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MicroeconometriaThe Single-Equation Linear Model and OLS Estimation
Ricardo da Silva Freguglia
September 22, 2015
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 1 / 29
4.1 Overview of the Single-Equation Linear Model
Projeção Linear:
y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk +u (4.1)
onde:
y, x1, x2, x3, ..., xk são observações aleatórias
Hipótese sobre u : OLS
u : termo aleatório de erro não observável e β0,β1,β2, ...,βk
E (u) = 0, Cov(xi ,u) = 0 j = 1,2, ...,K (4.2)
E (u|x1,x2, ...,xk) = E (u|x) = 0 (4.3)
Modelo estruturalEstimação da equação
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4.1 Overview of the Single-Equation Linear Model
Assumindo (4.1) e (4.3)
E (y |x1,x2, ...,xk) = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk (4.4)
A endogeneidade E (u|x) 6= 0 ocorre devido a:
(i) Variáveis omitidas E (y |x ,q)→ q não é observável (viés de variávelomitida)
E (y |x) 6= E (y |x ,q)
x, q → Auto-seleção
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4.1 Overview of the Single-Equation Linear Model
(ii) Erros de medida:
x∗k → xk
(iii) Simultaneidade:
x e y são medidas simultaneamente
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4.2 Asymptotic Properties of OLS
y = xβ +u (4.5)
Onde x é um 1 x K vetor da regressão e β ≡ (β1,β2, ...,βk)′ é um K x
1 vetor;
(yi ,xi ) iid
yi = xiβ +ui (4.6)
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4.2.1 Consistency
OLS.1:
E (x′u) = 0
OLS. 2:
postoE (x ′x) = k
Uma variável não pode ser determinada como uma combinação linearde outras 2 variáveis, i.e., x'x deve ser inversível = matriz nãosingular; x deve variar e esta variância não deve ser espúria.
OLS1 + OLS2 →vetor β é identi�cado.
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4.2.1 Consistency
Pré-multiplique (4.5) por x', e tome expectativas:
β = [E (x′x)]−1E (x′y)
(x,y) é observado, β é
β =
(N−1
N
∑i=1
x′ixi
)−1(N−1
N
∑i=1
x′iyi
)=
β +
(N−1
N
∑i=1
x′ixi
)−1(N−1
N
∑i=1
x′iui
)
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4.2.1 Consistency
OLS.2 → (x′x) não singular
plim
(N−1 N
∑i=1
x′ixi
)−1= A−1
OLS.1 →plim
(N−1 N
∑i=1
x′iui
)−1= E [x ′u] = 0
plimβ = β +A−1.0= β
[Slutsky : plim g(xN) = g(plim xN)
Teorema 4.1 (consistência do OLS): OLS1 + OLS2 → βMQO éconsistente.
Não viesado →E [u|x ] = 0
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4.2.2 Asymptotic Inferece Using OLS
√N(β −β ) =
(N−1
N
∑i=1
x′ixi
)(N−1/2
N
∑i=1
x′iui
)
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4.2.2 Asymptotic Inferece Using OLS
(N−1/2
N
∑i=1
x′iui
)d−→ Normal (0,B)
Onde B é uma matriz K x K
{(x′iui ) : i = 1,2, ...} é iid
B ≡ E (u2x′x) (4.7)
√N(β −β ) = A−1
(N−1/2
N
∑i=1
x′iui
)d−→N(A−10,A−1βA−1)
B ≡ E (u2x′x) = σ2E [x′x] = σ2A
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 10 / 29
4.2.2 Asymptotic Inferece Using OLS
OLS.3: Homocedasticidade
B ≡ E (u2x′x) = σ2E [x′x] = σ2A
Onde:
σ2 ≡ E (u2)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 11 / 29
4.2.3 Heteroskedasticity-Robust Inference
Teorema 4.2 (Asymptotic normality of OLS):
OLS.3: B = σ2A
A ˆvar(β ) = σ2(X′X)−1 (4.10).
