Tabelas de Funções e Primitivas

5/21/2018 Tabelas de Fun es e Primitivas

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Departamento de Matematica da FCT - Universidade de Coimbra

Matematica I (2014/2015)

Licenciatura em Qumica, Licenciatura em Qumica Medicinal

PRIMITIVAS IMEDIATAS

Na lista de primitivas que se segue considera-se uma funcao f : I IR diferenciavel emI, onde I e um intervalo de IR. Alem disso, denotamos por C a constante de primitivacao(arbitraria) e por a uma constante.

Funcao Primitiva

f sin f cos f+ C

f cos f sin f+ C

f tan f ln | cos f| +C

f cot f ln | sin f| +C

f sec f ln | sec f+ tan f| +C

f csc f ln | csc f cot f| +C

f sec2 f tan f+ C

f csc2 f cot f+ C

f sec f tan f sec f+ C

f csc f cot f csc f+ C

f1 f2 arcsin f+ C

ou arccos f+ C

f

1 +f2 arctan f+ C

ou-arccotf+C

f

|f|

f2 1 arcsecf+ Couarccscf+ C


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Funcao Primitiva

a ax+C

fm

f

fm+1

m+ 1+C (m

IR

\{1

})

f

f ln |f| +C

af f af

ln a+C (aIR+\{1})

f sinh f cosh f+ C

f cosh f sinh f+ C

f tanh f ln | cosh f| +C

f coth f ln | sinh f| +C

f sech2f tanh f+ C

f csch2f coth f+ C

f sechf tanh f sechf+ C

f cschf coth f cschf+ C

f

1 +f2

argsinhf+ C

ff2 1 argcoshf+ C

f

1 f2 argtanhf+ C, se f(x)(1, 1)ouargcothf+ C, se|f(x)|> 1

f

|f|

1 f2 -argsechf+ C

f

|f|

1 +f2argcschf+ C


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REGRAS DE PRIMITIVACAO

I - Potencias de funcoes trigonometricas e hiperbolicas

1. Potencias mpares desin x, cos x, sinh x ecosh x.

Destaca-se uma unidade a potencia mpar e o factor resultante passa-se para a co-funcaoatraves das formulas fundamentais:

cos2 x+ sin2 x= 1

cosh2 x

sinh2 x= 1.

2. Potencias pares desin x, cos x, sinh x ecosh x.

Passam-se para o arco duplo atraves das formulas:

sin2 x=1

2(1 cos2x)

cos2 x= 1

2(1 + cos 2x)

sinh2 x= 12 (cosh2x 1)

cosh2 x= 1

2(cosh 2x+ 1).

3. Potencias pares e mpares detan x, cot x, tanh x ecoth x.

Destaca-se tan2 x(tanh2 x) ou cot2 x(coth2 x) e aplica-se uma das formulas:

tan2 x= sec2 x 1 tanh2 x= 1 sech 2x

cot2 x= csc2 x 1 coth2 x= 1 + csch 2x

4. Potencias pares desec x, csc x, sechx ecschx.

Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e ao factor resultante aplica-se uma dasformulas:

sec2 x= 1 + tan2 x sech 2x= 1 tanh2 x

csc2 x= 1 + cot2 x csch 2x= coth2 x 1

5. Potencias mpares desec x, csc x, sechx ecschx.

Destaca-se sec2 x (sech 2x) ou csc2 x (csch 2x) e primitiva-se por partes comecando poresse factor.


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II - Produtos de potencias das funcoes sinx e cos x (sinhx e coshx)

1. Potencia mpar desin x (sinh x) por qualquer potencia decos x (cosh x).

Destaca-se sin x(sinh x) e passa-se o factor resultante para a co-funcao, atraves da formulafundamental:

sin2 x= 1 cos2 x (sinh2 x= cosh2 x 1).

2. Potencia mpar decos x (cosh x) por qualquer potencia de sin x (sinh x).

Destaca-se cos x(cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-funcao, atraves da formula

fundamental:

cos2 x= 1 sin2 x (cosh2 x= 1 + sinh2 x).

3. Potencia par desin x (sinh x) por potencia par decos x (cosh x).

Aplicam-se as formulas:

sin2x= 2 sin xcos x sinh 2x= 2 sinh xcosh x

sin2 x= 1 cos2x

2 sinh2 x=

cosh2x 12

cos2 x=1 + cos 2x

2 cosh2 x=

cosh 2x+ 1

2 .

III - Produtos em que aparecem factores do tipo sinmx ou cosnx, ouprodutos em que aparecem factores do tipo sinhmx ou coshnx

Aplicam-se as formulas:

sin x sin y= 12

(cos(x y) cos(x+y)) sinh x sinh y = 12

(cosh(x+y) cosh(x y))

cos x cos y= 12

(cos(x+y) + cos(x y)) cosh x cosh y = 12

(cosh(x+y) + cosh(x y))

sin x cos y = 12

(sin(x+y) + sin(x y)) sinh x cosh y= 12

(sinh(x+y) + sinh(x y))


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FRACCOES RACIONAIS

Consideremos a fraccao f(x)

g(x), em que f(x) e g(x) sao polinomios.

1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, efectua--se a divisaodef(x) porg(x); obtem-se entao

f(x)

g(x) =Q(x) +

R(x)

g(x),

sendo agora R(x)

g(x) uma fraccao propria.

2. Decompoe-se o denominador da fraccao pr opria em factores; os factoresobtidos sao da forma

(x a)m,correspondendo a razes reais a de multiplicidade m, ou da forma

[(x p)2 +q2]n,correspondendo estes as razes complexas p qi de multiplicidade n.

