, a

tenso

(J

22

gera as

seguintes

deformaes:

e

22

(J

22

e

e

11

=

e

22

=

V(J

22

=y

=t:

E a tenso

(J33 :

e

33

= (J33

e e

ll

= e

22

=

_ v (J33

E

E

Por seu lado, as tenses cisalhantes s produzem:

YI2 = (J12/G

Y ,3 = (J, 3 /G

Y23

=

(J23/G

o

leitor referido Seco 1.3 para a conceituao dessas tenses. Formula-se

agora a segunda hiptese simplificadora: que a deformao em uma direo

igual soma das deformaes parciais geradas pelas tenses, caso estivessem

atuando separadamente. Assim, a deformao total e

ll

a soma das deforma-

es

e

ll

produzidas por todas as tenses.

Tem-se:

I .

e

'l

=E [(Jll - v((Jn

+

(J33)]

I

e22

=E

[(J22 - V((JII + (J33)]

I

e33

=E

[(J33 - V((J11 + (J22)]

Y12 = (J12/G

YI3 = (J13/G

Y23 = (J23/G.

Elasticidade

9

Essas equaes so idnticas s Eqs. 1.74 derivadas com o uso do clculo

tensorial. Faz-se, porm, a seguinte ressalva: no foram necessrias hipteses

simplificadoras na derivao das Eqs. 1.74, que tm vasta aplicao no Capo 6.

A aplicao das equaes acima para um estado de tenses hidrosttico

((JII =

(J22

=

(J33

= - p;

(J12

=

(J13

=

(J23

=.O)

mostra que no h distores no cubo e que e

'l

= e

22

= e

33

O estado triaxial de tenses dificil de ser tratado. Na maior parte dos

casos, porm, tenta-se resolver um problema de elasticidade tomando-se um

estado de tenses mais simplif icado. Isso muitas vezes justificado pela geo-

metria do corpo e do carregamento, O exemplo discutido na Seco 1.2.1 (ensaio

de trao) de tenso uniaxial. Ocorre quando barras so tracionadas ou

comprimidas. Em chapas (uma dimenso desprezvel em relao s outras

duas), o estado de tenses pode ser aproximado como biaxial (ou tenso plana).

Como a chapa fina, s existem tenses no plano da chapa. A soluo desse

problema feita graficamente na Seco 1.2.5. Quando uma das dimenses do

corpo muito grande em relao s outras duas dimenses, ou quando as

condies de contorno so tais que a deformao em uma direo nula,

tem-se um estado de deformao biaxial (ou deformao plana). Para corpos

que tm uma dimenso que pode ser considerada infinita, e as outras duas

finitas (caso, por exemplo, de uma barragem), a deformao na direo infi-

nita no possvel pela prpria dimenso. H tambm o estado de deformao

uniaxial que ocorre quando ondas de choque se propagam em um corpo.

Esse fenmeno descrito no Capo 13.

1.2.5. Soluo grfica para estado biaxial de tenses - Crculo de

Mohr

A Fig. L5 (a) mostra o estado biaxial de tenses. A construo desenvol-

vida por O. Mohr permite obter as tenses normais e cisalhan~es para qu~l-

quer orientao do cubo (neste caso, qua~rado) ..C?ama-se p0r:.em, a atenao

do leitor para unia mudana na convenao de SiUaIS~ara ,tensoes clsalhante~

introduzida aqui. A conveno antenormente descnta e abandonada e e

adotada a seguinte conveno: tenses cisalhantes so positivas ~uand? cau,s~m

rotao rio sentido horrio; negativas, quando causam rotaao anti-horria.

A conveno de sinais para tenses normais a mesma. A Fig.

1 .5 (b)

most~a a

construo de Mohr, O eixo das abscissas destinado s tenses normais e

o eixo das ordenadas, s tenses cisalhantes. O ponto

A

do diagrama corres-

ponde ao estado de tenses sobre a face do cubo perpendicular a

OX

I

(Fig.

1 .5a ) ; o ponto B, ao estado de tenses obre a face perpendicular a OX

2

(Fig.

1 .5a ).

De posse de

A

e

B,

constri-se

O

crculo com origem sobre o eixo das

abscissas e passando por A c B. Faz-se is o ligando-se A a B. Os estados de

tenso para todas a orientaes possveis do quadrado (dentro do mesmo

plano) correspondem a pontos diarnctralrnente opostos sobre o crculo de

Mohr. Assim, po te-se determinar o e tado de tenses para qualquer orienta-

o. As rotaes no quadrado e no crculo de Mohr so feitas no mesmo

sentido; no entanto, uma rotao de O no quadrado corresponde a uma ro-


6/42

10

Princip ias deMetalurgia Mecnica

tao de 28 no crculo de Mohr. Por exemplo, a rotao de 28 no sentido

anti-horrio leva ao estado de tenses definido pelos pontos C e D no crculo

de Mohr. As tenses cisalhantes so nulas para essa orientao e as tenses

so chamadas de principais. Usa-se um s ndice para caracteriz-Ias

(O 1> O 2).

J na Fig. 1.5(a) fez-se uma rotao de s 8 no mesmo sentido. Os eixos Ox~

.e Ox; so conhecidos como eixos (ou direes) principais.

X2

~

I

0 7 . 2

Xl

\a12

- -

- - ~

--

07 . 1

--

/

,

- -

\ 8

~

\

~

~

/ ; 0

a11

~

/'

a11

\

~

,

\

\

,

~

\

a21

,

~

~

\ a12

a22

\

\

(a)

Figura 1.5 -

(a)

Estado biaxial de tenses e (b) crculo de Mohr

1.2.6. Estado de cisalhamento puro - Relao entre G e E

H um caso particular do estado biaxial de tenses em que 0 22

= -

O

ii-

que est representado na Fig. 1.6(a). Nota-se que O 1 2 =

O ,

o que implica serem

(J11

e

(J22

tenses principais. Logo,

(J2 = ~ (J1.

A construo do crculo de

Mohr, na Fig.

1.6(b),

mostra que o centro coincide com a origem dos eixos.

Alm disso, nota-se que uma rotao de 90 (sobre o crculo) produz um estado

de tenses em que as tenses normais so nulas. Essa rotao corresponde a

uma rotao sobre o corpo de 45. A tenso cisalhante a mesma, em valor

Elasticidade

11

numrico, que

(J2

= - (J

1.

Assim, um quadrado, como o mostrado na Fig. 1.6(c),

reduzido a um losango sob o efeito combinado das tenses cisalhantes. Esse

estado de tenses recebe o nome de estado de cisalhamento puro.

possvel, para este caso, obter uma relao entre G e E de carter geral.

