T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando...

Tópicos Especiais em Tópicos Especiais em Processamento de Sinais Processamento de Sinais

BiológicosBiológicosCOB 860COB 860

Professores:

Antonio Fernando C. Infantosi

Maurício Cagy

BibliografiaBibliografia “Signal Processing for Neuroscientists – An Introduction

to the Analysis of Physiological Signals”, Win Van Drongelen, 2007.

“EEG Signal Processing”, Saeid Sanei, J.A. Chambers, 2009.

Niedermeyer’s Electroencephalography – Basic Principles, Clinical Applications and Related Fields, 6th edition, Eds.: Donald L. Schomer, Fernando H. Lopes daSilva.

Eletroencefalografia, Eds.: Gomes e Bello, 2008.

Introdução ao EEGIntrodução ao EEG

Ritmos do Eletroencefalograma:– Delta: 0 - 4 Hz;– Teta: 4 - 8 Hz;– Alfa: 8 - 12 Hz;– Beta: 12 - 32 Hz;– Gama: > 32 Hz.

Figura ilustrando os principais ritmos do EEG

NotasNotas

Ritmos EEG:– a) redes interconectadas, permitindo

sincronização de conjuntos de neurônios;– b) cada ritmo deve ser associado ao contexto de

um estado comportamental (não simplesmente à faixa de freqüências);

– c) é necessário o entendimento dos mecanismos celulares envolvidos nos diferentes tipos de oscilação.

Geração de Ritmos SíncronosGeração de Ritmos SíncronosDois modos:

– Comando de uma estrutura central: marca-passo.

– Compartilhamento de informação entre neurônios, inibindo-se ou excitando-se mutuamente.

Walter Freeman: hipótese pioneira de que os ritmos neuronais servem à coordenação da atividade entre regiões do sistema nervoso, através de “surtos” de sincronização entre neurônios.

EpilepsiaEpilepsia

Crises epilépticas são atividades cerebrais extre-mamente síncronas, que nunca ocorrem em circunstâncias normais padrões EEG de elevada amplitude.

Balanço delicado entre excitação e inibição sináptica no cérebro.

Crises de Ausência: < 30s - 3 Hz (perda de consciência , com sinais motores súbitos).

SonoSono

Sono REM e Não-REMAcordado Sono Não-REM Sono REM

EEG Amplitude baixa,rápido

Alta amplitude,lento

Amplitude baixa,rápido

Sensação Vívido, geraçãoexterna

Nebuloso ouausente

Vívido, geraçãointerna

Pensamento Lógico,progressivo

Lógico, repetitivo Vívido, ilógico,bizarro

Movimento Contínuo evoluntário

Ocasional,involunt. (postura)

Atonia, exceçãomúsc. oculares

Mov. Rápido dosOlhos

Freqüente Raro Freqüente

Ritmos do Sono

FusosFusos

Marco da sincronização do EEG nos primeiros estágios do sono: ondas 7-14 Hz durando de 1 a 2 s, recorrência de 0,2 a 0,5 Hz.

Geração no Tálamo, mas sua sincronização é influenciada pelo córtex.

Núcleos reticulares (neurônios GABAérgicos cobrindo a superfície rostral, lateral e ventral do Tálamo): pacemaker.

Amplificação e recrutamento das freqüências dos fusos no Tálamo.

Relação entre Fusos e Relação entre Fusos e Complexos Ponta-OndaComplexos Ponta-Onda

Evidências:– P-O aumentam durante estágio de fuso e são

atenuados ou suprimidos ao acordar;– Estimulação de projeções córtico-talâmicas na banda

dos fusos podem gerar P-O auto-sustentáveis.

Córtex cerebral levaria o tálamo à geração da epilepsia de complexos P-O.

~10Hz (fusos) 3Hz (P-O): aumento da duração dos potenciais inibitórios (Jasper, 1969: “papel de mecanismos inibitórios e não excitatórios”).

Oscilações Lentas (<1Hz)Oscilações Lentas (<1Hz)Descritas em neurônios neocorticais de animais

anestesiados e, subseqüentemente, durante sono natural em animais e humanos.

Cetamina (bloqueador de receptores NMDA) / Xylazina (agonista de receptores 2): indutores de oscilações lentas.

Origem cortical:– permanência após talamectomia;– ausência no tálamo de animais decorticados;– ausência após desconexão de ligações intracorticais.

Quais mecanismos estão Quais mecanismos estão envolvidos nos processos de envolvidos nos processos de

Sincronização?Sincronização?

Registros intracelulares duais in vivo revelaram que a sincronização de padrões EEG está associada à hiperpolarização simultânea de neurônios corticais

mecanismos inibitórios

Complexos KComplexos K

Elemento eletroencefalográfico constituído por um transiente “positivo-superfície” rápido seguido de um componente “negativo-superfície” mais lento e, eventualmente, ondas fusas (estágio 2 do sono).

Evidências indicam que são a expressão de oscilações lentas espontâneas geradas pelo córtex.

Ritmo DeltaRitmo Delta

Estágios 3 e 4 do sono (“sono-delta”).Oscilações lentas (<1Hz) Delta (1-4Hz):

– O.L.: córtex; : pelo menos um tipo originado no tálamo;– ondas são agrupadas pelas O.L.

Dois tipos de oscilações :– Cortical (persiste após talamectomia);– Talâmica (persiste no tálamo após decorticação).

