Sistemas reticulados algbricos computacional

Sistema algbrico computacional (computer algebra system) programa que facilita a matemtica simblica. lgebra computacional ou computao algbrica o nome da tecnologia para a manipulao de frmulas matemticas por computadores digitais.

A lgebra computacional, tambm conhecida pelo termo computao simblica pode ser definida ainda como uma computao com smbolos representando objetos matemticos.

1. Sistema algbrico linear

So inmeros problemas de engenharia que

Ex:

2. Sistema algbrico simblico

Um sistema de computao algbrica e simblica CAS (Computer Algebra System) um software com a capacidade de manipular em forma simblica expresses matemticas e realizar clculos numricos. O principal objetivo de um CAS consiste em realizar em forma automtica a manipulao ou remanejamento algbrico de equaes o qual pode ser uma tarefa difcil e tediosa quando feita manualmente. A diferena entre um CAS e uma calculadora pode ser entendida destacando a major qualidade do CAS: o tratamento simblico de expresses matemticas.

A especificidade e a capacidade destes sistemas varia significativamente quando so utilizados diferentes softwares, embora o principal propsito seja o mesmo: a manipulao simblica. Estes softwares disponibilizam, em geral, outras ferramentas computacionais como gerao de grficos, programao, etc. Entre dos softwares mais populares merecem ser mencionados: Maxima, Maple, Mathematica, Matlab e MathCAD. Os CAS podem ser utilizados para simplificar funes racionais, fatorar polinmios,

achar solues de equaes, integrar e diferenciar em forma simblica.

3. lgebra Booleana

lgebra Booleana definida como sendo um conjunto com duas operaes binrias (join) e (meet), uma operao unria e elementos distintos 0 e 1 satisfazendo as seguintes propriedades:

I - a) x y = y x Propriedade Comutativa b) x y = y x

II - a) (x y) z = x (y z) Propriedade Associativa b) (x y) z = x (y z)

III - a) x (y z) = (x y) (x z) Propriedade Distributiva b) x (y z) = (x y) (x z)

IV - a) 0 x = x Propriedade Identidade b) x 1 = x

V - a) x x = 1

b) x x = 0

VI - a) x x = x

b) x x = x

VII - a) x 1 = 1 Propriedade Identidade b) x 0 = 0

VIII - a) x (x y) = x Propriedade de Absoro b) x (x y) = x

IX - a) (x y) = x y Propriedade DeMorgan b) (x y) = x y

As propriedades ( I ) at (V) j foram provadas anteriormente.

Teorema 1 As propriedades de (VI) a (VIII) prosseguem da lgebra Booleana.

Provando as propriedades citadas no teorema 1:

VI - a) x x = x

x x = (x x) 1 propriedade IV (b)

= (x x) (x x) propriedade V (a)

= x (x x) propriedade III (a)

= x 0 propriedade V (b)

= x propriedade IV (a)

b) x x = x

x x = (x x) 0 propriedade IV (a)

= (x x) (x x) propriedade V (b)

= x (x x) propriedade III (b)

= x 1 propriedade V (a)

= x propriedade IV (b)

VII - a) x 1 = 1

x 1 = x (x x) propriedade V (a)

= (x x) x propriedade II (a)

= x x propriedade VI (a)

= 1 propriedade V (a)

b) x 0 = 0

x 0 = x (x x) propriedade V (b)

= (x x) x propriedade II (b)

= x x propriedade VI (b)

= 0 propriedade V (b)

VII - a) x (x y) = x

x (x y) = (x 1) (x y) Propriedade IV (b)

= x (1 y) Propriedade III (b)

= x 1 propriedade VII (a)

= x propriedade IV (b)

b) x (x y) = x

x (x y) = (x 0) (x y) propriedade IV (a)

= x (0 y) propriedade III (a)

= x 0 propriedade VII (b)

= x propriedade IV (a)

Teorema 2 Reticulado Booleano lgebra Booleana e lgebra Booleana reticulado Booleano.

Para provar o teorema 2, vamos partir das propriedades da lgebra Booleana citadas acima. As propriedades ( I ), (II) e (VIII) so propriedades de reticulados algbricos e, portanto,mostram que a lgebra Booleana um reticulado algbrico. Mais especificamente, as propriedades (III) at (V) mostram que a lgebra Booleana distributiva e complementar, logo, a lgebra Booleana um reticulado Booleano. J a propriedade (IX), que tambm uma das propriedades do reticulado Booleano, satisfaz a lgebra Booleana. Portanto, tambm est provado que um reticulado Booleano uma lgebra Booleana.

Para explicar o motivo pela qual s vezes se chama reticulado Booleano ao invs de lgebra Booleana (e vice-versa):

Quando a nfase fundamental a ordem parcial, chamamos RETICULADO BOOLEANO;

Quando a nfase so operaes algbricas ( , , ) , chamamos LGEBRA BOOLEANA.

Mas, vale ressaltar que reticulado Booleano lgebra Booleana e vice-versa (teorema 2).

Teorema 3 Seja uma lgebra Booleana finita e seja S = {a1, a2, ..., an} o conjunto detomos de A. Todo elemento x pertencente a A pode ser escrito como join de tomos distintos de A.

x = ai1 ai2 ... ain ( com ai1, ai2, ..., ain x )

Se x = 0 ou se x uma tomo, o teorema 3 j est concludo. Por outro lado, se existe um elemento k em A tal que 0 k x, ento:

x = x k = (x k) (k' k) = (x k') k

Alm disso, ns temos que x k' x porque, de outro modo, x k' = x, k x = x k' k' e k k' = k, o que impossvel! Ento, x join de 2 elementos menores k e x k'. Se k e x k' so tomos, o teorema 3 j est provado. Caso contrrio, podemos decompor ambos em joins de elementos menores, e assim sucessivamente. Como A finito, este processo eventualmente parar e ns teremos escrito x em join de tomos distintos. Portanto, o teorema 3 est provado.

Teorema 4 Se A uma lgebra Booleana finita com o conjunto de tomos W={a1, a2,..., an} e se B uma lgebra Booleana com o conjunto de tomos Z = {b1, b2, ..., bn } ento, existe uma correspondncia bijetiva entre A e B onde (ai) = bi, para qualquer i.

Segue as propriedades: (1) (x y) = (x) (y) (2) (x y) = (x) (y) (3) (x) = (x) (4) a x (a) (x) qualquer que sejam x e y pertencentes a A.

Todas as lgebras Booleanas que satisfazem essas quatro propriedades so ditas LGEBRAS BOOLEANAS ISOMRFICAS.