A deformao Gil , para o caso em questo,

~~~Lf - -+- - - - - - - - - - - - . X1

(a )

(O,

r)

(0, - r)

(b)

(c)

Figura 1.6 - (a ) Estado de cisalhamento puro (b ) Crculo de Mohr para cisalhamento puro (e )

Reduo de um quadrado a um losango sob efeito das

tenses

cisalhantes

Tem-se, para as tenses ci alhantes (usando agora a conveno de sinais

normais e no a do crculo de Mohr),

Mas tem-se tambm r

=

Gy.

Assim (J J = -

Gv.


7/42

Principias de Metalurgia Mecnica

Sub u i tu i ndo -s e,

e = _

Gy (I +

v).

I

E

possvel mostrar, mediante consideraes geomtricas no tringulo

negro da Fig. l.6(c~ que lei = - y.

Pede-se ao leitor que faa isso guisa de exercc io. Logo,

G = E .

2(1 + v)

Conseqentemente, G est relacionado a E pelo coeficiente de Poisson.

Essa relao terica entre G e E est em boa concordncia com resultados

experimentais. A Tab. 1.4 apresenta valores de

v .

1.3 - ELASTICIDADE - TRATAMENTO TENSORIAL

1.3.1. Conceito de tenso

Se em um corpo agem foras externas ou se uma parte exerce uma fora

sobre as partes vizinhas, diz-se que esse corpo est sob tenso. Tenso a

resistncia interna de um corpo deformao sob a influncia de foras.

A Fig. 1.7 mostra um corpo sobre o qual age uma fora externa F . Conside-

rando-se o corpo dividido em partes I e 11, pode-se dizer que age sobre o ele-

mento de rea dA da parte I a fora por unidade de rea p . Essa fora por

unidade de rea pode ser decomposta em uma tenso normal (J e uma tenso

cisalhante (J2 Diz-se ento que age sobre o elemento de rea d A um sistema

de tenses

(J 1> (J 2) '

Figura 1.7 - Corpo sob ao de fora externa

F

F

F

Elasticidade

13

Costuma-se definir o estado de tenses em um corpo especificando-se

as tenses atuando sobre as faces de um cubo de pequenas dimenses, situado

neste corpo. Existem dois tipos de fora que podem agir sobre um corpo.

Primeiro, as foras de corpo, que so proporcionais ao volume do corpo.

Exemplos so a fora gravitacional e aquelas devidas a campos eltricos ou

magnticos. O segundo tipo so as foras de superficie, que so proporcionais

rea da superfcie do elemento. A fora por unidade de rea definida como

tenso. As foras de superfcie so, portanto, especificadas por intermdio

da tenso. Ser visto primeiro o estado de tenses em um elemento de corpo

para um caso extremamente simplificado.

a)

A tenso admitida homognea no corpo. Uma tens o homo-

gnea quando as foras agindo em um elemento de rea com forma e orienta-

o constantes no dependem da posio desse elemento no corpo.

b ) Todas as partes do corpo esto em equilbrio esttico.

c) No h foras ou momentos de corpo.

a estado de tenso em um cubo elementar est esquematizado na Fig. 1.8.

As tenses so admitidas positivas para os sentidos indicados na Fig. 1.8.

Assim, as tenses normais de trao so positivas e as de compresso so

negativas. Esse estado de tenses o mesmo, qualquer que eja a posio

do cubo no corpo, desde que a notao seja mantida. A notao usada para as

tenses ser mantida em toda a obra. H dois ndices: o primeiro d a direo

da tenso e o segundo d a direo normal face.

X3

Figura 1.8 - Notao dos componentes de tensor tenso


8/42

14

Princlpios de Metalurgia Mecnica

Em alguns tratamentos em que as direes no necessitam ser especificadas,

usar-se- simplesmente a para a tenso normal e r para as tenses cisalhantes.

Outros livros usam convenes similares. A tabela 1.1 apresenta algumas delas.

Tabela

1.1

- Convenes para

as

tenses.

Autor Tenso Normal Tenso Cisalhante

Meyers e

Chawla ...............

aIi a

22

a

33

a

12

0 3

a

23

Love [I] ...........................

X x

Y y

Zz

X ) '

X

z

Yz

Timoshenko e Goodier [2]

...

a

x

a)

a

z

LX)'

'y z

L)'Z

Dieter [3]

........................

a

x a)

a

z

x

'

'y z

Sokolnikoff [4] ..................

'11

22

'33 '12 '13 '23

McClintock e Argon [5] ......

aIi a

22

a33

a

12

a13 a23

Oll' 17

22

e 0 33 so os componentes normais de tenso e a12, 013, 0'21,'

0'2 3 ,0 '31

e

0' 3 2

so os componentes de tenso de cisalhamento. V-se que a

definio de um estado de tenso exige a especificao de nove parmetros.

Sabe-se que existem diversos tipos de quantidades fisicas. As grandezas

escalares so completamente especificadas por um parmetro. No so dire-

cionais. Exemplos: massa, densidade, volume. Vetores so grandezas dire-

cionais e necessitam de trs parmetros para que estejam definidos. As foras e

os momentos de dipolo magnticos so exemplos tpicos. Uma fora F pode,

portanto, ser especificada por seus componentes (FI F

2

,

F3 )' A anlise ve-

torial prov a base matemtica para o tratamento dessas grandezas. As gran-

dezas escalares e vetoriais so tambm conhecidas por tensores de ordem

zero e ordem 1. Tensores de ordem 2 (ou de segunda ordem) so grandezas

que necessitam de um mnimo de nove parmetros para ser especificadas.

Tenses e deformaes so tensores de segunda ordem. Outras propriedades

fisicas que tambm o so: condutividade eltrica, condutividade trmica,

suscetibilidade magntica e permeabilidade. Existem tambm tensores de

ordem mais elevada. A anlise tensorial permite que esses tensores sejam

manipulados matematicamente com um mnimo de esforo. Percebe-se ento

que, para um conhecimento mais aprofundado de tenses (e, posteriormente,

deformaes) imprescindvel o uso da anlise tensorial. A Seco1.4 apresentar

os aspectos de anlise tensorial a serem usados nas outras partes do livro.

1.4. TENSORES

Os tensores podem ser assim especificados:

a)

Um tenso r de ordem zero especificado por um componente nico,

independente do sistema de eixos.

Elasticidade

15

b)

Um tensor de primeira ordem especificado por trs componentes,

cada um associado a um eixo de referncia.

c) Um tensor de segunda ordem especificado por nove componentes,

cada um associado simultaneamente a dois eixos de referncia.

H alm desses tensores de ordem mais elevada que sero introduzidos

mais adiante. Ser adotada neste livro a notao in d ic ia l. O nmero de ndices

associados ao componente de um tensor igual asua ordem. Assim, a densi-

dade o no tem nenhum ndice, os componentes de uma fora' [F F 2, F 3 ]

possuem um ndice cada e os componentes da tenso [alI a22' a33' a12' ... ],

dois ndices cada. A maneira mais fcil de representar os componentes de um

tensor de segunda ordem sob a forma matricial. Assim, tem- e para um .

tenso r

T,

Em geral, uma propriedade Tque relaciona dois vetores jJ = [p

I'

P 1 . ' P 3 ] e

q

=

[q q2 ' q3 ] de tal modo que

e,

= Tllq l +

P2 = T

21

ql +

P 3 =

T

31

ql +

T

l2

q2 +

T

22

q2

+

T

3 2

q2

+

T

I3

q3

T

23

q3

T33q3 '

(1 .1)

(1 .2)

(1.3)

1.4.1. Notao indicial

A notao indicial ser introduzida poi simplifica enormemente as

expresses matemticas. As Eqs. 1.1, 1.2 e 1.3 tornam-se:

3

P2

7~/lJ

j -

1

3

P3

=

I

r.

)=1


9/42

16


Pode-se ainda simplificar mais as expresses:

3

ti:= I T ijq j (/=1,2,3).

. i

=

1

o sinal de somatrio normalmente deixado de lado. Introduz-se a conveno

de sornatrio de Einstein: quando um ndice de letra aparece duas vezes no

mesmo termo. subentende-se que h o somatrio em relao a esse ndice

nesse termo. Resulta:

(1,)=1,2,3)

o ndice i chamado de livre e j, de preso.

1.4.2. Transformaes

importante saber como variam os componentes de um tensor

T

com o sistema de eixos de referncia. Sabe-se que um vetor fi tem cornpo-

nentes [P I'P2,pJ em relao a eixos [O x l' O x

2

, Ox

3

] e [P;,p~,p~] em relao

a

erxos

[O X'I' O x~ , O x;] .

Ser

vis to primeiramente como [P i] pode ser expresso

em termos de [PJ A Fig. 1.9 apresenta os dois sistemas de eixos cartesianos

com uma rotao relativa. A orientao do novo sistema

[O x ;]

expressa em

relao ao velho sistema

[O x

l

]

por meio dos co-senos dos ngulos. Ser aqui