Ritmo Delta (cont.)Ritmo Delta (cont.)Oscilação potencializada e sincronizada por

uma rede envolvendo projeções córtico-talâmicas com uma ligação intermediária no núcleo reticular.

É bloqueado por pequenas doses de barbituratos e por seqüências de fusos.

Oscilações e fusos surgem com diferentes potenciais de membrana (-60mV -70mV).

Influências corticais facilitam o surgimento de oscilação em células tálamo-corticais.

Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz)Ritmos Rápidos (20 - 50 Hz)

“Ativação” - Moruzzi & Magoun (1949) estimularam o trato reticular de gatos anestesiados: HV-LF LV- HF (similar ao despertar natural).

Estudos posteriores relacionaram a presença de atividade 20-40Hz com aumento do estado de alerta.

Origem cortical, talâmica e, possivelmente, em outras estruturas sub-corticais (estudos de coerência).

Ritmos Rápidos (cont.)Ritmos Rápidos (cont.)

Vários estudos investigam a presença de oscilações de 40 Hz: bulbo olfatório (Freeman, 1975); córtex visual (Gray et al., 1990); córtex (Steriade et al., 1991 e 1993; Jones, 1985).

O ritmo 40 Hz reflete uma condição de aumento difuso de vigília do cérebro (Steriade, 1993).

Presença de ritmo 40 Hz em neurônios corticais motores durante comportamento de atenção demonstrada por Murthy & Fetz (1992).

Ritmo TetaRitmo Teta

Primeiro descrito no hipocampo de coelhos; faixa de 4-7 Hz.

Atividade teta normal pobre ou ausente em primatas, sendo negada por alguns autores (Brazier, 1968; Halgreen et al., 1979, 1985).

Não se deve confundir com as “ondas teta patológicas”, descritas por um alentecimento da atividade (e.g., redução do fluxo cerebral, encefalopatias metabólicas)

Ritmo AlfaRitmo Alfa 8-13Hz: um dos elementos mais importantes do EEG,

com descrição desde Berger (1929). Não se conhecem os mecanismos celulares. Não se deve confundir com fusos, apesar da

superposição de freqüências: : vigília em relaxamento;– fusos: sono.

Opinião de relacionado a atenção visual reduzida desafiada por achados de aumento de atividade durante estimulação visual e tarefas de atenção.

Sugere-se geração e espalhamento no córtex cerebral.

Teoria da Ressonância do EEG Teoria da Ressonância do EEG (Basar et al., 1995, 1999)(Basar et al., 1995, 1999)

Hipóteses:– EEG consiste da atividade de um conjunto de

geradores produzindo atividade em várias bandas de freqüência;

– Estes ritmos podem ocorrer também sem estimulações físicas, mas por fontes internas;

– A superposição de oscilações evocadas ou induzidas nos vários canais de freqüência do EEG resulta no Potencial Evocado.

Concluem que a banda Gama (30-70 Hz) exerce o papel de elemento de comunicação entre estruturas cerebrais.

Achados confirmam que ritmos espontâneos do EEG, provavelmente respostas a fontes internas, aparecem em várias condições de comportamento, cognição e sensação.

Consideram as várias atividades rítmicas como “blocos” que acompanham eventos fisiológicos e psicológicos: combinação - comportamento complexo.

O cérebro possui várias freqüências naturais de oscilação (, , , , ), que podem ocorrer espontaneamente, ou serem evocadas ou induzidas.

EEG não é um ruído: sugerem possibilidade de comportamento caótico.

As freqüências naturais são registradas a nível celular.

Relação: freqüências naturais - funções de transferência.

Transições do EEG de estados desordenados a ordenados.

Susceptibilidade de resposta do cérebro: PEs internos PEs externos.

Superposição dos diferentes ritmos, que podem ser estabelecidos em fase, dependendo da natureza do estímulo.

“Código EEG”: oscilações seriam o alfabeto cerebral.

Os geradores do EEG são distribuídos seletivamente em todo o cérebro, havendo uma atividade integrada.

Modelagem da Dinâmica do EEGModelagem da Dinâmica do EEG

Terminologia de Freeman (1975):– Conjuntos de neurônios KI (KIe e KIi);– KII: KIe + KIi;– KIII: 2 KII.

Modelagem Dinâmica:– Loops de Realimentação;– constantes de tempo das sinapses;– constantes de comprimento;– fatores de ganho.

Modo-Onda Modo-Onda Modo-Pulso Modo-PulsoPotenciais pós-sinápticos podem ser considerados

como modo-onda, enquanto os potenciais de ação representam o modo-pulso.

Propriedades de TransferênciaPropriedades de Transferência

Exemplo de Simulação AlfaExemplo de Simulação Alfa

Relevância da Análise Não-LinearRelevância da Análise Não-LinearVários estudos de modelagem: aproximação

linear.Negligencia importantes características não-

lineares do sistema, como geração de harmônicos.

Sistemas podem ter muitos estados de estabilidade: equilíbrio, ciclos limites e atratores caóticos (“estranhos”).

Transferência: modelos de redes locais de neurônios para modelos complexos espacialmente distribuídos.

