COLÉGIO FRACTAL – email: colegiofractal@gmail.com - AV. T 9 Nº 4590 Jd. Planalto – Goiânia – GO - Fones: 3945-7276/ 3942-7230

Turno: Matutino Série: SEMI Data: 14 / 10 / 11

01 - (UERJ/2012) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37.Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética.Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:

a) 6b) 7c) 9d) 12

02 - (UNICAMP SP/2011) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém

a) 76 ladrilhos.b) 156 ladrilhos.c) 112 ladrilhos.d) 148 ladrilhos.

03 - (UFU MG/2011) Devido ao grande número de acidentes que acontecem em uma das principais rodovias do Brasil, a concessionária que administra tal rodovia estuda a possibilidade de adquirir certo número de cotas anuais de serviço de atendimento médico de urgência, utilizando helicópteros, para socorrer os casos mais graves. A concessionária apresentou, para a companhia gestora do serviço médico, uma proposta de compra das cotas de forma que o preço pago a cada cota varie linearmente de acordo com a quantidade comprada, sendo que a compra fica delimitada em 700 cotas anuais, que é a capacidade operacional da companhia gestora. Sabe-se que, se cada cota fosse vendida por A reais, a concessionária compraria 240 cotas, além disso, se a companhia desse um desconto de 30% no preço de cada cota, vendendo por B reais cada uma, a concessionária compraria 540 cotas e que os valores numéricos A, B e 240 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, cuja soma é 1260.

De acordo com as informações acima, interprete e analise o texto dado, construindo modelos matemáticos representativos, resolvendo-os, de maneira a obter o preço que cada cota deve ser vendida para que a companhia gestora obtenha um rendimento bruto máximo na comercialização das cotas.

Sugestão: Se x é a quantidade de cotas a ser vendida pela companhia, sendo p(x) o preço de cada cota, então o produto x.p(x) representa o rendimento bruto da companhia gestora.

04 - (UFG GO/2011) Ao justapor polígonos regulares de mesmo tipo e de lado 1, unindo-os somente por um dos lados, sem que haja sobreposição de polígonos ou de parte deles, pode-se verificar que o perímetro da figura resultante obedece a um padrão, como nos dois casos exemplificados na tabela a seguir.

Com base nestas informações, segundo as regras de justaposição descritas, responda:a) Quantos pentágonos devem ser justapostos para que o

perímetro da figura resultante seja 302?b) Denotando por Pn o perímetro da figura resultante da

justaposição de n pentágonos regulares e Hm o perímetro da figura resultante da justaposição de m heptágonos regulares, quais são os três primeiros valores inteiros positivos de n e de m para os quais Pn = Hm?

05 - (ITA SP/2011)

Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre . Considere as

áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm2, a

medida do segmento , em cm, é igual a

a) b) 5 c)

d) e) 10

06 - (UEG GO/2010) A sequência T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, ... é denominada sequência dos números triangulares. Esta sequência é obtida e representada da seguinte forma:

...

De acordo com esses dados, determine:a) o termo T10 ;b) o termo Tn, para todo inteiro n 1.

07 - (UFG GO/2009)

Lista de

Matemática

Professor: César Pereira

Dois automóveis, a uma distância X um do outro, deslocam-se, um em direção ao outro, com velocidades médias constantes de 25 m/s e 20 m/s, respectivamente.Calcule:

a) o décimo termo da seqüência dada pela distância entre os dois automóveis a cada segundo, admitindo que o primeiro termo dessa seqüência é X = 800 m;

b) o valor de X, sabendo que os dois automóveis deverão encontrar-se após 30 segundos.

08 - (UFTM/2011) Sendo a, b e c, nesta ordem, termos consecutivos de uma PA crescente de razão r, onde c = 13, e A, B e C, nesta ordem, termos consecutivos de uma PG crescente de razão q, onde A = a, B = 5a e C = 75, é correto afirmar que

a) r vale 8.b) q vale 6.c) a soma dos termos da PA é igual a 26.d) a soma dos termos da PG é igual a 95.e) r e q são iguais.

09 - (UFT TO/2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos formando uma progressão aritmética de razão igual a 6°. Logo, podemos afirmar que o seu menor ângulo mede:

a) 90° b) 105° c) 115° d) 118° e) 120°

10 - (UNIFESP SP/2011) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r.

a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, …, an) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.

b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (-224, -220, -216, ...) seja positiva?