usada a notao indicial tambm para os co-senos. Assim:

/,

cos X I X I = e I I

~ e

os

X

2

X

2

= 22'

Os nove ngulos que formam entre si os dois sistemas esto indicados

abaixo.

Velho sistema

XI x

2

x

3

Novo sistema

Figura 1.9 - Transformao dos componentes

de um tensor de primeira ordem

+

Pl

Elasticidade

17

Assim, por exemplo, os co-senos diretores do eixo OX'I so e I l' e 12 e e

13

O primeiro ndice indica o eixo novo e o segundo, o velho. Os nove e ij

no so independentes; , porm, digno de nota o fato que, em geral, e i} = F e } i

Esto indicados na Fig. 1.9 os componentes

[P i ]

e [P i] do vetor p. Tem-se,

para P 'l'

/

~

. / ; ' .

/,'-

P

I = PICOS X I.Y I +fi 2 COS X I X 2 +

P

3 COS X I X 3

ou

P' I

=

e.t :

+

P2

f

l2

+

P3

t

13

Tem-se o mesmo para os outros componentes:

p~

=

l

e

21

+ P2f22 + P3e 23

P; =l

e

31 + P3

e

32 + P3

e

33

Em notao indicial:

( 1.4)

Ser agora introduzida a seguinte conveno : quando se exprimem os

novos componentes em termos dos velhos , os ndices presos ficam o

mais prximo possvel em cada termo. Ento, a forma correta da Eq. 1.4 :

p i

=

i jp j .

Se estiver sendo executada a transformao inversa, usam-se os ndices presos

o mais separado possvel. Assim:

P i

=

ejJ J 'j

interessante saber que as coordenadas de um ponto se transformam

da mesma maneira. Se h um ponto com coordenadas [x., x

2

x

3

]

em um

sistema de referncias e com coordenadas [x;, x~ , x~ ] em um sistema novo,

elas so assim relacionadas:

X i

=jjxj .

Para se transformar os componentes de um tensor de segunda ordem

necessrio transformarem-se os vetores

[ p ; ]

e

[q J

a eles relacionados pelas

Eqs. 1.1, 1.2 e 1.3. Sabe-se que os componentes [T i}] relacionam

[P i]

e [q ;].

E necessrio determinar-se os componentes que relacionam lp i ] c [q i ] Para tal,

ser usada a seguinte seq

ncia

de eq

uacs

,11 .. 1 (I.I I

P P

q',

Assim, determina r-sc -o q em termos ele e', p em termos ele q e p' em ter-

mos de p. Essas trs equaes permitiro a obteno ele p em termos de q.

A Eq. 1.5 pode ser expressa como

(1.5)


10/42

1 1 1


I) 11Id O ndice preso da Eq. 1.5 como ndice livre da Eq. 1.6:

p, = l~tql

(I. 6)

Para a Eq. 1.7 , tem-se:

ql =

( jl q j.

Combinando-se as Eqs.

1.5 , 1.6

e

1.7

tem-se:

p i

=

t ik1 ;. l t j {q ~ j ou

r :

=

ti .f jf T 'lq ;.

(1.7)

( 1 .8)

Sabe-se que

[T ij l

uma grandeza que relaciona dois vetores

[p ;]

e

[q ;]

segundo as Eqs. i.i, i.2 e i.3. A integridade fsica dos vetares [ p ; ] e [ f I ; ] man-

tld~ I~dependen.temente do sistema de eixos coordenados. Conseqentemente,

o significado fSICO de sua relao (ou seja, o tenso de segunda ordem) dever

tambm ser mantido. Tem-se, pois,

p ;

=

T ;~< J j.

As Eqs. 1.8 e 1.9 indicam que:

T ;j

=

eikejlT h l'

(1.10 )

A Eq.

1.10

a lei de transformao para tensores de segunda ordem. A lei

de transformao toma a seguinte forma quando se 'passa do sistema novo

ao velho.

( 1 .9)

r . ,

C

e h;t

{j

T ~ I . ( 1.11 )

Nota-se que agora os ndices presos esto o mais longe possvel.

Pode-se perceber a simplificao introduzida pela notao indicial. Se

se usasse a notao extensa, ter-se-ia:

r;

=

tile jfT I1 + ti2e jlT

21

+ ei 3e jlT y .

Expandindo-se o outro ndice pr=so :

r; =

eilejlT l1 + e

i

J j2

T

I2 + ei le j3 T I3 + e2elT21 + ei 2 ej 2 T 2 2 +

+

ei2ej3 T 2 3

+

ei3 ej l T 31

+

ei3 ej2 T 3 2

+

ei3ej3T 33 '

Haver um total de nove equaes, cada uma com nove termos, para se ex-

prrssar a transformao em notao extensa.

Ser agora vista a transformao do produto das coordenadas e dos

pontos. Sabe-se que

Ento

x;x j =,ke j(X kX

I

.

Pode-se ver que o produto das coordenadas de dois pontos se transforma

como um tensor de segunda ordem. Deve-se, porm, frisar que a significao

f ica inteiramente diversa.

losticidade 19

1.4.3. Definio de tensores

As leis de transformao dos tensores tm tal importncia que servem

para defini-Ios. Assim, um tensor de primeira ordem , por definio, uma

quantidade que, em relao a um sistema de eixos [O x;], tem trs componentes

que se transformam segundo as equaes p ; = eijJ). E um tenso r de segunda

ordem uma quantidade que, em relao a um sistema de cix s [Ox;] tem

nove componentes que se transformam segundo as equaes T;'j = {ikej l T u.

Um fato importante a lembrar que os tensores, sendo quantidades fsicas,

retm sua identidade independente do sistema de eixos a que e referem. Assim,

o tensor tenso agindo sobre um elemento de corpo o me

1110

independente

Ia orientao considerada para o cubo elementar. Os compon ntcs do tensor

que sero, afetados pela orientao considerada para o sistema de eixos.

1.4.4. Diferena entre

(e i)

e

[T iJ

Ambos tm nove componentes e podem ser repre

cntudcs

p r uma

matriz 3 x 3. Esta similaridade pode levar o estudante incauto a algu rnu

confuso. O significado de (e

i

) e [T iJ completamente diverso. s ({ i,;) so

uma srie de coeficientes relacionando dois sistemas de eixos: os

1 7 ' i i ]

510 os

componentes de um tensor e referem-se, portanto, a um s6 sistema de eixos.

[T;J

tem um significado fsico enquanto

(e

i

)

merament e

um conjunto de

nove co-senos diretores.

1.4.5. Tensores simtr icos e anti-simtricos

Diz-se que um tensor

[T iJ

simtrico qu and 1 = 7' ,

1~111

n ta o

matricial:

[

Tl T I2

T

I2

T

22

T I3 T

23

Um tensor anti-simtrico quando

t::111 no rucno mutricial :

[

O

T

I2

T

13

]

-T

1 2

O

T

2 3

.

-T

1 3

-T

2 3

O

Um tensor, sendo uma quantidade fisica , se r portanto simtrico ou

anti-sirntrico independente do si tema de ixos ' nsid 'rad . P rtunto , se

T i) =)i , ento T ;j =Tj; E, se T i} = - T ,,, cnt '/ ':, -

7';,.

1.4.6. Representao quadrtica de tcnsores

Ser agora dada a repre cntaco geomtrica de lensores. No se trata,

a rigor, de uma representao ge mtrica; Lima analogia geomtrica que

auxilia na soluo de problemas, Para tal, considera-se a equao

( l.i2)


11/42

()


(), IL'I'IllOS X,

e

xj

so coordenadas de pontos e

Sij

so coeficientes. Expan-

li 11 I110 S ' a cxpresso:

I IX~

+ S22X~ + S33X~ + S2

X

,X2 + S3X,X

3

+ S23X2X3 +

+ S2I

X

2

X

, + S3,X

3

X

I

+ S32X3X,

=

1.

Admitindo-se que

Sij

=

Sji,

llX~ + S22X~ + S33X~ + 2S 2XIX2 + 2 S13XIX3 + 2S

23

X

2

X

3

= 1.

Recomenda-se ao leitor rever brevemente alguns conceitos de Geometria

Analtica do Espao. A expresso acima a equao geral de uma superf1cie

de segundo grau referida a sua origem. Essa equao tambm conhecida

como equao quadrtica. Transformando-se a Eq.

1.12

para um novo sis-

tema de eixos:

x,

=

ekiX~

xj=erjx;

Si} e .. {fj x{ x; =

1.

Esta equao pode ser expressa como:

Skf x l, x ;

=

1.

V-se ento que os coeficientes de uma curva quadrtica referida ori-

gem se transformam como os componentes de um tenso r simtrico de segunda

ordem. Em virtude disso, costuma-se associar os dois conceitos e representar

os componentes dos tensores de segunda ordem simtricos pelos coeficientes

da equao quadrtica. Em conseqncia, um estado de tenses pode ser

representado pela curva.

1.4,7. Eixos principais

Todas as curvas quadrticas - hiperbolides e elipsides - possuem

o que se chama de eixos principais. Quando referidas a esses eixos, sua notao

se simplifica e a Eq.

l.12

assume a forma:

S xi

+

S22X~

+

S33X~

=

1.

A Fig.

1.10

representa um elipside referido a seus eixos principais que

coincidem com os eixos do elipside. Os interceptos fornecem os compri-

II~IIIII 1.10 Elipside referido aos eixos prin-

1

JlII

Elosticidade

21

mentes dos sem i-eixos e so iguais a

S,~/2, S2~/2

e

S3~/2.

Tal qual as

curvas quadrticas, que se simplificam ao ser referidas aos eixos principais,

de tal modo que os coeficientes passam de seis para trs, tambm ostensores