Condicionamento e Aquisição Condicionamento e Aquisição do EEGdo EEG

Amplitude da ordem de V a dezenas de V; Bandas do EEG normal de adultos:

– Delta (0-4 Hz);– Teta (4-8 Hz);– Alfa (8-12 Hz);– Beta (12-32 Hz);– Gama (>32Hz);

Sistema Internacional 10-20 de posicionamento de eletrodos:

– 20 derivações monopolares; Derivações monopolares ou bipolares; Localização do eletrodo terra:

– FPz;– Nuca;

Referência (física ou virtual):– Lóbulos auriculares interligados;– Cz;– média dos lóbulos;– média de todos eletrodos;

Impedância dos eletrodos < 10 k;

Características Gerais do EEGCaracterísticas Gerais do EEG

Condicionadores de Sinais para EEGCondicionadores de Sinais para EEG

Pré-Amplificador (Diferencial):– ganhos de 10 a 50;

Filtro Passa-Altas:– empregado quando se deseja remover DC e flutuações lentas;

Amplificador (2o. Estágio):– em geral, apresenta maior ganho (10 a 1000);– quando o equipamento fica ligado eletricamente ao ser humano, deve

incluir isolação; Filtro Passa-Baixas:

– pode servir como anti-aliasing para digitalização.

Pré-Amplificador Filtro Passa-Altas Amp. (2o. estágio) Filtro Passa-Baixas

V+

V-

Terra

T3 -

Cz -

Pré-AmplificadorPré-Amplificador

Requisitos:– Alta Impedância de Entrada;

– Alta Rejeição de Modo Comum:

– Baixo viés e deriva térmica de tensão de entrada;

– Baixa deriva de corrente de entrada.

Desejável:– Ganho flexível;

– Elevada faixa de tensão de

alimentação• se possível, “rail-to-rail”;

– Baixo consumo;

– Baixo ruído;

– Baixo custo.

21

1ZZZ

ZVG

CMRR

VGVGV

i

ic

cdo

cG

GCMRR 10log20

Topologia “Clássica”:– 3 Amplificadores Operacionais (1 Diferencial e 2 Buffers)

Pré-AmplificadorPré-Amplificador

Exemplos:CMRR Zi Vbias Vdrift Ibias

AD620 100 (G=10) 10 G < 50 V < 0,6 V/°C < 1 nA

INA129 100 (G=10) 10 G < 20 V < 0,4 V/°C <10 nA

2

3121

R

R

R

RG

ganho

Filtro Passa-AltasFiltro Passa-Altas

Deve ser omitido quando DC for importante:– Extensometria e Células de Carga;– Termo-pares.

Importante com sinais eletrofisiológicos:– Potencial de meia-célula (interface com o eletrodo);– Artefatos de respiração e outros movimentos.

Elimina influência de viés e deriva de tensão e de corrente.

Arquitetura recomendada:– Bessel passivo ou ativo.

Quando a Interferência de Rede é muito elevada, deve-se cascatear um filtro Notch neste estágio.

Segundo Estágio de AmplificaçãoSegundo Estágio de Amplificação Apresenta, geralmente, o maior ganho:

– Parte dos sinais indesejáveis que poderiam causar a saturação do sistema já foram eliminados no estágio anterior.

Em sistemas para sinais DC, pode ser omitido juntamente com o Filtro Passa-Altas:– Neste caso, o Amplificador Diferencial responderá pelo

Ganho Total; Sistemas eletricamente ligados ao sujeito:

– Amplificador de Isolação: Analógico: por transformadores, óticos e capacitivos; Digitais: CTF Acoplador Ótico ou Indutivo CFT. Exemplo: 3650/3652 (Burr-Brown – tipo ótico analógico)

Corrente Vazamento Impedância de Isolação Vmax Segura de Isolação

< 0,35 A 1 T 2000 Vp ou VDC

Filtro Passa-BaixasFiltro Passa-Baixas

Importante na “separação” de sinais indesejáveis de

alta freqüência e interferências RF:– Atenuação do EMG na coleta de EEG;

– Atenuação de ruídos eletromagnéticos.

Assume o papel de filtro anti-aliasing no caso de

digitalização:– Taxa de amostragem deve considerar a freqüência que já

apresente elevada atenuação.

Arquitetura recomendada:– Bessel ativo, com ordem elevada.

Minimização de Ruídos e ArtefatosMinimização de Ruídos e Artefatos

Uso de eletrodos não-polarizados, e com baixo potencial de “meia-célula”, como Ag/AgCl;

Uso de cabos blindados; Minimização / afastamento de possíveis fontes de

RF; Uso de Gaiola de Faraday; Realimentação tipo “Guarda de Entrada”.

““Guarda de Entrada”Guarda de Entrada” Realimentação negativa da Tensão de Modo Comum

no próprio sujeito (deve se dar o mais distante possível dos eletrodos que captam o sinal).

Proteção Contra Surtos de Proteção Contra Surtos de TensãoTensão

Protege o Condicionador de surtos de tensão causados, por exemplo, por desfibriladores ou equipamentos eletro-cirúrgicos.

0,6 V 3-20 V 50-90 V

Conversão Analógico-Digital (CAD)Conversão Analógico-Digital (CAD)

Faixa Dinâmica (em volts) Resolução – no. de bits (NOB);

– NOB Efetivo (ENOB): depende da razão sinal-ruído;

Sistemas multi-canais:– “sample-and-hold”?

Taxa de amostragem: Nyquist; Acurácia:

– Erro de quantização;– Não-Linearidade.