3. Decompoe-se entao a fraccao propria numa soma de elementos simples, de acordo com osfactores obtidos:

(a) cada factor do tipo (x a)m da origem aA1

(x

a)m+

A2

(x

a)m1

+. . .+ Am

x

a,

com A1, A2, . . . , Am constantes a determinar;

(b) cada factor do tipo [(x p)2 +q2]n da origem aP1x+Q1

[(x p)2 +q2]n + P2x+Q2

[(x p)2 +q2]n1 +. . .+ Pnx+Qn(x p)2 +q2 ,

com P1, Q1, P2, Q2, . . . , P n, Qn constantes a determinar.


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4. Calculo das constantes

As constantes Ai, Pi e Qi podem ser determinadas conjuntamente pelo metodo dos coefi-cientes indeterminados. Ha no entanto uma forma alternativa de calcular essas constantes,que descrevemos em seguida.

(a) Calculo dos coeficientes relativos a factores do tipo (xa)m (seja(x) tal que g(x) =(x)(x a)m):

(i) se m= 1, apenas temos de determinar uma constante A1, que e dada por:

A1 = R(x)(x)

x=a

.

(ii) sem >1, as constantes calculam-se pelo metodo dos coeficientes indeterminados(a constante A1 ainda pode ser obtida como em (i)).

(b) Calculo dos coeficientes relativos a factores do tipo [(xp)2 + q2]n (seja(x) tal queg(x) =(x)[(x p)2 +q2]n):

(i) se n= 1, obtemos as constantes P1 e Q1 fazendo

P1x+Q1 =

R(x)

(x)x=p+qi

.

(ii) sen >1, as constantes calculam-se pelo metodo dos coeficientes indeterminados(as constantes P1 e Q1 ainda podem ser obtidas como em (i)).

Nota: Caso aparecam elementos simples da forma

1

[(x p)2 +c]n ,

comn >1, estes podem ser primitivados usando a seguinte formula de recorrencia:

P

1

[(x p)2 +c]n

= 1

c

1

2n 2 x p

[(x p)2 +c]n1 +2n 32n 2 P

1

[(x p)2 +c]n1


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PRIMITIVACAO POR SUBSTITUICAO

Sejam a, b, c e d constantes reais. A notacao R(...) indica que se trata de uma fun caoracional (envolvendo apenas somas, diferencas, produtos e quocientes) do que se encontra entreparentesis.

Tipo de Funcao Substituicao

1

(x2 +a2)k, kIN, k >1 x= a tan t

P(x)

(ax2

+bx+c)k

, k

IN, k >1, b2

4ac 1,

onde P(x) e um polinomio de grau inferior a 2k x= p+qt

R(arx, asx,...) amx =t onde m= m.d.c.(r,s,...)

R(logax) t= logax

R

x,

ax+b

cx+d

pq

,

ax+b

cx+d

rs

,...

ax+b

cx+d=tm onde m = m.m.c.(q,s,...)

R(x, (ax+b)p

q , (ax+b)r

s ,...) ax+b= tm onde m = m.m.c.(q,s,...)

R(x, xpq , x

rs ,...) x= tm onde m= m.m.c.(q,s,...)

R(x,

a2 b2x2) x= ab

sin tou x = ab

cos t ou x= ab

tanh t

R(x,

a2 +b2x2) x= ab

tan tou x= ab

sinh t

R(x,

b2x2 a2) x= ab

sec t ou x= ab

cosh t

R(x,x,a bx) x= absin2 tou x = ab cos2 t

R(x,

x,

a+bx) x= ab

tan2 t


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Tipo de Funcao Substituicao

R(x,

x,

bx a) x= ab

sec2 t

R(x,

ax

2

+bx+c) se a >0 faz-se

ax

2

+bx+c= xa+tse c >0 faz-se

ax2 +bx+c=

c+tx

se ax2 +bx+c= a(x r1)(x r2),

ax2 +bx+c= (x r1)tou

ax2 +bx+c= (x r2)t

xm(a+bxn)p

q se m+1n Z faz-se a+bxn =tq

se m+1n

+ pq Z faz-se a+bxn =xntq

R(sin x, cos x):

(a) se R e mpar em sin x, isto e,R( sin x, cos x) =R(sin x, cos x) cos x= t

(b) se R e mpar em cos x, isto e,R(sin x, cos x) =R(sin x, cos x) sin x= t

(c) se R e par em sin xe cos x, isto e,R( sin x, cos x) =R(sin x, cos x) tan x= t, sendo entao (supondo x(0,

2))

sin x= t1+t2

, cos x= 11+t2

(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) tan x2

=t, sendo entao sin x= 2t1+t2

, cos x= 1t2

1+t2

R(sin mx, cos mx) mx= t

R(ex, sinh x, cosh x) x= ln t

R(sinh x, cosh x):

(a) R e mpar em sinh x cosh x= t

(b) R e mpar em cosh x sinh x= t

(c) R e par em sinh xe cosh x tanh x= t, sendo entao sinh x= t1t2 , cosh x=

11t2

(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) tanhx2

=t, sendo entao sinh t= 2t1t2 , cosh x=

1+t2

1t2

R(sinh mx, cosh mx) mx= t

Observacao: Quando se efectua uma substituicao, aparece frequentemente uma expressao dotipo

f2(t). No caso geral tera de se escrever

f2(t) =|f(t)|.

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