simtricos de segunda ordem podem beneficiar-se de uma escolha judiciosa

de eixos de referncia. Assim, um tensor simtrico

Ti}

pode ser transformado

de tal maneira que possua s trs componentes:

[

Til

T'2

T3]

[ T ; I O

~2 ~2 ~3 =

O ~

T'3

T23 T33

O O

Esses eixos principais so obtidos mediante processamento matemtico

usado em Geometria Analtica. Percebe-se que muito mais cmodo operar

com trscomponentes que com seis. Normalmente, usa-se s um ndice quando

o tensor est referido aos eixos principais. Conseqentemente, a matnz se

torna:

1.5, TENSO

O leitor novamente referido Fig.

1.1

para avaliar o conceito de tenso.

J se dispe de uma notao apropriada (Fig.

1.2 )

que permite um tratamento

matemtico correto mediante o uso da anlise tensorial. Se as tenses fossem

tensores simtricos, poderiam ser introduzi das simplificaes significativas no

tratamento matemtico. Ser agora.visto quando que isso ocorre. Analisar-

-se- primeiro o caso em que (a) as tehses so homogneas, (b) o corpo est

em

eq uil b rio

esttico e (e ) no h

for as

ou momentos de corpo. A Fig.

l.11

representa uma seo do cubo unitrio de lado

a.

A' condio de equilbrio

x

Figura 1.11 - Cubo elementar em equilbrio

esttico e em estado de tenses homogneo

3

033023

-

l 0 3 2

2 2 1

022

.

032

------

023

033

a


12/42


I' 1111\'0

unpli 'a certas condies. A soma das foras, assim como a dos mo-

111II(II~

a rindo sobre o cubo, deve ser zero.

Tornando-se os momentos em relao ao eixo

Ox I'

tem-se, em equilbrio,

a a

a

23

x

2' -

a

32

x

2'

= O

a

23

=J32'

Tem-se o mesmo para os outros componentes cisalhantes. Resulta que o

tensor

(J

ij

simtrico e que

1.5.1. Tenses no-homogneas

Ser agora visto que as tenses so simtricas mesmo quando o estado

de tenses no homogneo, no h equilbrio esttico e quando h foras

de corpo .. Para tal, toma-se um paraleleppedo elementar com lados

x I'

x

2 e

bx

3 imerso no corpo. Como o estado de tenses no corpo no homo-

gneo, as foras, agindo sobre o paraleleppedo, dependero dessa posio

no corpo. A Fig. 1.12(a) mostra uma seo perpendicular ao eixo Ox . Para

simplicidade, os eixos so tomados como ortogonais.

J

X2

012 + aa12

1

aX2

2

+

I

I

,

I

I

y

,

O

I

,

a

I

011

+

a

,

(a)

x3

0n+ a023.

aX3

- - - -

r

03

~oX21

O

--

_

a023

.~OX3

b)

aX3 2

Fi 'lira 1.12 ., Estado de tenses no-homogneas;

(a )

seo perpendicular ao eixo 0-,) e

(b )

seo

perpendicular ao eixo 0-

Elasticidade

23

As tenses agindo sobre a origem so (J j Conseqentemente, as tenses

agindo sobre as faces do paraleleppedo so alteradas. Aplicando-se a segunda

lei de Newton em relao direo Ox

I:

i.F, I

=

1110,.,

=

mx I,

em que m a massa.

c J ,

I I

0'2

e 03 Isso equivale a dizer que a Eq.

1.19 tem a forma:

0'3 - 11,2 -

1

2

u -

13

=

O .

(121)

lI> 1

2

e 13 so constantes para um dado estado de tenses e so chamados

de primeiro, segundo e terceiro invariantes da tenso, respectivamente. Tm-se:

li =

O'll

+ 0'22 + 0 33

1

2

=

-(0'110'22 +0'220'33+0'110'33) + 0'1~+0'1~+0'2~

13

=

0'110'~20'33 + 20'120'130'23 - (0'110'2~ + 0'220'1~ + 0'330'1D

Como eles so invariantes, pode-se usar a orientao para a qual as

tenses so principais:

li = 0'1 + 0'2 + 0'3

1

2

=-

(0'10'2 + 0'10'3+

0 203) (1 .2 2)

13 = 0'10'20'3'

Observe-se que I I' 1

2

e 13 descrevem um estado de. tenses to bem quanto

OI> 0'2 e 0 3

1.5.7. Representao quadrtica das tenses

Como a tenso , na ausncia de momentos de corpo, um tensor sim-

trico de segunda ordem tem representao quadrtica (ver as Secs.

1.4.6

e

1.4.7).

Conseqentemente

O' ijx jX = I.

Se estiver referido a seus eixos principais, ter-se-:

OIx~

+

O2X~

+

O3X~ =

I.

Como 0'1> (J2 e (J3 podem ser tanto positivos quanto negativos, tm-se

diferentes possibilidades. As vrias representaes grficas esto dadas na

Fig.

1.14.

Para (J

I'

(J

2'

0 3>

O

tem-se um elipside. Para O'

I'

(J

2> O

e (J

3

O

e (J2' (J3 [ 6 e~ g ] .

e

13

e

23

8

33

O O c.

I

A representao geomtrica desse tipo de orientao dada na

Fi g. 1.25.

Nota-se a ausncia de deformaes cisalhantes. O cubo elementar trans-

forma-se em um paraleleppedo. A mudana de volume do cubo chamada

de dilatao (ou contrao) e dada por:

E

L \ =l

+

s.) (l

+

e

2

) (l

+

e

2

) - 1. .-

Para pequenas extenses, desprzam-se seus produtos e tem-se

L \ ~ e

l

+ 8

2

+ c3'

I I 111 11 I. 5 1 cformaes principais

41

EI8sticidade

1.6.4. Deformaes de engenharia

O tensor [eij) freqentemente escrito sob a forma

E

x

1

-)Ix,

2 ..

1 .

2)15.

1

-)I,.:

2 .

1

2

)Ix.,

1

2)1x:

D ,.

1

2')':

8

:

Neste caso, tem-se

t

f i

,

I

)Ix\,

= 2e

l2

y~~= 28

13

)Ir: =

28

23

,

Essas deformaes so conhecidas como deformaes de engenhar ia.

1.6.5. Estados especiais de deformao

H' ai uns estados de deformao de particular interesse. O estado de

defor:a~ plana freqentemente a?m.itido .na anh~e de sistemas de ~~~~

_ Quando uma das deformaes pnnclpals e nula, diz-se que o corpo

sao.

I

em

um -

estado de deformao

P

ana:

l ~~ n

I

de

deformao

plana o cisalhamento puro, poisUm caso particu ar

I'

tem-se a equivalncia

l~ n - [ - g

n

1.6.6. Invariantes da deformao, deformaes odadricas, componentes

desviadores e hidrostticos

- d c - s [ e ) podem sofrer o mesmo

Em analogia com as ten?oes, as elormao:,

i i

r a Sec

1.5 .6),

tratamento. Assim, h invanantes da deformaao Ip I2, I3 _( ve D . ,

deformaes octadricas e

oc

,

(ver a Seco

1.5 .10 ),

deformaoes e etrvas, com-


22/42


[;ij

J

I

J

2

J

3

1.6.7. A energia de deformao

Considere-se um cubo elementar que deformado por um tensor

e .

~e~ueno. _To~os os componentes de deformao sofrem alteraes co~ ~

eborma~o o corpo. O trabalho executado pelos componentes da tenso

so re as aces do cubo para realizar a deformao , por componente,

dW

=

a.de..

(1.46)

. ~odmo os componentes esto dados em notao matricial (ver a Sec 1 72)

Ivana,

e

1 a 6. Se o processo de deformao isotrmico e reversvei ; t~a~

balho e Igual ao aumento de energia livre dlj; e tem-se, por unidade de volume

dlj;

=

dW

= a.de;

Aplicando-se a lei de Hooke (ver a Seco 1.7):

dlj;

=

Cijcjd[;i

Integrando-se a Eq. 1.47 e sabendo-se que C

i

=C.

S e c o I . 7),

tem-se:

J Ji

(1.47)

(isso ser visto na

ou

I

I11~'i '~I 'r~i(l de deformao por unidade de volume ou o trabalho rever

VI l

OI~lIll1O

puru produzir uma deformao Cio -

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

(1.45)

(1.48)

(1.49)

Elasticidade

43

1.7. ELASTICIDADE

I.7.1. A lei de Hooke

Um corpo slido, quando submetido a uma tenso, deforma-se. A elas-

ticidade e a plasticidade so duas reas da Mecnica que tm por objetivo

estudar o relacionamento entre deformaes e tenses. Estabelece-se uma

fronteira entre as duas reas: a elasticidade trata de deformaes integral-

mente recuperveis, isto , que desaparecem uma vez removida a tenso.

Um caso particular de comportamento elstico o que segue a lei de

Hooke. Observou-se, experimentalmente, que, para muitos corpos slidos

e para pequenas deformaes, tenses e deformaes eram proporcionais.

Chama-se a esses corpos de hookianos e so de especial importncia para os

metalurgistas, pois os metais se enquadram neste grupo.

Se um corpo est submetido a uma tenso uniaxial (caso de uma longa

barra de comprimento ( com peso na extremidade), a deformao

t'1{ _,

c

=e a tensao e

(5.

A lei de Hooke afirma:

[;=

S(5.

(1.50)

em que S a constante de proporcionalidade chamada submisso elstica.

A Eq. 1.50 pode ser posta sob a forma

(5

=

Cs,

(1.51)

em que C a rigidez elstica.

Caso o estado de tenses e deformaes seja geral (triaxial), as submisses

e rigidezes tm que ser modificadas. As Ses. 1.5 e 1.6 mostraram que as tenses

e deformaes so tensores de segunda ordem. Cada componente da deforma-