Considerações PráticasConsiderações Práticas

Amplitude muito pequena de grande parte dos sinais biomédicos utilização de componentes SMD, trilhas curtas e placas de pequenas dimensões;

Em sistemas multicanais, as placas de cada canal devem ser separadas das vizinhas por planos de terra – minimizar cross-talking;

Digitalização:– a resolução do CAD (no. de bits faixa dinâmica) deve

ser considerada no dimensionamento do ganho total do condicionador;

– emprego de filtragem Notch digital.

Bases Teóricas para o Bases Teóricas para o Processamento do EEGProcessamento do EEG

Função Delta de KroneckerFunção Delta de KroneckerFunção Delta de KroneckerFunção Delta de Kronecker

][n

]2[ n

k

knkxnnxnx ][][][][][

Elemento neutro da convolução:

Convolução com a Função DeltaConvolução com a Função DeltaConvolução com a Função DeltaConvolução com a Função Delta][]0[ nx

]2[]2[ nx

k

knkxnnxnx ][][][][][

]1[]1[ nx

]3[]3[ nx

]4[]4[ nx

Transformada de FourierTransformada de FourierTransformada de FourierTransformada de FourierDiscrete-Time Fourier Transform (DTFT):

Discrete Fourier Transform (DFT):– Assunção de que o trecho de sinal analisado é

periódico espectro discreto;

Algoritmo rápido: Fast Fourier Transform (FFT).

1

0

)/2(][N

n

nNjkk enxa

2

)(][][)( deXnxenxX nj

n

nj

Transformada Discreta a Transformada Discreta a Cosseno Cosseno

Transformada Discreta a Transformada Discreta a Cosseno Cosseno

Família das transformadas reais;Base do método JPEG de compressão de

imagens;DCT:

v k k u nn k

Nk N

Nk

Nk N

n

N

[ ] [ ] [ ]cos( )

,

[ ] , [ ] ,

2 1

20 1

01 2

1

0

1

onde

para 1

Função de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoPara um sinal x[n] qualquer:

onde E{...} refere-se à esperança matemática e (*) refere-se ao complexo conjugado.

Para x[n] estacionário:

Para x[n] ergódico:•

• rxx[m] = rxx[-m]

• rxx[0] = E{|x[n]|2} = v.m.q.(x) = x2 se DC=0.

][][],[ * mnxnxEmnrxx

][][][ * mnxnxEmrxx

1*

2

2

][][1

lim][N

NnNxx mnxnx

Nmr

Função de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoFunção de AutocorrelaçãoEstimador Não-Tendencioso:

Estimador Tendencioso:

tem a vantagem de ser uma função positiva semidefinida.

][][)(

1][ˆ][ˆ *

1

0

mnxnxmN

mrmrmN

nxxxx

][][1

][ˆ][ˆ *1

0

mnxnxN

mrmrmN

nxxxx

Densidade Espectral de Densidade Espectral de PotênciaPotência


Definição: transformada de Fourier da FAC:

Significância estatística da estimação espectral;

Variância resolução espectral;Para sinais ergódicos:

2

2][)12(

lim)(M

Mn

fnTj

Mxx enx

M

TEfP

][)( mrFfP xxxx



Sinal finito;Bartlett: promediação da DFT de vários

segmentos do sinal;corresponde à aplicação de janelas

retangulares: “leakage” (vazamento);Welch: utilização de janelas Hann com

superposição de 50%;

Periodograma de WelchPeriodograma de WelchPeriodograma de WelchPeriodograma de Welch

( )~

( )( )P fP

P fW xxp

p

P

1

0

1

~( ) ( )( ) ( )P f

UDTX fxx

p p1 2

U T w nn

D

2

0

1

[ ]

Ruído BrancoRuído BrancoRuído BrancoRuído Branco

Definição: sinal cuja autocorrelação vale

Portanto: Pww( f ) = w2

Caso w[n] seja gaussiano, suas amostras, além de descorrelacionadas, são independentes...

][][ 2 nmr wxx

Modelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-RegressivaModelagem Auto-Regressiva

DEP: significância resolução uso de modelos;

Modelos ARMA, MA e AR;AR mais comumente utilizado;Modelo AR genérico de ordem m:

][][][][1

nuknxkanxm

k

Equações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerEquações de Yule-WalkerBuscam-se os coeficientes a[k] que

minimizam a variância (energia) do erro:

Solução das equações de Yule-Walker (para sinais estacionários):

22][ nuE

r r r m

r r r m

r m r m r

a

a m

xx xx xx

xx xx xx

xx xx xx

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

* *

*

0 1

1 0 1

1 0

1

1 0

0

0

0

2

Equações de Yule-Walker Equações de Yule-Walker (cont.)(cont.)

Equações de Yule-Walker Equações de Yule-Walker (cont.)(cont.)