11 - (UFTM/2010) Em uma caixa havia somente moedas de 50 centavos. Foram feitas sucessivas retiradas, sendo 5 moedas na 1.ª vez, 10 na 2.ª, 15 na 3.ª e assim sucessivamente, até não restar nenhuma moeda na caixa, o que ocorreu na 14.ª vez. O valor retirado da caixa na última vez foi de

a) R$ 30,00.b) R$ 31,00.c) R$ 32,00.d) R$ 35,00.e) R$ 36,00.

12 - (UFG GO/2010) Preparando-se para as vendas de Natal, uma loja adquiriu 120.000 eletrodomésticos para serem todos vendidos em 20 dias, no período que antecede o festejo. Para isso, o gerente da loja estabeleceu a meta de aumentar as vendas, dia após dia, de modo que as quantidades vendidas ao final de cada um dos dias, do 1º ao 20º dia estejam em progressão aritmética. Ao final do décimo dia de venda, o gerente percebeu que estava atingindo a meta estabelecida, pois 1/3 do total de eletrodomésticos adquiridos já tinham sido vendidos.Com base nestas informações, calcule a quantidade de eletrodomésticos que foram vendidos ao final do primeiro dia de venda.

13 - (IME RJ/2010) Uma progressão aritmética {an}, onde n IN*, tem a1 > 0 e 3a8 = 5a13. Se Sn é a soma dos n primeiros termos desta progressão, o valor de n para que Sn seja máxima é:

a) 10

b) 11c) 19d) 20e) 21

14 - (ITA SP/2010) Considere a progressão aritmética (a1, a2, …, a50) de razão d. Se

e , então d – a1 é igual a

a) 3b) 6c) 9d) 11e) 14

15 - (FUVEST SP/2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a

a) 25b) 45c) 75d) 105e) 125

16 - (FUVEST SP/2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é

. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da

PG é igual a 3.Nessas condições, determine:

a) A razão da PG.b) A soma dos três primeiros termos da PG.

17 - (UFTM/2011) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência an = (–3)–n, com n N*, é

a) b) c)

d) e)

18 - (UFU MG/2011) Considere as retas r1 e r2, descritas pelas equações cartesianas y1 = a.x+d e y2 = b.x+c, respectivamente, em que a, b, c e d são números reais. Sabe-se que a, b, c e d formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão -2 e que a soma desses números é igual a 5.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a área do triângulo limitado pelas retas r1, r2 e a reta de equação y = 0 é igual a

a) 24b) 16c) 12d) 32

19 - (UEG GO/2011) A figura abaixo representa uma sequência de quadrados, construídos a partir do quadrado A1B1C1D1 do seguinte modo: os vértices do quadrado A2B2C2D2 são os pontos médios dos lados do quadrado A1B1C1D1, e os vértices do quadrado A3B3C3D3 são os pontos médios dos lados do quadrado A2B2C2D2, e assim sucessivamente.

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De acordo com os dados apresentados, calcule o lado do quadrado A50B50C50D50.

20 - (UNESP SP/2011)

Considere um triângulo isósceles de lados medindo L, e L

centímetros. Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida .

Se L, h e a área desse triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, determine a medida do lado L do triângulo.

21 - (ITA SP/2011)

Considere a equação algébrica . Sabendo

que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

a) a soma de todas as raízes é 5.b) o produto de todas as raízes é 21.c) a única raiz real é maior que zero.d) a soma das raízes não reais é 10.e) todas as raízes são reais.

22 - (UNICAMP SP/2010) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?

23 - (FUVEST SP/2010) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a

a) b) c)

d) e)

24 - (UFG GO/2010) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica abaixo foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores,

semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos , e são

congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente.

Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.

25 - (UNIFOR CE/2011) Um canal de TV por assinatura foi inaugurado contando com 3.000 assinaturas e pretende obter, no primeiro mês de funcionamento, 100 novos assinantes; no segundo, 200 novos assinantes; no terceiro, 400 novos assinantes e, assim, duplicar a cada mês o número de novos assinantes obtidos no mês anterior. Após 1 ano, com quantos assinantes estará o canal de TV?

a) 408.500b) 409.500c) 410.500d) 411.500e) 412.500

26 - (UEM PR/2010) Considere uma sequência infinita de círculos C1,C2,C3,… , tangentes uns aos outros e com os centros colineares. Cada círculo Cn contém em seu interior um quadrado inscrito Qn. Se o primeiro círculo tem de raio 1 cm e o raio de Cn é metade do raio de Cn−1, para n ≥ 2 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01. A sequência {dn}, em que dn é a medida do diâmetro do círculo Cn , para n = 1,2,…, é uma progressão aritmética.