o est livremente relacionado com todos os componentes da tenso:

[;11 = SIIII(5II'+ S1112(512 + S

II13

0 13 + S1121(521 + SI 122(522 +

+ S1123(523 + S1131(531 + S1132(532

+ S1133(533

Em notao indicial:

(1.52)

ij = Sjkf Ok f

Da mesma maneira, tem-se

(5ij =Cijkf Gkf (1 .53)

H, no caso mais geral, 81 componentes da submisso e rigidez elsticas.

Como, na maioria dos casos (quando no h momentos de corpo), as

tenses e deformaes so tensores simtricos, tem-se:

C ijkf = C ijtk

e

C

ijkf

=

Cjikf


23/42


gSlus ,igu.alda..des reduzem os 81 componentes para 36

c maneira similar a tensores de segund: d d fi .

quarta ordem pela lei de t c _ a or em, e me-se um tensor de

f ranslormaao

Ass im

os

81 .

rorrnam um tensor de quarta ordem se . , componentes Tijk(

T;jkf = eimejnekoefpTmnop. (1 .54 )

que::

r

agora provada essa premissa para as submisses, formando o

es-

,(I) (2) (3)

e ~ e

----+

a

----+

a.

As relaes

(I),

(2) e (3) so conhecidas:

Fazendo as

e;j = eidjfekf (I)

ekf

=

Skfmnamn

(2)

(Jmn = eo m epna~p . (3)

substituies necessrias:

Logo;

e~ - S' ,

I) - ijop(J 0P

S;jOP

=

eikejfeomepnSkfmn

(1 .55 )

Prova-se dessa maneira q S '

ao passar dos ei ue .

ijkf

e um tensor de quarta ordem. Tem-se

os eixos novos aos erxos velhos, '

Sjkf = e mie n/ oke PfS~nop.

Da mesma maneira, para a rigidez:

Cijkf = em

i

enje

ok

ept.( .. ,nop

(1.56)

1.7.2. Notao matriciaI

1

I

[ , , ,

e

l2

' J

SI

2

S6

2

Ss

e

21

e

22

e

23

= :>

I

I

[;31

e

32

e

33

2

e6

e

2

2

e4

I

1

2

es

2

S4

S3

EI8sticidade

45

Assim, de maneira

Sjkt = Smn

2

Sjk( = Smn

4 Sjkf = Smn

Usando um exemplo:

geral:

quando m e n so

I, 2

ou

3.

quando ou

m

ou

n

so 4, 5 ou 6.

quando ambas,

m

e

n,

so 4, 5 ou 6.

SII =Sllllall

+

SII12

a

l2

+

S

II13

0'13

+

SI1210'21

+

SI1220'22

+

+

S

I123

0'23

+

S

I131

0'31

+

S

I132

0'32

+

S

I133

0'33

SI

=

S1al

+

1/2

Sl60'6

+

1/2

SI

50S

+

1/2

S

J6

0'6

+

S

I2

0 2

+

+ 1/2S

14

0'4-+ 1/2 SISOs + 1/2 S

I4

0'4 + S

I3

0'3

. SI =

S

JjOj'

E, em geral,

(1.57)

Os 1/2 e 1/4 foram introduzidos para que a expresso, em notao ma-

tricial, se mantenha a mais simples possvel.

Para as rigidezes C

ijkf,

a mesma transformao pode ser feita, s que

no so introduzidos 1/2 e 1/4. Assim:

Cijkf

=

C

mn

para quaisquer m e n, e

ai

=

CijS .

A notao matricial permite exprimir as rigidezes e submisses como

matrizes 6 x 6.

S1

SI2 SI3 SI4 SIS

SI6

S21

S22 S23

S24 S2S S26

S31

S32

S33 S34 S3S

S36

S41 S42 S43

S44 S4S

S46

SSI SS2 SS3 SS4

s.;

SS6

S61 S62 S63

S64 S6S S66

O mesmo se aplica s rigidezes. Observa-se que os

Sij

no so os com-

ponentes de um tensor de quarta ordem e, portanto, no seguem a lei de trans-

formao para tensores de quarta ordem. Quando se deseja fazer a trans-

formao, necessrio retomar aos ndices tensoriais.

1.7.3. Simetria cristalina

Estudar-se- agora como se comportam os 36 componentes de C e S

para as diferentes classes cristalinas. Os componentes so 36 para o mais

geral dos casos. medida que sero introduzidas as diversas simetrias, haver

simplificao. Observa-se inicialmente que a elasticidade urna propriedade

centro-simtrica. Isso, em outras palavras, quer dizer: se os eixos de referncia

so transformaaos por uma operao de centro de simetria, ento os com-

ponentes de C e S se mantm inalterados. Isso facilmente provado a partir

da Fig. 1.26.

4



24/42

Figura 1.26 - Operao de centro de simetria

I

, x

t

/

/

/

/

/

x ; ~ _ -------~_J_----_X2

I

I

I

I

I

I

I

I ,

t x J

Assim, pode-se, nesse caso, adotar a simbologia:

e e ta e ronec er

Vij

I - J

E, S;jkl

=

eimejnekoelp Smnop

S;jkl (- bim) (- b

jn

) (- b

ko

) (- s, p) Smnop

S;jkl = bimbj bko(jf p Smnop.

Logo:

Slll

=

SIII

S~

=

S1212'

etc.

Os diferentes sistemas cristalinos (ver o Capo 4 - 14 retculos de Bravais)

podem ser caracterizados exclusivamente por suas simetrias. A prova disso

transcende ao escopo deste l ivro e, portanto, no ser dada. Outros elementos

de simetria,,,que no o centro de simetria, impem condies aos componentes

de S e C, e \os eixos de simetria podem ser vistos na Fig. 1.27.

Figura 1.27 - Eixos de simetria e seus smbolos

O sete sistemas cristalinos podem ser distinguidos pelos eixos de rotao.

A n

ta o

de Hermann Maugin para os eixos de rotao acima : I, 2, 3, 4, 6.

Essas simetrias so derivadas de uma parte da Matemtica conhecida

1'01110 j

'oria dos grupos de pontos. Por essa razo a classificao s vezes

I

li

1 11 1 1 1 1 1 I

d 'grup de pontos. A Tab.

1.2

apresenta as operaes de simetria

1/

11I

dlIIIII'11I

os di ' rente sistemas de Bravais.

f

te s

ticidade

Tabela 1.2

7

Nmero mnimo de operaes de simetria nos diversos sistemas

Sistema Rotaes

Triclnico

Monoclnico

Ortorrmbico

Tetragonal

Rombodrico

Hexagonal

Cbico

Nenhuma

Uma rotao de segunda ordem

Duas rotaes de segunda ordem perpendiculares

Uma rotao de quarta ordem

Uma rotao de terceira ordem

Uma rotao de sexta ordem . .

Quatro rotaes de terceira ordem-diagonais do cubo

Existem basicamente dois mtodos para que se determinem o~ c~mp~-

nentes de S e C para os diferentes sistemas cristalinos. O que se faz e uma

transformao de eixos segundo as rotaes de simetria e estabelece-se que os

componentes no mudam.

Por inspeo direta, podem ser estudadas as rotaes

=

segunda e quarta

ordens. Assim, numa rotao de segunda ordem, que esta indicada na Fig.

1.28, tem-se:

Logo,

1

->

-1

2

->

- 2

3 -> 3

11->11; 22->22; 33->33; 12->12; 21->21;

13 --- + -13; 31 -> -31; 23 -> -23; 32 -> -32.

Em notao matricial:

1 -> 1

2- 2

3

->

3

4 -> -4

5 -+ -5

6 --- + 6

_. I

X3 =X3 I

X

/

,

,

,

,

/

. x ;

~-------Q-Y-/----~X2

X

Figura 1.28 -

R ot ao

de segunda ordem

49


25/42

Princpios deMeta/urgia Mecnica

1.0 0, t im-se a transformao (nas matrizes abaixo esto indicados s

11 lndic s):

11 12 13 14 15 16

22 23 24 25 26

33 34 35 36

=:>

44 45 46

55 56

66

Ii 12

13 -14 -15

16

22 23 -24 -25

26

33

-34 -35

36

44 45

-46

55 -56

66

Equacionando-se as duas matrizes acima, chega-se a

Ii 12 13

O O

16

22

23 O O 26

33

O O 36

44

45 O

55 O

66

Essa a configurao especial dos C e S para o sistema monoclnico.

Para os sistemas rombodrico e hexagonal necessrio usar-se um m-

todo analtico j que as transformaes no colocam os eixos em posio de

oposio e relaes simples no podem ser obtidas. Nesses casos, procede-se

da seguinte maneira:

a)

Executa-se a rotao de simetria, determinando-se os co-senos dire-

tores.

b)

Exprimem-se as tenses e deformaes, nos novos eixos, em termos

de tenses e deformaes nos eixos antigos.

J~.= f ikfjfJkf

Ij

c i j = fikfjfEkf

c) Usam-se agora as equaes:

(1.58)

(1.59)

(1.60)

(1.61)

1.60, ficando

Jij

=C

ijktEkf

cr;j

=

Cjkf I;~r

d) Agora, toma-se Eq. 1.58 e substituem-se os

Jkf

pela Eq.

com uma equao:

Jij

=

fi eij Cjk ,

Cu)

e)

Toma-se a Eq. 1.61 e substituem-se os E~f pelos valores da Eq.

Resulta uma equao da forma:

(1.62)

1.59.

(1.63)

1) Igualam-se agora as Eqs. 1.62 e 1.63. Havia a restrio inicial de que

a operao de simetria no alterava os componentes do tensor C ijkf,

correspondendo a C

ljkf

=

C ijkf

Tem-se

fi

fij, Cjkf,

C

kf)

=

f

.;

Cijkf,

Eu')'

I1I li/dedo

. d - xpresses da forma

Agrupam-se todos os coeficientes os Lj e tem-se e

f

C ) C

II

+ g2 (C

j

,

Cjkf) L k + ..,

=

O.

g

I ij, ijkf

I . .orno os Lj

' *

O ,

f

C ) = O , '

g2 (C

j

, Cjkf) = O ; . . .

g I ij ijkf

Podem-se assim relacionar os C ijkf . .

N

9 140-141 d as matrizes para os diferentes sistemas.

ye ,

as pp. , . . b

Por exemplo, para o sistema cbico tm-se (o mesmo se aplica as su -

m iss e s):

C

II

C

I2