A partir dos coeficientes auto-regressivos, pode-se obter a DEP através do Método da Máxima Entropia (MEM):

2

1

2

2

][1

)(

p

k

fkTj

MEM

eka

TfP

Equações de Yule-Walker Como um Equações de Yule-Walker Como um Método de Mínimos QuadradosMétodo de Mínimos Quadrados

Equações de Yule-Walker Como um Equações de Yule-Walker Como um Método de Mínimos QuadradosMétodo de Mínimos Quadrados

Minimização da energia de u[n]:

Xa = x

]1[]3[]2[

]0[]2[]1[

0]3[]2[

00]0[

mNxNxNx

xmxmx

mxmx

x

X

]1[

]1[

Nx

x

x

][

]2[

]1[

ma

a

a

a

Xa)(xXa)(x t

Nnu

Ns

N

nu

1][

1ˆ1

0

22

xXX)(Xa t1t

Seleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do ModeloSeleção da Ordem do Modelo Critérios tipo função-custo (a serem minimizados):

– Final Prediction Error (Akaike, 1970):

– Akaike Information Criterion (Akaike, 1974):

– Minimum Description Length (Rissanen, 1978):

– Criterion Autoregressive Transfer Function (Parzen, 1976):

mmN

mNmFPE ̂][

mNmAIC m 2ˆln][

NmNmMDL m lnˆln][

ii

m

i mi N

N

NmCAT

ˆ

1~onde,~

1~11

][1

Função de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaFunção de Correlação CruzadaPara x[n] e y[n] ergódicos:

• rxy[m] rxy[-m] não é necessariamente par;

• rxy[m] = ryx*[-m];

•

Estimadores:

1*

2

2

][][1

lim][N

NnNxy mnynx

Nmr

][][)(

1][ˆ *

1

0

mnynxmN

mrmN

nxy

][][1

][ˆ *1

0

mnynxN

mrmN

nxy

irrir yyxxxy 21

]0[]0[][

Espectro CruzadoEspectro CruzadoEspectro CruzadoEspectro CruzadoDefinição: transformada de Fourier da

Função de Correlação Cruzada:

• como rxy[m] não é necessariamente par, Pxy( f ) não é puramente real;

•

Para sinais ergódicos:

M

Mn

fnTjM

Mn

fnTj

Mxy enyenx

M

TEfP 2*2 ][][

)12(lim)(

][)( mrFfP xyxy

ffPfPfP yyxxxy 21

)()()(

Coerência EspectralCoerência EspectralCoerência EspectralCoerência EspectralDefinição: Espectro Cruzado normalizado

pela raiz do produto das DEPs:

– como Pxy( f ) é complexo, a coerência também o é.

Magnitude Quadrática da Coerência (MSC):

)()(

)()(

fPfP

fPf

yyxx

xyxy

)()(

)()()(

2

22

fPfP

fPff

yyxx

xy

xy

Respostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasRespostas Induzidas e EvocadasTipos de sincronização:

– no tempo: time-locked respostas “induzidas”: ERD/ERS ou ERSP; TFE (uma modalidade de ORD).

– na fase: phase-locked respostas “evocadas”: Média coerente; Técnicas de Detecção Objetiva de Respostas

(ORD).

Média CoerenteMédia CoerenteMédia CoerenteMédia CoerentePressupõe que haja uma parcela consistente de sinal

a cada época pós-estímulo embebida por um ruído de média nula:

• quando• Marcação do gatilho (trigger):

• Atrasos sistemáticos;• Atrasos aleatórios (Jittering).

][][][ nrnsnx ii

M

ii

M

i

M

ii nr

Mns

Mnx

Mns

111

][1

][1

][1

][̂

][][̂ nsns M

y

x

M

ii

y

M

ii

x

yy

xx

fYM

fXM

fP

fPfTFE

1

2

1

2

)(~1

)(~1

)(ˆ)(ˆ

)(yx MMFfTFE 2,2~)(

M

iii

M

ii

xx

xx

ffnXffnXM

fnXM

ffnffnP

fnPfnTFE

1

2

0

2

0

1

2

0

00

00

).(~

).(~

21

).(~1

]).[],.([ˆ).(ˆ

).(

MMFfTFE 4,2~)(

Teste F Espectral (TFE)Teste F Espectral (TFE)Razão de Potências ou de DEP:

Sob H0 (ausência de resposta):

Medida de Sincronismo de Medida de Sincronismo de Componentes (CSM)Componentes (CSM)

Mede a consistência da fase da componente de freqüência em questão:

Sob H0 (ausência de resposta):

2

1

2

1

)(sin1

)(cos1

)(

M

ii

M

ii f

Mf

MfCSM

MfCSM

2~)(

22

Magnitude Quadrada da Magnitude Quadrada da Coerência (MSC)Coerência (MSC)

A MSC entre um sinal periódico e um sinal aleatório depende apenas do último e pode ser reescrita como:

Sob H0 (ausência de resposta): Sob H1 (presença de resposta):

M

jj

M

jj

fXM

fX

fMSC

1

2

2

1

)(~

)(~

)(

1,1~)( MfMSC

,22,222

,22,222

)(1/())((11

)(1/())((1

Mcrit

Mcritcrit FffMM

FffMMSC

)(1

)(42

)(1)(

22 2

22

2

2

ff

Mf

fM

Detector de Potenciais Evocados (EPD) Inspira-se na MSC como ORD, mas refere-se ao domínio do

tempo:

Sob H0 (ausência de respostas), EPD segue uma distribuição

Beta:

– EEG como um ruído branco: EPD ~ N / 2, N (M-1)/2

– EEG como um ruído colorido: EPD ~ Nfit / 2, Nfit (M-1)/2,

onde Nfit é ajustado com base na FAC do EEG…

1

1

2

12

1

][

][

Nn

nn

M

jj

Nn

nn

M

jj

i

i

i

i

nxM

nx

EPD 1 SNRSNREPD

ERD/ERS em Função do TFE Considerando-se x[n] como o sinal de referência e y[n] como

o sinal durante indução de resposta:

Sob H0 (ausência de respostas) :

x

y x

M

ii

M

i

M

iii

yx

fX

fXfY

f

1

2

1 1

22

)(

)()(

100)(̂

1

)(

)(

100)(ˆ

1

2

1

2

x

y

M

ii

M

ii

yx

fX

fY

f

yx MMyx Ff 2,2~1100/)(ˆ

Variância e CovariânciaVariância e CovariânciaVariância e CovariânciaVariância e CovariânciaPara um sinal x[n] ergódico:

onde E{...} refere-se à esperança matemática.