A ˆvar(β ) 6= σ2(X′X)−1
A ˆvar(β ) = A−1BA−1/N
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4.2.3 Heteroskedasticity-Robust Inference
Teremos então:
A ˆvar(β ) = A−1BA−1
N
A≡ E [x ′x ]
Como não observamos U2
i , basta estimarmos Ui
N−1
(N
∑i=1
u2i x′i xi
)p−→
E [u2x ′x ] = B
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4.2.3 Heteroskedasticity-Robust Inference
ui → ui = yi −xi β
B = N−1N
∑i=1
u2i x′x
B ≡ E (u2x′x)
A ˆvar(β ) = (X′X)−1
(N
∑i=1
u2i x′x
)(X′X)−1 (4.11)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 14 / 29
4.2.4 Lagrange Multiplier (Score)Tests
y = x1β1+ x2β 2+u (4.14)
u em x1,x2 (4.15)
LM ≡ NR2u
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 15 / 29
4.3.1 OLS ignoring the Omitted Variables
Modelo Estrutural:
E (y |x1,x2, ...,xk ,q) = β0+β1x1+β2x2+ ...+βkxk + γq (4.18)
y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk + γq+ v (4.19)
E (v |x1,x2, ...,xk ,q) = 0 (4.20)
y = β0+β1x1β2x2+ ...+βkxk +u (4.21)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 16 / 29
4.3.1 OLS ignoring the Omitted Variables
u ≡ γq+ v (4.22)
Ignorando 'q', os 'β s' não serão estimados corretamente (veja que 'q'está presente: u ≡ γq+ v)
q = δ0+δ1x1+δkxk + r (4.23)
onde:
E (r) = 0
Cov(xj , r) = 0
j = 1,2, ...,K
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 17 / 29
4.3.1 OLS ignoring the Omitted Variables
y = (β0+ γδ0)+(β1+ γδ1)x1+(β2+ γδ2)x2+ ...+(βk + γδk)xk + v + γr
plimβj = βj + γδj
plimβj = βj , j = 1, ...,K −1
plimβj = βk + γ[Cov(xk ,q)/Var(xk)] (4.24)
Regressor:
δk = Cov(xk ,q)/Var(xk)
δj = 0j = 1k−1
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4.3.2 The Proxy Variable-OLS Solution
Redundante: (z é redundante)
E (y |x,q,z) = E (y |x,q) (4.25)
Correlação entre q e xj é zero quando condicionamos em z
L(q|1,x1...xk ,z) = L(q|1,z) (4.26)
q = θ0+θ1z+ r (4.27)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 19 / 29
4.3.2 The Proxy Variable-OLS Solution
Cov(xj , r) = 0
j = 1,2, ...,K
Proxy imperfeita:
y = (β0+ γθ0)+β1x1+ ...+βkxk + γθ1z+(γr + v) (4.28)
q = θ0+p1x1+ ...+pkxk +θ1z+ r
plimβj = βj + γρj
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 20 / 29
4.3.2 The Proxy Variable-OLS Solution
Examples (4.3):
log(wage) = β0+β1exper +β2tenure+β3married +β4south+β5urban+β6black+βeduc+ γabil + v
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 21 / 29
4.3.3 Models With Interactions in Unobservables
y = β0+β1x1+ ...+βkxk + γ1q+ γ2xkq+ v) (4.30)
E (v |x,q) = 0 (4.31)
∂E(v |x,q)∂xk
= βk + γ2q (4.32)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 22 / 29
4.3.3 Models With Interactions in Unobservables
Assumindo:
E (q) = 0
E (βk + γ2q) = βk (4.33)
E(q|x,z) = E(q|z) = θ1z (4.34)
E (q|x ,z) = β0+β1x1+ ...+βkxk + γ1θ1z+ γ2θ1zxkz (4.35)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 23 / 29
4.3.3 Models With Interactions in Unobservables
Usando a Propriedade CV.3 no Appendix 2A:
Var(y |x ,z) = σ2+(γ1+ γ2xk)2
Var(q|x ,z)
Exemplo 4.5: Returns to Education Depends on Ability
log(wage) = β0+β1exper +β2tenure+β3married +β4south+β5urban+β6black+βeduc+ γ1abil + γ2abil .educ+ v
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 24 / 29
4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable
y∗ = β0+β1x1+ ...+βkxk + v (4.37)
E (y∗|x1, ...,xk)onde y 6= y∗
e0 = y −y∗ (4.38)
y∗ = β0+β1x1+ ...+βkxk + v + e (4.39)
E (v) = 0
E (e0) = 0
cov [v ,xj ] = 0
cov [e0,xj ] = 0
Assumindo:
Var(v + e0) = σ2v +σ2
0> σ2
v
e0e v são não correlacionados
log(y) = log(y∗)+ e0 (4.40)Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 25 / 29
4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable
y = β0+β1x1+ ...+βkx∗k + v (4.41)
onde: y, x1,..., xk−1 são observações, mas x∗knão é
xk→observado
cov [v ,xk ] = 0
ek = xk −x∗k (4.42)
cov(xk ,ek) = 0 (4.43)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 26 / 29
4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable
x∗k = xk − ek
y = β0+β1x1+ ...+βkxk +(v −βkek) (4.44)
cov [x∗k ,ek ] = 0 (4.45)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 27 / 29
4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable
cov(xk ,ek) = E (xkek) = E (x∗kek)+E (e∗k) = σ2
ek (4.46)
plim(βk) = βk
(σ2
r∗k/σ2
rk+σ2
ek
)(4.47)
x∗k = δ0+δ1x1+δ2x2+ ...+δk−1xk−1+ r∗k
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 28 / 29
4.4.1 Mesurement Error in the Dependent Variable
No caso única variável explicativa (K=1) - > viés de atenuação
plim(β1) = βk
(σ2
x1/σ2x +σ2
e1
)=
var(x∗1)var(x1)
(4.48)
Ricardo da Silva Freguglia Microeconometria September 22, 2015 29 / 29