C

I2

O

O

O

C

II

C

I2

O

O

O

C

II

O

O

O

C

44

O

O

(\ .64)

C

44

O

C

44

\.7.4. Relaes para materiais isotrpicos

Costuma-se tratar uma grande poro dos materjais con:o.isotrpic~s.

1S80

porque, em um metal, a orientao e

distr ibu i o

ale~tona. dos grao~

e sua forma conferem, muitas vezes, em escala macroscopica, es.sas propne

dades, Pode-se determinar a matriz elstica de um material isotropico exec~-

tando-se uma rotao arbitrria e afirmando-se que a, rigidez e submssao

elstica permanecem inalteradas. Parte-se do siste~a CUblCO(o ~n~o~r~pIC~

mais simplificado) e aplica-se uma rotao de 45 , como esta 10 ica o na

Fig. 1.29. As rotaes so dadas por

XI

x

2

x

3

X I

fi/2

j2;2

O

x' -J2/2

j2/2

O

2

X;

O

O

1

,

X3 = = X3 ,

X2

/~

,

/

/

/

/

/

/ o

/ 45

O J-.l----- X2

Figura 1.29 - Rotao de 45 em torno de Ox,


26/42

o

Princpios de ,.Ieta/urgia Mecnica

(l;1

= Cll;1 + C;2;2 + C;3;3 + ...

C ;j = C i,

(l;1

= Cll;1 + C

12

;2 + C

I3

;3'

Substituindo-se os

e;j:

(l;1

=CII

e

ll

Mas tem-se tambm

, I

(lll ='2(C

ll

ll

Tem-se o mesmo

Igualando-se:

I

2


27/42

Princfpias de Metalurgia Mecnica

Est,lo

dadas abaixo as expresses que relacionam tenso e deformao

puru

UI1I material isotrpico. O leitor poder deriv-Ias como exerccio.

I

1:1

=

SIIO I +

S120 2

+ SI

20 3

6

1

= E [0 1 - V(02

+

0 3)]

I

C2

= SI201 + SI

10 2

+

S

I2

0 3

6

2

=

E [0 2 - V(O I

+

03 )]

I

6

3 = SI201 + S120 2+ SI

10 3

ou c

3

=

E [0 3 - V(OI

+

0 2)]

(1 .74 )

I

64

= 2(SII -

S12)04

c

4

= G

0 4

I

66 = 2(SII -

S12)0 6

c

6

= G

0 6

Por sua vez, as tenses em funo das deformaes so:

01=Cllc

l

+CI2C2+CI2C3

0 2

= C

I2

C

I

+ C

ll

C

2

+ C

I2

c

3

0 3

=C

I2

c

I

+ C

12

c

2

+ C

ll

e

3

I

04 =

(C

II

-

C

12

) c

4

I

O s =2 (C

II

-C

12

)C

S

I

0 6=2

(CII-CI2)c6

0 1= (2 f . . 1 . + ,1.)c

l

+ ,1.C

2

+

,1 .e

3

0 2

=

,1 .e

l

+

(2 f. . 1 .

+ ,1.)C

2

+ ,1.C

3

0 3

= ,1.c

l

+ ,1.C

2

(2 f . .1 .

+ ,1.)c

3

(1.75)

A Tab. 1.3 apresenta as constantes elsticas para alguns metais. Os me-

tais policristalinos apresentados na Tab. 1.4, so caracterizados por isotropia

se no houver textura ou qualquer outro efeito metalrgico especial (por

exemplo, precipitao alinhada em uma direo).

1.7.5. Teoria da elasticidade

A elasticidade no se restringe a tratar das relaes entre tenses e defor-

maes. At agora no se falou em foras aplicadas ao corpo. E h tambm a

necessidade de compatibilidade entre as diversas deformaes. Assim, h trs

diferentes aspectos a considerar:

a) Equaes de equilbrio.

b)

Equaes de compatibilidade.

c) Condies de fronteira.

Na ausncia de acelerao e de momentos de corpo (equilbrio esttico,

Seco 1.5.1):

l.thl 'la

1.3 - Constantes elsticas de monocristais (unidades GPa) a tempera-

11 1 1

I umbiente (adaptada da Ref. 6)

Elc-

Estrutura

C

II

C

44

C

I2

C

33

C

66

C

73

C

I4

mento

.

Ag CFC 124,0 46,1 93,4

A e

CFC 108,2

28,5 61,3

Au CFC 186,0 42,0 157,0

Cbico-

diamante

1076,0 575,8 125,0

Ni

CFC

246,5

124,7 147,3

u CFC

168,4

75,4

121,4

W CCC 501,0

151,4

198,0

Co HDE 307,0 75,3 165,0 358,1

Zn HDE 161,0 38,3 34,2 61,0

Sn Tetrugonal 73,5 22,0

23,4

87,0

22,6 28,0

Te

Trigonal

70,0 23,1

Hg

Trigonal*

36,0

12,9 28,9

50,5

30.3

5,0

Tabela 1.4 - Mdulo volumtrico, de Young, de rigidez,

e coeficientes de Poisson para metais policristalinos puros

a 20C (adaptada da Ref. 7)

Metal

K (GPa) E (GPa) G (GPa)

v

AI 73,16 70,51 26,77 0,34

Ti 117,68

105,91

39,81 0,34

Nb 163,77 103,95 36,58 0,38

Cr

190,25 235,36

88,26 0,30

W 312,83 388,34 148,08 0,29

Mn 124,54 21,57 76,49 0,24

Fe 168,68 212,80 83,06 0,28

Co 183,38 200,06

74,82

0,31

Ni 183,38 201,04 76,98 0,31

Cu

137,29 122,58 45,50

0,34

Au 171,62 78,65 27,65 0,42

Sn 50,99

54,33 20,40

0,33

Sb

41,38 16,28 5,59 0,44

Ag

100,03

78,94

27,85 0,38

Princpios deMetalurgia Mecnica

II u Ir/o,'e

55


28/42

Um dos requisitos mais importantes a compatibilidade. A deformao

ti .ada elemento deve ser tal que a continuidade do corpo seja preservada.

Partindo-se da expresso geral para o tensor tenso, elas podem ser assim

determinadas:

_I

(O U

i

eu})

8_--+

J 2

OX } x,

Tm-se as diferentes expresses:

oU

1

6

eU

1

eU

2

8

11

;;- (1.7)

Y

12

=- + -

(1.79)

uX

1

eX

2

oX

1

_ oU

2

oU

3

oU

2

8

22

-;;- (1.77)

Y2 3

=-

+ -

(1.80)

uX

2

oX

2

oX

3

C

33

oU

3

(1.78)

Y

13

=3

ou

3

. (1 .81 )

oX

3

oX

3

oX

1

Combinam-se todas essas expresses em uma srie de equaes diferen-

ciais de tal maneira que a compa tibi li dade seja obedecida:

0

2

(1.76) 82

0

2

2 ->

(I. )

x

2

0

2

(1.77)

o 2 -> (1.83)

x

(1.82)

+

(1.83) -> (1.84)

Inserindo-se agora os valores das tenses (mediante o uso das Eqs. 1.75),

em funo das deformaes, para materiais isotrpicos, obtm-se para a

Eq. 1.86:

Sero

combinados os trs tipos de restries (equilbrio, compatibilidade,

111I \I.:ira) para um caso simplificado: deformao plana. Tem-se, neste caso,

8

1

1' 8

22

, 8

12

e 8

33

= Y

1

3 = Y3 3 = O .

s Eqs. 1.87 a 1.91 so identicamente nulas e resta s a 1.86. Ento,

I1 inspondo 'para tenses, resta s a Eq. 1.92.

, As condies de equilbrio so:

(1 (1 ' I. . . ,

+

a.)

=

O

(1.93)

0(1.93 )

02a 1 +02 a 2

= O

(1.95)

/1,\'1 oX

2

oX

1

ox f OX

1

OX

2

t11121+a2 2

=

0(1 .94 )

02a

22

02 a21

O

(1.96)

(1.94)

a:x;-

--+-_. =

tlX

1

oX

2

ox~ OX I0X2 .

Somando-se 1.95 e 1.96:

20

2

a1 2

=

(02

a

02

a2 2

)

OX

1

0X

2

-

o x f +

ox~ .'

Considerando agora a Eq. 1.74:

I

8

33

=/f

[a

33

- v(a

11

+a

22

) ; a

33

'1=v(a ll +a

22

)

Inserindo-se 1.98 na Eq. 1.92:

(1.97)

(1.98)


t tnsttcidede

57


29/42

MIIS

\ .

O .

Ou

\7

2

(U

II

+ (

22

) = O . (1.99)

A soluo de um problema pela teoria da elasticidade consiste agora em

determinar (J 11' (J 12 e (J 2 2 por

mero

das Eqs. 1.93, 1.94 e 1.99, e aplicando as

condies de fronteira, isto , as cargas externas. Essa soluo envolve um

processarnento

matemtico bem elaborado, pois se trata de um sistema de

trs equaes diferenciais. A soluo desse problema foi feita por

Air y,

que

in trod uziu uma funo de tenso de Airy:

< 1 > =

j(x

l' X 2 e exprime as tenses em termos de deformaes)

Airy mostrou que sempre h uma funo tal que (na ausncia de gravi-

dade):

2

< t>

x~

2 < 1 >

U

22

=~

cX

Z

< 1 >

U

12

= ----.

ox

1

x

2

Essas equaes satisfazem s condies de equilbrio.

1.99:

U I I

(1.100)

Colocando-as em

\ 7

2

( V

2

< 1 =

O

V 4 < 1 >

= O .

(1.101)

Ent?o, se se encontrar uma funo < I > que satisfaa a Eq. I. 101, essa funo

perrmtira ~ue se obenham as tenses por meio das Eqs. I. 100, desde que ela

sa tisfa a

as

con di es

de fronteira essa funo < 1 > j foi determinada para

unia srie de situaes.

sumariamente apresentado o mtodo de se resolver a Eq. I. I01. Ela

chamada de equao bi-harmnica. A. soluo da forma:

< 1 > =;

+

a

1

1 /1

1

+

a

2

1 /1

2

+

Mas' os

1 /1 ;

tm que ser harmnicos:

\7 21/1 ; =

O .

A soluo uma funo de variveis complexas:

w = j(z) = u + ic,

em que

I

envolve as condies de Cauchy-Riemann*:

ler IT

Tx

2

~

SUGESTES PARA LEITURA

I ove, A. E. H. - The Mathematical Theory of Elasticity, Dover, Nova

Yo rk ,

1944.

-Timoshenko, S. e Goodier,

J.

N. - Theory of

Eastic ity.

McGraw-HilI,

Nova York, 1951.

'Dieter G. E. - Mechanical Metullurgy, McGraw-Hill, Nova York , 1963.

+So ko lniko ff , 1 . S. - Mathematical Theory of Elas tici ty, 2.

a

ed io ,

McGraw-Hill, Nova

York ,

1956.

~McClintok, F. A. e Argon, A. S. - Mechanical Behavior of Materiais ,

Addison- Wesley , Reading, M assach usetts, 1966.

Huntington , H. B. - The Elastic Constants of Crystals, Academic Press,