Analogamente, a covariância entre 2 sinais x[n] e y[n] 0 é definida por:

222

222

2

]0[][

][][

][][]0[])[var(

xxxx

xx

xx

rnxE

nxEnxE

nxEnxEcnx

yxxyyx

xy

rnynxE

nyEnynxEnxEcnynx

]0[][][

][][][][]0[])[],[cov(

Matriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaMatriz de CovariânciaSejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n]:

Se os sinais são todos reais, C é uma matriz simétrica, que pode ser dada por:

onde X é uma matriz (N k) cujas colunas são os sinais subtraídos de suas respectivas médias.

1

N

XXC

t

kk

kk

kk

xNxxNxxNx

xxxxxx

xxxxxx

]1[]1[]1[

]1[]1[]1[

]0[]0[]0[

2211

2211

2211

X

]0[]0[]0[

]0[]0[]0[

]0[]0[]0[

21

22212

12111

kkkk

k

k

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

ccc

ccc

ccc

C

Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)

Sejam k sinais ergódicos x1[n] a xk[n] correlacionados entre si (não ortogonais):• sua matriz de covariância C não é diagonal.

Existe um conjunto de k outros sinais descorrelacionados entre si (ortogonais e de média nula), s1[n] a sk[n] (componentes principais), tais que:

Problema: achar A e S...

tt SAX

Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Análise de Componentes Principais (PCA)Multiplicando-se ambos os lados por X:

– mas os sinais si[n] são ortogonais por pressuposição, de modo que StS é uma matriz diagonal. Dividindo-se ambos os lados por N1, tem-se que:

o que evidencia que A é a matriz que diagonaliza ortogonalmente C:

• decomposição por auto-valores e auto-vetores de C.

tttt ASSAXSAXX

tADAC

Incerteza, Informação e Incerteza, Informação e EntropiaEntropia

Incerteza, Informação e Incerteza, Informação e EntropiaEntropia

Sejam k e x variáveis aleatórias (discreta e contínua respectivamente). A “Quantidade de Informação” (I) de uma observação é dada por:

– A Entropia de Shannon é o valor esperado de I:

)(log)(

1log)()(log

)(

1log)( tb

tbtib

ibi xpdf

xpdfxIkp

kpkI

dxxpdfxpdfxIExH

kpkpkIEkH

t

ib

n

iii

)(ln)()()(

)(log)()()(1

Propriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaContinuidade;Valor máximo (p.ex. var. discreta):

Entropia conjunta:

Se k e l são independentes:

1

1,...,

1

1,

1

11,...,

1,

1

1,...,

1,

1,...,,

1

21

nnnH

nnnH

nnnHpppH

nn

nnn

),()()|()()|(, klHkHklHlHlkHlkH

)()|()()|( lHklHkHlkH

Propriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaPropriedades da EntropiaExemplo:

– Processo de Bernoulli: k1 = 0;

k2 = 1;

Informação MútuaInformação MútuaInformação MútuaInformação MútuaH(k): medida de incerteza da variável k;H(k|l): incerteza remanescente de k após se

observar l;Informação Mútua:

– representa a quantidade de incerteza sobre k que foi resolvida ao se observar l.

– se k e l são independentes:

0);()|()()|()(; klIklHlHlkHkHlkI

0)()()|()(; kHkHlkHkHlkI

Análise de Componentes Independentes Análise de Componentes Independentes (ICA)(ICA)

Análise de Componentes Independentes Análise de Componentes Independentes (ICA)(ICA)

Análoga à PCA mas visa a componentes estatisticamente independentes:– Minimização da Informação Mútua:

Ex.: Algoritmos baseados na Medida de Divergência de Kullback-Leibler;

– Maximização da Não-Gaussianidade: Curtose: ; Negentropia J(pdf(x)) = H(N(0,))H(pdf(x,)).

– Algoritmos comuns: Infomax (Redes Neurais, Maximização da Entropia); JADE (cumulantes de 4a. Ordem – Curtose); FastICA (PCA Maximização de Não-Gaussianidade via

função não-linear)...

3

)(

)()(

22

4

xE

xExCurtEx

FiltrosFiltrosFiltrosFiltros

Sinal + ruído ou interferência;Interferência da rede (60Hz);Interferência de outros sinais fisiológicos;Coincidência dos espectros do sinal e do

ruído;Uso de filtros: IIR FIR.