02. A soma das medidas dos diâmetros dn é 4 cm.

04. A medida da área de C11 é .

08. A sequência {pn} , em que pn é a medida do comprimento de cada círculo Cn , para n = 1,2,…, é uma progressão geométrica de

razão .

16. A sequência {an}, em que an é a medida da área do quadrado Qn,

para n = 1,2,… , é uma progressão geométrica de razão .

27 - (UFMS/2010) Uma sequência de triângulos equiláteros (T1, T2, ...) e circunferências (C1, C2, ...) é constituída de tal forma que, a partir de um triângulo inicial T1 circunscrito numa circunferência C1, constrói-se o próximo triângulo inscrito na circunferência e circunscrito numa circunferência seguinte, e assim por diante.

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A partir dessa construção, formam-se várias sequências, a saber:

• (R1, R2,...) formada pelos raios das circunferências (C1, C2, ...).

• (A1, A2,...) formada pelas áreas interiores às circunferências (C1, C2, ...).

• (L1, L2,...) formada pelos lados dos triângulos (T1, T2, ...).

• (B1, B2,...) formada pelas áreas interiores aos triângulos (T1, T2, ...).

• (S1, S2,...).formada pelas interseções entre as áreas interiores aos triângulos (T1, T2,...) e exteriores às circunferências (C1, C2,...), onde Sn

= Bn – An

A partir dos dados fornecidos, assinale a(s) afirmação(ões) verdadeira(s):

01. (R1, R2,...) é uma progressão aritmética de razão 0,5.02. (B1, B2,...) é uma progressão geométrica de razão 0,5.04. (S1, S2,...).é uma progressão geométrica de razão 0,25.08. An = [ (Ln)2] / 12 para qualquer n natural não nulo.

16. Ln = Rn para qualquer n natural não nulo.

28 - (UEPB/2011) Seja M o conjunto formado pelos sete meios geométricos positivos

entre e . A soma dos elementos de M que pertencem ao

conjunto dos números racionais é:

a) 64b) 32c) 30d) 14e) 96

29 - (UPE/2011) Em uma Progressão Geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do primeiro termo e na qual, o quarto termo é igual 16875, é CORRETO afirmar que

a) o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo.b) a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o

primeiro termo.c) o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro

termo.d) a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 vezes o

segundo termo.e) os termos também estão em progressão aritmética.

30 - (IBMEC SP/2010)

Seja Sn o limite da soma de uma progressão geométrica de razão ,

cujo primeiro termo é 1. Por exemplo,

O produto

S2 S3 S4 … S2008 S2009 S2010

é igual a

a) 2010!.

b) .

c) .

d) 2010.e) 20092010

GABARITO: 1) Gab: B 2) Gab: D

3) Gab: Como A, B e 240 formam uma progressão aritmética cuja soma é 1260, segue que

,

o que implica que A=600 reais. Como 30% de A corresponde a 180 reais, tem-se que B=420. Seja x o número de cotas a serem vendidas para a concessionária. Como a concessionária comprará 240 cotas por um preço unitário de 600 reais, e comprará 540 por um preço unitário de 420 reais, segue que o preço correspondente a uma quantidade x vendida é dado porp(x) = 600 – (180/300)(x – 240) = 600 – (3/5)(x – 240).Logo, o rendimento bruto da companhia é dado porR(x) = x p(x) = – (3/5) x2 + (3720/5)x.Assim, o rendimento bruto máximo é obtido quando x corresponde ao vértice da parábola acima, ou seja,

.

Portanto, o preço correspondente à venda de 620 cotas será p(620)=600-(3/5)(620-240) = 372 reais.

4) Gab: a) n = 100 pentágonosb) n = 5 e m = 3,

n = 10 e m = 6 en = 15 e m = 9

5) Gab: C

6) Gab:a) T10 = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

b) Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n =

7) Gab:

a)

b)

8) Gab: E 9) Gab: B

10) Gab:

a)

b) 114

11) Gab: D

12) Gab:2.200 unidades

13) Gab: D 14) Gab: D 15) Gab: D

16) Gab: a) –2

b)

17) Gab: B 18) Gab: C

4

19) Gab: L50 = L1 = L1.

20) Gab: L = cm.

21) Gab: A

22) Gab: a) Daqui a seis semanas, o site A admitirá 3200 novos membros,

atingindo a marca de 6450 participantesb) O site B terá 1000 membros em 12 semanas

23) Gab: E 24) Gab: A = 2,4576 25) Gab: E

26) Gab: 26 27) Gab: 12 28) Gab: C 29) Gab: B

30) Gab: D

5