Nova Y ork, 1958.

7McGregor Tegart , W. J . - Elements of Mechanical Metallurgy , Mac-

Millan, Nova York, 1966.

ijWestergaard, H. M. - Theory of Elasticity and Plasticity, Dover, Nova

York, 1952.

Nye,

J.

F. - Physical Properties of Crystuls , Oxford University Press,

Londres, 1969.

Para se encontrarem as solues, consultar livros sobre equaes diferenciais.

59

/'/11 tieidade


30/42

2

l as t i c i dad e

2.1.

INTRODUO

Um material, ao ser solicitado mecanicamente, exibe em geral a seguinte

seqncia de respostas: deformao elstica, deformao plstica e fratura. O

Capo Iversou sobre a elasticidade e a teoria linear de elasticidade, em particular.

Este captulo tratar da plasticidade. Reveste-se o conhecimento da plastici-

dade de grande importncia porque

a) executa-se um nmero cada vez maior de projetos em que so aceitas,

por razo de economia, pequenas deformaes plsticas. Usa-se para tal a

teoria do projeto-limite

(theory of limit design).

Exemplos so os veculos espa-

ciais e os aeroplanos;

b)

importante conhecer as deformaes introduzidas na conformao

plstica dos materiais, como estampagem, laminao, extruso, usinagem,

ete.; e

c) uma teoria de plasticidade essencial melhor compreenso das de-

formaes dos materiais.

As primeiras contribuies teoria da plasticidade foram dadas por volta

de 1870 por Saint-Venant e von Mises para o estado de deformaes planas.

Aps um perodo de paralisao, novos avanos foram feitos por Hencky e

Prandtl no- ..ntimos trinta anos, tanto na teoria da plasticidade quanto nos

mtodos de soluo do estado de deformao plana. Tm sido tambm feitas

investigaes sistemticas visando determinao das leis da plasticidade para

estados complexos de tenso.

Os mtodos da plasticidade so os comumente empregados na anlise

da mecnica de corpos deformveis. A primeira etapa estabelecer as leis b-

sicas de deformao plstica com base em dados experimentais e, se possvel,

com o uso de conhecimentos da Fsica. Em uma segunda etapa, estabelece-se

um sistema de equaes que, resolvido, descreve a deformao plstica de

um corpo sob diversas condies. Um dos grandes problemas da plasticidade

reside na no-linearidade das leis principais e, conseqentemente, das equaes.

As dificuldades matemticas so, portanto, enormes e os mtodos clssicos de

soluo no so aplicveis. Logo, necessrio que se desenvolvam novos

mtodos de investigao e tcnicas de soluo.

So necessrias diversas hipteses simplificadoras para tornar o problema

uiuis tratvel:

a) Admite-se material isotrpico. _ .

b) Admite-se q.ie as deformaes sao independentes do tempo. _Logo;

I taxa de deformao no tem efeito sobre o estado final de defor~aao. H~

'asOs em que esta no se aplica e que so tratados pela vlscoplaStlCldade (a

Iluncia dos metais um exemplo). , ..

c) Admite-se que o material obedece lei de Hooke ~te o limite d:: ~scoa-

mcnto. Admitem-se tambm simplificaes na curva tensao-deformaao uma-

xial. Pode ser aceita uma das configuraes admitidas na Fig. 2.1

(b,

c,

d, e).

a

a

(e)

a

E

E

(a)

(b)

a

(d)

E

(e)

Figura 2.1 _ (a) Curva tenso-deformao real e (b-e) curvas tenso-deformao idealizadas

A configurao

(b )

conhecida como perfeitam~mte plstica. A~ defor-

maes elsticas so nulas assim como na confi,guraao(c). Quan~o. a defor,-

mao elstica admitida igual a zero, o corpo .ec~nhecldo como rgido. Esa

situao bem prxima da realidade para metais dteis ; ~estes, a ?efor~aao

elstica da ordem de 0,5 % enquanto a deformao plstica vai a 30 % ou

mais. Nos casos em que essa hiptese no pode ser formulada, ,usam-se as

fi

es

(d)

e

(e)

A configurao

(d)

chamada de elastoplasttca Ideal.

con Igurao. defo - I'

Uma equao do tipo Ludwick ' ou Hollornon+para as eformaes p asticas

seria mais representativa da realidade [Flg. ~.I

(a) ]

mas tornar~a o tratamento

matemtico do problema excessivamente complexo. GUlm~aes e Valena_no

Alves teceram comentrios sobre a natureza e as

limitaes

das equaoes

propostas 1-3. Elas so vistas no Capo 9.

Antes, porm, de se estudar a plasticidade, deve-se saber ex_atament~, para

um estado complexo de tenses, quando o corpo comea a escoar. Os metodos

para essa determinao so os critrios de escoamento.

i

O

Princpios de Meta/urgia Mecnica

P/osticidade

61


31/42

('lur~RIOS DE ESCOAMENTO

Um cri trio de escoamento, para que seja vlido e geral, deve poder ser

npli 'ad a qualquer estado de tenses. Se um corpo estiver submetido a uma

tcns

uniaxial (como em um ensaio de trao), o escoamento ocorrer

quando a tenso deixar de ser proporcional-deformao. Em estados com-

plexos de deformao entram os tensores, e a funo dos critrios de escoa-

mento a de prever o escoamento do corpo, conhecendo-se seu limite de

escoamento sob tenso uniaxial.

2.2.1. A critrio de tenso mxima (Rankine)

Segundo este critrio, o escoamento ocorre quando a tenso principal

mxima igual tenso de escoamento em trao ou compresso uniaxial.

Como

ento u}' (trao)

OJ

2

(2.4)

Essa tenso conhecida como tenso efetiva ou significativa (Eq.

1.29,

Seco 1.5.11.). Esse critrio foi proposto por Von Mises sem interpretao fisl~a.

Atualmente, comum aceitar que esse cri trio exprime o compone~t~ ?e dis-

toro de energia de deformao de um corpo. Baseado nesse cnteno, ~m

corpo escoa quando a energia de distoro em um estado


32/42

Pelas Eqs. 1.74 tem-se, para materiais isotrpicos,

I - 2v

G

I

+ G

2

+ G

3

=

E

(ai

+ a

z

+ l 3)'

Substituindo-se todos os

e ,

da expresso acima, segundo a Eq. 1.74, pelos

a j, resulta:

Basta agora aplicar-se a expresso a um estado complexo de tenses e a

um estado de tenses uniaxial (a I = a)' e a 2 = a 3 = O):

V

= a~ _ I-2v 2 _ . 2 (~)

. o 2E 6E a) ' - 'l 3E .

Fazendo-se

V = V~,

estabelece-se a condio de igualdade de energia

de deformao de dis toro:

2 ( I + V ) _ 1

(2 2 2

V

ay ~ - 2E

ai +

a2

+ (

3) - li

(C J la2 +

ala

3

+

a2(

3

) -

1 - 2v

- ~ (ai

+

a

2

+ (

3

)2

(2 .5)

Ora, as Eqs. 2.4 e 2.5 so idnticas. O critrio de von Mises excelente

pois s apresenta diferenas de tenses principais (ver a Eq. 2.4). '

2.2.5. Representao grfica e verificao experimental dos critrios

Ser dada a representao grfica dos dois critrios para um estado plano

de tenses

(a 3 ~ O).

Para o critrio de Tresca, caso

a I

e

a 2

tenham o mesmo

sinal, o escoamento ocorrer quando, .

al-O=a. ..

Por outro lado, caso eles tenham sinais opostos, tem-se

que

A Fig. 2.2 representa o hexgono do critrio de Tresca. As tenses tm

estar contidas nele para que no haja escoamento.

Para o critrio de von Mises ter-se-ia, para a., =

O ,

da Eq. 2.4:

fi

a =__ [(~_a)2 + (J2 + (J2J112

.r _

2

VI 2 2 I

2.6)

I

(2.7)

,

t

Esta a equao de uma elipse, que est representada na Fig. 2.2. Percebe-se

que o critrio de Tresca mais prudente que o de voo Mises.

Tenso

02

Elipse de

von Mises

Hexgono de

Tresca

Compresso -------,j---f--,,~--- ...enso

Compresso

Figura 2.2 - Critrios de escoamento para terrses planas

Tresca, ao estabelecer seu critrio; usou deformao plstica por extenso,

medindo as foras necessrias. H, porm, experincias que oferecem muito

maior preciso e que permitem uma verificao experimental mais precisa.

Uma dessas experincias foi realizada por Taylor e Quinney, em 1931, subm_e-

tendo um tubo de parede fina a um torque elstico e fazendo vanar a tensao

aplicada. Um elemento desse tubo est mostrado na Fig. 2.3. Pode-se deter-

minar as tenses principais como:

I ~

aI'

a

2

=2

a

~4-4--, r2,

logo

~

2

a - a

2

= 2 __ + ,2.

I.

4

t4 Princpios deMetalurgia Mecnica

J / 1 1 tlcidea

66


33/42

Figura 2.3 - Elemento de parede de tubo

Aplicando-se o critrio de von Mises (Eq. 2.4):

(2.8)

Para o critrio de Tresca tem-se:

e

(2.9)

. A Fig. 2.4 mostra os dois critrios juntamente com dados experimentais