Filtro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas IdealFiltro Passa-Baixas Ideal

.,0

,0,1)(

C

CdH

nn

dnnh CdLP

C

sen1

cos22

1][

0

CcC

dLPndLP nhh

)0cos(

])[(lim]0[ 0

Filtro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas IdealFiltro Passa-Altas Ideal

.,1

,0,0)(

C

CdH

nn

nh CdHP sen1

][

CcC

dHPndHP nhh

1)0cos()0cos(

])[(lim]0[ 0

Filtro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa IdealFiltro Passa-Faixa Ideal

.,0

,,1

,0,0

)(

2

21

1

C

CC

C

dH

)sen(sen1

cos22

1][ 12

2

1

nnn

dnnh CCdBP

C

C

121122

0

)0cos()0cos(])[(lim]0[ CCCCCC

dBPndBP nhh

Filtro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa IdealFiltro Rejeita-Faixa Ideal

.,1

,,0

,0,1

)(

2

21

1

C

CC

C

dH

)sen(sen1

][ 12 nnn

nh CCdBS

12

0 1])[(lim]0[ CCdBSndBS nhh

Filtros FIR - Método de Filtros FIR - Método de JanelasJanelas

Filtros FIR - Método de Filtros FIR - Método de JanelasJanelas

Idéia: truncar a resposta ao impulso ideal hd[n] correspondente a uma janela retangular no domínio da freqüência;

Fenômeno de Gibbs (janela retangular) emprego de outras janelas;

2

0

)(2

1][ deHnh nj

dd

Truncamento simples (Janela Truncamento simples (Janela Retangular)Retangular)

Truncamento simples (Janela Truncamento simples (Janela Retangular)Retangular)

Outras JanelasOutras JanelasOutras JanelasOutras Janelas

Hann:

Hamming:

Blackman:

w nn

Msen

n

MN [ ] cos

1

21

2 2

w nn

MM [ ] , , cos 0 54 0 462

w nn

M

n

MB[ ] , , cos , cos 0 42 0 52

0 084

Comparação de filtros projetados Comparação de filtros projetados a partir das diferentes janelas:a partir das diferentes janelas:

Comparação de filtros projetados Comparação de filtros projetados a partir das diferentes janelas:a partir das diferentes janelas:

Janela Banda de

Transição (2/M)

Ripple máximo na

banda de rejeição (dB)

Retangular 0,9 -21

Hann 3,1 -44

Hamming 3,3 -53

Blackman 5,5 -74

Comparação (Hann - linha contínua, Comparação (Hann - linha contínua, Hamming - pontilhada, Blackman - Hamming - pontilhada, Blackman -

tracejada)tracejada)

Comparação (Hann - linha contínua, Comparação (Hann - linha contínua, Hamming - pontilhada, Blackman - Hamming - pontilhada, Blackman -

tracejada)tracejada)

Janela KaiserJanela KaiserJanela KaiserJanela KaiserFamília de curvas com parâmetros flexíveis

(dependendo de ;

onde I0( ) é a função de Bessel modificada de primeira ordem.

w n

I n M

In MK[ ]

( / )

( ), , , ,...,

02

0

1 1 20 1 2

para

Comparação - Kaiser Comparação - Kaiser (diferentes valores de (diferentes valores de

Comparação - Kaiser Comparação - Kaiser (diferentes valores de (diferentes valores de

Parâmetro Banda de

Transição (2/M)

Ripple máximo na

banda de rejeição (dB)

2,0 1,5 -29

3,0 2,0 -37

4,0 2,6 -45

5,0 3,2 -54

6,0 3,8 -63

7,0 4,5 -72

8,0 5,1 -81

9,0 5,7 -90

10,0 6,4 -99

Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-Altas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaAltas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaFiltros FIR Passa-Baixas, Passa-Filtros FIR Passa-Baixas, Passa-

Altas, Passa-Faixa e Rejeita-FaixaAltas, Passa-Faixa e Rejeita-Faixa

Fase linear resposta ao impulso simétrica ou anti-simétrica;

Simétrica: Anti-simétrica:

Filtro FIR Filtro FIR Filtro FIR Filtro FIR Trunca-se a resposta ideal do filtro do tipo

desejado;Ordem par (comprimento ímpar):

Ordem ímpar (comprimento par):

2,...,0,...,

2 para ,

2].[

2

NNn

Nnwnh

Nnh d

h nN

h n w nN

nN N

d

2 2 2

0 5 0 52

[ ]. , ,..., , , , ,..., para

Filtros FIR Passa-Altas e Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-FaixaRejeita-Faixa

Filtros FIR Passa-Altas e Filtros FIR Passa-Altas e Rejeita-FaixaRejeita-Faixa

Polinômios simétricos de ordem ímpar apresentam raiz em –1 (ej);

Este zero determina resposta nula na freqüência de Nyquist;

Logo, filtros FIR passa-altas e rejeita-faixa não podem possuir ordem ímpar.

Projeto por Especificações Projeto por Especificações (FIR-Kaiser)(FIR-Kaiser)

Projeto por Especificações Projeto por Especificações (FIR-Kaiser)(FIR-Kaiser)

Especificações: ripple e limite(s) da faixa de passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição;

ripple ajustado através do parâmetro e largura do lobo principal, através da ordem do filtro;

Janela Kaiser pode-se adequar a, praticamente, qualquer especificação;

Projeto por Especificações Projeto por Especificações (cont.)(cont.)