obtidos em cobre, alumnio e ao doce. E claro que o critrio de von Mises

mais realista.

0,6

O/Oy

0,4

Crit r io de Tresca

0,2

Dados experimentais

o

0,2

0,4

0,6

ritrios de Tresca e von Mises comparados com dados expe rimen tai s

l.3. TEORIA DA PLASTICIDADE

o

processo de deformao plstica irreversvel e a maior parte do tra-

hulho de deformao transformada em calor. As tenses no estado final de-

pendem do caminho seguido na deformao. Conseqentemente, as equaes

que descrevem a deformao plstica no podem ser relaes finitas que rela-

'ionam os componentes da tenso e deformao (como as equaes da elasti-

'idade linear); so equaes diferenciais no-integrveis.

Alguns autores dividem as teorias da plast icidade em duas classes: teorias

de escoamento e teorias de deformao. As primeiras relacionam a tenso com

1 1

variao de deformao. Elas consideram uma sucesso de incrementos infi-

nitesimais na distoro. Como as teorias de escoamento tratam da deformao

instantnea, so melhores para grandes deformaes. As teorias de deformao

relacionam a tenso com a deformao e visam a um mtodo de aproximao

para representar a histria da deformao. Elas relacionam a deformao

plstica total com a tenso final. So aplicveis nos casos em que o carrega-

mento proporcional, isto , quando se tem, aproximadamente,

2.3.1.

Teoria de Levy-von Mises escoamento

Por voltade 1870, Saint-Venant propusera que, para deformao planas,

os eixos principais dos incrementos de deformao (e no da deformao)

coincidiam com os eixos principais da tenso.

Levy , em 1870, e mais tarde von Mises , em 1913, estabeleceram uma

teoria para corpos rgidos idealmente plst icos

(E

=

CI J

e

(T,.

= constante).

As equaes podem ser postas sob a forma .

(2.10)

(2.11)

A. Eq. 2.10 diz que o desviador da tenso proporcional derivada em

relao ao tempo do desviador da deformao.

Esta equao no deve ser confundida com a lei de Newton para escoa-

mento viscoso. A semelhana apenas aparente pela natureza de

..

Uma forma

mais realista, que enfatiza o carter incremental da teoria,

(2.12)

A Eq. 2.12 generaliza resultados experimentais em carregamento complexo.

De acordo com as experincias, os incrementos dos componentes desviadores

6


Plasticdade


34/42

de deformao so proporcionais aos respectivos componentes desviadores da

tenso. A Eq. 2.11 corresponde condio de constncia de volume, pois (ver

ec. \.6.3)

Como

e

(2.13)

A Eq. 2.13 requer que, se os componentes de um dos tensores tomado

em relao aos eixos principais, o outro tambm deve ser tomado. Em outras

palavras, os eixos principais do desviado r da tenso tm que ser paralelos aos

eixos principais dos incrementos de deformao. Para a determinao de X

necessrio introduzir as tenses e deformaes efetivas (ver Eqs. \.29 e 1.41).

Em um ensaio de trao uniaxial

ter-se- :

(2.14)

Como (J22

=

J33

=

O, tem-se, para (J~1 (ver Seco \.5.10),

2(J 11

(2.15)

3

Para tenso uniaxial tem-se, para a tenso efetiva,

Substituindo-se a Eq. 2.16 na Eq. 2.15:

(J~= ~

(Jef (2 .17 )

Para as deformaes (ver Eq.

\.41):

1 1 1 : . / , ; ; [ ( d e , - - d c Y +

( d e , -

d e

3

) 2

+ ( d c

2

-

d c 3 f )I 2 (2 .18)

Substituindo-se os valores correspondentes de d C 2 e d c

3

, admitindo-se

I' 0, (porque o regime de deformao plstico e o volume constante),

111111'1 \I , .:

(2.19)

Substituindo-se as Eqs. 2.17 e 2.19 na Eq. 2.14, obtm-se:

X

=~

(Jef .

3

de

ef

Substituindo-se a Eq. 2.20 na Eq. 2.13:

3 dCef ,

de., = - -- Jij

2 (Jef

A aplicao da Eq. 2.15 e similares na Eq. 2.21 resulta em:

. (2.20)

(2.21)

(2.22)

o

sistema das Eqs.

2.22

de grande importncia na anlise da deformao

plstica envolvida na conformao dos metais (processamento por deformao).

A similaridade entre as Eqs. 1.53 (forma geral da lei de Hooke para slidos

isotrpicos) e as Eqs. 2.12 podeser vista por comparao. A taxa dePoisson

substituda por 1/2,.0 valor correspondente no regime plstico. I/E subs-

titudo por

dCef/(J e

f : Esse parmetro obtido diretamente da curva tenso

efetiva

versus

deformao efetiva e corresponde ao inverso do coeficiente

angular. Assim, o correspondente exato de

l/E

para o regime plstico. H

tambm uma correspondncia entre 1 /2G (na Eq. 1.74) e 3/2 clej /(Jd (Eq. 2.22),

Ambos representam a resistncia do material di toro (ou' cisalhamento).

Na elasticidade, a relao entre G e E :

G =

E

2 (I

+ \.)

Para v = 0,5, tem-se

Princlpios de Metalurgia Meclnica

{,fllsr/cidade

69


35/42

onseqentemente, h uma correspondncia total. Um modo alternativo

de obter-se os diferentes valores de dE fluef de uma relao de encruamento

tal qual a equao '

U er = K (E

eI

) .

onde K um parmetro.

Pod.e~se concluir que as equaes de Levy-von Mises so o equivalente

~a plasticidade, das equaes constitutivas da elasticidade para materiai~

ISOtropICOS.

2.3.2. Teoria de Prandtl-Reuss (escoamento)

. ~ teoria de Levy-von Mises foi mais tarde estendida para slidos elasto-

plsticos por Pran~t Io, para o estado de deformao plana, e por Reuss lI,para

o caso geral. Entao, quando as deformaes so pequenas, tem-se:

E = e,

+

Ep, (2.23)

em que.

e ;

e

Ep

so

OS

componentes elsticos e plsticos da deformao. Tem-se,

pela lei de Hooke (ver Seco 1.7.1),

(E~)i)'

=

_1_ U~ r ,

2G

I)

(2.24)

Admite-seque o componente plstico da deformao desviadora esteja

relacionado tenso desviadora por .

(2.25)

Admite-se qu.e a deformao plstica no contribui para alteraes

d~ volume. E.ssa hiptese uma boa aproximao da realidade, pois o coefi-

ciente de Poisson p~~sa d~ aproximadamente 0,3, na regio elstica, para

perto de 0,5, na regiao plstica para muitos metais. .

Diferenciando-se ambos os membros da Eq. 2.24, obtm-se

d (E~)ij =2~ dUl j '

(2.26)

Da Eq. 2.16:

(2.27)

lntr duzindo na Eq. 2.27 as Eqs. 2.25 e 2.26:

d(

') dt

I

I

8 I)= Ui j +

2G

dUl j '

(2.28)

Esta equao diferencial exprime a teoria de Reuss ' '. As deformaes

tenses no so necessariamente coaxiais nesta equao. A coaxialidade deve,

ou no, ser portanto parte do problema. Caso o problema real no exija coaxi-

lidade, a Eq. 2.28 no pode ser aplicada aos diversos componentes das tenses

deformaes principais, e sabe-se que equaes envolvendo tensores s tm

ignificado fsico se os tensores esto referidos a um mesmo sistema de eixos.

As equaes diferenciais representadas pela Eq. 2.28 so muito complexas,

mesmo nos casos de coaxialidade. A soluo s foi obtida at hoje para alguns

casos especficos. Deve-se lembrar, entretanto, que a teoria de Prandtl-Reuss

bem realista, levando em conta a persistncia das deformaes elsticas du-

rante o escoamento plstico: de fato, para pequenas deformaes plst icas, o

comportamento elstico no pode ser desprezado.

2.3.3. Teoria de Hencky (deformao)

Hencky'? props que, para pequenas deformaes, a Eq. 2.lO da teoria

de Saint-Venant-Levy-von Mises podia ser substituda pela relao entre os

componentes desviadores de tenso e deformao.

Assim

(2.29)

em que Gp varia de ponto a ponto e pode ser considerada, a ttulo de analogia

com a elasticidade, como um mdulo de cisalhamento plstico. As deformaes

elsticas' so desprezadas na Eq. 2.29. A hiptese de constncia de volume

implica que

E

=0 e

E

=

E

/

.

Conseqentemente, a Eq. 2.29 pode ser expressa

em termos das tenses e deformaes principais:

Definiu-se, por analogia com as equaes da elasticidade, um mdulo de

Hooke plstico Ep ' Tornou-se, para tal, o coeficiente de Poisson igual a 0,5.

Esta hiptese se aproxima bem da realidade. Ep em realidade varivel assim

como G

p .

A Fig. 2.5 mostra como

Ep

obtido: a razo entre a tenso e a

deformao efetivas (ver Seco 1.5.l0).


I

/1 1

r/cidade

71


36/42

~

.~

. .. .

'

o

'l J

c

Elasticidade e Plasticidade

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