Faixa de passagem: A’p ripple máximo, delimitada por p (oup1p2);

Faixa de rejeição: A’r de atenuação mínima, delimitada por r (our1r2);

Pode-se projetar um filtro com banda de transição Bt e ripples:

A

A

p

r

201

120

10

10

log

log



1) Freqüência(s) de corte: distanciada(s) de Bt /2 do(s) limites da faixa de passagem;

2) Escolha de :

min( , )1 2

10 05

2

0 05

0 0510

10 1

10 1

,

,

,

'

'

'A

A

Ar

p

p



3) Cálculo de Ar:

4) Escolha de :

Ar 20 10log

0 21

0 5842 21 0 07886 21 50

0 1102 8 7 50

0 4

para

para 21

para

A ,

A A A

A A

r

r r r

r r

, ( ) , ( ) ,

, ( , ) ;

,



5) Escolha do parâmetro D:

6) Ordem N:

D

A

AA

r

rr

0 9222 21

7 95

14 3621

, ,

,

,;

para

para

ND

Bt

2

1

Filtro IIR ButterworthFiltro IIR ButterworthFiltro IIR ButterworthFiltro IIR Butterworth

Maximamente plano;Filtro passa-baixas:

n

c

jH2

2

1

1)(

)().()().()( *2 jHjHjHjHjH

Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)Filtro IIR Butterworth (cont.)

Fazendo-se s=j ,

n

cj

ssHsH

2

1

1)().(

)()1( 2/1c

nk js

Filtros IIR ChebychevFiltros IIR ChebychevFiltros IIR ChebychevFiltros IIR Chebychev

Filtros equiripple: Chebychev I - faixa de passagem; Chebychev II - faixa de rejeição;

Passa-baixas normalizado do tipo I:

Cn() é o polinômio de Chebychev de ordem n;

)(1

1)(

22

2

nCjG

Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)Filtro IIR Chebychev (cont.)

Definição dos polinômios de Chebychev:

1,)cosh.cosh()(

e

10),cos.cos()(

1

1

nC

nC

n

n

Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)Filtros IIR Chebychev (cont.)

Relação de recorrência para os polinômios de Chebychev:

1.2)(e)(sendo

,0)()(..2)(2

21

11

CC

CCC nnn

Transformações Espectrais Transformações Espectrais para Filtros Analógicospara Filtros Analógicos

Transformações Espectrais Transformações Espectrais para Filtros Analógicospara Filtros Analógicos

Filtros passa-baixas normalizados para quaisquer tipos de filtros;

Freqüência de corte:– Butterworth : 3dB;– Chebychev : final da faixa de passagem (dB);

s f s ( )

10 1 110log ( / ( ))

Transformações Espectrais Transformações Espectrais (cont.)(cont.)

Transformações Espectrais Transformações Espectrais (cont.)(cont.)

Tipo de Filtro Transformação s f s ( )

Passa-Baixas css /

Passa-Altas ss c /

Passa-Faixa )( 12

212

s

ss

Rejeita-Faixa 21

212 )(

s

ss

H s H sdesejada normalizada s f s( ) ( ) ( )

Transformação BilinearTransformação BilinearTransformação BilinearTransformação Bilinear

Passar do domínio s (analógico) para o domínio z (digital);

Definição:

sT

z

z

2 1

1

1

1

Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)Transformação Bilinear (cont.)

Warping:

Solução: pre-warping - se o filtro digital é caracterizado pelas freqüências i, o filtro analógico deve possuir suas freqüências correspondentes em:

2tan

2 1 T

T

2tan

2 T

Ti

i

Efeito Efeito WarpingWarpingEfeito Efeito WarpingWarping

Projeto por Especificações Projeto por Especificações (IIR)(IIR)

Projeto por Especificações Projeto por Especificações (IIR)(IIR)

Funções do Matlab (butter e cheby1);Especificações: ripple e limite(s) da faixa de

passagem e ripple e limite(s) da faixa de rejeição;

Faixa de passagem: Rp ripple máximo, delimitada por p (oup1p2);

Faixa de rejeição: Rs de atenuação mínima, delimitada por r (our1r2);



1) pre-warping das freqüências limites do filtro digital desejado;

2) Obter um filtro passa-baixas normalizado:

P

SA

:baixas-passa

S

PA

:altas-passa



1,2= para ,)(

:faixa-passa12

212

iPPSi

PPSiAi

1,2= para ,)(

:faixa-rejeita21

212 i

PPSi

PPSiAi



3) Determinação da ordem; para passa-faixa e rejeita-faixa, pega-se o menor dos Ai :– Butterworth:

– Chebychev: A

R

R

p

s

N10

.1,0

.1,0

10

log2

110

110log

A

R

R

p

s

N1

.1,0

.1,01

cosh110

110cosh



4) Exclusivamente para Butterworth: 4.a) achar freqüência de 3dB:

4.b) voltar ao modelo analógico:

N R

A

s2 11,00

10

PC

0 :baixas-passa

0

:altas-passa P

C



)(2

)(4

)(2

)(4

:faixa-passa

120

212

12

20

2

120

212

12

20

1

PPPPPPC

PPPPPPC

0

212

02

12122

0

212

02

12121

2

4)(

2

4)(

:faixa-rejeita

PPPPPPC

PPPPPPC



4.c) Voltar ao domínio digital:

onde, para filtros passa-faixa e rejeita-faixa, i=1,2.

Cici

1tan2

Filtro Filtro NotchNotch Digital DigitalFiltro Filtro NotchNotch Digital DigitalEstrutura básica de segunda ordem:

22

2

cos2

1cos2)(

rrz

zzH

n

n

T ó picos Especiais em Processamento de Sinais Biol ó gicos COB 860 Professores: Antonio Fernando...

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